Uma equação linear em duas variáveis ​​​​é qualquer equação que tenha a seguinte forma: a*x + b*y =с. Aqui xey são duas variáveis, a,b,c são alguns números.

A solução para a equação linear a*x + b*y = c é qualquer par de números (x,y) que satisfaça esta equação, ou seja, transforme a equação com as variáveis ​​​​x e y em uma igualdade numérica correta. Uma equação linear tem um número infinito de soluções.

Se cada par de números que são soluções para uma equação linear em duas variáveis ​​​​for representado no plano de coordenadas como pontos, então todos esses pontos formam o gráfico de uma equação linear em duas variáveis. As coordenadas dos pontos serão nossos valores x e y. Neste caso, o valor de x será a abcissa e o valor de y será a ordenada.

Gráfico de uma equação linear em duas variáveis

O gráfico de uma equação linear com duas variáveis ​​​​é o conjunto de todos os pontos possíveis no plano coordenado, cujas coordenadas serão soluções para esta equação linear. É fácil adivinhar que o gráfico será uma linha reta. É por isso que tais equações são chamadas lineares.

Algoritmo de construção

Algoritmo para traçar uma equação linear em duas variáveis.

1. Desenhe eixos coordenados, rotule-os e marque a escala unitária.

2. Em uma equação linear, coloque x = 0 e resolva a equação resultante para y. Marque o ponto resultante no gráfico.

3. Em uma equação linear, considere o número 0 como y e resolva a equação resultante para x. Marque o ponto resultante no gráfico

4. Se necessário, tome um valor arbitrário de x e resolva a equação resultante para y. Marque o ponto resultante no gráfico.

5. Conecte os pontos resultantes e continue o gráfico além deles. Assine a linha reta resultante.

Exemplo: Faça um gráfico da equação 3*x - 2*y =6;

Vamos colocar x=0, então - 2*y =6; y= -3;

Vamos colocar y=0, então 3*x = 6; x=2;

Marcamos os pontos obtidos no gráfico, traçamos uma linha reta através deles e rotulamos. Observe a figura abaixo, o gráfico deve ficar exatamente assim.

Deixe dado equação com duas variáveis ​​F(x; y). Você já se familiarizou com as maneiras de resolver essas equações analiticamente. Muitas soluções de tais equações podem ser representadas em forma de gráfico.

O gráfico da equação F(x; y) é o conjunto de pontos no plano coordenado xOy cujas coordenadas satisfazem a equação.

Para representar graficamente equações em duas variáveis, primeiro expresse a variável y na equação em termos da variável x.

Certamente você já sabe construir vários gráficos de equações com duas variáveis: ax + b = c – linha reta, yx = k – hipérbole, (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 – círculo cujo raio é igual a R, e o centro está no ponto O(a; b).

Exemplo 1

Faça um gráfico da equação x 2 – 9y 2 = 0.

Solução.

Vamos fatorar o lado esquerdo da equação.

(x – 3y)(x+ 3y) = 0, ou seja, y = x/3 ou y = -x/3.

Resposta: Figura 1.

Um lugar especial é ocupado pela definição de figuras em um plano com equações contendo o sinal do valor absoluto, sobre as quais nos deteremos em detalhes. Consideremos as etapas de construção de gráficos de equações da forma |y| =f(x) e |y| = |f(x)|.

A primeira equação é equivalente ao sistema

(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) ou y = -f(x).

Ou seja, seu gráfico consiste em gráficos de duas funções: y = f(x) e y = -f(x), onde f(x) ≥ 0.

Para traçar o gráfico da segunda equação, são traçados gráficos de duas funções: y = f(x) e y = -f(x).

Exemplo 2.

Faça um gráfico da equação |y| = 2 + x.

Solução.

A equação dada é equivalente ao sistema

(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 ou y = -x – 2.

Construímos muitos pontos.

Resposta: Figura 2.

Exemplo 3

Trace a equação |y – x| = 1.

Solução.

Se y ≥ x, então y = x + 1, se y ≤ x, então y = x – 1.

Resposta: Figura 3.

Ao construir gráficos de equações contendo uma variável sob o sinal de módulo, é conveniente e racional usar método de área, com base na divisão do plano de coordenadas em partes nas quais cada expressão do submódulo mantém seu sinal.

