Leia "o prazer de x" online. Steven Strogatz - Prazer de X

Este livro é bem complementado por:

Quanta

Scott Paterson

Cérebro

Ken Jennings

Bola de dinheiro

Michael Lewis

Consciência flexível

Carol Dweck

Física do mercado de ações

James Weatherall

A alegria de X

Um tour guiado pela matemática, do um ao infinito

Stephen Strogatz

O prazer de X

Uma viagem fascinante ao mundo da matemática de um dos melhores professores do mundo

Informações da editora

Publicado em russo pela primeira vez

Publicado com permissão de Steven Strogatz, a/c Brockman, Inc.

Strogatz, P.

O prazer de X. Uma viagem fascinante ao mundo da matemática de um dos melhores professores do mundo / Stephen Strogatz; faixa do inglês - M.: Mann, Ivanov e Ferber, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Este livro pode mudar radicalmente sua atitude em relação à matemática. Consiste em capítulos curtos, em cada um dos quais você descobrirá algo novo. Você aprenderá como os números são úteis para estudar o mundo ao seu redor, compreenderá a beleza da geometria, conhecerá a graça do cálculo integral, ficará convencido da importância da estatística e entrará em contato com o infinito . O autor explica ideias matemáticas fundamentais de forma simples e elegante, com exemplos brilhantes que todos podem compreender.

Nenhuma parte deste livro pode ser reproduzida de qualquer forma sem a permissão por escrito dos detentores dos direitos autorais.

O suporte jurídico da editora é fornecido pelo escritório de advocacia Vegas-Lex.

Prefácio

Tenho um amigo que, apesar do seu ofício (é artista), é apaixonado por ciências. Sempre que nos reunimos, ele fala com entusiasmo sobre os últimos desenvolvimentos em psicologia ou mecânica quântica. Mas assim que começamos a falar de matemática, ele sente um tremor nos joelhos, o que o perturba muito. Ele reclama que esses estranhos símbolos matemáticos não apenas desafiam sua compreensão, mas às vezes ele nem sabe como pronunciá-los.

Na verdade, a razão da sua rejeição da matemática é muito mais profunda. Ele não terá ideia do que os matemáticos fazem em geral e do que querem dizer quando dizem que uma determinada prova é elegante. Às vezes brincamos que eu só preciso sentar e começar a ensiná-lo desde o básico, literalmente 1 + 1 = 2, e me aprofundar na matemática o máximo que puder.

E embora essa ideia pareça maluca, é exatamente isso que tentarei implementar neste livro. Vou guiá-lo por todos os principais ramos da ciência, da aritmética à matemática superior, para que aqueles que desejam uma segunda chance possam finalmente tirar vantagem dela. E desta vez você não terá que se sentar em uma mesa. Este livro não fará de você um especialista em matemática. Mas vai te ajudar a entender o que essa disciplina estuda e por que ela é tão fascinante para quem a entende.

Exploraremos como as enterradas de Michael Jordan podem ajudar a explicar o cálculo básico. Vou mostrar uma maneira simples e incrível de entender o teorema fundamental da geometria euclidiana – o Teorema de Pitágoras. Tentaremos desvendar alguns dos mistérios da vida, grandes e pequenos: Jay Simpson matou sua esposa; como reposicionar um colchão para que dure o máximo possível; quantos parceiros precisam ser trocados antes de se casar - e veremos por que alguns infinitos são maiores que outros.

A matemática está em toda parte, você só precisa aprender a reconhecê-la. Você pode ver a onda senoidal nas costas da zebra, ouvir os ecos dos teoremas de Euclides na Declaração da Independência; o que posso dizer, mesmo nos relatórios secos que antecederam a Primeira Guerra Mundial, há números negativos. Você também pode ver como novas áreas da matemática influenciam nossas vidas hoje, por exemplo, quando procuramos restaurantes usando o computador ou tentamos pelo menos entender, ou melhor ainda, sobreviver às flutuações assustadoras do mercado de ações.

