A oscilação harmônica é um fenômeno de mudança periódica de alguma quantidade, em que a dependência do argumento tem o caráter de uma função seno ou cosseno. Por exemplo, uma quantidade que varia no tempo da seguinte forma flutua harmonicamente:

onde x é o valor da quantidade variável, t é o tempo, os parâmetros restantes são constantes: A é a amplitude das oscilações, ω é a frequência cíclica das oscilações, é a fase completa das oscilações, é a fase inicial de as oscilações.

Oscilação harmônica generalizada na forma diferencial

(Qualquer solução não trivial desta equação diferencial é uma oscilação harmônica com uma frequência cíclica)

Tipos de vibrações

Vibrações livres ocorrem sob a ação das forças internas do sistema após o sistema ter sido retirado do equilíbrio. Para que as oscilações livres sejam harmônicas, é necessário que o sistema oscilatório seja linear (descrito por equações lineares de movimento), não devendo haver nele dissipação de energia (esta última causaria amortecimento).

As oscilações forçadas são realizadas sob a influência de uma força periódica externa. Para que sejam harmônicos, basta que o sistema oscilatório seja linear (descrito por equações lineares de movimento), e a própria força externa mude ao longo do tempo como uma oscilação harmônica (ou seja, que a dependência temporal dessa força seja senoidal). .

Equação de vibração harmônica

dá a dependência do valor flutuante S no tempo t; esta é a equação de oscilações harmônicas livres na forma explícita. No entanto, a equação de oscilações é usualmente entendida como um registro diferente desta equação, na forma diferencial. Por definição, tomamos a equação (1) na forma

Diferencie-o duas vezes em relação ao tempo:

Pode-se ver que a seguinte relação é válida:

que é chamada de equação das oscilações harmônicas livres (na forma diferencial). A equação (1) é uma solução para a equação diferencial (2). Como a equação (2) é uma equação diferencial de segunda ordem, duas condições iniciais são necessárias para obter uma solução completa (ou seja, para determinar as constantes A e   incluídas na equação (1); por exemplo, a posição e a velocidade de um sistema oscilatório em t = 0.

Um pêndulo matemático é um oscilador, que é um sistema mecânico que consiste em um ponto material localizado em um fio inextensível sem peso ou em uma haste sem peso em um campo uniforme de forças gravitacionais. O período de pequenas auto-oscilações de um pêndulo matemático de comprimento l, suspenso imóvel em um campo gravitacional uniforme com aceleração de queda livre g, é igual a

e não depende da amplitude e da massa do pêndulo.

Um pêndulo físico é um oscilador, que é um corpo rígido que oscila no campo de quaisquer forças em torno de um ponto que não é o centro de massa desse corpo, ou um eixo fixo perpendicular à direção das forças e não passando pelo centro de massa deste corpo.

As oscilações harmônicas são oscilações nas quais uma quantidade física muda ao longo do tempo de acordo com uma lei harmônica (senoidal, cosseno). A equação de oscilação harmônica pode ser escrita da seguinte forma:
X(t) = A∙cos(ω t+φ )
ou
X(t) = A∙sen(ω t+φ )

X - desvio da posição de equilíbrio no tempo t
A - amplitude de oscilação, a dimensão de A é a mesma que a dimensão de X
ω - frequência cíclica, rad/s (radianos por segundo)
φ - fase inicial, rad
t - tempo, s
T - período de oscilação, s
f - frequência de oscilação, Hz (Hertz)
π - constante aproximadamente igual a 3,14, 2π=6,28

O período de oscilação, a frequência em hertz e a frequência cíclica estão relacionados por relações.
ω=2πf, T=2π/ω, f=1/T, f=ω/2π
Para lembrar dessas relações, você precisa entender o seguinte.
Cada um dos parâmetros ω, f, T determina exclusivamente os outros. Para descrever as oscilações, basta usar um desses parâmetros.

O período T é o tempo de uma flutuação, é conveniente usá-lo para traçar gráficos de flutuação.
Frequência cíclica ω - usada para escrever as equações de oscilações, permite realizar cálculos matemáticos.
Frequência f - o número de oscilações por unidade de tempo, é usado em todos os lugares. Em hertz, medimos a frequência em que os rádios estão sintonizados, bem como o alcance dos telefones celulares. A frequência das vibrações das cordas é medida em hertz ao afinar instrumentos musicais.

A expressão (ωt+φ) é chamada de fase de oscilação, e o valor de φ é chamado de fase inicial, pois é igual à fase de oscilação no instante t=0.

