Com superfícies de 2ª ordem, o aluno na maioria das vezes se encontra no primeiro ano. A princípio, as tarefas neste tópico podem parecer simples, mas à medida que você estuda matemática superior e se aprofunda no lado científico, você pode finalmente parar de se orientar no que está acontecendo. Para evitar que isso aconteça, é necessário não apenas memorizar, mas entender como esta ou aquela superfície é obtida, como a mudança dos coeficientes a afeta e sua localização em relação ao sistema de coordenadas original e como encontrar um novo sistema (aquele em que seu centro coincide com as coordenadas de origem, mas paralelo a um dos eixos coordenados). Vamos começar desde o início.

Definição

Uma superfície de 2ª ordem é um GMT, cujas coordenadas satisfazem a equação geral da seguinte forma:

É claro que cada ponto pertencente à superfície deve ter três coordenadas em alguma base designada. Embora em alguns casos o lugar geométrico dos pontos possa degenerar, por exemplo, em um plano. Significa apenas que uma das coordenadas é constante e igual a zero em toda a faixa de valores admissíveis.

A forma pintada completa da igualdade mencionada acima se parece com isso:

A 11 x 2 +A 22 y 2 +A 33 z 2 +2A 12 xy+2A 23 yz+2A 13 xz+2A 14 x+2A 24 y+2A 34 z+A 44 =0.

A nm - algumas constantes, x, y, z - variáveis ​​correspondentes às coordenadas afins de algum ponto. Nesse caso, pelo menos um dos fatores constantes não deve ser igual a zero, ou seja, nenhum ponto corresponderá à equação.

Na grande maioria dos exemplos, muitos fatores numéricos ainda são identicamente iguais a zero, e a equação é bastante simplificada. Na prática, determinar se um ponto pertence a uma superfície não é difícil (basta substituir suas coordenadas na equação e verificar se a identidade é observada). O ponto chave em tal trabalho é a redução deste último à forma canônica.

A equação escrita acima define quaisquer (todas listadas abaixo) superfícies de 2ª ordem. Consideraremos exemplos a seguir.

Tipos de superfícies de 2ª ordem

As equações de superfícies de segunda ordem diferem apenas nos valores dos coeficientes A nm . Do ponto de vista geral, para determinados valores das constantes, várias superfícies podem ser obtidas, classificadas da seguinte forma:

1. Cilindros.
2. Tipo elíptico.
3. tipo hiperbólico.
4. Tipo cônico.
5. tipo parabólico.
6. Aviões.

Cada um dos tipos listados tem uma forma natural e imaginária: na forma imaginária, o lugar geométrico dos pontos reais ou degenera em uma figura mais simples, ou está completamente ausente.

cilindros

Este é o tipo mais simples, pois a curva relativamente complexa fica apenas na base, atuando como guia. Os geradores são linhas retas perpendiculares ao plano em que se encontra a base.

O gráfico mostra um cilindro circular, um caso especial de um cilindro elíptico. No plano XY, sua projeção será uma elipse (no nosso caso, um círculo) - um guia, e em XZ - um retângulo - já que os geradores são paralelos ao eixo Z. Para obtê-lo da equação geral, você precisa para dar aos coeficientes os seguintes valores:

Em vez das designações usuais x, y, z, x com um número de série é usado - isso não importa.

De fato, 1/a 2 e as outras constantes indicadas aqui são os mesmos coeficientes indicados na equação geral, mas é costume escrevê-los desta forma - esta é a representação canônica. No que segue, apenas essa notação será usada.

É assim que um cilindro hiperbólico é definido. O esquema é o mesmo - a hipérbole será o guia.

Um cilindro parabólico é definido de uma maneira ligeiramente diferente: sua forma canônica inclui um coeficiente p, chamado de parâmetro. De fato, o coeficiente é igual a q=2p, mas é costume dividi-lo nos dois fatores apresentados.

Existe outro tipo de cilindro: imaginário. Nenhum ponto real pertence a tal cilindro. É descrito pela equação de um cilindro elíptico, mas em vez de unidade é -1.

Tipo elíptico

O elipsóide pode ser esticado ao longo de um dos eixos (ao longo do qual depende dos valores das constantes a, b, c, indicadas acima; é óbvio que um coeficiente maior corresponderá ao eixo maior).

Há também um elipsóide imaginário - desde que a soma das coordenadas multiplicadas pelos coeficientes seja -1:

Hiperbolóides

Quando um menos aparece em uma das constantes, a equação elipsóide se transforma na equação de um hiperbolóide de uma folha. Deve ser entendido que este menos não precisa estar localizado na frente da coordenada x 3! Determina apenas qual dos eixos será o eixo de rotação do hiperbolóide (ou paralelo a ele, pois quando aparecem termos adicionais no quadrado (por exemplo, (x-2) 2), o centro da figura se desloca, conforme como resultado, a superfície se move paralelamente aos eixos coordenados). Isso se aplica a todas as superfícies de 2ª ordem.

Além disso, deve-se entender que as equações são apresentadas de forma canônica e podem ser alteradas variando as constantes (com o sinal preservado!); enquanto sua forma (hiperbolóide, cone e assim por diante) permanecerá a mesma.

Tal equação já é dada por um hiperbolóide de duas folhas.

superfície cônica

Não há unidade na equação do cone - igualdade a zero.

Apenas uma superfície cônica limitada é chamada de cone. A imagem abaixo mostra que, de fato, haverá dois chamados cones no gráfico.

Nota importante: em todas as equações canônicas consideradas, as constantes são consideradas positivas por padrão. Caso contrário, o sinal pode afetar o gráfico final.

Os planos de coordenadas tornam-se os planos de simetria do cone, o centro de simetria está localizado na origem.

Na equação do cone imaginário, existem apenas vantagens; tem um único ponto real.

Parabolóides

Superfícies de 2ª ordem no espaço podem assumir formas diferentes mesmo com equações semelhantes. Por exemplo, existem dois tipos de parabolóides.

x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 2z

Um parabolóide elíptico, quando o eixo Z for perpendicular ao desenho, será projetado em uma elipse.

x 2 / a 2 -y 2 / b 2 \u003d 2z

Parabolóide hiperbólico: seções com planos paralelos a ZY produzirão parábolas e seções com planos paralelos a XY produzirão hipérboles.

Planos de interseção

Há casos em que superfícies de 2ª ordem degeneram em um plano. Esses planos podem ser organizados de várias maneiras.

Primeiro, considere os planos de interseção:

x 2 / a 2 -y 2 / b 2 \u003d 0

Essa modificação da equação canônica resulta em apenas dois planos de interseção (imaginários!); todos os pontos reais estão no eixo da coordenada que não está na equação (no canônico - o eixo Z).

Planos paralelos

Na presença de apenas uma coordenada, as superfícies de 2ª ordem degeneram em um par de planos paralelos. Lembre-se, qualquer outra variável pode substituir Y; então serão obtidos planos paralelos a outros eixos.

Neste caso, tornam-se imaginários.

Aviões Coincidentes

Com uma equação tão simples, um par de planos degenera em um - eles coincidem.

Não esqueça que no caso de uma base tridimensional, a equação acima não define a reta y=0! Ele não possui duas outras variáveis, mas isso significa apenas que seu valor é constante e igual a zero.

Prédio

Uma das tarefas mais difíceis para um aluno é a construção de superfícies de 2ª ordem. É ainda mais difícil passar de um sistema de coordenadas para outro, dados os ângulos da curva em relação aos eixos e o deslocamento do centro. Vamos repetir como determinar sequencialmente a visão futura do desenho de forma analítica.

Para construir uma superfície de 2ª ordem, você precisa:

• trazer a equação para a forma canônica;
• determinar o tipo de superfície em estudo;
• construir com base nos valores dos coeficientes.

Todos os tipos considerados estão listados abaixo:

Para consolidar, descrevemos em detalhes um exemplo desse tipo de tarefa.

