Um paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos, ou seja, deitar em linhas paralelas
Propriedades do paralelogramo: 
Teorema 22.
Os lados opostos de um paralelogramo são iguais.
Prova. Desenhe uma diagonal AC em um paralelogramo ABCD. Os triângulos ACD e ACB são congruentes como tendo um lado comum AC e dois pares de ângulos iguais. adjacente a ele: ∠ CAB=∠ ACD, ∠ ASV=∠ DAC (como ângulos cruzados com linhas paralelas AD e BC). Portanto, AB=CD e BC=AD como lados correspondentes de triângulos iguais, etc. A igualdade desses triângulos também implica a igualdade dos ângulos correspondentes dos triângulos:
Teorema 23.
Os ângulos opostos de um paralelogramo são: ∠ A=∠ C e ∠ B=∠ D.
A igualdade do primeiro par vem da igualdade dos triângulos ABD e CBD, e o segundo - ABC e ACD.
Teorema 24.
Cantos vizinhos de um paralelogramo, ou seja, ângulos adjacentes a um lado somam 180 graus.
Isto é assim porque eles são cantos internos de um lado.
Teorema 25.
As diagonais de um paralelogramo se bissetam no ponto de sua interseção.
Prova. Considere os triângulos BOC e AOD. De acordo com a primeira propriedade, AD=BC ∠ ОАD=∠ OSV e ∠ ОDA=∠ ОВС como transversalmente às linhas paralelas AD e BC. Portanto, os triângulos BOC e AOD são iguais em lado e ângulos adjacentes a ele. Portanto, BO=OD e AO=OC, como os lados correspondentes de triângulos iguais, etc.
Recursos de paralelogramo
Teorema 26.
Se os lados opostos de um quadrilátero são iguais em pares, então é um paralelogramo.
Prova. Seja o quadrilátero ABCD os lados AD e BC, AB e CD, respectivamente, iguais (Fig. 2). Vamos desenhar a diagonal AC. O triângulo ABC e ACD têm três lados iguais. Então os ângulos BAC e DCA são iguais e, portanto, AB é paralelo a CD. O paralelismo dos lados BC e AD resulta da igualdade dos ângulos CAD e DIA.
Teorema 27.
Se os ângulos opostos de um quadrilátero são iguais em pares, então é um paralelogramo.
Seja ∠ A=∠ C e ∠ B=∠ D. ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360 o, então ∠ A+∠ B=180 o e os lados AD e BC são paralelos (com base em linhas paralelas). Também provamos o paralelismo dos lados AB e CD e concluímos que ABCD é um paralelogramo por definição.
Teorema 28.
Se os cantos adjacentes do quadrilátero, ou seja, ângulos adjacentes a um lado somam 180 graus, então é um paralelogramo.
Se os ângulos laterais internos somarem 180 graus, então as linhas são paralelas. Isso significa que AB é um par de CD e BC é um par de AD. Um quadrilátero acaba por ser um paralelogramo por definição.
Teorema 29.
Se as diagonais de um quadrilátero são mutuamente divididas no ponto de interseção ao meio, então o quadrilátero é um paralelogramo.
Prova. Se AO=OC, BO=OD, então os triângulos AOD e BOC são iguais, como tendo ângulos iguais (verticais) no vértice O, entre pares de lados iguais. Da igualdade dos triângulos concluímos que AD e BC são iguais. Os lados AB e CD também são iguais, e o quadrilátero acaba sendo um paralelogramo de acordo com a característica 1.
Teorema 30.
Se um quadrilátero tem um par de lados iguais e paralelos, então é um paralelogramo.
Sejam os lados AB e CD paralelos e iguais no quadrilátero ABCD. Desenhe as diagonais AC e BD. Do paralelismo dessas linhas segue a igualdade dos ângulos cruzados ABO=CDO e BAO=OCD. Os triângulos ABO e CDO são iguais nos ângulos laterais e adjacentes. Portanto, AO=OC, BO=OD, i.e. as diagonais do ponto de interseção são divididas ao meio e o quadrilátero acaba sendo um paralelogramo de acordo com a característica 4.
Em geometria, são considerados casos especiais de um paralelogramo.
Tarefa 1. Um dos ângulos do paralelogramo é 65°. Encontre os ângulos restantes do paralelogramo.
