Na aula, os alunos demonstraram o conhecimento e as habilidades do programa:

- reconhecer os tipos de funções, construir seus gráficos;
– praticou as habilidades de construção de uma função quadrática;
– desenvolveu métodos gráficos para resolver equações quadráticas usando o método de seleção de quadrados completos.

Eu queria prestar atenção especial à resolução de problemas com um parâmetro, já que o USE em matemática oferece muitas tarefas desse tipo.

A oportunidade de aplicar esse tipo de trabalho em sala de aula foi-me dada pelos próprios alunos, pois eles possuem uma base de conhecimento suficiente que pode ser aprofundada e ampliada.

Modelos pré-preparados por alunos com permissão para economizar tempo de aula. Durante a aula, consegui implementar as tarefas do início da aula e obter o resultado esperado.

A utilização de um minuto de educação física ajudou a evitar o excesso de trabalho dos alunos, a manter uma motivação produtiva para a obtenção do conhecimento.

Em geral, estou satisfeito com o resultado da aula, mas acho que ainda há oportunidades de reserva: ferramentas tecnológicas modernas e inovadoras, que, infelizmente, não temos a oportunidade de usar.

Tipo de aula: consolidação do material estudado.

Lições objetivas:

• Educação geral e didática:
  • desenvolver uma variedade de formas de atividade mental dos alunos;
  • formar a capacidade de resolver problemas de forma independente;
  • educar a cultura matemática dos alunos;
  • desenvolver a intuição dos alunos e a capacidade de usar o conhecimento adquirido.
• metas de aprendizagem:
  • resumir informações previamente estudadas sobre o tema "Solução gráfica de equações quadráticas";
  • repetição de plotagem de funções quadráticas;
  • formar as habilidades de usar algoritmos para resolver equações quadráticas por um método gráfico.
• Educacional:
  • despertar o interesse pelas atividades educativas, na disciplina de matemática;
  • formação de tolerância (tolerância), a capacidade de trabalhar em equipe.

DURANTE AS AULAS

I. Momento organizacional

- Hoje na lição vamos generalizar e consolidar a solução gráfica de equações quadráticas de várias maneiras.
No futuro, precisaremos dessas habilidades no ensino médio nas aulas de matemática ao resolver equações trigonométricas e logarítmicas, encontrar a área de um trapézio curvilíneo, bem como nas aulas de física.

II. Verificando a lição de casa

Vamos analisar no quadro nº 23.5 (g).

Resolva esta equação usando uma parábola e uma linha reta.

Decisão:

x 2 + x - 6 = 0
Vamos transformar a equação: x 2 \u003d 6 - x
Vamos apresentar as funções:

y \u003d x 2; função quadrática y \u003d 6 - x linear,
gráfico yavl. parábola, gráfico yavl. Em linha reta,

Construímos gráficos de funções em um sistema de coordenadas (de acordo com um modelo)

Temos dois pontos de interseção.

A solução da equação quadrática é a abscissa desses pontos x 1 = - 3, x 2 = 2.

Resposta: - 3; 2.

III. Levantamento frontal

• Qual é o gráfico de uma função quadrática?
• Você pode me dizer o algoritmo para traçar um gráfico de uma função quadrática?
• O que é uma equação quadrática?
• Dê exemplos de equações do segundo grau?
• Escreva no quadro seu exemplo de equação quadrática.Quais são os coeficientes?
• O que significa resolver uma equação?
• De quantas maneiras você conhece a solução gráfica de equações do segundo grau?
• Quais são os métodos gráficos para resolver equações do segundo grau:

4. Fixação do material

No quadro, os alunos decidem da primeira, segunda e terceira maneiras.

