Seção 5 EXPRESSÕES E EQUAÇÕES

Na seção você aprenderá:

ü o expressões e suas simplificações;

ü quais são as propriedades das igualdades;

ü como resolver equações com base nas propriedades das igualdades;

ü que tipos de problemas são resolvidos com a ajuda de equações; o que são linhas perpendiculares e como construí-las;

ü quais linhas são chamadas paralelas e como construí-las;

ü o que é um plano coordenado;

ü como determinar as coordenadas de um ponto em um plano;

ü o que é um gráfico de dependência entre quantidades e como construí-lo;

ü como aplicar o material aprendido na prática

§ 30. EXPRESSÕES E SUA SIMPLIFICAÇÃO

Você já sabe o que são expressões literais e sabe como simplificá-las usando as leis da adição e da multiplicação. Por exemplo, 2a ∙ (-4 b) = -8 ab . Na expressão resultante, o número -8 é chamado de coeficiente da expressão.

Será que a expressão cd coeficiente? Então. é igual a 1 porque cd - 1 ∙ cd .

Lembre-se de que converter uma expressão com parênteses em uma expressão sem parênteses é chamada de expansão de parênteses. Por exemplo: 5(2x + 4) = 10x + 20.

A ação inversa neste exemplo é colocar o fator comum entre colchetes.

Os termos que contêm os mesmos fatores literais são chamados de termos semelhantes. Tirando o fator comum dos colchetes, termos semelhantes são erguidos:

5x + y + 4 - 2x + 6 y - 9 =

= (5x - 2x) + (y + 6y )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* s-5=

B x + 7y - 5.

Regras de expansão de colchetes

1. Se houver um sinal de “+” na frente dos colchetes, ao abrir os colchetes, os sinais dos termos entre colchetes são preservados;

2. Se houver um sinal “-” na frente dos colchetes, quando os colchetes forem abertos, os sinais dos termos entre colchetes serão invertidos.

Tarefa 1 . Simplifique a expressão:

1) 4x+(-7x + 5);

2) 15 anos -(-8 + 7 anos).

Soluções. 1. Há um sinal de “+” antes dos colchetes, portanto, ao abrir os colchetes, os sinais de todos os termos são preservados:

4x + (-7x + 5) \u003d 4x - 7x + 5 \u003d -3x + 5.

2. Antes dos colchetes há um sinal “-”, portanto, durante a abertura dos colchetes: os sinais de todos os termos são invertidos:

15 - (- 8 + 7y) \u003d 15y + 8 - 7y \u003d 8y +8.

Para abrir colchetes, use a propriedade distributiva da multiplicação: a( b + c) = ab + ac. Se a > 0, então os sinais dos termos b e com não mudam. Se um< 0, то знаки слагаемых b e de são invertidos.

Tarefa 2. Simplifique a expressão:

1) 2(6y -8) + 7y;

2) -5 (2-5x) + 12.

Soluções. 1. O fator 2 na frente dos colchetes é positivo, portanto, ao abrir os colchetes, mantemos os sinais de todos os termos: 2(6 y - 8) + 7 y = 12 y - 16 + 7 y = 19 y -16.

2. O fator -5 na frente dos colchetes e é negativo, portanto, ao abrir os colchetes, trocamos os sinais de todos os termos pelos opostos:

5(2 - 5x) + 12 = -10 + 25x +12 = 2 + 25x.

Descubra mais

1. A palavra "soma" vem do latim soma , que significa "total", "total".

2. A palavra "mais" vem do latim mais, que significa "mais", e a palavra "menos" - do latim menos , que significa "menos". Os sinais "+" e "-" são usados ​​para indicar as operações de adição e subtração. Esses sinais foram introduzidos pelo cientista tcheco J. Vidman em 1489 no livro "Uma conta rápida e agradável para todos os comerciantes"(Fig. 138).

Arroz. 138

LEMBRE-SE DAS PRINCIPAIS COISAS

1. Que termos são chamados de semelhantes? Como os termos semelhantes são construídos?

2. Como você abre colchetes precedidos por um sinal “+”?

3. Como você abre colchetes precedidos por um sinal "-"?

4. Como você abre colchetes que são precedidos por um fator positivo?

5. Como você abre colchetes que são precedidos por um fator negativo?

1374". Nomeie o coeficiente da expressão:

1) 12a; 3) -5,6 xy;

2)4 6; 4)-s.

1375". Nomeie os termos que diferem apenas pelo coeficiente:

1) 10a + 76-26 + a; 3) 5n + 5m -4n + 4;

2) bc -4d - bc + 4d; 4) 5x + 4y-x + y.

Como são chamados esses termos?

1376". Existem termos semelhantes na expressão:

1) 11a + 10a; 3)6n + 15n; 5) 25r - 10r + 15r;

2) 14s-12; 4)12 m + m; 6) 8k +10k - n?

1377". É necessário alterar os sinais dos termos entre colchetes, abrindo os colchetes na expressão:

1)4 + (a + 3b); 2)-c+(5-d); 3) 16-(5m-8n)?