∠C = ∠A = 65° como ângulos opostos do paralelogramo.
∠A + ∠B = 180° como ângulos adjacentes a um lado do paralelogramo.
∠B = 180° - ∠A = 180° - 65° = 115°.
∠D = ∠B = 115° como ângulos opostos do paralelogramo.
Resposta: ∠A = ∠C = 65°; ∠B = ∠D = 115°.
Tarefa 2. A soma de dois ângulos de um paralelogramo é 220°. Encontre os ângulos do paralelogramo.
Como o paralelogramo tem 2 ângulos agudos iguais e 2 ângulos obtusos iguais, nos é dada a soma de dois ângulos obtusos, ou seja, ∠B +∠D = 220°. Então ∠В =∠D = 220° :
2 = 110°.
∠A + ∠B = 180° como ângulos adjacentes a um lado do paralelogramo, então ∠A = 180° - ∠B = 180° - 110° = 70°. Então ∠C =∠A = 70°.
Resposta: ∠A = ∠C = 70°; ∠B = ∠D = 110°.
Tarefa 3. Um dos ângulos do paralelogramo é 3 vezes o outro. Encontre os ângulos do paralelogramo.
Seja ∠A =x. Então ∠B = 3x. Sabendo que a soma dos ângulos de um paralelogramo adjacente a um de seus lados é igual a 180°, compomos uma equação.
x = 180 : 4;
Obtemos: ∠A \u003d x \u003d 45 ° e ∠ B \u003d 3x \u003d 3 ∙ 45 ° \u003d 135 °.
Os ângulos opostos de um paralelogramo são iguais, então
∠A = ∠C = 45°; ∠B = ∠D = 135°.
Resposta: ∠A = ∠C = 45°; ∠B = ∠D = 135°.
Tarefa 4. Prove que se dois lados de um quadrilátero são paralelos e iguais, então esse quadrilátero é um paralelogramo.
Prova.
Desenhe a diagonal BD e considere Δ ADB e Δ CBD.
AD = BC por condição. O lado BD é comum. ∠1 = ∠2 como cruzamento interno sob as linhas paralelas (por suposição) AD e BC e secante BD. Portanto, Δ ADB = Δ CBD em dois lados e o ângulo entre eles (o 1º critério para a igualdade de triângulos). Em triângulos congruentes, os ângulos correspondentes são iguais, então ∠3 = ∠4. E esses ângulos são internos transversalmente nas linhas AB e CD e secante BD. Isso implica o paralelismo das linhas AB e CD. Assim, no quadrilátero ABCD dado, os lados opostos são paralelos aos pares, portanto, por definição, ABCD é um paralelogramo, o que deve ser provado.
Tarefa 5. Os dois lados de um paralelogramo estão relacionados como 2 : 5, e o perímetro é 3,5 m. Encontre os lados do paralelogramo.
∙ (AB+AD).
Vamos denotar uma parte por x. então AB = 2x, AD = 5x metros. Sabendo que o perímetro do paralelogramo é 3,5 m, escrevemos a equação:
2 ∙ (2x + 5x) = 3,5;
2 ∙ 7x=3,5;
x=3,5 : 14;
Uma parte é 0,25 m. Então AB = 2 ∙ 0,25 = 0,5 m; AD = 5 ∙ 0,25 = 1,25m.
Exame.
Perímetro do paralelogramo P ABCD = 2 ∙ (AB+AD) = 2 ∙ (0,25 + 1,25) = 2 ∙ 1,75 = 3,5 (m).
Como os lados opostos do paralelogramo são iguais, então CD = AB = 0,25 m; BC = AD = 1,25 m.
Resposta: CD = AB = 0,25 m; BC = AD = 1,25 m.
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Um paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos aos pares. Esta definição já é suficiente, já que as demais propriedades de um paralelogramo decorrem dela e são provadas na forma de teoremas.
As principais propriedades de um paralelogramo são:
- um paralelogramo é um quadrilátero convexo;
- um paralelogramo tem lados opostos iguais em pares;
- um paralelogramo tem ângulos opostos que são iguais em pares;
- as diagonais de um paralelogramo são bissectadas pelo ponto de intersecção.
Paralelogramo - um quadrilátero convexo
Vamos primeiro provar o teorema de que um paralelogramo é um quadrilátero convexo. Um polígono é convexo quando qualquer lado dele é estendido a uma linha reta, todos os outros lados do polígono estarão do mesmo lado dessa linha reta.
