Neste breve tutorial em vídeo, aprenderemos como resolver problemas de porcentagem usando uma fórmula especial, chamada de fórmula de juros simples. Vamos colocar esta fórmula na forma de um teorema.

O teorema dos juros simples. Vamos supor que existe algum valor inicial x , que então muda em k%, e um novo valor y é obtido. Então todos os três números estão relacionados pela fórmula:

Mais ou menos na frente do coeficiente k é colocado dependendo da condição do problema. Se, pela condição, x é crescente, então k é precedido por um sinal de mais. Se o valor diminui, então o coeficiente k é precedido por um sinal de menos.

Apesar da aparente sofisticação desta fórmula, muitas tarefas podem ser resolvidas de forma muito rápida e bonita com sua ajuda. Vamos tentar.

Tarefa. O preço das mercadorias aumentou 10% e totalizou 2.970 rublos. Quanto valia o produto antes do aumento de preço?

Para resolver esse problema usando a fórmula de juros simples, precisamos de três números: o valor original x , a porcentagem ke o valor final y . De todos os três números, conhecemos as porcentagens k = 10 e o valor final y = 2970. Observe: 2970 é exatamente o preço final, ou seja, sim Porque de acordo com a condição do problema, o preço inicial da mercadoria é desconhecido (só precisa ser encontrado). Mas então foi aumentado, e só então chegou a 2.970 rublos.

Então, precisamos encontrar x , ou seja. valor original. Bem, substituímos nossos números na fórmula e obtemos:

Somamos os números no numerador e obtemos:

Reduzimos um zero no numerador e denominador e, em seguida, multiplicamos ambos os lados da equação por 10. Obtemos:

11x = 29700

Para encontrar x desta equação linear simples, você divide ambos os lados por 11:

x = 29700: 11 = 2700

Como você pode ver, estes são números muito grandes, então tais cálculos não podem ser feitos na mente. Se você cumprir essa tarefa no exame, terá que compartilhar um canto. Neste caso, tudo foi dividido sem deixar rastro, e obtivemos o valor x :

x=2700

Isso é o que valia antes do aumento de preço. E era esse número que precisávamos encontrar de acordo com a condição do problema. Então é isso: problema resolvido. Além disso, não foi resolvido "em branco", mas com a ajuda de uma fórmula de porcentagem simples - de forma rápida, bonita e clara.

Claro, esse problema poderia ser resolvido de uma maneira diferente. Por exemplo, através de proporções. Ou um método exótico de coeficientes. Mas será muito melhor e mais confiável se você estiver armado com vários truques para resolver qualquer problema com interesse. Portanto, certifique-se de praticar usando esta fórmula.

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O método mais simples e óbvio é traçar uma proporção. Todos os cálculos posteriores são baseados nele. Se parece com isso:

• 45 é um número conhecido igual a 100%.
• ? - um número que é 15% de 45.

Além disso, a fração é simplificada para uma equação com uma incógnita. De acordo com as leis matemáticas, os dados cruzados em proporções são iguais entre si, ou seja: 45*15%=?*100%. Para encontrar "?", usamos uma regra simples e obtemos o seguinte.

O cálculo da fórmula de proporção sempre ocorre de acordo com o princípio de multiplicar os dados conhecidos na diagonal e dividi-los por um terceiro número.

Você pode escrever uma fórmula com qualquer incógnita em . Para não confundir, uma porcentagem ou um número é obtido como resultado, lembramos a regra da redução em uma fração - se o sinal de porcentagem (%) ou o símbolo de moeda (rub) estiver presente acima e abaixo, é reduzido. Exemplo:

O resultado do cálculo é a quantidade de dinheiro.

Como encontrar a porcentagem de um número. Opções

Vamos considerar em ordem as situações de encontrar porcentagens.

Como encontrar 100%. É necessário calcular o número, 15% do qual é igual a 45. Compomos a proporção:

Calculamos pela fórmula: (45*100)/15=300

Se não se sabe quanto é 100%. Às vezes, o cálculo é realizado em relação aos mesmos dados iniciais, mas seu valor exato não é conhecido. Por exemplo: ontem 15% do número total de cookies no valor de 450 rublos e hoje 25%.

Quanto você vendeu hoje? Como a soma para 100% é o valor comum para 15% e 25%, é possível realizar cálculos sem procurar o custo total.

Calculamos pela fórmula: (25*450)/15=750

Você pode complicar a tarefa se não houver confiança nos cálculos ou se houver necessidade de verificar o resultado. Para fazer isso, primeiro encontre 100%, com base em dados completos (15% custa 450 rublos) e, em seguida, 25% são contados a partir de 100%.

Quanto menos do que outro número como porcentagem

Por exemplo: o custo usual do pó é de 500 rublos. De acordo com a ação, o preço foi reduzido para 480 rublos. Quanto é o preço da ação menor do que a porcentagem inicial? Primeiro, o componente percentual do preço promocional do preço base é encontrado e, em seguida, sua diferença é encontrada. Fazemos uma proporção:

Calculamos pela fórmula: (480*100)/500=96. 100%-96%=4%. O preço da ação é inferior ao preço original em 4%.

