O volume de um corpo obtido por rotação. III Cálculo dos volumes dos corpos de revolução

Tal como acontece com o problema de encontrar a área, você precisa de habilidades de desenho confiantes - isso é quase a coisa mais importante (já que as próprias integrais geralmente serão fáceis). Você pode dominar técnicas gráficas competentes e rápidas com a ajuda de materiais didáticos e transformações geométricas de gráficos. Mas, na verdade, já falei diversas vezes em aula sobre a importância dos desenhos.

Em geral, existem muitas aplicações interessantes no cálculo integral; usando uma integral definida, você pode calcular a área de uma figura, o volume de um corpo de rotação, o comprimento do arco, a área superficial de rotação e muito mais. mais. Então vai ser divertido, por favor, fique otimista!

Imagine alguma figura plana no plano coordenado. Introduzido? ... Gostaria de saber quem apresentou o quê... =))) Já encontramos a sua área. Mas, além disso, esta figura também pode ser girada e girada de duas maneiras:

– em torno do eixo das abcissas;
– em torno do eixo das ordenadas.

Este artigo examinará ambos os casos. O segundo método de rotação é especialmente interessante; causa mais dificuldades, mas na verdade a solução é quase a mesma que na rotação mais comum em torno do eixo x. Como bônus voltarei para problema de encontrar a área de uma figura, e direi como encontrar a área da segunda maneira - ao longo do eixo. Não é tanto um bônus, pois o material se encaixa bem no tópico.

Vamos começar com o tipo de rotação mais popular.

figura plana em torno de um eixo

Exemplo 1

Calcule o volume de um corpo obtido girando uma figura delimitada por linhas em torno de um eixo.

Solução: Como no problema de encontrar a área, a solução começa com o desenho de uma figura plana. Ou seja, no plano é necessário construir uma figura delimitada pelas retas, e não esquecer que a equação especifica o eixo. Como completar um desenho com mais eficiência e rapidez pode ser encontrado nas páginas Gráficos e propriedades de funções elementares E Integral definida. Como calcular a área de uma figura. Este é um lembrete chinês, e neste ponto não vou me alongar mais.

O desenho aqui é bem simples:

A figura plana desejada está sombreada em azul, é aquela que gira em torno do eixo. Como resultado da rotação, o resultado é um disco voador ligeiramente ovóide e simétrico em relação ao eixo. Na verdade, o corpo tem um nome matemático, mas tenho preguiça de esclarecer qualquer coisa no livro de referência, então seguimos em frente.

Como calcular o volume de um corpo de revolução?

O volume de um corpo de revolução pode ser calculado usando a fórmula:

Na fórmula, o número deve estar presente antes da integral. Então aconteceu - tudo o que gira na vida está ligado a essa constante.

Acho que é fácil adivinhar como definir os limites de integração “a” e “ser” a partir do desenho concluído.

Função... o que é essa função? Vejamos o desenho. A figura plana é limitada pelo gráfico da parábola no topo. Esta é a função que está implícita na fórmula.

Em tarefas práticas, uma figura plana às vezes pode estar localizada abaixo do eixo. Isso não muda nada - o integrando na fórmula é elevado ao quadrado: , portanto a integral é sempre não negativa, o que é muito lógico.

Vamos calcular o volume de um corpo em rotação usando esta fórmula:

Como já observei, a integral quase sempre acaba sendo simples, o principal é ter cuidado.

Responder:

Na sua resposta você deve indicar a dimensão - unidades cúbicas. Ou seja, em nosso corpo de rotação existem aproximadamente 3,35 “cubos”. Por que cúbico unidades? Porque a formulação mais universal. Pode haver centímetros cúbicos, pode haver metros cúbicos, pode haver quilômetros cúbicos, etc., é quantos homens verdes sua imaginação pode colocar em um disco voador.

Exemplo 2

Encontre o volume de um corpo formado pela rotação em torno do eixo de uma figura delimitada por linhas , ,

Este é um exemplo para você resolver sozinho. Solução completa e resposta no final da lição.