1378°. Simplifique a expressão e sublinhe o coeficiente:

1379°. Simplifique a expressão e sublinhe o coeficiente:

1380°. Reduza termos semelhantes:

1) 4a - Po + 6a - 2a; 4) 10 - 4 d - 12 + 4d;

2) 4b - 5b + 4 + 5b; 5) 5a - 12b - 7a + 5b;

3)-7ang="PT-BR">c+ 5-3 c + 2; 6) 14 n - 12 m -4 n -3 m.

1381°. Reduza termos semelhantes:

1) 6a - 5a + 8a -7a; 3) 5s + 4-2s-3s;

2)9b +12-8-46; 4) -7n + 8m - 13n - 3m.

1382°. Retire o fator comum entre parênteses:

1) 1,2 a +1,2 b; 3) -3n - 1,8m; 5) -5p + 2,5k -0,5t;

2) 0,5 s + 5d; 4) 1,2n - 1,8m; 6) -8p - 10k - 6t.

1383°. Retire o fator comum entre parênteses:

1) 6a-12b; 3) -1,8n -3,6m;

2) -0,2 s + 1 4 d; A) 3p - 0,9k + 2,7t.

1384°. Abra colchetes e reduza termos semelhantes;

1) 5 + (4a -4); 4) -(5c - d) + (4d + 5c);

2) 17x-(4x-5); 5) (n - m) - (-2 m - 3 n);

3) (76 - 4) - (46 + 2); 6) 7 (-5x + y) - (-2y + 4x) + (x - 3y).

1385°. Abra os colchetes e reduza os termos semelhantes:

1) 10a + (4 - 4a); 3) (s - 5 d) - (- d + 5s);

2) -(46-10) + (4-56); 4) - (5 n + m) + (-4 n + 8 m) - (2 m -5 n).

1386°. Expanda os colchetes e encontre o significado da expressão:

1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);

2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).

1387°. Expanda os colchetes e encontre o significado da expressão:

1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);

2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).

1388°. Abra parênteses:

1) 0,5 ∙ (a + 4); 4) (n - m) ∙ (-2,4 p);

2)-s ∙ (2,7-1,2 d ); 5) 3 ∙ (-1,5 p + k - 0,2 t);

3) 1,6 ∙ (2n + m); 6) (4,2 p - 3,5 k -6 t) ∙ (-2a).

1389°. Abra parênteses:

1) 2,2 ∙ (x-4); 3)(4 c - d )∙(-0,5 y );

2) -2 ∙ (1,2 n - m); 4) 6-(-p + 0,3 k - 1,2 t).

1390. Simplifique a expressão:

1391. Simplifique a expressão:

1392. Reduza termos semelhantes:

1393. Reduza termos semelhantes:

1394. Simplifique a expressão:

1) 2,8 - (0,5 a + 4) - 2,5 ∙ (2a - 6);

2) -12 ∙ (8 - 2, por) + 4,5 ∙ (-6 y - 3,2);

4) (-12,8 m + 24,8 n) ∙ (-0,5)-(3,5 m -4,05 m) ∙ 2.

1395. Simplifique a expressão:

1396. Encontre o significado da expressão;

1) 4-(0,2 a-3) - (5,8 a-16), se \u003d -5;

2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), se = -0,8;

m = 0,25, n = 5,7.

1397. Encontre o valor da expressão:

1) -4∙ (i-2) + 2∙(6x - 1), se x = -0,25;

1398*. Encontre o erro na solução:

1) 5- (a-2,4) -7 ∙ (-a + 1,2) \u003d 5a - 12-7a + 8,4 \u003d -2a-3,6;

2) -4 ∙ (2,3 a - 6) + 4,2 ∙ (-6 - 3,5 a) \u003d -9,2 a + 46 + 4,26 - 14,7 a \u003d -5,5 a + 8,26.

1399*. Expanda os colchetes e simplifique a expressão:

1) 2ab - 3(6(4a - 1) - 6(6 - 10a)) + 76;

1400*. Organize os parênteses para obter a igualdade correta:

1) a-6-a + 6 \u003d 2a; 2) a -2 b -2 a + b \u003d 3 a -3 b.

1401*. Prove que para quaisquer números a e b se a > b , então vale a seguinte igualdade:

1) (a + b) + (a-b) \u003d 2a; 2) (a + b) - (a - b) \u003d 2 b.

Esta igualdade será correta se: a) a< b; b) a = 6?

1402*. Prove que para qualquer número natural a, a média aritmética dos números anteriores e seguintes é igual ao número a.

APLICAR NA PRÁTICA

1403. Para preparar uma sobremesa de frutas para três pessoas, você precisa de: 2 maçãs, 1 laranja, 2 bananas e 1 kiwi. Como fazer uma expressão de letra para determinar a quantidade de frutas necessária para preparar uma sobremesa para os convidados? Ajude Marin a calcular quantas frutas ela precisa comprar se for visitar: 1) 5 amigos; 2) 8 amigos.

1404. Faça uma expressão literal para determinar o tempo necessário para completar o dever de casa em matemática, se:

1) um minuto foi gasto na resolução de problemas; 2) a simplificação de expressões é 2 vezes mais do que para resolver problemas. Quanto tempo Vasilko fez sua lição de casa se passou 15 minutos resolvendo problemas?

