Há números que são tão incrivelmente grandes que levaria o universo inteiro para anotá-los. Mas aqui está o que é realmente enlouquecedor... alguns desses números incompreensivelmente grandes são extremamente importantes para entender o mundo.

Quando digo "o maior número do universo", quero dizer realmente o maior significativo número, o número máximo possível que é útil de alguma forma. Existem muitos candidatos a este título, mas já aviso: há de fato o risco de que tentar entender tudo isso vai explodir sua mente. E além disso, com muita matemática, você se diverte pouco.

Googol e googolplex

Eduardo Kasner

Poderíamos começar com dois, muito provavelmente os maiores números que você já ouviu falar, e esses são de fato os dois maiores números que têm definições geralmente aceitas na língua inglesa. (Existe uma nomenclatura bastante precisa usada para números tão grandes quanto você gostaria, mas esses dois números não são encontrados atualmente em dicionários.) Google, desde que se tornou mundialmente famoso (embora com erros, observe. na verdade é googol) em a forma do Google, nasceu em 1920 como uma forma de fazer com que as crianças se interessassem por grandes números.

Para este fim, Edward Kasner (foto) levou seus dois sobrinhos, Milton e Edwin Sirott, em uma turnê em New Jersey Palisades. Convidou-os a ter alguma ideia, e então Milton, de nove anos, sugeriu “googol”. De onde ele tirou essa palavra é desconhecido, mas Kasner decidiu que ou um número em que cem zeros seguem o um será doravante chamado de googol.

Mas o jovem Milton não parou por aí, ele veio com um número ainda maior, o googolplex. É um número, de acordo com Milton, que tem primeiro 1 e depois tantos zeros quanto você puder escrever antes de se cansar. Embora a ideia seja fascinante, Kasner sentiu que era necessária uma definição mais formal. Como ele explicou em seu livro de 1940, Mathematics and the Imagination, a definição de Milton deixa aberta a perigosa possibilidade de que um bufão ocasional possa se tornar um matemático superior a Albert Einstein simplesmente porque tem mais resistência.

Então Kasner decidiu que o googolplex seria , ou 1, seguido por um googol de zeros. Caso contrário, e em uma notação semelhante àquela com que vamos lidar com outros números, diremos que o googolplex é . Para mostrar como isso é fascinante, Carl Sagan comentou uma vez que era fisicamente impossível escrever todos os zeros de um googolplex porque simplesmente não havia espaço suficiente no universo. Se todo o volume do universo observável estiver cheio de partículas finas de poeira com aproximadamente 1,5 mícron de tamanho, então o número de maneiras diferentes pelas quais essas partículas podem ser organizadas será aproximadamente igual a um googolplex.

Linguisticamente falando, googol e googolplex são provavelmente os dois maiores números significativos (pelo menos em inglês), mas, como veremos agora, existem infinitas maneiras de definir “significância”.

Mundo real

Se falamos do maior número significativo, há um argumento razoável de que isso realmente significa que você precisa encontrar o maior número com um valor que realmente existe no mundo. Podemos começar com a população humana atual, que atualmente é de cerca de 6.920 milhões. O PIB mundial em 2010 foi estimado em cerca de US$ 61.960 bilhões, mas ambos os números são pequenos em comparação com os cerca de 100 trilhões de células que compõem o corpo humano. Claro, nenhum desses números pode se comparar com o número total de partículas no universo, que geralmente é considerado cerca de , e esse número é tão grande que nossa linguagem não tem uma palavra para ele.

Podemos brincar um pouco com os sistemas de medição, tornando os números cada vez maiores. Assim, a massa do Sol em toneladas será menor do que em libras. Uma ótima maneira de fazer isso é usar as unidades de Planck, que são as menores medidas possíveis para as quais as leis da física ainda valem. Por exemplo, a idade do universo no tempo de Planck é de cerca de . Se voltarmos à primeira unidade de tempo Planck após o Big Bang, veremos que a densidade do Universo era então . Estamos cada vez mais, mas ainda nem chegamos a um googol.

