Na mecânica quântica, cada variável dinâmica - coordenada, momento, momento angular, energia - está associada a um operador linear auto-adjunto (Hermitiano).

Todas as relações funcionais entre quantidades conhecidas da mecânica clássica são substituídas na teoria quântica por relações análogas entre operadores. A correspondência entre variáveis ​​dinâmicas (quantidades físicas) e operadores mecânicos quânticos é postulada na mecânica quântica e é uma generalização de uma enorme quantidade de material experimental.

1.3.1. Operador de coordenadas:

Como se sabe, na mecânica clássica, a posição de uma partícula (sistema N- partículas) no espaço em um determinado momento é determinado por um conjunto de coordenadas - vetores ou quantidades escalares. A mecânica vetorial é baseada nas leis de Newton, as principais aqui são as quantidades vetoriais - velocidade, momento, força, momento angular (momento angular), momento da força, etc. Aqui, a posição do ponto material é dada pelo vetor raio, que determina sua posição no espaço em relação ao corpo de referência selecionado e o sistema de coordenadas associado a ele, ou seja,

Se todos os vetores de forças que atuam sobre uma partícula são determinados, então é possível resolver as equações do movimento e construir uma trajetória. Se o movimento for considerado N- partículas, então é mais conveniente (independentemente de se considerar o movimento de partículas ligadas ou se as partículas estão livres em seus movimentos de qualquer tipo de restrição) operar não com vetor, mas com quantidades escalares - as chamadas coordenadas generalizadas , velocidades, impulsos e forças. Essa abordagem analítica é baseada no princípio da ação mínima, que na mecânica analítica desempenha o papel da segunda lei de Newton. Uma característica da abordagem analítica é a ausência de uma conexão rígida com qualquer sistema de coordenadas particular. Na mecânica quântica, cada variável dinâmica observada (quantidade física) está associada a um operador linear auto-adjunto. Então, obviamente, o conjunto clássico de coordenadas corresponderá a um conjunto de operadores da forma: , cuja ação sobre uma função (vetor) será reduzida a multiplicá-la pelas coordenadas correspondentes, ou seja,

daí resulta que:

1.3.2. Operador de momento:

A expressão clássica para o momento por definição é:

dado que:

teremos, respectivamente:

Como qualquer variável dinâmica na mecânica quântica está associada a um operador linear auto-adjunto:

então, consequentemente, a expressão para o momento, expressa através de suas projeções em três direções não equivalentes no espaço, é transformada na forma:

O valor do operador momento e seus componentes podem ser obtidos resolvendo o problema para os autovalores do operador:

Para fazer isso, usamos a expressão analítica para uma onda plana de de Broglie, que já obtivemos anteriormente:

considerando também que:

temos assim:

Usando a equação de onda plana de Broglie, agora resolvemos o problema para os autovalores do operador momento (seus componentes):

na medida em que:

e a função está em ambos os lados da equação do operador:

então as magnitudes da amplitude da onda diminuirão, portanto:

assim temos:

uma vez que o operador de componente de momento (de forma semelhante a e ) é um operador diferencial, então sua ação na função de onda (vetor) será obviamente reduzida ao cálculo da derivada parcial da função da forma:

Resolvendo o problema para os autovalores do operador, chegamos à expressão:

Assim, no decorrer dos cálculos acima, chegamos a uma expressão da forma:

então respectivamente:

dado que:

após a substituição, obtemos uma expressão da forma:

Da mesma forma, pode-se obter expressões para outros componentes do operador momento , ou seja, temos:

Dada a expressão para o operador momento total:

e seu componente:

temos, respectivamente:

Assim, o operador momento total é um operador vetorial e o resultado de sua ação em uma função (vetor) será uma expressão da forma:

1.3.3. Operador de momento angular (momento angular):

Considere o caso clássico de um corpo absolutamente rígido girando em torno de um eixo fixo OO passando por ele. Vamos quebrar este corpo em pequenos volumes com massas elementares: localizadas a distâncias: do eixo de rotação de OO. Quando um corpo rígido gira em torno do eixo fixo OO, seus volumes elementares separados com massas , obviamente, descreverão círculos de raios diferentes e terão velocidades lineares diferentes: . Da cinemática do movimento rotacional sabe-se que:

Se um ponto material faz um movimento de rotação, descrevendo um círculo com raio , então, após um curto período de tempo, ele girará em um ângulo a partir de sua posição original.

A velocidade linear de um ponto material, neste caso, será igual, respectivamente:

na medida em que:

Obviamente, a velocidade angular dos volumes elementares de um corpo sólido girando em torno de um eixo fixo OO a distâncias dele será igual, respectivamente:

Ao estudar a rotação de um corpo rígido, eles usam o conceito de momento de inércia, que é uma quantidade física igual à soma dos produtos das massas - pontos materiais do sistema e os quadrados de suas distâncias ao eixo considerado de rotação do OO, em relação ao qual o movimento rotacional é realizado:

então encontramos a energia cinética de um corpo em rotação como a soma das energias cinéticas de seus volumes elementares:

na medida em que:

então respectivamente:

Comparação de fórmulas para a energia cinética dos movimentos de translação e rotação:

mostra que o momento de inércia do corpo (sistema), caracteriza a medida de inércia deste corpo. Obviamente, quanto maior o momento de inércia, maior a energia deve ser gasta para atingir uma dada velocidade de rotação do corpo (sistema) considerado em torno do eixo fixo de rotação do RO. Um conceito igualmente importante na mecânica dos sólidos é o vetor momento, portanto, por definição, o trabalho realizado para mover um corpo ao longo de uma distância é igual a:

porque, como já mencionado acima, com movimento rotacional:

então, respectivamente, teremos:

considerando o fato de que:

então a expressão para o trabalho do movimento rotacional, expresso em termos do momento das forças, pode ser reescrita como:

porque em geral:

então, portanto:

Diferenciando as partes direita e esquerda da expressão resultante em relação a , teremos, respectivamente:

dado que:

Nós temos:

O momento da força (momento rotacional) que atua sobre um corpo é igual ao produto de seu momento de inércia e aceleração angular. A equação resultante é uma equação para a dinâmica do movimento rotacional, semelhante à equação da segunda lei de Newton:

aqui, em vez de força, o momento da força, o papel da massa, desempenha o momento de inércia. Com base na analogia acima entre as equações para movimentos de translação e rotação, o análogo do momento (momento) será o momento angular do corpo (momento angular). O momento angular de um ponto material por massa é o produto vetorial da distância do eixo de rotação a este ponto, pelo seu momento (momento); temos então:

Considerando que o vetor é determinado não apenas pelo triplo de componentes:

mas também por uma expansão explícita nos vetores unitários dos eixos coordenados:

teremos, respectivamente:

As componentes do momento angular total podem ser representadas como complementos algébricos do determinante, em que a primeira linha são os vetores unitários (orts), a segunda linha são as coordenadas cartesianas e a terceira linha são as componentes do momento, então, respectivamente, vamos tem uma expressão da forma:

daí resulta que:

Da fórmula do momento angular como produto vetorial, segue-se também uma expressão da forma:

ou para um sistema de partículas:

levando em conta as relações da forma:

obtemos uma expressão para o momento angular do sistema de pontos materiais:

Assim, o momento angular de um corpo rígido em relação a um eixo fixo de rotação é igual ao produto do momento de inércia do corpo pela velocidade angular. O momento angular é um vetor direcionado ao longo do eixo de rotação de tal forma que de sua extremidade pode-se ver a rotação ocorrendo no sentido horário. Diferenciando a expressão resultante em relação ao tempo dá mais uma expressão para a dinâmica do movimento rotacional, equivalente à equação da segunda lei de Newton:

análoga à equação da segunda lei de Newton:

"O produto do momento angular de um corpo rígido em relação ao eixo de rotação OO é igual ao momento da força em relação ao mesmo eixo de rotação." Se estamos lidando com um sistema fechado, então o momento das forças externas é zero, então, portanto:

A equação obtida acima para um sistema fechado é uma expressão analítica da lei de conservação do momento. “O momento angular de um sistema fechado é um valor constante, ou seja, não muda com o tempo." Então, no decorrer dos cálculos acima, chegamos às expressões que precisamos para um raciocínio adicional:

e assim temos, respectivamente:

Como na mecânica quântica qualquer quantidade física (variável dinâmica) está associada a um operador linear auto-adjunto:

então, respectivamente, as expressões:

são convertidos para a forma:

porque por definição:

e também dado que:

Então, respectivamente, para cada uma das componentes do momento angular teremos uma expressão da forma:

baseado em uma expressão como:

1.3.4. O operador quadrado do momento angular:

Na mecânica clássica, o quadrado do momento angular é determinado por uma expressão da forma:

Portanto, o operador correspondente será semelhante a:

de onde se segue, respectivamente, que:

1.3.5. Operador de energia cinética:

A expressão clássica para a energia cinética é:

dado que a expressão para a quantidade de movimento é:

temos, respectivamente:

expressando o momento em termos de seus componentes:

teremos, respectivamente:

Como cada variável dinâmica (quantidade física) na mecânica quântica corresponde a um operador linear auto-adjunto, ou seja,

então, portanto:

considerando expressões como:

e assim, chegamos a uma expressão para o operador de energia cinética da forma:

1.3.6. Operador de energia potencial:

O operador de energia potencial para descrever a interação de Coulomb de partículas com cargas e tem a forma:

Coincide com uma expressão semelhante para a variável dinâmica correspondente (quantidade física) - energia potencial.

1.3.7. O operador de energia total do sistema:

A expressão clássica para o Hamiltoniano, conhecida da mecânica analítica de Hamilton, é:

com base na correspondência entre operadores mecânicos quânticos e variáveis ​​dinâmicas:

chegamos à expressão para o operador da energia total do sistema, o operador de Hamilton:

levando em conta as expressões para os operadores de energia potencial e cinética:

chegamos a uma expressão da forma:

Operadores de quantidades físicas (variáveis ​​dinâmicas) - coordenadas, momento, momento angular, energia são operadores lineares auto-adjuntos (hermitianos), portanto, com base no teorema correspondente, seus autovalores são números reais (reais). É essa circunstância que serviu de base para o uso de operadores em mecânica quântica, pois como resultado de um experimento físico obtemos quantidades precisamente reais. Nesse caso, as autofunções do operador correspondentes a diferentes autovalores são ortogonais. Se tivermos dois operadores diferentes, suas próprias funções serão diferentes. No entanto, se os operadores comutarem entre si, as autofunções de um operador também serão as autofunções de outro operador, ou seja, os sistemas de autofunções dos operadores que se deslocam entre si irão coincidir.

Usando uma conhecida abordagem mecânica quântica na qual as unidades de informação são os blocos básicos de construção, Lloyd passou vários anos estudando a evolução das partículas em termos de embaralhamento de uns (1) e zeros (0). Ele descobriu que, à medida que as partículas se tornam cada vez mais emaranhadas umas com as outras, a informação que as descrevia (1 para o giro no sentido horário e 0 para o anti-horário, por exemplo) será transferida para a descrição do sistema de partículas emaranhadas como um todo. Como se as partículas perdessem gradualmente sua autonomia individual e se tornassem peões de um estado coletivo. Nesse ponto, como Lloyd descobriu, as partículas entram em um estado de equilíbrio, seus estados param de mudar, como uma xícara de café esfria até a temperatura ambiente.

"O que realmente está acontecendo? As coisas ficam mais interconectadas. A flecha do tempo é a flecha das correlações crescentes.”

A ideia apresentada na tese de doutorado de 1988 não foi ouvida. Quando o cientista o enviou para a revista, foi-lhe dito que "não há física neste trabalho". A teoria da informação quântica "era profundamente impopular" na época, diz Lloyd, e as questões sobre a flecha do tempo "foram deixadas para loucos e ganhadores do Nobel aposentados".

"Eu estava muito perto de ser um motorista de táxi", disse Lloyd.

Desde então, os avanços na computação quântica transformaram a teoria da informação quântica em uma das áreas mais ativas da física. Hoje, Lloyd continua sendo professor do MIT, reconhecido como um dos fundadores da disciplina, e suas ideias esquecidas ressurgem de forma mais confiante nas mentes dos físicos de Bristol. A nova evidência é mais geral, dizem os cientistas, e se aplica a qualquer sistema quântico.

“Quando Lloyd teve a ideia em sua dissertação, o mundo não estava pronto”, diz Renato Renner, chefe do Instituto de Física Teórica da ETH Zurique. - Ninguém o entendeu. Às vezes você precisa que as ideias venham na hora certa.”

Em 2009, uma prova de um grupo de físicos de Bristol ressoou com os teóricos da informação quântica, abrindo novas maneiras de aplicar seus métodos. Ele mostrou que, à medida que os objetos interagem com seu ambiente – como partículas em uma xícara de café interagem com o ar, por exemplo – informações sobre suas propriedades “vazam e mancham com o ambiente”, explica Popescu. Essa perda local de informações faz com que o estado do café fique estagnado, mesmo que o estado puro de toda a sala continue a evoluir. Com exceção de raras flutuações aleatórias, diz o cientista, "seu estado deixa de mudar com o tempo".

Acontece que uma xícara de café fria não pode aquecer espontaneamente. Em princípio, à medida que o estado limpo da sala evolui, o café pode repentinamente "se desmisturar" com o ar e entrar no estado limpo. Mas há muito mais estados mistos disponíveis do que café puro que isso quase nunca acontecerá - o universo terminará mais cedo do que podemos testemunhar. Essa improbabilidade estatística torna a flecha do tempo irreversível.

“Essencialmente, o emaranhamento abre um enorme espaço para você”, comenta Popescu. - Imagine que você está em um parque com um portão à sua frente. Assim que você entrar neles, você cairá em um espaço enorme e se perderá nele. Você nunca vai voltar para o portão também.

Na nova história da flecha do tempo, a informação se perde no processo de emaranhamento quântico, não por falta subjetiva de conhecimento humano, que leva ao equilíbrio de uma xícara de café e um quarto. A sala eventualmente se equilibra com o ambiente externo, e o ambiente – ainda mais lentamente – se equilibra com o resto do universo. Os gigantes termodinâmicos do século 19 viram esse processo como uma dissipação gradual de energia que aumenta a entropia geral, ou caos, do universo. Hoje, Lloyd, Popescu e outros no campo veem a flecha do tempo de forma diferente. Na opinião deles, a informação se torna cada vez mais difusa, mas nunca desaparece completamente. Embora a entropia cresça localmente, a entropia total do universo permanece constante e zero.

“No geral, o universo está em estado puro”, diz Lloyd. “Mas suas partes individuais, estando emaranhadas com o resto do universo, permanecem misturadas.”

Um aspecto da flecha do tempo permanece sem solução.

“Não há nada nessas obras que explique por que você começa com um portão”, diz Popescu, voltando à analogia do parque. "Em outras palavras, eles não explicam por que o estado original do universo estava longe do equilíbrio." O cientista sugere que esta questão se aplica.

Apesar do progresso recente no cálculo dos tempos de equilíbrio, a nova abordagem ainda não pode ser usada como ferramenta para calcular as propriedades termodinâmicas de coisas específicas como café, vidro ou estados exóticos da matéria.

“A questão é encontrar critérios sob os quais as coisas se comportam como vidro de janela ou uma xícara de chá”, diz Renner. “Acho que verei novos trabalhos nessa direção, mas ainda há muito trabalho pela frente.”