1405. O almoço na cantina da escola consiste em salada, borscht, rolinhos de repolho e compota. O custo da salada é de 20%, borscht - 30%, rolinhos de repolho - 45%, compota - 5% do custo total de toda a refeição. Escreva uma expressão para encontrar o custo do almoço no refeitório da escola. Quanto custa o almoço se o preço de uma salada for 2 UAH?

TAREFAS DE REPETIÇÃO

1406. Resolva a equação:

1407. Tanya gastou em sorvetetodo o dinheiro disponível, e para doces -o resto. Quanto dinheiro Tanya tem?

se os doces custam 12 UAH?

Alguns exemplos algébricos de um tipo são capazes de aterrorizar crianças em idade escolar. Expressões longas não são apenas intimidantes, mas também muito difíceis de calcular. Tentando entender imediatamente o que se segue e o que se segue, para não se confundir por muito tempo. É por essa razão que os matemáticos sempre tentam simplificar ao máximo a tarefa “terrível” e só então passam a resolvê-la. Curiosamente, esse truque acelera muito o processo.

A simplificação é um dos pontos fundamentais da álgebra. Se em tarefas simples ainda é possível prescindir dele, então exemplos mais difíceis de calcular podem ser “muito difíceis”. É aqui que essas habilidades são úteis! Além disso, não são necessários conhecimentos matemáticos complexos: basta lembrar e aprender a colocar em prática algumas técnicas e fórmulas básicas.

Independentemente da complexidade dos cálculos, ao resolver qualquer expressão, é importante seguir a ordem das operações com números:

1. parênteses;
2. exponenciação;
3. multiplicação;
4. divisão;
5. Adição;
6. subtração.

Os dois últimos pontos podem ser trocados com segurança e isso não afetará o resultado de forma alguma. Mas somar dois números vizinhos, quando ao lado de um deles há um sinal de multiplicação, é absolutamente impossível! A resposta, se houver, está errada. Portanto, você precisa se lembrar da sequência.

O uso de tal

Tais elementos incluem números com uma variável da mesma ordem ou do mesmo grau. Existem também os chamados membros livres que não têm ao lado a letra de designação do desconhecido.

A linha inferior é que, na ausência de parênteses Você pode simplificar a expressão adicionando ou subtraindo como.

Alguns exemplos ilustrativos:

• 8x 2 e 3x 2 - ambos os números têm a mesma variável de segunda ordem, portanto são semelhantes e, quando adicionados, são simplificados para (8+3)x 2 = 11x 2, enquanto quando subtraídos, resulta (8-3) x 2 = 5 x 2;
• 4x 3 e 6x - e aqui "x" tem um grau diferente;
• 2y 7 e 33x 7 - contêm variáveis ​​diferentes, portanto, como no caso anterior, não pertencem a semelhantes.

Fatorando um número

Este pequeno truque matemático, se você aprender a usá-lo corretamente, o ajudará a lidar com um problema complicado mais de uma vez no futuro. E é fácil entender como o “sistema” funciona: uma decomposição é um produto de vários elementos, cujo cálculo dá o valor original. Assim, 20 pode ser representado como 20x1, 2x10, 5x4, 2x5x2 ou de alguma outra forma.

Em uma nota: os multiplicadores são sempre iguais aos divisores. Portanto, você precisa procurar um “par” de trabalho para expansão entre os números pelos quais o original é divisível sem resto.

Você pode realizar tal operação tanto com membros livres quanto com dígitos anexados a uma variável. O principal é não perder o último durante os cálculos - mesmo após a decomposição, o desconhecido não pode levar e "ir a lugar nenhum". Permanece em um dos fatores:

• 15x=3(5x);
• 60 anos 2 \u003d (15 anos 2) 4.

Números primos que só podem ser divididos por eles mesmos ou 1 nunca fatoram - não faz sentido..

Métodos básicos de simplificação

A primeira coisa que chama a atenção:

• a presença de colchetes;
• frações;
• raízes.

Exemplos algébricos no currículo escolar são muitas vezes compilados com a suposição de que podem ser lindamente simplificados.

Cálculos de colchetes

Preste muita atenção ao sinal na frente dos suportes! A multiplicação ou divisão é aplicada a cada elemento dentro e menos - inverte os sinais "+" ou "-" existentes.

Os parênteses são calculados de acordo com as regras ou de acordo com as fórmulas de multiplicação abreviada, após o que são fornecidas as semelhantes.

Redução de fração

Reduzir frações também é fácil. Eles mesmos “fugiam voluntariamente” de vez em quando, vale a pena fazer operações para trazer esses membros. Mas você pode simplificar o exemplo antes mesmo disso: preste atenção no numerador e denominador. Eles geralmente contêm elementos explícitos ou ocultos que podem ser mutuamente reduzidos. É verdade, se no primeiro caso você precisa apenas deletar o supérfluo, no segundo você terá que pensar, trazendo parte da expressão para o formulário para simplificação. Métodos usados:

• busca e colchetes do máximo divisor comum do numerador e denominador;
• dividindo cada elemento superior pelo denominador.

Quando uma expressão ou parte dela está sob a raiz, o problema de simplificação primário é quase o mesmo que no caso das frações. É necessário buscar maneiras de se livrar dele completamente ou, se isso não for possível, minimizar o sinal que interfere nos cálculos. Por exemplo, para discreto √(3) ou √(7).

