Encontre um na expressão. Significado de expressões numéricas, literais e variáveis


Ao estudar o tópico de expressões numéricas, literais e expressões com variáveis, é necessário prestar atenção ao conceito valor da expressão. Neste artigo, responderemos à pergunta, qual é o valor de uma expressão numérica, e o que é chamado de valor de uma expressão literal e uma expressão com variáveis ​​com os valores selecionados das variáveis. Para esclarecer essas definições, damos exemplos.

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Qual é o valor de uma expressão numérica?

O conhecimento das expressões numéricas começa quase desde as primeiras aulas de matemática na escola. Quase imediatamente, o conceito de “valor de uma expressão numérica” é introduzido. Refere-se a expressões compostas por números ligados por sinais aritméticos (+, −, ·, :)). Vamos dar uma definição apropriada.

Definição.

O valor de uma expressão numérica- este é o número obtido após realizar todas as ações na expressão numérica original.

Por exemplo, considere a expressão numérica 1+2 . Depois de fazer , obtemos o número 3 , é o valor da expressão numérica 1+2 .

Muitas vezes na frase “valor de uma expressão numérica”, a palavra “numérico” é omitida, e eles simplesmente dizem “valor da expressão”, pois ainda fica claro qual expressão se refere.

A definição acima do significado de uma expressão também se aplica a expressões numéricas de forma mais complexa, que são estudadas no ensino médio. Aqui deve-se notar que pode-se encontrar expressões numéricas, cujos valores não podem ser especificados. Isso se deve ao fato de que em algumas expressões é impossível realizar as ações registradas. Por exemplo, portanto, não podemos especificar o valor da expressão 3:(2−2) . Essas expressões numéricas são chamadas expressões que não fazem sentido.

Muitas vezes, na prática, não é tanto a expressão numérica que interessa, mas seu valor. Ou seja, surge a tarefa, que consiste em determinar o valor dessa expressão. Nesse caso, eles costumam dizer que você precisa encontrar o valor da expressão. Neste artigo, o processo de encontrar o valor de expressões numéricas de vários tipos é analisado em detalhes, e muitos exemplos com descrições detalhadas de soluções são considerados.

Significado de expressões literais e variáveis

Além das expressões numéricas, estudam expressões literais, ou seja, expressões nas quais, junto com os números, uma ou mais letras estão presentes. As letras em uma expressão literal podem representar números diferentes e, se as letras forem substituídas por esses números, a expressão literal se tornará numérica.

Definição.

Os números que substituem letras em uma expressão literal são chamados o significado dessas letras, e o valor da expressão numérica resultante é chamado o valor da expressão literal dado os valores das letras.

Assim, para expressões literais, fala-se não apenas sobre o significado da expressão literal, mas sobre o significado da expressão literal para os valores dados (dados, indicados, etc.) das letras.

Vamos dar um exemplo. Vamos pegar a expressão literal 2·a+b . Sejam dados os valores das letras a e b, por exemplo, a=1 e b=6 . Substituindo as letras na expressão original por seus valores, obtemos uma expressão numérica da forma 2 1+6 , seu valor é 8 . Assim, o número 8 é o valor da expressão literal 2·a+b dados os valores das letras a=1 e b=6 . Se outros valores de letras fossem fornecidos, obteríamos o valor da expressão literal para esses valores de letras. Por exemplo, com a=5 e b=1 temos o valor 2 5+1=11 .

No ensino médio, ao estudar álgebra, letras em expressões literais podem assumir significados diferentes, essas letras são chamadas de variáveis ​​e expressões literais são chamadas de expressões com variáveis. Para essas expressões, é introduzido o conceito do valor de uma expressão com variáveis ​​para os valores escolhidos das variáveis. Vamos descobrir o que é.

Definição.

O valor de uma expressão com variáveis ​​para os valores selecionados das variáveis o valor de uma expressão numérica é chamado, que é obtido após a substituição dos valores selecionados das variáveis ​​​​na expressão original.