Exemplos

Digamos que temos uma equação:

3(x 2 -2x+1)+6y 2 +2z 2 +60y+144=0

Vamos trazê-lo para a forma canônica. Vamos destacar os quadrados completos, ou seja, arranjamos os termos disponíveis de tal forma que eles sejam a expansão do quadrado da soma ou diferença. Por exemplo: se (a+1) 2 =a 2 +2a+1, então a 2 +2a+1=(a+1) 2 . Faremos a segunda operação. Nesse caso, não é necessário abrir os colchetes, pois isso só complicará os cálculos, mas é necessário retirar o fator comum 6 (entre parênteses com o quadrado completo do Y):

3(x-1) 2 +6(y+5) 2 +2z 2 =6

A variável z ocorre neste caso apenas uma vez - ela pode ser deixada intocada por enquanto.

Analisamos a equação nesta etapa: todas as incógnitas são precedidas por um sinal de mais; quando dividido por seis, um permanece. Portanto, temos uma equação que define um elipsóide.

Observe que 144 foi fatorado em 150-6, após o qual o -6 foi movido para a direita. Por que tinha que ser feito dessa forma? É óbvio que o maior divisor neste exemplo é 6, portanto, para que uma unidade permaneça à direita após a divisão por ela, é necessário “adiar” exatamente 6 de 144 (a presença de um membro livre, um constante não multiplicada pela incógnita).

Divida tudo por seis e obtenha a equação canônica do elipsóide:

(x-1) 2 /2+(y+5) 2 /1+z 2 /3=1

Na classificação de superfícies de 2ª ordem utilizada anteriormente, considera-se um caso particular quando o centro da figura está na origem. Neste exemplo, é deslocado.

Assumimos que cada colchete com incógnitas é uma nova variável. Ou seja: a=x-1, b=y+5, c=z. Nas novas coordenadas, o centro do elipsóide coincide com o ponto (0,0,0), portanto, a=b=c=0, sendo: x=1, y=-5, z=0. Nas coordenadas iniciais, o centro da figura está no ponto (1,-5,0).

O elipsóide será formado por duas elipses: a primeira no plano XY e a segunda no plano XZ (ou YZ - não importa). Os coeficientes pelos quais as variáveis ​​são divididas são elevados ao quadrado na equação canônica. Portanto, no exemplo acima, seria mais correto dividir pela raiz de dois, um e a raiz de três.

O eixo menor da primeira elipse, paralelo ao eixo Y, é dois. O eixo maior paralelo ao eixo x é duas raízes de dois. O eixo menor da segunda elipse, paralelo ao eixo Y, permanece o mesmo - é igual a dois. E o eixo maior, paralelo ao eixo Z, é igual a duas raízes de três.

Usando os dados obtidos da equação original convertendo para a forma canônica, podemos desenhar um elipsóide.

Resumindo

O tema abordado neste artigo é bastante extenso, mas, na verdade, como você pode ver agora, não é muito complicado. Seu desenvolvimento, de fato, termina no momento em que você memoriza os nomes e as equações das superfícies (e, claro, como elas se parecem). No exemplo acima, consideramos cada etapa detalhadamente, mas trazer a equação para a forma canônica requer conhecimento mínimo de matemática superior e não deve causar dificuldades para o aluno.

A análise do cronograma futuro de acordo com a igualdade existente já é uma tarefa mais difícil. Mas para sua solução bem-sucedida, basta entender como as curvas de segunda ordem correspondentes são construídas - elipses, parábolas e outras.

Casos de degeneração é uma seção ainda mais simples. Devido à ausência de algumas variáveis, não apenas os cálculos são simplificados, como mencionado anteriormente, mas também a própria construção.

Assim que você puder nomear com confiança todos os tipos de superfícies, variar as constantes, transformando o gráfico em uma ou outra figura, o tópico será dominado.

Sucesso no aprendizado!

Informações teóricas básicas

Superfície cilíndrica ou simplesmente cilindro chamada de qualquer superfície que pode ser obtida movendo uma linha reta, movendo-se paralelamente a algum vetor e o tempo todo interceptando uma dada linha, que é chamada guia. A linha móvel é chamada geratriz.

Superfície cônica ou simplesmente cone chamada de superfície formada pelo movimento de uma linha reta que passa por um determinado ponto, chamada topo de cone, e movendo-se ao longo desta curva. A linha móvel é chamada geratriz do cone, e a curva ao longo da qual a geratriz desliza, - guia.

A rotação de uma figura em torno de uma determinada linha reta (eixo de rotação) é um movimento em que cada ponto da figura
descreve um círculo centrado no eixo de rotação, situado em um plano perpendicular ao eixo de rotação.

A superfície formada pela rotação de uma linha em torno de um eixo é chamada de superfície de revolução.

Equações canônicas de superfícies de segunda ordem

Uma superfície de segunda ordem é dada em coordenadas retangulares por uma equação de segundo grau

(7.1)

Ao transformar as coordenadas (girando os eixos e translação paralela), a equação (7.1) é reduzida à forma canônica. No caso em que não há termos com o produto de coordenadas na equação (7.1), esta equação é a seleção de quadrados completos por ,,e a translação paralela dos eixos coordenados é reduzida à forma canônica da mesma forma que foi feita para linhas de segunda ordem (veja Estudo da equação geral de uma linha de segunda ordem). Superfícies de segunda ordem e suas equações canônicas são apresentadas na Tabela. 3.

A forma e o arranjo das superfícies de segunda ordem são geralmente estudados pelo método das seções paralelas. A essência do método reside no fato de que a superfície é intersectada por vários planos paralelos aos planos coordenados. A forma e os parâmetros das seções obtidas permitem determinar a forma da própria superfície.

Tabela 3

Hiperbolóide: cavidade única, bicameral,
Parabolóide: elíptico, hiperbólico,

elíptico, hiperbólico, parabólico,

Exemplos de resolução de problemas

Problema 7.1. Escreva uma equação para uma esfera cujo raio é , e o centro está no ponto
.

Decisão. Uma esfera é um conjunto de pontos que estão à mesma distância do centro. Portanto, denotando por
coordenadas de ponto arbitrário
esferas e expressando através delas a igualdade
, terá

Ao elevar ao quadrado ambos os lados da igualdade, obtemos a equação canônica desejada da esfera:

Se o centro da esfera é colocado na origem, então a equação da esfera tem uma forma mais simples:

.

Responda.
.

Problema 7.2. Escreva uma equação para uma superfície cônica com um vértice na origem e um guia

(7.1)

Decisão. Equações canônicas de geradores através de um ponto
e apontar
guia, tem a forma

(7.2)

Excluir ,,das equações (7.1) e (7.2). Para fazer isso, nas equações (7.2) substituímos no e definir e :

;

Substituindo esses valores e na primeira equação do sistema (7.1), teremos:

ou

A equação resultante define um cone de segunda ordem (ver Tabela 3)

Problema 7.3.

Decisão. Esta superfície é um cilindro hiperbólico com geradores paralelos ao eixo
De fato, esta equação não contém , e o guia do cilindro é uma hipérbole

com o centro de simetria no ponto
e um eixo real paralelo ao eixo
.

Problema 7.4. Explore e construa a superfície dada pela equação

Decisão. Intersectar a superfície com um plano
. Como resultado, temos

Onde
. Esta é a equação de uma parábola no plano

Seção de uma superfície dada por um plano
existe uma parábola

Seção do avião
há um par de linhas que se cruzam:

Seção por planos paralelos ao plano
, existem hipérboles:

No
o eixo real da hipérbole é paralelo ao eixo
, no
eixos
. A superfície investigada é um parabolóide hiperbólico (associado à forma, a superfície é chamada de "sela").

Comente. Uma propriedade interessante de um parabolóide hiperbólico é a presença de linhas retas com todos os seus pontos em sua superfície. Tais linhas são chamadas geradores retilíneos de um parabolóide hiperbólico. Dois geradores retilíneos passam por cada ponto do parabolóide hiperbólico.

Problema 7.5. Qual superfície define a equação

Decisão. Para reduzir essa equação à forma canônica, destacamos os quadrados completos das variáveis ,,:

Comparando a equação resultante com as tabulares (ver Tabela 3), vemos que esta é a equação de um hiperbolóide de uma folha, cujo centro é deslocado para o ponto
Por transferência paralela do sistema de coordenadas de acordo com as fórmulas

trazemos a equação para a forma canônica:

Comente. Um hiperbolóide de uma folha, como um hiperbólico, tem duas famílias de geradores retilíneos.