Uma maneira segura de simplificar a expressão radical é tentar fatorá-la, alguns dos quais estão fora do signo. Um exemplo ilustrativo: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).

Outros pequenos truques e nuances:

• esta operação de simplificação pode ser realizada com frações, retirando-a do sinal tanto como um todo quanto separadamente como numerador ou denominador;
• é impossível decompor e tirar uma parte da soma ou diferença além da raiz;
• ao trabalhar com variáveis, certifique-se de levar em consideração seu grau, deve ser igual ou múltiplo da raiz para a possibilidade de renderização: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3)= √(x 2 ×x)=x√(x);
• às vezes é permitido se livrar da variável radical elevando-a a uma potência fracionária: √ (y 3)=y 3/2.

Simplificação da expressão de energia

Se no caso de cálculos simples por menos ou mais, os exemplos são simplificados trazendo os semelhantes, então o que dizer na multiplicação ou divisão de variáveis ​​com potências diferentes? Eles podem ser facilmente simplificados lembrando dois pontos principais:

1. Se houver um sinal de multiplicação entre as variáveis, os expoentes são somados.
2. Quando eles são divididos entre si, o mesmo denominador é subtraído do grau do numerador.

A única condição para tal simplificação é que ambos os termos tenham a mesma base. Exemplos para maior clareza:

• 5x 2 × 4x 7 + (y 13 / y 11) \u003d (5 × 4)x 2+7 + y 13- 11 \u003d 20x 9 + y 2;
• 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 = 0.

Observamos que as operações com valores numéricos na frente de variáveis ​​ocorrem de acordo com as regras matemáticas usuais. E se você olhar de perto, fica claro que os elementos de poder da expressão “funcionam” de forma semelhante:

• elevar um membro a uma potência significa multiplicá-lo por si mesmo um certo número de vezes, ou seja, x 2 \u003d x × x;
• a divisão é semelhante: se você expandir o grau do numerador e do denominador, algumas das variáveis ​​serão reduzidas, enquanto o restante será “reunido”, o que equivale à subtração.

Como em qualquer negócio, ao simplificar expressões algébricas, é necessário não apenas o conhecimento do básico, mas também a prática. Após algumas aulas, exemplos que antes pareciam complicados serão reduzidos sem muita dificuldade, transformando-se em exemplos curtos e de fácil resolução.

Vídeo

Este vídeo ajudará você a entender e lembrar como as expressões são simplificadas.

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Entre as várias expressões consideradas na álgebra, as somas de monômios ocupam um lugar importante. Aqui estão alguns exemplos de tais expressões:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

A soma dos monômios é chamada de polinômio. Os termos em um polinômio são chamados de membros do polinômio. Os mononômios também são chamados de polinômios, considerando um monômio como um polinômio que consiste em um membro.

Por exemplo, polinômio
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
pode ser simplificado.

Representamos todos os termos como monômios da forma padrão:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Damos termos semelhantes no polinômio resultante:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
O resultado é um polinômio, todos os membros do qual são monômios da forma padrão e entre eles não há semelhantes. Esses polinômios são chamados polinômios de forma padrão.

Atras do grau polinomial formulário padrão tomar o maior dos poderes de seus membros. Assim, o binômio \(12a^2b - 7b \) tem o terceiro grau, e o trinômio \(2b^2 -7b + 6 \) tem o segundo.

Normalmente, os termos de polinômios de forma padrão contendo uma variável são organizados em ordem decrescente de seus expoentes. Por exemplo:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

A soma de vários polinômios pode ser convertida (simplificada) em um polinômio de forma padrão.

Às vezes, os membros de um polinômio precisam ser divididos em grupos, colocando cada grupo entre parênteses. Como os parênteses são o oposto dos parênteses, é fácil formular regras de abertura de parênteses:

Se o sinal + for colocado antes dos colchetes, os termos entre colchetes serão escritos com os mesmos sinais.

Se um sinal "-" for colocado na frente dos colchetes, os termos entre colchetes serão escritos com sinais opostos.

Transformação (simplificação) do produto de um monômio e um polinômio

Usando a propriedade distributiva da multiplicação, pode-se transformar (simplificar) o produto de um monômio e um polinômio em um polinômio. Por exemplo:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

O produto de um monômio e de um polinômio é identicamente igual à soma dos produtos desse monômio e cada um dos termos do polinômio.

Este resultado é geralmente formulado como uma regra.

Para multiplicar um monômio por um polinômio, deve-se multiplicar esse monômio por cada um dos termos do polinômio.

Usamos repetidamente essa regra para multiplicar por uma soma.

O produto de polinômios. Transformação (simplificação) do produto de dois polinômios

Em geral, o produto de dois polinômios é identicamente igual à soma do produto de cada termo de um polinômio e cada termo do outro.

Geralmente use a seguinte regra.

Para multiplicar um polinômio por um polinômio, você precisa multiplicar cada termo de um polinômio por cada termo do outro e adicionar os produtos resultantes.

