Movimento circular
Um ciclista saiu do ponto A da pista circular, e após 30 minutos
um motociclista o seguiu, 10 minutos após a partida, ele o alcançou pela primeira vez, e 30 minutos depois o alcançou pela segunda vez.
Encontre a velocidade do motociclista se o comprimento da pista é de 30 km. Dê sua resposta em km/
Decisão. Seja x a velocidade do ciclista. Porque antes do primeiro encontro, o ciclista pedalou 30+10=40 minutos, e o motociclista 10 minutos, então a velocidade do motociclista será quatro vezes maior, ou seja, 4x.
0,5x é a distância que o ciclista percorreu após o primeiro encontro até o segundo encontro em meia hora 30 + 0,5x - o ciclista percorreu após o primeiro encontro até o segundo encontro. A mesma distância é 4x*0,5 km. Equação: 30 + 0,5x = 4x*0,5
30+0,5x=2x1,5x=30
x \u003d 20 km / h - a velocidade do ciclista 4 20 \u003d 80 km / h - a velocidade do motociclista.
Resposta: 20 e 80.
Dois corpos que se movem ao longo de um círculo na mesma direção se encontram a cada 112 minutos e se movem em direções opostas - a cada 16 minutos. No segundo caso, a distância entre os corpos diminuiu de 40 m para 26 m em 12 s. Quantos metros por minuto cada corpo percorre e qual é a circunferência?
Decisão. Seja a velocidade do primeiro corpo x m/min, e a do segundo corpo y m/min, e a circunferência seja L. Os corpos começam a se mover simultaneamente a partir de um ponto.
Em 112 minutos o primeiro corpo passará o arco 112x e o segundo 112y.
Além disso, o segundo passa pelo círculo + arco 112x. Equação 112y - 112x = L (1)
Ao se mover em direções opostas: 16y + 16x \u003d L (2)
40 - 26 \u003d 14 metros do corpo passaram um para o outro em 12 segundos \u003d 1/5 min: 12 (x + y) \u003d 14 (3)
Subtraia de (1) - (2). Obtemos 96y -128x \u003d 0 - 3y \u003d 4x - x \u003d 3y / 4.
Vamos substituir em (3): 1/5 * (3y/4 +y) =14 y=40, x=30 - velocidades do corpo.
De (2) encontramos L: 16 (y + x) \u003d 16 (40 + 30) \u003d 1120 - a circunferência.
As competições de esqui são realizadas em uma pista circular. O primeiro esquiador completa uma volta 2 minutos mais rápido que o segundo e uma hora depois está exatamente uma volta à frente do segundo. Quantos minutos o segundo esquiador leva para completar uma volta.
Seja a circunferência S metros (neste problema e esporte chama-se pista circular e círculo) Deixe o primeiro esquiador percorrer 1 círculo em x minutos, depois o segundo em x + 2 minutos. A velocidade do primeiro esquiador S/x m/min, e do segundo S/(x+2) m/min.
Em 1 hora, o primeiro percorre 60*S/x metros, e o segundo 60*S/(x+2) metros. E desde o primeiro vai mais 1 volta, ou seja. por S metros, então obtemos a equação:
60 S/x - 60 S/(x+2) = S, divida ambas as partes por S.
60/x - 60(x+2) =1 -- x2 + 2x - 120 = 0 -- x=10 (x=-12 condição não sat.)
O primeiro completa o círculo em 10 minutos e o segundo em 12. Resposta: 12.
Dois corpos se movem em círculo na mesma direção. O primeiro círculo passa 3 minutos mais rápido que o segundo e alcança o segundo a cada hora e meia. Quantos minutos leva o primeiro corpo para completar um círculo?
Decisão. Seja a circunferência S.
Deixe o primeiro corpo passar 1 círculo em t minutos, depois em 1 minuto o corpo passa pelo caminho S / t, da mesma forma o segundo - em um minuto S / (t + 3) em 90 minutos o primeiro - 90 * S / t, o segundo 90 * S / (t+3).
escreva a equação: 90S/t = 90S/(t+3) + S
90/t - 90/(t+3) = 1
t2 +3t - 270 = 0
t=15, t=-18 (não adequado) Resposta: 15.
Dois motociclistas partem simultaneamente na mesma direção de dois pontos diametralmente opostos de uma pista circular, cujo comprimento é de 20 km. Em quantos minutos as motocicletas irão nivelar pela primeira vez se a velocidade de uma delas for 12 km/h maior que a velocidade da outra?
Solução Inicialmente, a distância entre os motociclistas é 20:2 = 10 km.
Deixe o segundo alcançar o primeiro em t horas (a primeira vez). A primeira tem uma velocidade de x km/h, e a segunda tem x + 12 km/h.
A distância percorrida é de 10 km. t(x+12) - tx = 10 tx +12t - tx = 10
12t = 10; t=10/12 horas = 10*60/12 minutos = 50 minutos.
Do ponto A da pista circular, dois corpos iniciam simultaneamente um movimento uniforme em direções opostas. No momento em que se encontram, o primeiro corpo percorre 100 metros a mais que o segundo e retorna ao ponto A 9 minutos após o encontro. Encontre o comprimento do caminho em metros se o segundo corpo retornar ao ponto A 16 minutos após o encontro.
Decisão. Deixe o segundo corpo percorrer x km antes de se encontrar, então o primeiro corpo percorre x + 100 km. Após o encontro, o primeiro percorrerá x metros em 9 minutos com a velocidade v1=x/9, e o segundo percorrerá x+100 metros em 16 minutos com a velocidade v2=(x+100)/16.
Antes da reunião, a hora da primeira é (х+100)/v1 = 9(x+100)/x, a hora da segunda antes da reunião é x/v2= 16x/(x+100).
Equacionar 9(x+100)/x = 16x/(x+100)
9(x+100)2 = 16x2
3x+300=4xx=300
Todo o caminho é x + x + 100 = 700 Resposta: 700.
Shinkarev Egor Alexandrovich
Coleta de problemas
Tarefas não padronizadas para movimento
Supervisora científica do projeto Kudryavtseva Natalia Nikolaevna
A coleção contém soluções detalhadas para problemas atribuídos condicionalmente aos seguintes grupos: movimento circular, movimento de corpos estendidos e tarefas para solução independente são propostas. Esta coleção de tarefas pode ser usada para desenvolver habilidades para resolver problemas desse tipo em preparação para o Exame Estadual Unificado e Olimpíadas de matemática. A coleção pode ser útil para alunos do 8º ao 11º ano, professores para organizar a consolidação e repetição de tarefas de movimento tanto em sala de aula quanto em atividades extracurriculares.