O maior número com qualquer aplicação do mundo real – ou, neste caso, aplicação do mundo real – é provavelmente uma das estimativas mais recentes do número de universos no multiverso. Esse número é tão grande que o cérebro humano será literalmente incapaz de perceber todos esses universos diferentes, já que o cérebro só é capaz de configurações grosseiras. Na verdade, esse número é provavelmente o maior número com algum significado prático, se você não levar em conta a ideia do multiverso como um todo. No entanto, ainda existem números muito maiores à espreita lá. Mas, para encontrá-los, devemos entrar no reino da matemática pura, e não há melhor lugar para começar do que os números primos.

primos de Mersenne

Parte da dificuldade é chegar a uma boa definição do que é um número “significativo”. Uma maneira é pensar em termos de primos e compostos. Um número primo, como você provavelmente se lembra da matemática escolar, é qualquer número natural (não igual a um) que só é divisível por e por si mesmo. Então, e são números primos, e e são números compostos. Isso significa que qualquer número composto pode eventualmente ser representado por seus divisores primos. Em certo sentido, o número é mais importante do que, digamos, porque não há como expressá-lo em termos do produto de números menores.

Obviamente podemos ir um pouco mais longe. , por exemplo, é na verdade apenas , o que significa que em um mundo hipotético onde nosso conhecimento de números é limitado a , um matemático ainda pode expressar . Mas o próximo número já é primo, o que significa que a única maneira de expressá-lo é saber diretamente sobre sua existência. Isso significa que os maiores números primos conhecidos desempenham um papel importante, mas, digamos, um googol - que em última análise é apenas uma coleção de números e , multiplicados juntos - na verdade não. E como os números primos são em sua maioria aleatórios, não há nenhuma maneira conhecida de prever que um número incrivelmente grande será realmente primo. Até hoje, descobrir novos números primos é uma tarefa difícil.

Os matemáticos da Grécia antiga tinham um conceito de números primos pelo menos já em 500 aC, e 2000 anos depois as pessoas ainda só sabiam quais números primos eram até cerca de 750. Os pensadores de Euclides viram a possibilidade de simplificação, mas até os matemáticos do Renascimento não podiam realmente não usá-lo na prática. Esses números são conhecidos como números de Mersenne e são nomeados em homenagem à cientista francesa do século XVII, Marina Mersenne. A ideia é bastante simples: um número de Mersenne é qualquer número da forma . Então, por exemplo, e esse número é primo, o mesmo vale para .

Os primos de Mersenne são muito mais rápidos e fáceis de determinar do que qualquer outro tipo de primo, e os computadores têm trabalhado duro para encontrá-los nas últimas seis décadas. Até 1952, o maior número primo conhecido era um número — um número com dígitos. No mesmo ano, foi calculado em um computador que o número é primo, e esse número é composto por dígitos, o que o torna já muito maior que um googol.

Os computadores estão em busca desde então, e o número de Mersenne é atualmente o maior número primo conhecido pela humanidade. Descoberto em 2008, é um número com quase milhões de dígitos. Este é o maior número conhecido que não pode ser expresso em termos de números menores, e se você quiser ajudar a encontrar um número de Mersenne ainda maior, você (e seu computador) sempre podem participar da pesquisa em http://www.mersenne. org/.

Número de desvios

Stanley Skuse

Voltemos aos números primos. Como eu disse antes, eles se comportam fundamentalmente errado, o que significa que não há como prever qual será o próximo número primo. Os matemáticos foram forçados a recorrer a algumas medidas bastante fantásticas para encontrar alguma maneira de prever futuros primos, mesmo de maneira nebulosa. A mais bem-sucedida dessas tentativas é provavelmente a função do número primo, inventada no final do século 18 pelo lendário matemático Carl Friedrich Gauss.

Vou poupá-lo da matemática mais complicada - de qualquer forma, ainda temos muito por vir - mas a essência da função é esta: para qualquer número inteiro, é possível estimar quantos primos existem menos que . Por exemplo, se , a função prevê que deve haver números primos, se - números primos menores que , e se , então existem números menores que são primos.

O arranjo dos primos é de fato irregular e é apenas uma aproximação do número real de primos. Na verdade, sabemos que existem primos menores que , primos menores que , e primos menores que . É uma ótima estimativa, com certeza, mas é sempre apenas uma estimativa... e mais especificamente, uma estimativa de cima.

Em todos os casos conhecidos até , a função que encontra o número de primos exagera ligeiramente o número real de primos menor que . Os matemáticos uma vez pensaram que esse sempre seria o caso, ad infinitum, e que isso certamente se aplica a alguns números inimaginavelmente grandes, mas em 1914 John Edensor Littlewood provou que, para algum número desconhecido e inimaginavelmente grande, essa função começará a produzir menos primos, e então alternará entre superestimação e subestimação um número infinito de vezes.

A caçada foi pelo ponto de partida das corridas, e foi aí que apareceu Stanley Skuse (ver foto). Em 1933, ele provou que o limite superior, quando uma função que aproxima o número de primos pela primeira vez dá um valor menor, é o número. É difícil entender verdadeiramente, mesmo no sentido mais abstrato, o que esse número realmente é e, desse ponto de vista, foi o maior número já usado em uma prova matemática séria. Desde então, os matemáticos conseguiram reduzir o limite superior a um número relativamente pequeno, mas o número original permaneceu conhecido como número de Skewes.