Fórmulas de multiplicação abreviadas. Quadrados de Soma, Diferença e Diferença

Algumas expressões em transformações algébricas precisam ser tratadas com mais frequência do que outras. Talvez as expressões mais comuns sejam \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) e \(a^2 - b^2 \), ou seja, o quadrado da soma, o quadrado da diferença e diferença quadrada. Você notou que os nomes dessas expressões parecem incompletos, então, por exemplo, \((a + b)^2 \) é, obviamente, não apenas o quadrado da soma, mas o quadrado da soma de a e b. No entanto, o quadrado da soma de a e b não é tão comum, como regra, em vez das letras a e b, contém várias expressões, às vezes bastante complexas.

As expressões \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) são fáceis de converter (simplificar) em polinômios da forma padrão; de fato, você já encontrou essa tarefa ao multiplicar polinômios :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

As identidades resultantes são úteis para serem lembradas e aplicadas sem cálculos intermediários. Formulações verbais curtas ajudam nisso.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - o quadrado da soma é igual à soma dos quadrados e o produto duplo.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - o quadrado da diferença é a soma dos quadrados sem dobrar o produto.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - a diferença de quadrados é igual ao produto da diferença pela soma.

Essas três identidades permitem transformações para substituir suas partes esquerdas por direitas e vice-versa - partes direitas por esquerdas. O mais difícil neste caso é ver as expressões correspondentes e entender o que as variáveis ​​a e b são substituídas nelas. Vejamos alguns exemplos de uso de fórmulas de multiplicação abreviadas.

No século V aC, o antigo filósofo grego Zenão de Elea formulou suas famosas aporias, das quais a mais famosa é a aporia "Aquiles e a tartaruga". Aqui está como soa:

Digamos que Aquiles corra dez vezes mais rápido que a tartaruga e esteja mil passos atrás dela. Durante o tempo em que Aquiles percorre essa distância, a tartaruga rasteja cem passos na mesma direção. Quando Aquiles tiver dado cem passos, a tartaruga rastejará outros dez passos, e assim por diante. O processo continuará indefinidamente, Aquiles nunca alcançará a tartaruga.

Esse raciocínio se tornou um choque lógico para todas as gerações subsequentes. Aristóteles, Diógenes, Kant, Hegel, Gilbert... Todos eles, de uma forma ou de outra, consideravam as aporias de Zenão. O choque foi tão forte que " ... as discussões continuam no momento, a comunidade científica ainda não conseguiu chegar a uma opinião comum sobre a essência dos paradoxos ... análise matemática, teoria dos conjuntos, novas abordagens físicas e filosóficas estiveram envolvidas no estudo do assunto ; nenhum deles se tornou uma solução universalmente aceita para o problema..."[Wikipedia," Aporias de Zenão "]. Todos entendem que estão sendo enganados, mas ninguém entende qual é o engano.

Do ponto de vista da matemática, Zenão em sua aporia demonstrou claramente a transição do valor para. Esta transição implica aplicar em vez de constantes. Tanto quanto eu entendo, o aparato matemático para aplicar unidades de medida variáveis ​​ainda não foi desenvolvido ou não foi aplicado à aporia de Zenão. A aplicação de nossa lógica usual nos leva a uma armadilha. Nós, pela inércia do pensamento, aplicamos unidades constantes de tempo ao recíproco. Do ponto de vista físico, isso parece uma desaceleração no tempo até parar completamente no momento em que Aquiles alcança a tartaruga. Se o tempo parar, Aquiles não pode mais ultrapassar a tartaruga.

Se virarmos a lógica a que estamos acostumados, tudo se encaixa. Aquiles corre a uma velocidade constante. Cada segmento subsequente de seu caminho é dez vezes mais curto que o anterior. Assim, o tempo gasto para superá-lo é dez vezes menor que o anterior. Se aplicarmos o conceito de "infinito" nessa situação, seria correto dizer "Aquiles ultrapassará a tartaruga infinitamente rapidamente".

Como evitar essa armadilha lógica? Permaneça em unidades de tempo constantes e não mude para valores recíprocos. Na linguagem de Zeno, fica assim:

No tempo que Aquiles leva para correr mil passos, a tartaruga rasteja cem passos na mesma direção. Durante o próximo intervalo de tempo, igual ao primeiro, Aquiles dará mais mil passos e a tartaruga rastejará cem passos. Agora Aquiles está oitocentos passos à frente da tartaruga.

Esta abordagem descreve adequadamente a realidade sem quaisquer paradoxos lógicos. Mas esta não é uma solução completa para o problema. A afirmação de Einstein sobre a intransponibilidade da velocidade da luz é muito semelhante à aporia de Zenão "Aquiles e a tartaruga". Ainda temos que estudar, repensar e resolver esse problema. E a solução deve ser buscada não em números infinitamente grandes, mas em unidades de medida.

Outra aporia interessante de Zenão fala de uma flecha voadora:

Uma flecha voadora é imóvel, pois a cada momento está em repouso, e como está em repouso a cada momento, está sempre em repouso.