Seja dado um paralelogramo ABCD, em que AB é o lado oposto de CD e BC é o lado oposto de AD. Então segue da definição de um paralelogramo que AB || CD, BC || DE ANÚNCIOS.
Segmentos paralelos não têm pontos comuns, eles não se cruzam. Isso significa que CD está em um lado de AB. Como o segmento BC conecta o ponto B do segmento AB com o ponto C do segmento CD, e o segmento AD conecta outros pontos AB e CD, os segmentos BC e AD também estão do mesmo lado da linha AB, onde CD está. Assim, todos os três lados - CD, BC, AD - estão do mesmo lado de AB.
Da mesma forma, está provado que em relação aos outros lados do paralelogramo, os outros três lados estão do mesmo lado.
Lados e ângulos opostos são iguais
Uma das propriedades de um paralelogramo é que em um paralelogramo lados opostos e ângulos opostos são iguais. Por exemplo, se um paralelogramo ABCD é dado, então ele tem AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Este teorema é provado da seguinte forma.
Um paralelogramo é um quadrilátero. Então tem duas diagonais. Como um paralelogramo é um quadrilátero convexo, qualquer um deles o divide em dois triângulos. Considere os triângulos ABC e ADC no paralelogramo ABCD obtido desenhando a diagonal AC.
Esses triângulos têm um lado em comum - AC. O ângulo BCA é igual ao ângulo CAD, assim como as verticais paralelas BC e AD. Os ângulos BAC e ACD também são iguais, assim como os ângulos verticais quando AB e CD são paralelos. Portanto, ∆ABC = ∆ADC sobre dois ângulos e o lado entre eles.
Nesses triângulos, o lado AB corresponde ao lado CD e o lado BC corresponde ao AD. Portanto, AB = CD e BC = AD.
O ângulo B corresponde ao ângulo D, ou seja, ∠B = ∠D. O ângulo A de um paralelogramo é a soma de dois ângulos - ∠BAC e ∠CAD. O ângulo C é igual a ∠BCA e ∠ACD. Como os pares de ângulos são iguais entre si, então ∠A = ∠C.
Assim, prova-se que em um paralelogramo lados e ângulos opostos são iguais.
Diagonais cortadas ao meio
Como um paralelogramo é um quadrilátero convexo, ele tem duas diagonais e elas se cruzam. Seja dado um paralelogramo ABCD, suas diagonais AC e BD se interceptam em um ponto E. Considere os triângulos ABE e CDE formados por eles.
Esses triângulos têm lados AB e CD iguais como lados opostos de um paralelogramo. O ângulo ABE é igual ao ângulo CDE quando eles se encontram entre as linhas paralelas AB e CD. Pela mesma razão, ∠BAE = ∠DCE. Assim, ∆ABE = ∆CDE sobre dois ângulos e o lado entre eles.
Você também pode notar que os ângulos AEB e CED são verticais e, portanto, também iguais entre si.
Como os triângulos ABE e CDE são iguais, todos os seus elementos correspondentes também são. O lado AE do primeiro triângulo corresponde ao lado CE do segundo, então AE = CE. Da mesma forma, BE = DE. Cada par de segmentos iguais forma a diagonal do paralelogramo. Assim, fica provado que as diagonais de um paralelogramo são bissectadas pelo ponto de intersecção.
Nível médio
Paralelogramo, retângulo, losango, quadrado (2019)
1. Paralelogramo
Palavra composta "paralelogramo"? E atrás dele está uma figura muito simples.
Bem, ou seja, pegamos duas linhas paralelas:
Atravessado por mais dois:
E dentro - um paralelogramo!
Quais são as propriedades de um paralelogramo?
Propriedades do paralelogramo.
Ou seja, o que pode ser usado se um paralelogramo for dado no problema?
Esta questão é respondida pelo seguinte teorema:
Vamos desenhar tudo em detalhes.
O que primeiro ponto do teorema? E o fato de que se você TEM um paralelogramo, então por todos os meios
O segundo parágrafo significa que, se houver um paralelogramo, então, novamente, por todos os meios:
Bem, e finalmente, o terceiro ponto significa que se você TEM um paralelogramo, então tenha certeza:
Veja que riqueza de escolha? O que usar na tarefa? Tente se concentrar na questão da tarefa ou apenas tente tudo por sua vez - algum tipo de "chave" servirá.