Vamos explicar a definição sonora com um exemplo. Considere uma expressão com variáveis ​​x e y da forma 3·x·y+y . Vamos pegar x=2 e y=4 , substituir esses valores de variáveis ​​na expressão original, obtemos a expressão numérica 3 2 4+4 . Vamos calcular o valor desta expressão: 3 2 4+4=24+4=28 . O valor encontrado 28 é o valor da expressão original com as variáveis ​​3·x·y+y com os valores selecionados das variáveis ​​x=2 e y=4 .

Se você escolher outros valores de variáveis, por exemplo, x=5 e y=0 , esses valores selecionados de variáveis ​​corresponderão ao valor da expressão com variáveis ​​iguais a 3 5 0+0=0 .

Pode-se notar que às vezes valores iguais da expressão podem ser obtidos para diferentes valores escolhidos das variáveis. Por exemplo, para x=9 e y=1, o valor da expressão 3 x y+y é 28 (porque 3 9 1+1=27+1=28 ), e acima mostramos que o mesmo valor é expressão com variáveis ​​tem em x=2 e y=4 .

Os valores das variáveis ​​podem ser selecionados a partir de seus respectivos faixas de valores aceitáveis. Caso contrário, substituir os valores dessas variáveis ​​na expressão original resultará em uma expressão numérica que não faz sentido. Por exemplo, se você escolher x=0 e substituir esse valor na expressão 1/x , obterá a expressão numérica 1/0 , o que não faz sentido porque a divisão por zero é indefinida.

Resta acrescentar que existem expressões com variáveis ​​cujos valores não dependem dos valores das variáveis ​​contidas nelas. Por exemplo, o valor de uma expressão com uma variável x da forma 2+x−x não depende do valor dessa variável, é igual a 2 para qualquer valor escolhido da variável x de seu intervalo de valores válidos, que neste caso é o conjunto de todos os números reais.

Bibliografia.

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Fórmula

Adição, subtração, multiplicação, divisão - operações aritméticas (ou operaçoes aritimeticas). Estas operações aritméticas correspondem aos sinais das operações aritméticas:

+ (leitura " mais") - o sinal da operação de adição,

- (leitura " menos") - o sinal da operação de subtração,

∙ (leitura " multiplicar") - o sinal da operação de multiplicação,

: (leitura " dividir") é o sinal da operação de divisão.

Um registro que consiste em números interligados por sinais de operações aritméticas é chamado expressão numérica. Os parênteses também podem estar presentes em uma expressão numérica. Por exemplo, a entrada 1290 : 2 - (3 + 20 ∙ 15) é uma expressão numérica.

O resultado da execução de operações em números em uma expressão numérica é chamado o valor de uma expressão numérica. A execução dessas ações é chamada de cálculo do valor de uma expressão numérica. Antes de escrever o valor de uma expressão numérica, coloque sinal de igual"=". A Tabela 1 mostra exemplos de expressões numéricas e seus significados.

Um registro composto por números e letras minúsculas do alfabeto latino, interligados por sinais de operações aritméticas é chamado expressão literal. Esta entrada pode conter parênteses. Por exemplo, a entrada um +b - 3 ∙cé uma expressão literal. Em vez de letras em uma expressão literal, você pode substituir vários números. Nesse caso, o significado das letras pode mudar, então as letras na expressão literal também são chamadas variáveis.

Substituindo números em vez de letras na expressão literal e calculando o valor da expressão numérica resultante, eles encontram o valor de uma expressão literal dados os valores das letras(para os valores dados das variáveis). A Tabela 2 mostra exemplos de expressões literais.

Uma expressão literal pode não ter valor se, substituindo os valores das letras, for obtida uma expressão numérica cujo valor para números naturais não puder ser encontrado. Essa expressão numérica é chamada incorreta para números naturais. Eles também dizem que o significado de tal expressão " Indefinido" para números naturais, e a própria expressão "não faz sentido". Por exemplo, a expressão literal a-b não importa para a = 10 e b = 17. De fato, para números naturais, o minuendo não pode ser menor que o subtraendo. Por exemplo, tendo apenas 10 maçãs (a = 10), você não pode dar 17 delas (b = 17)!