Nesta aporia, o paradoxo lógico é superado de forma muito simples - basta esclarecer que a cada momento a flecha voadora está em repouso em diferentes pontos do espaço, o que, na verdade, é movimento. Há outro ponto a ser observado aqui. A partir de uma fotografia de um carro na estrada, é impossível determinar o fato de seu movimento ou a distância até ele. Para determinar o fato do movimento do carro, são necessárias duas fotografias tiradas do mesmo ponto em pontos diferentes no tempo, mas não podem ser usadas para determinar a distância. Para determinar a distância até o carro, você precisa de duas fotografias tiradas de diferentes pontos no espaço ao mesmo tempo, mas não pode determinar o fato do movimento delas (naturalmente, você ainda precisa de dados adicionais para cálculos, a trigonometria o ajudará). O que quero salientar em particular é que dois pontos no tempo e dois pontos no espaço são duas coisas diferentes que não devem ser confundidas, pois oferecem diferentes oportunidades de exploração.

quarta-feira, 4 de julho de 2018

Muito bem as diferenças entre set e multiset estão descritas na Wikipedia. Nós olhamos.

Como você pode ver, "o conjunto não pode ter dois elementos idênticos", mas se houver elementos idênticos no conjunto, esse conjunto é chamado de "multiconjunto". Os seres racionais jamais compreenderão tal lógica do absurdo. Este é o nível de papagaios falantes e macacos treinados, no qual a mente está ausente da palavra "completamente". Os matemáticos agem como treinadores comuns, pregando suas ideias absurdas para nós.

Era uma vez, os engenheiros que construíram a ponte estavam em um barco debaixo da ponte durante os testes da ponte. Se a ponte desabasse, o engenheiro medíocre morria sob os escombros de sua criação. Se a ponte pudesse suportar a carga, o talentoso engenheiro construiu outras pontes.

Por mais que os matemáticos se escondam atrás da frase "cuidado comigo, estou em casa", ou melhor, "a matemática estuda conceitos abstratos", há um cordão umbilical que os conecta inextricavelmente com a realidade. Este cordão umbilical é dinheiro. Vamos aplicar a teoria dos conjuntos matemáticos aos próprios matemáticos.

Estudamos matemática muito bem e agora estamos sentados no caixa, pagando salários. Aqui um matemático vem até nós por seu dinheiro. Contamos toda a quantia para ele e colocamos em nossa mesa em pilhas diferentes, nas quais colocamos notas do mesmo valor. Em seguida, pegamos uma nota de cada pilha e damos ao matemático seu "conjunto de salários matemáticos". Explicamos a matemática que ele só receberá o restante das contas quando provar que o conjunto sem elementos idênticos não é igual ao conjunto com elementos idênticos. Isto é onde a diversão começa.

Em primeiro lugar, a lógica dos deputados funcionará: "você pode aplicar aos outros, mas não a mim!" Além disso, começarão as garantias de que existem números de notas diferentes nas notas da mesma denominação, o que significa que elas não podem ser consideradas elementos idênticos. Bem, contamos o salário em moedas - não há números nas moedas. Aqui o matemático lembrará freneticamente da física: moedas diferentes têm quantidades diferentes de sujeira, a estrutura cristalina e o arranjo dos átomos para cada moeda são únicos ...

E agora eu tenho a pergunta mais interessante: onde está o limite além do qual elementos de um multiconjunto se transformam em elementos de um conjunto e vice-versa? Tal linha não existe - tudo é decidido pelos xamãs, a ciência aqui não está nem perto.

Olhe aqui. Selecionamos estádios de futebol com a mesma área de campo. A área dos campos é a mesma, o que significa que temos um multiset. Mas se considerarmos os nomes dos mesmos estádios, conseguimos muito, porque os nomes são diferentes. Como você pode ver, o mesmo conjunto de elementos é um conjunto e um multiconjunto ao mesmo tempo. Como certo? E aqui o matemático-xamã-shuller tira um ás de trunfo da manga e começa a nos falar sobre um conjunto ou um multiconjunto. De qualquer forma, ele nos convencerá de que está certo.

Para entender como os xamãs modernos operam com a teoria dos conjuntos, atrelando-a à realidade, basta responder a uma pergunta: como os elementos de um conjunto diferem dos elementos de outro conjunto? Vou lhe mostrar, sem nenhum "concebível como um todo" ou "não concebível como um todo".

domingo, 18 de março de 2018

A soma dos dígitos de um número é uma dança de xamãs com um pandeiro, que nada tem a ver com matemática. Sim, nas aulas de matemática somos ensinados a encontrar a soma dos dígitos de um número e usá-la, mas eles são xamãs para isso, para ensinar seus descendentes suas habilidades e sabedoria, caso contrário os xamãs simplesmente morrerão.

Você precisa de provas? Abra a Wikipedia e tente encontrar a página "Soma de dígitos de um número". Ela não existe. Não existe uma fórmula em matemática pela qual você possa encontrar a soma dos dígitos de qualquer número. Afinal, os números são símbolos gráficos com os quais escrevemos números e, na linguagem da matemática, a tarefa soa assim: "Encontre a soma dos símbolos gráficos que representam qualquer número". Os matemáticos não podem resolver este problema, mas os xamãs podem fazê-lo de forma elementar.

Vamos descobrir o que e como fazemos para encontrar a soma dos dígitos de um determinado número. E assim, digamos que temos o número 12345. O que precisa ser feito para encontrar a soma dos dígitos desse número? Vamos considerar todas as etapas em ordem.

1. Anote o número em um pedaço de papel. O que nos fizemos? Convertemos o número em um símbolo gráfico numérico. Esta não é uma operação matemática.