Classe decide quarta

- x 2 + 6x - 5 \u003d 0

Vou transformar a equação quadrática, destacando o quadrado completo do binômio:

- x 2 + 6x - 5 \u003d - (x 2 - 6x + 5) \u003d - (x 2 - 6x + 32 - 9 + 5) \u003d - ((x - 3) 2 - 4) \u003d - ( x - 3) 2+4

Temos uma equação quadrática:

- (x - 3) 2 + 4 \u003d 0

Vamos introduzir uma função:

y \u003d - (x 2 - 3) 2 + 4

Função quadrática da forma y \u003d a (x + L) 2 + m

Gráfico yavl. parábola, ramos direcionados para baixo, deslocamento da parábola principal ao longo do eixo Ox para a direita em 3 unidades, para cima em 4 unidades ao longo do eixo Oy, top (3; 4).

Construímos de acordo com o modelo.

Encontre os pontos de intersecção da parábola com o eixo x. Abscissas desses pontos yavl. solução desta equação. x=1, x=5.

Vamos ver outras soluções gráficas no quadro. Comente sobre sua maneira de resolver equações do segundo grau.

1 aluno

Decisão:

- x 2 + 6x - 5 \u003d 0

Introduzimos a função y \u003d - x + 6x - 5, uma função quadrática, o gráfico é uma parábola, os ramos são direcionados para baixo, o topo

x 0 \u003d - em / 2a
x 0 \u003d - 6 / - 2 \u003d 3
y 0 \u003d - 3 2 + 18 \u003d 9; ponto (3; 9)
eixo de simetria x = 3

Construímos de acordo com o modelo

Temos pontos de intersecção com o eixo Ox, as abcissas desses pontos são a solução de uma equação quadrática. Duas raízes x 1 = 1, x 2 = 5

2 alunos

Decisão:

- x 2 + 6x - 5 \u003d 0

Vamos transformar: - x 2 + 6x \u003d 5

Apresentamos as funções: y1 \u003d - x 2 + 6x, y2 \u003d 5, função linear, função quadrática, gráfico gráfico yavl. linha y || Ah, sim. parábola, ramos direcionados para baixo, vértice x 0 \u003d - in / 2a
x 0 \u003d - 6 / - 2 \u003d 3
y 0 \u003d - 3 2 + 18 \u003d 9;
(3; 9).
eixo de simetria x = 3
Construímos de acordo com o modelo
Tem pontos de interseção
parábolas e uma linha reta, suas abcissas são a solução de uma equação quadrática. Duas raízes x 1 = 1, x 2 = 5
Assim, a mesma equação pode ser resolvida de maneiras diferentes, e a resposta deve ser a mesma.

V. Educação física

VI. Resolvendo um problema com um parâmetro

Em que valores R equação x 2 + 6x + 8 = p:
- Não tem raízes?
- Tem uma raiz?
Tem duas raízes?
Como esta equação é diferente da anterior?
Isso mesmo, letra!
Vamos nos referir a esta carta como parâmetro, R.
Desde que ela não lhe diga nada. Mas continuaremos a resolver vários problemas com um parâmetro.
Hoje vamos resolver uma equação quadrática com um parâmetro usando um método gráfico usando o terceiro método usando uma parábola e uma linha reta paralela ao eixo x.
O aluno ajuda o professor a resolver no quadro-negro.
Por onde começamos a decidir?

Vamos definir as funções:

y 1 \u003d x 2 + 6x + 8 y 2 \u003d p função linear,
função quadrática, o gráfico é uma linha reta
gráfico yavl. parábola,
ramos apontando para baixo

x 0 \u003d - em / 2a,
x 0 = - 6/2 = - 3
y 0 \u003d (- 3) 2 + 6 (- 3) + 8 \u003d - 1
(– 3; – 1)

O eixo de simetria x = 3, não vou construir uma tabela, mas vou pegar o modelo y = x 2 e prendê-lo no topo da parábola.
A parábola está construída! Agora precisamos traçar uma linha y = p.
Onde deve ser traçada uma linha? R obter duas raízes?
Onde deve ser traçada uma linha? R para obter uma raiz?
Onde deve ser traçada uma linha? R sem raízes?
– Então, quantas raízes nossa equação pode ter?
Gostou da tarefa? Obrigado pela ajuda! Grau 5.