Então, quão grande é o número que torna até mesmo o poderoso anão googolplex? No The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells descreve uma maneira pela qual o matemático Hardy conseguiu entender o tamanho do número de Skewes:

"Hardy pensou que era 'o maior número que já serviu a qualquer propósito particular na matemática' e sugeriu que se o xadrez fosse jogado com todas as partículas do universo como peças, um movimento consistiria em trocar duas partículas, e o jogo pararia quando a mesma posição foi repetida uma terceira vez, então o número de todos os jogos possíveis seria igual ao número de Skuse''.

Uma última coisa antes de prosseguir: falamos sobre o menor dos dois números de Skewes. Há outro número de Skewes, que o matemático encontrou em 1955. O primeiro número é derivado com base em que a chamada Hipótese de Riemann é verdadeira - uma hipótese particularmente difícil em matemática que permanece não comprovada, muito útil quando se trata de números primos. No entanto, se a hipótese de Riemann for falsa, Skewes descobriu que o ponto inicial do salto aumenta para .

O problema da grandeza

Antes de chegarmos a um número que faça até o número de Skuse parecer minúsculo, precisamos falar um pouco sobre escala, porque senão não temos como estimar para onde estamos indo. Vamos pegar um número primeiro - é um número minúsculo, tão pequeno que as pessoas podem realmente ter uma compreensão intuitiva do que significa. São pouquíssimos os números que se encaixam nessa descrição, pois os números maiores que seis deixam de ser números separados e passam a ser "vários", "muitos", etc.

Agora vamos tomar , ou seja. . Embora não possamos realmente intuitivamente, como fizemos para o número , entender o que é, imaginar o que é com muita facilidade. Até agora tudo está indo bem. Mas o que acontece se formos para ? Isso é igual a , ou . Estamos muito longe de poder imaginar esse valor, como qualquer outro muito grande - estamos perdendo a capacidade de compreender partes individuais em torno de um milhão. (Reconhecidamente, levaria um tempo insanamente longo para realmente contar até um milhão de qualquer coisa, mas o ponto é que ainda somos capazes de perceber esse número.)

No entanto, embora não possamos imaginar, somos pelo menos capazes de entender em termos gerais o que são 7600 bilhões, talvez comparando-o com algo como o PIB dos EUA. Passamos da intuição para a representação e para a mera compreensão, mas pelo menos ainda temos alguma lacuna em nossa compreensão do que é um número. Isso está prestes a mudar à medida que avançamos mais um degrau na escada.

Para fazer isso, precisamos mudar para a notação introduzida por Donald Knuth, conhecida como notação de seta. Essas notações podem ser escritas como . Quando então vamos para , o número que obtemos será . Isso é igual a onde está o total de trigêmeos. Agora superamos vasta e verdadeiramente todos os outros números já mencionados. Afinal, mesmo o maior deles tinha apenas três ou quatro membros na série do índice. Por exemplo, mesmo o número Super Skewes é "apenas" - mesmo com o fato de que tanto a base quanto os expoentes são muito maiores que , ainda é absolutamente nada comparado ao tamanho da torre numérica com bilhões de membros.

Obviamente, não há como compreender números tão grandes... e ainda assim, o processo pelo qual eles são criados ainda pode ser entendido. Não conseguimos entender o número real dado pela torre de poderes, que é um bilhão de triplos, mas basicamente podemos imaginar tal torre com muitos membros, e um supercomputador realmente decente será capaz de armazenar tais torres na memória, mesmo que não podem calcular seus valores reais.

Está ficando cada vez mais abstrato, mas só vai piorar. Você pode pensar que uma torre de poderes cujo comprimento do expoente é (além disso, em uma versão anterior deste post eu cometi exatamente esse erro), mas é apenas . Em outras palavras, imagine que você foi capaz de calcular o valor exato de uma torre de energia de triplos, que consiste em elementos, e então você pegou esse valor e criou uma nova torre com tantos quantos ... o que dá .

Repita este processo com cada número sucessivo ( Nota começando da direita) até fazer isso uma vez e, finalmente, você obtém . Este é um número que é incrivelmente grande, mas pelo menos os passos para obtê-lo parecem claros se tudo for feito muito lentamente. Não podemos mais entender os números ou imaginar o procedimento pelo qual eles são obtidos, mas pelo menos podemos entender o algoritmo básico, apenas em um tempo suficientemente longo.