2. Cortamos uma foto recebida em várias fotos contendo números separados. Cortar uma imagem não é uma operação matemática.

3. Converta caracteres gráficos individuais em números. Esta não é uma operação matemática.

4. Some os números resultantes. Agora isso é matemática.

A soma dos dígitos do número 12345 é 15. São os "cursos de corte e costura" dos xamãs usados ​​pelos matemáticos. Mas isso não é tudo.

Do ponto de vista da matemática, não importa em qual sistema numérico escrevemos o número. Assim, em diferentes sistemas numéricos, a soma dos dígitos do mesmo número será diferente. Em matemática, o sistema numérico é indicado como um subscrito à direita do número. Com um grande número de 12345, não quero enganar minha cabeça, considere o número 26 do artigo sobre. Vamos escrever este número em sistemas numéricos binários, octais, decimais e hexadecimais. Não consideraremos cada etapa sob um microscópio, já fizemos isso. Vejamos o resultado.

Como você pode ver, em diferentes sistemas numéricos, a soma dos dígitos do mesmo número é diferente. Este resultado não tem nada a ver com matemática. É como encontrar a área de um retângulo em metros e centímetros lhe daria resultados completamente diferentes.

Zero em todos os sistemas numéricos parece o mesmo e não tem soma de dígitos. Este é outro argumento a favor do fato de que . Uma pergunta para os matemáticos: como se denota em matemática aquilo que não é um número? O que, para os matemáticos, nada além de números existe? Para os xamãs, posso permitir isso, mas para os cientistas, não. A realidade não é apenas sobre números.

O resultado obtido deve ser considerado como prova de que os sistemas numéricos são unidades de medida dos números. Afinal, não podemos comparar números com unidades de medida diferentes. Se as mesmas ações com diferentes unidades de medida da mesma quantidade levam a resultados diferentes depois de compará-las, isso não tem nada a ver com matemática.

O que é matemática de verdade? É quando o resultado de uma ação matemática não depende do valor do número, da unidade de medida utilizada e de quem realiza essa ação.

Sinal na porta Abre a porta e diz:

Ai! Este não é o banheiro feminino?
- Jovem! Este é um laboratório para estudar a santidade indefinida das almas após a ascensão ao céu! Nimbus no topo e seta para cima. Que outro banheiro?

Feminino... Uma auréola em cima e uma seta para baixo é masculina.

Se você tem uma obra de arte de design piscando diante de seus olhos várias vezes ao dia,

Então não é de surpreender que de repente você encontre um ícone estranho em seu carro:

Pessoalmente, eu me esforço para ver menos quatro graus em uma pessoa fazendo cocô (uma foto) (composição de várias fotos: sinal de menos, número quatro, designação de graus). E eu não considero essa garota uma tola que não sabe física. Ela só tem um estereótipo de arco de percepção de imagens gráficas. E os matemáticos nos ensinam isso o tempo todo. Aqui está um exemplo.

1A não é "menos quatro graus" ou "um a". Isso é "pooping man" ou o número "vinte e seis" no sistema numérico hexadecimal. As pessoas que trabalham constantemente nesse sistema numérico percebem automaticamente o número e a letra como um símbolo gráfico.

Simplificar expressões algébricas é uma das chaves para aprender álgebra e uma habilidade extremamente útil para todos os matemáticos. A simplificação permite reduzir uma expressão complexa ou longa a uma expressão simples com a qual é fácil trabalhar. As habilidades básicas de simplificação são boas mesmo para aqueles que não são entusiastas da matemática. Seguindo algumas regras simples, muitos dos tipos mais comuns de expressões algébricas podem ser simplificados sem nenhum conhecimento matemático especial.

Passos

Definições importantes

1. Membros semelhantes. São membros com uma variável da mesma ordem, membros com as mesmas variáveis ​​ou membros livres (membros que não contêm uma variável). Em outras palavras, termos semelhantes incluem uma variável na mesma extensão, incluem várias variáveis ​​idênticas ou não incluem uma variável. A ordem dos termos na expressão não importa.

   • Por exemplo, 3x 2 e 4x 2 são termos semelhantes porque contêm a variável "x" de segunda ordem (na segunda potência). No entanto, x e x 2 não são membros semelhantes, pois contêm a variável "x" de ordens diferentes (primeira e segunda). Da mesma forma, -3yx e 5xz não são membros semelhantes porque contêm variáveis ​​diferentes.

2. Fatoração. Isso é encontrar esses números, cujo produto leva ao número original. Qualquer número original pode ter vários fatores. Por exemplo, o número 12 pode ser decomposto na seguinte série de fatores: 1 × 12, 2 × 6 e 3 × 4, então podemos dizer que os números 1, 2, 3, 4, 6 e 12 são fatores do número 12. Os fatores são os mesmos que os divisores, ou seja, os números pelos quais o número original é divisível.

   • Por exemplo, se você quiser fatorar o número 20, escreva assim: 4×5.
   • Observe que, ao fatorar, a variável é levada em consideração. Por exemplo, 20x = 4(5x).
   • Os números primos não podem ser fatorados porque são divisíveis apenas por eles mesmos e por 1.