As funções seno e cosseno descrevem as razões dos lados em um triângulo retângulo. Portanto, muitos não entendem como essas funções estão relacionadas às oscilações harmônicas. Esta relação é demonstrada por um vetor uniformemente rotativo. A projeção de um vetor em rotação uniforme produz oscilações harmônicas.
A figura abaixo mostra um exemplo de três oscilações harmônicas. Igual em frequência, mas diferente em fase e amplitude.

flutuações chamados movimentos ou processos que se caracterizam por uma certa repetição no tempo. Os processos oscilatórios são difundidos na natureza e na tecnologia, por exemplo, a oscilação de um pêndulo de relógio, corrente elétrica alternada, etc. no circuito flutuar. A natureza física das oscilações pode ser diferente, portanto, distinguem-se oscilações mecânicas, eletromagnéticas, etc., porém vários processos oscilatórios são descritos pelas mesmas características e pelas mesmas equações. Daí vem a viabilidade abordagem unificada para o estudo das vibrações natureza física diferente.

As oscilações são chamadas gratuitamente, se eles são feitos apenas sob a influência de forças internas agindo entre os elementos do sistema, depois que o sistema é retirado do equilíbrio por forças externas e deixado a si mesmo. Vibrações livres sempre oscilações amortecidas porque as perdas de energia são inevitáveis ​​em sistemas reais. No caso idealizado de um sistema sem perda de energia, as oscilações livres (continuando o tempo desejado) são chamadas ter.

O tipo mais simples de oscilações livres não amortecidas são oscilações harmônicas - flutuações nas quais o valor flutuante muda com o tempo de acordo com a lei do seno (coseno). As oscilações encontradas na natureza e na tecnologia costumam ter um caráter próximo ao harmônico.

As vibrações harmônicas são descritas por uma equação chamada equação das vibrações harmônicas:

Onde MAS- amplitude das flutuações, o valor máximo do valor flutuante X; - frequência circular (cíclica) das oscilações naturais; - a fase inicial da oscilação em um momento de tempo t= 0; - a fase da oscilação no momento do tempo t. A fase da oscilação determina o valor da grandeza oscilante em um determinado momento. Como o cosseno varia de +1 a -1, então X pode receber valores de + UMA antes - MAS.

Tempo T, para o qual o sistema completa uma oscilação completa, é chamado período de oscilação. No decorrer T fase de oscilação é incrementada em 2 π , ou seja

Onde . (14.2)

O recíproco do período de oscilação

isto é, o número de oscilações completas por unidade de tempo é chamado de frequência de oscilação. Comparando (14.2) e (14.3) obtemos

A unidade de frequência é hertz (Hz): 1 Hz é a frequência na qual uma oscilação completa ocorre em 1 s.

Sistemas em que vibrações livres podem ocorrer são chamados de osciladores . Que propriedades um sistema deve ter para que ocorram oscilações livres nele? O sistema mecânico deve ter posição de equilíbrio estável, ao sair que aparece restaurando a força para o equilíbrio. Esta posição corresponde, como se sabe, ao mínimo da energia potencial do sistema. Vamos considerar vários sistemas oscilatórios que satisfazem as propriedades listadas.

Mudanças no tempo de acordo com uma lei senoidal:

Onde X- o valor da quantidade flutuante no momento t, MAS- amplitude, ω - frequência circular, φ é a fase inicial das oscilações, ( φt + φ ) é a fase total das oscilações. Ao mesmo tempo, os valores MAS, ω e φ - permanente.

Para vibrações mecânicas com valor oscilante X são, em particular, deslocamento e velocidade, para oscilações elétricas - tensão e intensidade da corrente.

As vibrações harmônicas ocupam um lugar especial entre todos os tipos de vibrações, pois este é o único tipo de vibração cuja forma não é distorcida ao passar por qualquer meio homogêneo, ou seja, ondas que se propagam a partir de uma fonte de vibrações harmônicas também serão harmônicas. Qualquer vibração não harmônica pode ser representada como uma soma (integral) de várias vibrações harmônicas (na forma de um espectro de vibrações harmônicas).

Transformações de energia durante vibrações harmônicas.

No processo de oscilações, há uma transição de energia potencial Wp em cinética Semana e vice versa. Na posição de desvio máximo da posição de equilíbrio, a energia potencial é máxima, a energia cinética é zero. Ao retornarmos à posição de equilíbrio, a velocidade do corpo oscilante aumenta, e com ela a energia cinética também aumenta, atingindo um máximo na posição de equilíbrio. A energia potencial então cai para zero. O movimento do pescoço posterior ocorre com uma diminuição da velocidade, que cai para zero quando a deflexão atinge seu segundo máximo. A energia potencial aqui aumenta para seu valor inicial (máximo) (na ausência de atrito). Assim, as oscilações das energias cinética e potencial ocorrem com uma frequência dupla (em comparação com as oscilações do próprio pêndulo) e estão em antifase (ou seja, há um deslocamento de fase entre elas igual a π ). Energia total de vibração C continua sem alteração. Para um corpo oscilando sob a ação de uma força elástica, é igual a:

Onde vm- a velocidade máxima do corpo (na posição de equilíbrio), xm = MAS- amplitude.

Devido à presença de atrito e resistência do meio, as oscilações livres amortecem: sua energia e amplitude diminuem com o tempo. Portanto, na prática, oscilações não livres, mas forçadas, são usadas com mais frequência.

flutuações chamados processos em que o sistema passa repetidamente pela posição de equilíbrio com maior ou menor frequência.