Exemplo 4.

Faça um gráfico da equação x + |x| + você + | você | = 2.

Solução.

Neste exemplo, o sinal de cada expressão do submódulo depende do quadrante de coordenadas.

1) No primeiro trimestre de coordenadas x ≥ 0 e y ≥ 0. Após expandir o módulo, a equação dada ficará assim:

2x + 2y = 2, e após simplificação x + y = 1.

2) No segundo trimestre, onde x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) No terceiro trimestre x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) No quarto trimestre, quando x ≥ 0, e y< 0 получим, что x = 1.

Iremos traçar esta equação por trimestres.

Resposta: Figura 4.

Exemplo 5.

Desenhe um conjunto de pontos cujas coordenadas satisfaçam a igualdade |x – 1| + |y – 1| = 1.

Solução.

Os zeros das expressões do submódulo x = 1 e y = 1 dividem o plano de coordenadas em quatro regiões. Vamos dividir os módulos por região. Vamos organizar isso em forma de tabela.

Região	Sinal de expressão submodular	A equação resultante após expandir o módulo
EU	x ≥ 1 e y ≥ 1	x + y = 3
II	x< 1 и y ≥ 1	-x + y = 1
III	x< 1 и y < 1	x + y = 1
4	x ≥ 1 e y< 1	x – y = 1

Resposta: Figura 5.

No plano de coordenadas, as figuras podem ser especificadas e desigualdades.

Gráfico de desigualdade com duas variáveis ​​​​é o conjunto de todos os pontos do plano coordenado cujas coordenadas são soluções para esta desigualdade.

Vamos considerar algoritmo para construir um modelo para resolver uma desigualdade com duas variáveis:

1. Escreva a equação correspondente à desigualdade.
2. Trace a equação da etapa 1.
3. Escolha um ponto arbitrário em um dos semiplanos. Verifique se as coordenadas do ponto selecionado satisfazem a desigualdade dada.
4. Desenhe graficamente o conjunto de todas as soluções para a desigualdade.

Consideremos primeiro a desigualdade ax + bx + c > 0. A equação ax + bx + c = 0 define uma linha reta que divide o plano em dois semiplanos. Em cada um deles, a função f(x) = ax + bx + c mantém seu sinal. Para determinar este sinal, basta pegar qualquer ponto pertencente ao semiplano e calcular o valor da função neste ponto. Se o sinal da função coincidir com o sinal da desigualdade, então este semiplano será a solução da desigualdade.

Vejamos exemplos de soluções gráficas para as desigualdades mais comuns com duas variáveis.

1) machado + bx + c ≥ 0. Figura 6.

2) |x| ≤ uma, uma > 0. Figura 7.

3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Figura 8.

4) y ≥ x 2 . Figura 9.

5) xy ≤ 1. Figura 10.

Se você tiver dúvidas ou quiser praticar o desenho em um modelo plano dos conjuntos de todas as soluções para desigualdades em duas variáveis ​​​​usando modelagem matemática, você pode realizar aula gratuita de 25 minutos com um tutor online depois de se registrar. Para continuar trabalhando com um professor, você terá a oportunidade de escolher o plano tarifário que mais lhe convier.

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Nesta lição, examinaremos mais de perto a representação gráfica de equações. Primeiramente, vamos lembrar o que é uma equação racional e o conjunto de suas soluções que forma o gráfico da equação. Vamos dar uma olhada mais de perto no gráfico de uma equação linear e nas propriedades de uma função linear e aprender como ler gráficos. A seguir, considere o gráfico de uma equação quadrática e as propriedades de uma função quadrática. Considere uma função hiperbólica e seu gráfico e o gráfico da equação de um círculo. A seguir, passamos à construção e estudo de um conjunto de gráficos.

Tópico: Sistemas de equações

Lição: Representando Gráficos de Equações

Consideramos uma equação racional da forma e um sistema de equações racionais da forma

Dissemos que cada equação neste sistema tem seu próprio gráfico, a menos, é claro, que existam soluções para as equações. Vimos vários gráficos de várias equações.

Agora consideraremos sistematicamente cada uma das equações que conhecemos, ou seja, vamos revisar gráficos de equações.