Consideremos dois problemas mais complexos, que também são frequentemente encontrados na prática.

Exemplo 3

Calcule o volume do corpo obtido girando em torno do eixo de abcissas da figura delimitada pelas linhas , , e

Solução: Vamos representar no desenho uma figura plana delimitada pelas retas , , , , sem esquecer que a equação define o eixo:

A figura desejada está sombreada em azul. Quando gira em torno de seu eixo, revela-se uma rosquinha surreal com quatro cantos.

Vamos calcular o volume do corpo de revolução como diferença nos volumes dos corpos.

Primeiro, vejamos a figura circulada em vermelho. Quando gira em torno de um eixo, obtém-se um cone truncado. Vamos denotar o volume deste cone truncado por.

Considere a figura circulada em verde. Se você girar esta figura em torno do eixo, também obterá um cone truncado, só que um pouco menor. Vamos denotar seu volume por .

E, obviamente, a diferença de volumes é exatamente o volume do nosso “donut”.

Usamos a fórmula padrão para encontrar o volume de um corpo de revolução:

1) A figura circulada em vermelho é delimitada acima por uma linha reta, portanto:

2) A figura circulada em verde é delimitada acima por uma linha reta, portanto:

3) Volume do corpo de rotação desejado:

Responder:

É curioso que neste caso a solução possa ser verificada utilizando a fórmula escolar para cálculo do volume de um cone truncado.

A decisão em si costuma ser escrita de forma mais curta, mais ou menos assim:

Agora vamos descansar um pouco e falar sobre ilusões geométricas.

As pessoas costumam ter ilusões associadas a volumes, o que foi notado por Perelman (outro) no livro Geometria divertida. Observe a figura plana no problema resolvido - ela parece ter uma área pequena e o volume do corpo de revolução é pouco mais de 50 unidades cúbicas, o que parece muito grande. Aliás, a pessoa média bebe o equivalente a uma sala de 18 metros quadrados de líquido durante toda a vida, o que, ao contrário, parece um volume muito pequeno.

Em geral, o sistema educacional da URSS era realmente o melhor. O mesmo livro de Perelman, publicado em 1950, desenvolve muito bem, como disse o humorista, o pensamento e ensina a buscar soluções originais e atípicas para os problemas. Recentemente reli alguns capítulos com muito interesse, recomendo, é acessível até para humanistas. Não, não precisa sorrir porque ofereci tempo livre, erudição e amplos horizontes na comunicação são ótimos.

Depois de uma digressão lírica, basta resolver um problema criativo:

Exemplo 4

Calcule o volume de um corpo formado pela rotação em torno do eixo de uma figura plana delimitada pelas linhas , , onde .

Este é um exemplo para você resolver sozinho. Observe que todos os casos ocorrem na banda, ou seja, limites de integração pré-definidos são na verdade dados. Desenhe os gráficos das funções trigonométricas corretamente, deixe-me lembrá-lo do material da lição sobre transformações geométricas de gráficos: se o argumento for dividido por dois: , então os gráficos serão esticados duas vezes ao longo do eixo. É aconselhável encontrar pelo menos 3-4 pontos de acordo com tabelas trigonométricas para completar o desenho com mais precisão. Solução completa e resposta no final da lição. A propósito, a tarefa pode ser resolvida de forma racional e não muito racional.

Cálculo do volume de um corpo formado por rotação
figura plana em torno de um eixo

O segundo parágrafo será ainda mais interessante que o primeiro. A tarefa de calcular o volume de um corpo de revolução em torno do eixo das ordenadas também é um convidado bastante comum em trabalhos de teste. Ao longo do caminho será considerado problema de encontrar a área de uma figura o segundo método é a integração ao longo do eixo, o que permitirá não apenas aprimorar suas habilidades, mas também ensiná-lo a encontrar o caminho de solução mais lucrativo. Há também um significado de vida prática nisso! Como recordou com um sorriso a minha professora de métodos de ensino de matemática, muitos formandos agradeceram-lhe com as palavras: “A sua matéria ajudou-nos muito, agora somos gestores eficazes e gerimos o pessoal de forma otimizada”. Aproveitando a oportunidade, expresso-lhe também o meu grande agradecimento, sobretudo porque utilizo os conhecimentos adquiridos para o fim a que se destinam =).