Agora vamos preparar a mente para realmente explodi-la.

Número de Graham (Graham)

Ronald Graham

É assim que você obtém o número de Graham, que está no Guinness Book of World Records como o maior número já usado em uma prova matemática. É absolutamente impossível imaginar o quão grande é, e é tão difícil explicar exatamente o que é. Basicamente, o número de Graham entra em jogo quando se trata de hipercubos, que são formas geométricas teóricas com mais de três dimensões. O matemático Ronald Graham (ver foto) queria descobrir qual era o menor número de dimensões que manteria certas propriedades de um hipercubo estável. (Desculpe por essa explicação vaga, mas tenho certeza de que todos precisamos de pelo menos dois graus de matemática para torná-la mais precisa.)

Em qualquer caso, o número de Graham é uma estimativa superior desse número mínimo de dimensões. Então, quão grande é esse limite superior? Vamos voltar a um número tão grande que podemos entender o algoritmo para obtê-lo vagamente. Agora, em vez de apenas pular mais um nível para , contaremos o número que tem setas entre o primeiro e o último triplo. Agora estamos muito além da menor compreensão do que é esse número ou mesmo do que precisa ser feito para calculá-lo.

Agora repita este processo vezes ( Nota a cada passo seguinte, escrevemos o número de setas igual ao número obtido no passo anterior).

Este, senhoras e senhores, é o número de Graham, que está cerca de uma ordem de grandeza acima do ponto de compreensão humano. É um número que é muito mais do que qualquer número que você possa imaginar - é muito mais do que qualquer infinito que você possa imaginar - ele simplesmente desafia até mesmo a descrição mais abstrata.

Mas aqui está a coisa estranha. Uma vez que o número de Graham é basicamente apenas tripletos multiplicados, conhecemos algumas de suas propriedades sem realmente calculá-las. Não podemos representar o número de Graham em qualquer notação com a qual estejamos familiarizados, mesmo se usássemos o universo inteiro para escrevê-lo, mas posso dar a você os últimos doze dígitos do número de Graham agora: . E isso não é tudo: sabemos pelo menos os últimos dígitos do número de Graham.

Claro, vale a pena lembrar que esse número é apenas um limite superior no problema original de Graham. É possível que o número real de medições necessárias para cumprir a propriedade desejada seja muito, muito menor. De fato, desde a década de 1980, a maioria dos especialistas acredita que existem apenas seis dimensões - um número tão pequeno que podemos entendê-lo em um nível intuitivo. O limite inferior foi aumentado para , mas ainda há uma chance muito boa de que a solução para o problema de Graham não esteja perto de um número tão grande quanto o de Graham.

Ao infinito

Então existem números maiores que o número de Graham? Há, claro, para começar, há o número de Graham. Quanto ao número significativo... bem, existem algumas áreas diabolicamente difíceis da matemática (em particular, a área conhecida como combinatória) e da ciência da computação, nas quais existem números ainda maiores que o número de Graham. Mas quase chegamos ao limite do que espero poder explicar com razoabilidade. Para aqueles que são imprudentes o suficiente para ir ainda mais longe, a leitura adicional é oferecida por sua conta e risco.

Bem, agora uma citação incrível que é atribuída a Douglas Ray ( Nota Para ser honesto, parece muito engraçado:

“Vejo aglomerados de números vagos espreitando lá fora no escuro, atrás do pequeno ponto de luz que a vela da mente emite. Eles sussurram um para o outro; falando sobre quem sabe o quê. Talvez eles não gostem muito de nós por capturarmos seus irmãos mais novos com nossas mentes. Ou talvez eles apenas levem um modo de vida numérico inequívoco, lá fora, além de nossa compreensão.''

Os problemas filosóficos se fazem sentir quando outro se revela de repente dentro de uma infinidade. Por exemplo, escolhendo apenas números pares entre todos os números, obtemos novamente uma sequência infinita 2, 4, 6, ... Para não se confundir com infinitos, os matemáticos começaram a falar sobre conjuntos e potências: o conjunto dos números naturais, embora infinito, é igual em potência ao conjunto par. Isso decorre da existência de uma regra simples que estabelece uma conexão entre esses dois conjuntos: basta dividir por 2 qualquer número par ou multiplicar qualquer número natural por 2 para garantir que essa regra seja injetora.