1. Equação linear com duas variáveis

x, y - ao primeiro grau; a,b,c - números específicos.

Exemplo:

O gráfico desta equação é uma linha reta.

Agimos com transformações equivalentes - deixamos y no lugar, todo o resto foi movido para o outro lado com sinais opostos. As equações original e resultante são equivalentes, ou seja, têm o mesmo conjunto de soluções. Podemos construir um gráfico desta equação, e o método para construí-la é o seguinte: encontramos os pontos de intersecção com os eixos coordenados e construímos uma linha reta ao longo deles.

Nesse caso

Conhecendo o gráfico da equação, podemos dizer muito sobre as soluções da equação original, a saber: se se

Esta função aumenta, ou seja, à medida que x aumenta, y aumenta. Temos duas soluções específicas, mas como podemos escrever o conjunto de todas as soluções?

Se um ponto tem uma abscissa x, então a ordenada desse ponto é

Então números

Tínhamos uma equação, fizemos um gráfico, encontramos soluções. O conjunto de todos os pares – quantos são? Incontáveis.

Esta é uma equação racional

Vamos encontrar y, e por transformações equivalentes obtemos

Vamos colocar e obter uma função quadrática, seu gráfico é conhecido por nós.

Exemplo: represente graficamente uma equação racional.

O gráfico é uma parábola, os ramos estão direcionados para cima.

Vamos encontrar as raízes da equação:

Vamos representar esquematicamente o gráfico ( Arroz. 2).

Com a ajuda de um gráfico, obtemos todo tipo de informação sobre a função e as soluções de uma equação racional. Determinamos os intervalos de constância do sinal, agora encontraremos as coordenadas do vértice da parábola.

A equação tem inúmeras soluções, ou seja, inúmeros pares que satisfazem a equação, mas todos E o que pode ser x? Qualquer um!

Se definirmos qualquer x, obtemos um ponto

A solução da equação original é o conjunto de pares

3. Faça um gráfico da equação

É necessário expressar y. Vamos considerar duas opções.

O gráfico de uma função é uma hipérbole, a função não está definida quando

A função está diminuindo.

Se tomarmos um ponto com uma abcissa, então sua ordenada será igual a

A solução da equação original é o conjunto de pares

A hipérbole construída pode ser deslocada em relação aos eixos coordenados.

Por exemplo, o gráfico de uma função - também uma hipérbole - será deslocado uma unidade para cima ao longo do eixo y.

4. Equação de um círculo

Esta é uma equação racional com duas variáveis. O conjunto solução são os pontos do círculo. O centro no ponto do raio é igual a R (Fig. 4).

Vejamos exemplos específicos.

a.

Trazemos a equação para a forma padrão da equação do círculo, para isso selecionamos o quadrado completo da soma:

- obteve a equação de um círculo com centro em .

Vamos traçar a equação (Fig. 5).

b. Faça um gráfico da equação

Lembre-se de que o produto é igual a zero se e somente se um dos fatores for igual a zero e o segundo existir.

O gráfico de uma determinada equação consiste em um conjunto de gráficos da primeira e da segunda equações, ou seja, duas linhas retas.

Vamos construí-lo (Fig. 6).

Vamos construir um gráfico da função, a reta passará pelo ponto (0; -1). Mas como será - aumentará ou diminuirá? O coeficiente angular, o coeficiente de x, nos ajudará a determinar isso; é negativo, o que significa que a função está diminuindo. Vamos encontrar o ponto de intersecção com o eixo do boi, esse é o ponto (-1; 0).

Da mesma forma, traçamos o gráfico da segunda equação. A linha reta passa pelo ponto (0; 1), mas aumenta porque a inclinação é positiva.

As coordenadas de todos os pontos das duas retas construídas são a solução da equação.

Assim, analisamos os gráficos das equações racionais mais importantes, elas serão utilizadas tanto no método gráfico quanto na ilustração de outros métodos de resolução de sistemas de equações.

1. Mordkovich A.G. e outros Álgebra 9º ano: Livro didático. Para educação geral Instituições.- 4ª ed. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 p.: il.

2. Mordkovich A.G. e outros Álgebra 9º ano: Livro de problemas para alunos de instituições de ensino geral / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina, etc. — M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: III.