VII. Trabalho independente por opções (5 min.)

y \u003d x 2 - 5x + 6 y \u003d - x 2 + x - 6

Resolva uma equação quadrática de forma gráfica, escolhendo uma forma conveniente para você. Se alguém concluir a tarefa antes, verifique sua solução de outra maneira. Isso estará sujeito a marcas adicionais.

VIII. Resumo da lição

- O que você aprendeu na lição de hoje?
- Hoje na lição resolvemos equações do segundo grau usando um método gráfico, usando vários métodos de resolução, e consideramos um método gráfico para resolver uma equação do segundo grau com um parâmetro!
- Vamos para a lição de casa.

IX. Trabalho de casa

1. Teste caseiro na página 147, do livro de problemas de Mordkovich para as opções I e II.
2. No círculo, na quarta-feira, resolveremos o método V-th, (hipérbole e linha reta).

X. Literatura:

1. A.G. Mordkovich. Álgebra-8. Parte 1. Livro didático para alunos de instituições de ensino. Moscou: Mnemosyne, 2008
2. A.G. Mordkovich, L.A. Aleksandrova, T.N. Mishustin, E. E. Tulchinskaya. Álgebra - 8. Parte 2. Caderno de tarefas para alunos de instituições de ensino. Moscou: Mnemosyne, 2008
3. A.G. Mordkovich. Álgebra 7-9. Guia metodológico para um professor. M.: Mnemosyne, 2004
4. LA Alexandrova. Álgebra-8. Trabalho independente para alunos de instituições de ensino./Ed. A.G. Mordkovich. Moscou: Mnemosyne, 2009

Se você quer aprender a nadar, entre na água com ousadia e, se quiser aprender a resolver problemas, resolva-os.

D. Poya

A equaçãoé uma igualdade contendo uma ou mais incógnitas, desde que a tarefa seja encontrar aqueles valores das incógnitas para os quais ela é verdadeira.

resolva a equação- isso significa encontrar todos os valores das incógnitas para as quais se transforma na igualdade numérica correta ou estabelecer que não existem tais valores.

Intervalo válido equações (O.D.Z.)é o conjunto de todos aqueles valores da variável (variáveis) para os quais todas as expressões incluídas na equação são definidas.

Muitas equações apresentadas no exame são resolvidas por métodos padrão. Mas ninguém proíbe usar algo incomum, mesmo nos casos mais simples.

Assim, por exemplo, considere a equação 3 – x 2 \u003d 6 / (2 - x).

Vamos resolver graficamente, e então encontre a média aritmética de suas raízes aumentada em seis vezes.

Para isso, considere as funções y=3 – x2 e y = 6 / (2 - x) e traçar seus gráficos.

A função y \u003d 3 - x 2 é quadrática.

Vamos reescrever esta função na forma y = -x 2 + 3. Seu gráfico é uma parábola, cujos ramos são direcionados para baixo (porque a = -1< 0).

O topo da parábola será deslocado ao longo do eixo y em 3 unidades para cima. Portanto, a coordenada do vértice é (0; 3).

Para encontrar as coordenadas dos pontos de intersecção da parábola com o eixo das abcissas, igualamos esta função a zero e resolvemos a equação resultante:

Assim, em pontos com coordenadas (√3; 0) e (-√3; 0) a parábola intercepta o eixo x (Fig. 1).

O gráfico da função y = 6 / (2 - x) é uma hipérbole.

Esta função pode ser representada graficamente usando as seguintes transformações:

1) y = 6 / x - proporcionalidade inversa. O gráfico da função é uma hipérbole. Pode ser construído por pontos, para isso vamos compilar uma tabela de valores para x e y:

x | -6 | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 | 6 |

e | -1 | -2 | -3 | -6 | 6 | 3 | 2 | 1 |

2) y = 6 / (-x) - o gráfico da função obtida no parágrafo 1 é exibido simetricamente em relação ao eixo y (Fig. 3).