Uma série de 15 artigos sob o título geral “Fundamentos da Matemática” apareceu online no final de janeiro de 2010. Em resposta à sua publicação, choveram cartas e comentários de leitores de todas as idades, incluindo muitos estudantes e professores. Houve também pessoas simplesmente curiosas que, por um motivo ou outro, “se perderam” na compreensão da ciência matemática; agora eles sentiram que haviam perdido alguma coisa Óótimo e gostaria de tentar novamente. Fiquei especialmente satisfeito com a gratidão dos meus pais porque, com a minha ajuda, eles conseguiram explicar matemática aos filhos e eles próprios começaram a compreendê-la melhor. Parecia que até meus colegas e camaradas, fervorosos admiradores dessa ciência, gostavam de ler os artigos, exceto nos momentos em que competiam entre si para oferecer todo tipo de recomendações para melhorar minha ideia.

Apesar da crença popular, existe um claro interesse pela matemática na sociedade, embora pouca atenção seja dada a este fenómeno. Tudo o que ouvimos falar é sobre o medo da matemática, mas muitos adorariam tentar entendê-la melhor. E quando isso acontecer, será difícil separá-los.

Este livro irá apresentá-lo às ideias mais complexas e avançadas do mundo da matemática. Os capítulos são pequenos, fáceis de ler e não dependem particularmente uns dos outros. Entre eles estão os incluídos naquela primeira série de artigos do New York Times. Então, assim que você sentir uma leve fome matemática, não hesite em continuar o próximo capítulo. Se você quiser entender mais detalhadamente o assunto que lhe interessa, no final do livro há notas com informações adicionais e recomendações sobre o que mais você pode ler sobre o assunto.

Para comodidade dos leitores que preferem uma abordagem passo a passo, dividi o material em seis partes de acordo com a ordem tradicional de estudo dos tópicos.

A Parte I, Números, inicia nossa jornada com a aritmética no jardim de infância e na escola primária. Mostra como os números podem ser úteis e como são magicamente eficazes na descrição do mundo que nos rodeia.

A Parte II, “Rácios”, desvia a atenção dos próprios números para as relações entre eles. Estas ideias estão no cerne da álgebra e são as primeiras ferramentas para descrever como uma coisa afecta outra, mostrando a relação de causa e efeito de uma variedade de coisas: oferta e procura, estímulo e resposta - em suma, todos os tipos de coisas. relacionamentos que tornam o mundo tão rico e variado.

A Parte III “Figuras” não fala sobre números e símbolos, mas sobre figuras e espaço – o domínio da geometria e da trigonometria. Estes tópicos, juntamente com a descrição de todos os objetos observáveis através de formas, raciocínio lógico e prova, levam a matemática a um novo nível de precisão.

Na Parte IV, Hora de mudar, veremos o cálculo, o ramo mais interessante e diversificado da matemática. O cálculo permite prever a trajetória dos planetas, os ciclos das marés e permite compreender e descrever todos os processos e fenômenos que mudam periodicamente no Universo e dentro de nós. Um lugar importante nesta parte é dado ao estudo do infinito, cuja pacificação se tornou um avanço que permitiu o funcionamento dos cálculos. A computação ajudou a resolver muitos problemas que surgiram no mundo antigo e isso acabou levando a uma revolução na ciência e no mundo moderno.

A Parte V, “As Muitas Faces dos Dados”, trata de probabilidade, estatística, redes e ciência de dados – campos ainda relativamente novos, nascidos de aspectos menos sempre ordenados de nossas vidas, como oportunidade e sorte, incerteza, risco , variabilidade, caos, interdependência. Usando as ferramentas matemáticas corretas e os tipos apropriados de dados, aprenderemos a detectar padrões no fluxo da aleatoriedade.

No final da nossa jornada na Parte VI, “Os Limites do Possível”, abordaremos os limites do conhecimento matemático, a região fronteiriça entre o que já é conhecido e o que ainda é evasivo e desconhecido. Passaremos novamente pelos tópicos na ordem que já conhecemos: números, proporções, algarismos, mudanças e infinito - mas ao mesmo tempo examinaremos cada um deles com mais profundidade, em sua encarnação moderna.