Recomendo a todos, até mesmo aos manequins completos. Além disso, o material aprendido no segundo parágrafo fornecerá uma ajuda inestimável no cálculo de integrais duplas..

Exemplo 5

Dada uma figura plana delimitada pelas linhas , , .

1) Encontre a área de uma figura plana delimitada por essas linhas.
2) Encontre o volume do corpo obtido girando uma figura plana delimitada por essas linhas em torno do eixo.

Atenção! Mesmo que você queira ler apenas o segundo ponto, primeiro Necessariamente leia o primeiro!

Solução: A tarefa consiste em duas partes. Vamos começar com o quadrado.

1) Vamos fazer um desenho:

É fácil ver que a função especifica o ramo superior da parábola e a função especifica o ramo inferior da parábola. Diante de nós está uma parábola trivial que “está de lado”.

A figura desejada, cuja área pode ser encontrada, está sombreada em azul.

Como encontrar a área de uma figura? Pode ser encontrado da forma “usual”, que foi discutida em aula Integral definida. Como calcular a área de uma figura. Além disso, a área da figura é encontrada como a soma das áreas:
- no segmento ;
- no segmento.

É por isso:

Por que a solução usual é ruim neste caso? Em primeiro lugar, obtivemos duas integrais. Em segundo lugar, integrais são raízes, e raízes em integrais não são um presente e, além disso, você pode ficar confuso ao substituir os limites da integração. Na verdade as integrais, claro, não são matadoras, mas na prática tudo pode ser muito mais triste, apenas selecionei funções “melhores” para o problema.

Existe uma solução mais racional: consiste em passar para funções inversas e integrar ao longo do eixo.

Como chegar às funções inversas? Grosso modo, você precisa expressar “x” até “y”. Primeiro, vejamos a parábola:

Isso é suficiente, mas vamos ter certeza de que a mesma função pode ser derivada do ramo inferior:

É mais fácil com uma linha reta:

Agora olhe para o eixo: incline periodicamente a cabeça 90 graus para a direita enquanto explica (isso não é uma piada!). A figura que precisamos está no segmento indicado pela linha pontilhada vermelha. Neste caso, no segmento a reta está localizada acima da parábola, o que significa que a área da figura deve ser encontrada usando a fórmula que você já conhece: . O que mudou na fórmula? Apenas uma carta e nada mais.

! Observação: Os limites de integração ao longo do eixo devem ser definidos estritamente de baixo para cima!

Encontrando a área:

No segmento, portanto:

Observe como fiz a integração, esta é a forma mais racional, e no próximo parágrafo da tarefa ficará claro o porquê.

Para leitores que duvidam da exatidão da integração, encontrarei derivadas:

A função integrando original é obtida, o que significa que a integração foi realizada corretamente.

Responder:

2) Calculemos o volume do corpo formado pela rotação desta figura em torno do eixo.

Vou redesenhar o desenho com um design ligeiramente diferente:

Assim, a figura sombreada em azul gira em torno do eixo. O resultado é uma “borboleta flutuante” que gira em torno de seu eixo.

Para encontrar o volume de um corpo em rotação, integraremos ao longo do eixo. Primeiro precisamos ir para funções inversas. Isso já foi feito e descrito detalhadamente no parágrafo anterior.

Agora inclinamos a cabeça novamente para a direita e estudamos nossa figura. Obviamente, o volume de um corpo em rotação deve ser encontrado como a diferença de volumes.

Giramos a figura circulada em vermelho em torno do eixo, resultando em um cone truncado. Vamos denotar esse volume por .

Giramos a figura circulada em verde em torno do eixo e a denotamos pelo volume do corpo de rotação resultante.