3) y = 6 / (-x + 2) - deslocamos o gráfico obtido no parágrafo 2 ao longo do eixo x em duas unidades para a direita (Fig. 4).

Agora vamos desenhar os gráficos das funções y = 3 – x 2 e y = 6 / (2 - x) no mesmo sistema de coordenadas (Fig. 5).

A figura mostra que os gráficos se cruzam em três pontos.

É importante entender que o método gráfico de resolução não permite encontrar o valor exato da raiz. Então os números -1; 0; 3 (as abcissas dos pontos de intersecção dos gráficos das funções) são até agora apenas as supostas raízes da equação.

Por meio de cheque, ficaremos convencidos de que os números -1; 0; 3 - realmente as raízes da equação original:

Raiz -1:

3 – 1 = 6 / (2 – (-1));

3 – 0 = 6 / (2 – 0);

3 – 9 = 6 / (2 – 3);

Sua média aritmética:

(-1 + 0 + 3) / 3 = 2/3.

Vamos aumentá-lo seis vezes: 6 2/3 = 4.

Essa equação, é claro, pode ser resolvida de uma maneira mais familiar. – algébrico.

Então, encontre a média aritmética das raízes da equação 3 aumentada em seis vezes – x 2 \u003d 6 / (2 - x).

Vamos começar a solução da equação com a busca por O.D.Z. O denominador de uma fração não deve ser zero, portanto:

Para resolver a equação, usamos a propriedade básica da proporção, isso eliminará a fração.

(3 – x 2)(2 - x) = 6.

Vamos abrir os colchetes e dar termos semelhantes:

6-3x – 2x2 + x3 = 6;

x 3 – 2x 2 - 3x = 0.

Vamos tirar o fator comum dos colchetes:

x(x2 – 2x - 3) = 0.

Usamos o fato de que o produto é igual a zero somente quando pelo menos um dos fatores é igual a zero, então temos:

x = 0 ou x2 – 2x - 3 = 0.

Vamos resolver a segunda equação.

x2 – 2x - 3 = 0. É quadrado, então vamos usar o discriminante.

D=4 – 4 (-3) = 16;

x 1 \u003d (2 + 4) / 2 \u003d 3;

x 2 = (2 – 4) / 2 = -1.

Todas as três raízes obtidas satisfazem O.D.Z.

Portanto, encontramos sua média aritmética e a aumentamos seis vezes:

6 (-1 + 3 + 0) / 3 = 4.

Na verdade, o método gráfico de resolução de equações raramente é usado. Isso se deve ao fato de que a representação gráfica de funções permite resolver equações apenas aproximadamente. Basicamente, esse método é usado nas tarefas em que é importante procurar não as raízes da equação em si - seus valores numéricos, mas apenas seu número.

blog.site, com cópia total ou parcial do material, é necessário um link para a fonte.

Uma maneira de resolver equações é um método gráfico. Baseia-se na plotagem de funções e na determinação de seus pontos de interseção. Considere uma forma gráfica de resolver a equação quadrática a*x^2+b*x+c=0.

Primeira forma de resolver

Vamos transformar a equação a*x^2+b*x+c=0 para a forma a*x^2 =-b*x-c. Construímos gráficos de duas funções y= a*x^2 (parábola) e y=-b*x-c (reta). Procurando pontos de interseção. As abcissas dos pontos de interseção serão a solução da equação.

Vamos mostrar com um exemplo: resolva a equação x^2-2*x-3=0.

Vamos transformá-lo em x^2 =2*x+3. Construímos gráficos de funções y= x^2 e y=2*x+3 em um sistema de coordenadas.

Os gráficos se cruzam em dois pontos. Suas abcissas serão as raízes de nossa equação.

Solução de Fórmula

Para ser convincente, verificamos essa solução analiticamente. Resolvemos a equação quadrática pela fórmula:

D = 4-4*1*(-3) = 16.

X1= (2+4)/2*1 = 3.

X2 = (2-4)/2*1 = -1.

Meios, soluções coincidem.