Alguns pesquisadores expressaram dúvidas de que essa abordagem abstrata da termodinâmica seja capaz de explicar com precisão como determinados objetos observáveis ​​se comportam. Mas os avanços conceituais e o novo formalismo matemático já estão ajudando os pesquisadores a fazer perguntas teóricas do campo da termodinâmica, como os limites fundamentais dos computadores quânticos e até mesmo o destino final do universo.

“Estamos pensando cada vez mais no que pode ser feito com máquinas quânticas”, diz Paul Skrzypczyk, do Instituto de Ciências de Fótons de Barcelona. - Suponha que o sistema ainda não esteja em equilíbrio e queremos fazê-lo funcionar. Quanto trabalho útil podemos extrair? Como posso intervir para fazer algo interessante?"

Sean Carroll, cosmólogo teórico do Instituto de Tecnologia da Califórnia, aplica o novo formalismo em seu último trabalho sobre a flecha do tempo na cosmologia. “Estou mais interessado no que não é o destino de longo prazo do espaço-tempo cosmológico. Nesta situação, ainda não conhecemos todas as leis necessárias da física, então faz sentido voltar ao nível abstrato, e aqui, acho, essa abordagem da mecânica quântica me ajudará.”

Vinte e seis anos após o grande fracasso da ideia de Lloyd da flecha do tempo, ele está feliz em testemunhar sua ascensão e está tentando aplicar as ideias do último trabalho ao paradoxo da informação cair em um buraco negro.

“Acho que agora eles ainda vão falar sobre o fato de que há física nessa ideia.”

E filosofia - e ainda mais.

Segundo os cientistas, nossa capacidade de lembrar o passado, mas não o futuro, outra manifestação da flecha do tempo, também pode ser vista como um aumento nas correlações entre partículas em interação. Quando você lê algo de um pedaço de papel, o cérebro se correlaciona com a informação por meio de fótons que chegam aos olhos. Só a partir de agora você será capaz de lembrar o que está escrito no papel. Como observa Lloyd:

"O presente pode ser definido como o processo de associação (ou estabelecimento de correlações) com o nosso ambiente."

O pano de fundo para o crescimento constante de emaranhados em todo o universo é, obviamente, o próprio tempo. Os físicos enfatizam que, apesar dos grandes avanços na compreensão de como as mudanças de tempo ocorrem, eles não estão nem um pouco mais perto de entender a natureza do tempo em si ou por que ele difere das outras três dimensões do espaço. Popescu chama esse quebra-cabeça de "um dos maiores mal-entendidos da física".

“Podemos discutir o fato de que há uma hora nosso cérebro estava em um estado que se correlacionava com menos coisas”, diz ele. “Mas nossa percepção de que o tempo está passando é outra questão. Muito provavelmente, precisaremos de uma revolução na física que revele esse segredo para nós.”

A.Yu. Sevalnikov
Quântico e tempo no paradigma físico moderno

O ano 2000 marcou o 100º aniversário do nascimento da mecânica quântica. A transição através da virada de séculos e séculos é uma ocasião para falar sobre o tempo e, neste caso, apenas em conexão com o aniversário do quantum.

Ligar o conceito de tempo às ideias da mecânica quântica pode parecer artificial e absurdo, se não por uma circunstância. Ainda não entendemos o significado dessa teoria. "É seguro dizer que ninguém entende o significado da mecânica quântica", disse Richard Feynman. Diante de microfenômenos, nos deparamos com um mistério que há um século tentamos desvendar. Como não lembrar das palavras do grande Heráclito, que "a natureza gosta de esconder".

A mecânica quântica está cheia de paradoxos. Eles refletem a própria essência dessa teoria? Temos um aparato matemático perfeito, uma bela teoria matemática, cujas conclusões são invariavelmente confirmadas pela experiência e, ao mesmo tempo, não há ideias “claras e distintas” sobre a essência dos fenômenos quânticos. A teoria aqui é antes um símbolo por trás do qual outra realidade se esconde, manifestada em paradoxos quânticos irremovíveis. “O oráculo não se abre nem se esconde, ele dá a entender”, como disse o mesmo Heráclito. Então, o que a mecânica quântica sugere?

M. Planck e A. Einstein estiveram nas origens de sua criação. O foco estava no problema da emissão e absorção da luz, ou seja, o problema do devir em sentido filosófico amplo e, consequentemente, do movimento. Este problema como tal ainda não se tornou o foco de atenção. Durante as discussões em torno da mecânica quântica, foram considerados os problemas de probabilidade e causalidade, dualidade onda-partícula, problemas de medição, não-localidade, participação da consciência e vários outros intimamente relacionados diretamente à filosofia da física. No entanto, ousamos afirmar que é o problema da formação, o problema filosófico mais antigo, que é o principal problema da mecânica quântica.

Este problema sempre esteve intimamente relacionado com a teoria quântica, desde o problema da emissão e absorção da luz nos trabalhos de Planck e Einstein até os mais recentes experimentos e interpretações da mecânica quântica, mas sempre de forma implícita, implícita, como uma espécie de subtexto oculto. De fato, quase todas as suas questões discutíveis estão intimamente relacionadas ao problema do devir.

Assim, o chamado está sendo ativamente discutido. "problema de medição", que desempenha um papel fundamental na interpretação da mecânica quântica. A medição muda drasticamente o estado do sistema quântico, a forma da função de onda Ψ(r,t). Por exemplo, se, ao medir a posição de uma partícula, obtivermos um valor mais ou menos preciso de sua coordenada, então o pacote de ondas, que era a função Ψ antes da medição, é “reduzido” a um pacote de ondas menos estendido, que pode até ser pontual, se a medição for feita com muita precisão. Esta é a razão da introdução por W. Heisenberg do conceito de “redução de um pacote de probabilidades”, que caracteriza uma mudança tão acentuada na função de onda Ψ(r,t).

A redução sempre leva a um novo estado, que não pode ser previsto com antecedência, pois antes da medição só podemos prever as probabilidades de várias opções possíveis.

Uma situação bem diferente nos clássicos. Aqui, se a medição for realizada com precisão suficiente, isso é apenas uma declaração do “estado existente”. Obtemos o valor real da quantidade, que existe objetivamente no momento da medição.

A diferença entre a mecânica clássica e a mecânica quântica é a diferença entre seus objetos. Nos clássicos, este é um estado existente, no caso quântico, é um objeto que surge, se torna, um objeto que muda fundamentalmente seu estado. Além disso, o uso do conceito de "objeto" não é inteiramente legítimo, temos sim a atualização do ser potencial, e esse ato em si não é fundamentalmente descrito pelo aparato da mecânica quântica. A redução da função de onda é sempre uma descontinuidade, um salto no estado.

Heisenberg foi um dos primeiros a argumentar que a mecânica quântica nos traz de volta à noção aristotélica de estar em possibilidade. Tal ponto de vista na teoria quântica nos traz de volta ao quadro ontológico de dois modos, onde há um modo de ser na possibilidade e um modo de ser do real, ou seja, um modo de ser do real. o mundo do realizado.

Heisenberg não desenvolveu essas ideias de forma consistente. Isso foi realizado um pouco mais tarde por V.A. Fok. Os conceitos de "possibilidade potencial" e "realizado" introduzidos por ele estão muito próximos dos conceitos aristotélicos de "estar em possibilidade" e "estar em estágio de conclusão".