O volume da nossa borboleta é igual à diferença de volumes.

Usamos a fórmula para encontrar o volume de um corpo de revolução:

Qual é a diferença da fórmula do parágrafo anterior? Somente na carta.

Mas a vantagem da integração, da qual falei recentemente, é muito mais fácil de encontrar , em vez de primeiro elevar o integrando à 4ª potência.

Responder:

No entanto, não é uma borboleta doentia.

Observe que se a mesma figura plana for girada em torno de um eixo, você obterá um corpo de rotação completamente diferente, com um volume diferente, naturalmente.

Exemplo 6

Dada uma figura plana delimitada por linhas e um eixo.

1) Vá para funções inversas e encontre a área de uma figura plana delimitada por essas retas integrando sobre a variável.
2) Calcule o volume do corpo obtido girando uma figura plana delimitada por essas linhas em torno do eixo.

Este é um exemplo para você resolver sozinho. Os interessados também podem encontrar a área de uma figura da forma “habitual”, verificando assim o ponto 1). Mas se, repito, você girar uma figura plana em torno de um eixo, obterá um corpo de rotação completamente diferente e com um volume diferente, aliás, a resposta correta (também para quem gosta de resolver problemas).

A solução completa para os dois pontos propostos da tarefa está no final da lição.

Sim, e não se esqueça de inclinar a cabeça para a direita para compreender os corpos de rotação e os limites de integração!

Definição 3. Um corpo de revolução é um corpo obtido pela rotação de uma figura plana em torno de um eixo que não cruza a figura e está no mesmo plano que ela.

O eixo de rotação pode cruzar a figura se for o eixo de simetria da figura.

Teorema 2.
, eixo
e segmentos retos
E

gira em torno de um eixo
. Então o volume do corpo de rotação resultante pode ser calculado usando a fórmula

(2)

Prova. Para tal corpo, a seção transversal com abcissas é um círculo de raio
, Significa
e a fórmula (1) fornece o resultado desejado.

Se a figura for limitada pelos gráficos de duas funções contínuas
E
e segmentos de linha
E
, e
E
, então, ao girar em torno do eixo x, obtemos um corpo cujo volume

Exemplo 3. Calcule o volume de um toro obtido girando um círculo delimitado por um círculo

em torno do eixo das abcissas.

R decisão. O círculo indicado é limitado abaixo pelo gráfico da função
, e de cima -
. A diferença dos quadrados dessas funções:

Volume necessário

(o gráfico do integrando é o semicírculo superior, então a integral escrita acima é a área do semicírculo).

Exemplo 4. Segmento parabólico com base
e altura , gira em torno da base. Calcule o volume do corpo resultante (“limão” de Cavalieri).

R decisão. Colocaremos a parábola conforme mostrado na figura. Então sua equação
, e
. Vamos encontrar o valor do parâmetro :
. Então, o volume necessário:

Teorema 3. Seja um trapézio curvilíneo limitado pelo gráfico de uma função contínua não negativa
, eixo
e segmentos retos
E
, e
, gira em torno de um eixo
. Então o volume do corpo de rotação resultante pode ser encontrado pela fórmula

(3)

A ideia de prova. Dividimos o segmento
pontos

, em partes e desenhe linhas retas
. Todo o trapézio será decomposto em tiras, que podem ser consideradas aproximadamente retângulos com base
e altura
.

Cortamos o cilindro resultante girando esse retângulo ao longo de sua geratriz e desdobrando-o. Obtemos um “quase” paralelepípedo com dimensões:
,
E
. Seu volume
. Assim, para o volume de um corpo de revolução teremos a igualdade aproximada

Para obter a igualdade exata, deve-se ir até o limite em
. A soma escrita acima é a soma integral da função
, portanto, no limite obtemos a integral da fórmula (3). O teorema foi provado.

Nota 1. Nos Teoremas 2 e 3 a condição
pode ser omitido: a fórmula (2) é geralmente insensível ao sinal
, e na fórmula (3) é suficiente
substituído por
.