O método gráfico de resolução de equações também tem sua desvantagem, com a ajuda dele nem sempre é possível obter uma solução exata da equação. Vamos tentar resolver a equação x^2=3+x.

Vamos construir uma parábola y=x^2 e uma reta y=3+x no mesmo sistema de coordenadas.

Novamente tenho uma imagem semelhante. Uma reta e uma parábola se cruzam em dois pontos. Mas não podemos dizer os valores exatos das abcissas desses pontos, apenas aproximados: x≈-1,3 x≈2,3.

Se estivermos satisfeitos com as respostas de tal precisão, podemos usar esse método, mas isso raramente acontece. Normalmente são necessárias soluções exatas. Por isso, o método gráfico é pouco utilizado, e principalmente para verificar soluções existentes.

Precisa de ajuda com seus estudos?

Tópico anterior:

Nesta vídeo-aula, o tópico “Função y \u003d x 2. Solução gráfica de equações. Durante esta aula, os alunos poderão familiarizar-se com uma nova forma de resolver equações - gráfica, que se baseia no conhecimento das propriedades dos gráficos de funções. O professor mostrará como resolver graficamente a função y=x 2 .

Sujeito:Função

Lição:Função. Solução gráfica de equações

A solução gráfica de equações é baseada no conhecimento de gráficos de funções e suas propriedades. Listamos as funções cujos gráficos conhecemos:

1), o gráfico é uma linha reta paralela ao eixo x, passando por um ponto no eixo y. Considere um exemplo: y=1:

Para valores diferentes, obtemos uma família de linhas retas paralelas ao eixo x.

2) Função de proporcionalidade direta o gráfico desta função é uma linha reta que passa pela origem. Considere um exemplo:

Já construímos esses gráficos em lições anteriores, lembre-se que para construir cada linha, você precisa selecionar um ponto que a satisfaça e tomar a origem como o segundo ponto.

Lembre-se do papel do coeficiente k: à medida que a função aumenta, o ângulo entre a linha reta e a direção positiva do eixo x é agudo; quando a função diminui, o ângulo entre a linha reta e a direção positiva do eixo x é obtuso. Além disso, existe a seguinte relação entre dois parâmetros k de mesmo sinal: para k positivo, quanto maior, mais rápido a função aumenta, e para negativo, a função diminui mais rapidamente para valores grandes de k módulo.

3) Função linear. Quando - obtemos o ponto de interseção com o eixo y e todas as linhas desse tipo passam pelo ponto (0; m). Além disso, à medida que a função aumenta, o ângulo entre a linha e a direção positiva do eixo x é agudo; quando a função diminui, o ângulo entre a linha reta e a direção positiva do eixo x é obtuso. E, claro, o valor de k afeta a taxa de variação do valor da função.

4). O gráfico desta função é uma parábola.

Considere exemplos.

Exemplo 1 - resolva graficamente a equação:

Não conhecemos funções desse tipo, então precisamos transformar a equação dada para trabalhar com funções conhecidas:

Temos funções familiares em ambas as partes da equação:

Vamos construir gráficos de funções:

Os gráficos possuem dois pontos de interseção: (-1; 1); (2; 4)

Vamos verificar se a solução foi encontrada corretamente, substitua as coordenadas na equação:

O primeiro ponto foi encontrado corretamente.

, , , , , ,

O segundo ponto também é encontrado corretamente.

Então, as soluções da equação são e

Agimos de maneira semelhante ao exemplo anterior: transformamos a equação dada nas funções conhecidas por nós, traçamos seus gráficos, encontramos as correntes de interseção e, a partir daqui, indicamos as soluções.

Obtemos duas funções:

Vamos construir gráficos:

Esses gráficos não têm pontos de interseção, o que significa que a equação dada não tem soluções

Conclusão: nesta lição, revisamos as funções conhecidas por nós e seus gráficos, lembramos suas propriedades e consideramos uma maneira gráfica de resolver equações.

