Cálculo de erros em medições diretas e indiretas
A medição é entendida como uma comparação do valor medido com outro valor, tomado como unidade de medida. As medições são realizadas empiricamente usando meios técnicos especiais.
As medições diretas são chamadas de medições, cujo resultado é obtido diretamente de dados experimentais (por exemplo, medir comprimento com uma régua, tempo com cronômetro, temperatura com termômetro). Medições indiretas são medições nas quais o valor desejado de uma quantidade é encontrado com base em uma relação conhecida entre essa quantidade e as quantidades cujos valores são obtidos no processo de medições diretas (por exemplo, determinando a velocidade ao longo da distância percorrida e tempo https://pandia.ru/text/78/ 464/images/image002_23.png" width="65" height="21 src=">).
Qualquer medição, por mais cuidadosa que seja, é necessariamente acompanhada por um erro (erro) - um desvio do resultado da medição em relação ao valor real da quantidade medida.
Erros sistemáticos são erros cuja magnitude é a mesma em todas as medições realizadas pelo mesmo método usando os mesmos instrumentos de medição, nas mesmas condições. Ocorrem erros sistemáticos:
Em decorrência da imperfeição dos instrumentos utilizados nas medições (por exemplo, a agulha do amperímetro pode se desviar da divisão zero na ausência de corrente; a trave de equilíbrio pode ter braços desiguais etc.);
Como resultado do desenvolvimento insuficiente da teoria do método de medição, ou seja, o método de medição contém uma fonte de erros (por exemplo, ocorre um erro quando a perda de calor para o ambiente não é levada em consideração nos trabalhos calorimétricos ou na pesagem em um o equilíbrio é realizado sem levar em conta a força de empuxo do ar);
Como resultado do fato de que a mudança nas condições do experimento não é levada em consideração (por exemplo, durante a passagem de corrente a longo prazo pelo circuito, como resultado do efeito térmico da corrente, os parâmetros elétricos da mudança de circuito).
Erros sistemáticos podem ser eliminados se as características dos instrumentos forem estudadas, a teoria do experimento for desenvolvida de forma mais completa e, com base nisso, forem feitas correções nos resultados da medição.
Erros aleatórios são erros cuja magnitude é diferente mesmo para medições feitas da mesma forma. Suas razões estão tanto na imperfeição de nossos sentidos quanto em muitas outras circunstâncias que acompanham as medições e que não podem ser levadas em consideração antecipadamente (ocorrem erros aleatórios, por exemplo, se a igualdade dos campos de iluminação do fotômetro é definida pelo olho ; se o momento de desvio máximo do pêndulo matemático for determinado pelo olho; ao encontrar o momento de ressonância do som pelo ouvido; ao pesar em uma balança analítica, se as vibrações do piso e das paredes forem transmitidas à balança, etc.) .
Erros aleatórios não podem ser evitados. Sua ocorrência se manifesta no fato de que, ao repetir medições da mesma quantidade com o mesmo cuidado, obtêm-se resultados numéricos que diferem entre si. Portanto, se os mesmos valores foram obtidos ao repetir as medições, isso indica não a ausência de erros aleatórios, mas a sensibilidade insuficiente do método de medição.
Erros aleatórios alteram o resultado em uma direção e na outra direção do valor verdadeiro, portanto, para reduzir a influência de erros aleatórios no resultado da medição, as medições geralmente são repetidas muitas vezes e a média aritmética de todos os resultados da medição é levado.
Resultados conscientemente incorretos - erros ocorrem devido à violação das condições básicas de medição, como resultado de desatenção ou negligência do experimentador. Por exemplo, com pouca iluminação, em vez de “3”, escreva “8”; devido ao fato de o experimentador estar distraído, ele pode se desviar ao contar o número de oscilações do pêndulo; devido a negligência ou desatenção, ele pode confundir as massas das cargas ao determinar a rigidez da mola, etc. Um sinal externo de falta é uma diferença acentuada de magnitude dos resultados de outras medições. Se for detectada uma falha, o resultado da medição deve ser descartado imediatamente e a medição em si deve ser repetida. A identificação de erros também é auxiliada por uma comparação dos resultados de medição obtidos por diferentes experimentadores.
Medir uma quantidade física significa encontrar o intervalo de confiança em que seu verdadeiro valor está https://pandia.ru/text/78/464/images/image005_14.png" width="16 height=21" height="21" >. .png" width="21" height="17 src=">.png" width="31" height="21 src="> casos, o valor real do valor medido está dentro do intervalo de confiança. o valor é expresso em frações de uma unidade ou em porcentagem A maioria das medições é limitada a um nível de confiança de 0,9 ou 0,95 um nível de significância é frequentemente usado, que especifica a probabilidade de que o valor verdadeiro não caia dentro do intervalo de confiança O resultado da medição é apresentado como
onde https://pandia.ru/text/78/464/images/image012_8.png" width="23" height="19"> é o erro absoluto. Assim, os limites de intervalo, https://pandia.ru /text/78/464/images/image005_14.png" width="16" height="21"> está dentro desse intervalo.
Para encontrar e , execute uma série de medições simples. Considere um exemplo específico..png" width="71" height="23 src=">; ; https://pandia.ru/text/78/464/images/image019_5.png" width="72" height= " 23">.png" width="72" height="24">. Os valores podem ser repetidos, como valores e https://pandia.ru/text/78/464/images/image024_4.png " largura="48 altura=15" altura="15">.png" largura="52" altura="21">. Assim, o nível de significância .