E agora vamos nos fazer outra pergunta: como reconhecer um paralelogramo "no rosto"? O que deve acontecer com um quadrilátero para que tenhamos o direito de lhe dar o “título” de um paralelogramo?
Esta pergunta é respondida por vários sinais de um paralelogramo.
Características de um paralelogramo.
Atenção! Começar.
Paralelogramo.
Preste atenção: se você encontrou pelo menos um sinal em seu problema, então você tem exatamente um paralelogramo e pode usar todas as propriedades de um paralelogramo.
2. Retângulo
Eu não acho que isso será novidade para você.
A primeira pergunta é: um retângulo é um paralelogramo?
Claro que é! Afinal, ele tem - lembra, nosso signo 3?
E daqui, é claro, segue que para um retângulo, como para qualquer paralelogramo, e, e as diagonais são divididas pela metade pelo ponto de interseção.
Mas há um retângulo e uma propriedade distinta.
Propriedade retângulo
Por que essa propriedade é distinta? Porque nenhum outro paralelogramo tem diagonais iguais. Vamos formulá-lo com mais clareza.
Preste atenção: para se tornar um retângulo, um quadrilátero deve primeiro se tornar um paralelogramo e, em seguida, apresentar a igualdade das diagonais.
3. Diamante
E novamente a pergunta é: um losango é um paralelogramo ou não?
Com toda a direita - um paralelogramo, porque tem e (lembre-se do nosso sinal 2).
E novamente, como um losango é um paralelogramo, ele deve ter todas as propriedades de um paralelogramo. Isso significa que um losango tem ângulos opostos iguais, lados opostos são paralelos e as diagonais são bissetadas pelo ponto de interseção.
Propriedades do Losango
Olha a foto:
Como no caso de um retângulo, essas propriedades são distintas, ou seja, para cada uma dessas propriedades, podemos concluir que não temos apenas um paralelogramo, mas um losango.
Sinais de um losango
E preste atenção novamente: não deve haver apenas um quadrilátero com diagonais perpendiculares, mas um paralelogramo. Certificar-se:
Não, claro que não, embora suas diagonais e sejam perpendiculares, e a diagonal seja a bissetriz dos ângulos u. Mas ... as diagonais não se dividem, o ponto de interseção ao meio, portanto - NÃO é um paralelogramo e, portanto, NÃO é um losango.
Ou seja, um quadrado é um retângulo e um losango ao mesmo tempo. Vamos ver o que sai disso.
Está claro por quê? - losango - a bissetriz do ângulo A, que é igual a. Então ele se divide (e também) em dois ângulos.
Bem, está bem claro: as diagonais do retângulo são iguais; as diagonais do losango são perpendiculares e, em geral - as diagonais do paralelogramo são divididas pelo ponto de interseção ao meio.
NÍVEL MÉDIO
Propriedades dos quadriláteros. Paralelogramo
Propriedades do paralelogramo
Atenção! As palavras " propriedades do paralelogramo» significa que se você tiver uma tarefa há paralelogramo, então todos os itens a seguir podem ser usados.
Teorema das propriedades de um paralelogramo.
Em qualquer paralelogramo:
Vamos ver por que isso é verdade, em outras palavras VAMOS PROVAR teorema.
Então, por que 1) é verdade?
Como é um paralelogramo, então:
- como mentir transversalmente
- como deitado.
Assim, (na base II: e - geral.)
Bem, uma vez, então - é isso! - provou.
Mas a propósito! Também provamos 2)!
Por quê? Mas afinal (olhe para a foto), isto é, porque.
Só mais 3).
Para fazer isso, você ainda precisa desenhar uma segunda diagonal.
E agora vemos que - de acordo com o sinal II (o ângulo e o lado "entre" eles).
Propriedades comprovadas! Vamos aos sinais.
Recursos de paralelogramo
Lembre-se de que o sinal de um paralelogramo responde à pergunta "como descobrir?" Que a figura é um paralelogramo.
Nos ícones é assim:
Por quê? Seria bom entender o porquê - isso é o suficiente. Mas olhe:
Bem, descobrimos por que o sinal 1 é verdadeiro.