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et al.Álgebra 7. 6ª edição. M.: Iluminismo. 2010

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Álgebra 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. e outros Álgebra 7 .M .: Educação. 2006

Tarefa 1: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. et ai, Algebra 7, nº 494, página 110;

Tarefa 2: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. e outros Álgebra 7, nº 495, item 110;

Tarefa 3: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. et ai, Algebra 7, nº 496, página 110;

Na programação linear, um método gráfico é usado para determinar conjuntos convexos (poliedro de solução). Se o principal problema de programação linear tem um plano ótimo, então a função objetivo assume um valor em um dos vértices do poliedro de decisão (veja a figura).

Atribuição de serviço. Usando este serviço, você pode resolver o problema de programação linear usando o método geométrico online, bem como obter uma solução para o problema dual (estimar o uso ótimo dos recursos). Além disso, um modelo de solução é criado no Excel.

Instrução. Selecione o número de linhas (número de limites).

Número de restrições 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Se o número de variáveis ​​for superior a duas, é necessário trazer o sistema para SZLP (ver exemplo e exemplo nº 2). Se a restrição for dupla, por exemplo, 1 ≤ x 1 ≤ 4 , ela será dividida em duas: x 1 ≥ 1 , x 1 ≤ 4 (ou seja, o número de linhas aumenta em 1).
Você também pode construir uma área de solução viável (DDR) usando este serviço.

O seguinte também é usado com esta calculadora:
Método Simplex para resolver LLP

Solução do problema de transporte
Solução de jogo de matriz
Usando o serviço online, você pode determinar o preço de um jogo de matriz (limites inferior e superior), verificar um ponto de sela, encontrar uma solução para uma estratégia mista usando os seguintes métodos: minimax, método simplex, método gráfico (geométrico), O método de Brown.
Extremo de uma função de duas variáveis
Cálculo de limite

Resolver um problema de programação linear por um método gráfico inclui as seguintes etapas:

1. As linhas são construídas no plano X 1 0X 2.
2. Meios planos são definidos.
3. Definir um polígono de decisão;
4. Construa um vetor N(c 1 ,c 2), que indique a direção da função objetivo;
5. Mova a função objetivo direto c 1 x 2 + c 2 x 2= 0 na direção do vetor N até o ponto extremo do polígono solução.
6. Calcule as coordenadas do ponto e o valor da função objetivo neste ponto.

Neste caso, podem ocorrer as seguintes situações:

Exemplo. A empresa fabrica dois tipos de produtos - P1 e P2. Para a produção de produtos, são utilizados dois tipos de matérias-primas - C1 e C2. O preço de atacado de uma unidade de produção é igual a: UM 5 para P1 e 4 c.u. para P2. O consumo de matérias-primas por unidade de produção do tipo P1 e do tipo P2 é dado na tabela.
Tabela - Consumo de matérias-primas para produção

Foram estabelecidas restrições à demanda de produtos: a produção diária de produtos P2 não deve exceder a produção diária de produtos P1 em não mais de 1 tonelada; a produção máxima diária de P2 não deve exceder 2 toneladas.
É necessário determinar:
Quantos produtos de cada tipo a empresa deve produzir para maximizar a receita da venda de produtos?

1. Formule um modelo matemático de um problema de programação linear.
2. Resolva um problema de programação linear graficamente (para duas variáveis).

Decisão.
Vamos formular um modelo matemático de um problema de programação linear.
x 1 - produção P1, unidades.
x 2 - produção de produtos P2, unidades.
x 1 , x 2 ≥ 0

Limites de recursos
6x1 + 4x2 ≤ 24
x1 + 2x2 ≤ 6

Limites de demanda
x 1 +1 ≥ x 2
x2 ≤ 2

função objetiva
5x1 + 4x2 → máx.

Então obtemos o seguinte LLP:
6x1 + 4x2 ≤ 24
x1 + 2x2 ≤ 6
x 2 - x 1 ≤ 1
x2 ≤ 2
x 1 , x 2 ≥ 0
5x1 + 4x2 → máx.