Valor médio do valor medido
O dispositivo de medição também contribui para o erro de medição. Este erro é devido ao projeto do dispositivo (atrito no eixo do dispositivo apontador, arredondamento produzido por um dispositivo apontador digital ou discreto, etc.). Por sua natureza, este é um erro sistemático, mas nem a magnitude nem o sinal dele para este instrumento em particular é conhecido. O erro instrumental é avaliado no processo de teste de uma grande série do mesmo tipo de instrumentos.
A faixa normalizada de classes de precisão dos instrumentos de medição inclui os seguintes valores: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4.0. A classe de precisão do aparelho é igual ao erro relativo do aparelho, expresso em porcentagem, em relação a toda a faixa da escala. Erro de passaporte do dispositivo
Quaisquer medições são sempre feitas com alguns erros associados à precisão limitada dos instrumentos de medição, à escolha errada e ao erro do método de medição, à fisiologia do experimentador, às características dos objetos medidos, às mudanças nas condições de medição, etc. Portanto, a tarefa de medição inclui encontrar não apenas a quantidade em si, mas também o erro de medição, ou seja, o intervalo no qual o valor real da grandeza medida é mais provável de ser encontrado. Por exemplo, ao medir um intervalo de tempo t com um cronômetro com valor de divisão de 0,2 s, podemos dizer que seu valor verdadeiro está no intervalo de s a 
com. Assim, o valor medido sempre contém algum erro 
, Onde 
e X são, respectivamente, os valores verdadeiro e medido da grandeza em estudo. Valor 
chamado erro absoluto(erro) medições, e a expressão 
caracterizando a precisão da medição é chamado erro relativo.
É bastante natural que o experimentador se esforce para fazer cada medição com a maior precisão possível, mas essa abordagem nem sempre é conveniente. Quanto mais precisamente quisermos medir esta ou aquela quantidade, quanto mais complexos forem os instrumentos que devemos usar, mais tempo essas medições exigirão. Portanto, a precisão do resultado final deve corresponder ao objetivo do experimento. A teoria dos erros fornece recomendações sobre como as medições devem ser feitas e como os resultados devem ser processados para que a margem de erro seja a menor possível.
Todos os erros que surgem durante as medições são geralmente divididos em três tipos - sistemáticos, aleatórios e erros, ou erros grosseiros.
Erros sistemáticos devido à precisão limitada da fabricação de dispositivos (erros do instrumento), as deficiências do método de medição escolhido, a imprecisão da fórmula de cálculo, instalação inadequada do dispositivo, etc. Assim, os erros sistemáticos são causados por fatores que agem da mesma forma quando as mesmas medidas são repetidas muitas vezes. O valor desse erro é sistematicamente repetido ou alterado de acordo com uma determinada lei. Alguns erros sistemáticos podem ser eliminados (na prática, isso é sempre fácil de conseguir) alterando o método de medição, introduzindo correções nas leituras do instrumento e levando em consideração a constante influência de fatores externos.
Embora o erro sistemático (instrumental) durante medições repetidas dê um desvio do valor medido do valor real em uma direção, nunca sabemos em qual direção. Portanto, o erro instrumental é escrito com um sinal duplo
Erros aleatórios são causados por um grande número de causas aleatórias (mudanças de temperatura, pressão, agitação do edifício, etc.), cujo efeito em cada medição é diferente e não pode ser levado em consideração antecipadamente. Erros aleatórios também ocorrem devido à imperfeição dos órgãos dos sentidos do experimentador. Erros aleatórios também incluem erros devido às propriedades do objeto medido.
É impossível excluir erros aleatórios de medições individuais, mas é possível reduzir a influência desses erros no resultado final realizando várias medições. Se o erro aleatório for significativamente menor que o erro instrumental (sistemático), então não faz sentido reduzir ainda mais o erro aleatório aumentando o número de medições. Se o erro aleatório for maior que o erro instrumental, então o número de medidas deve ser aumentado para reduzir o valor do erro aleatório e torná-lo menor ou uma ordem de grandeza com o erro instrumental.
Erros ou enganos- são leituras incorretas no dispositivo, registro incorreto da leitura, etc. Como regra, as falhas devido aos motivos indicados são claramente visíveis, uma vez que as leituras correspondentes a elas diferem nitidamente de outras leituras. As falhas devem ser eliminadas por medições de controle. Assim, a largura do intervalo em que se encontram os verdadeiros valores das quantidades medidas será determinada apenas por erros aleatórios e sistemáticos.
2 . Estimativa de erro sistemático (instrumental)
Para medições diretas o valor da grandeza medida é lido diretamente na escala do instrumento de medição. O erro de leitura pode atingir vários décimos de uma divisão de escala. Normalmente, nessas medições, a magnitude do erro sistemático é considerada igual à metade da divisão de escala do instrumento de medição. Por exemplo, ao medir com um paquímetro com um valor de divisão de 0,05 mm, o valor do erro de medição instrumental é considerado igual a 0,025 mm.
Os instrumentos de medição digital dão o valor das grandezas que medem com um erro igual ao valor de uma unidade do último dígito da escala do instrumento. Então, se um voltímetro digital mostra um valor de 20,45 mV, então o erro absoluto na medição é 
mV.
Erros sistemáticos também surgem ao usar valores constantes determinados a partir de tabelas. Nesses casos, o erro é considerado igual à metade do último dígito significativo. Por exemplo, se na tabela o valor da densidade do aço é dado por um valor igual a 7,9∙10 3 kg / m 3, então o erro absoluto neste caso é igual a 
kg/m3.