O conteúdo do artigo

SEÇÕES CÔNICAS, curvas planas, que são obtidas cruzando um cone circular reto com um plano que não passa pelo seu topo (Fig. 1). Do ponto de vista da geometria analítica, a seção cônica é o lugar geométrico dos pontos que satisfazem uma equação de segunda ordem. Com exceção dos casos degenerados discutidos na última seção, as seções cônicas são elipses, hipérboles ou parábolas.

As seções cônicas são frequentemente encontradas na natureza e na tecnologia. Por exemplo, as órbitas dos planetas que giram em torno do Sol são elipses. Um círculo é um caso especial de elipse, em que o eixo maior é igual ao menor. Um espelho parabólico tem a propriedade de que todos os raios incidentes paralelos ao seu eixo convergem em um ponto (foco). Isso é usado na maioria dos telescópios refletores usando espelhos parabólicos, bem como em antenas de radar e microfones especiais com refletores parabólicos. Um feixe de raios paralelos emanam de uma fonte de luz colocada no foco de um refletor parabólico. Portanto, espelhos parabólicos são usados ​​em faróis potentes e faróis de carros. Uma hipérbole é um gráfico de muitas relações físicas importantes, como a lei de Boyle (que relaciona a pressão e o volume de um gás ideal) e a lei de Ohm, que define a corrente elétrica como uma função da resistência em tensão constante.

HISTÓRIA ANTIGA

O descobridor das seções cônicas é supostamente Menechmus (século 4 aC), um aluno de Platão e professor de Alexandre, o Grande. Menechmus usou uma parábola e uma hipérbole isósceles para resolver o problema de duplicar um cubo.

Tratados sobre seções cônicas escritos por Aristeu e Euclides no final do século IV. BC, foram perdidos, mas os materiais deles foram incluídos no famoso Seções cônicas Apolônio de Perga (c. 260-170 aC), que sobreviveram até nossos dias. Apolônio abandonou a exigência de que o plano secante da geratriz do cone fosse perpendicular e, variando o ângulo de sua inclinação, obteve todas as seções cônicas de um cone circular, reto ou inclinado. Devemos também a Apolônio os nomes modernos das curvas - elipse, parábola e hipérbole.

Em suas construções, Apolônio usou um cone circular de duas folhas (como na Fig. 1), então pela primeira vez ficou claro que uma hipérbole é uma curva com dois ramos. Desde a época de Apolônio, as seções cônicas foram divididas em três tipos, dependendo da inclinação do plano de corte para a geratriz do cone. Elipse (Fig. 1, uma) é formado quando o plano de corte intercepta todas as geratrizes do cone nos pontos de uma de suas cavidades; parábola (Fig. 1, b) - quando o plano de corte é paralelo a um dos planos tangentes do cone; hipérbole (Fig. 1, dentro) - quando o plano de corte cruza ambas as cavidades do cone.

CONSTRUÇÃO DE SEÇÕES CÔNICAS

Enquanto estudavam as seções cônicas como interseções de planos e cones, os antigos matemáticos gregos também as consideravam como trajetórias de pontos em um plano. Verificou-se que uma elipse pode ser definida como o lugar geométrico dos pontos, a soma das distâncias a partir das quais a dois pontos dados é constante; parábola - como um lugar geométrico de pontos equidistantes de um dado ponto e de uma dada reta; hipérbole - como um lugar geométrico dos pontos, a diferença de distâncias a partir de dois pontos dados é constante.

Essas definições de seções cônicas como curvas planas também sugerem uma maneira de construí-las usando um fio esticado.

Elipse.

Se as extremidades de um fio de um determinado comprimento são fixadas em pontos F 1 e F 2 (Fig. 2), então a curva descrita pela ponta de um lápis deslizando ao longo de um fio bem esticado tem a forma de uma elipse. pontos F 1 e F 2 são chamados de focos da elipse, e os segmentos V 1 V 2 e v 1 v 2 entre os pontos de intersecção da elipse com os eixos coordenados - os eixos maior e menor. Se os pontos F 1 e F 2 coincidem, então a elipse se transforma em um círculo.

Hipérbole.

Ao construir uma hipérbole, um ponto P, a ponta de um lápis, é fixada em um fio que desliza livremente ao longo dos pinos instalados nos pontos F 1 e F 2 como mostrado na fig. 3, uma. As distâncias são escolhidas de modo que o segmento PF 2 é mais longo que o segmento PF 1 por um valor fixo menor que a distância F 1 F 2. Neste caso, uma extremidade do fio passa sob o pino F 1 e ambas as pontas da linha passam sobre o pino F 2. (A ponta do lápis não deve deslizar ao longo do fio, então você precisa corrigi-lo fazendo um pequeno laço no fio e enfiando a ponta nele.) Um ramo da hipérbole ( fotovoltaica 1 Q) desenhamos, certificando-nos de que o fio permanece esticado o tempo todo e puxando as duas extremidades do fio para baixo sobre o ponto F 2, e quando o ponto P estará abaixo da linha F 1 F 2, segurando a linha em ambas as extremidades e afrouxando-a cuidadosamente (ou seja, soltando-a). O segundo ramo da hipérbole ( Pў V 2 Qў) desenhamos, tendo alterado anteriormente os papéis dos pinos F 1 e F 2 .

Os ramos da hipérbole aproximam-se de duas linhas retas que se cruzam entre os ramos. Essas linhas, chamadas assíntotas da hipérbole, são construídas como mostrado na Fig. 3, b. As inclinações dessas linhas são ± ( v 1 v 2)/(V 1 V 2), onde v 1 v 2 - um segmento da bissetriz do ângulo entre as assíntotas, perpendicular ao segmento F 1 F 2; segmento de linha v 1 v 2 é chamado de eixo conjugado da hipérbole, e o segmento V 1 V 2 - seu eixo transversal. Então as assíntotas são as diagonais de um retângulo com lados passando por quatro pontos v 1 , v 2 , V 1 , V 2 paralelas aos eixos. Para construir este retângulo, você precisa especificar a localização dos pontos v 1 e v 2. Eles estão à mesma distância, igual a

do ponto de intersecção dos eixos O. Esta fórmula envolve a construção de um triângulo retângulo com catetos Ov 1 e V 2 O e hipotenusa F 2 O.

Se as assíntotas da hipérbole são mutuamente perpendiculares, então a hipérbole é chamada de isósceles. Duas hipérboles com assíntotas comuns, mas com eixos transversais e conjugados rearranjados, são chamadas mutuamente conjugadas.

Parábola.

Os focos da elipse e da hipérbole eram conhecidos por Apolônio, mas o foco da parábola, aparentemente, foi estabelecido pela primeira vez por Pappus (2ª metade do século III), que definiu essa curva como o lugar geométrico dos pontos equidistantes de um determinado ponto ( foco) e uma determinada linha reta, que é chamada de diretor. A construção de uma parábola usando um fio esticado, com base na definição de Pappus, foi proposta por Isidoro de Mileto (século VI). Posicione a régua de modo que sua borda coincida com a diretriz LLў (Fig. 4) e prenda a perna a essa borda CA desenho de triângulo abc. Fixamos uma extremidade do fio com um comprimento AB no topo B triângulo e o outro no foco da parábola F. Puxando a linha com a ponta de um lápis, pressione a ponta em um ponto variável P para o skate livre AB desenho triângulo. À medida que o triângulo se move ao longo da régua, o ponto P descreverá o arco de uma parábola com foco F e diretora LLў, pois o comprimento total da rosca é igual a AB, o segmento do fio é adjacente à perna livre do triângulo e, portanto, o segmento restante do fio PF deve ser igual ao resto da perna AB, ou seja PA. Ponto de interseção V parábola com um eixo é chamado de vértice da parábola, uma linha reta que passa por F e V, é o eixo da parábola. Se uma linha reta perpendicular ao eixo é traçada através do foco, então o segmento dessa linha reta cortado pela parábola é chamado de parâmetro focal. Para uma elipse e uma hipérbole, o parâmetro focal é definido de forma semelhante.