Abakan 2017
Introdução ________________________________________________________3
Capítulo 1
§ 1.1. Tarefas para movimento em círculo, em uma direção, ao mesmo tempo de um ponto
§ 1.2. Tarefas para movimento em círculo, em uma direção, ao mesmo tempo de pontos diametralmente opostos _____________________________6
§ 1.3. Tarefas para se mover em círculo, em uma direção, em momentos diferentes de um ponto.………….7
§ 1.4. Tarefas de movimento em círculo, em direções opostas, ao mesmo tempo a partir de um ponto.………………..8
Capítulo 2
§ 2.1. Problemas no movimento de dois corpos estendidos em uma direção
§ 2.2. Problemas no movimento de dois corpos estendidos em direção
§ 2.3. Problemas no movimento de um corpo estendido em relação a outro corpo fixo
§ 2.4. Problemas no movimento de um corpo estendido em relação a um ponto fixo
§ 2.5. Problemas no movimento de um corpo estendido e um ponto em direção
§ 2.6 tarefas para o movimento de um corpo estendido e um ponto em uma direção ______
Introdução
Na prática, existem muitas tarefas interessantes para o movimento. Problemas divertidos são oferecidos em várias olimpíadas e exames finais. Esta coleção contém apenas problemas que são classificados condicionalmente nos seguintes grupos: problemas de movimento em círculo, problemas de movimento de corpos estendidos.
Em cada grupo, são distinguidos subgrupos que diferem uns dos outros nas formas de resolução.
Esta coleção de problemas contém coleções de problemas de cada tipo com respostas. A coleção contém soluções detalhadas para problemas de cada tipo e oferece tarefas para solução independente. Essa coleção de tarefas pode ser usada para desenvolver habilidades para resolver problemas desse tipo em preparação para o OGE, o Exame Estadual Unificado e olimpíadas de matemática. A coleção pode ser útil para alunos do 8º ao 11º ano, professores para organizar a consolidação e repetição de tarefas de movimento, tanto em sala de aula quanto em atividades extracurriculares.
Capítulo 1
Tarefas para movimento em círculo§1.1 Tarefas para movimento em círculo, em uma direção, ao mesmo tempo de um ponto
Tarefa: De um ponto da pista circular, cuja extensão é de 14 km, dois carros partiram simultaneamente na mesma direção. A velocidade do primeiro carro é de 80 km/h, e 40 minutos após a largada estava uma volta à frente do segundo carro. Encontre a velocidade do segundo carro. Dê sua resposta em km/h.
Decisão:
Velocidade
Tempo
Distância
1º carro
80 km/h
80*=km
2º carro
X km/h
x ⋅ km
Sabendo que em 2/3 horas o primeiro carro deu a volta na circunferência, ou seja, 14 km a mais que o segundo, faremos uma equação.
X ⋅ +14;
2x=160 −14 ⋅ 3;
x=59.
Resposta: 59 km/h
1. Dois corredores largaram ao mesmo tempo na mesma direção do mesmo ponto no circuito em uma corrida de várias voltas. Uma hora depois, quando um deles tinha 1 km para o final da primeira volta, ele foi informado de que o segundo corredor havia completado a primeira volta há 20 minutos. Encontre a velocidade do primeiro corredor sabendo que ele é 8 km/h menor que a velocidade do segundo.(13)( )
2. Dois pilotos estão correndo. Eles têm que dar 60 voltas ao longo de um anel viário de 3 km. Ambos os pilotos largaram ao mesmo tempo, e o primeiro chegou à linha de chegada 10 minutos antes do segundo. Qual foi a velocidade média do segundo piloto se se sabe que o primeiro ultrapassou o segundo pela primeira vez por uma volta em 15 minutos? Dê sua resposta em km/h. (108) ( )
3. Dois pilotos terão que percorrer 85 voltas ao longo do anel de 8 km. Ambos os pilotos largaram ao mesmo tempo, e o primeiro chegou à linha de chegada antes do segundo por 17 minutos. Qual foi a velocidade média do segundo piloto se se sabe que o primeiro ultrapassou o segundo pela primeira vez por uma volta em 48 minutos? Dê sua resposta em km/h.
(150)( )
4. Dois pilotos terão que fazer 68 voltas ao longo de um anel de 6 km de comprimento. Ambos os pilotos largaram ao mesmo tempo, e o primeiro chegou à linha de chegada antes do segundo por 15 minutos. Qual foi a velocidade média do segundo piloto se se sabe que o primeiro ultrapassou o segundo pela primeira vez por uma volta em 60 minutos? Dê sua resposta em km/h.
(96 )( )
5.
Dois pontos, movendo-se ao longo de um círculo na mesma direção, encontram-se a cada 12 minutos, com o primeiro dando a volta no círculo 10 s mais rápido que o segundo. Que parte do círculo cada ponto cobre em 1 s? (1/80 e 1/90 do círculo)(
)
§1.2. Tarefas para movimento em círculo, em uma direção, ao mesmo tempo de pontos diametralmente opostos
Tarefa: Dois motociclistas partem simultaneamente na mesma direção de dois pontos diametralmente opostos de uma pista circular, cujo comprimento é de 14 km. Em quantos minutos os motociclistas alcançarão pela primeira vez se a velocidade de um deles for 21 km/h maior que a do outro?
Decisão:
Velocidade
Tempo
Distância
1º motociclista
X km/h
º
xt km
2º motociclista
X + 21 km/h
º
(x+21)t km
Deixe que os motociclistas estejam na estrada pelo mesmo tempo, igual a t
horas. Para que os motociclistas alcancem, quanto mais rápido se deve vencer a distância que inicialmente os separa, igual à metade do comprimento da pista, ou seja, 14:2 = 7 km. Portanto, a distância percorrida pelo segundo motociclista é 7 km maior que a distância percorrida pelo primeiro:
(x+21)t−xt=7;
21t=7
t=h
Assim, os motociclistas alcançarão após t= horas ou após 20 minutos.
Vamos dar outra solução
Um motociclista rápido está se movendo a uma velocidade relativamente lenta de 21 km por hora, e deve superar os 7 km que os separam. Portanto, ele levará um terço de hora.
Resposta: 20 minutos
Tarefas para solução independente:
6.Dois motociclistas partem simultaneamente na mesma direção de dois pontos diametralmente opostos de uma pista circular, cujo comprimento é de 22 km. Em quantos minutos os motociclistas alcançarão pela primeira vez se a velocidade de um deles for 20 km/h maior que a do outro? (33)
7. Dois motociclistas partem simultaneamente na mesma direção de dois pontos diametralmente opostos de uma pista circular, cujo comprimento é de 5 km. Em quantos minutos os motociclistas alcançarão pela primeira vez se a velocidade de um deles for 5 km/h maior que a do outro? (30) (https://www.metodkopilka.ru/konspekt_uroka_matematiki_po_teme_reshenie_zadach_na_dvizhenie_po_okruzhnosti-59657.htm)
8 . Dois motociclistas partem simultaneamente na mesma direção de dois pontos diametralmente opostos de uma pista circular, cujo comprimento é de 14 km. Em quantos minutos os motociclistas alcançarão pela primeira vez se a velocidade de um deles for 21 km/h maior que a do outro? (20)
9 . Dois motociclistas partem simultaneamente na mesma direção de dois pontos diametralmente opostos de uma pista circular, cujo comprimento é de 27 km. Em quantos minutos os motociclistas alcançarão pela primeira vez se a velocidade de um deles for 27 km/h maior que a do outro? (trinta)
10. Dois motociclistas partem simultaneamente no mesmo sentido de dois pontos diametralmente opostos de uma pista circular, cujo comprimento é de 6 km. Em quantos minutos os motociclistas alcançarão pela primeira vez se a velocidade de um deles for 9 km/h maior que a do outro? (20)
§1.3. Tarefas para movimento em círculo, em uma direção, em momentos diferentes de um ponto
Tarefa: Um ciclista saiu do ponto A da pista circular, e após 30 minutos um motociclista o seguiu. 10 minutos após a partida, ele alcançou o ciclista pela primeira vez, e 30 minutos depois ele o alcançou pela segunda vez. Encontre a velocidade do motociclista se o comprimento da pista é de 30 km. Dê sua resposta em km/h.