Este livro é bem complementado por:

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James Weatherall

A alegria de X

Um tour guiado pela matemática, do um ao infinito

Stephen Strogatz

Uma viagem fascinante ao mundo da matemática de um dos melhores professores do mundo

Informações da editora

Publicado em russo pela primeira vez

Publicado com permissão de Steven Strogatz, a/c Brockman, Inc.

Strogatz, P.

O Prazer de X. Uma viagem fascinante ao mundo da matemática de um dos melhores professores do mundo / Steven Strogatz; faixa do inglês - M.: Mann, Ivanov e Ferber, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Nenhuma parte deste livro pode ser reproduzida de qualquer forma sem a permissão por escrito dos detentores dos direitos autorais.

O suporte jurídico da editora é fornecido pelo escritório de advocacia Vegas-Lex.

Prefácio

Uma série de 15 artigos sob o título geral “Fundamentos da Matemática” apareceu online no final de janeiro de 2010. Em resposta à sua publicação, choveram cartas e comentários de leitores de todas as idades, incluindo muitos estudantes e professores. Houve também pessoas simplesmente curiosas que, por uma razão ou outra, “se perderam” na compreensão da ciência matemática; agora eles sentiam que haviam perdido algo que valia a pena e gostariam de tentar novamente. Fiquei especialmente satisfeito com a gratidão dos meus pais porque, com a minha ajuda, eles conseguiram explicar matemática aos filhos e eles próprios começaram a compreendê-la melhor. Parecia que até meus colegas e camaradas, fervorosos admiradores dessa ciência, gostavam de ler os artigos, exceto nos momentos em que competiam entre si para oferecer todo tipo de recomendações para melhorar minha ideia.

Para comodidade dos leitores que preferem uma abordagem passo a passo, dividi o material em seis partes de acordo com a ordem tradicional de estudo dos tópicos.

Espero que todas as ideias descritas neste livro pareçam fascinantes para você e o façam exclamar mais de uma vez: “Uau!” Mas você sempre tem que começar de algum lugar, então vamos começar com uma atividade simples, mas fascinante, como contar.

1. Noções básicas de números: adição de peixes

A melhor demonstração de conceitos numéricos que já vi (a explicação mais clara e engraçada sobre o que são os números e por que precisamos deles) foi em um episódio do popular programa infantil Vila Sésamo chamado 123: Contando Juntos "(123 Counter with Me). X...

Quão úteis são os números para estudar o mundo que nos rodeia, qual é a beleza da geometria, quão elegantes são os números inteiros e quão importante é a estatística? Steven Strogatz fala sobre tudo isso em seu livro The Pleasure of X. O autor explica ideias matemáticas fundamentais de forma simples e elegante, fornecendo exemplos que todos podem compreender. o site publica um dos capítulos do livro publicado por Mann, Ivanov e Ferber.

A estatística de repente se tornou um campo da moda. Com o advento da Internet, do comércio eletrónico, das redes sociais, do projeto genoma humano e do desenvolvimento da cultura digital em geral, o mundo ficou sobrecarregado de dados. Os profissionais de marketing estudam nossos gostos e hábitos. As agências de inteligência coletam informações sobre nossa localização, e-mails e ligações. Os estatísticos esportivos fazem malabarismos com os números para decidir quais jogadores comprar, quem convocar e quem colocar no banco. Todos se esforçam para conectar os pontos em um gráfico e descobrir um padrão em uma coleção confusa de dados.

Não é surpreendente que estas tendências se reflitam no ensino. “Vejamos as estatísticas”, adverte Greg Mankiw, economista da Universidade de Harvard, numa coluna do New York Times.

“O currículo de matemática do ensino médio dedica muito tempo a tópicos tradicionais como geometria euclidiana e trigonometria. Esses exercícios mentais, úteis para a pessoa comum, são, no entanto, de pouca utilidade na vida cotidiana. Os alunos se beneficiariam muito se aprendessem mais sobre probabilidade e estatística.” David Brooks vai ainda mais longe. Em seu artigo sobre disciplinas que merecem atenção para se obter uma educação digna, ele escreve: “Vejam as estatísticas. Você verá, saber o que é o desvio padrão será muito útil para você na vida.”