Classificação de oscilação:

a) por natureza (mecânicos, eletromagnéticos, flutuações de concentração, temperatura, etc.);

b) em forma (simples = harmônico; complexo, que são a soma das vibrações harmônicas simples);

dentro) de acordo com o grau de periodicidade = periódica (características do sistema se repetem após um período de tempo estritamente definido (período)) e aperiódica;

G) em relação ao tempo (não amortecido = amplitude constante; amortecido = amplitude decrescente);

G) energia – livre (entrada única de energia de fora para o sistema = ação externa única); fornecimento forçado (múltiplo (periódico) de energia para o sistema do lado de fora = influência externa periódica); auto-oscilações (oscilações não amortecidas que surgem devido à capacidade do sistema de regular o fluxo de energia de uma fonte constante).

Condições para a ocorrência de oscilações.

a) A presença de um sistema oscilatório (um pêndulo em suspensão, um pêndulo de mola, um circuito oscilatório, etc.);

b) A presença de uma fonte externa de energia capaz de desequilibrar o sistema pelo menos uma vez;

c) O surgimento de uma força restauradora quase elástica no sistema (ou seja, uma força proporcional ao deslocamento);

d) Presença de inércia (elemento inercial) no sistema.

Como exemplo ilustrativo, considere o movimento de um pêndulo matemático. Pêndulo matemático chamado de pequeno corpo suspenso em um fino fio inextensível, cuja massa é desprezível em comparação com a massa do corpo. Na posição de equilíbrio, quando o pêndulo está pendurado em um fio de prumo, a força da gravidade é equilibrada pela força da tensão do fio
. Quando o pêndulo se desvia da posição de equilíbrio por um certo ângulo α existe uma componente tangencial da gravidade F=- mg sinα. O sinal de menos nesta fórmula significa que o componente tangencial é direcionado na direção oposta à deflexão do pêndulo. Ela é uma força restauradora. Em pequenos ângulos α (da ordem de 15-20 o), esta força é proporcional ao deslocamento do pêndulo, ou seja, é quase elástica, e as oscilações do pêndulo são harmônicas.

Quando o pêndulo é desviado, ele sobe até uma certa altura, ou seja, ele recebe uma certa quantidade de energia potencial ( E suor = mgh). Quando o pêndulo se move para a posição de equilíbrio, ocorre a transição de energia potencial para energia cinética. No momento em que o pêndulo passa da posição de equilíbrio, a energia potencial é igual a zero e a energia cinética é máxima. Devido à presença de massa m(a massa é uma quantidade física que determina as propriedades inerciais e gravitacionais da matéria) o pêndulo passa da posição de equilíbrio e se desvia na direção oposta. Na ausência de atrito no sistema, o pêndulo continuará a oscilar indefinidamente.

A equação de oscilação harmônica tem a forma:

x(t) = x m porque (ω 0 t+φ 0 ),

Onde X- deslocamento do corpo da posição de equilíbrio;

x m (MAS) é a amplitude de oscilação, ou seja, o módulo de deslocamento máximo,

ω 0 - frequência cíclica (ou circular) de oscilações,

t- Tempo.

O valor sob o sinal do cosseno φ = ω 0 t + φ 0 chamado fase vibração harmônica. A fase determina o deslocamento em um determinado momento t. A fase é expressa em unidades angulares (radianos).

No t= 0 φ = φ 0 , É por isso φ 0 chamado fase inicial.

O período de tempo após o qual certos estados do sistema oscilatório são repetidos é chamado de período de oscilação T.

A quantidade física recíproca ao período de oscilação é chamada frequência de oscilação:
. Frequência de oscilação ν mostra quantas oscilações são feitas por unidade de tempo. Unidade de frequência - hertz (Hz) - monociclo por segundo.

Frequência de oscilação ν relacionado à frequência cíclica ω e período de oscilação Tíndices:
.

Ou seja, a frequência circular é o número de oscilações completas que ocorrem em 2π unidades de tempo.

Graficamente, as oscilações harmônicas podem ser representadas como uma dependência X a partir de t e o método dos diagramas vetoriais.

O método de diagramas vetoriais permite visualizar todos os parâmetros incluídos na equação de oscilações harmônicas. De fato, se o vetor amplitude MAS colocado em um ângulo φ para o eixo X, então sua projeção no eixo X será igual a: x = Acos(φ ) . Injeção φ e há uma fase inicial. Se o vetor MAS colocado em rotação com uma velocidade angular ω 0 igual à frequência circular de oscilações, então a projeção da extremidade do vetor se moverá ao longo do eixo X e assumir valores que variam de -UMA antes +A, e a coordenada desta projeção mudará ao longo do tempo de acordo com a lei: x(t) = MASporque(ω 0 t+ φ) . O tempo que o vetor amplitude leva para dar uma volta completa é igual ao período T vibrações harmônicas. O número de revoluções do vetor por segundo é igual à frequência de oscilação ν .