A Tabela 2 (coluna 2) mostra um exemplo de uma expressão literal. Por analogia, preencha a tabela completamente.

Para números naturais, a expressão 10 -17 errado (não faz sentido), ou seja a diferença 10 -17 não pode ser expressa como um número natural. Outro exemplo: você não pode dividir por zero, então para qualquer número natural b, o quociente b:0 Indefinido.

Leis matemáticas, propriedades, algumas regras e relações são muitas vezes escritas na forma literal (ou seja, na forma de uma expressão literal). Nesses casos, a expressão literal é chamada Fórmula. Por exemplo, se os lados de um heptágono são iguais uma,b,c,d,e,f,g, então a fórmula (expressão literal) para calcular seu perímetro p parece:


p=um +b +c +d+e +f+g

Para a = 1, b = 2, c = 4, d = 5, e = 5, f = 7, g = 9, o perímetro do heptágono é p = a + b + c + d + e + f + g = 1 + 2 + 4 + 5 +5 + 7 + 9 = 33.

Para a = 12, b = 5, c = 20, d = 35, e = 4, f = 40, g = 18, o perímetro de outro heptágono é p = a + b + c + d + e + f + g = 12 + 5 + 20 + 35 + 4 + 40 + 18 = 134.

Bloco 1. Dicionário

Faça um dicionário de novos termos e definições do parágrafo. Para fazer isso, nas células vazias, insira as palavras da lista de termos abaixo. Na tabela (no final do bloco), indique os números de termos de acordo com os números dos quadros. Recomenda-se revisar cuidadosamente o parágrafo antes de preencher as células do dicionário.

  1. Operações: adição, subtração, multiplicação, divisão.

2. Sinais "+" (mais), "-" (menos), "∙" (multiplicar, " : " (dividir).

3. Um registo constituído por números interligados por sinais de operações aritméticas e em que também podem estar presentes parênteses.

4. O resultado de realizar operações em números em termos numéricos.

5. O sinal antes do valor de uma expressão numérica.

6. Uma entrada composta por números e letras minúsculas do alfabeto latino, interligadas por sinais de operações aritméticas (podem também estar presentes colchetes).

7. O nome comum das letras na expressão literal.

8. O valor de uma expressão numérica, que é obtido pela substituição de variáveis ​​em uma expressão literal.

9. Expressão numérica cujo valor para números naturais não pode ser encontrado.

10. Expressão numérica cujo valor para números naturais pode ser encontrado.

11. Leis matemáticas, propriedades, algumas regras e proporções escritas em forma literal.

12. Um alfabeto cujas letras minúsculas são usadas para escrever expressões literais.

Bloco 2. Partida

Combine a tarefa da coluna da esquerda com a solução da direita. Escreva a resposta na forma: 1a, 2d, 3b ...

Bloco 3. Teste de facetas. Expressões numéricas e alfabéticas

Testes facetados substituem coleções de problemas em matemática, mas se comparam favoravelmente com eles, pois podem ser resolvidos em um computador, verificar soluções e descobrir imediatamente o resultado do trabalho. Este teste contém 70 tarefas. Mas você pode resolver os problemas por opção, para isso existe uma tabela de avaliação, que lista as tarefas simples e as mais difíceis. Abaixo está um teste.

  1. Dado um triângulo com lados c,d,m, expresso em cm
  2. Dado um quadrilátero com lados b,c,d,m expresso em m
  3. A velocidade do carro em km/h é b, tempo de viagem em horas é d
  4. Distância percorrida por um turista m horas, é com km
  5. A distância percorrida por um turista que se desloca a uma velocidade m km/h é b km
  6. A soma de dois números é maior que o segundo número por 15
  7. A diferença é menor que a reduzida em 7
  8. Um navio de passageiros tem dois decks com o mesmo número de assentos de passageiros. Em cada uma das fileiras do convés m assentos, filas no convés n mais do que assentos em fila
  9. Petya tem m anos Masha tem n anos e Katya é k anos mais nova que Petya e Masha juntos
  10. m=8, n=10, k=5
  11. m=6, n=8, k=15
  12. t=121, x=1458

  1. O valor desta expressão
  2. A expressão literal para o perímetro é
  3. Perímetro expresso em centímetros
  4. Fórmula da distância s percorrida pelo carro
  5. Fórmula de velocidade v, movimentos turísticos
  6. Fórmula do tempo t, movimentos turísticos
  7. Distância percorrida de carro em quilômetros
  8. Velocidade do turista em quilômetros por hora
  9. Tempo de viagem em horas
  10. O primeiro número é...
  11. Subtraído é igual….
  12. A expressão para o maior número de passageiros que o transatlântico pode transportar em k voos
  13. O maior número de passageiros que um avião pode transportar em k voos
  14. Expressão de letras para a idade de Katya
  15. A idade de Katya
  16. A coordenada do ponto B, se a coordenada do ponto C for t
  17. A coordenada do ponto D, se a coordenada do ponto C for t
  18. A coordenada do ponto A, se a coordenada do ponto C for t
  19. O comprimento do segmento BD na reta numérica
  20. O comprimento do segmento CA na reta numérica
  21. O comprimento do segmento DA na reta numérica

Uma expressão numérica é um registro de números em conjunto com operações aritméticas e colchetes. Quando variáveis ​​são usadas em uma expressão junto com números e toda a expressão é composta com significado, ela é chamada de expressão algébrica (literal). Se a expressão contiver funções trigonométricas diretas, derivadas, inversas e outras, então a expressão é chamada de trigonométrica. Um grande número de exemplos e problemas usando várias expressões são detalhados no curso de matemática escolar.

As principais coisas a serem lembradas:

1. O valor de uma expressão numérica será o número obtido realizando operações aritméticas nesta expressão. O principal é executar consistentemente operações aritméticas. Para simplificar toda a operação, as etapas podem ser numeradas. Se a expressão contiver colchetes, primeiro executamos a ação correspondente ao caractere entre colchetes. A exponenciação será o próximo passo. Em seguida, em prioridade, realizamos a multiplicação ou divisão, e apenas no final, adição e subtração.

Agora vamos encontrar o valor da expressão numérica 5+20*(60-45). Vamos nos livrar dos parênteses primeiro. Executando a ação, obtemos 60-45=15. Agora temos 5+20*15. A próxima ação é a multiplicação 20*15=300. E a última ação será a adição, nós a realizamos e obtemos o resultado final 5 + 300 = 305.

2. Em um ângulo conhecido? Ao trabalhar com expressões trigonométricas, você precisará conhecer as fórmulas trigonométricas básicas que ajudarão a simplificar a expressão. Vamos encontrar o valor da expressão cos 12? cos 18? - pecado 12? pecado 18?. Para simplificar essa expressão, usamos a fórmula cos (? +?) = cos? porque? - pecado? sin?, então temos cos 12? cos 18? - pecado 12? sin 18?= cos(12? +18?)= cos30? =v3?2.

3. Expressões com variáveis. Deve ser lembrado que o valor de uma expressão algébrica depende diretamente da variável. As variáveis ​​podem ser denotadas por letras do alfabeto grego ou latino. Quando temos os parâmetros dados de uma expressão algébrica, primeiro precisamos simplificá-la. Depois disso, é necessário substituir as variáveis ​​dadas e realizar operações aritméticas. Como resultado, com as variáveis ​​fornecidas, obteremos um número, que será o valor da expressão algébrica. Considere um exemplo onde você precisa encontrar o valor da expressão 3(a+y)+2(3a+2y) com a=4 e y=5. Simplifique esta expressão e obtenha 3a+3y+6a+4y=9a+7y. Agora você precisa substituir o valor das variáveis ​​e calcular, o resultado obtido será o valor da expressão. Então temos 9a+7y com a=4 e y=5 temos 36+35=71. Observe que as expressões algébricas nem sempre fazem sentido. Por exemplo, a expressão 15:(b-4) faz sentido para qualquer b diferente de b =4.

Este artigo discute como encontrar os valores de expressões matemáticas. Vamos começar com expressões numéricas simples e, em seguida, consideraremos os casos à medida que sua complexidade aumenta. No final, damos uma expressão contendo designações de letras, colchetes, raízes, sinais matemáticos especiais, graus, funções, etc. Toda a teoria, segundo a tradição, será provida de exemplos abundantes e detalhados.

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Como encontrar o valor de uma expressão numérica?

Expressões numéricas, entre outras coisas, ajudam a descrever a condição do problema em linguagem matemática. Em geral, as expressões matemáticas podem ser muito simples, consistindo de um par de números e sinais aritméticos, ou muito complexas, contendo funções, graus, raízes, colchetes, etc. Como parte da tarefa, muitas vezes é necessário encontrar o valor de uma expressão. Como fazer isso será discutido abaixo.

Os casos mais simples

São casos em que a expressão não contém nada além de números e aritmética. Para encontrar com sucesso os valores de tais expressões, você precisará conhecer a ordem em que as operações aritméticas são executadas sem colchetes, bem como a capacidade de realizar operações com números diferentes.

Se a expressão contiver apenas números e sinais aritméticos " + " , " · " , " - " , " ÷ " , as operações serão executadas da esquerda para a direita na seguinte ordem: primeiro multiplicação e divisão, depois adição e subtração. Vamos dar exemplos.

Exemplo 1. O valor de uma expressão numérica

Seja necessário encontrar os valores da expressão 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 .

Vamos fazer a multiplicação e a divisão primeiro. Nós temos:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3 .

Agora subtraímos e obtemos o resultado final:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Exemplo 2. O valor de uma expressão numérica

Vamos calcular: 0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 .

Primeiro, realizamos a conversão de frações, divisão e multiplicação:

0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9 .

Agora vamos fazer adição e subtração. Vamos agrupar as frações e trazê-las para um denominador comum:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

O valor desejado é encontrado.

Expressões com colchetes

Se uma expressão contiver colchetes, eles determinarão a ordem das ações nessa expressão. Primeiro, as ações entre parênteses são executadas e, em seguida, todo o resto. Vamos mostrar isso com um exemplo.

Exemplo 3. O valor de uma expressão numérica

Encontre o valor da expressão 0 . 5 · (0 . 76 - 0 . 06) .

A expressão contém colchetes, então primeiro realizamos a operação de subtração entre colchetes e só depois a multiplicação.

0,5 (0,76 - 0,06) = 0,5 0,7 = 0,35.

O valor de expressões contendo colchetes entre colchetes é encontrado de acordo com o mesmo princípio.

Exemplo 4. O valor de uma expressão numérica

Vamos calcular o valor 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 .

Vamos realizar ações começando pelos colchetes mais internos, passando para os mais externos.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2 , 5 = 1 + 2 6 = 13 .

Ao encontrar os valores das expressões com colchetes, o principal é seguir a sequência de ações.

Expressões com raízes

Expressões matemáticas cujos valores precisamos encontrar podem conter sinais de raiz. Além disso, a própria expressão pode estar sob o signo da raiz. Como estar nesse caso? Primeiro você precisa encontrar o valor da expressão sob a raiz e, em seguida, extrair a raiz do número resultante. Se possível, é melhor se livrar de raízes em expressões numéricas, substituindo por valores numéricos.

Exemplo 5. O valor de uma expressão numérica

Vamos calcular o valor da expressão com raízes - 2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2 , 2 + 0 , 1 0 , 5 .

Primeiro, calculamos as expressões radicais.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Agora podemos calcular o valor de toda a expressão.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Muitas vezes, para encontrar o valor de uma expressão com raízes, muitas vezes é necessário primeiro transformar a expressão original. Vamos explicar isso com outro exemplo.

Exemplo 6. O valor de uma expressão numérica

O que é 3 + 1 3 - 1 - 1

Como você pode ver, não temos a capacidade de substituir a raiz por um valor exato, o que complica o processo de contagem. No entanto, neste caso, você pode aplicar a fórmula de multiplicação abreviada.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Por isso:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Expressões com poderes

Se a expressão contiver poderes, seus valores devem ser calculados antes de prosseguir com todas as outras ações. Acontece que o próprio expoente ou a base do grau são expressões. Nesse caso, o valor dessas expressões é calculado primeiro e, em seguida, o valor do grau.

Exemplo 7. O valor de uma expressão numérica

Encontre o valor da expressão 2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 .

Começamos a calcular em ordem.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 1 8 = 2.

Resta apenas realizar a operação de adição e descobrir o valor da expressão:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6 .

Muitas vezes também é aconselhável simplificar a expressão usando as propriedades do grau.

Exemplo 8. O valor de uma expressão numérica

Vamos calcular o valor da seguinte expressão: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Os expoentes são novamente tais que seus valores numéricos exatos não podem ser obtidos. Simplifique a expressão original para encontrar seu valor.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Expressões com frações

Se uma expressão contiver frações, ao calcular essa expressão, todas as frações nela devem ser representadas como frações ordinárias e seus valores calculados.

Se houver expressões no numerador e denominador da fração, os valores dessas expressões serão calculados primeiro e o valor final da própria fração será registrado. As operações aritméticas são executadas na ordem padrão. Vamos considerar uma solução de exemplo.

Exemplo 9. O valor de uma expressão numérica

Vamos encontrar o valor da expressão contendo frações: 3 , 2 2 - 3 7 - 2 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 .

Como você pode ver, existem três frações na expressão original. Vamos primeiro calcular seus valores.

3 , 2 2 = 3 , 2 ÷ 2 = 1 , 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1 .

Vamos reescrever nossa expressão e calcular seu valor:

1 , 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1 , 6 - 0 , 5 ÷ 1 = 1 , 1

Muitas vezes, ao encontrar os valores das expressões, é conveniente reduzir frações. Existe uma regra tácita: antes de encontrar seu valor, qualquer expressão é melhor simplificada ao máximo, reduzindo todos os cálculos aos casos mais simples.

Exemplo 10. O valor de uma expressão numérica

Vamos calcular a expressão 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Não podemos extrair completamente a raiz de cinco, mas podemos simplificar a expressão original por meio de transformações.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

A expressão original assume a forma:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Vamos calcular o valor desta expressão:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Expressões com logaritmos

Quando os logaritmos estão presentes em uma expressão, seu valor, se possível, é calculado desde o início. Por exemplo, na expressão log 2 4 + 2 4, você pode escrever imediatamente o valor desse logaritmo em vez de log 2 4 e, em seguida, executar todas as ações. Obtemos: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10 .

Expressões numéricas também podem ser encontradas sob o sinal do logaritmo e em sua base. Nesse caso, o primeiro passo é encontrar seus valores. Vamos pegar a expressão log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 . Nós temos:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10 .

Se for impossível calcular o valor exato do logaritmo, simplificar a expressão ajuda a encontrar seu valor.

Exemplo 11. O valor de uma expressão numérica

Encontre o valor da expressão log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 .

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

Pela propriedade dos logaritmos:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1 .

Novamente aplicando as propriedades dos logaritmos, para a última fração da expressão temos:

log 5 729 log 0 , 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2 .

Agora você pode prosseguir para o cálculo do valor da expressão original.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2 .

Expressões com funções trigonométricas

Acontece que na expressão existem funções trigonométricas de seno, cosseno, tangente e cotangente, bem como funções inversas a elas. A partir do valor são calculados antes que todas as outras operações aritméticas sejam executadas. Caso contrário, a expressão é simplificada.

Exemplo 12. O valor de uma expressão numérica

Encontre o valor da expressão: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Primeiro, calculamos os valores das funções trigonométricas incluídas na expressão.

sin - 5 π 2 \u003d - 1

Substitua os valores na expressão e calcule seu valor:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ \u003d 3 2 - (- 1) + (- 1) \u003d 3 + 1 - 1 \u003d 3.

O valor da expressão é encontrado.

Muitas vezes, para encontrar o valor de uma expressão com funções trigonométricas, ela deve primeiro ser convertida. Vamos explicar com um exemplo.

Exemplo 13. O valor de uma expressão numérica

É necessário encontrar o valor da expressão cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.

Para a transformação, usaremos as fórmulas trigonométricas para o cosseno do ângulo duplo e o cosseno da soma.

cos 2 π 8 - sen 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sen 5 π 36 sen π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0 .

Caso geral de expressão numérica

No caso geral, uma expressão trigonométrica pode conter todos os elementos descritos acima: colchetes, graus, raízes, logaritmos, funções. Vamos formular uma regra geral para encontrar os valores de tais expressões.

Como encontrar o valor de uma expressão

  1. Raízes, potências, logaritmos, etc. são substituídos por seus valores.
  2. As ações entre parênteses são executadas.
  3. As etapas restantes são executadas na ordem da esquerda para a direita. Primeiro - multiplicação e divisão, depois - adição e subtração.

Vamos dar um exemplo.

Exemplo 14. O valor de uma expressão numérica

Vamos calcular qual é o valor da expressão - 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 .

A expressão é bastante complexa e complicada. Não é por acaso que escolhemos exatamente esse exemplo, tentando encaixar nele todos os casos descritos acima. Como encontrar o valor de tal expressão?

Sabe-se que, ao calcular o valor de uma forma fracionária complexa, primeiro os valores do numerador e do denominador da fração são encontrados separadamente, respectivamente. Vamos transformar e simplificar sucessivamente esta expressão.

Em primeiro lugar, calculamos o valor da expressão radical 2 sen π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Para fazer isso, você precisa encontrar o valor do seno e a expressão que é o argumento da função trigonométrica.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Agora você pode descobrir o valor do seno:

sen π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sen π 6 + 2 π = sen π 6 = 1 2 .

Calculamos o valor da expressão radical:

2 sen π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 sen π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

Com o denominador de uma fração, tudo fica mais fácil:

Agora podemos escrever o valor da fração inteira:

2 sen π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1.

Com isso em mente, escrevemos a expressão inteira:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Resultado final:

2 sen π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

Nesse caso, conseguimos calcular valores exatos para raízes, logaritmos, senos e assim por diante. Se isso não for possível, você pode tentar se livrar deles por transformações matemáticas.

Computando Expressões de Forma Racional

Os valores numéricos devem ser calculados de forma consistente e precisa. Este processo pode ser racionalizado e acelerado usando várias propriedades de operações com números. Por exemplo, sabe-se que o produto é igual a zero se pelo menos um dos fatores for igual a zero. Dada esta propriedade, podemos dizer imediatamente que a expressão 2 386 + 5 + 589 4 1 - sen 3 π 4 0 é igual a zero. Nesse caso, não é necessário executar as etapas na ordem descrita no artigo acima.

Também é conveniente usar a propriedade de subtrair números iguais. Sem realizar nenhuma ação, é possível ordenar que o valor da expressão 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 também seja igual a zero.

Outra técnica que permite acelerar o processo é o uso de transformações idênticas, como agrupar termos e fatores e tirar o fator comum dos colchetes. Uma abordagem racional para calcular expressões com frações é reduzir as mesmas expressões no numerador e no denominador.

Por exemplo, vamos pegar a expressão 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 . Sem realizar ações entre parênteses, mas reduzindo a fração, podemos dizer que o valor da expressão é 1 3 .

Encontrando os valores de expressões com variáveis

O valor de uma expressão literal e uma expressão com variáveis ​​é encontrado para valores específicos de letras e variáveis.

Encontrando os valores de expressões com variáveis

Para encontrar o valor de uma expressão literal e uma expressão com variáveis, você precisa substituir os valores dados de letras e variáveis ​​na expressão original e, em seguida, calcular o valor da expressão numérica resultante.

Exemplo 15. O valor de uma expressão com variáveis

Calcule o valor da expressão 0 , 5 x - y dado x = 2 , 4 e y = 5 .

Substituímos os valores das variáveis ​​na expressão e calculamos:

0 , 5 x - y = 0 , 5 2 . 4 - 5 = 1 . 2 - 5 = - 3 . 8 .

Às vezes é possível transformar uma expressão de forma a obter seu valor independentemente dos valores das letras e variáveis ​​incluídas nela. Para fazer isso, é necessário se livrar de letras e variáveis ​​na expressão, se possível, usando transformações idênticas, propriedades de operações aritméticas e todos os outros métodos possíveis.

Por exemplo, a expressão x + 3 - x obviamente tem o valor 3, e não é necessário saber o valor de x para calcular esse valor. O valor desta expressão é igual a três para todos os valores da variável x de seu intervalo de valores válidos.

Mais um exemplo. O valor da expressão x x é igual a um para todos os x positivos.

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Vocês, como pais, no processo de ensinar seu filho, muitas vezes enfrentarão a necessidade de ajuda na resolução de problemas de lição de casa em matemática, álgebra e geometria. E uma das habilidades básicas que você precisa aprender é como encontrar o valor de uma expressão. Muitos param, porque quantos anos se passaram desde que estávamos nas séries 3-5? Muito já foi esquecido, mas algo não foi aprendido. As próprias regras das operações matemáticas são simples e você pode lembrá-las facilmente. Vamos começar com o básico do que é uma expressão matemática.

Definição de expressão

Expressão matemática - um conjunto de números, sinais de ação (=, +, -, *, /), colchetes, variáveis. Resumidamente, esta é uma fórmula cujo valor precisará ser encontrado. Tais fórmulas são encontradas no curso de matemática desde a escola, e então perseguem os alunos que optaram por especialidades relacionadas às ciências exatas. As expressões matemáticas são divididas em trigonométricas, algébricas e assim por diante, não vamos nos deparar com os próprios "selvagens".

  1. Faça os cálculos primeiro em um rascunho e depois reescreva-o em uma pasta de trabalho. Assim, você evitará rasuras e sujeiras desnecessárias;
  2. Recalcule o número total de operações matemáticas que precisarão ser executadas na expressão. Observe que, de acordo com as regras, as operações entre parênteses são realizadas primeiro, depois a divisão e a multiplicação e, no final, a subtração e a adição. Recomendamos que você destaque todas as ações com um lápis e coloque números acima das ações na ordem em que são executadas. Nesse caso, será mais fácil para você e para a criança navegarem;
  3. Comece a fazer cálculos seguindo estritamente a ordem em que as ações são executadas. Deixe a criança, se o cálculo for simples, tentar fazê-lo em sua mente, mas se for difícil, coloque em um lápis o número correspondente ao número ordinal da expressão e faça o cálculo por escrito sob a fórmula;
  4. Como regra, encontrar o valor de uma expressão simples não é difícil se todos os cálculos forem realizados de acordo com as regras e a ordem correta. A maioria se depara com um problema nesta fase de encontrar o valor da expressão, portanto, tenha cuidado e não cometa erros;
  5. Proibir a calculadora. Fórmulas matemáticas e tarefas em si podem não ser úteis para seu filho, mas esse não é o objetivo de estudar o assunto. O principal é o desenvolvimento do pensamento lógico. Se você usar calculadoras, o significado de tudo será perdido;
  6. Sua tarefa como pai não é resolver problemas para a criança, mas ajudá-la nisso, orientá-la. Deixe-o fazer todos os cálculos sozinho, e você se certifica de que ele não cometa erros, explique por que você precisa fazer dessa maneira e não de outra.
  7. Depois que a resposta para a expressão for encontrada, anote-a após o sinal "=";
  8. Abra a última página do seu livro de matemática. Normalmente, há respostas para cada exercício no livro. Não interfere em verificar se tudo está calculado corretamente.

Encontrar o valor de uma expressão é, por um lado, um procedimento simples, o principal é lembrar as regras básicas que passamos no curso de matemática escolar. No entanto, por outro lado, quando você precisa ajudar seu bebê a lidar com fórmulas e resolver problemas, a questão se torna mais complicada. Afinal, você agora não é um aluno, mas um professor, e a educação do futuro Einstein está em seus ombros.

Esperamos que nosso artigo tenha ajudado você a encontrar a resposta para a questão de como encontrar o valor de uma expressão, e você pode facilmente descobrir qualquer fórmula!

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