Uma regra semelhante - apenas um pouco mais complicada - liga os números naturais a todas as frações simples. Em outras palavras, frações simples também podem ser renumeradas. Isso significa que o conjunto dos números racionais tem a mesma cardinalidade que o conjunto dos números racionais, ou seja, esses dois infinitos são “iguais” entre si. Então, talvez o infinito seja um e todos os conjuntos infinitos nesse sentido sejam sempre “iguais” entre si? Mas não: em primeiro lugar, é impossível renumerar números irracionais - e esse conjunto acaba sendo "maior" que o conjunto dos números naturais - e, em segundo lugar, para qualquer conjunto pode-se construir um "maior".

Matemático alemão excluído

Ambas as afirmações foram comprovadas pelo matemático alemão Georg Cantor (, 1845-1918). Como os infinitos são diferentes, para eles você também pode inserir seus próprios nomes - por assim dizer, números transfinitos. Cantor denotou a potência da série natural pela letra aleph do alfabeto hebraico com índice zero: א o , e para a potência do continuum é um segmento contínuo de uma linha reta ou toda a linha reta - ele usou a mesma letra , mas com um índice de unidade: א l , sugerindo assim que não há nenhum outro número transfinito entre א o e א l.

O fato de o continuum poder ser considerado um conjunto de pontos ficou conhecido pouco antes de Cantor, mas ele conseguiu provar novamente ao poder "renumerar" todos os pontos de uma reta - mais precisamente, um segmento unitário. Apenas no papel de "números" neste caso não são números naturais, mas sequências infinitas de números. Mesmo apenas zeros e uns são suficientes (assumindo que cada “número” é escrito no sistema binário): o conjunto de frações da forma 0,100010100111... incorpora totalmente o conjunto de todos os números racionais junto com os números irracionais de 0 a 1. No entanto, da teoria de Cantor, seguiu-se que algo mais: seus "alefes" permitiam numerar pontos para os quais a linha reta é muito curta (daí o nome transfinito - isto é, localizado "além do infinito").

As idéias de Kantor lhe custaram grande infortúnio. Muitos de seus colegas encontraram na teoria dos "alefs" não apenas muitos paradoxos e absurdos matemáticos - isso seria metade do problema. No raciocínio de Kantor, sua profunda religiosidade e desejo de compreender o "Absoluto" eram visíveis. À medida que desenvolvia sua teoria, suas relações com as autoridades da universidade da cidade de Halle se tornavam cada vez mais rompidas, e mesmo os matemáticos que a princípio reagiram com entusiasmo a ela a abandonaram. O centro do pensamento matemático no final do século 19 era a França, mas dois importantes matemáticos franceses, Charles Hermite (Charles Hermite, 1822-1901) e Paul Emile Appel (1855-1930) até se manifestaram contra a tradução das obras de Cantor para o francês. Era de se esperar que as novas ideias fossem apoiadas pelo patriarca da matemática francesa, um homem que em muitos aspectos antecipou seu desenvolvimento futuro no século XX, Henri Poincaré (, 1854-1912) ... recusou-se a falar sobre “infinito real”.

No final do século, o próprio Cantor foi cada vez mais atacado por crises de depressão. Gradualmente torna-se óbvio que estamos falando de uma doença grave - psicose maníaco-depressiva. Emile Borel (Émile Borel, 1871-1956), um dos jovens admiradores da teoria dos conjuntos, aos poucos começou a sentir uma rejeição em relação a ela, que só foi intensificada por rumores sobre doenças de outros matemáticos. Muitos anos depois, escreveu a seu amigo Paul Valéry (Paul Valéry, 1871-1945) que teve que desistir de seus estudos em teoria dos conjuntos "por causa do excesso de trabalho, que caiu sobre ele e o fez temer uma doença grave, no caso que continuasse seu trabalho.

A questão foi encerrada por outro respeitável matemático - Jacques Hadamard (, 1865-1963), que concluiu que toda a trama ultrapassou os "limites da matemática" e passou a relacionar-se "à psicologia, às propriedades de nossa mente". Esta decisão pareceu espirituosa para muitos, mas, de acordo com Lauren Graham e Jean-Michel Kantor, levou à saída da matemática francesa da vanguarda. Tendo visto um conteúdo matemático sério ao comparar os tamanhos de conjuntos infinitos e ordenar seus subconjuntos infinitos, os matemáticos russos conseguiram construir uma escola que por muito tempo permaneceu a primeira e até agora não perdeu completamente seu significado.

número de deus

O criador da teoria dos conjuntos passou os primeiros onze anos de sua vida em São Petersburgo. No entanto, o clima desta cidade provou ser muito prejudicial para seu pai, e em 1856 toda a família mudou-se para o clima muito mais favorável de Frankfurt am Main. O estudo das ciências naturais e técnicas foi realizado pelo jovem Kantor em várias cidades da Europa - de Darmstadt a Zurique - e foi acompanhado por uma luta bastante esperada com os pais que estavam mais felizes em ver um engenheiro em seu filho, em vez de um matemático com inclinações filosóficas óbvias. No entanto, George gradualmente superou sua resistência e, como já mencionado, encontrou-se na Universidade de Halle.