Bem, isso é ainda mais fácil! Vamos desenhar uma diagonal novamente.
Que significa:
E também é fácil. Mas diferente!
Meios, . Uau! Mas também - interno unilateral em uma secante!
Portanto, o fato que significa isso.
E se você olhar do outro lado, eles são unilaterais internos em uma secante! E portanto.
Viu como é grande?!
E novamente simplesmente:
Exatamente o mesmo, e.
Preste atenção: se você encontrou pelo menos um sinal de um paralelogramo em seu problema, então você tem exatamente paralelogramo e você pode usar todos propriedades de um paralelogramo.
Para maior clareza, observe o diagrama:
Propriedades dos quadriláteros. Retângulo.
Propriedades do retângulo:
O ponto 1) é bastante óbvio - afinal, o sinal 3 () é simplesmente cumprido
E ponto 2) - muito importante. Então vamos provar que
Assim, em duas pernas (e - geral).
Bem, como os triângulos são iguais, suas hipotenusas também são iguais.
Provou isso!
E imagine, a igualdade das diagonais é uma propriedade distintiva de um retângulo entre todos os paralelogramos. Ou seja, a seguinte afirmação é verdadeira
Vamos ver por quê?
Então, (significando os ângulos do paralelogramo). Mas, mais uma vez, lembre-se disso - um paralelogramo e, portanto.
Meios, . E, é claro, segue-se disso que cada um deles Afinal, na quantidade que devem dar!
Aqui provamos que se paralelogramo de repente (!) serão diagonais iguais, então isso exatamente um retângulo.
Mas! Preste atenção! Isso é sobre paralelogramos! Nenhum um quadrilátero com diagonais iguais é um retângulo, e só paralelogramo!
Propriedades dos quadriláteros. Losango
E novamente a pergunta é: um losango é um paralelogramo ou não?
Com toda a direita - um paralelogramo, porque tem e (Lembre-se do nosso sinal 2).
E novamente, como um losango é um paralelogramo, ele deve ter todas as propriedades de um paralelogramo. Isso significa que um losango tem ângulos opostos iguais, lados opostos são paralelos e as diagonais são bissetadas pelo ponto de interseção.
Mas também existem propriedades especiais. Nós formulamos.
Propriedades do Losango
Por quê? Bem, como um losango é um paralelogramo, suas diagonais são divididas ao meio.
Por quê? Sim, é por isso!
Em outras palavras, as diagonais e acabaram sendo as bissetrizes dos cantos do losango.
Como no caso de um retângulo, essas propriedades são distintivo, cada um deles também é um sinal de um losango.
Sinais de losango.
Por que é que? E olhe
Daí, e Ambas esses triângulos são isósceles.
Para ser um losango, um quadrilátero deve primeiro "tornar-se" um paralelogramo e depois já demonstrar o traço 1 ou o traço 2.
Propriedades dos quadriláteros. Quadrado
Ou seja, um quadrado é um retângulo e um losango ao mesmo tempo. Vamos ver o que sai disso.
Está claro por quê? Quadrado - losango - a bissetriz do ângulo, que é igual a. Então ele se divide (e também) em dois ângulos.
Bem, está bem claro: as diagonais do retângulo são iguais; as diagonais do losango são perpendiculares e, em geral - as diagonais do paralelogramo são divididas pelo ponto de interseção ao meio.
Por quê? Bem, basta aplicar o Teorema de Pitágoras para.
RESUMO E FÓRMULA BÁSICA
Propriedades do paralelogramo:
- Lados opostos são iguais: , .
- Os ângulos opostos são: , .
- Os ângulos de um lado somam: , .
- As diagonais são divididas pelo ponto de interseção ao meio: .
Propriedades do retângulo:
- As diagonais de um retângulo são: .
- Retângulo é um paralelogramo (todas as propriedades de um paralelogramo são cumpridas para um retângulo).
Propriedades do losango:
- As diagonais do losango são perpendiculares: .
- As diagonais de um losango são as bissetrizes de seus ângulos: ; ; ; .
- Um losango é um paralelogramo (todas as propriedades de um paralelogramo são cumpridas para um losango).
Propriedades do quadrado:
Um quadrado é um losango e um retângulo ao mesmo tempo, portanto, para um quadrado, todas as propriedades de um retângulo e de um losango são cumpridas. Assim como.