Decisão:
Velocidade
Tempo
Distância
1 reunião
Ciclista
X km/h
40min=h
Motociclista
4X km/h
10 min = h
2 reunião
Ciclista
X km/h
Motociclista
4X km/h
No momento da primeira ultrapassagem, o motociclista percorreu tanto em 10 minutos quanto o ciclista em 40 minutos, portanto, sua velocidade é 4 vezes maior. Portanto, se a velocidade do ciclista for tomada como x km/h, então a velocidade do motociclista será de 4x km/h e a velocidade de sua aproximação será de 3x km/h.
Por outro lado, na segunda vez que o motociclista alcançou o ciclista em 30 minutos, durante esse tempo ele percorreu mais 30 km. Portanto, a velocidade de sua convergência é de 60 km/h.
Então, 3x=60 km/h, onde a velocidade do ciclista é 20 km/h e a velocidade do motociclista é 80 km/h.
Resposta: 80km/h.
Tarefas para solução independente:
11 . Do parágrafoUm ciclista saiu da pista circular e, após 10 minutos, um motociclista o seguiu. 2 minutos após a partida, alcançou o ciclista pela primeira vez, e 3 minutos depois alcançou-o pela segunda vez. Encontre a velocidade do motociclista se o comprimento da pista é de 5 km. Dê sua resposta em km/h. (6) ( https://www.metodkopilka.ru/konspekt_uroka_matematiki_po_teme_reshenie_zadach_na_dvizhenie_po_okruzhnosti-59657.htm
12. Do parágrafoUm ciclista saiu da pista circular, e após 40 minutos um motociclista o seguiu. 8 minutos após a partida, alcançou o ciclista pela primeira vez, e 36 minutos depois alcançou-o pela segunda vez. Encontre a velocidade do motociclista se o comprimento da pista é de 30 km. Dê sua resposta em km/h. (60) ( https://www.metodkopilka.ru/konspekt_uroka_matematiki_po_teme_reshenie_zadach_na_dvizhenie_po_okruzhnosti-59657.htm)
13. Um ciclista saiu do ponto “A” da pista circular, e após 50 minutos um motociclista o seguiu. 10 minutos após a partida, alcançou o ciclista pela primeira vez e, 18 minutos depois, alcançou-o pela segunda vez. Encontre a velocidade do motociclista se o comprimento da pista é de 15 km. Dê sua resposta em km/h.(60)
14. Um ciclista saiu do ponto “A” da pista circular, e após 30 minutos um motociclista o seguiu. 8 minutos após a partida, alcançou o ciclista pela primeira vez e, 12 minutos depois, alcançou-o pela segunda vez. Encontre a velocidade do motociclista se o comprimento da pista é de 15 km. Dê sua resposta em km/h. (95)
15. Um ciclista saiu do ponto “A” da pista circular, e após 40 minutos um motociclista o seguiu. 10 minutos após a partida, alcançou o ciclista pela primeira vez, e 36 minutos depois alcançou-o pela segunda vez. Encontre a velocidade do motociclista se o comprimento da pista é de 36 km. Dê sua resposta em km/h.(75)
§1.4. Tarefas para movimento em círculo, em direções opostas, ao mesmo tempo de um ponto
C inferno acha 1: Um ponto A é tomado no círculo Dois corpos simultaneamente saem desse ponto e se movem uniformemente ao longo do círculo dado em direções opostas. No momento do encontro, descobriu-se que o primeiro corpo havia percorrido 10 metros a mais que o segundo. Além disso, o primeiro corpo chegou ao ponto A após 9 segundos e o segundo - 16 segundos após a reunião. Determine a circunferência em metros.
Decisão:
Tempo
Distância
1º ponto
X km/h
º
xt km
2º ponto
y km/h
º
Ytkm
Seja x a velocidade de um ponto que se move no sentido horário e y a velocidade do outro. Então, antes da reunião, o primeiro ponto passará a distância xt e o segundo passará a distância yt.
Após encontrar o primeiro ponto até o ponto de partida, você precisa percorrer a mesma distância que o segundo percorreu antes do encontro, e o primeiro ponto gasta esse tempo igual a 10 s, e o segundo, ao contrário, precisa percorrer o distância que o primeiro percorreu antes da reunião, e passa neste 16 p. Obtemos as seguintes igualdades:
Xt=16a
Yt=9x
Vamos expressar o tempo de movimento dos pontos antes de encontrar t
t= =
Onde obtemos
x=
De acordo com a condição, o primeiro corpo percorreu 10 m a mais que o segundo, ou seja,
16a-9x=10
Substituímos uma das incógnitas nesta equação:
16 y-12 y =10
E encontramos Y=2,5 de onde x=.
O comprimento total do círculo é: 70
Resposta: A circunferência é de 70 metros.