Segundo Fock, o estado do sistema descrito pela função de onda é objetivo no sentido de que representa uma característica objetiva (independente do observador) das possibilidades potenciais de um ou outro ato de interação entre um microobjeto e um dispositivo. Tal “estado objetivo ainda não é real, no sentido de que, para um objeto em um determinado estado, as possibilidades potenciais indicadas ainda não foram realizadas, a transição das possibilidades potenciais para a realizada ocorre no estágio final do experimento”. A distribuição estatística de probabilidades que surge durante a medição e reflete as oportunidades potenciais existentes objetivamente sob determinadas condições. Atualização, "implementação" segundo Fock nada mais é do que "tornar-se", "mudança" ou "movimento" em um sentido filosófico amplo. A atualização do potencial introduz a irreversibilidade, que está intimamente relacionada à existência da “seta do tempo”.

É interessante que Aristóteles relaciona diretamente o tempo com o movimento (ver, por exemplo, sua "Física" - "o tempo não existe sem mudança", 222b 30ff, livro IV especialmente, bem como tratados - "Sobre o céu", "Sobre o o surgimento e a destruição"). Sem considerar detalhadamente a compreensão aristotélica do tempo, notamos que para ele é, antes de tudo, uma medida do movimento, e falando de forma mais ampla, uma medida da formação do ser.

Nessa compreensão, o tempo adquire um status especial e distinto, e se a mecânica quântica realmente aponta para a existência de um ser potencial e sua atualização, então esse caráter especial do tempo deve ser explícito nela.

É precisamente esse status especial do tempo na mecânica quântica que é bem conhecido e tem sido repetidamente observado por vários autores. Por exemplo, de Broglie, em seu livro Heisenberg's Uncertainty Relations and the Wave Interpretation of Quantum Mechanics, escreve que QM "não estabelece uma verdadeira simetria entre as variáveis ​​de espaço e tempo. As coordenadas x, y, z da partícula são consideradas observáveis ​​correspondendo a certos operadores e tendo em qualquer estado (descrito pela função de onda Ψ) alguma distribuição de probabilidade de valores, enquanto o tempo t ainda é considerado uma quantidade completamente determinística.

Isso pode ser especificado da seguinte forma. Imagine um observador galileu fazendo medições. Ele usa as coordenadas x, y, z, t, observando eventos em seu referencial macroscópico. As variáveis ​​x, y, z, t são parâmetros numéricos, e são esses números que entram na equação de onda e na função de onda. Mas cada partícula da física atômica corresponde a "quantidades observáveis", que são as coordenadas da partícula. A relação entre as quantidades observadas x, y, z e as coordenadas espaciais x, y, z de um observador galileu é de natureza estatística; cada um dos valores observados x, y, z no caso geral pode corresponder a todo um conjunto de valores com uma certa distribuição de probabilidade. Quanto ao tempo, na mecânica ondulatória moderna não existe uma quantidade observável t associada a uma partícula. Existe apenas a variável t, uma das variáveis ​​espaço-temporais do observador, determinada pelo relógio (essencialmente macroscópico) que este observador possui.

Erwin Schrödinger afirma o mesmo. “No CM, o tempo é alocado em comparação com as coordenadas. Ao contrário de todas as outras grandezas físicas, ela não corresponde a um operador, nem a uma estatística, mas apenas a um valor que é lido com precisão, como na boa e velha mecânica clássica, pelo relógio confiável usual. A natureza distinta do tempo faz da mecânica quântica em sua interpretação moderna do começo ao fim uma teoria não relativista. Esta característica do QM não é eliminada quando uma "igualdade" puramente externa de tempo e coordenadas é estabelecida, ou seja, invariância formal sob transformações de Lorentz, com a ajuda de mudanças apropriadas no aparato matemático.

Todas as declarações CM têm a seguinte forma: se agora, no tempo t, uma certa medição é feita, então com probabilidade p seu resultado será igual a a. A mecânica quântica descreve todas as estatísticas como funções de um parâmetro de tempo exato... Eu sempre posso escolher o momento da medição a meu critério.

Existem outros argumentos que mostram a natureza distinta do tempo, eles são conhecidos e não vou me alongar sobre isso aqui. Há também tentativas de superar tal distinção, até o ponto em que Dirac, Fock e Podolsky propuseram garantir a covariância das equações das chamadas. teoria do "multitempo", quando cada partícula recebe não apenas sua própria coordenada, mas também seu próprio tempo.

No livro mencionado acima, de Broglie mostra que tal teoria não pode escapar ao status especial do tempo, e é bastante característico que ele termine o livro com a seguinte frase: “Assim, parece-me impossível eliminar o papel especial que tal variável desempenha na teoria quântica do tempo”.

Com base em tal raciocínio, pode-se afirmar com segurança que a mecânica quântica nos faz falar sobre a alocação do tempo, sobre seu status especial.

Há mais um aspecto da mecânica quântica, que ainda não foi considerado por ninguém.

Na minha opinião, é legítimo falar de dois "tempos". Um deles é o nosso tempo habitual - finito, unidirecional, está intimamente ligado à atualização e pertence ao mundo do realizado. O outro é o que existe pelo modo de ser em possibilidade. É difícil caracterizá-lo em nossos termos usuais, pois nesse nível não há conceitos de "mais tarde" ou "antes". O princípio da superposição apenas mostra que em potência todas as possibilidades existem simultaneamente. Nesse nível do ser, é impossível introduzir os conceitos espaciais de “aqui”, “lá”, pois eles só aparecem após o “desdobramento” do mundo, em cujo processo o tempo desempenha um papel fundamental.

É fácil ilustrar tal afirmação com o famoso experimento mental da dupla fenda, que, segundo Richard Feynman, contém todo o mistério da mecânica quântica.

Vamos direcionar um feixe de luz para uma placa com duas fendas estreitas. Através deles, a luz entra na tela colocada atrás da placa. Se a luz consistisse em partículas "clássicas" comuns, teríamos duas faixas de luz na tela. Em vez disso, como se sabe, observa-se uma série de linhas - um padrão de interferência. A interferência é explicada pelo fato de que a luz se propaga não apenas como um fluxo de partículas de fótons, mas na forma de ondas.

Se tentarmos traçar o caminho dos fótons e colocar detectores perto das fendas, os fótons começarão a passar por apenas uma fenda e o padrão de interferência desaparecerá. “Parece que os fótons se comportam como ondas, desde que sejam “permitidos” se comportarem como ondas, ou seja, espalham-se pelo espaço sem ocupar qualquer posição particular. No entanto, no momento em que alguém "pergunta" exatamente onde estão os fótons - seja identificando a fenda pela qual passaram, ou fazendo-os atingir a tela através de apenas uma fenda - eles instantaneamente se tornam partículas...

Em experimentos com uma placa de dupla fenda, a escolha do instrumento de medição do físico força o fóton a "escolher" entre passar pelas duas fendas simultaneamente, como uma onda, ou passar apenas por uma fenda, como uma partícula. No entanto, o que aconteceria, perguntou Wheeler, se o experimentador pudesse de alguma forma esperar até que a luz passasse pelas fendas antes de escolher o modo de observação?

Tal experimento com uma "escolha atrasada" pode ser demonstrado mais claramente na radiação de quasares. Em vez de uma placa com duas fendas, “em tal experimento, uma lente gravitacional deve ser usada - uma galáxia ou outro objeto massivo que pode dividir a radiação do quasar e depois focá-la na direção de um observador distante, criando duas ou mais imagens do quasar...

A escolha do astrônomo de como observar fótons de um quasar hoje é determinada se cada fóton percorreu os dois caminhos ou apenas um caminho próximo à lente gravitacional bilhões de anos atrás. No momento em que os fótons atingiram o "divisor galáctico de feixes", eles deveriam ter tido algum tipo de premonição, dizendo-lhes como se comportar para responder à escolha que será feita por seres não nascidos em um planeta que ainda não existe .