Algumas características no cálculo de erros instrumentais de instrumentos de medição elétrica serão discutidas a seguir.
Ao determinar o erro sistemático (instrumental) de medições indiretas valor funcional 
a fórmula é usada
, (1)
Onde 
- erros do instrumento de medições diretas de quantidade 
, 
- derivadas parciais da função em relação à variável.
Como exemplo, obteremos uma fórmula para calcular o erro sistemático ao medir o volume de um cilindro. A fórmula para calcular o volume de um cilindro é
.
Derivadas parciais em relação a variáveis d e h será igual
, 
.
Assim, a fórmula para determinar o erro sistemático absoluto na medição do volume de um cilindro de acordo com (2. ..) tem a seguinte forma
,
Onde 
e 
erros instrumentais na medição do diâmetro e altura do cilindro
3. Estimativa de erros aleatórios.
Intervalo de Confiança e Probabilidade de Confiança
Para a grande maioria das medições simples, a chamada lei normal dos erros aleatórios é satisfeita muito bem ( lei de Gauss), derivado das seguintes disposições empíricas.
erros de medição podem assumir uma série contínua de valores;
com um grande número de medições, erros de mesma magnitude, mas de sinal diferente, ocorrem com igual frequência,
Quanto maior o erro aleatório, menor a probabilidade de ocorrer.
O gráfico da distribuição gaussiana normal é mostrado na Fig.1. A equação da curva tem a forma
, (2)
Onde 
- função de distribuição de erros aleatórios (erros), caracterizando a probabilidade de um erro 
, σ é a raiz do erro quadrático médio.
O valor σ não é uma variável aleatória e caracteriza o processo de medição. Se as condições de medição não mudam, então σ permanece constante. O quadrado dessa quantidade é chamado dispersão de medições. Quanto menor a dispersão, menor a dispersão dos valores individuais e maior a precisão da medição.
O valor exato do erro quadrático médio σ, bem como o valor real da quantidade medida, é desconhecido. Existe uma chamada estimativa estatística desse parâmetro, segundo a qual o erro quadrático médio é igual ao erro quadrático médio da média aritmética 
. cujo valor é determinado pela fórmula
, (3)
Onde 
- resultado eu-ª dimensão; 
- média aritmética dos valores obtidos; n
é o número de medidas.
Quanto maior o número de medições, menor e mais se aproxima de σ. Se o valor verdadeiro do valor medido μ, seu valor médio aritmético obtido como resultado das medições , e o erro absoluto aleatório , então o resultado da medição será escrito como 
.
Intervalo de valor de 
antes 
, em que o valor real da quantidade medida μ cai, é chamado intervalo de confiança. Por se tratar de uma variável aleatória, o valor verdadeiro cai no intervalo de confiança com uma probabilidade α, que é chamada de probabilidade de confiança, ou confiabilidade Medidas. Este valor é numericamente igual à área do trapézio curvilíneo sombreado. (ver foto.)
Tudo isso é verdade para um número suficientemente grande de medições, quando está próximo de σ. Para encontrar o intervalo de confiança e o nível de confiança para um pequeno número de medições, com as quais lidamos no decorrer do trabalho de laboratório, usamos Distribuição de probabilidade de Student. Esta é a distribuição de probabilidade da variável aleatória 
chamado Coeficiente de Aluno, dá o valor do intervalo de confiança em frações da raiz do erro quadrático médio da média aritmética.
. (4)
A distribuição de probabilidade desta quantidade não depende de σ 2 , mas depende essencialmente do número de experimentos n. Com o aumento do número de experimentos n A distribuição de Student tende a uma distribuição gaussiana.
A função de distribuição é tabulada (Tabela 1). O valor do coeficiente de Student está na interseção da linha correspondente ao número de medições n, e a coluna correspondente ao nível de confiança α
Tabela 1.
Usando os dados da tabela, você pode:
determinar o intervalo de confiança, dada uma certa probabilidade;
escolha um intervalo de confiança e determine o nível de confiança.
Para medições indiretas, o erro quadrático médio da raiz da média aritmética da função é calculado pela fórmula
. (5)
O intervalo de confiança e a probabilidade de confiança são determinados da mesma forma que no caso de medições diretas.
Estimativa do erro total de medição. Gravação do resultado final.
O erro total do resultado da medição de X será definido como o valor quadrado médio dos erros sistemáticos e aleatórios
, (6)
Onde δx - erro instrumental, Δ Xé um erro aleatório.
X pode ser uma grandeza medida direta ou indiretamente.
, α=…, Å=… (7)
Deve-se ter em mente que as próprias fórmulas da teoria dos erros são válidas para um grande número de medições. Portanto, o valor do aleatório e, consequentemente, o erro total é determinado para um pequeno n com um grande erro. Ao calcular Δ X com o número de medidas 
recomenda-se limitar a um algarismo significativo se for superior a 3 e a dois se o primeiro algarismo significativo for inferior a 3. Por exemplo, se Δ X= 0,042, então descarte 2 e escreva Δ X=0,04, e se Δ X=0,123, então escrevemos Δ X=0,12.
O número de dígitos do resultado e o erro total devem ser os mesmos. Portanto, a média aritmética do erro deve ser a mesma. Portanto, a média aritmética é calculada primeiro por um dígito a mais que a medida e, ao registrar o resultado, seu valor é refinado para o número de dígitos do erro total.
4. Metodologia de cálculo dos erros de medição.
Erros de medições diretas
Ao processar os resultados de medições diretas, recomenda-se adotar a seguinte ordem de operações.