PROPRIEDADES DAS SEÇÕES CÔNICAS

Definições de Pappus.

Estabelecer o foco da parábola levou Pappus à ideia de dar uma definição alternativa de seções cônicas em geral. Deixe ser Fé um dado ponto (foco), e eué uma determinada linha reta (diretriz) que não passa por F, e D F e D– distância do ponto móvel P focar F e diretores eu respectivamente. Então, como Papp mostrou, as seções cônicas são definidas como lugar geométrico dos pontos P, para o qual a razão D F/Dé uma constante não negativa. Essa razão é chamada de excentricidade e seção cônica. No e e > 1 é uma hipérbole; no e= 1 é uma parábola. Se um F encontra-se em eu, então o lugar geométrico tem a forma de linhas (reais ou imaginárias), que são seções cônicas degeneradas.

A conspícua simetria da elipse e da hipérbole sugere que cada uma dessas curvas tem duas diretrizes e dois focos, e essa circunstância levou Kepler em 1604 à ideia de que a parábola também tem um segundo foco e uma segunda diretriz - um ponto no infinito e Em linha reta. Da mesma forma, o círculo pode ser considerado como uma elipse, cujos focos coincidem com o centro e as diretrizes estão no infinito. Excentricidade e neste caso é zero.

Projeto de Dandelin.

Focos e diretrizes de uma seção cônica podem ser claramente demonstrados usando esferas inscritas em um cone e chamadas esferas de Dandelin (bolas) em homenagem ao matemático e engenheiro belga J. Dandelin (1794-1847), que propôs a seguinte construção. Seja a seção cônica formada pela interseção de algum plano p com um cone circular direito de duas cavidades com ápice em um ponto O. Vamos inscrever duas esferas neste cone S 1 e S 2 que tocam o avião p em pontos F 1 e F 2 respectivamente. Se a seção cônica for uma elipse (Fig. 5, uma), então ambas as esferas estão dentro da mesma cavidade: uma esfera está localizada acima do plano p e o outro abaixo dele. Cada geratriz do cone toca ambas as esferas, e o lugar geométrico dos pontos de contato tem a forma de dois círculos C 1 e C 2 localizados em planos paralelos p 1 e p 2. Deixe ser Pé um ponto arbitrário em uma seção cônica. Vamos desenhar direto PF 1 , PF 2 e estender a linha PO. Essas linhas são tangentes às esferas nos pontos F 1 , F 2 e R 1 , R 2. Como todas as tangentes traçadas para a esfera a partir de um ponto são iguais, então PF 1 = RP 1 e PF 2 = RP 2. Conseqüentemente, PF 1 + PF 2 = RP 1 + RP 2 = R 1 R 2. Desde os aviões p 1 e p 2 paralelo, segmento R 1 R 2 é de comprimento constante. Assim, o valor RP 1 + RP 2 é o mesmo para todas as posições de ponto P, e ponto P pertence ao lugar geométrico dos pontos para os quais a soma das distâncias de P antes F 1 e F 2 é constante. Portanto, os pontos F 1 e F 2 - focos de secção elíptica. Além disso, pode-se mostrar que as linhas ao longo das quais o plano p atravessa o avião p 1 e p 2 , são directrizes da elipse construída. Se um p atravessa ambas as cavidades do cone (Fig. 5, b), então duas esferas de Dandelin estão no mesmo lado do plano p, uma esfera em cada cavidade do cone. Neste caso, a diferença entre PF 1 e PF 2 é constante e o lugar geométrico dos pontos P tem a forma de uma hipérbole com focos F 1 e F 2 e linhas retas - linhas de interseção p com p 1 e p 2 - como diretores. Se a seção cônica for uma parábola, como mostrado na Fig. 5, dentro, então apenas uma esfera de Dandelin pode ser inscrita no cone.

Outras propriedades.

As propriedades das seções cônicas são verdadeiramente inesgotáveis, e qualquer uma delas pode ser considerada decisiva. lugar importante em Reunião matemática Pappa (c. 300), geometrias Descartes (1637) e Começos Newton (1687) está preocupado com o problema do lugar geométrico dos pontos em relação a quatro linhas. Se quatro linhas retas são dadas no plano eu 1 , eu 2 , eu 3 e eu 4 (dois dos quais podem corresponder) e um ponto Pé tal que o produto das distâncias de P antes eu 1 e eu 2 é proporcional ao produto das distâncias de P antes eu 3 e eu 4 , então o lugar geométrico dos pontos Pé uma seção cônica. Acreditando equivocadamente que Apolônio e Pappus não conseguiram resolver o problema do lugar geométrico dos pontos em relação a quatro retas, Descartes, para obter uma solução e generalizá-la, criou a geometria analítica.

ABORDAGEM ANALÍTICA

Classificação algébrica.

Em termos algébricos, as seções cônicas podem ser definidas como curvas planas cujas coordenadas cartesianas satisfazem uma equação do segundo grau. Em outras palavras, a equação de todas as seções cônicas pode ser escrita na forma geral como

onde nem todos os coeficientes UMA, B e C são iguais a zero. Com a ajuda da translação paralela e rotação dos eixos, a equação (1) pode ser reduzida à forma

machado 2 + de 2 + c = 0

px 2 + q = 0.

A primeira equação é obtida da equação (1) com B 2 № CA, o segundo - em B 2 = CA. As seções cônicas cujas equações são reduzidas à primeira forma são chamadas centrais. Seções cônicas dadas por equações do segundo tipo com q No. 0, são chamados de não centrais. Dentro dessas duas categorias, existem nove tipos diferentes de seções cônicas, dependendo dos sinais dos coeficientes.

2831) e uma, b e c têm o mesmo sinal, então não há pontos reais cujas coordenadas satisfaçam a equação. Tal seção cônica é chamada de elipse imaginária (ou círculo imaginário se uma = b).

2) Se uma e b tem um sinal e c- oposto, então a seção cônica é uma elipse (Fig. 1, uma); no uma = b- círculo (Fig. 6, b).

3) Se uma e b têm sinais diferentes, então a seção cônica é uma hipérbole (Fig. 1, dentro).

4) Se uma e b têm sinais diferentes e c= 0, então a seção cônica consiste em duas linhas retas que se cruzam (Fig. 6, uma).

5) Se uma e b tem um sinal e c= 0, então há apenas um ponto real na curva que satisfaz a equação, e a seção cônica são duas linhas imaginárias que se cruzam. Neste caso, fala-se também de uma elipse contraída a um ponto ou, se uma = b, contraído a um ponto de um círculo (Fig. 6, b).

6) Se qualquer um uma, ou bé igual a zero, e os demais coeficientes têm sinais diferentes, então a seção cônica consiste em duas linhas paralelas.

7) Se qualquer um uma, ou b for igual a zero, e os demais coeficientes tiverem o mesmo sinal, então não há ponto real que satisfaça a equação. Nesse caso, diz-se que a seção cônica consiste em duas linhas paralelas imaginárias.

8) Se c= 0, e ou uma, ou b também é igual a zero, então a seção cônica consiste em duas linhas reais coincidentes. (A equação não define nenhuma seção cônica em uma = b= 0, pois neste caso a equação original (1) não é do segundo grau.)

9) Equações do segundo tipo definem parábolas se p e q são diferentes de zero. Se um p Nº 0, e q= 0, obtemos a curva do item 8. Se, por outro lado, p= 0, então a equação não define nenhuma seção cônica, pois a equação original (1) não é do segundo grau.

Derivação das equações das secções cónicas.

Qualquer seção cônica também pode ser definida como uma curva ao longo da qual um plano cruza com uma superfície quadrática, ou seja, com a superfície dada pela equação do segundo grau f (x, y, z) = 0. Aparentemente, as seções cônicas foram reconhecidas pela primeira vez nesta forma, e seus nomes ( ver abaixo) estão relacionadas ao fato de terem sido obtidas cruzando o plano com o cone z 2 = x 2 + y 2. Deixe ser ABCD- a base de um cone circular reto (Fig. 7) com um ângulo reto no topo V. Deixe o avião FDC cruza a geratriz VB no ponto F, a base está em uma linha reta CD e a superfície do cone - ao longo da curva DFPC, Onde Pé qualquer ponto da curva. Desenhe pelo meio do segmento CD- apontar E- direto EF e diâmetro AB. Através do ponto P desenhe um plano paralelo à base do cone, cruzando o cone em um círculo RPS e direto EF no ponto Q. Então QF e QP podem ser tomadas, respectivamente, para a abcissa x e ordenado y pontos P. A curva resultante será uma parábola.