Muito provavelmente, e também é uma boa ideia entender o que é distribuição. Esta é a primeira coisa que pretendo falar. E gostaria de me concentrar nisso, porque esta é uma das principais lições da estatística: as coisas parecem irremediavelmente aleatórias e imprevisíveis quando vistas individualmente, mas em conjunto revelam um padrão e uma previsibilidade.

Você pode ter visto uma demonstração desse princípio em um museu de ciências (caso contrário, os vídeos podem ser encontrados online). Uma exposição típica é uma engenhoca chamada tabuleiro Galton, que lembra um pouco uma máquina de pinball sem nadadeiras. Dentro dele, há até fileiras de alfinetes em intervalos regulares.

Conselho de Galton

O experimento começa com centenas de bolas sendo lançadas no topo de um tabuleiro de Galton. Quando caem, colidem com os pinos e têm a mesma probabilidade de quicar para a direita ou para a esquerda, sendo então distribuídos na parte inferior do tabuleiro, caindo em compartimentos da mesma largura. A altura de uma coluna de bolas mostra a probabilidade de a bola acabar em um determinado local. A maioria das bolas é colocada aproximadamente no meio, há menos nas laterais e menos ainda nas bordas.

Em geral, o quadro é extremamente previsível: as bolas sempre formam uma distribuição em forma de sino, embora seja impossível prever onde cada bola irá parar.

Como os acidentes individuais se transformam em padrões gerais? Mas é assim que o acaso funciona. A coluna do meio contém mais bolas porque, antes de rolar, muitas delas darão aproximadamente o mesmo número de saltos para a direita e para a esquerda e, como resultado, acabarão em algum lugar no meio. Várias bolas solitárias localizadas nas bordas formam as caudas da distribuição - são aquelas bolas que, ao colidirem com os pinos, quicavam sempre na mesma direção. Tais saltos são improváveis, e é por isso que há tão poucas bolas nas bordas.

Assim como a localização de cada bola é determinada pela soma de muitos eventos aleatórios, muitos fenômenos neste mundo são o resultado de muitas pequenas circunstâncias e também obedecem a uma curva em forma de sino. As companhias de seguros operam com base neste princípio. Eles podem estimar com precisão o número de seus clientes que morrem a cada ano. No entanto, eles não sabem quem exatamente terá azar desta vez.

Ou tomemos, por exemplo, a altura humana. Depende de inúmeros acidentes relacionados à genética, à bioquímica, à nutrição e ao meio ambiente. Portanto, há uma boa chance de que, quando consideradas em conjunto, as alturas de homens e mulheres adultos formem uma curva em forma de sino.

Em uma postagem de blog chamada "Coisas que as pessoas contam sobre si mesmas on-line", o serviço de estatísticas do site de namoro OkCupid publicou recentemente um gráfico do crescimento de seus clientes, ou melhor, de seus valores auto-relatados. Verificou-se que as taxas de crescimento de ambos os sexos, como esperado, formam uma curva em forma de sino. O que é surpreendente, contudo, é que ambas as distribuições foram deslocadas cerca de cinco centímetros para a direita dos valores esperados.

Strogatz S. Prazer de H. - M.: Mann, Ivanov e Ferber, 2014.

Portanto, ou os clientes pesquisados pelo OkCupid são mais altos que a média ou acrescentam alguns centímetros a mais à sua altura ao se descreverem online.

Uma versão idealizada dessas curvas em forma de sino é o que os matemáticos chamam de distribuição normal. Este é um dos conceitos mais importantes da estatística, que tem base teórica. Pode-se provar que uma distribuição normal ocorre quando um grande número de pequenos fatores aleatórios são somados, cada um deles agindo independentemente dos outros. E muitos eventos acontecem dessa forma.