Tarefas para solução independente:
16. Dois corpos movendo-se em direções diferentes ao longo de um círculo de 500 m de comprimento com velocidades constantes se encontram a cada 125 segundos. Ao se mover em uma direção, o primeiro corpo alcança o segundo a cada 12,5 segundos. Encontre a velocidade de cada corpo. (22 e 18)
17. Do ponto A da pista circular, dois corpos iniciam simultaneamente um movimento uniforme em direções opostas. No momento em que se encontram, o primeiro corpo percorre 100 metros a mais que o segundo, e retorna ao ponto A 9 minutos após o encontro. Encontre o comprimento do caminho em metros se o segundo corpo retornar ao ponto A 16 minutos após o encontro. (700)
18. Dois corpos que se movem ao longo de um círculo na mesma direção se encontram a cada 112 minutos e se movem em direções opostas - a cada 16 minutos. No segundo caso, a distância entre os corpos diminuiu de 40 m para 26 m em 12 s. Quantos metros por minuto cada corpo passa e qual é a circunferência? (1120 m; 40 m/min, 30 m/min)
19. Em 2.4
20. Em 2.4
Capítulo 2
Problemas no movimento de corpos estendidos
§2.1. Problemas no movimento de dois corpos estendidos em uma direção
Tarefa: Por mar, dois navios de carga seca seguem rumos paralelos em uma direção: o primeiro tem 130 metros de comprimento, o segundo tem 120 metros de comprimento. Primeiro, o segundo graneleiro fica atrás do primeiro e, em algum momento, a distância da popa do primeiro graneleiro à proa do segundo é de 600 metros. 11 minutos depois, o primeiro graneleiro fica atrás do segundo, de modo que a distância da popa do segundo graneleiro à proa do primeiro é de 800 metros. Quantos quilômetros por hora é a velocidade do primeiro navio de carga menor que a velocidade do segundo? (http://www.ug.ru/method_article/519)
Decisão:
Tempo
Distância
2 - 1
X m/min
11 minutos
600+130+120+800= 1650 m
A distância percorrida pela proa 2 do graneleiro é igual a: a distância inicial da proa 2 do graneleiro até a popa 1(600) + o comprimento 1(130) + o comprimento 2(120) + o final distância da proa 1 à popa 2(800) = 1650 m
V = S: t
V = 1650: 11 = 150 m/min = 9 km/h
Resposta: 9 km/h
Tarefas para solução independente:
21. Os trens de passageiros e de carga viajam no mesmo sentido ao longo de duas vias paralelas a velocidades de 80 km/h e 50 km/h, respectivamente. O comprimento de um trem de carga é de 800 metros. Encontre o comprimento do trem de passageiros se o tempo que ele leva para passar pelo trem de carga é de 2 minutos. Dê sua resposta em metros. (200)
22. Por mar, dois navios de carga seca seguem rumos paralelos em uma direção: o primeiro tem 110 metros de comprimento, o segundo tem 70 metros de comprimento. Primeiro, o segundo graneleiro fica atrás do primeiro e, em algum momento, a distância da popa do primeiro graneleiro à proa do segundo é de 200 metros. 8 minutos depois, o primeiro graneleiro fica atrás do segundo, de modo que a distância da popa do segundo graneleiro à proa do primeiro é de 500 metros. De quantos quilômetros por hora a velocidade do primeiro cargueiro é menor que a velocidade do segundo? (6.6)
( )
23. Por mar, duas barcaças seguem rumos paralelos em uma direção: a primeira tem 70 metros de comprimento, a segunda tem 30 metros de comprimento. Primeiro, a segunda barcaça fica atrás da primeira e, em algum momento, a distância da popa da primeira barcaça à proa da segunda é de 250 metros. 14 minutos depois disso, a primeira barcaça já está atrás da segunda, de modo que a distância da popa da segunda barcaça à proa da primeira é de 350 metros. Quantos quilômetros por hora a velocidade da primeira barcaça é menor que a velocidade da segunda? (3)
( )
24. Por mar, duas barcaças seguem cursos paralelos em uma direção: a primeira tem 60 metros de comprimento, a segunda tem 40 metros de comprimento. Primeiro, a segunda barcaça fica atrás da primeira e, em algum momento, a distância da popa da primeira barcaça à proa da segunda é de 200 metros. 18 minutos depois, a primeira barcaça já está atrás da segunda, de modo que a distância da popa da segunda barcaça à proa da primeira é de 300 metros. Quantos quilômetros por hora a velocidade da primeira barcaça é menor que a velocidade da segunda? (2.1)
( )
25 . Por mar, dois navios de carga seca seguem cursos paralelos em uma direção: o primeiro tem 120 metros de comprimento, o segundo tem 80 metros de comprimento. Primeiro, o segundo graneleiro fica atrás do primeiro e, em algum momento, a distância da popa do primeiro graneleiro à proa do segundo é de 400 metros. 12 minutos depois, o primeiro graneleiro fica atrás do segundo, de modo que a distância da popa do segundo graneleiro à proa do primeiro é de 600 metros. De quantos quilômetros por hora a velocidade do primeiro cargueiro é menor que a velocidade do segundo? (6)
( )
§3
Tarefas para gravação digital de um número
Tarefa 1: Encontre o menor número de quatro dígitos divisível por 11 cujo produto de seus dígitos é 12.
Decisão:
O número deve ser múltiplo de 11, ou seja, a diferença entre os algarismos nas posições pares e os algarismos nas posições ímpares é um múltiplo de 11, considere o caso em que sua diferença seja 0. Observe que 0 não deve ocorrer, pois quando multiplicado por 0 obtemos 0 Como o número é o menor, vamos pegar o primeiro dígito 1. O número terá a forma 1bcd. E assim 1 + c = b + d e c × b × d = 12. Além disso, se representarmos 12 como um produto de 3 números, obtemos 12 = 2 × 3 × 2, enquanto 2 + 2 = 3 + 1 e obtemos 1232
Resposta: 1232
Tarefas para solução independente:
26. Encontre um número de quatro dígitos que seja múltiplo de 22 e cujo produto de dígitos seja 40. Indique um desses números em sua resposta.
27. Encontre um número de quatro dígitos que seja múltiplo de 22 e cujo produto de dígitos seja 60. Indique um desses números em sua resposta.
28. Encontre um número de quatro dígitos que seja múltiplo de 18 e o produto de seus dígitos seja 24. Em sua resposta, indique qualquer um desses números.
29. Encontre um número de quatro dígitos divisível por 33, cujo produto de dígitos seja 40. Em sua resposta, indique qualquer um desses números.
30. Encontre o menor número de quatro dígitos divisível por 11 cujo produto de seus dígitos é 12
Tarefa 2: Encontre um número natural de seis dígitos que seja escrito apenas como 1 e 0 e seja divisível por 24.
Decisão:
Para um número ser divisível por 24, ele deve ser divisível por 3 e 8.
Um número é divisível por 8 se seus três últimos algarismos formarem um número divisível por 8.
O número desejado é escrito apenas com zeros e uns, o que significa que termina com 000. O número é divisível por 3 se sua soma de dígitos for divisível por 3. Como os três últimos dígitos do número são zeros, os três primeiros devem ser uns. Assim, o único número que satisfaz a condição do problema é o número 111.000.
Resposta: 111000
Tarefas para solução independente:
31. Encontre um número natural de seis dígitos que seja escrito apenas como 2 e 0 e seja divisível por 120. Em sua resposta, indique qualquer um desses números.
32. Encontre um número natural de seis dígitos que seja escrito apenas como 1 e 5 e seja divisível por 45. Em sua resposta, indique qualquer um desses números.
33. Encontre um número natural de seis dígitos que seja escrito apenas como 2 e 3 e seja divisível por 6.
34. Encontre um número natural de seis dígitos que seja escrito apenas como 7 e 3 e seja divisível por 11.
35. Encontre um número natural de seis dígitos que seja escrito apenas como 3, 4, 9 e 5 e seja divisível por 9.
36. Encontre o menor número natural divisível por 36 que contém todos os 10 dígitos.
37. Encontre um número natural de seis dígitos divisível por 47, que seja escrito apenas com os números 2, 8 e 0.
Tarefa 3: A soma dos dígitos de um número natural de três dígitos A é divisível por 12. A soma dos dígitos do número A + 6 também é divisível por 12 encontre o menor número possível A.