3. Makarychev Yu N. Álgebra. 9º ano: educacional. para estudantes do ensino geral. instituições / Yu.N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - 7ª ed., Rev. e adicional - M.: Mnemósine, 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Álgebra. 9 º ano. 16ª edição. - M., 2011. - 287 p.

5. Mordkovich A. G. Álgebra. 9 º ano. Em 2 horas Parte 1. Livro didático para alunos de instituições de ensino / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 12ª ed., apagada. - M.: 2010. - 224 p.: il.

6. Álgebra. 9 º ano. Em 2 partes Parte 2. Livro de problemas para alunos de instituições de ensino / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina e outros; Ed. A. G. Mordkovich. - 12ª ed., Rev. - M.: 2010.-223 p.: il.

1. Seção College.ru sobre matemática ().

2. Projeto de Internet “Tarefas” ().

3. Portal educacional “VOU RESOLVER o Exame Estadual Unificado” ().

1. Mordkovich A.G. e outros Álgebra 9º ano: Livro de problemas para alunos de instituições de ensino geral / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina, etc. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: il. Nº 95-102.

OBJETIVO:1) Introduzir os alunos no conceito de “equação com duas variáveis”;

2) Aprenda a determinar o grau de uma equação com duas variáveis;

3) Aprenda a determinar a partir de uma determinada função qual figura é um gráfico

dada equação;

4) Considere transformações de gráficos com duas variáveis;

uma dada equação de duas variáveis ​​usando o programa Agrapher;

6) Desenvolver o pensamento lógico dos alunos.

I. Novo material - uma palestra explicativa com elementos de conversa.

(a aula é conduzida a partir de slides do autor; os gráficos são desenhados no programa Agrapher)

U: Ao estudar linhas, existem dois problemas:

Com base nas propriedades geométricas de uma determinada reta, encontre sua equação;

Problema inverso: dada a equação de uma reta, estude suas propriedades geométricas.

Consideramos o primeiro problema do curso de geometria em relação a círculos e retas.

Hoje consideraremos o problema inverso.

Considere equações da forma:

A) x(xy)=4; b) 2u-x 2 =-2 ; V) x(x+y 2 ) = x +1.

são exemplos de equações com duas variáveis.

Equações com duas variáveis X E no parece f(x,y)=(x,y), Onde f E – expressões com variáveis X E você.

Se na Eq. x(xy)=4 substituir por uma variável X seu valor é -1 e, em vez disso, no– valor 3, então a igualdade correta será obtida: 1*(-1-3)=4,

Um par de (-1; 3) valores de variáveis X E noé uma solução para a equação x(xy)=4.

Aquilo é resolvendo a equação com duas variáveis ​​é chamado o conjunto de pares ordenados de valores de variáveis ​​​​que formam esta equação em uma verdadeira igualdade.

Uma equação com duas variáveis ​​geralmente tem um número infinito de soluções. Exceções formar, por exemplo, equações como X 2 +(s 2 - 4) 2 = 0 ou

2x2 + no 2 = 0 .

O primeiro deles possui duas soluções (0; -2) e (0; 2), o segundo possui uma solução (0; 0).

A equação x 4 + y 4 +3 = 0 não tem solução alguma. É interessante quando os valores das variáveis ​​na equação são inteiros. Ao resolver tais equações com duas variáveis, são encontrados pares de inteiros. Nesses casos, diz-se que a equação está resolvida em números inteiros.

Duas equações com o mesmo conjunto de soluções são chamadas equações equivalentes. Por exemplo, a equação x(x + y 2) = x + 1 é uma equação de terceiro grau, pois pode ser transformada na equação xy 2 + x 2 - x-1 = 0, cujo lado direito é um polinômio da forma padrão do terceiro grau.

O grau de uma equação com duas variáveis, representado na forma F(x, y) = 0, onde F(x, y) é um polinômio de forma padrão, é chamado de grau do polinômio F(x, y).

Se todas as soluções para uma equação com duas variáveis ​​​​forem representadas como pontos no plano de coordenadas, você obterá um gráfico de uma equação com duas variáveis.

Agendar equação com duas variáveis ​​é o conjunto de pontos cujas coordenadas servem como soluções para esta equação.