Mas nem todos. E este é o segundo ponto para o qual gostaria de chamar a atenção. A distribuição normal não é tão onipresente quanto parece. Durante centenas de anos, e especialmente nas últimas décadas, cientistas e estatísticos notaram a existência de muitos fenómenos que se desviam desta curva e seguem o seu próprio calendário. É curioso que tais tipos de distribuições praticamente não sejam mencionados nos livros didáticos de estatística elementar e, se forem encontrados, costumam ser considerados algum tipo de patologia.

Isso é estranho. Tentarei explicar que muitos fenómenos da vida moderna tornam-se mais significativos se estas distribuições “patológicas” forem compreendidas. Este é o novo normal. Tomemos, por exemplo, a distribuição dos tamanhos das cidades nos Estados Unidos. Em vez de se agruparem em torno de uma curva média, a grande maioria das cidades é pequena e, portanto, agrupa-se no lado esquerdo do gráfico.

Strogatz S. Prazer de H. - M.: Mann, Ivanov e Ferber, 2014.

E quanto maior a população de uma cidade, menos comuns são essas cidades. Por outras palavras, no conjunto, a distribuição será mais uma curva em forma de L do que uma curva em forma de sino.

E isso não é surpreendente. Todo mundo sabe que existem muito menos megacidades do que cidades pequenas. Embora não seja tão óbvio, os tamanhos das cidades seguem uma distribuição simples e agradável - quando você olha para eles em uma escala logarítmica.

Assumiremos que a diferença entre duas cidades é a mesma se a sua população diferir pelo mesmo número de vezes (assim como quaisquer duas teclas de piano separadas por uma oitava sempre diferem pela metade na frequência). E vamos fazer o mesmo no eixo vertical.

Strogatz S. Prazer de H. - M.: Mann, Ivanov e Ferber, 2014.

Os dados agora estão em uma curva que é uma linha reta quase perfeita. Com base nas propriedades dos logaritmos, é fácil deduzir que a curva original em forma de L é uma dependência da lei de potência, que é descrita por uma função da forma

onde x é a população da cidade, y é o número de cidades deste tamanho, c é uma constante e o expoente a (expoente da lei de potência) determina a inclinação negativa da linha reta.

As distribuições de poder têm algumas propriedades ilógicas do ponto de vista das estatísticas tradicionais. Por exemplo, ao contrário de uma distribuição normal, os seus modos, medianas e médias não coincidem devido à forma distorcida e assimétrica das curvas em forma de L.

O Presidente Bush beneficiou grandemente com isto, dizendo em 2003 que os cortes de impostos pouparam a cada família uma média de 1.586 dólares. Embora isto seja matematicamente correcto, ele aproveitou a dedução média, que escondia enormes deduções de centenas de milhares de dólares recebidos pelos 0,1% mais ricos da população do país. Sabe-se que a cauda do lado direito da distribuição de renda segue uma lei de potência e, em tal situação, utilizar a média é enganoso porque está longe do seu valor real. Na realidade, a maioria das famílias recebeu menos de US$ 650 de volta. Nesta distribuição, a mediana é significativamente menor que a média.

Este exemplo demonstra uma propriedade crucial das distribuições de lei de potência: elas têm caudas pesadas em comparação com pelo menos as pequenas caudas líquidas de uma distribuição normal. Caudas grandes como esta, embora raras, são mais comuns em distribuições de dados do que curvas regulares em forma de sino.

Na segunda-feira negra, 19 de outubro de 1987, o Dow Jones Industrial Average caiu 22%. Comparada com o nível habitual de volatilidade do mercado accionista, esta queda foi superior a vinte desvios-padrão. De acordo com as estatísticas tradicionais (que usam a distribuição normal), tal evento é quase impossível: sua probabilidade é menor que uma em 100.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 (10 elevado à 50ª potência). No entanto, isso aconteceu – porque as flutuações de preços no mercado de ações não seguiram uma distribuição normal.

Distribuições de cauda pesada são mais adequadas para descrevê-las. Isto acontece com terramotos, incêndios e inundações, dificultando a gestão dos riscos pelas companhias de seguros.