Solução: Por conveniência, vamos ligar para nosso número abc. Cada letra denota um dígito separado do número A: a - centenas, b - dezenas, c - unidades. A soma dos algarismos a + b + c deve ser divisível por 12. Vamos supor que este seja o caso, e tente escolher um número A + 6 de modo que a soma de seus algarismos também seja divisível por 12. Observe que a soma dos dígitos do número A + 6 deve ser diferente da soma dos dígitos do número A por 12, 24, ... Caso contrário, não será divisível por 12. Considere todas as opções possíveis:
Opção 1. Se c<4 (разряд единиц не переполнится), то новое число будет равно: A + 6 = ab(c + 6) Сумма его цифр a + b + c + 6 отличается от суммы изначального числа abc на 6. Поэтому такой вариант не подходит.
Opção 2. Se c ≥ 4 e b<9 (чтобы не было переполнения разряда десятков), то новое число будет равно: A + 6 = a(b + 1)(c - 4) Разряд единиц получен следующим образом: c + 6 - 10 = c - 4 То есть к c мы прибавляем 6 и получаем число, превышающее 10. 10 уходит в разряд десятков, поэтому в разряде единиц остается только c - 4. Сумма цифр этого числа равна a + b + 1 + c - 4 = a + b + c - 3 Она отличается от суммы числа A на 3, поэтому такой вариант также не подойдет.
Opção 3. Se c ≥ 4, b = 9, a<9 (чтобы разряд сотен не переполнился), тогда новое число будет равно: A + 6 = (a + 1)0(c - 4) Сумма цифр нового числа равна: a + 1 + 0 + c - 4 = a + c - 3 Сумма цифр числа A при b = 9 равна: a + 9 + c получается, что 2 этих числа отличаются на 12 (9 - (-3)). Такой вариант подойдет.
Opção 4. Se c ≥ 4, b = 9, a = 9, então o novo número A + 6 será: A + 6 = 100(c - 4) A soma dos dígitos deste número é: 1 + 0 + 0 + c - 4 \u003d c - 3 A soma dos dígitos do número A com a \u003d 9 e b \u003d 9 é: 9 + 9 + c \u003d c + 18 Acontece que 2 desses números diferem por 21 (18 - (-3)). Esta opção não funcionará. Assim, os dígitos de abc devem corresponder a c ≥ 4, b = 9, a< 9. Чтобы сумма цифр числа abc делилась на 12, нужно чтобы она была равна 12 или 24 (Сумма цифр трехзначного числа не может быть больше 27 = 9 + 9 + 9). Поскольку b = 9, а c ≥ 4 у нас уже получается число, больше 13. Значит сумма цифр числа abc должна быть равна 24. Поскольку b = 9, на a + c остается 24 - 9 = 15. Рассмотрим возможные варианты: c = 4 и a = 11 - не подходит, так как в одном разряде может быть только цифра c = 5 и a = 10 - тоже c = 6 и a = 9, то есть число равно 996 c = 7 и a = 8, то есть число равно 897 c = 8 и a = 7, то есть число равно 798 c = 9 и a = 6, то есть число равно 699. Минимальным из подобранных чисел является 699. Проверим, что мы все сделали правильно: 6 + 9 + 9 = 24; 24 / 12 = 2; 699 + 6 = 705; 7 + 0 + 5 = 12; 12 / 12 = 1
Resposta: 699
Tarefas para solução independente:
38. A soma dos algarismos de um número natural de três algarismos A é divisível por 13. A soma dos algarismos do número A + 5 também é divisível por 13. Encontre tal número A.
39. A soma dos algarismos de um número natural de três algarismos A é divisível por 12. A soma dos algarismos do número A + 6 também é divisível por 12. Encontre o menor número A que satisfaça a condição A > 700.
40. Encontre um número A de três dígitos que tenha todas as seguintes propriedades:
a soma dos algarismos de A é divisível por 6
a soma dos algarismos do número A + 3 também é divisível por 6
número A é maior que 350 e menor que 400
Dê sua resposta como um desses números.
§4
Tarefas para riscar e adicionar números
Tarefa 1: Risque três dígitos no número 123456 para que o número resultante seja divisível por 27. Indique o número em sua resposta.
Decisão:
Vamos começar com números que começam com o número 1, para que a ordem não seja violada:
123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156.
Entre esses números, 135 é divisível por 27 (13–8 5= –27)
Em seguida, verificamos os números que começam com o número 2:
234, 235, 236, 245, 246, 256
Verificando números que começam com 3:
345, 346, 356.
Nenhum número é divisível por 27.
Vamos passar para os números que começam com o número 4.
456: não divisível por 27.
Assim, obtemos o número 135
Resposta: 135
Tarefas para solução independente:
41. Risque três dígitos no número 123456 para que o número resultante seja divisível por 35. Indique o número em sua resposta.
42. Risque três dígitos no número 123456 para que o número resultante seja divisível por 5. Indique o número em sua resposta.
43. Risque três dígitos no número 85417627 para que o número resultante seja divisível por 18. Em sua resposta, indique exatamente um número resultante.
44. Risque três dígitos no número 141565041 para que o número resultante seja divisível por 30. Na resposta especificamos exatamente um número resultante.
45. Risque o número 181615121 tem três dígitos para que o número resultante seja divisível por 12. Em sua resposta, indique qualquer um desses números.
Tarefa 2: Ao número 26, adicione à esquerda e à direita pelo número para que o número resultante seja um múltiplo de 45.
Decisão:
A soma dos dígitos deste número deve ser divisível por 9, o próprio número deve ser divisível por 5., então o último dígito é 0 ou 5. e então selecionamos o primeiro dígito.
1260 e 5265.
Resposta: 1260 ou 5262
Tarefas para solução independente:
46. Adicione um dígito à esquerda e à direita ao número 374 para que o número resultante seja divisível por 45.
47. Atribua um dígito à esquerda e à direita de 1022 para que o número de seis dígitos resultante seja divisível por 7, 8, 9.
48. Adicione um dígito à esquerda e à direita do número 15 para que o número resultante seja divisível por 15.
49. Ao número 10, adicione um dígito à esquerda e um dígito à direita para obter um número múltiplo de 72.
50. Pelo número 2012, adicione dois dígitos à direita para que o número de seis dígitos resultante seja divisível por 36.