. (8)
.
.
O erro total é determinado
O erro relativo do resultado da medição é estimado
.
O resultado final é escrito como
, com α=… E=…%.
5. Erro de medições indiretas
Ao avaliar o valor real de uma grandeza medida indiretamente, que é uma função de outras grandezas independentes 
, dois métodos podem ser usados.
Primeira maneiraé usado se o valor y determinado sob várias condições experimentais. Neste caso, para cada um dos valores, 
, e então a média aritmética de todos os valores é determinada y eu
. (9)
O erro sistemático (instrumental) é encontrado com base nos erros instrumentais conhecidos de todas as medições de acordo com a fórmula. O erro aleatório neste caso é definido como o erro de medição direta.
Segunda via se aplica se a função y determinado várias vezes com as mesmas medidas. Neste caso, o valor é calculado a partir dos valores médios. Em nossa prática laboratorial, o segundo método de determinação da quantidade indiretamente medida é mais frequentemente usado y. O erro sistemático (instrumental), como no primeiro método, é encontrado com base nos erros instrumentais conhecidos de todas as medidas de acordo com a fórmula
Para encontrar o erro aleatório de uma medição indireta, primeiro calcula-se a raiz quadrada média dos erros da média aritmética de medições individuais. Então o erro quadrático médio é encontrado y. Definir a probabilidade de confiança α, encontrar o coeficiente de Student , determinar os erros aleatórios e totais são realizados da mesma forma que no caso de medições diretas. Da mesma forma, o resultado de todos os cálculos é apresentado na forma
, com α=… E=…%.
6. Um exemplo de projeto de um trabalho de laboratório
Laboratório nº 1
DETERMINAÇÃO DO VOLUME DO CILINDRO
Acessórios: paquímetro com um valor de divisão de 0,05 mm, um micrômetro com um valor de divisão de 0,01 mm, um corpo cilíndrico.
Objetivo: familiarização com as medições físicas mais simples, determinando o volume de um cilindro, calculando os erros de medições diretas e indiretas.
Ordem de serviço
Faça pelo menos 5 medições do diâmetro do cilindro com um paquímetro e sua altura com um micrômetro.
Fórmula de cálculo para calcular o volume de um cilindro
onde d é o diâmetro do cilindro; h é a altura.
Resultados de medição
Mesa 2.
Nº de medição | ||||||
| ; |
; 
.
; E = 0,5%.
, E = 0,5%.
Na maioria dos casos, o objetivo final do trabalho de laboratório é calcular o valor desejado usando alguma fórmula, que inclui quantidades que são medidas de forma direta. Tais medições são chamadas de indiretas. Como exemplo, damos a fórmula para a densidade de um corpo cilíndrico sólido
onde r é a densidade do corpo, m- massa corporal, d- diâmetro do cilindro, h- sua alta.
A dependência (A.5) na forma geral pode ser representada da seguinte forma:
Onde Sé uma grandeza medida indiretamente, na fórmula (A.5) é a densidade r; X 1 , X 2 ,... ,Xn são grandezas medidas diretamente, na fórmula (A.5) são m, d, e h.
O resultado de uma medição indireta não pode ser preciso, pois os resultados de medições diretas de grandezas X 1 , x2, ... ,Xn sempre contêm erros. Portanto, para medidas indiretas, assim como para medidas diretas, é necessário estimar o intervalo de confiança (erro absoluto) do valor obtido DY e erro relativo e.
Ao calcular erros no caso de medições indiretas, é conveniente seguir a seguinte sequência de ações:
1) obtenha os valores médios de cada quantidade medida diretamente á x1ñ, á x2ñ, …, á Xnñ;
2) obtenha o valor médio da grandeza medida indiretamente á S– substituindo na fórmula (A.6) os valores médios das grandezas medidas diretamente;
3) para avaliar os erros absolutos de grandezas medidas diretamente DX 1 , DX 2 , ..., DXn, utilizando as fórmulas (A.2) e (A.3);
4) com base na forma explícita da função (A.6), obtenha uma fórmula para calcular o erro absoluto do valor medido indiretamente DY e calcule;
6) anote o resultado da medição, levando em consideração o erro.
Abaixo, sem derivação, é dada uma fórmula que permite obter fórmulas para calcular o erro absoluto, se a forma explícita da função (A.6) for conhecida:
onde ¶Y¤¶ x1 etc. - derivadas parciais de Y em relação a todas as grandezas medidas diretamente X 1 , X 2 , …, X n (quando uma derivada parcial é obtida, por exemplo X 1 , então todas as outras quantidades XI são considerados constantes na fórmula), D XI– erros absolutos de grandezas medidas diretamente, calculados de acordo com (A.3).
Tendo calculado DY, eles encontram o erro relativo.
No entanto, se a função (A.6) for um monômio, é muito mais fácil calcular primeiro o erro relativo e depois o absoluto.
De fato, dividindo ambos os lados da igualdade (A.7) por S, Nós temos
Mas como , podemos escrever
Agora, conhecendo o erro relativo, determine o absoluto.