Como Wheeler corretamente aponta, tais especulações surgem da suposição errônea de que os fótons têm alguma forma antes que a medição seja feita. De fato, “os fenômenos quânticos em si não têm caráter corpuscular nem ondulatório; sua natureza não é determinada até o momento em que são medidos.

Experimentos realizados na década de 1990 confirmam tais conclusões "estranhas" da teoria quântica. Um objeto quântico realmente "não existe" até o momento da medição, quando recebe existência real.

Um dos aspectos de tais experimentos até agora praticamente não foi discutido pelos pesquisadores, a saber, o aspecto do tempo. Afinal, os objetos quânticos adquirem sua existência não apenas no sentido de sua localização espacial, mas também começam a "ser" no tempo. Admitida a existência do ser potencial, é necessário tirar uma conclusão sobre uma natureza qualitativamente diferente da existência neste nível de ser, incluindo o temporal.

Como segue do princípio da superposição, diferentes estados quânticos existem "simultaneamente", ou seja, um objeto quântico inicialmente, antes da atualização de seu estado, existe imediatamente em todos os estados admissíveis. Quando a função de onda é reduzida do estado "superposto", apenas um deles permanece. Nosso tempo habitual está intimamente ligado a tais "eventos", com o processo de atualização do potencial. A essência da “flecha do tempo” nesse sentido reside no fato de os objetos virem a existir, “in-existir”, e é com esse processo que a unidirecionalidade do tempo e sua irreversibilidade estão conectadas. Mecânica quântica, a equação de Schrödinger descreve a linha entre o nível de ser possível e ser real, mais precisamente, dá dinâmica, a probabilidade de o potencial ser realizado. O potencial em si não nos é dado, a mecânica quântica apenas aponta para ele. Nosso conhecimento ainda é fundamentalmente incompleto. Temos um aparato que descreve o mundo clássico, isto é, o mundo real, manifesto - este é o aparato da física clássica, incluindo a teoria da relatividade. E temos o formalismo matemático da mecânica quântica que descreve o devir. O próprio formalismo é “adivinhado” (aqui vale lembrar como a equação de Schrödinger foi descoberta), não é deduzido de lugar nenhum, o que levanta a questão de uma teoria mais completa. Em nossa opinião, a mecânica quântica apenas nos leva à beira de ser manifesto, torna possível revelar o segredo do ser e do tempo, sem revelar e não ter essa oportunidade de revelá-lo completamente. Podemos apenas tirar uma conclusão sobre a estrutura mais complexa do tempo, sobre seu status especial.

Um apelo à tradição filosófica também ajudará a fundamentar esse ponto de vista. Como você sabe, até mesmo Platão faz uma distinção entre dois tempos - o próprio tempo e a eternidade. O tempo e a eternidade são incomensuráveis ​​para ele, o tempo é apenas uma semelhança móvel da eternidade. Quando o demiurgo criou o Universo, como conta o Timeu, o demiurgo “planejou criar algum tipo de semelhança móvel da eternidade; arranjando o céu, ele junto com ele cria para a eternidade, que está em um, a imagem eterna, movendo-se de número em número, que chamamos de tempo.

O conceito de Platão é a primeira tentativa de superação, de sintetizar duas abordagens do tempo e do mundo. Uma delas é a linha parmenidiana, o espírito da escola eleática, onde qualquer movimento, mudança era negado, onde apenas o ser eterno era reconhecido como verdadeiramente existente, a outra está associada à filosofia de Heráclito, que defendia que o mundo é um processo contínuo, uma espécie de fluxo ardente ou incessante.

Outra tentativa de superar essa dualidade foi a filosofia de Aristóteles. Ao introduzir o conceito de ser potencial, ele conseguiu pela primeira vez descrever o movimento, cuja doutrina ele expõe em estreita conexão com a doutrina da natureza.

Com base no esquema dualista platônico “ser-não-ser”, revela-se impossível descrever o movimento, sendo necessário “encontrar o terceiro “subjacente”, que seria um intermediário entre os opostos”.

A introdução por Aristóteles do conceito de dynamis - "ser em possibilidade" é causada por sua rejeição do método platônico, que procedeu dos opostos "existir-portando". Como resultado dessa abordagem, escreve Aristóteles, Platão cortou seu caminho para a compreensão da mudança, que é a principal característica dos fenômenos naturais. “... Se tomarmos aqueles que atribuem ser-não-ser juntos às coisas, resulta de suas palavras que todas as coisas estão em repouso, e não em movimento: de fato, não há nada em que se transformar, porque todas as propriedades estão presentes<уже>todas as coisas." [Metafísica, IV,5].

“Assim, a oposição de ser-não-ser, diz Aristóteles, deve ser mediada por algo terceiro: em Aristóteles, o conceito de “ser em possibilidade” atua como tal intermediário entre eles. Aristóteles introduz o conceito de possibilidade de tal forma que seria possível explicar a mudança, a emergência e a morte de tudo o que é natural e assim evitar a situação que se desenvolveu no sistema de pensamento platônico: a emergência do inexistente é uma ocorrência acidental. De fato, tudo no mundo das coisas transitórias é incognoscível para Platão, porque é aleatório. Tal censura ao grande dialético da antiguidade pode parecer estranha: afinal, como você sabe, é a dialética que considera os objetos do ponto de vista da mudança e do desenvolvimento, o que não se pode dizer do método lógico-formal, criador da que é justamente considerado Aristóteles.

No entanto, esta censura de Aristóteles é plenamente justificada. De fato, de maneira paradoxal, a mudança que ocorre com as coisas sensíveis não cai no campo de visão de Platão. Sua dialética considera o sujeito em sua mudança, mas este, como bem observa P.P. Gaidenko, é um assunto especial - lógico. Em Aristóteles, o sujeito da mudança passou da esfera lógica para o reino do ser, e as próprias formas lógicas deixaram de ser o sujeito da mudança. O que está em Estagirita tem um caráter duplo: o que é na realidade e o que é possível, e como tem “um caráter duplo, então tudo muda do que existe na possibilidade para o que existe na realidade... não só - de forma incidental - de inexistente, mas também<можно сказать, что>tudo surge do que existe, precisamente do que existe na possibilidade, mas não existe na realidade” (Metafísica, XII, 2). O conceito de dynamis tem vários significados diferentes, que Aristóteles revela no Livro V da Metafísica. Dois significados principais receberam posteriormente uma distinção terminológica em latim - potentia e possibilitas, que são frequentemente traduzidos como “habilidade” e “possibilidade” (cf. alemão habilidade - Vermögen, e oportunidade - Möglichkeit). “O nome de possibilidade (dynamis) designa antes de tudo o início do movimento ou mudança, que está em outro ou na medida em que é outro, como, por exemplo, a arte de construir é uma capacidade que não está no que está sendo construído. ; e a arte médica, sendo uma certa habilidade, pode estar naquele que está sendo tratado, mas não enquanto ele está sendo tratado” (Metafísica, V, 12).

O tempo para Aristóteles está intimamente relacionado ao movimento (no sentido mais amplo). "É impossível que o tempo exista sem movimento." Segundo Aristóteles, isso é óbvio, pois "se há tempo, é óbvio que também deve haver movimento, pois o tempo é uma certa propriedade do movimento". Isso significa que não há movimento em si, mas apenas um ser em mudança, em devir, e “o tempo é uma medida do movimento e o ser [de um corpo] em estado de movimento”. A partir daqui fica claro que o tempo com isso se torna a medida do ser, porque "e para tudo o mais, estar no tempo significa medir seu ser pelo tempo".

Há uma diferença significativa entre as abordagens de Platão e Aristóteles na compreensão do tempo. Em Platão, tempo e eternidade são incomensuráveis, são qualitativamente diferentes. Para ele, o tempo é apenas uma semelhança móvel da eternidade (Timeu, 38a), pois tudo o que surgiu não participa da eternidade, tendo um começo e, portanto, um fim, ou seja. foi e será, enquanto a eternidade só é.