A construção mostrada na fig. 7 pode ser usado para derivar equações gerais para seções cônicas. O quadrado do comprimento de um segmento de uma perpendicular, restaurado de qualquer ponto do diâmetro até a interseção com o círculo, é sempre igual ao produto dos comprimentos dos segmentos do diâmetro. então

y 2 = RQ H QS.

Para uma parábola, um segmento RQ tem um comprimento constante (porque para qualquer posição do ponto Pé igual ao segmento EA), e o comprimento do segmento QS proporcional x(da relação QS/EB = QF/F.E.). Daí segue que

Onde umaé um coeficiente constante. Número uma expressa o comprimento do parâmetro focal da parábola.

Se o ângulo no ápice do cone for agudo, então o segmento RQ não é igual a cortar EA; mas a proporção y 2 = RQ H QSé equivalente a uma equação da forma

Onde uma e b são constantes, ou, depois de deslocar os eixos, para a equação

que é a equação de uma elipse. Pontos de intersecção da elipse com o eixo x (x = uma e x = –uma) e os pontos de intersecção da elipse com o eixo y (y = b e y = –b) definem os eixos maior e menor, respectivamente. Se o ângulo no vértice do cone é obtuso, então a curva de interseção do cone e do plano tem a forma de uma hipérbole, e a equação assume a seguinte forma:

ou, depois de mover os eixos,

Neste caso, os pontos de intersecção com o eixo x, dado pela relação x 2 = uma 2, definir o eixo transversal e os pontos de interseção com o eixo y, dado pela relação y 2 = –b 2 defina o eixo de acoplamento. Se constante uma e b na equação (4a) são iguais, então a hipérbole é chamada de isósceles. Ao girar os eixos, sua equação é reduzida à forma

xy = k.

Agora a partir das equações (3), (2) e (4) podemos entender o significado dos nomes dados por Apolônio às três principais seções cônicas. Os termos "elipse", "parábola" e "hipérbole" vêm de palavras gregas que significam "falta", "igual" e "superior". Das equações (3), (2) e (4) fica claro que para uma elipse y 2b 2 / uma) x, para a parábola y 2 = (uma) x e para hipérbole y 2 > (2b 2 /uma) x. Em cada caso, o valor entre parênteses é igual ao parâmetro focal da curva.

O próprio Apolônio considerou apenas três tipos gerais de seções cônicas (tipos 2, 3 e 9 listados acima), mas sua abordagem permite uma generalização que permite considerar todas as curvas reais de segunda ordem. Se o plano de corte for escolhido paralelo à base circular do cone, a seção será um círculo. Se o plano de corte tiver apenas um ponto em comum com o cone, seu vértice, obter-se-á uma seção do tipo 5; se contiver um vértice e uma tangente ao cone, obteremos uma seção do tipo 8 (Fig. 6, b); se o plano de corte contém dois geradores do cone, então uma curva tipo 4 é obtida na seção (Fig. 6, uma); quando o vértice é transferido para o infinito, o cone se transforma em um cilindro e, se o plano contém dois geradores, é obtida uma seção do tipo 6.

Quando visto de um ângulo oblíquo, um círculo se parece com uma elipse. A relação entre o círculo e a elipse, conhecida por Arquimedes, torna-se óbvia se o círculo X 2 + S 2 = uma 2 usando substituição X = x, S = (uma/b) y converta para uma elipse dada pela equação (3a). transformação X = x, S = (ai/b) y, Onde eu 2 = –1, nos permite escrever a equação do círculo na forma (4a). Isso mostra que uma hipérbole pode ser vista como uma elipse com um eixo menor imaginário, ou, inversamente, uma elipse pode ser vista como uma hipérbole com um eixo conjugado imaginário.

Relação entre as ordenadas de um círculo x 2 + y 2 = uma 2 e elipse ( x 2 /uma 2) + (y 2 /b 2) = 1 leva diretamente à fórmula de Arquimedes UMA = p ab para a área da elipse. Kepler conhecia a fórmula aproximada p(uma + b) para o perímetro de uma elipse próxima a um círculo, mas a expressão exata só foi obtida no século XVIII. após a introdução de integrais elípticas. Como mostrou Arquimedes, a área de um segmento parabólico é quatro terços da área de um triângulo inscrito, mas o comprimento do arco de uma parábola só pôde ser calculado depois, no século XVII. o cálculo diferencial foi inventado.

ABORDAGEM PROJETIVA

A geometria projetiva está intimamente relacionada com a construção da perspectiva. Se você desenhar um círculo em uma folha de papel transparente e colocá-lo sob uma fonte de luz, esse círculo será projetado no plano abaixo. Nesse caso, se a fonte de luz estiver localizada diretamente acima do centro do círculo e o plano e a folha transparente forem paralelos, a projeção também será um círculo (Fig. 8). A posição da fonte de luz é chamada de ponto de fuga. Está marcado com a letra V. Se um V localizado não acima do centro do círculo, ou se o plano não for paralelo à folha de papel, a projeção do círculo assume a forma de uma elipse. Com uma inclinação ainda maior do plano, o eixo maior da elipse (a projeção do círculo) se alonga e a elipse gradualmente se transforma em uma parábola; em um plano paralelo a uma reta vice-presidente, a projeção parece uma parábola; com uma inclinação ainda maior, a projeção toma a forma de um dos ramos da hipérbole.

Cada ponto no círculo original corresponde a algum ponto na projeção. Se a projeção tem a forma de uma parábola ou hipérbole, dizem que o ponto correspondente ao ponto P, está no infinito ou no infinito.

Como vimos, com uma escolha adequada de pontos de fuga, um círculo pode ser projetado em elipses de vários tamanhos e com várias excentricidades, e os comprimentos dos eixos maiores não estão diretamente relacionados ao diâmetro do círculo projetado. Portanto, a geometria projetiva não lida com distâncias ou comprimentos per se, sua tarefa é estudar a razão de comprimentos que é preservada sob projeção. Essa relação pode ser encontrada usando a seguinte construção. através de qualquer ponto P plano desenhamos duas tangentes a qualquer círculo e conectamos os pontos de contato com uma linha reta p. Deixe outra linha passando pelo ponto P, intercepta o círculo em pontos C 1 e C 2, mas a linha reta p- no ponto Q(Fig. 9). A planimetria prova que computador 1 /computador 2 = –CQ 1 /CQ 2. (O sinal de menos ocorre porque a direção do segmento CQ 1 oposto às direções de outros segmentos.) Em outras palavras, os pontos P e Q dividir o segmento C 1 C 2 externa e internamente no mesmo sentido; eles também dizem que a razão harmônica dos quatro segmentos é - 1. Se o círculo é projetado em uma seção cônica e as mesmas designações são mantidas para os pontos correspondentes, então a razão harmônica ( computador 1)(CQ 2)/(computador 2)(CQ 1) permanecerá igual - 1. Ponto P chamado de pólo da linha p em relação a uma seção cônica e uma linha reta p- ponto polar P em relação à seção cônica.

Quando ponto P aproximando-se de uma seção cônica, a polar tende a assumir a posição de uma tangente; se ponto P encontra-se na seção cônica, então sua polar coincide com a tangente à seção cônica no ponto P. Se ponto P localizado dentro da seção cônica, então sua polar pode ser construída da seguinte forma. Vamos passar pelo ponto P qualquer linha reta que intercepta uma seção cônica em dois pontos; desenhe tangentes à seção cônica nos pontos de interseção; suponha que essas tangentes se cruzam em um ponto P 1 . Vamos passar pelo ponto P outra reta que intercepta a cônica em outros dois pontos; suponha que as tangentes à seção cônica nesses novos pontos se cruzam no ponto P 2 (Fig. 10). Linha que passa pelos pontos P 1 e P 2 , e existe a polaridade desejada p. Se ponto P aproximando-se do centro O seção cônica central, depois a polar p se afasta de O. Quando ponto P coincide com O, então sua polar se torna no infinito, ou ideal, reta no plano.