Como exemplo, obtemos uma fórmula para calcular o erro na densidade de uma substância, determinada pela fórmula (A.5). Como (A.5) é um monômio, então, como mencionado acima, é mais fácil calcular primeiro o erro de medição relativo de acordo com (A.8). Em (A.8), sob a raiz temos a soma dos quadrados das derivadas parciais de logaritmo quantidade medida, então primeiro encontramos o logaritmo natural r:
ln r = ln 4 + ln m– ln p –2 ln d–ln h,
e então usamos a fórmula (A.8) e obtemos que
Como pode ser visto, em (A.9) são utilizados os valores médios das grandezas medidas diretamente e seus erros absolutos, calculados pelo método de medidas diretas de acordo com (A.3). O erro introduzido pelo número p não é levado em consideração, pois seu valor sempre pode ser tomado com uma precisão superior à precisão de medição de todas as outras grandezas. Calculando e, encontramos .
Se as medições indiretas forem independentes (as condições de cada experimento subsequente diferem das condições do anterior), os valores de quantidade S calculado para cada experimento individual. Tendo produzido n experiências, obter n valores S eu. Além disso, tomando cada um dos valores S eu(Onde eu- número de experiência) para o resultado da medição direta, calcule á Sñ e D S de acordo com as fórmulas (A.1) e (A.2), respectivamente.
O resultado final das medições diretas e indiretas deve ficar assim:
Onde m- expoente, você- unidades de medida S.
ERROS DE MEDIÇÕES DE QUANTIDADES FÍSICAS E
PROCESSAMENTO DE RESULTADOS DE MEDIÇÃO
por medição chamado encontrar os valores de quantidades físicas empiricamente com a ajuda de meios técnicos especiais. As medições são diretas ou indiretas. No direto medição, o valor desejado de uma quantidade física é encontrado diretamente com a ajuda de instrumentos de medição (por exemplo, medir as dimensões de corpos usando um paquímetro). Indireto chamada de medida na qual o valor desejado de uma grandeza física é encontrado com base em uma relação funcional conhecida entre a grandeza medida e as grandezas submetidas a medições diretas. Por exemplo, ao determinar o volume V de um cilindro, seu diâmetro D e altura H são medidos e, em seguida, de acordo com a fórmula p D 2 /4 calcule seu volume.
Devido à imprecisão dos instrumentos de medição e à dificuldade de levar em conta todos os efeitos colaterais nas medições, inevitavelmente surgem erros de medição. erro ou erro medição refere-se ao desvio do resultado da medição do valor real da quantidade física medida. O erro de medição geralmente é desconhecido, assim como o verdadeiro valor da quantidade medida. Portanto, a tarefa do processamento elementar de resultados de medição é estabelecer o intervalo dentro do qual o valor real da grandeza física medida está localizado com uma dada probabilidade.
Classificação de erros de medição
Os erros são divididos em três tipos:
1) gross ou misses,
2) sistemática,
3) aleatório.
erros grosseiros- são medições errôneas resultantes de leitura descuidada no dispositivo, registro ilegível das leituras. Por exemplo, escrever um resultado de 26,5 em vez de 2,65; lendo em uma escala de 18 em vez de 13, etc. Se um erro grosseiro for detectado, o resultado dessa medição deve ser imediatamente descartado e a própria medição deve ser repetida.
Erros sistemáticos- erros que permanecem constantes durante medições repetidas ou mudam de acordo com uma determinada lei. Esses erros podem ser devidos à escolha errada do método de medição, imperfeição ou mau funcionamento dos instrumentos (por exemplo, medições usando um instrumento com deslocamento zero). Para eliminar ao máximo os erros sistemáticos, deve-se sempre analisar cuidadosamente o método de medição, comparar os instrumentos com os padrões. No futuro, assumiremos que todos os erros sistemáticos foram eliminados, exceto aqueles causados por imprecisões na fabricação de dispositivos e erros de leitura. Chamaremos este erro hardware.
Erros aleatórios - São erros cuja causa não pode ser considerada antecipadamente. Erros aleatórios dependem da imperfeição de nossos órgãos dos sentidos, da ação contínua de mudanças nas condições externas (mudanças de temperatura, pressão, umidade, vibração do ar etc.). Erros aleatórios são inevitáveis, estão inevitavelmente presentes em todas as medições, mas podem ser estimados usando os métodos da teoria das probabilidades.
Processando os resultados de medições diretas
Deixe, como resultado de medições diretas de uma quantidade física, uma série de seus valores ser obtida:
x 1 , x 2 , ... x n .
Conhecendo essa série de números, você precisa indicar o valor mais próximo do valor verdadeiro do valor medido e encontrar o valor do erro aleatório. Este problema é resolvido com base na teoria das probabilidades, cuja apresentação detalhada está além do escopo de nosso curso.
O valor mais provável da grandeza física medida (próximo do valor verdadeiro) é a média aritmética
. (1)
Aqui x i é o resultado da i-ésima medição; n é o número de medições. O erro de medição aleatório pode ser estimado pelo erro absoluto D x, que é calculado pela fórmula
,
(2)
onde t(a ,n) - Coeficiente de Student, dependendo do número de medições n e do nível de confiança uma . Valor de confiança uma definido pelo experimentador.
Probabilidade evento aleatório é a razão entre o número de casos favoráveis a esse evento e o número total de casos igualmente prováveis. A probabilidade de um evento certo é 1 e de um impossível é 0.
O valor do coeficiente de Student correspondente a um determinado nível de confiança uma e um certo número de medidas n, encontre de acordo com a tabela. 1.
tabela 1
|
Número medidas f |
Probabilidade de confiança uma |
|||
|
0,95 |
0,98 |
|||
|
1,38 |
12,7 |
31,8 |
||
|
1,06 |
||||
|
0,98 |
||||
|
0,94 |
||||
|
0,92 |
||||
|
0,90 |
||||
|
0,90 |
||||
|
0,90 |
||||
|
0,88 |
||||
|
0,84 |
||||
Da Tabela. 1 pode-se ver que o valor do coeficiente de Student e o erro de medição aleatório são quanto menor, maior n e menor uma . Praticamente escolha uma =0,95. No entanto, um simples aumento no número de medições não pode reduzir o erro total a zero, pois qualquer dispositivo de medição apresenta um erro.