3. Lembre-se e siga a ordem das operações para evitar erros.

   • Parênteses
   • Grau
   • Multiplicação
   • Divisão
   • Adição
   • Subtração

   Elenco como membros

   1. Anote a expressão. As expressões algébricas mais simples (que não contêm frações, raízes e assim por diante) podem ser resolvidas (simplificadas) em apenas alguns passos.

      • Por exemplo, simplifique a expressão 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Defina membros semelhantes (membros com uma variável da mesma ordem, membros com as mesmas variáveis ​​ou membros livres).

      • Encontre termos semelhantes nesta expressão. Os termos 2x e 4x contêm uma variável da mesma ordem (primeira). Além disso, 1 e -3 são membros livres (não contêm uma variável). Assim, nesta expressão, os termos 2x e 4x são semelhantes, e os membros 1 e -3 também são semelhantes.

   3. Dê termos semelhantes. Isso significa adicioná-los ou subtraí-los e simplificar a expressão.

      • 2x+4x= 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Reescreva a expressão levando em consideração os termos dados. Você obterá uma expressão simples com menos termos. A nova expressão é igual à original.

      • No nosso exemplo: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, ou seja, a expressão original é simplificada e mais fácil de trabalhar.

   5. Observe a ordem em que as operações são executadas ao lançar termos semelhantes. No nosso exemplo, foi fácil trazer termos semelhantes. No entanto, no caso de expressões complexas em que os membros estão entre colchetes e estão presentes frações e raízes, não é tão fácil trazer tais termos. Nesses casos, siga a ordem das operações.

      • Por exemplo, considere a expressão 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Aqui seria um erro definir imediatamente 3x e 2x como termos semelhantes e citá-los, porque os parênteses precisam ser expandidos primeiro. Portanto, execute as operações em sua ordem.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Agora, quando a expressão contém apenas operações de adição e subtração, você pode converter termos semelhantes.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12 x + 3

   Colocar o multiplicador entre parênteses

   1. Encontre o máximo divisor comum (mcd) de todos os coeficientes da expressão. GCD é o maior número pelo qual todos os coeficientes da expressão são divisíveis.

      • Por exemplo, considere a equação 9x 2 + 27x - 3. Neste caso, mdc=3, pois qualquer coeficiente desta expressão é divisível por 3.

   2. Divida cada termo da expressão por mdc. Os termos resultantes conterão coeficientes menores do que na expressão original.

      • Em nosso exemplo, divida cada termo de expressão por 3.
        • 9x2/3=3x2
        • 27x/3=9x
        • -3/3 = -1
        • Descobriu-se a expressão 3x2 + 9x-1. Não é igual à expressão original.

   3. Escreva a expressão original como igual ao produto de gcd pela expressão resultante. Ou seja, coloque a expressão resultante entre colchetes e coloque o GCD fora dos colchetes.

      • Em nosso exemplo: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)

   4. Simplificando expressões fracionárias tirando o multiplicador dos colchetes. Por que apenas tirar o multiplicador dos colchetes, como foi feito anteriormente? Em seguida, para aprender a simplificar expressões complexas, como expressões fracionárias. Nesse caso, colocar o multiplicador entre parênteses pode ajudar a eliminar a fração (o denominador).

      • Por exemplo, considere a expressão fracionária (9x 2 + 27x - 3)/3. Use parênteses para simplificar essa expressão.
        • Fatore o fator 3 (como você fez antes): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Observe que tanto o numerador quanto o denominador agora têm o número 3. Isso pode ser reduzido e você obtém a expressão: (3x 2 + 9x - 1) / 1
        • Como qualquer fração que tenha o número 1 no denominador é exatamente igual ao numerador, a expressão fracionária original é simplificada para: 3x2 + 9x-1.

   Técnicas de simplificação adicionais

4. Considere um exemplo simples: √(90). O número 90 pode ser decomposto nos seguintes fatores: 9 e 10, e de 9 tire a raiz quadrada (3) e tire 3 debaixo da raiz.
   • √(90)
   • √(9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. Simplificando expressões com potências. Em algumas expressões, existem operações de multiplicação ou divisão de termos com grau. No caso de multiplicação de termos com uma base, somam-se seus graus; no caso de dividir termos com a mesma base, seus graus são subtraídos.

   • Por exemplo, considere a expressão 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15). No caso de multiplicação, some os expoentes e, no caso de divisão, subtraia-os.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
     • (6 × 8) x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x7+x2
   • A seguir está uma explicação da regra para multiplicar e dividir termos com um grau.
     • Multiplicar termos com potências equivale a multiplicar termos por si mesmos. Por exemplo, como x 3 = x × x × x e x 5 = x × x × x × x × x, então x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), ou x8.
     • Da mesma forma, dividir termos com potências é equivalente a dividir termos por si mesmos. x 5 /x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x). Como termos semelhantes que estão no numerador e no denominador podem ser reduzidos, o produto de dois "x", ou x 2, permanece no numerador.

• Esteja sempre atento aos sinais (mais ou menos) na frente dos termos de uma expressão, pois muitas pessoas têm dificuldade em escolher o sinal certo.
• Peça ajuda se necessário!
• Simplificar expressões algébricas não é fácil, mas se você colocar as mãos nisso, poderá usar essa habilidade por toda a vida.