EDIFÍCIOS ESPECIAIS

De particular interesse para os astrônomos é a seguinte construção simples dos pontos de uma elipse usando uma bússola e régua. Seja uma linha arbitrária passando por um ponto O(Fig. 11, uma), intercepta em pontos Q e R duas circunferências concêntricas centradas em um ponto O e raios b e uma, Onde b uma. Vamos passar pelo ponto Q linha horizontal e R- uma linha vertical, e denotam seu ponto de interseção P P ao girar em linha reta OQR ao redor do ponto O será uma elipse. Injeção f entre a linha OQR e o eixo maior é chamado de ângulo excêntrico, e a elipse construída é convenientemente especificada pelas equações paramétricas x = uma porque f, y = b pecado f. Excluindo o parâmetro f, obtemos a equação (3a).

Para uma hipérbole, a construção é bastante semelhante. Linha arbitrária que passa por um ponto O, intercepta um dos dois círculos em um ponto R(Fig. 11, b). Ao ponto R um círculo e para o ponto final S diâmetro horizontal de outro círculo, desenhamos tangentes que se cruzam SO no ponto T e OU- no ponto Q. Deixe a linha vertical passando pelo ponto T, e uma linha horizontal que passa pelo ponto Q, se cruzam em um ponto P. Então o lugar geométrico dos pontos P ao girar o segmento OU por aí O haverá uma hipérbole dada pelas equações paramétricas x = uma segundo f, y = b tg f, Onde f- ângulo excêntrico. Essas equações foram obtidas pelo matemático francês A. Legendre (1752-1833). Excluindo o parâmetro f, obtemos a equação (4a).

Uma elipse, como observou N. Copérnico (1473-1543), pode ser construída usando um movimento epicíclico. Se um círculo rola sem deslizar ao longo do interior de outro círculo de duas vezes o diâmetro, então cada ponto P, não deitado em um círculo menor, mas fixo em relação a ele, descreverá uma elipse. Se ponto P está no círculo menor, então a trajetória deste ponto é um caso degenerado de uma elipse - o diâmetro do círculo maior. Uma construção ainda mais simples de uma elipse foi proposta por Proclo no século V. Se termina UMA e B segmento de linha reta AB de um determinado comprimento deslizam ao longo de duas linhas retas que se cruzam fixas (por exemplo, ao longo dos eixos coordenados), então cada ponto interno P segmento descreverá uma elipse; o matemático holandês F. van Schoten (1615-1660) mostrou que qualquer ponto no plano das linhas de interseção, fixo em relação ao segmento deslizante, também descreverá uma elipse.

B. Pascal (1623-1662) com a idade de 16 anos formulou o agora famoso teorema de Pascal, que diz: três pontos de intersecção de lados opostos de um hexágono inscrito em qualquer seção cônica estão em uma linha reta. Pascal derivou mais de 400 corolários deste teorema.

Superfícies de segunda ordem são superfícies que em um sistema de coordenadas retangulares são determinadas por equações algébricas do segundo grau.

1. Elipsóide.

Um elipsóide é uma superfície que, em algum sistema de coordenadas retangulares, é definida pela equação:

A equação (1) é chamada a equação canônica do elipsóide.

Defina a vista geométrica do elipsóide. Para fazer isso, considere seções do elipsóide dado por planos paralelos ao plano Óxi. Cada um desses planos é definido por uma equação da forma z=h, Onde h- qualquer número, e a linha obtida na seção é determinada por duas equações

(2)

Vamos estudar as equações (2) para vários valores h .

> c(c>0), então as equações (2) também definem uma elipse imaginária, ou seja, pontos de interseção do plano z=h com o elipsóide dado não existe. , então e a linha (2) degenera em pontos (0; 0; + c) e (0; 0; - c) (os planos tocam o elipsóide). , então as equações (2) podem ser representadas como

de onde se segue que o avião z=h intercepta o elipsóide ao longo de uma elipse com semieixos

e . À medida que os valores diminuem, aumentam e atingem seus valores máximos em , ou seja, na seção transversal do elipsóide pelo plano coordenado Oxi verifica-se a maior elipse com semieixos e .

Uma imagem semelhante é obtida quando a superfície dada é interceptada por planos paralelos aos planos de coordenadas Oxz e Oyz.

Assim, os cortes considerados permitem representar o elipsóide como uma superfície oval fechada (Fig. 156). Quantidades a, b, c chamado semi-eixos elipsóide. Quando a=b=c elipsóide é esferaº.

2. Hiperbolóide de uma banda.

Um hiperbolóide de uma faixa é uma superfície que, em algum sistema de coordenadas retangulares, é definida pela equação (3)

A equação (3) é chamada de equação canônica de um hiperbolóide de uma banda.

Defina o tipo de superfície (3). Para fazer isso, considere a seção por seus planos de coordenadas Oxi (y=0)eOx(x=0). Obtemos, respectivamente, as equações

e

Agora considere seções do hiperbolóide dado por planos z=h paralelos ao plano coordenado Oxi. A reta obtida na seção é determinada pelas equações

ou (4)

do qual se segue que o plano z = h intercepta o hiperbolóide ao longo de uma elipse com semieixos

e ,

atingindo seus valores mais baixos em h=0, ou seja, na seção deste hiperbolóide, o eixo coordenado Oxy produz a menor elipse com semi-eixos a*=a e b*=b. Com um aumento infinito

as quantidades a* e b* aumentam infinitamente.

Assim, as seções consideradas permitem representar um hiperbolóide de uma faixa como um tubo infinito, expandindo-se infinitamente à medida que se afasta (em ambos os lados) do plano Oxy.

As quantidades a, b, c são chamadas de semi-eixos de um hiperbolóide de uma tira.

3. Hiperbolóide de duas folhas.

Um hiperbolóide de duas folhas é uma superfície que, em algum sistema de coordenadas retangulares, é definida pela equação

A equação (5) é chamada de equação canônica de um hiperbolóide de duas folhas.

Vamos estabelecer a forma geométrica da superfície (5). Para fazer isso, considere suas seções pelos planos coordenados Oxy e Oyz. Obtemos, respectivamente, as equações

e

do qual se segue que as hipérboles são obtidas nas seções.

Agora considere seções do hiperbolóide dado por planos z=h paralelos ao plano coordenado Oxy. A reta obtida na seção é determinada pelas equações

ou (6)

de onde decorre que

>c (c>0) o plano z=h intercepta o hiperbolóide ao longo de uma elipse com semi-eixos e . À medida que o valor aumenta, a* e b* também aumentam. As equações (6) são satisfeitas pelas coordenadas de apenas dois pontos: (0; 0; + c) e (0; 0; - c) (os planos tocam a superfície dada). as equações (6) definem uma elipse imaginária, i.e. não há pontos de interseção do plano z=h com o hiperbolóide dado.

As quantidades a, b e c são chamadas de semi-eixos do hiperbolóide de duas folhas.

4. Parabolóide elíptico.

Um parabolóide elíptico é uma superfície que, em algum sistema de coordenadas retangulares, é definida pela equação

(7)

onde p>0 e q>0.

A equação (7) é chamada de equação canônica de um parabolóide elíptico.

Considere as seções da superfície dada pelos planos coordenados Oxy e Oyz. Obtemos, respectivamente, as equações

e

de onde se segue que nas seções se obtêm parábolas, simétricas em torno do eixo Oz, com vértices na origem. (oito)

de onde segue que para . À medida que h aumenta, a e b também aumentam; para h=0 a elipse degenera em um ponto (o plano z=0 toca o hiperbolóide dado). Para h<0 уравнения (8) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом нет.

Assim, as seções consideradas permitem representar um parabolóide elíptico na forma de uma tigela infinitamente convexa.

O ponto (0;0;0) é chamado de vértice do parabolóide; os números p e q são seus parâmetros.