Vamos explicar o significado dos termos erro absoluto D x e nível de confiança uma usando a reta numérica. Deixe o valor médio da quantidade medida
Figura 1
Se as medições da mesma quantidade forem repetidas pelos mesmos instrumentos sob as mesmas condições, então o valor real da quantidade medida x ist cairá no mesmo intervalo de confiança, mas o acerto não será confiável, mas com probabilidade uma.
Calculando a magnitude do erro absoluto D x pela fórmula (2), o verdadeiro valor x da quantidade física medida pode ser escrito como x=
Para avaliar a precisão da medição de uma grandeza física, calcule erro relativo que geralmente é expresso em porcentagem
. (3)
Assim, ao processar os resultados das medições diretas, é necessário fazer o seguinte:
1. Faça medições n vezes.
2. Calcule a média aritmética usando a fórmula (1).
3. Defina um nível de confiança a (geralmente tome a = 0,95).
4. De acordo com a Tabela 1, encontre o coeficiente de Student correspondente ao nível de confiança dado uma e o número de dimensões n.
5. Calcule o erro absoluto usando a fórmula (2) e compare-o com o instrumental. Para cálculos adicionais, pegue o que for maior.
6. Usando a fórmula (3), calcule o erro relativo e.
7. Anote o resultado final
x=
Processando os resultados de medições indiretas
Seja a quantidade física desejada y associada a outras quantidades x 1 , x 2 , ... x k por alguma dependência funcional
Y=f(x 1 , x 2 , ... x k) (4)
Entre os valores x 1 , x 2 , ... x k existem valores obtidos de medições diretas e dados tabulares. É necessário determinar o valor absoluto D y e relativo e erros no valor de y.
Na maioria dos casos, é mais fácil calcular primeiro o erro relativo e depois o erro absoluto. Da teoria da probabilidade, o erro relativo da medição indireta
.
(5)
Aqui 
, onde é a derivada parcial da função em relação à variável x i, em cujo cálculo todos os valores, exceto x i , são considerados constantes; D x i é o erro absoluto de x i . Se x i é obtido como resultado de medições diretas, então seu valor médio
Vamos escrever o resultado final:
y=
Aqui
Normalmente, erros aleatórios e sistemáticos (instrumentais) estão presentes em medições reais. Se o erro aleatório calculado de medições diretas for igual a zero ou menor que o erro de hardware em duas ou mais vezes, ao calcular o erro de medições indiretas, o erro de hardware deve ser levado em consideração. Se esses erros diferirem em menos de duas vezes, o erro absoluto é calculado pela fórmula
.
Considere um exemplo. Seja necessário calcular o volume do cilindro:
. (6)
Aqui D é o diâmetro do cilindro, H é a sua altura, medida com um paquímetro com um valor de divisão de 0,1 mm. Como resultado de medições repetidas, encontramos os valores médios
,
(7)
onde D D e D H são erros absolutos de medidas diretas de diâmetro e altura. Seus valores são calculados pela fórmula (2): D D = 0,01 mm; D H = 0,13 mm. Vamos comparar os erros calculados com o de hardware, igual ao valor da divisão do paquímetro. D D<0.1, поэтому в формуле (7) подставим вместо D D não é 0,01 mm, mas 0,1 mm.
valor p deve ser escolhido de modo que o erro relativo Dp/p na fórmula (7) poderia ser desprezada. Da análise de valores medidos e erros absolutos calculados D D e D H, pode-se ver que o erro de medição de altura é o que mais contribui para o erro de medição de volume relativo. O cálculo do erro de altura relativa dá e H =0,01. Portanto, o valor p você precisa tomar 3.14. Nesse caso Dp/p » 0,001 (Dp = 3,142-3,14 = 0,002).
Um algarismo significativo é deixado no erro absoluto.
Notas.
1. Se as medições forem feitas uma vez ou os resultados de várias medições forem os mesmos, então o erro absoluto de medição deve ser tomado como o erro instrumental, que para a maioria dos instrumentos usados é igual ao valor da divisão do instrumento (para mais detalhes sobre o erro instrumental, consulte a seção “Instrumentos de medição”).
2. Se dados tabulares ou experimentais são fornecidos sem especificar o erro, então o erro absoluto de tais números é considerado igual à metade da ordem do último dígito significativo.
Ações com números aproximados
A questão da precisão de cálculo diferente é muito importante, pois a superestimação da precisão do cálculo leva a uma grande quantidade de trabalho desnecessário. Os alunos geralmente calculam o valor que procuram com uma precisão de cinco ou mais algarismos significativos. Deve-se entender que essa precisão é excessiva. Não faz sentido realizar cálculos além do limite de precisão, que é fornecido pela precisão da determinação de grandezas medidas diretamente. Depois de processar as medições, muitas vezes eles não calculam os erros dos resultados individuais e julgam o erro do valor aproximado da quantidade, indicando o número de dígitos significativos corretos nesse número.