Então, o gráfico da equação machado + por + c = 0é uma linha reta se pelo menos um dos coeficientes a ou b diferente de zero (Fig. 1). Se uma = b = c = 0, então o gráfico desta equação é plano coordenado (Fig. 2), se uma = b = 0, A c0, então o gráfico é conjunto vazio (Fig. 3).

Gráfico de Equação y = ax 2 + por + cé uma parábola (Fig. 4), um gráfico da equação xy=k(k0) – hipérbole (Fig. 5). Gráfico de equação X 2 + você 2 = r, onde x e y são variáveis, r é um número positivo, é círculo com centro na origem e raio igual a R(Fig. 6). O gráfico da equação é elipse, Onde a E b– semieixos maior e menor da elipse (Fig. 7).

A construção de gráficos de algumas equações é facilitada pela utilização de suas transformações. Vamos considerar convertendo gráficos de equações em duas variáveis e formular as regras pelas quais as transformações mais simples de gráficos de equações são realizadas

1) O gráfico da equação F (-x, y) = 0 é obtido a partir do gráfico da equação F (x, y) = 0 usando simetria em torno do eixo você.

2) O gráfico da equação F (x, -y) = 0 é obtido a partir do gráfico da equação F (x, y) = 0 usando simetria em torno do eixo X.

3) O gráfico da equação F (-x, -y) = 0 é obtido a partir do gráfico da equação F (x, y) = 0 usando simetria central em torno da origem.

4) O gráfico da equação F (x-a, y) = 0 é obtido a partir do gráfico da equação F (x, y) = 0 movendo-se paralelamente ao eixo x por |a| unidades (à direita, se a> 0, e para a esquerda se A < 0).

5) O gráfico da equação F (x, y-b) = 0 é obtido a partir do gráfico da equação F (x, y) = 0 passando para |b| unidades paralelas ao eixo no(acima se b> 0 e para baixo se b < 0).

6) O gráfico da equação F (ax, y) = 0 é obtido a partir do gráfico da equação F (x, y) = 0 comprimindo ao eixo y e a vezes, se A> 1, e estendendo-se do eixo y por vezes, se 0< A < 1.

7) O gráfico da equação F (x, by) = 0 é obtido a partir do gráfico da equação F (x, y) = 0 usando compressão ao eixo x em b vezes se b> 1, e alongando a partir do eixo x por vezes se 0 < b < 1.

Se o gráfico de alguma equação for girado em um determinado ângulo próximo à origem, então o novo gráfico será o gráfico de outra equação. Os casos especiais de rotação em ângulos de 90° e 45° são importantes.

8) O gráfico da equação F (x, y) = 0 como resultado de uma rotação no sentido horário próximo à origem das coordenadas por um ângulo de 90 0 se transforma no gráfico da equação F (-y, x) = 0, e no sentido anti-horário no gráfico da equação F (y , -x) = 0.

9) O gráfico da equação F (x, y) = 0 como resultado de uma rotação no sentido horário próximo à origem das coordenadas por um ângulo de 45 0 se transforma no gráfico da equação F = 0, e no sentido anti-horário no gráfico de a equação F = 0.

A partir das regras que consideramos para a transformação de gráficos de equações com duas variáveis, são facilmente obtidas regras para a transformação de gráficos de funções.

Exemplo 1. Vamos mostrar isso representando graficamente a equação X 2 + você 2 + 2x – 8y + 8 = 0é um círculo (Fig. 17).

Vamos transformar a equação da seguinte forma:

1) agrupar os termos que contém a variável X e contendo uma variável no, e imagine cada grupo de termos na forma de um trinômio quadrado completo: (x 2 + 2x + 1) + (y 2 -2*4*y + 16) + 8 – 1 – 16 = 0;

2) escreva os trinômios resultantes como o quadrado da soma (diferença) de duas expressões: (x + 1) 2 + (y – 4) 2 - 9 = 0;

3) vamos analisar, de acordo com as regras de transformação de gráficos de equações com duas variáveis, a equação (x + 1) 2 + (y – 4) 2 = 3 2: o gráfico desta equação é um círculo com centro no ponto (-1; 4) e um raio de 3 unidades.