O mesmo modelo matemático descreve o número de mortos em guerras e ataques terroristas, bem como outras coisas muito mais pacíficas, como o número de palavras num romance ou o número de parceiros sexuais que uma pessoa tem.

Embora os adjetivos usados para descrever caudas longas não as pintem de uma forma muito favorável, as distribuições com cauda usam suas caudas com orgulho. Gordo, pesado e comprido? É sim. Mas neste caso, mostre-me qual é o normal?

A alegria de X

Um tour guiado pela matemática, do um ao infinito

Publicado com permissão de Steven Strogatz, a/c Brockman, Inc.

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Prefácio

Para esclarecer o que quero dizer com a vida dos números e seu comportamento que não podemos controlar, voltemos ao Furry Paws Hotel. Suponha que Humphrey estivesse prestes a entregar o pedido, mas então os pinguins de outra sala o chamaram inesperadamente e também pediram a mesma quantidade de peixes. Quantas vezes Humphrey deve gritar a palavra “peixe” depois de receber dois pedidos? Se ele não aprendesse nada sobre números, teria que gritar tantas vezes quantos pinguins houvesse nas duas salas. Ou, usando números, poderia explicar ao cozinheiro que precisava de seis peixes para um número e seis para outro. Mas o que ele realmente precisa é de um novo conceito: adição. Depois de dominá-lo, ele dirá com orgulho que precisa de seis mais seis (ou, se for um poser, doze) peixes.

Este é o mesmo processo criativo de quando criamos os números. Assim como os números facilitam a contagem do que listar um de cada vez, a adição facilita o cálculo de qualquer valor. Ao mesmo tempo, quem faz os cálculos se desenvolve como matemático. Cientificamente, esta ideia pode ser formulada da seguinte forma: usar as abstrações corretas leva a uma visão mais profunda da essência do problema e a um maior poder para resolvê-lo.

Em breve, talvez, até mesmo Humphrey perceberá que agora ele sempre pode contar.

Porém, apesar de uma perspectiva tão infinita, a nossa criatividade sempre tem algumas limitações. Podemos decidir o que queremos dizer com 6 e +, mas quando o fazemos, os resultados de expressões como 6 + 6 ficam fora do nosso controle. Aqui a lógica não nos deixará escolha. Nesse sentido, a matemática sempre inclui tanto a invenção, então e abertura: nós inventar conceito, mas abrir suas consequências. Como os capítulos seguintes deixarão claro, na matemática a nossa liberdade reside na capacidade de fazer perguntas e persistir na procura de respostas sem ter de as inventar nós próprios.

2. Aritmética de pedra

Como qualquer fenômeno da vida, a aritmética tem dois lados: formal e divertido (ou lúdico).

Estudamos a parte formal na escola. Lá eles nos explicaram como trabalhar com colunas de números, somando e subtraindo-os, como triturá-los ao fazer cálculos em planilhas, ao preencher declarações fiscais e preparar relatórios anuais. Este lado da aritmética parece importante para muitos do ponto de vista prático, mas completamente triste.

Você só pode se familiarizar com o lado divertido da aritmética no processo de estudo da matemática superior. {3}. No entanto, é tão natural quanto a curiosidade de uma criança {4}.

No ensaio “O Lamento do Matemático”, Paul Lockhart sugere estudar os números em exemplos mais concretos do que o habitual: ele pede-nos que pensemos neles como um número de pedras. Por exemplo, o número 6 corresponde ao seguinte conjunto de pedras:

É improvável que você veja algo incomum aqui. Do jeito que está. Até começarmos a manipular os números, eles parecem praticamente iguais. O jogo começa quando recebemos uma tarefa.

Por exemplo, vejamos conjuntos que contêm de 1 a 10 pedras e tentemos fazer quadrados com elas. Isso só pode ser feito com dois conjuntos de 4 e 9 pedras, já que 4 = 2 × 2 e 9 = 3 × 3. Obtemos esses números elevando ao quadrado algum outro número (ou seja, organizando as pedras em um quadrado).