Respostas para tarefas:
1. 1125
2. 1044
3. 1245
4. 3225
5. 4312
6. 6
7. 5
8. 3
9. 321 0
10. 3211
11. 11
12. 5
13. 1152
14. 1152
15. 2120
16. 20
17. 20
18. 10
19. 35
20. 10
21. 30
22. 24
23. 25
24. 24
25. 54
26. 1254
27. 2156
28. 3222
29. 2541
30. 1232
31. 222000
32. 111555
33. 333222
34. 377333
35. 333459
36. 1023457896
37. 282000
38. 899
39. 798
40. 369
41. 245
42. 12345
43. 54162
44. 115650
45. 181512
46. 43740
47. 910224
48. 1155
49. 4104
50. 420120
Bibliografia:
1) Conhecimento escolar - portal [recurso eletrônico]. - Modo de acesso: https://znanija.com/task/, gratuito. - Título da tela.
2) correspondência. pt- portal [recurso eletrônico]. - Modo de acesso: https://answer.mail.ru/question/, gratuito. - Título da tela.
3) USO: 4000 tarefas com respostas em matemática. Todas as tarefas "Segmento fechado". Níveis básicos e de perfil / I. V. Yashchenko, I. R. Vysotsky, A. V. Zabelin, P. I. Zakharov, S. L. Krupetsky, V. B. Nekrasov, M. A. Positselskaya, S. E Positselsky, E. A. Semenko, A. V. Semenov, V. A. Smirnov, N. A. Soprunova, A. V. Khachaturyan, I. A. Khovanskaya. Shestakov, D. E. Shnol; ed. I. V. Yashchenko. - M.: Editora "Exame", 2015. - 686, p. (Série "Banco de tarefas USE")
4) Matemático - portal [recurso eletrônico]. - Modo de acesso: http://mathematichka.ru/, gratuito. - Título da tela.
5) Problemas de Olimpíadas de Matemática / I. L. Babinskaya. - M. : A principal edição da literatura física e matemática da editora Nauka, 1975. - 109, p.
6) Banco aberto de tarefas USE em matemática - portal [recurso eletrônico]. - Modo de acesso: http://base.mathege.ru/, gratuito. - Título da tela.
7) Preparação para o Exame Estadual Unificado e o OGE - exames para pessoal - portal [recurso eletrônico]. - Modo de acesso: http://worksbase.ru/, gratuito. - Título da tela.
Resolvendo a opção 238 Larina Unified State Examination 2018. Uma análise detalhada das tarefas 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 de alexlarin.net. Alex Larin 238 horários: 7-12)5:34 13)15:15 14)18:05 15)26:51 twitter:https://twitter.com/mrMathlesson
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Exemplos de tarefas: 1) A piscina tem a forma de um paralelepípedo retangular. Seu comprimento, largura e profundidade são 25 m, 12 m e 2 m, respectivamente.Para revestir o fundo e as paredes da piscina, decidiu-se comprar telhas a um preço de 500 rublos. por metro quadrado. Quantos rublos custará a compra se for planejado estabelecer adicionalmente um caminho retangular de 1 m de largura do mesmo ladrilho ao longo do perímetro da piscina? 2) O gráfico mostra a mudança de pressão na turbina a vapor após a partida. O tempo em minutos é plotado no eixo das abcissas, a pressão em atmosferas é plotada no eixo das ordenadas. Determine a partir do gráfico quantos minutos se passaram desde o início da turbina até o momento em que a pressão pela primeira vez atingiu seu valor máximo. 3) Encontre a área do triângulo ABC se o lado da célula for 4. 4) Existem 8 pares de luvas idênticos no balcão, mas um par tem um casamento imperceptível dentro de ambas as luvas. Durante a adaptação, todas as luvas foram misturadas. O vendedor dividiu todas as luvas aleatoriamente em 4 grupos de 4 peças. Qual é a probabilidade de que ambas as luvas defeituosas estejam no mesmo grupo? 5) Resolva a equação. Se a equação tiver mais de uma raiz, indique a menor das raízes em sua resposta. 6) Encontre o ângulo agudo entre as bissetrizes dos ângulos agudos de um triângulo retângulo. Dê sua resposta em graus. 7) A figura mostra um gráfico y \u003d f "(x) - a derivada da função f (x) definida no intervalo (-4; 10) . Encontre o número de pontos em que a tangente ao gráfico y \ u003d f (x) é paralelo à linha y \u003d x ou coincide com ela. 8) A altura de uma pirâmide triangular regular é três vezes menor que o lado da base. Encontre o ângulo entre a borda lateral e o plano de a base da pirâmide. Dê a resposta em graus. 10) Após a chuva, o nível da água no poço pode subir. O menino o determina medindo o tempo em que cai t de pedrinhas no poço e calculando pela fórmula h = 5t. Antes da chuva, o tempo de queda dos seixos era de 1,4 s. Até que altura mínima o nível da água deve subir após a chuva para que o tempo medido mude em mais de 0,2 s? 11) Dos pontos A do Uma pista circular inicia simultaneamente um movimento uniforme em direções opostas de dois corpos. No momento em que eles se encontram, o primeiro corpo percorre 200 m a mais que o segundo e retorna ao ponto A 25 minutos após o encontro. Encontre o comprimento do caminho em metros se o segundo corpo o regressa ao ponto A 36 minutos após a reunião. 14) Na pirâmide triangular ABCD, os comprimentos de todas as arestas são iguais. O ponto P é equidistante dos vértices A e D, e sabe-se que PB = PC e a reta PB é perpendicular à altura do triângulo ACD, descido do vértice D. a) Prove que o ponto P está na intersecção das alturas da pirâmide ABCD. b) Calcule o volume da pirâmide ABCD se for conhecido que Link para a fonte original da variante:
#mrMathlesson #Larin #USE #perfil #matemática
Continuamos a considerar as tarefas para o movimento. Existe um grupo de tarefas que difere das tarefas usuais de movimento - são tarefas de movimento circular (pista circular, movimento dos ponteiros do relógio). Neste artigo, consideraremos essas tarefas. Os princípios da solução são os mesmos, os mesmos (a fórmula da lei do movimento retilíneo). Mas há pequenas nuances nas abordagens para a solução.
Considere as tarefas:
Dois motociclistas partem simultaneamente na mesma direção de dois pontos diametralmente opostos de uma pista circular, cujo comprimento é de 22 km. Em quantos minutos os motociclistas alcançarão pela primeira vez se a velocidade de um deles for 20 km/h maior que a do outro?
À primeira vista, algumas pessoas podem achar tarefas de movimento circular complexas e um tanto confusas em comparação com tarefas comuns de movimento retilíneo. Mas isso é apenas à primeira vista. Este problema facilmente se transforma em um problema de movimento retilíneo. Como?
Transforme mentalmente a pista circular em uma linha reta. Há dois motociclistas nele. Um deles está 11 km atrás do outro, pois é declarado na condição de que o comprimento da pista seja de 22 quilômetros.
A velocidade do atrasado é de 20 quilômetros por hora a mais (ele alcança o que está na frente). Aqui está o problema para o movimento retilíneo.
Assim, o valor desejado (o tempo após o qual eles se tornam iguais) será considerado como x horas. A velocidade do primeiro (o da frente) será denotada por y km/h, então a velocidade do segundo (o de ultrapassagem) será y + 20.
Vamos colocar a velocidade e o tempo na tabela.