Aristóteles nega a existência eterna das coisas e, embora introduza o conceito de eternidade, este conceito é para ele uma duração infinita, a existência eterna do mundo. Sua análise lógica, por mais engenhosa que seja, é incapaz de apreender a existência de outra qualitativamente diferente. A abordagem platônica, embora não descreva o movimento no mundo sensível, acaba sendo mais perspicaz em relação ao tempo. No futuro, os conceitos de tempo foram desenvolvidos no âmbito da escola neoplatônica e da metafísica cristã. Não podendo entrar em uma análise desses ensinamentos, notamos apenas o comum que os une. Todos eles falam da existência de dois tempos - o tempo comum associado ao nosso mundo e a eternidade, um eon (αιων), associado ao ser supra-sensível.

Voltando à análise da mecânica quântica, notamos que a função de onda é definida no espaço de configuração do sistema, e a própria função Ψ é um vetor de um espaço de Hilbert de dimensão infinita. Se a função de onda não é apenas uma construção matemática abstrata, mas tem algum referente no ser, então é necessário tirar uma conclusão sobre sua “alteridade”, não pertencendo ao espaço-tempo quadridimensional real. A mesma tese demonstra tanto a conhecida "inobservabilidade" da função de onda quanto sua realidade bastante tangível, por exemplo, no efeito Aharonov-Bohm.

Simultaneamente à conclusão aristotélica de que o tempo é uma medida do ser, pode-se concluir que a mecânica quântica permite ao menos levantar a questão da pluralidade do tempo. Aqui, a ciência moderna, na expressão figurativa de V.P. Vizgin, “entra em uma frutífera “chamada ideológica” com a herança antiga”. De fato, já “a teoria da relatividade de Einstein está mais próxima das ideias dos antigos sobre espaço e tempo como propriedades do ser, inseparáveis ​​da ordem das coisas e da ordem de seus movimentos, do que das ideias de Newton sobre espaço e tempo absolutos, concebidos como completamente indiferente às coisas e seus movimentos, se não depender deles."

O tempo está intimamente relacionado com o "evento". “Num mundo onde há uma “realidade”, onde não existe “oportunidade”, também não há tempo, o tempo é uma criação e um desaparecimento dificilmente previsíveis, uma reformulação do “pacote de oportunidades” desta ou daquela existência .” Mas o próprio "pacote de oportunidades" existe, como queríamos mostrar, nas condições de um tempo diferente. Esta afirmação é uma espécie de "hipótese metafísica", no entanto, se levarmos em conta que a mecânica quântica se tornou recentemente "metafísica experimental", podemos levantar a questão da detecção experimental de tais estruturas "extratemporais" associadas à função de onda de o sistema. A presença de tais estruturas extratemporais já é indiretamente indicada pelos experimentos de “escolha atrasada” e o experimento mental de Wheeler com a “lente galáctica”, que demonstra o possível “atraso” do experimento no tempo. Até que ponto tal hipótese é verdadeira, o próprio tempo mostrará.

Notas

Fok V.A. Sobre a interpretação da mecânica quântica. M., 1957. S. 12.

L. de Broglie. Relações de incerteza de Heisenberg e interpretação ondulatória da mecânica quântica. M., 1986. S. 141-142.

Schroedinger E. Teoria Especial da Relatividade e Mecânica Quântica // Coleção de Einstein. 1982-1983. M., 1983. S. 265.

L. de Broglie. Decreto. trabalhar. S. 324.

Horgan J. Filosofia quântica // No mundo da ciência. 1992. Nº 9-10. S. 73.

Horgan J. Lá. S. 73.

Lá. S. 74.

Platão. Timeu, 38a.

Lá. 37 p.

Gaidenko P.P. A evolução do conceito de ciência. M., 1980. S. 280.

Lá. S. 282.

Aristóteles. Sobre Criação e Destruição, 337 a 23f.

Aristóteles. Física, 251b 27ff.

Ibid, 221a.

Ibid., 221a 9f.

Para uma descrição do conceito neoplatônico, veja, por exemplo: Losev A.F. Sendo. Nome. Espaço. M., 1993. S. 414-436; sobre a compreensão do tempo na teologia cristã: Lossky V.N. Ensaio sobre a teologia mística da Igreja Oriental. M., 1991. Cap. v.

Vizgin V.P. Estudo do tempo // Philos. pesquisar M., 1999. Nº 3. S. 149.

Lá. S. 149.

Lá. S. 157.

Horgan, John. Quanten-Philosophie // Quantenphilosophie. Heidelberg, 1996. S. 130-139.

A óbvia inaplicabilidade da física clássica, mecânica e eletrodinâmica, para descrever micro-objetos, átomos, moléculas, elétrons e radiação. O problema da radiação térmica de equilíbrio. O problema da estabilidade da substância. Discrição no microcosmo. Linhas espectrais. Experimentos de Frank e Hertz.

Discrição na física clássica. Analogia com problemas de autovalor. Vibrações de cordas, equação de onda, condições de contorno. Necessidade de descrição ondulatória de micropartículas. Indicações experimentais sobre as propriedades ondulatórias de micro-objetos. Difração de elétrons. Experimentos de Davisson e Germer.

Óptica ondulatória e geométrica. Descrição de campos de ondas no limite de pequenos comprimentos de onda como fluxos de partículas. A ideia de De Broglie de construir a mecânica quântica ou ondulatória.

Elementos de mecânica clássica: princípio da mínima ação, função de Lagrange, ação em função das coordenadas, notação do princípio da mínima ação em função da função de Hamilton. A equação Hamilton-Jacobi. Ação encurtada. A ação de uma partícula em movimento livre

Equação de onda na física clássica. ondas monocromáticas. equação de Helmholtz.

Reconstrução da equação de onda para uma partícula livre a partir da relação de dispersão. Equação de Schrödinger para uma partícula livre não relativística.

2. Grandezas físicas em mecânica clássica e quântica.

A necessidade de introduzir grandezas físicas como operadores, a exemplo dos operadores de momento e de Hamilton. Interpretação da função de onda. Amplitude de probabilidade. O princípio da superposição. Adição de amplitudes.

Experiência de pensamento com duas fendas. amplitude de transição. Amplitude de transição como função de Green da equação de Schrödinger. Interferência de amplitude. Analogia com o princípio Huygens-Fresnel. Composição de amplitudes.

Distribuição de probabilidade para coordenadas e quantidade de movimento. Vamos para k- atuação. Transformada de Fourier como uma expansão em termos de autofunções do operador momento. Interpretação de autovalores de operadores como quantidades físicas observáveis.

Função delta como o núcleo do operador de identidade. Várias visualizações

funções delta. Cálculo de integrais gaussianas. Um pouco de matemática. Memórias da física matemática e um novo olhar.

3. Teoria geral dos operadores de grandezas físicas.

Problemas para valores próprios. Números quânticos. O que significa "uma quantidade física tem um certo valor"? Espectros discretos e contínuos.

Definição Hermitiana. Validade da média e autovalores. Ortogonalidade e normalização. Funções de onda como vetores. Produto escalar de funções.

Decomposição de funções em função das próprias funções do operador. Funções básicas e expansões. Cálculo de coeficientes. Operadores como matrizes. Índices contínuos e discretos. Representações de operadores de multiplicação e diferenciação como matrizes.

notação de Dirac. Vetores abstratos e operadores abstratos. Representações e transição para diferentes bases.

4. Medição em mecânica quântica.

Instrumento de medição macroscópico e clássico. Medição - "decomposição" em função das próprias funções do instrumento.