Algarismos significativos Um número aproximado é chamado de todos os dígitos, exceto zero, bem como zero em dois casos:
1) quando estiver entre algarismos significativos (por exemplo, no número 1071 - quatro algarismos significativos);
2) quando está no final do número e quando se sabe que a unidade do dígito correspondente não está disponível no número dado. Exemplo. Existem três algarismos significativos no número 5,20, e isso significa que, ao medir, levamos em consideração não apenas unidades, mas também décimos e centésimos, e no número 5,2 - apenas dois algarismos significativos, o que significa que levamos em consideração apenas números inteiros e décimos.
Os cálculos aproximados devem ser feitos de acordo com as seguintes regras.
1. Ao adicionar e subtrair como resultado, retenha tantas casas decimais quantas houver no número com o menor número de casas decimais. Por exemplo: 0,8934+3,24+1,188=5,3214» 5.32. O valor deve ser arredondado para centésimos, ou seja, tomar igual a 5,32.
2. Ao multiplicar e dividir como resultado, tantos dígitos significativos são retidos quanto o número aproximado com o menor número de dígitos significativos. Por exemplo, você precisa multiplicar 8,632´ 2,8´ 3,53. Em vez disso, as expressões devem ser avaliadas
8,6 ´ 2,8 ´ 3,5 » 81.
Ao calcular resultados intermediários, eles economizam um dígito a mais do que as regras recomendam (o chamado dígito sobressalente). No resultado final, o dígito sobressalente é descartado. Para esclarecer o valor do último dígito significativo do resultado, você precisa calcular o dígito por trás dele. Se for inferior a cinco, deve simplesmente ser descartado e, se cinco ou mais de cinco, depois de descartá-lo, o número anterior deve ser aumentado em um. Normalmente, um dígito significativo é deixado no erro absoluto e o valor medido é arredondado para o dígito no qual o dígito significativo do erro absoluto está localizado.
3. O resultado do cálculo dos valores das funções x n , , lg( x) algum número aproximado x deve conter tantos dígitos significativos quantos existem no número x. Por exemplo: 
.
Plotagem
Os resultados obtidos durante a realização do trabalho de laboratório são muitas vezes importantes e devem ser apresentados em uma relação gráfica. Para construir um gráfico, é necessário, com base nas medições feitas, compilar uma tabela na qual cada valor de uma das grandezas corresponde a um determinado valor da outra.
Os gráficos são feitos em papel milimetrado. Ao construir um gráfico, os valores da variável independente devem ser plotados na abscissa e os valores da função na ordenada. Perto de cada eixo, você precisa escrever a designação do valor exibido e indicar em quais unidades ele é medido (Fig. 2).
Figura 2
Para a correta construção do gráfico, a escolha da escala é importante: a curva ocupa toda a folha, e as dimensões do gráfico em comprimento e altura são aproximadamente as mesmas. A escala deve ser simples. A maneira mais fácil é se a unidade do valor medido (0,1; 10; 100, etc.) corresponder a 1, 2 ou 5 cm. valores zero dos valores que estão sendo plotados (Fig. 2).
Cada valor experimental obtido é traçado no gráfico de forma bastante perceptível: um ponto, uma cruz, etc.
Os erros são indicados para os valores medidos na forma de segmentos com um intervalo de confiança, no centro do qual os pontos experimentais estão localizados. Como a indicação de erros sobrecarrega o gráfico, isso é feito apenas quando a informação sobre os erros é realmente necessária: ao construir uma curva a partir de pontos experimentais, ao determinar erros usando um gráfico, ao comparar dados experimentais com uma curva teórica (Figura 2) . Muitas vezes é suficiente especificar o erro para um ou mais pontos.
É necessário traçar uma curva suave através dos pontos experimentais. Muitas vezes, os pontos experimentais são conectados por uma simples linha quebrada. Assim, por assim dizer, indica-se que as quantidades dependem umas das outras de alguma maneira saltitante. E isso é incrível. A curva deve ser suave e pode passar não pelos pontos marcados, mas próximo a eles, de modo que esses pontos fiquem em ambos os lados da curva à mesma distância dela. Se algum ponto cair fortemente do gráfico, essa medição deve ser repetida. Portanto, é desejável construir um gráfico diretamente durante o experimento. O gráfico pode então servir para controlar e melhorar as observações.
INSTRUMENTOS DE MEDIÇÃO E CONTABILIDADE DE SEUS ERROS
Instrumentos de medição são usados para medições diretas de grandezas físicas. Quaisquer instrumentos de medição não fornecem o valor real do valor medido. Isso se deve, em primeiro lugar, ao fato de ser impossível ler com precisão o valor medido na escala do instrumento e, em segundo lugar, à imprecisão na fabricação dos instrumentos de medição. Para levar em conta o primeiro fator, o erro de leitura Δx o é introduzido, para o segundo - o erro permitidoΔ xd. A soma desses erros forma o erro instrumental ou absoluto do dispositivoΔ x:
.
O erro permitido é normalizado pelos padrões estaduais e indicado no passaporte ou na descrição do dispositivo.
O erro de leitura geralmente é igual à metade da divisão do instrumento, mas para alguns instrumentos (cronômetro, barômetro aneróide) - igual à divisão do instrumento (já que a posição da seta desses instrumentos muda em saltos de uma divisão) e até mesmo várias divisões da escala, se as condições do experimento não permitirem contar com confiança até uma divisão (por exemplo, com um ponteiro grosso ou pouca iluminação). Assim, o erro de contagem é definido pelo próprio experimentador, refletindo de fato as condições de um determinado experimento.
Se o erro permitido for muito menor que o erro de leitura, ele poderá ser ignorado. Normalmente, o erro absoluto do instrumento é tomado igual à divisão da escala do instrumento.