Preencha a coluna "distância":
O segundo percorre uma distância (para uma reunião) mais 11 km, o que significa
11/20 horas é o mesmo que 33/60 horas. Ou seja, 33 minutos se passaram antes de sua reunião. Como converter horas em minutos e vice-versa, você pode ver no artigo "".
Como você pode ver, a própria velocidade dos motociclistas neste caso não importa.
Resposta: 33
Decida por si mesmo:
Dois motociclistas partem simultaneamente na mesma direção de dois pontos diametralmente opostos de uma pista circular, cujo comprimento é de 14 km. Em quantos minutos os motociclistas alcançarão pela primeira vez se a velocidade de um deles for 21 km/h maior que a do outro?
De um ponto da pista circular, cuja extensão é de 25 km, dois carros partiram simultaneamente na mesma direção. A velocidade do primeiro carro é de 112 km/h, e 25 minutos após a largada estava uma volta à frente do segundo carro. Encontre a velocidade do segundo carro. Dê sua resposta em km/h.
Este problema também pode ser interpretado, ou seja, apresentado como um problema de movimento retilíneo. Como? Apenas …
Dois carros começam a se mover na mesma direção ao mesmo tempo. A velocidade do primeiro é de 112 km/h. Após 25 minutos, ele está à frente do segundo por 25 km (já que se diz que por uma volta). Encontre a velocidade do segundo. É muito importante representar o processo desse movimento nos problemas do movimento.
Faremos uma comparação por distância, pois sabemos que um estava à frente do outro em 25 quilômetros.
Para x, pegamos o valor desejado - a velocidade do segundo. Tempo de viagem 25 minutos (25/60 horas) para ambos.
Preencha a coluna "distância":
A distância percorrida pelo primeiro é 25 km a mais do que a distância percorrida pelo segundo. Ou seja:
A velocidade do segundo carro é 52 (km/h).
Resposta: 52
Decida por si mesmo:
De um ponto da pista circular, cuja extensão é de 14 km, dois carros partiram simultaneamente na mesma direção. A velocidade do primeiro carro é de 80 km/h, e 40 minutos após a largada estava uma volta à frente do segundo carro. Encontre a velocidade do segundo carro. Dê sua resposta em km/h.
Um ciclista saiu do ponto A da pista circular, e após 40 minutos um motociclista o seguiu. 8 minutos após a partida, alcançou o ciclista pela primeira vez, e 36 minutos depois alcançou-o pela segunda vez. Encontre a velocidade do motociclista se o comprimento da pista é de 30 km. Dê sua resposta em km/h.
Esta tarefa é relativamente difícil. O que é imediatamente digno de nota? É que um motociclista percorre a mesma distância que um ciclista, alcançando-o pela primeira vez. Então ele o alcança novamente pela segunda vez, e a diferença nas distâncias percorridas após o primeiro encontro é de 30 quilômetros (comprimento do círculo). Assim, será possível compor duas equações e resolver seu sistema. Não nos é dada a velocidade dos participantes no movimento, pelo que será possível introduzir duas variáveis. Um sistema de duas equações com duas variáveis é resolvido.
Então, vamos converter minutos para horas, já que a velocidade deve ser encontrada em km/h.
Quarenta minutos são 2/3 de uma hora, 8 minutos são 8/60 de uma hora, 36 minutos são 36/60 de uma hora.
As velocidades dos participantes serão indicadas como x km/h (para um ciclista) e y km/h (para um motociclista).
Pela primeira vez, o motociclista ultrapassou o ciclista após 8 minutos, ou seja, 8/60 horas após a largada.
Até este ponto, o ciclista está na estrada há 40 + 8 = 48 minutos, ou seja, 48/60 horas.
Vamos escrever esses dados em uma tabela:
Ambos percorreram a mesma distância, ou seja,
Então o motociclista alcançou o ciclista pela segunda vez. Isso aconteceu após 36 minutos, ou seja, 36/60 horas após a primeira ultrapassagem.
Vamos fazer uma segunda tabela, preencha a coluna "distance":
Já que se diz que depois de 36 minutos o motociclista alcançou o ciclista novamente. Isso significa que ele (o motociclista) percorreu uma distância igual a 30 quilômetros (uma volta) mais a distância que o ciclista percorreu nesse tempo. Este é o ponto chave para a elaboração da segunda equação.
Um círculo é o comprimento da pista, é igual a 30 km.
Obtemos a segunda equação:
Resolvemos um sistema de suas duas equações:
Então y \u003d 6 ∙ 10 \u003d 60.
Ou seja, a velocidade do motociclista é de 60 km/h.
Resposta: 60
Decida por si mesmo:
Um ciclista saiu do ponto A da pista circular, e após 30 minutos um motociclista o seguiu. 10 minutos após a partida, ele alcançou o ciclista pela primeira vez, e 30 minutos depois ele o alcançou pela segunda vez. Encontre a velocidade do motociclista se o comprimento da pista é de 30 km. Dê sua resposta em km/h.
O próximo tipo de problemas de movimento circular pode ser considerado “único”. Existem tarefas que são resolvidas oralmente. E há aqueles que são extremamente difíceis de resolver sem compreensão e atenção no raciocínio. Estamos falando de tarefas sobre os ponteiros do relógio.
Aqui está um exemplo de uma tarefa simples:
O relógio com ponteiros mostra 11 horas e 20 minutos. Depois de quantos minutos o ponteiro dos minutos será igual ao ponteiro das horas pela primeira vez?
A resposta é óbvia, em 40 minutos, quando serão exatamente doze. Mesmo que eles não pudessem entender imediatamente, então, desenhando o mostrador(fazendo um esboço) na folha, você pode facilmente determinar a resposta.
Exemplos de outras tarefas (não fáceis):
O relógio com ponteiros mostra 6 horas e 35 minutos. Depois de quantos minutos o ponteiro dos minutos se alinhará com o ponteiro das horas pela quinta vez? Resposta: 325
O relógio com ponteiros mostra exatamente 2 horas. Em quantos minutos o ponteiro dos minutos se alinhará com o ponteiro das horas pela décima vez? Resposta: 600
Decida por conta própria:
O relógio com ponteiros mostra 8 horas e 00 minutos. Depois de quantos minutos o ponteiro dos minutos se alinhará com o ponteiro das horas pela quarta vez?
Você está convencido de que é muito fácil ficar confuso?
Em geral, não sou a favor de dar esse conselho, mas aqui é necessário, pois no exame você pode facilmente se confundir com essa tarefa, calcular incorretamente ou simplesmente perder muito tempo na resolução.
Você pode resolver este problema em um minuto. Como? Apenas!
*Mais informações no artigo estão fechadas e disponíveis apenas para usuários registrados! A aba de cadastro (login) está localizada no MENU PRINCIPAL do site. Após o registro, faça login no site e atualize esta página.
Isso é tudo. Eu te desejo sucesso!
Atenciosamente, Alexandre.