No caso de p=q, a equação (8) define um círculo centrado no eixo Oz, ou seja, Um parabolóide elíptico pode ser visto como uma superfície formada pela rotação de uma parábola em torno de seu eixo (parabolóide de revolução).

5. Parabolóide hiperbólico.

Um parabolóide hiperbólico é uma superfície que, em algum sistema de coordenadas retangulares, é definida pela equação

(9)

Com a diferença de que, em vez de gráficos "planos", consideraremos as superfícies espaciais mais comuns e também aprenderemos a construí-las corretamente à mão. Estou procurando ferramentas de software para construir desenhos 3D há algum tempo e encontrei alguns bons aplicativos, mas apesar de toda a facilidade de uso, esses programas não resolvem bem uma questão prática importante. O fato é que, no futuro histórico previsível, os alunos ainda estarão armados com uma régua com um lápis e, mesmo tendo um desenho de "máquina" de alta qualidade, muitos não poderão transferi-lo corretamente para o papel quadriculado. Portanto, no manual de treinamento, atenção especial é dada à técnica de construção manual, e parte significativa das ilustrações da página é um produto artesanal.

Como este material de referência é diferente dos análogos?

Tendo uma experiência prática decente, sei muito bem quais superfícies são mais frequentemente tratadas em problemas reais de matemática superior, e espero que este artigo o ajude a reabastecer rapidamente sua bagagem com conhecimentos relevantes e habilidades aplicadas, que são 90-95% dos casos deve bastar.

O que você precisa saber agora?

O mais elementar:

Primeiro, você precisa ser capaz construir direito sistema de coordenadas cartesianas espaciais (veja o início do artigo Gráficos e propriedades de funções) .

O que você vai ganhar depois de ler este artigo?

Garrafa Depois de dominar os materiais da lição, você aprenderá a determinar rapidamente o tipo de superfície por sua função e / ou equação, imaginar como ela está localizada no espaço e, claro, fazer desenhos. Tudo bem se nem tudo se encaixar na sua cabeça desde a primeira leitura - você sempre pode retornar a qualquer parágrafo conforme necessário posteriormente.

A informação está ao alcance de todos - para dominá-la, você não precisa de nenhum superconhecimento, talento artístico especial e visão espacial.

Começar!

Na prática, a superfície espacial é geralmente dada função de duas variáveis ou uma equação da forma (a constante do lado direito é mais frequentemente igual a zero ou um). A primeira designação é mais típica para análise matemática, a segunda - para geometria analítica. A equação, em essência, é dado implicitamente função de 2 variáveis, que em casos típicos podem ser facilmente reduzidas à forma . Lembro-lhe do exemplo mais simples c :

–equação do plano Gentil.

é a função plano em explicitamente .

Vamos começar com ele:

Equações de Plano Comum

Opções típicas para o arranjo de planos em um sistema de coordenadas retangulares são discutidas em detalhes no início do artigo. Equação do plano. No entanto, mais uma vez nos deteremos em equações que são de grande importância para a prática.

Em primeiro lugar, você deve reconhecer completamente as equações dos planos que são paralelos aos planos coordenados. Fragmentos de planos são normalmente representados como retângulos, que nos dois últimos casos parecem paralelogramos. Por padrão, você pode escolher qualquer dimensão (dentro de limites razoáveis, é claro), embora seja desejável que o ponto em que o eixo de coordenadas “perfure” o plano seja o centro de simetria:


Estritamente falando, os eixos coordenados em alguns lugares deveriam ter sido representados com uma linha pontilhada, mas para evitar confusão, vamos negligenciar essa nuance.

– (desenho à esquerda) a desigualdade define o semi-espaço mais distante de nós, excluindo o próprio plano;

– (desenho médio) a desigualdade define o semi-espaço direito, incluindo o plano;

– (desenho à direita) uma desigualdade dupla especifica uma "camada" localizada entre os planos , incluindo ambos os planos.

Para auto-treino:

Exemplo 1

Desenhe um corpo delimitado por planos
Componha um sistema de desigualdades que defina o corpo dado.

Um velho conhecido deve sair debaixo da ponta do seu lápis cubóide. Não esqueça que bordas e faces invisíveis devem ser desenhadas com uma linha pontilhada. Desenho finalizado no final da aula.

Você é bem vindo, NÃO NEGLIGENCIE tarefas de aprendizagem, mesmo que pareçam muito simples. Caso contrário, pode acontecer que eles erraram uma vez, erraram duas vezes e depois passaram uma hora trabalhando em um desenho tridimensional em algum exemplo real. Além disso, o trabalho mecânico ajudará a aprender o material com muito mais eficiência e desenvolver a inteligência! Não é por acaso que, no jardim de infância e no ensino fundamental, as crianças são carregadas de desenho, modelagem, designers e outras tarefas para habilidades motoras finas dos dedos. Perdoe-me a digressão, mas meus dois cadernos de psicologia do desenvolvimento não devem desaparecer =)

O seguinte grupo de planos será convencionalmente chamado de "proporções diretas" - são planos que passam pelos eixos de coordenadas:

2) a equação da forma define um plano que passa pelo eixo;

3) a equação da forma define um plano que passa pelo eixo.

Embora o sinal formal seja óbvio (qual variável está faltando na equação - o plano passa por esse eixo), é sempre útil entender a essência dos eventos que ocorrem:

Exemplo 2

Construir avião

Qual é a melhor forma de construir? Proponho o seguinte algoritmo:

Primeiro, reescrevemos a equação na forma , a partir da qual se vê claramente que o “y” pode tomar algum valores. Fixamos o valor , ou seja, consideraremos o plano coordenado . O conjunto de equações linha espacial encontrando-se no plano de coordenadas dado. Vamos desenhar esta linha no desenho. A reta passa pela origem, portanto, para construí-la, basta encontrar um ponto. Deixe ser . Separe um ponto e desenhe uma linha.

Agora de volta à equação do plano. Como o "y" leva algum valores, então a linha reta construída no plano é continuamente “replicada” para a esquerda e para a direita. É assim que nosso plano é formado, passando pelo eixo. Para completar o desenho, à esquerda e à direita da reta separamos duas retas paralelas e “fechamos” o paralelogramo simbólico com segmentos horizontais transversais:

Como a condição não impunha restrições adicionais, o fragmento do avião poderia ser representado um pouco menor ou um pouco maior.

Mais uma vez, repetimos o significado da desigualdade linear espacial usando o exemplo. Como determinar o semi-espaço que ele define? Vamos dar um ponto não possui plano, por exemplo, um ponto do semi-espaço mais próximo de nós e substituir suas coordenadas na desigualdade:

Recebido desigualdade correta, o que significa que a desigualdade define o semi-espaço inferior (em relação ao plano ), enquanto o próprio plano não está incluído na solução.

Exemplo 3

Construir aviões
uma) ;
b).

São tarefas para autoconstrução, em caso de dificuldade, utilize raciocínio semelhante. Instruções breves e desenhos no final da lição.

Na prática, os planos paralelos ao eixo são especialmente comuns. Um caso especial, quando o plano passa pelo eixo, foi justamente no parágrafo “b”, e agora vamos analisar um problema mais geral:

Exemplo 4

Construir avião

Decisão: a variável "z" não participa explicitamente da equação, o que significa que o plano é paralelo ao eixo aplicado. Vamos usar a mesma técnica dos exemplos anteriores.

Vamos reescrever a equação do plano na forma do qual fica claro que "Z" pode tomar algum valores. Vamos corrigi-lo e no plano "nativo" desenhe a linha reta "plana" usual. Para construí-lo, é conveniente tomar pontos de referência.

Como "Z" leva tudo valores, então a linha reta construída continuamente "multiplica" para cima e para baixo, formando assim o plano desejado . Desenhe cuidadosamente um paralelogramo de tamanho razoável:

Preparar.