Exemplo 2: vamos representar graficamente a equação X 2 + 4у 2 = 9 .

Vamos imaginar 4y 2 na forma (2y) 2, obtemos a equação x 2 + (2y) 2 = 9, cujo gráfico pode ser obtido a partir do círculo x 2 + y 2 = 9 comprimindo o eixo x por um fator de 2.

Desenhe um círculo com centro na origem e raio de 3 unidades.

Vamos reduzir a distância de cada ponto do eixo X em 2 vezes e obter um gráfico da equação

x 2 + (2y) 2 = 9.

Obtivemos a figura comprimindo o círculo em um de seus diâmetros (no diâmetro que está no eixo X). Esta figura é chamada de elipse (Fig. 18).

Exemplo 3. Vamos descobrir qual é o gráfico da equação x 2 - y 2 = 8.

Vamos usar a fórmula F= 0.

Substitua nesta equação em vez de X e em vez de Y, obtemos:

U: Qual é o gráfico da equação y =?

D: O gráfico da equação y = é uma hipérbole.

Y: Convertemos uma equação da forma x 2 - y 2 = 8 em uma equação y = .

Qual reta será o gráfico desta equação?

D: Então, o gráfico da equação x 2 - y 2 = 8 é uma hipérbole.

Y: Quais retas são as assíntotas da hipérbole y = .

D: As assíntotas da hipérbole y = são as retas y = 0 e x = 0.

U: Quando a rotação for completada, essas retas se transformarão em retas = 0 e = 0, ou seja, em retas y = x e y = - x. (Fig. 19).

Exemplo 4: Vamos descobrir qual será a forma da equação y = x 2 da parábola quando girada em torno da origem em um ângulo de 90 0 no sentido horário.

Usando a fórmula F (-y; x) = 0, na equação y = x 2 substituímos a variável x por – y, e a variável y por x. Obtemos a equação x = (-y) 2, ou seja, x = y 2 (Fig. 20).

Examinamos exemplos de gráficos de equações de segundo grau com duas variáveis ​​​​e descobrimos que os gráficos de tais equações podem ser uma parábola, uma hipérbole, uma elipse (em particular, um círculo). Além disso, o gráfico de uma equação de segundo grau pode ser um par de retas (que se cruzam ou são paralelas), o que é o chamado caso degenerado. Portanto, o gráfico da equação x 2 - y 2 = 0 é um par de retas que se cruzam (Fig. 21a), e o gráfico da equação x 2 - 5x + 6 + 0y = 0 são retas paralelas.

II Consolidação.

(os alunos recebem “cartões de instruções” para construir gráficos de equações com duas variáveis ​​​​no programa Agrapher (Apêndice 2) e cartões de “tarefas práticas” (Apêndice 3) com a formulação das tarefas 1-8. O professor demonstra gráficos de equações para tarefas 4-5 nos slides).

Exercício 1. Quais dos pares (5;4), (1;0), (-5;-4) e (-1; -) são soluções para a equação:

a) x 2 - y 2 = 0, b) x 3 - 1 = x 2 y + 6y?

Solução:

Substituindo as coordenadas desses pontos na equação dada, estamos convencidos de que nem um único par dado é uma solução para a equação x 2 - y 2 = 0, e as soluções para a equação x 3 - 1 = x 2 y + 6y são os pares (5;4), (1;0) e (-1; -).

125 - 1 = 100 + 24 (I)

1 - 1= 0 + 0 (EU)

125 - 1 \u003d -100 - 24 (L)

1 – 1 = - - (EU)

Responder: A); b) (5;4), (1; 0), (-1; -).

Tarefa 2. Encontre soluções para a equação xy 2 - x 2 y = 12 em que o valor Xé igual a 3.

Solução: 1) Substitua o valor 3 em vez de X na equação dada.

2) Obtemos uma equação quadrática para a variável Y, tendo a forma:

3a 2 - 9a = 12.

4) Vamos resolver esta equação:

3 anos 2 - 9 anos – 12 = 0

D = 81 + 144 = 225

Resposta: os pares (3;4) e (3;-1) são soluções para a equação xy 2 - x 2 y = 12

Tarefa 3. Determine o grau da equação:

a) 2y 2 - 3x 3 + 4x = 2; c) (3 x 2 + x)(4x - y 2) = x;

b) 5y 2 - 3y 2 x 2 + 2x 3 = 0; d) (2y - x 2) 2 = x(x 2 + 4xy + 1).