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Versão demo do vestibularà 8ª aula de matemática do GBOU Lyceum No. 1535. Fase 1
1) Encontre o valor da expressão:
Decisão:
A figura mostra um gráfico do movimento de um turista da cidade A para a cidade B, e no caminho eles pararam. Definir:
a) A que distância (em km) da cidade A o turista parou?
b) Qual foi a velocidade do turista (em km/h) após a parada?
c) Qual foi a velocidade média do turista (em km/h) ao se deslocar de A para B? 
Solução: a) resposta: 9; b) 18-9=9, 7-5=2, então 9:2=4,5 km/h; c) 18:5=3,6 km/h.
3) Traga o polinômio (p+3)(p+4)(p-4)-p((1-p)(-p)-16) para a forma padrão/
Solução: (p+3)(p+4)(p-4)-p((1-p)(-p)-16)=(p+3)(p 2 -16)-p(p 2 - p-16)=p 3 +3p 2 -16p-48- p 3 +p 2 +16p=4p 2 -48
4) Encontre a raiz da equação da expressão: 8 15: x=4 17 2 6
Decisão: 
5) Usando os dados da figura, encontre a medida em graus do ângulo α 
Solução: 136°+44°=180°, então as linhas são paralelas. Portanto, ∠ CBA=44°, ∠ BCA=56°, então ∠α=180°-44°-56°=80°.
6) Qual é a raiz da equação 
Solução: multiplique todos os termos por 30, os denominadores diminuirão: 
7) Encontre o valor de uma expressão numérica: 
Decisão:
8) Se um dos lados adjacentes do quadrado for reduzido em 2 cm e o outro for aumentado em 6 cm, você obterá um retângulo cuja área é igual à área do retângulo, que resultará do mesmo quadrado original, se um de seus lados adjacentes não for alterado e o outro aumentar em 3 cm. Qual é (em centímetros quadrados) a área do quadrado original?
Decisão. Deixe ser x- lado de um quadrado. Vamos fazer uma equação:
(x-2)(x+6)=x(x+3);
x 2 +4x-12=x 2 +3x;
x=12
A área do quadrado original é 12 12 = 144 cm 2 .
9) Defina a fórmula para uma função linear, cujo gráfico no sistema de coordenadas 0xy passa pelo ponto Т(209.908) e não intercepta o gráfico da equação 9x+3y=14
Decisão. Reescrevemos a equação na forma 
A fórmula de uma função linear na forma geral é y=kx+b. Se o gráfico da equação requerida não cruzar com o gráfico da equação dada, então k=-3. Portanto, 908=-3 209 + b, de onde b=1535.
A fórmula da função linear desejada: y=-3x+1535
10) Existe um pedaço de uma liga de cobre e estanho com massa total de 24 kg, contendo 45% de cobre. Quantos quilogramas de estanho puro devem ser adicionados a este pedaço de liga para que a nova liga resultante contenha 40% de cobre?
Decisão. Se uma liga de cobre e estanho contém 45% de cobre, então ela contém 55% de estanho. Se a nova liga contém 40% de cobre, ela contém 60% de estanho. Seja x o número de kg de estanho puro a ser adicionado à liga. Vamos fazer uma equação:
0,55 24 + x = 0,6 (x+24)
x-0,6x=0,6 24- 0,55 24
0,4x=0,05 24
x=3
Resposta: 3kg.
Nota do tutor de matemática: você pode ler mais sobre os métodos para resolver problemas para ligas e misturas no artigo Vantagens e desvantagens de vários métodos para resolver problemas para ligas e misturas
11) De acordo com a figura, que mostra os gráficos de duas funções lineares e uma parábola, encontre a abcissa do ponto T. 
Decisão. A reta y=5x e a parábola y=x 2 se cruzam em dois pontos. Vamos encontrar as abcissas desses pontos usando a equação 5x=x 2 . Portanto, x 1 = 0; x2=5. Então a ordenada do ponto de interseção é 25
A linha sobre a qual se encontra o ponto T passa pelos pontos de coordenadas (5;25) e (0;27). A equação de uma linha reta na forma geral: y=kx+b. Substituindo as coordenadas dos pontos da reta em vez de x e y, obtemos um sistema de equações: 
O ponto T tem uma ordenada igual a zero. Conseqüentemente 
Responda. 67,5.
12) Do ponto A da pista circular, dois objetos iniciam simultaneamente um movimento uniforme em direções opostas. No momento em que se encontram, o primeiro objeto percorre 100 metros a mais que o segundo e retorna ao ponto A 9 minutos após o encontro. Encontre o comprimento da pista em metros se o segundo objeto retornar ao ponto A 16 minutos após o encontro.
Observação. Na Internet, você pode encontrar sites onde esses problemas são resolvidos por uma equação quadrática. Entretanto, este trabalho destina-se a quem ingressa no 8º ano. Ou seja, resolver este problema, conhecendo a equação quadrática que é passada na 8ª série, está incorreto. Não há necessidade de aplicar o programa da 8ª série para resolver um problema endereçado aos alunos da 7ª série. Abaixo está uma solução que não requer uma equação quadrática
Decisão. Seja t o tempo até que os objetos se encontrem, v 1 - a velocidade do primeiro objeto, v 2 - a velocidade do segundo objeto.
Então v 1 · t - v 2 · t = 100, pois no momento do encontro o primeiro objeto percorreu mais 100 m. Como v 2 t é o caminho que o 1º objeto passou após o encontro, v 1 é sua velocidade e retornou ao ponto A após 9 minutos, então podemos fazer uma equação
De forma similar
. Três equações formam um sistema de três equações com três incógnitas: 
Vamos dividir a 1ª equação pela 2ª. Obter: 
Onde
Por isso,
Substituindo esta expressão na primeira equação, obtemos t = 12 min
Substituindo a última expressão e t=12 na terceira equação do sistema, obtemos: 
daqui 
De acordo com a condição, o comprimento da rota em metros pode ser determinado adicionando o caminho do primeiro objeto à reunião e o caminho do segundo objeto à reunião. Ou seja 
Responda. 700 metros
13) Um triângulo equilátero MPL é construído no lado ML do quadrado MNKL, e o ponto P está localizado dentro do quadrado. Encontre a medida em graus do ângulo LPK.
Decisão 
Pela condição ML=PL=KL; triângulo PLM é equilátero, então todos os ângulos são 60°, então ∠PLK=30°. Assim, ∠LPK=(180°-30°): 2=75°.
14) Fatorar: (as soluções são escritas imediatamente)
Alexander Anatolyevich, professor de matemática. 8-968-423-9589. Tenho uma experiência bem sucedida de preparação de alunos para este liceu, incluindo o 8º ano de especialização matemática e aulas de outras especializações. É importante para quem está se preparando para ingressar no Liceu nº 1535, assim como em outros liceus, entender que as opções reais de vestibulares são um pouco diferentes das de demonstração. Portanto, é necessário ser capaz de resolver outras tarefas semelhantes.