Ele definiu seus pontos de vista filosóficos com a fórmula "realismo aristotélico moderado", mas eles discernem claramente o platonismo da persuasão pitagórica. O infinito atual, expresso por números transfinitos, ocupa para ele uma posição intermediária entre o finito e o infinito absolutamente – isto é, o divino. Percebendo que tal formulação da questão pode ser mais próxima dos filósofos do que dos matemáticos, ele dirigiu sua obra principal “Experiência Matemático-Filosófica na Doutrina do Infinito” mais aos filósofos do que aos matemáticos:

[Eu quis dizer] dois tipos de leitores - por um lado, filósofos que acompanharam o desenvolvimento da matemática até os tempos modernos e, por outro, matemáticos que estão familiarizados com os fatos mais importantes da filosofia antiga e moderna..

E ele encontrou esses leitores - em sua terra natal. Não é surpreendente que eles fossem, antes de tudo, também platônicos pitagóricos e místicos cristãos. Talvez o mais famoso entre eles agora - (1882-1937) - entendeu em que sentido podemos falar de um número que é maior que qualquer número natural:

No mesmo sentido, podemos dizer que o poder de Deus é infinito em ato, porque, sendo definido (pois não há mudança em Deus), ao mesmo tempo é maior que qualquer poder finito..

Essa metáfora não era uma metáfora aos olhos do próprio Florensky, para quem não havia sequer uma fronteira especial entre teologia e matemática. E, além disso, a direção religiosa e filosófica que Florensky desenvolveu no início do século XX postulava que "o nome de Deus é o próprio Deus". Mas o próprio nome era um número infinito de nomes, incluindo números.

Adeus, Lusitânia!

Em 1900, Florensky ingressou na Faculdade de Física e Matemática da Universidade Estadual de Moscou, mas deixou a matemática quatro anos depois para uma carreira eclesiástica e teológica. No entanto, já nos tempos soviéticos, ele também parou de estudar filosofia e teologia, mergulhando completamente em questões de engenharia exclusivamente práticas. Ele fez muita engenharia elétrica, participou do desenvolvimento do plano GOELRO, estudou as propriedades do permafrost. Tudo isso não o salvou das repressões do novo governo e, após várias prisões em 1937, foi fuzilado.

Deixar a matemática não significou para Florensky deixar a comunidade matemática. Entre as pessoas mais próximas a ele estavam Nikolai Nikolaevich Luzin (1883-1950) e Dmitry Fedorovich Egorov (1869-1931). Não basta dizer que ambos são grandes matemáticos: em 1923, Egorov foi eleito presidente e nomeado diretor do Instituto de Matemática e Mecânica da Primeira Universidade Estadual de Moscou, é nele que os historiadores modernos veem uma figura-chave no a criação e desenvolvimento da teoria das funções. Entre os sucessos notáveis ​​de Luzin estão não apenas os resultados matemáticos reais, mas também a energia pedagógica única: quase todos os grandes matemáticos russos foram seus alunos ou alunos de seus alunos. , que já havia se desenvolvido na década de 20, chamava-se "Lusitânia". Foram eles que, já nos anos 30, tiveram que fazer descobertas que abriram caminho para temas tão populares hoje como fractais e caos.

Muitas vezes, o destino da ciência é determinado, em menor grau, pelo sucesso na resolução de problemas e, em maior medida, por sua escolha correta. Quem sabe que argumentos o matemático dá a si mesmo, convencendo-se a assumir a solução de um deles, e não a solução de outros. No caso de Egorov e Luzin, segundo Lauren Graham e Jean-Michel Kantor, suas visões religiosas e a capacidade de ver perspectivas matemáticas distantes por trás do jogo de nomes foram de fundamental importância. As ideias filosóficas de Cantor, que tanto dificultaram a adoção de sua matemática nos países da Europa Ocidental e, sobretudo, na França racionalista, desempenharam o papel exatamente oposto na Rússia, onde existia a tradição filosófica oposta, mística.