5. Equação de Schrödinger para uma partícula livre não relativística.

Solução pelo método de Fourier. pacote de ondas. O princípio da incerteza. Não comutatividade de operadores de momento e coordenadas. De quais variáveis ​​a função de onda depende? O conceito de um conjunto completo. Sem trajetória.

Comutabilidade de operadores e existência de autofunções comuns.

Necessidade e suficiência. Mais uma vez sobre a transição para diferentes bases.

Transformações de operadores e vetores de estado. Operadores unitários são operadores que preservam a ortonormalidade.

Equação de Schrödinger não estacionária. operador de evolução. A função do verde. Funções dos operadores. Construção de um operador de evolução por expansão em autofunções de uma equação estacionária. Operador da derivada de uma grandeza física em relação ao tempo.

6. representação de Heisenberg.

equações de Heisenberg. Equação de Schrödinger para sistemas acoplados e assintoticamente livres.

7. Estados emaranhados e independentes.

A condição para a existência da função de onda do subsistema. Estados puros e mistos de um subsistema. Descrição de estados mistos usando a matriz densidade. A regra para calcular médias. A evolução da matriz densidade. A equação de von Neumann.

8. Movimento unidimensional.

Equação de Schrödinger unidimensional. Teoremas gerais. Espectros contínuos e discretos. Resolvendo problemas com constante por partes potenciais. Condições de fronteira em saltos potenciais. Pesquisa de níveis discretos e autofunções em potenciais retangulares. Teorema da oscilação. princípio variacional. Um exemplo de um buraco raso. Existência de um estado ligado em um poço de qualquer profundidade nas dimensões 1 e 2. Problema de espalhamento unidimensional. Até potenciais. O operador de paridade. A lei da conservação da paridade é fundamentalmente um ZS quântico que não tem análogo nos clássicos.

9. Potenciais exatamente solúveis.

Força constante. Oscilador harmônico. potencial Morse. Potencial de Epstein. potenciais reflexivos. Menção do problema inverso da teoria de espalhamento. Método Laplace. Funções hipergeométricas e hipergeométricas degeneradas. Encontrar uma solução na forma de uma série. Continuação analítica. Teoria analítica das equações diferenciais. Equação de Schrödinger tridimensional. Centralmente simétrico potencial. Isotropia.

10. Oscilador harmônico.

Abordagem dos operadores de nascimento e aniquilação. À la Feinman, "Física Estatística". Cálculo de autofunções, normalizações e elementos de matrizes. Equação de Hermite. Método Laplace. Encontrar uma solução na forma de uma série. Encontrando autovalores da condição de terminação da série.

11. Operador de momento orbital.

Transformação de rotação. Definição. Relações de comutação. Funções e números próprios. Expressões Explícitas para Operadores de Momento Orbital em Coordenadas Esféricas. Derivação de autovalores e funções de operador. Elementos de matriz de operadores de momento orbital. Simetria em relação à transformação de inversão. Verdadeiros e pseudo escalares, vetores e tensores. Paridade de vários harmônicos esféricos. Expressão recursiva para autofunções de momento.

12. Movimento no campo central.

Propriedades gerais. energia centrífuga. Normalização e ortogonalidade. Movimento livre em coordenadas esféricas.

Funções de Bessel esféricas e suas expressões em termos de funções elementares.

O problema de um poço retangular tridimensional. Profundidade crítica para a existência de um estado vinculado. Oscilador harmônico esférico. Solução em sistemas de coordenadas cartesianas e esféricas. funções próprias. Função hipergeométrica degenerada. A equação. Solução na forma de uma série de potências. A quantização é uma consequência da finitude da série.

13. Campo Coulomb.

Variáveis ​​adimensionais, sistema de unidades de Coulomb. Solução em um sistema de coordenadas esféricas. espectro discreto. Expressão para autovalores de energia. Relação entre os números quânticos principais e radiais. Cálculo do grau de degeneração. A presença de degeneração adicional.

14. Teoria da perturbação.

Teoria da perturbação estacionária. Teoria geral. Operador progressão geométrica. Teoria da perturbação estacionária. Correções de frequência para um oscilador fracamente anarmônico. Teoria da perturbação estacionária no caso de degenerescência. equação secular. O problema de um elétron no campo de dois núcleos idênticos. Funções de aproximação zero apropriadas. Integrais de sobreposição. Teoria da perturbação não estacionária. Teoria geral. caso de ressonância. A regra de ouro de Fermi.

15. aproximação semiclássica.

Soluções básicas. precisão local. camada de linha. Função arejada. Solução VKB. O método de Zwan. O problema de um poço potencial. Regras de quantização Bora Sommerfeld. Aproximação VKB. O problema da passagem sob barreira. O problema da reflexão sobre-barreira.

16. Rodar.

Função de onda multicomponente. Um análogo da polarização de ondas eletromagnéticas. A Experiência Stern-Gerlach. variável de giro. A transformação infinitesimal da rotação e o operador de spin.

Relações de comutação. Autovalores e autofunções de operadores de spin. elementos da matriz. Gire 1/2. matrizes de Pauli. Relações de comutação e anticomutação. Pauli Matrix Álgebra. Cálculo de uma função arbitrária a partir de um escalar de spin. Operador de rotação finita. Derivação usando uma equação diferencial matricial. Conversão linear s Formato. matrizes Ux,y,z. Determinação das intensidades dos feixes nos experimentos de Stern-Gerlach com rotação do analisador.

17. Movimento de um elétron em um campo magnético.

equação de Pauli. razão giromagnética. O papel dos potenciais na mecânica quântica. Invariância de calibre. Efeito Bohm-Aronov. Relações de comutação para velocidades. O movimento de um elétron em um campo magnético uniforme. Calibração Landau. Solução de equações. Níveis de Landau. Operador de coordenadas do centro principal. Relações de comutação para ele.

1. L.D. Landau, E.M. Lifshits, Mecânica Quântica, vol. 3, Moscou, Nauka, 1989
2. L. Schiff, mecânica quântica, Moscou, IL, 1967
3. A. Messias, Mecânica Quântica, v.1,2, M. Nauka, 1978
4. A. S. Davydov, mecânica quântica, M. Nauka, 1973
5. D.I. Blokhintsev, Fundamentos da Mecânica Quântica, Moscou, Nauka, 1976.
6. V.G. Levich, Yu. A. Vdovin, V. A. Myamlin, Curso de Física Teórica, v.2
7. L.I. Mandelstam, Palestras sobre óptica, teoria da relatividade e mecânica quântica.

literatura adicional

1. R. Feynman, Leighton, Sands, Feynman Lectures in Physics (FLP), vols. 3,8,9
2. E. Fermi, mecânica quântica, M. Mir, 1968
3. G. Bethe, mecânica quântica, M. Mir, 1965
4. P. Dirac, Princípios da Mecânica Quântica, M. Nauka, 1979
5. V. Balashov, V. Dolinov, Curso de Mecânica Quântica, ed. Universidade Estatal de Moscou, Moscou

livros de problemas

1. SOU. Galitsky, B. M. Karnakov, V. I. Kogan, Problemas em mecânica quântica. Moscou, "Nauka", 1981.
2. M.Sh. Goldman, V.L. Krivchenkov, M. Nauka, 1968
3. Z. Flygge, Problemas em mecânica quântica, vol. 1,2 M. Mir, 1974