Aqui está um problema que tem um número maior de soluções: você precisa descobrir quais conjuntos formarão um retângulo se você organizar as pedras em duas fileiras com igual número de elementos. Conjuntos de 2, 4, 6, 8 ou 10 pedras são adequados aqui; o número deve ser par. Se tentarmos organizar os restantes conjuntos com um número ímpar de pedras em duas filas, acabaremos invariavelmente com uma pedra extra.

Mas nem tudo está perdido para estes números estranhos! Se você pegar dois desses conjuntos, os elementos extras encontrarão um par e a soma será par: número ímpar + número ímpar = número par.

Se estendermos essas regras para números após 10 e assumirmos que o número de linhas em um retângulo pode ser maior que duas, então alguns números ímpares permitirão que tais retângulos sejam adicionados. Por exemplo, o número 15 pode formar um retângulo 3 × 5.

Portanto, embora 15 seja sem dúvida um número ímpar, é um número composto e pode ser representado como três filas de cinco pedras cada. Da mesma forma, qualquer entrada na tabuada produz seu próprio grupo retangular de pedras.

Mas alguns números, como 2, 3, 5 e 7, são completamente desesperadores. Você não pode definir nada deles, exceto organizá-los na forma de uma linha simples (uma linha). Essas pessoas estranhas e teimosas são os famosos números primos.

Vemos então que os números podem ter estruturas estranhas que lhes conferem um certo caráter. Mas para compreender toda a gama de seu comportamento, você precisa se afastar dos números individuais e observar o que acontece durante sua interação.

Por exemplo, em vez de somar apenas dois números ímpares, vamos somar todas as sequências possíveis de números ímpares, começando com 1:

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Surpreendentemente, estas somas acabam sempre por ser quadrados perfeitos. (Já dissemos que 4 e 9 podem ser representados como quadrados, e para 16 = 4 × 4 e 25 = 5 × 5 isso também é verdade.) Um cálculo rápido mostra que esta regra também é verdadeira para números ímpares maiores e, aparentemente, , tende ao infinito. Mas qual é a conexão entre os números ímpares com suas pedras “extras” e os números classicamente simétricos que formam quadrados? Ao colocar as pedras corretamente, podemos tornar isso óbvio, o que é a marca registrada de uma prova elegante. {5}

A chave para isso é a observação de que os números ímpares podem ser representados como ângulos equiláteros, cuja sobreposição sucessiva forma um quadrado!

Uma forma semelhante de raciocínio é apresentada em outro livro publicado recentemente. O encantador romance de Yoko Ogawa, A Governanta e o Professor, conta a história de uma jovem astuta, mas sem instrução, e de seu filho de dez anos. Uma mulher foi contratada para cuidar de um matemático idoso cuja memória de curto prazo, devido a um traumatismo cranioencefálico, só retém informações dos últimos 80 minutos de sua vida. Perdido no presente, sozinho em seu chalé miserável, sem nada além de números, o professor tenta se comunicar com a governanta da única maneira que conhece: perguntando sobre o tamanho do sapato ou a data de nascimento e batendo papo com ela sobre suas despesas. O professor também tem uma simpatia especial pelo filho da governanta, a quem chama de Ruth (Raiz) porque o menino tem a cabeça chata no topo, e isso o lembra da notação matemática da raiz quadrada √.

Um dia, o professor dá ao menino uma tarefa simples - encontrar a soma de todos os números de 1 a 10. Depois que Ruth soma cuidadosamente todos os números e retorna com a resposta (55), o professor pede que ele procure um maneira mais fácil. Ele será capaz de encontrar a resposta? sem adição comum de números? Ruth chuta uma cadeira e grita: “Não é justo!”

Aos poucos, a governanta também se deixa levar pelo mundo dos números e tenta secretamente resolver sozinha o problema. “Não entendo por que estou tão interessada em um quebra-cabeça infantil que não tem utilidade prática”, diz ela. “No começo eu queria agradar o professor, mas aos poucos essa aula se transformou em uma batalha entre mim e os números. Quando acordei de manhã, a equação já estava me esperando:

1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55,

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2. Aritmética de pedra

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