Claro, esta afirmação é bastante difícil de provar, e deve ser tratada como uma bela e à sua maneira produtiva, mas ainda uma hipótese. Já foi criticado - provavelmente com razão - por nossos matemáticos e nossos filósofos. Mas mesmo como hipótese, o quadro proposto por pesquisadores ocidentais é muito atraente: a “idade de prata” da poesia russa e das artes em geral é seguida por um “renascimento” da filosofia, está sendo substituído pela “idade de ouro” da matemática. Então, é claro, tudo passa, toda beleza, se não morre, fica pelo menos aleijada: no dia 31, Yegorov é baleado, logo depois é aberto um caso contra Luzin, só que por milagre ele escapa da masmorra, mas o rinque da repressão não poupa seus alunos... E, no entanto, a memória da beleza permanece no passado, e a contemplação dela gera confiança - não foi acidental.

Notícias do parceiro

Existem também grupos de dígitos mais longos, que, por estarem no final dos números, também são preservados em seu produto. O número de tais grupos de dígitos, como mostraremos, é infinitamente grande.

Conhecemos grupos de dígitos de dois dígitos que têm essa propriedade: são 25 e 76. Para encontrar grupos de três dígitos, você precisa prefixar o número 25 ou 76 com esse dígito na frente para que os três dígitos resultantes grupo de dígitos também tem a propriedade necessária.

Que número deve ser atribuído ao número 76? Vamos denotar por k. Em seguida, o número de três dígitos desejado será exibido:

100 mil + 76.

A expressão geral para números que terminam neste grupo de dígitos é:

1000a + 100k + 76, 1000b + 100k + 76 etc.

Multiplique dois números desse tipo; Nós temos:

1000000ab + 100000ak + 100000bk + 76000a + 76000b + 10000k 2 + 15200k + 5776.

Todos os termos, exceto os dois últimos, têm pelo menos três zeros no final. Portanto, o produto termina em 1006+76 se a diferença

15200k + 5776 - (100k + 76) = 15100k + 5700 = 15000k + 5000 + 100 (k + 7)

é divisível por 1000. Isso obviamente será apenas para k = 3.

Assim, o grupo de números desejado tem a forma 376. Portanto, qualquer potência do número 376 termina em 376. Por exemplo:

376 2 = 141376.

Se agora quisermos encontrar um grupo de quatro dígitos com a mesma propriedade, teremos que adicionar mais um dígito à frente de 376. Se denotarmos esse número por l, chegamos ao problema: para qual l o produto

(10000a + 1000l + 376) (10000b + 1000l + 376)

termina em 1000l + 376? Se abrirmos os colchetes neste trabalho e descartarmos todos os termos que terminam em 4 zeros ou mais, então os termos permanecem

752000l + 141376.

O produto termina em 1000l + 376 se a diferença

752000l + 141376 - (1000l + 376) = 751000l + 141000 = (750000l + 140000) + 1000(l + 1)

é divisível por 10000. Isso obviamente será apenas para l = 9.

O grupo de números de quatro dígitos desejado é 9376.

O grupo de quatro dígitos resultante pode ser complementado com mais um dígito, para o qual você precisa raciocinar exatamente da mesma maneira que acima. Obtemos 09376. Dando mais um passo, encontramos o grupo de números 109376, depois 7109376 e assim por diante.

Esta atribuição de números à esquerda pode ser feita um número ilimitado de vezes. Como resultado, obtemos um "número" que possui um número infinito de dígitos:

7109376.

Esses "números" podem ser somados e multiplicados de acordo com as regras usuais: afinal, eles são escritos da direita para a esquerda, e a adição e a multiplicação ("coluna") também são realizadas da direita para a esquerda, de modo que na soma e no produto de dois desses números você pode calcular um dígito após o outro - tanto quanto você gosta de dígitos.

Curiosamente, o "número" infinito escrito acima satisfaz, por mais improvável que pareça, a equação

X 2 \u003d x.

De fato, o quadrado desse "número" (ou seja, seu produto por si mesmo) termina em 76, pois cada um dos fatores tem 76 no final; pela mesma razão, o quadrado do "número" escrito termina em 376; termina em 9376, etc. Em outras palavras, calculando um a um os dígitos do "número" x 2, onde x = ... 7109376, obteremos os mesmos dígitos que estão no número x, então x 2 = x.

Consideramos grupos de dígitos que terminam em 76 * . Se um raciocínio semelhante for realizado para grupos de dígitos que terminam em 5, obteremos os seguintes grupos de dígitos:

5, 25, 625, 0625, 90625, 890625, 2890 625 etc.

* (Observe que o grupo de dígitos 76 de dois dígitos pode ser encontrado usando argumentos semelhantes aos dados acima: basta decidir qual dígito deve ser pré-atribuído ao número 6 para que o grupo de dígitos de dois dígitos resultante tenha o propriedade em consideração. Portanto, o "número" ... 7109376 pode ser obtido atribuindo números aos seis da frente, um após o outro.)