Quanto um número é maior que outro em porcentagem. Exemplo: o teclado custou 300 rublos e, após a valorização do dólar, o preço subiu para 390 rublos. Quanto o preço de um teclado mudou em porcentagem? Primeiro, a taxa de juros total do novo preço, em relação ao original, é encontrada, então sua diferença é calculada. Fazemos uma proporção:

Calculamos pela fórmula: (390 * 100) / 300 \u003d 130. 130%-100%=30%. O preço aumentou 30%.

O número desconhecido é maior que o número conhecido em uma certa porcentagem. Exemplo: um produto em uma loja é 15% mais caro que um produto em um depósito. O preço do açúcar no armazém é de 50 rublos e é igual a 100%. Preço de loja - 100% + 15% = 115%. Calculamos pela fórmula: (115 * 50) / 100 \u003d 57,5

O número desconhecido é menor que o número conhecido por uma determinada porcentagem. Exemplo: atacado 5% mais barato. O preço de varejo é de 60 rublos e é igual a 100%, para atacado - 100% -5% \u003d 95%. Fazemos uma proporção:

Calculamos pela fórmula: (60*95)/100=57

Porcentagem entre dois números. Uma situação em que se conhece um número que é 100% e um número que é uma certa fração do original. Exemplo: era esperado um lote de 60 caixas, mas foram entregues 53. Qual percentual do plano foi cumprido. Fazemos uma proporção:

Calculamos pela fórmula: (53 * 100) / 60 \u003d 88,3

A “tarefa” mais difícil é não se confundir na elaboração de uma proporção.

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No processo de resolução dos problemas 149-156, é necessário levar os alunos a uma compreensão da regra para encontrar uma parte de um número:

Para encontrar a parte de um número expresso como uma fração, você pode dividir esse número pelo denominador da fração e multiplicar o resultado por seu numerador.

É claro que os alunos podem formular essa regra apenas para situações específicas: para encontrar 3 / 4 número 24, você pode dividir esse número pelo denominador frações 4 e multiplique o resultado pelo numerador 3.

149 . a) 12 pássaros estavam sentados em um galho; 2/3 do seu número voou para longe. Quantos pássaros voaram?

b) Há 32 alunos na turma; 3/4 de todos os alunos foram esquiar. Quantos alunos esquiaram?

150 . a) Ciclistas viajaram 48 em dois dias km. No primeiro dia eles viajaram 2/3 do caminho. Quantos quilômetros eles dirigiram no segundo dia?

b) Alguém, tendo 350 rublos, gastou 5/7 de seu dinheiro. Quanto dinheiro lhe resta?

c) Há 24 páginas no caderno. A menina preencheu todas as páginas do caderno no dia 5/8. Quantas páginas não escritas restam?

151 . Problema antigo. Comprei uma cômoda por 36 R., então tive que vendê-lo por 7/12 do preço. Quantos rublos perdi nesta venda?

152 . Autoturistas viajaram 360 em três dias km; no primeiro dia viajaram 2/5, e no segundo dia viajaram 3/8 de toda a viagem. Quantos quilômetros os autoturistas percorreram no terceiro dia?

153 . 1) Há 24 meninas e vários meninos no clube de teatro. O número de meninos é 3/8 do número de meninas. Quantos alunos estão no clube de teatro?

2) Existem 45 moedas de rublo comemorativas na coleção. O número de moedas de 3 e 5 rublos é 2/9 do número de moedas de rublo. Quantas moedas comemorativas de 1, 3 e 5 rublos estão na coleção?

Os alunos devem resolver as tarefas 154–156 primeiro encontrando a parte indicada do valor e, em seguida, aumentando ou diminuindo esse valor pela parte encontrada. Outra solução será mostrada posteriormente.

154 . 1) Reduza 90 rublos em 1/10 desse valor.

2) Aumente 80 rublos em 2/5 desse valor.

155 . No mês passado, o preço do item foi de 90 R. Agora caiu 3/10 desse valor. Qual é o preço do item agora?

156 . No mês passado o salário era de 400 R. Agora aumentou em 2/5 desse valor. Qual é o salário agora?

No processo de resolução dos problemas 157-158 e dos seguintes problemas, os alunos devem ser levados a entender e aplicar corretamente a regra para encontrar um número por sua parte:

Para encontrar um número por sua parte, expressa como uma fração, você pode dividir essa parte pelo numerador da fração e multiplicar o resultado pelo seu denominador.

A formulação desta regra é complicada devido à necessidade
de alguma forma, ligue para o número que nomeamos « papel » . Os autores de livros didáticos também precisam contornar essa dificuldade. Assim, no livro didático I.V. Baranova e Z. G. A regra de Borchug é formulada apenas para casos específicos: para encontrar um número, 3 / 5 que é 90 km, é necessário dividir 90 km pelo numerador da fração 3 e multiplicar o resultado pelo denominador da fração 5.