Equação de um plano em segmentos

A variedade aplicada mais importante. Se um tudo chances equação geral do plano diferente de zero, então pode ser representado como , que é chamado equação do plano em segmentos. Obviamente, o plano intercepta os eixos coordenados em pontos , e a grande vantagem de tal equação é a facilidade de desenho:

Exemplo 5

Construir avião

Decisão: primeiro, compomos a equação do plano em segmentos. Jogue o termo livre para a direita e divida ambas as partes por 12:

Não, isso não é um erro de digitação e todas as coisas acontecem no espaço! Examinamos a superfície proposta pelo mesmo método que foi usado recentemente para planos. Reescrevemos a equação na forma , de onde se segue que "Z" leva algum valores. Fixamos e construímos uma elipse no plano. Como "Z" leva tudo valores, então a elipse construída é continuamente "replicada" para cima e para baixo. É fácil entender que a superfície sem fim:

Essa superfície é chamada cilindro elíptico. Uma elipse (em qualquer altura) é chamada guia cilindro, e as linhas paralelas que passam por cada ponto da elipse são chamadas gerando cilindro (que literalmente o formam). eixo é eixo de simetria superfície (mas não parte dela!).

As coordenadas de qualquer ponto pertencente a uma dada superfície satisfazem necessariamente a equação .

Espacial a desigualdade define o "dentro" do "tubo" infinito, incluindo a própria superfície cilíndrica e, portanto, a desigualdade oposta define o conjunto de pontos fora do cilindro.

Em problemas práticos, o caso mais popular é quando guia cilindro é círculo:

Exemplo 8

Construa a superfície dada pela equação

É impossível representar um “tubo” sem fim, portanto a arte se limita, via de regra, ao “corte”.

Primeiro, é conveniente construir um círculo de raio no plano e depois mais alguns círculos acima e abaixo. Os círculos resultantes ( guias cilindro) nitidamente ligados por quatro linhas retas paralelas ( gerando cilindro):

Não se esqueça de usar linhas pontilhadas para linhas invisíveis.

As coordenadas de qualquer ponto pertencente a um dado cilindro satisfazem a equação . As coordenadas de qualquer ponto estritamente dentro do "tubo" satisfazem a desigualdade , e a desigualdade define um conjunto de pontos da parte externa. Para uma melhor compreensão, recomendo considerar vários pontos específicos no espaço e ver por si mesmo.

Exemplo 9

Construir uma superfície e encontrar sua projeção em um plano

Reescrevemos a equação na forma de onde se segue que "x" leva algum valores. Vamos consertar e desenhar no plano círculo– centrado na origem, raio unitário. Como "x" leva continuamente tudo valores, então o círculo construído gera um cilindro circular com um eixo de simetria . Desenhe outro círculo guia cilindro) e conecte-os cuidadosamente com linhas retas ( gerando cilindro). Em alguns lugares, as sobreposições acabaram, mas o que fazer, tal inclinação:

Desta vez limitei-me a um pedaço do cilindro na abertura e isso não é acidental. Na prática, muitas vezes é necessário representar apenas um pequeno fragmento da superfície.

Aqui, a propósito, resultaram 6 geradores - duas linhas retas adicionais "fecham" a superfície dos cantos superior esquerdo e inferior direito.

Agora vamos lidar com a projeção do cilindro no plano. Muitos leitores entendem o que é uma projeção, mas, no entanto, vamos passar mais cinco minutos de educação física. Por favor, levante-se e incline a cabeça sobre o desenho para que a ponta do eixo fique perpendicular à sua testa. A aparência do cilindro desse ângulo é sua projeção no plano. Mas parece ser uma faixa sem fim, encerrada entre linhas retas, incluindo as próprias linhas retas. Essa projeção é exatamente domínio funções (calha superior do cilindro), (calha inferior).

A propósito, vamos esclarecer a situação com projeções em outros planos de coordenadas. Deixe os raios do sol brilharem no cilindro do lado da ponta e ao longo do eixo. A sombra (projeção) de um cilindro em um plano é uma faixa infinita semelhante - uma parte do plano delimitada por linhas retas ( - qualquer), incluindo as próprias linhas retas.

Mas a projeção no avião é um pouco diferente. Se você olhar para o cilindro da ponta do eixo, ele será projetado em um círculo de raio unitário com que iniciamos a construção.

Exemplo 10

Construir uma superfície e encontrar suas projeções em planos coordenados

Esta é uma tarefa para decisão independente. Se a condição não for muito clara, esquadre ambos os lados e analise o resultado; descubra exatamente qual parte do cilindro a função especifica. Use a técnica de construção que foi repetidamente usada acima. Solução breve, desenho e comentários no final da aula.

Superfícies elípticas e outras superfícies cilíndricas podem ser deslocadas em relação aos eixos de coordenadas, por exemplo:

(nos fundamentos familiares de um artigo sobre linhas de 2ª ordem) - um cilindro de raio unitário com uma linha de simetria passando por um ponto paralelo ao eixo. No entanto, na prática, tais cilindros são encontrados muito raramente, e é absolutamente inacreditável encontrar uma superfície cilíndrica “oblíqua” em relação aos eixos coordenados.

Cilindros parabólicos

Como o nome sugere, guia tal cilindro é parábola.

Exemplo 11

Construa uma superfície e encontre suas projeções nos planos coordenados.

Não resisti a este exemplo =)

Decisão: Seguimos o caminho batido. Vamos reescrever a equação na forma , da qual se segue que "Z" pode assumir qualquer valor. Fixemos e construamos uma parábola ordinária no plano, tendo marcado previamente os pontos de referência triviais. Como "Z" leva tudo valores, então a parábola construída é continuamente "replicada" para cima e para baixo até o infinito. Colocamos de lado a mesma parábola, digamos, em uma altura (no plano) e as conectamos cuidadosamente com linhas paralelas ( geradores do cilindro):

eu lembro técnica útil: se inicialmente não houver confiança na qualidade do desenho, é melhor primeiro desenhar as linhas finas e finas com um lápis. Em seguida, avaliamos a qualidade do esboço, descobrimos as áreas onde a superfície está escondida de nossos olhos e só então aplicamos pressão à caneta.

Projeções.

1) A projeção de um cilindro sobre um plano é uma parábola. Deve-se notar que, neste caso, é impossível falar sobre domínios de uma função de duas variáveis- porque a equação do cilindro não é redutível à forma funcional .

2) A projeção do cilindro no plano é um semiplano, incluindo o eixo

3) E, finalmente, a projeção do cilindro no plano é o plano inteiro.

Exemplo 12

Construir cilindros parabólicos:

a) , nos restringimos a um fragmento da superfície no semi-espaço próximo;

b) entre

Em caso de dificuldades, não temos pressa e argumentamos por analogia com os exemplos anteriores, felizmente, a tecnologia foi completamente trabalhada. Não é crítico se as superfícies ficarem um pouco desajeitadas - é importante exibir corretamente a imagem fundamental. Eu mesmo não me incomodo particularmente com a beleza das linhas, se recebo um desenho tolerável “nota C”, geralmente não o refaz. Na solução de amostra, aliás, foi utilizada mais uma técnica para melhorar a qualidade do desenho ;-)

Cilindros hiperbólicos

guias tais cilindros são hipérboles. Este tipo de superfície, de acordo com minhas observações, é muito mais raro que os tipos anteriores, então vou me limitar a um único desenho esquemático de um cilindro hiperbólico:

O princípio de raciocínio aqui é exatamente o mesmo - o usual hipérbole escolar do plano continuamente "multiplica" para cima e para baixo até o infinito.

Os cilindros considerados pertencem aos chamados superfícies de 2ª ordem, e agora continuaremos nos familiarizando com outros representantes deste grupo:

Elipsóide. Esfera e bola

A equação canônica de um elipsóide em um sistema de coordenadas retangulares tem a forma , onde são números positivos ( semi-eixos elipsóide), que no caso geral diferente. Um elipsóide é chamado superfície, e corpo delimitada por esta superfície. O corpo, como muitos adivinharam, é dado pela desigualdade e as coordenadas de qualquer ponto interior (assim como de qualquer ponto da superfície) satisfazem necessariamente essa desigualdade. O projeto é simétrico em relação aos eixos de coordenadas e planos de coordenadas:

A origem do termo "elipsóide" também é óbvia: se a superfície for "cortada" por planos coordenados, nas seções haverá três diferentes (no caso geral)