Resposta: a) 3; b) 5; às 4; e) 4.

Tarefa 4. Qual figura é o gráfico da equação:

a) 2x = 5 + 3y; b) 6 x 2 - 5x = y – 1; c) 2(x + 1) = x 2 - y;

d) (x - 1,5)(x - 4) = 0; e) xy – 1,2 = 0; e) x 2 + y 2 = 9.

Tarefa 5. Escreva uma equação cujo gráfico seja simétrico ao gráfico da equação x 2 - xy + 3 = 0 (Fig. 24) em relação a: a) eixo X; b) eixos no; c) reta y = x; d) reta y = -x.

Tarefa6. Elabore uma equação cujo gráfico é obtido alongando o gráfico da equação y = x 2 -3 (Fig. 25):

a) do eixo x 2 vezes; b) do eixo y 3 vezes.

Verifique com o programa Agrapher se a tarefa foi concluída corretamente.

Resposta: a)y - x 2 + 3 = 0 (Fig. 25a); b) y-(x) 2 + 3 = 0 (Fig. 25b).

b) as linhas são paralelas, movendo-se paralelamente ao eixo x 1 unidade para a direita e paralelas ao eixo y 3 unidades para baixo (Fig. 26b);

c) linhas retas se cruzam, exibição simétrica em relação ao eixo x (Fig. 26c);

d) linhas se cruzam, exibição simétrica em torno do eixo y (Fig. 26d);

e) as linhas são paralelas e simétricas em relação à origem (Fig. 26e);

e) retas se cruzam, rotação em torno da origem em 90 no sentido horário e exibição simétrica em relação ao eixo x (Fig. 26f).

III. Trabalho educacional independente.

(os alunos recebem cartões “Trabalho independente” e uma “Tabela de relatório dos resultados do trabalho independente”, na qual os alunos anotam as suas respostas e, após autoteste, avaliam o trabalho de acordo com o esquema proposto) Anexo 4..

I. opção.

a) 5x 3 -3x 2 y 2 + 8 = 0; b) (x + y + 1) 2 - (x-y) 2 = 2(x + y).

a) x 3 + y 3 -5x 2 = 0; b) x 4 +4x 3 y +6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4 = 1.

x 4 + y 4 -8x 2 + 16 = 0.

a) (x + 1) 2 + (y-1) 2 = 4;

b) x 2 -y 2 = 1;

c) x - y 2 = 9.

x 2 - 2x + y 2 - 4y = 20.

Especifique as coordenadas do centro do círculo e seu raio.

6. Como a hipérbole y = deve ser movida no plano coordenado para que sua equação assuma a forma x 2 - y 2 = 16?

Verifique sua resposta fazendo gráficos usando o Agrapher.

7. Como a parábola y = x 2 deve ser movida no plano coordenado para que sua equação tome a forma x = y 2 - 1

Opção II.

1. Determine o grau da equação:

a)3xy = (y-x 3)(x 2 +y); b) 2y 3 + 5x 2 y 2 - 7 = 0.

2. O par de números (-2;3) é uma solução para a equação:

a) x 2 -y 2 -3x = 1; b) 8x 3 + 12x 2 y + 6xy 2 + y 3 = -1.

3. Encontre o conjunto de soluções para a equação:

x 2 + y 2 -2x – 8y + 17 = 0.

4. Que tipo de curva (hipérbole, círculo, parábola) é um conjunto de pontos se a equação desta curva tem a forma:

a) (x-2) 2 + (y + 2) 2 =9

b) y 2 - x 2 =1

c) x = y 2 - 1.

(verifique com o programa Agrapher se a tarefa foi concluída corretamente)

5. Usando o programa Agrapher, trace a equação:

x 2 + y 2 - 6x + 10y = 2.

6. Como a hipérbole y = deve ser movida no plano coordenado para que sua equação assuma a forma x 2 - y 2 = 28?

7. Como a parábola y = x 2 deve ser movida no plano coordenado para que sua equação assuma a forma x = y 2 + 9.