As réguas de medição geralmente têm divisões milimétricas. Para medição, recomenda-se o uso de réguas de aço ou trefiladas com bisel. O erro admissível de tais réguas é de 0,1 mm e pode ser ignorado, pois é muito menor que o erro de leitura igual a ± 0,5 milímetros. Erro admissível de réguas de madeira e plástico± 1 mm.
O erro de medição admissível de um micrômetro depende do limite superior de medição e pode ser ± (3-4) µm (para micrômetros com faixa de medição de 0-25 mm). Metade do valor da divisão é tomado como erro de leitura. Assim, o erro absoluto do micrômetro pode ser tomado igual ao valor da divisão, ou seja, 0,01 milímetros.
Na pesagem, o erro admissível das balanças técnicas depende da carga e é de 50 mg para uma carga de 20 a 200 g e 25 mg para uma carga inferior a 20 g.
O erro dos instrumentos digitais é determinado pela classe de precisão.
As fórmulas para calcular os erros de medidas indiretas são baseadas nas representações do cálculo diferencial.
Seja a dependência da quantidade S do valor medido Z tem uma forma simples: .
Aqui e são constantes cujos valores são conhecidos. Se z for aumentado ou diminuído por algum número, então ele mudará para:
Se - o erro do valor medido Z, então, respectivamente, será o erro do valor calculado S.
Obtemos a fórmula para o erro absoluto no caso geral de uma função de uma variável. Deixe o gráfico desta função ter a forma mostrada na Fig.1. O valor exato do argumento z 0 corresponde ao valor exato da função y 0 = f(z 0).
O valor medido do argumento difere do valor exato do argumento pelo valor de Δz devido a erros de medição. O valor da função será diferente do valor exato por Δy.
Do significado geométrico da derivada como a tangente da inclinação da tangente à curva em um determinado ponto (Fig. 1), segue:
. (10)
A fórmula para o erro relativo de medição indireta no caso de uma função de uma variável será: 
. (11)
Considerando que a diferencial da função é , temos
(12)
Se a medição indireta é uma função m variáveis 
, então o erro da medição indireta dependerá dos erros das medições diretas. Denotamos o erro parcial associado ao erro de medição do argumento. Constitui o incremento da função pelo incremento, desde que todos os outros argumentos permaneçam inalterados. Assim, escrevemos o erro absoluto parcial de acordo com (10) na seguinte forma:
(13)
Assim, para encontrar o erro parcial de medida indireta , é necessário, conforme (13), multiplicar a derivada parcial pelo erro de medida direta . Ao calcular a derivada parcial de uma função em relação aos argumentos restantes, eles são considerados constantes.
O erro absoluto resultante da medição indireta é determinado pela fórmula, que inclui os quadrados dos erros parciais
medição indireta:
ou tendo em conta (13)
(14)
O erro relativo da medição indireta é determinado pela fórmula:
Ou levando em conta (11) e (12)
. (15)
Usando (14) e (15), um dos erros é encontrado, absoluto ou relativo, dependendo da conveniência dos cálculos. Assim, por exemplo, se a fórmula de trabalho tem a forma de um produto, a razão das grandezas medidas, é fácil pegar um logaritmo e usar a fórmula (15) para determinar o erro relativo da medição indireta. Em seguida, calcule o erro absoluto usando a fórmula (16):
Para ilustrar o procedimento acima para determinar o erro de medições indiretas, voltemos ao trabalho de laboratório virtual "Determinando a aceleração de queda livre usando um pêndulo matemático".
A fórmula de trabalho (1) tem a forma da razão dos valores medidos:
Portanto, começamos com a definição do erro relativo. Para fazer isso, pegamos o logaritmo dessa expressão e, em seguida, calculamos as derivadas parciais:
; ; 
.
A substituição na fórmula (15) leva à fórmula do erro relativo da medição indireta:
(17)
Depois de substituir os resultados das medições diretas
{ 
; 
) em (17) obtemos:
(18)
Para calcular o erro absoluto, usamos a expressão (16) e o valor previamente calculado (9) da aceleração gravitacional g:
O resultado do cálculo do erro absoluto é arredondado para um algarismo significativo. O valor calculado do erro absoluto determina a precisão do registro do resultado final:
, α ≈ 1. (19)
Neste caso, a probabilidade de confiança é determinada pela probabilidade de confiança das medidas diretas que contribuíram decisivamente para o erro da medida indireta. Neste caso, estas são medições de período.
Assim, com uma probabilidade próxima de 1, o valor g situa-se entre 8 e 12.
Para obter um valor mais preciso da aceleração de queda livre gé necessário melhorar a técnica de medição. Para tanto, é necessário reduzir o erro relativo , que, conforme decorre da fórmula (18), é determinado principalmente pelo erro de medição do tempo.
Para fazer isso, é necessário medir o tempo não de uma oscilação completa, mas, por exemplo, de 10 oscilações completas. Então, como segue de (2), a fórmula do erro relativo terá a forma:
. (20)
A Tabela 4 apresenta os resultados da medição do tempo para N = 10
Para a quantidade eu pegue os resultados da medição da Tabela 2. Substituindo os resultados das medições diretas na fórmula (20), encontramos o erro relativo das medições indiretas:
Usando a fórmula (2), calculamos o valor da quantidade medida indiretamente:
.
.
O resultado final é escrito como:
; ; .
Este exemplo mostra o papel da fórmula do erro relativo na análise de possíveis direções para melhorar a técnica de medição.