É assim que os alunos podem usá-lo. É verdade que, ao falar de número, é melhor não usar nomes, pois número e magnitude não são a mesma coisa. Mais tarde, no mesmo livro na p. 226, é formulada uma regra geral na qual o termo que usamos « papel » volume de negócios correspondente « o número que lhe corresponde » , o que dificilmente é mais fácil.

157 . a) 120 R. compõem 3/4 da quantidade de dinheiro disponível. Qual é essa quantia?

b) Determine o comprimento do segmento, 3/5 dos quais são iguais a 15 cm.

158 . a) Meu filho tem 10 anos. Sua idade é 2/7 da idade de seu pai. Quantos anos tem o pai?

b) Filha de 12 anos. Sua idade é 2/5 da idade da mãe. Quantos anos tem a mãe?

Para a compra de legumes, a anfitriã gastou 6 R., que equivalia a 1/6 do dinheiro que ela tinha. Então ela comprou 2 kg maçãs 7 R. por quilo. Quanto dinheiro ela tem depois dessas compras?

160 . Pai comprou um terno para seu filho por 24 R., no qual ele gastou 1/3 de seu dinheiro. Depois disso, ele comprou vários livros e tinha 39 sobrando. R. Quanto custaram os livros?

161 . O filho tem 8 anos, sua idade é 2/9 da idade de seu pai. E a idade do pai é 3/5 da idade do avô. Quantos anos tem o vovô?

162 .* Do papiro de Ahmes (Egito, c. 2000 aC).

Um pastor vem com 70 touros. Ele é perguntado:

Quantos você traz de seu numeroso rebanho?

O pastor responde:

Trago dois terços de um terço do gado. Contar!

Quantos touros há no rebanho?

Usando a calculadora de porcentagem, você pode fazer todos os tipos de cálculos usando porcentagens. Arredonda os resultados para o número desejado de casas decimais.

Que porcentagem é X de Y. Que número é X por cento de Y. Adicione ou subtraia porcentagens de um número.

Calculadora de juros

forma limpa

Quanto é % do número

Cálculo

0% do número 0 = 0

Calculadora de juros

forma limpa

Que porcentagem é o número do número

Cálculo

O número 15 do número 3000 = 0,5%

Calculadora de juros

forma limpa

adicionar % enumerar

Cálculo

Adicione 0% ao número 0 = 0

Calculadora de juros

forma limpa

Subtrair % do número

Cálculo limpar tudo

A calculadora foi projetada especificamente para calcular porcentagens. Permite realizar vários cálculos ao trabalhar com porcentagens. Funcionalmente consiste em 4 calculadoras diferentes. Exemplos de cálculos na calculadora de porcentagem, veja abaixo.

Um por cento em matemática é chamado de centésimo de um número. Por exemplo, 5% de 100 é igual a 5.
Esta calculadora permitirá que você calcule com precisão a porcentagem de um determinado número. Existem vários modos de cálculo. Você pode fazer vários cálculos usando porcentagens.

• A primeira calculadora é necessária quando você deseja calcular a porcentagem do valor. Aqueles. Você sabe o significado de porcentagem e quantidade
• A segunda é se você precisar calcular qual porcentagem é X de Y. X e Y são números e você está procurando a porcentagem do primeiro no segundo
• O terceiro modo é adicionar uma porcentagem do número especificado ao número fornecido. Por exemplo, Vasya tem 50 maçãs. Misha trouxe a Vasya outros 20% das maçãs. Quantas maçãs Vasya tem?
• A quarta calculadora é o oposto da terceira. Vasya tem 50 maçãs e Misha ficou com 30% das maçãs. Quantas maçãs restam a Vasya?

Tarefas frequentes

Tarefa 1. Um empresário individual recebe 100 mil rublos por mês. Ele trabalha de forma simplificada e paga impostos de 6% ao mês. Quanto um empreendedor individual tem que pagar de impostos por mês?

Decisão: Usamos a primeira calculadora. Digite a aposta 6 no primeiro campo, 100.000 no segundo
Recebemos 6.000 rublos. - valor do imposto.

Problema 2. Misha tem 30 maçãs. 6 ele deu a Katya. Que porcentagem do número total de maçãs Misha deu a Katya?

Decisão: Usamos a segunda calculadora - digite 6 no primeiro campo, 30 no segundo. Obtemos 20%.

Tarefa 3. No Tinkoff Bank, para reabastecer um depósito de outro banco, o depositante recebe 1% sobre o valor do reabastecimento. Kolya reabasteceu o depósito com uma transferência de outro banco no valor de 30.000. Qual é o valor total com o qual o depósito de Kolya será reabastecido.

Decisão: use a 3ª calculadora. Digite 1 no primeiro campo, 10000 no segundo. Pressionamos o cálculo, obtemos a quantidade de 10100 rublos.