Como resultado, podemos escrever outro "número" infinito

2890625,

também satisfazendo a equação x 2 = x. Pode-se mostrar que esse "número" infinito é "igual a"

5 2 2 2...

O resultado interessante obtido na linguagem de "números" infinitos é formulado da seguinte forma: a equação x 2 \u003d x tem (exceto para os usuais x \u003d 0 e x \u003d 1) duas soluções "infinitas":

X = ...7109376 e x = ...2890625,

e outras soluções (em notação decimal) não tem * .

* ("Números" infinitos podem ser considerados não apenas em decimal, mas também em outros sistemas numéricos. Esses números considerados no sistema de numeração p básico são chamados de números p-ádicos. Algo sobre esses números pode ser lido no livro "Mathematical Conversations" de E. B. Dynkin e V. A. Uspensky (Gostekhizdat, 1952).)

Duas coisas são realmente infinitas:
O universo e a estupidez humana.
No entanto, sobre o universo eu tenho
há algumas dúvidas.
Albert Einstein

Recentemente, levantamos essa questão, mas ela é tão importante que vale a pena nos debruçarmos sobre ela com mais detalhes.

Se as mesmas palavras são ditas às vezes sobre um objeto como sobre outro, isso não significa que esses objetos tenham as mesmas propriedades.

Havia uma frase longa e incompreensível, então vou explicar com um exemplo:
Você pode dizer "ligue para o telefone" ou "toque a campainha" - ações muito diferentes, mas um verbo. A partir disso, não se pode concluir que todas as outras ações com o telefone (receber SMS, memória para 200 números e assim por diante) sejam características da campainha. Isso é tão óbvio que este parágrafo parece absurdo.

Mas por que então muitas pessoas operam tão facilmente com a palavra infinito, como se fosse um número? Sim, você pode aplicar algumas ações ao infinito que funcionam com sucesso com números ( fazendo as reservas necessárias):
2 + ∞ = ∞,
∞ - 5 = ∞,
2 * ∞ = ∞,
∞ / 5 = ∞,
∞ + ∞ = ∞ (além disso, a série de números reais é frequentemente estendida por outro par de elementos +∞ e -∞ estipular estritamente como lidar com eles).

Isso significa que nem tudo pode ser feito com tais “infinitos”. Por exemplo, ∞ - ∞ = ? (aqui temos incerteza, pois não podemos dar uma resposta sem conhecer a natureza desses dois "infinitos"). De qualquer forma, é ingênuo dizer logo que a diferença será zero.

E se as conversas começam sobre o fato de que algum valor tende a zero ou infinito, muitas vezes o assunto não atinge o raciocínio correto. A propósito, há seis meses tratamos do uso cotidiano do conceito de infinito. Conseguimos então "provar" que a soma dos catetos de um triângulo é sempre igual à hipotenusa. Este não foi um exemplo muito simples, mas útil. Existem construções muito mais antigas e famosas que parecem tão simples que não está claro como os problemas são possíveis com elas.

Recordemos a aporia clássica de Zenão:
Se se sabe que Aquiles corre dez vezes mais rápido que uma tartaruga e está a uma distância de 1 quilômetro dela, então, no tempo que Aquiles gasta nesse quilômetro, a tartaruga rastejará 100 metros. Assim, quando Aquiles corre mais 100 metros, a tartaruga rasteja 10 metros e assim por diante. O processo continuará indefinidamente, e Aquiles nunca poderá alcançar a tartaruga, embora ele se mova mais rápido.

A capacidade de dizer coisas inteligíveis sobre tais problemas é necessária para entender de alguma forma o raciocínio sobre aspiração, limite, infinito e outros conceitos intuitivamente claros, mas bastante complexos. Sem isso, a conversa geralmente se transforma em “quem tem a voz mais alta”, embora o objetivo da ciência matemática não seja não ser persuadido a qualquer custo. Infelizmente, nas últimas décadas, cada vez menos pessoas distinguem o correto do científico, por isso muitas vezes é considerado mais importante gritar para convencer do que abordar a verdade.

Então, como você pode resolver o problema com Aquiles e a tartaruga? Por favor, não escreva que assim que Aquiles correr o segundo quilômetro, a tartaruga ficará para trás. Isso é óbvio para todos, mas não ajuda em nada. Aqui você precisa sentir o problema na solução original e não apresentar sua própria visão sobre a mesma condição.

Tenha um bom dia!