Exemplo 5. Segmento parabólico (base
, altura ) gira em torno da altura. Encontre o volume do corpo resultante.

Solução. Vamos colocar a parábola conforme mostrado na figura. E embora o eixo de rotação cruze a figura, ele - o eixo - é o eixo de simetria. Portanto, precisamos considerar apenas a metade direita do segmento. Equação da parábola
, e
, Significa
. Para volume temos:

Nota 2. Se o limite curvilíneo de um trapézio curvilíneo é dado por equações paramétricas
,
,
E
,
então você pode usar as fórmulas (2) e (3) com a substituição sobre
E
sobre
quando isso muda t de
antes .

Exemplo 6. A figura é limitada pelo primeiro arco da ciclóide
,
,
e o eixo x. Encontre o volume do corpo obtido girando esta figura em torno de: 1) eixo
; 2) eixos
.

Solução. 1) Fórmula geral
No nosso caso:

2) Fórmula geral
Para nossa figura:

Convidamos os alunos a realizarem eles próprios todos os cálculos.

Nota 3. Seja um setor curvo delimitado por uma linha contínua
e raios
,

, gira em torno de um eixo polar. O volume do corpo resultante pode ser calculado pela fórmula.

Exemplo 7. Parte de uma figura delimitada por um cardióide
, deitado fora do círculo
, gira em torno de um eixo polar. Encontre o volume do corpo resultante.

Solução. Ambas as linhas e, portanto, a figura que elas limitam, são simétricas em relação ao eixo polar. Portanto, é necessário considerar apenas aquela parte para a qual
. As curvas se cruzam em
E

no
. Além disso, o valor pode ser considerado como a diferença de dois setores e, portanto, o volume pode ser calculado como a diferença de duas integrais. Nós temos:

Tarefas para uma decisão independente.

1. Um segmento circular cuja base
, altura , gira em torno da base. Encontre o volume do corpo de rotação.

2. Encontre o volume de um parabolóide de revolução cuja base , e a altura é .

3. Figura delimitada por um astroide
,
gira em torno do eixo das abcissas. Encontre o volume do corpo resultante.

4. Figura delimitada por linhas
E
gira em torno do eixo x. Encontre o volume do corpo de rotação.

Como calcular o volume de um corpo em rotação
usando uma integral definida?

Em geral, existem muitas aplicações interessantes no cálculo integral; usando uma integral definida, você pode calcular a área de uma figura, o volume de um corpo de rotação, o comprimento de um arco, a área de superfície de rotação e muito mais. Então vai ser divertido, por favor, fique otimista!

- em torno do eixo das abcissas;
- em torno do eixo das ordenadas.

Vamos começar com o tipo de rotação mais popular.

figura plana em torno de um eixo

Calcule o volume de um corpo obtido girando uma figura delimitada por linhas em torno de um eixo.

Solução: Como no problema de encontrar a área, a solução começa com o desenho de uma figura plana. Ou seja, no plano é necessário construir uma figura delimitada pelas retas, e não esquecer que a equação especifica o eixo. Como completar um desenho com mais eficiência e rapidez pode ser encontrado nas páginas Gráficos e propriedades de funções elementares E . Este é um lembrete chinês, e neste ponto não vou me alongar mais.

O desenho aqui é bem simples:

Como calcular o volume de um corpo de revolução?

O volume de um corpo de revolução pode ser calculado usando a fórmula:

Na fórmula, o número deve estar presente antes da integral. Então aconteceu - tudo o que gira na vida está ligado a essa constante.

Acho que é fácil adivinhar como definir os limites de integração “a” e “ser” a partir do desenho concluído.

Função... o que é essa função? Vejamos o desenho. A figura plana é limitada pelo gráfico da parábola no topo. Esta é a função que está implícita na fórmula.

Vamos calcular o volume de um corpo em rotação usando esta fórmula:

Como já observei, a integral quase sempre acaba sendo simples, o principal é ter cuidado.

Responder: