• 05.10.2014

  Se não for suposto usar mais de duas fontes de sinal, faz sentido usar um seletor automático que conecte à entrada do pré-amplificador a fonte na saída da qual o sinal apareceu. Como pode ser visto no diagrama, o seletor contém um gatilho nos transistores VT1, VT2 e dois geradores de sinais que o controlam. Por sua vez, cada um dos shapers ...

• 29.10.2014

  Chip - TDA2822 é um amplificador estéreo de baixa potência, este op-amp é usado em players de Walkman e aparelhos auditivos. TDA2822 pode produzir até 0,25W O TDA2822 é uma excelente solução de saída de baixa impedância. Autor — D. Mohankumar Fonte — http://electroschematics.com

• 04.10.2014

  O circuito sem alimentação de estrangulamento das lâmpadas fluorescentes é mostrado na figura. A lâmpada incandescente é conectada em série com o retificador (o retificador é montado de acordo com o circuito dobrador de tensão). O uso de uma lâmpada incandescente em vez de capacitores de lastro é mais prático, ela queima no piso incandescente, quando um dos capacitores quebra, queima em pleno calor, sinalizando assim um mau funcionamento. Os filamentos...

• 06.10.2014

  O pré-amplificador é feito em um IC K1401UD2A, que contém 4 op-amps, em versão estéreo, 2 op-amps por canal. O coeficiente global de transferência (ganho) é igual a 5, a tensão máxima de entrada é 0,5V, a nominal é 0,2V. Impedância de entrada 100 kOhm. A faixa de frequência é de 30 ... 20000 Hz com uma resposta de frequência irregular de 2 dB. Ajuste de resposta de frequência 6 bandas com frequências centrais 60, 200, 1000, ...

Neste artigo, vamos entender o que é grau de. Aqui daremos definições do grau de um número, considerando em detalhes todos os possíveis expoentes do grau, começando com um expoente natural, terminando com um irracional. No material você encontrará muitos exemplos de graus que cobrem todas as sutilezas que surgem.

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Grau com expoente natural, quadrado de um número, cubo de um número

Vamos começar com . Olhando adiante, digamos que a definição do grau de a com expoente natural n seja dada para a , que chamaremos base de grau, e n , que chamaremos de expoente. Observamos também que o grau com um indicador natural é determinado através do produto, portanto, para entender o material abaixo, você precisa ter uma ideia sobre a multiplicação de números.

Definição.

Potência do número a com expoente natural né uma expressão da forma a n , cujo valor é igual ao produto de n fatores, cada um dos quais é igual a a , ou seja, .
Em particular, o grau de um número a com expoente 1 é o próprio número a, ou seja, a 1 = a.

Imediatamente vale a pena mencionar as regras para a leitura de graus. A maneira universal de ler a entrada a n é: "a elevado a n". Em alguns casos, essas opções também são aceitáveis: "a elevado à enésima potência" e "nésima potência do número a". Por exemplo, vamos pegar a potência de 8 12, isto é "oito à potência de doze", ou "oito à décima segunda potência", ou "décima segunda potência de oito".

A segunda potência de um número, assim como a terceira potência de um número, têm seus próprios nomes. A segunda potência de um número chama-se o quadrado de um número, por exemplo, 7 2 é lido como "sete ao quadrado" ou "quadrado do número sete". A terceira potência de um número chama-se número do cubo, por exemplo, 5 3 pode ser lido como "cinco ao cubo" ou dizer "cubo do número 5".

É hora de trazer exemplos de graus com indicadores físicos. Vamos começar com a potência de 5 7 , onde 5 é a base da potência e 7 é o expoente. Vamos dar outro exemplo: 4,32 é a base, e o número natural 9 é o expoente (4,32) 9 .

Observe que no último exemplo, a base do grau 4,32 está escrita entre parênteses: para evitar discrepâncias, colocaremos entre parênteses todas as bases do grau que são diferentes dos números naturais. Como exemplo, damos os seguintes graus com indicadores naturais , suas bases não são números naturais, então eles são escritos entre parênteses. Bem, para maior clareza neste ponto, mostraremos a diferença contida nos registros da forma (−2) 3 e −2 3 . A expressão (−2) 3 é a potência de −2 com expoente natural 3, e a expressão −2 3 (pode ser escrita como −(2 3) ) corresponde ao número, o valor da potência 2 3 .

Observe que há uma notação para o grau de a com um expoente n da forma a^n . Além disso, se n é um número natural multivalorado, então o expoente é tomado entre parênteses. Por exemplo, 4^9 é outra notação para a potência de 4 9 . E aqui estão mais exemplos de como escrever graus usando o símbolo “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . No que segue, usaremos principalmente a notação do grau da forma a n .

Um dos problemas, o inverso da exponenciação com um expoente natural, é o problema de encontrar a base do grau a partir de um valor conhecido do grau e de um expoente conhecido. Esta tarefa leva a .

Sabe-se que o conjunto dos números racionais é composto por números inteiros e fracionários, e cada número fracionário pode ser representado como uma fração ordinária positiva ou negativa. Definimos o grau com um expoente inteiro no parágrafo anterior, portanto, para completar a definição do grau com um expoente racional, precisamos dar o significado do grau do número a com um expoente fracionário m / n, onde m é um número inteiro e n é um número natural. Vamos fazê-lo.

Considere um grau com um expoente fracionário da forma . Para que a propriedade de grau em um grau permaneça válida, a igualdade deve valer . Se levarmos em conta a igualdade resultante e a forma como definimos , então é lógico aceitar, desde que para dados m, n e a, a expressão faça sentido.

É fácil verificar que todas as propriedades de um grau com expoente inteiro são válidas para as (isso é feito na seção sobre propriedades de um grau com expoente racional).

O raciocínio acima nos permite fazer o seguinte conclusão: se para dados m, n e a a expressão fizer sentido, então a potência do número a com um expoente fracionário m / n é a raiz do enésimo grau de a elevado à potência m.

Esta afirmação nos aproxima da definição de um grau com um expoente fracionário. Resta apenas descrever para quais m, n e a a expressão faz sentido. Dependendo das restrições impostas a m , n e a, existem duas abordagens principais.

A maneira mais fácil de restringir a é assumir a≥0 para m positivo e a>0 para m negativo (porque m≤0 não tem potência de 0 m). Então obtemos a seguinte definição do grau com um expoente fracionário.

Definição.

Potência de um número positivo a com expoente fracionário m/n, onde m é um número inteiro e n é um número natural, é chamado de raiz da n-ésima parte do número a elevado à potência de m, ou seja, .

O grau fracionário de zero também é definido com a única ressalva de que o expoente deve ser positivo.

Definição.

Potência de zero com expoente positivo fracionário m/n, onde m é um número inteiro positivo e n é um número natural, é definido como .
Quando o grau não está definido, ou seja, o grau do número zero com um expoente negativo fracionário não faz sentido.

Deve-se notar que com tal definição do grau com um expoente fracionário, há uma nuance: para alguns a negativos e alguns m e n, a expressão faz sentido, e descartamos esses casos introduzindo a condição a≥0 . Por exemplo, faz sentido escrever ou , e a definição acima nos obriga a dizer que graus com um expoente fracionário da forma não têm sentido, pois a base não deve ser negativa.

Outra abordagem para determinar o grau com um expoente fracionário m / n é considerar separadamente os expoentes pares e ímpares da raiz. Esta abordagem requer uma condição adicional: o grau do número a, cujo expoente é , é considerado o grau do número a, cujo expoente é a fração irredutível correspondente (a importância desta condição será explicada abaixo). Ou seja, se m/n é uma fração irredutível, então para qualquer número natural k o grau é primeiro substituído por .

Para n par e m positivo, a expressão faz sentido para qualquer a não negativo (a raiz de um grau par de um número negativo não faz sentido), para m negativo, o número a ainda deve ser diferente de zero (caso contrário, será uma divisão por zero). E para n ímpar e m positivo, o número a pode ser qualquer coisa (a raiz de um grau ímpar é definida para qualquer número real), e para m negativo, o número a deve ser diferente de zero (para que não haja divisão por zero).

O raciocínio acima nos leva a tal definição do grau com um expoente fracionário.

Definição.

Seja m/n uma fração irredutível, m um número inteiro e n um número natural. Para qualquer fração ordinária redutível, o grau é substituído por . A potência de a com um expoente fracionário irredutível m / n é para



Vamos explicar por que um grau com um expoente fracionário redutível é primeiro substituído por um grau com um expoente irredutível. Se simplesmente definissemos o grau como , e não fizéssemos uma ressalva sobre a irredutibilidade da fração m / n , encontraríamos situações semelhantes às seguintes: desde 6/10=3/5 , então a igualdade , mas , uma .

objetivo principal

Familiarizar os alunos com as propriedades dos graus com indicadores naturais e ensiná-los a realizar ações com graus.

Tópico “Grau e suas propriedades” inclui três perguntas:

• Determinação do grau com um indicador natural.
• Multiplicação e divisão de poderes.
• Exponenciação de produto e grau.

perguntas do teste

1. Formule a definição de um grau com um expoente natural maior que 1. Dê um exemplo.
2. Formule uma definição do grau com um indicador de 1. Dê um exemplo.
3. Qual é a ordem das operações ao avaliar o valor de uma expressão contendo potências?
4. Formule a propriedade principal do grau. Dê um exemplo.
5. Formule uma regra para multiplicar potências com a mesma base. Dê um exemplo.
6. Formule uma regra para dividir poderes com as mesmas bases. Dê um exemplo.
7. Formule a regra de exponenciação de um produto. Dê um exemplo. Prove a identidade (ab) n = a n b n .
8. Formule uma regra para elevar um grau a um poder. Dê um exemplo. Prove a identidade (a m) n = a m n .

Definição de grau.

grau de número uma com um indicador natural n, maior que 1, é chamado de produto de n fatores, cada um dos quais é igual a uma. grau de número uma com expoente 1 o próprio número é chamado uma.

Grau com base uma e indicador n está escrito assim: a. lê-se " uma na medida em que n”; “ n-ésima potência de um número uma ”.

Por definição de grau:

a 4 = a a a a

. . . . . . . . . . . .

Encontrar o valor do grau é chamado exponenciação .

1. Exemplos de exponenciação:

3 3 = 3 3 3 = 27

0 4 = 0 0 0 0 = 0

(-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125

25 ; 0,09 ;

25 = 5 2 ; 0,09 = (0,3) 2 ; .

27 ; 0,001 ; 8 .

27 = 3 3 ; 0,001 = (0,1) 3 ; 8 = 2 3 .

4. Encontre valores de expressão:

a) 3 10 3 = 3 10 10 10 = 3 1000 = 3000

b) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

Opção 1

a) 0,3 0,3 0,3

c) b b b b b b b

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Quadrar os números:

3. Cubra os números:

4. Encontre valores de expressão:

c) -1 4 + (-2) 3

d) -4 3 + (-3) 2

e) 100 - 5 2 4

Multiplicação de poderes.

Para qualquer número a e números arbitrários m e n, o seguinte é verdadeiro:

a m a n = a m + n .

Prova:

regra : Ao multiplicar potências com a mesma base, as bases permanecem as mesmas e os expoentes são adicionados.

a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k

a) x 5 x 4 = x 5 + 4 = x 9

b) s s 6 = s 1 s 6 = s 1 + 6 = s 7

c) b 2 b 5 b 4 \u003d b 2 + 5 + 4 \u003d b 11

d) 3 4 9 = 3 4 3 2 = 3 6

e) 0,01 0,1 3 = 0,1 2 0,1 3 = 0,1 5

a) 2 3 2 = 2 4 = 16

b) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187

Opção 1

1. Apresentar como diploma:

a) x 3 x 4 e) x 2 x 3 x 4

b) a 6 a 2 g) 3 3 9

c) 4 y h) 7 4 49

d) a a 8 i) 16 2 7

e) 2 3 2 4 j) 0,3 3 0,09

2. Apresente como grau e encontre o valor na tabela:

a) 2 2 2 3 c) 8 2 5

b) 3 4 3 2 d) 27 243

Divisão de graus.

Para qualquer número a0 e números naturais arbitrários m e n tais que m>n, vale o seguinte:

a m: a n = a m - n

Prova:

a m - n a n = a (m - n) + n = a m - n + n = a m

por definição de privado:

a m: a n \u003d a m - n.

regra: Ao dividir potências com a mesma base, a base permanece a mesma e o expoente do divisor é subtraído do expoente do dividendo.

Definição: O grau de um número diferente de zero com um expoente zero é igual a um:

Porque a n: a n = 1 para a0 .

a) x 4: x 2 \u003d x 4 - 2 \u003d x 2

b) s 8: s 3 = s 8 - 3 = s 5

c) a 7: a \u003d a 7: a 1 \u003d a 7 - 1 \u003d a 6

d) s 5:s 0 = s 5:1 = s 5

a) 5 7:5 5 = 5 2 = 25

b) 10 20:10 17 = 10 3 = 1000

dentro)

G)

e)

Opção 1

1. Expresse o quociente como uma potência:

2. Encontre os valores das expressões:

Elevando ao poder de um produto.

Para qualquer a e b e um número natural arbitrário n:

(ab) n = a n b n

Prova:

Por definição de grau

(ab)n =

Agrupando os fatores a e os fatores b separadamente, obtemos:

=

A propriedade comprovada do grau do produto estende-se ao grau do produto de três ou mais fatores.

Por exemplo:

(a b c) n = a n b n c n ;

(a b c d) n = a n b n c n d n .

regra: Ao elevar um produto a uma potência, cada fator é elevado a essa potência e o resultado é multiplicado.

1. Eleve a uma potência:

a) (a b) 4 = a 4 b 4

b) (2 x y) 3 \u003d 2 3 x 3 y 3 \u003d 8 x 3 y 3

c) (3 a) 4 = 3 4 a 4 = 81 a 4

d) (-5 y) 3 \u003d (-5) 3 y 3 \u003d -125 y 3

e) (-0,2 x y) 2 \u003d (-0,2) 2 x 2 y 2 \u003d 0,04 x 2 y 2

f) (-3 a b c) 4 = (-3) 4 a 4 b 4 c 4 = 81 a 4 b 4 c 4

2. Encontre o valor da expressão:

a) (2 10) 4 = 2 4 10 4 = 16 1000 = 16000

b) (3 5 20) 2 = 3 2 100 2 = 9 10000= 90000

c) 2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000

d) 0,25 11 4 11 = (0,25 4) 11 = 1 11 = 1

e)

Opção 1

1. Eleve a uma potência:

b) (2 a c) 4

e) (-0,1 x y) 3

2. Encontre o valor da expressão:

b) (5 7 20) 2

Exponenciação.

Para qualquer número a e números naturais arbitrários m e n:

(a m) n = a m n

Prova:

Por definição de grau

(a m) n =

Regra: Ao elevar uma potência a uma potência, a base permanece a mesma e os expoentes são multiplicados.

1. Eleve a uma potência:

(a 3) 2 = a 6 (x 5) 4 = x 20

(y 5) 2 = y 10 (b 3) 3 = b 9

2. Simplifique as expressões:

a) a 3 (a 2) 5 = a 3 a 10 = a 13

b) (b 3) 2 b 7 \u003d b 6 b 7 \u003d b 13

c) (x 3) 2 (x 2) 4 \u003d x 6 x 8 \u003d x 14

d) (s s 7) 3 = (s 8) 3 = s 24

a)

b)

Opção 1

1. Eleve a uma potência:

a) (a 4) 2 b) (x 4) 5

c) (y 3) 2 d) (b 4) 4

2. Simplifique as expressões:

a) a 4 (a 3) 2

b) (b 4) 3 b 5+

c) (x 2) 4 (x 4) 3

d) (s s 9) 2

3. Encontre o significado das expressões:

Apêndice

Definição de grau.

opção 2

1º Escreva o produto na forma de um grau:

a) 0,4 0,4 ​​0,4

c) a a a a a a a a

d) (-y) (-y) (-y) (-y)

e) (bc) (bc) (bc)

2. Quadrar os números:

3. Cubra os números:

4. Encontre valores de expressão:

c) -1 3 + (-2) 4

d) -6 2 + (-3) 2

e) 4 5 2 – 100

Opção 3

1. Escreva o produto como um grau:

a) 0,5 0,5 0,5

c) cc cc cc cc cc

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Apresentar na forma de um quadrado do número: 100; 0,49; .

3. Cubra os números:

4. Encontre valores de expressão:

c) -1 5 + (-3) 2

d) -5 3 + (-4) 2

e) 5 4 2 - 100

Opção 4

1. Escreva o produto como um grau:

a) 0,7 0,7 0,7

c) x x x x x x

d) (-а) (-а) (-а)

e) (bc) (bc) (bc) (bc)

2. Quadrar os números:

3. Cubra os números:

4. Encontre valores de expressão:

c) -1 4 + (-3) 3

d) -3 4 + (-5) 2

e) 100 - 3 2 5

Multiplicação de poderes.

opção 2

1. Apresentar como diploma:

a) x 4 x 5 e) x 3 x 4 x 5

b) a 7 a 3 g) 2 3 4

c) 5 h) 4 3 16

d) a a 7 i) 4 2 5

e) 2 2 2 5 j) 0,2 3 0,04

2. Apresente como grau e encontre o valor na tabela:

a) 3 2 3 3 c) 16 2 3

b) 2 4 2 5 d) 9 81

Opção 3

1. Apresentar como diploma:

a) a 3 a 5 e) a 2 a 4 a 6

b) x 4 x 7 g) 3 5 9

c) b 6 b h) 5 3 25

d) y 8 i) 49 7 4

e) 2 3 2 6 j) 0,3 4 0,27

2. Apresente como grau e encontre o valor na tabela:

a) 3 3 3 4 c) 27 3 4

b) 2 4 2 6 d) 16 64

Opção 4

1. Apresentar como diploma:

a) a 6 a 2 e) x 4 x x 6

b) x 7 x 8 g) 3 4 27

c) s 6 h) 4 3 16

d) x x 10 i) 36 6 3

e) 2 4 2 5 j) 0,2 2 0,008

2. Apresente como grau e encontre o valor na tabela:

a) 2 6 2 3 c) 64 2 4

b) 3 5 3 2 d) 81 27

Divisão de graus.

opção 2

1. Expresse o quociente como uma potência:

2. Encontre o significado das expressões.

pode ser encontrado usando a multiplicação. Por exemplo: 5+5+5+5+5+5=5x6. Eles dizem sobre tal expressão que a soma de termos iguais foi dobrada em um produto. E vice-versa, se lermos esta igualdade da direita para a esquerda, temos que expandimos a soma de termos iguais. Da mesma forma, você pode dobrar o produto de vários fatores iguais 5x5x5x5x5x5=5 6 .

Ou seja, em vez de multiplicar seis fatores idênticos 5x5x5x5x5x5, eles escrevem 5 6 e dizem "cinco elevado à sexta potência".

A expressão 5 6 é uma potência de um número, onde:

5 - base do grau;

6 - expoente.

As operações pelas quais o produto de fatores iguais é dobrado em uma potência são chamadas exponenciação.

Em geral, uma potência com base "a" e expoente "n" é escrita como

Elevar o número a à potência de n significa encontrar o produto de n fatores, cada um dos quais é igual a um

Se a base do grau "a" for 1, o valor do grau para qualquer n natural será igual a 1. Por exemplo, 1 5 \u003d 1, 1 256 \u003d 1

Se você aumentar o número "a" aumente para primeiro grau, então obtemos o próprio número a: um 1 = um

Se você aumentar qualquer número para grau zero, então, como resultado dos cálculos, obtemos um. a 0 = 1

A segunda e a terceira potência de um número são consideradas especiais. Eles inventaram nomes para eles: o segundo grau é chamado o quadrado de um número, terceiro - cubo este número.

Qualquer número pode ser elevado a uma potência - positivo, negativo ou zero. No entanto, as seguintes regras não são usadas:

Ao encontrar o grau de um número positivo, obtém-se um número positivo.

Ao calcular zero em espécie, obtemos zero.

x m х n = xm + n

por exemplo: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

Para dividir potências de mesma base não alteramos a base, mas subtraímos os expoentes:

x m /xn \u003d x m - n , Onde, m > n

ex: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

Ao calcular exponenciação Não alteramos a base, mas multiplicamos os expoentes uns pelos outros.

(em m )n = m n

por exemplo: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · s) n = xn · m ,

por exemplo: (2 3) 3 = 2 n 3 m ,

Ao realizar cálculos para exponenciação de uma fração elevamos o numerador e o denominador da fração à potência dada

(x/y)n = xn / s n

por exemplo: (2/5) 3 = (2/5) (2/5) (2/5) = 2 3/5 3 .

A sequência de execução de cálculos ao trabalhar com expressões que contêm um grau.

Ao realizar cálculos de expressões sem colchetes, mas contendo potências, primeiro é realizada a exponenciação, depois as operações de multiplicação e divisão e só então as operações de adição e subtração.

Se for necessário avaliar uma expressão contendo colchetes, primeiro, na ordem indicada acima, fazemos os cálculos entre colchetes e, em seguida, as ações restantes na mesma ordem da esquerda para a direita.

Muito amplamente em cálculos práticos, para simplificar os cálculos, são usadas tabelas de graus prontas.

Primeiro nível

Grau e suas propriedades. Guia Completo (2019)

Por que os graus são necessários? Onde você precisa deles? Por que você precisa gastar tempo estudando-os?

Para saber tudo sobre diplomas, para que servem, como usar seus conhecimentos no dia a dia, leia este artigo.

E, claro, conhecer os diplomas o aproximará de passar com sucesso no OGE ou no Exame Estadual Unificado e entrar na universidade dos seus sonhos.

Vamos vamos!)

Nota importante! Se em vez de fórmulas você vir sem sentido, limpe seu cache. Para fazer isso, pressione CTRL+F5 (no Windows) ou Cmd+R (no Mac).

PRIMEIRO NÍVEL

A exponenciação é a mesma operação matemática da adição, subtração, multiplicação ou divisão.

Agora vou explicar tudo em linguagem humana usando exemplos muito simples. Preste atenção. Os exemplos são elementares, mas explicam coisas importantes.

Vamos começar com a adição.

Não há nada para explicar aqui. Você já sabe de tudo: somos oito. Cada um tem duas garrafas de cola. Quanta cola? Isso mesmo - 16 garrafas.

Agora multiplicação.

O mesmo exemplo com cola pode ser escrito de uma maneira diferente: . Os matemáticos são pessoas astutas e preguiçosas. Eles primeiro percebem alguns padrões e, em seguida, criam uma maneira de “contá-los” mais rapidamente. No nosso caso, eles notaram que cada uma das oito pessoas tinha o mesmo número de garrafas de refrigerante e criaram uma técnica chamada multiplicação. Concordo, é considerado mais fácil e rápido do que.

Então, para contar mais rápido, fácil e sem erros, você só precisa lembrar tabela de multiplicação. Claro, você pode fazer tudo mais devagar, mais difícil e com erros! Mas…

Aqui está a tabuada de multiplicação. Repetir.

E outra mais bonita:

E que outros truques de contagem complicados os matemáticos preguiçosos inventaram? Corretamente - elevando um número a uma potência.

Elevar um número a uma potência

Se você precisa multiplicar um número por ele mesmo cinco vezes, os matemáticos dizem que você precisa elevar esse número à quinta potência. Por exemplo, . Os matemáticos lembram que dois à quinta potência é. E eles resolvem esses problemas em sua mente - mais rápido, mais fácil e sem erros.

Para fazer isso, você só precisa lembre-se do que está destacado em cores na tabela de potências dos números. Acredite, isso facilitará muito a sua vida.

A propósito, por que o segundo grau é chamado quadrado números e o terceiro cubo? O que isso significa? Uma pergunta muito boa. Agora você terá quadrados e cubos.

Exemplo da vida real #1

Vamos começar com um quadrado ou a segunda potência de um número.

Imagine uma piscina quadrada medindo metros por metros. A piscina fica no seu quintal. Está quente e eu realmente quero nadar. Mas... uma piscina sem fundo! É necessário cobrir o fundo da piscina com telhas. Quantas telhas você precisa? Para determinar isso, você precisa conhecer a área do fundo da piscina.

Você pode contar simplesmente cutucando o dedo que o fundo da piscina é composto por cubos metro a metro. Se suas telhas forem metro a metro, você precisará de peças. É fácil... Mas onde você viu esse azulejo? O azulejo vai ficar cm por cm e então você será atormentado por “contar com o dedo”. Então você tem que multiplicar. Assim, de um lado do fundo da piscina, vamos encaixar telhas (peças) e do outro, também, telhas. Multiplicando por, você obtém telhas ().

Você notou que multiplicamos o mesmo número por ele mesmo para determinar a área do fundo da piscina? O que isso significa? Como o mesmo número é multiplicado, podemos usar a técnica de exponenciação. (Claro, quando você tem apenas dois números, você ainda precisa multiplicá-los ou elevá-los a uma potência. Mas se você tiver muitos deles, então elevar a uma potência é muito mais fácil e também há menos erros nos cálculos. Para o exame, isso é muito importante).
Então, trinta ao segundo grau será (). Ou você pode dizer que trinta ao quadrado será. Em outras palavras, a segunda potência de um número sempre pode ser representada como um quadrado. E vice-versa, se você vir um quadrado, é SEMPRE a segunda potência de algum número. Um quadrado é uma imagem da segunda potência de um número.

Exemplo da vida real #2

Aqui está uma tarefa para você, conte quantos quadrados estão no tabuleiro usando o quadrado do número... De um lado das células e do outro também. Para contar o número deles, você precisa multiplicar oito por oito, ou ... se você notar que um tabuleiro de xadrez é um quadrado com um lado, então você pode quadrado oito. Obter células. () Então?

Exemplo da vida real #3

Agora o cubo ou a terceira potência de um número. A mesma piscina. Mas agora você precisa descobrir quanta água terá que ser derramada nessa piscina. Você precisa calcular o volume. (Volumes e líquidos, aliás, são medidos em metros cúbicos. Inesperado, certo?) Desenhe uma piscina: um fundo de um metro de tamanho e um metro de profundidade e tente calcular quantos cubos metro por metro entrarão na sua piscina.

Basta apontar o dedo e contar! Um, dois, três, quatro... vinte e dois, vinte e três... Quanto saiu? Não se perdeu? É difícil contar com o dedo? De modo a! Tomemos um exemplo dos matemáticos. Eles são preguiçosos, então notaram que, para calcular o volume da piscina, você precisa multiplicar seu comprimento, largura e altura um pelo outro. No nosso caso, o volume da piscina será igual a cubos... Mais fácil, né?

Agora imagine como os matemáticos são preguiçosos e astutos se tornarem isso muito fácil. Reduziu tudo a uma ação. Eles perceberam que o comprimento, a largura e a altura são iguais e que o mesmo número é multiplicado por ele mesmo... E o que isso significa? Isso significa que você pode usar o grau. Então, o que você contava com um dedo, eles fazem em uma ação: três em um cubo é igual. Está escrito assim:

Permanece apenas memorizar a tabela de graus. A menos, é claro, que você seja tão preguiçoso e astuto quanto os matemáticos. Se você gosta de trabalhar duro e cometer erros, pode continuar contando com o dedo.

Bem, para finalmente convencê-lo de que os diplomas foram inventados por vagabundos e pessoas astutas para resolver seus problemas de vida, e não para criar problemas para você, aqui estão mais alguns exemplos da vida.

Exemplo da vida real #4

Você tem um milhão de rublos. No início de cada ano, você ganha outro milhão para cada milhão. Ou seja, cada um dos seus milhões no início de cada ano dobra. Quanto dinheiro você terá em anos? Se você está agora sentado e “contando com o dedo”, então você é uma pessoa muito trabalhadora e... estúpida. Mas provavelmente você responderá em alguns segundos, porque você é inteligente! Então, no primeiro ano - duas vezes dois... no segundo ano - o que aconteceu, por mais dois, no terceiro ano... Pare! Você notou que o número é multiplicado por si mesmo uma vez. Então, dois à quinta potência é um milhão! Agora imagine que você tem uma competição e quem calcular mais rápido vai ficar com esses milhões... Vale a pena lembrar os graus dos números, o que você acha?

Exemplo da vida real #5

Você tem um milhão. No início de cada ano, você ganha mais dois para cada milhão. É ótimo né? Cada milhão é triplicado. Quanto dinheiro você terá em um ano? Vamos contar. O primeiro ano - multiplique por, depois o resultado por outro... Já é chato, porque você já entendeu tudo: três é multiplicado por ele mesmo vezes. Então a quarta potência é um milhão. Você só precisa lembrar que três à quarta potência é ou.

Agora você sabe que, elevando um número a uma potência, tornará sua vida muito mais fácil. Vamos dar uma olhada no que você pode fazer com os diplomas e o que você precisa saber sobre eles.

Termos e conceitos... para não se confundir

Então, primeiro, vamos definir os conceitos. O que você acha, o que é expoente? É muito simples - este é o número que está "no topo" da potência do número. Não é científico, mas é claro e fácil de lembrar...

Bem, ao mesmo tempo, o que tal base de grau? Mais simples ainda é o número que está na parte inferior, na base.

Aqui está uma foto para você ter certeza.

Bem, em termos gerais, para generalizar e lembrar melhor ... Um diploma com base "" e um indicador "" é lido como "no grau" e é escrito da seguinte forma:

Potência de um número com expoente natural

Você provavelmente já adivinhou: porque o expoente é um número natural. Sim, mas o que é número natural? Elementar! Os números naturais são aqueles que são usados ​​na contagem ao listar itens: um, dois, três... Quando contamos itens, não dizemos: “menos cinco”, “menos seis”, “menos sete”. Também não dizemos "um terço" ou "zero vírgula cinco décimos". Estes não são números naturais. O que você acha que são esses números?

Números como "menos cinco", "menos seis", "menos sete" referem-se a números inteiros. Em geral, os números inteiros incluem todos os números naturais, números opostos aos números naturais (isto é, tomados com um sinal de menos) e um número. Zero é fácil de entender - é quando não há nada. E o que significam os números negativos ("menos")? Mas eles foram inventados principalmente para denotar dívidas: se você tem um saldo em seu telefone em rublos, isso significa que você deve rublos à operadora.

Todas as frações são números racionais. Como eles surgiram, você acha? Muito simples. Vários milhares de anos atrás, nossos ancestrais descobriram que não tinham números naturais suficientes para medir comprimento, peso, área, etc. E eles vieram com números racionais… Interessante, não é?

Há também números irracionais. Quais são esses números? Em suma, uma fração decimal infinita. Por exemplo, se você dividir a circunferência de um círculo pelo seu diâmetro, obterá um número irracional.

Resumo:

Vamos definir o conceito de grau, cujo expoente é um número natural (ou seja, inteiro e positivo).

1. Qualquer número elevado à primeira potência é igual a ele mesmo:
2. Elevar um número ao quadrado é multiplicá-lo por ele mesmo:
3. Cubra um número é multiplicá-lo por ele mesmo três vezes:

Definição. Elevar um número a uma potência natural é multiplicar o número por ele mesmo vezes:
.

Propriedades do grau

De onde vieram essas propriedades? Eu vou te mostrar agora.

Vamos ver o que é e ?

A-prioridade:

Quantos multiplicadores existem no total?

É muito simples: adicionamos fatores aos fatores, e o resultado são fatores.

Mas, por definição, este é o grau de um número com um expoente, ou seja: , que precisava ser provado.

Exemplo: Simplifique a expressão.

Decisão:

Exemplo: Simplifique a expressão.

Decisão:É importante notar que em nossa regra necessariamente deve ser o mesmo motivo!
Portanto, combinamos os graus com a base, mas permanecemos um fator separado:

apenas para produtos de potências!

Sob nenhuma circunstância você deve escrever isso.

2. isto é -ésima potência de um número

Assim como na propriedade anterior, vamos à definição do grau:

Acontece que a expressão é multiplicada por ela mesma uma vez, ou seja, de acordo com a definição, essa é a enésima potência do número:

Na verdade, isso pode ser chamado de "intercalar o indicador". Mas você nunca pode fazer isso no total:

Vamos relembrar as fórmulas da multiplicação abreviada: quantas vezes queremos escrever?

Mas isso não é verdade, realmente.

Grau com base negativa

Até este ponto, discutimos apenas qual deveria ser o expoente.

Mas qual deve ser a base?

Em graus de indicador natural a base pode ser qualquer número. De fato, podemos multiplicar qualquer número um pelo outro, sejam eles positivos, negativos ou pares.

Vamos pensar em quais sinais ("" ou "") terão graus de números positivos e negativos?

Por exemplo, o número será positivo ou negativo? MAS? ? Com o primeiro, tudo está claro: não importa quantos números positivos multipliquemos entre si, o resultado será positivo.

Mas os negativos são um pouco mais interessantes. Afinal, lembramos de uma regra simples da 6ª série: “um menos vezes um menos dá um mais”. Ou seja, ou. Mas se multiplicarmos por, acontece.

Determine por si mesmo que sinal as seguintes expressões terão:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Você conseguiu?

Aqui estão as respostas: Nos primeiros quatro exemplos, espero que tudo esteja claro? Simplesmente olhamos para a base e o expoente e aplicamos a regra apropriada.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

No exemplo 5), nem tudo é tão assustador quanto parece: não importa qual seja a base - o grau é par, o que significa que o resultado sempre será positivo.

Bem, exceto quando a base é zero. A base não é a mesma, não é? Obviamente não, já que (porque).

Exemplo 6) já não é tão simples!

6 exemplos práticos

Análise da solução 6 exemplos

Se não prestarmos atenção ao oitavo grau, o que vemos aqui? Vamos dar uma olhada no programa da 7ª série. Então lembre? Esta é a fórmula de multiplicação abreviada, ou seja, a diferença de quadrados! Nós temos:

Observamos cuidadosamente o denominador. Parece muito com um dos fatores do numerador, mas o que há de errado? Ordem errada dos termos. Se eles fossem trocados, a regra poderia ser aplicada.

Mas como fazer isso? Acontece que é muito fácil: o grau par do denominador nos ajuda aqui.

Os termos mudaram magicamente de lugar. Este "fenômeno" se aplica a qualquer expressão em um grau uniforme: podemos alterar livremente os sinais entre parênteses.

Mas é importante lembrar: todos os sinais mudam ao mesmo tempo!

Voltemos ao exemplo:

E novamente a fórmula:

inteira nomeamos os números naturais, seus opostos (isto é, tomados com o sinal "") e o número.

inteiro positivo, e não é diferente do natural, então tudo se parece exatamente como na seção anterior.

Agora vamos ver novos casos. Vamos começar com um indicador igual a.

Qualquer número elevado à potência zero é igual a um:

Como sempre, nos perguntamos: por que isso acontece?

Considere algum poder com uma base. Por exemplo, multiplique por:

Então, nós multiplicamos o número por, e obtivemos o mesmo que era -. Qual número deve ser multiplicado para que nada mude? Isso mesmo, em. Meios.

Podemos fazer o mesmo com um número arbitrário:

Vamos repetir a regra:

Qualquer número elevado à potência zero é igual a um.

Mas há exceções para muitas regras. E aqui também está lá - este é um número (como base).

Por um lado, deve ser igual a qualquer grau - não importa o quanto você multiplique zero por si mesmo, você ainda obtém zero, isso é claro. Mas, por outro lado, como qualquer número até o grau zero, deve ser igual. Então, qual é a verdade disso? Os matemáticos decidiram não se envolver e se recusaram a elevar o zero à potência zero. Ou seja, agora podemos não apenas dividir por zero, mas também elevá-lo à potência zero.

Vamos mais longe. Além de números naturais e números, os números inteiros incluem números negativos. Para entender o que é um grau negativo, vamos fazer o mesmo da última vez: multiplicamos algum número normal pelo mesmo em grau negativo:

A partir daqui já é fácil expressar o desejado:

Agora estendemos a regra resultante para um grau arbitrário:

Então, vamos formular a regra:

Um número para uma potência negativa é o inverso do mesmo número para uma potência positiva. mas ao mesmo tempo base não pode ser nula:(porque é impossível dividir).

Vamos resumir:

I. A expressão não é definida no caso. Se então.

II. Qualquer número elevado à potência zero é igual a um: .

III. Um número que não é igual a zero a uma potência negativa é o inverso do mesmo número a uma potência positiva: .

Tarefas para solução independente:

Bem, como de costume, exemplos para uma solução independente:

Análise de tarefas para solução independente:

Eu sei, eu sei, os números são assustadores, mas no exame você tem que estar pronto para qualquer coisa! Resolva esses exemplos ou analise a solução deles se você não conseguiu resolvê-los e aprenderá como lidar com eles facilmente no exame!

Vamos continuar a expandir o intervalo de números "adequados" como expoente.

Agora considere números racionais. Quais números são chamados de racionais?

Resposta: tudo o que pode ser representado como uma fração, onde e são inteiros, além disso.

Para entender o que é "grau fracionário" Vamos considerar uma fração:

Vamos elevar ambos os lados da equação a uma potência:

Agora lembre-se da regra "grau a grau":

Que número deve ser elevado a uma potência para obter?

Esta formulação é a definição da raiz do º grau.

Deixe-me lembrá-lo: a raiz da ª potência de um número () é um número que, quando elevado a uma potência, é igual.

Ou seja, a raiz do º grau é a operação inversa da exponenciação: .

Acontece que. Obviamente, este caso especial pode ser estendido: .

Agora some o numerador: o que é? A resposta é fácil de obter com a regra de potência para potência:

Mas a base pode ser qualquer número? Afinal, a raiz não pode ser extraída de todos os números.

Nenhum!

Lembre-se da regra: qualquer número elevado a uma potência par é um número positivo. Ou seja, é impossível extrair raízes de grau par de números negativos!

E isso significa que tais números não podem ser elevados a uma potência fracionária com denominador par, ou seja, a expressão não faz sentido.

E quanto à expressão?

Mas aqui surge um problema.

O número pode ser representado como outras frações reduzidas, por exemplo, ou.

E acontece que existe, mas não existe, e esses são apenas dois registros diferentes do mesmo número.

Ou outro exemplo: uma vez, então você pode anotá-lo. Mas assim que escrevemos o indicador de uma maneira diferente, novamente temos problemas: (ou seja, obtivemos um resultado completamente diferente!).

Para evitar tais paradoxos, considere único expoente de base positiva com expoente fracionário.

Então se:

• - número natural;
• é um número inteiro;

Exemplos:

Potências com expoente racional são muito úteis para transformar expressões com raízes, por exemplo:

5 exemplos práticos

Análise de 5 exemplos para treinamento

Bem, agora - o mais difícil. Agora vamos analisar grau com um expoente irracional.

Todas as regras e propriedades dos graus aqui são exatamente as mesmas dos graus com um expoente racional, com exceção de

De fato, por definição, números irracionais são números que não podem ser representados como uma fração, onde e são inteiros (ou seja, números irracionais são todos números reais, exceto os racionais).

Ao estudar graus com um indicador natural, inteiro e racional, cada vez compomos uma certa “imagem”, “analogia” ou descrição em termos mais familiares.

Por exemplo, um expoente natural é um número multiplicado por ele mesmo várias vezes;

...potência zero- este é, por assim dizer, um número multiplicado por si mesmo uma vez, ou seja, ainda não começou a ser multiplicado, o que significa que o próprio número ainda nem apareceu - portanto, o resultado é apenas uma certa “preparação de um número”, ou seja, um número;

...expoente inteiro negativo- é como se tivesse ocorrido um certo “processo inverso”, ou seja, o número não foi multiplicado por si mesmo, mas dividido.

A propósito, na ciência, muitas vezes é usado um grau com um expoente complexo, ou seja, um expoente nem é um número real.

Mas na escola não pensamos nessas dificuldades, você terá a oportunidade de compreender esses novos conceitos no instituto.

ONDE TEMOS CERTEZA QUE VOCÊ VAI! (se você aprender a resolver esses exemplos :))

Por exemplo:

Decida por si mesmo:

Análise de soluções:

1. Vamos começar com a regra já usual para elevar um grau a um grau:

Agora veja o placar. Ele te lembra alguma coisa? Recordamos a fórmula para a multiplicação abreviada da diferença de quadrados:

Nesse caso,

Acontece que:

Responda: .

2. Trazemos frações em expoentes para a mesma forma: ambas decimais ou ambas ordinárias. Obtemos, por exemplo:

Resposta: 16

3. Nada de especial, aplicamos as propriedades usuais dos graus:

NÍVEL AVANÇADO

Definição de grau

O grau é uma expressão da forma: , onde:

• — base do grau;
• - expoente.

Grau com expoente natural (n = 1, 2, 3,...)

Elevar um número à potência natural n significa multiplicar o número por ele mesmo vezes:

Potência com expoente inteiro (0, ±1, ±2,...)

Se o expoente for inteiro positivo número:

ereção para potência zero:

A expressão é indefinida, porque, por um lado, em qualquer grau é isso, e por outro lado, qualquer número até o grau é isso.

Se o expoente for inteiro negativo número:

(porque é impossível dividir).

Mais uma vez sobre nulos: a expressão não está definida no caso. Se então.

Exemplos:

Grau com expoente racional

• - número natural;
• é um número inteiro;

Exemplos:

Propriedades do grau

Para facilitar a resolução de problemas, vamos tentar entender: de onde vieram essas propriedades? Vamos prová-los.

Vejamos: o que é e?

A-prioridade:

Assim, do lado direito desta expressão, obtém-se o seguinte produto:

Mas, por definição, esta é uma potência de um número com um expoente, ou seja:

Q.E.D.

Exemplo : Simplifique a expressão.

Decisão : .

Exemplo : Simplifique a expressão.

Decisão : É importante notar que em nossa regra necessariamente deve ter a mesma base. Portanto, combinamos os graus com a base, mas permanecemos um fator separado:

Outra nota importante: esta regra - apenas para produtos de potências!

Em hipótese alguma devo escrever isso.

Assim como na propriedade anterior, vamos à definição do grau:

Vamos reorganizar assim:

Acontece que a expressão é multiplicada por si mesma uma vez, ou seja, de acordo com a definição, esta é a -ésima potência do número:

Na verdade, isso pode ser chamado de "intercalar o indicador". Mas você nunca pode fazer isso no total:!

Vamos relembrar as fórmulas da multiplicação abreviada: quantas vezes queremos escrever? Mas isso não é verdade, realmente.

Potência com base negativa.

Até este ponto, discutimos apenas o que deveria ser indicador grau. Mas qual deve ser a base? Em graus de natural indicador a base pode ser qualquer número .

De fato, podemos multiplicar qualquer número um pelo outro, sejam eles positivos, negativos ou pares. Vamos pensar em quais sinais ("" ou "") terão graus de números positivos e negativos?

Por exemplo, o número será positivo ou negativo? MAS? ?

Com o primeiro, tudo está claro: não importa quantos números positivos multipliquemos entre si, o resultado será positivo.

Mas os negativos são um pouco mais interessantes. Afinal, lembramos de uma regra simples da 6ª série: “um menos vezes um menos dá um mais”. Ou seja, ou. Mas se multiplicarmos por (), obtemos -.

E assim ad infinitum: a cada multiplicação subsequente, o sinal mudará. Você pode formular estas regras simples:

1. até grau, - número positivo.
2. Número negativo elevado a ímpar grau, - número negativo.
3. Um número positivo para qualquer potência é um número positivo.
4. Zero a qualquer potência é igual a zero.

Determine por si mesmo que sinal as seguintes expressões terão:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Você conseguiu? Aqui estão as respostas:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Nos primeiros quatro exemplos, espero que tudo esteja claro? Simplesmente olhamos para a base e o expoente e aplicamos a regra apropriada.

No exemplo 5), nem tudo é tão assustador quanto parece: não importa qual seja a base - o grau é par, o que significa que o resultado sempre será positivo. Bem, exceto quando a base é zero. A base não é a mesma, não é? Obviamente não, já que (porque).

Exemplo 6) não é mais tão simples. Aqui você precisa descobrir qual é menos: ou? Se você se lembrar disso, fica claro que, o que significa que a base é menor que zero. Ou seja, aplicamos a regra 2: o resultado será negativo.

E novamente usamos a definição de grau:

Tudo está como de costume - escrevemos a definição de graus e os dividimos entre si, dividimos em pares e obtemos:

Antes de analisar a última regra, vamos resolver alguns exemplos.

Calcule os valores das expressões:

Soluções :

Se não prestarmos atenção ao oitavo grau, o que vemos aqui? Vamos dar uma olhada no programa da 7ª série. Então lembre? Esta é a fórmula de multiplicação abreviada, ou seja, a diferença de quadrados!

Nós temos:

Observamos cuidadosamente o denominador. Parece muito com um dos fatores do numerador, mas o que há de errado? Ordem errada dos termos. Se eles fossem revertidos, poderia ser aplicada a regra 3. Mas como fazer isso? Acontece que é muito fácil: o grau par do denominador nos ajuda aqui.

Se você multiplicar por, nada muda, certo? Mas agora está assim:

Os termos mudaram magicamente de lugar. Este "fenômeno" se aplica a qualquer expressão em um grau uniforme: podemos alterar livremente os sinais entre parênteses. Mas é importante lembrar: todos os signos mudam ao mesmo tempo! Ele não pode ser substituído alterando apenas um menos censurável para nós!

Voltemos ao exemplo:

E novamente a fórmula:

Então agora a última regra:

Como vamos provar isso? Claro, como de costume: vamos expandir o conceito de grau e simplificar:

Bem, agora vamos abrir os colchetes. Quantas letras serão? vezes por multiplicadores - como é? Isso nada mais é do que a definição de uma operação multiplicação: total acabou por ser multiplicadores. Ou seja, é, por definição, uma potência de um número com um expoente:

Exemplo:

Grau com expoente irracional

Além de informações sobre os graus para o nível médio, analisaremos o grau com um indicador irracional. Todas as regras e propriedades dos graus aqui são exatamente as mesmas de um grau com um expoente racional, com a exceção - afinal, por definição, números irracionais são números que não podem ser representados como uma fração, onde e são inteiros (ou seja, , os números irracionais são todos os números reais, exceto os racionais).

Ao estudar graus com um indicador natural, inteiro e racional, cada vez compomos uma certa “imagem”, “analogia” ou descrição em termos mais familiares. Por exemplo, um expoente natural é um número multiplicado por ele mesmo várias vezes; um número até o grau zero é, por assim dizer, um número multiplicado por si mesmo uma vez, ou seja, ainda não começou a ser multiplicado, o que significa que o próprio número ainda nem apareceu - portanto, o resultado é apenas um certa “preparação de um número”, ou seja, um número; um grau com um indicador negativo inteiro - é como se tivesse ocorrido um certo “processo reverso”, ou seja, o número não foi multiplicado por si mesmo, mas dividido.

É extremamente difícil imaginar um grau com um expoente irracional (assim como é difícil imaginar um espaço de 4 dimensões). Em vez disso, é um objeto puramente matemático que os matemáticos criaram para estender o conceito de grau a todo o espaço dos números.

A propósito, na ciência, muitas vezes é usado um grau com um expoente complexo, ou seja, um expoente nem é um número real. Mas na escola não pensamos nessas dificuldades, você terá a oportunidade de compreender esses novos conceitos no instituto.

Então, o que fazemos se virmos um expoente irracional? Estamos tentando o nosso melhor para se livrar dele! :)

Por exemplo:

Decida por si mesmo:

1)

2)

3)

Respostas:

1. Lembre-se da fórmula da diferença de quadrados. Responda: .
2. Trazemos frações para a mesma forma: ambas as casas decimais, ou ambas as ordinárias. Obtemos, por exemplo: .
3. Nada de especial, aplicamos as propriedades usuais dos graus:

RESUMO DA SEÇÃO E FÓRMULA BÁSICA

Graué chamado uma expressão da forma: , onde:

Grau com expoente inteiro

grau, cujo expoente é um número natural (ou seja, inteiro e positivo).

Grau com expoente racional

grau, cujo indicador são números negativos e fracionários.

Grau com expoente irracional

expoente cujo expoente é uma fração decimal infinita ou raiz.

Propriedades do grau

Características dos graus.

• Número negativo elevado a até grau, - número positivo.
• Número negativo elevado a ímpar grau, - número negativo.
• Um número positivo para qualquer potência é um número positivo.
• Zero é igual a qualquer potência.
• Qualquer número elevado à potência zero é igual.

AGORA VOCÊ TEM UMA PALAVRA...

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