Perguntas para controlar

1. Prove que a equação de Schrödinger preserva a densidade de probabilidade.
2. Prove que as autofunções de SL de um movimento infinito são duplamente degeneradas.
3. Prove que as autofunções do SE de movimento livre correspondentes a diferentes impulsos são ortogonais.
4. Prove que as autofunções do espectro discreto são não degeneradas.
5. Prove que as autofunções do espectro discreto do SE com poço par são pares ou ímpares.
6. Encontre uma autofunção de SL com um potencial linear.
7. Determine os níveis de energia em um poço retangular simétrico de profundidade finita.
8. Deduza as condições de contorno e determine o coeficiente de reflexão de potencial delta.
9. Escreva uma equação para as autofunções de um oscilador harmônico e traga-a para uma forma adimensional.
10. Encontre a autofunção do estado fundamental do oscilador harmônico. Normalize-o.
11. Defina operadores de nascimento e morte. Escreva o Hamiltoniano do oscilador harmônico. Descreva suas propriedades.
12. Resolvendo a equação na representação de coordenadas, encontre a autofunção do estado fundamental.
13. Usando operadores uma, uma+ calcular os elementos da matriz dos operadores x 2 , p 2 na base das autofunções do oscilador harmônico.
14. Como as coordenadas são transformadas durante uma rotação infinitesimal (infinitamente pequena).
15. Relação entre o torque e o operador de rotação. Definição do operador momento. Derivar relações de comutação entre componentes de torque Derivar relações de comutação entre projeções de torque e coordenadas Deduzir relações de comutação entre projeções de torque e representação de momento l 2 ,l_z.
16. Autofunções de momento em coordenadas esféricas. Escreva a equação e sua solução usando o método de separação de variáveis. Expressão em termos de polinômios de Legendre associados.
17. Paridade de estado, operador de inversão. Escalares e pseudoescalares, vetores polares e axiais. Exemplos.
18. Transformação de inversão em coordenadas esféricas. Relação entre paridade e momento orbital.
19. Reduza o problema de dois corpos ao problema do movimento de uma partícula em um campo central.
20. Divida as variáveis ​​VN para o campo central e escreva a solução geral.
21. Escreva uma condição para ortonormalidade. Quantos números quânticos e quais formam um conjunto completo.
22. Determinar os níveis de energia das partículas com momento eu, igual a 0, movendo-se em um poço retangular esférico de profundidade finita. Determine a profundidade mínima do poço necessária para que o estado ligado exista.
23. Determine os níveis de energia e as funções de onda do oscilador harmônico esférico separando as variáveis ​​em coordenadas cartesianas. O que são números quânticos. Determine o grau de degeneração dos níveis.
24. Escreva o SE para o movimento no campo de Coulomb e reduza-o a uma forma adimensional. Sistema atômico de unidades.
25. Determine a assintótica da função radial do movimento no campo de Coulomb próximo ao centro.
26. Qual é o grau de degeneração dos níveis ao se mover no campo de Coulomb.
27. Deduza a fórmula para a primeira correção da função de onda correspondente à energia não degenerada
28. Deduza a fórmula para a primeira e a segunda correções de energia.
29. Usando a teoria da perturbação, encontre a primeira correção para a frequência de um oscilador fracamente anarmônico devido à perturbação. Use os operadores de nascimento e morte
30. Deduza uma fórmula para a correção de energia no caso de degenerescência m-fold deste nível. equação secular.
31. Deduza uma fórmula para a correção de energia no caso de degenerescência de 2 vezes deste nível. Determine as funções de onda de aproximação de zero corretas.
32. Obtenha a equação de Schrödinger não estacionária na representação das autofunções do Hamiltoniano não perturbado.
33. Deduza uma fórmula para a primeira correção da função de onda do sistema para uma perturbação não estacionária arbitrária
34. Deduza uma fórmula para a primeira correção da função de onda do sistema sob uma perturbação harmônica não ressonante.
35. Deduza uma fórmula para a probabilidade de transição sob ação ressonante.
36. A regra de ouro de Fermi.
37. Deduza a fórmula para o termo principal da expansão assintótica semiclássica.
38. Escreva condições locais para a aplicabilidade da aproximação semiclássica.
39. Escreva uma solução semiclássica para SE que descreva o movimento em um campo uniforme.
40. Escreva uma solução semiclássica para SE que descreva o movimento em um campo uniforme à esquerda e à direita do ponto de virada.
41. Use o método de Zwan para derivar condições de contorno para a transição de uma região semi-infinita classicamente proibida para uma classicamente permitida. Qual é a mudança de fase na reflexão?
42. Na aproximação semiclássica, determine os níveis de energia no poço de potencial. Regra de quantização Bora Sommerfeld.
43. Usando a regra de quantização Bora Sommerfeld determine os níveis de energia do oscilador harmônico. Compare com a solução exata.
44. Use o método de Zwan para derivar condições de contorno para a transição de uma região semi-infinita classicamente permitida para uma classicamente proibida.
45. O conceito de rotação. variável de giro. Um análogo da polarização de ondas eletromagnéticas. A Experiência Stern-Gerlach.
46. A transformação infinitesimal da rotação e o operador de spin. Em quais variáveis ​​o operador spin atua.
47. Escreva relações de comutação para operadores de spin
48. Prove que o operador s 2 comuta com operadores de projeção de spin.
49. O que s 2 , sz atuação.
50. Escreva as matrizes de Pauli.
51. Escreva a matriz s 2 .
52. Escreva autofunções dos operadores s x , y , z para s=1/2 na representação s 2 , s z.
53. Prove a anticomutatividade das matrizes de Pauli por cálculo direto.
54. Escreva matrizes de rotação finita U x , y , z
55. Um feixe polarizado ao longo de x incide no dispositivo de Stern-Gerlach com seu próprio eixo z. Qual é a saída?
56. Um feixe polarizado ao longo de z incide no dispositivo de Stern-Gerlach ao longo do eixo x. Qual é a saída se o eixo do instrumento z" for girado em relação ao eixo x por um ângulo j?
57. Escreva o SE de uma partícula carregada sem spin em um campo magnético
58. Escreva o SE de uma partícula carregada com spin 1/2 em um campo magnético.
59. Descreva a relação entre o spin e o momento magnético de uma partícula. Qual é a razão giromagnética, magneton de Bohr, magneton nuclear. Qual é a razão giromagnética de um elétron.
60. O papel dos potenciais na mecânica quântica. Invariância de calibre.
61. derivados estendidos.
62. Escreva expressões para os operadores das componentes da velocidade e obtenha as relações de comutação para elas em um campo magnético finito.
63. Escreva as equações de movimento de um elétron em um campo magnético uniforme no medidor de Landau.
64. Traga o SE de um elétron em um campo magnético para uma forma adimensional. Comprimento magnético.
65. Saída das funções de onda e valores de energia de um elétron em um campo magnético.
66. Que números quânticos caracterizam o estado. Níveis de Landau.

O café esfria, os prédios desabam, os ovos se quebram e as estrelas se apagam em um universo que parece fadado à transição para uma monotonia cinzenta conhecida como equilíbrio térmico. O astrônomo e filósofo Sir Arthur Eddington afirmou em 1927 que a dissipação gradual de energia era a prova da irreversibilidade da "flecha do tempo".

Mas, para perplexidade de gerações inteiras de físicos, o conceito da seta do tempo não corresponde às leis básicas da física, que atuam tanto na direção direta quanto na direção oposta no tempo. De acordo com essas leis, se alguém conhecesse os caminhos de todas as partículas do universo e os invertesse, a energia começaria a se acumular, não se dissipar: o café frio começaria a esquentar, os prédios se ergueriam das ruínas e a luz do sol voltaria ao sol.

“Na física clássica, tivemos dificuldades”, diz o professor Sandu Popescu, que leciona física na Universidade Britânica de Bristol. “Se eu soubesse mais, poderia reverter o curso dos eventos e juntar todas as moléculas de um ovo quebrado?”

Claro, diz ele, a flecha do tempo não é controlada pela ignorância humana. E, no entanto, desde o início da termodinâmica na década de 1850, a única maneira conhecida de calcular a propagação de energia tem sido formular a distribuição estatística de trajetórias de partículas desconhecidas e demonstrar que a ignorância borra a imagem ao longo do tempo.

Agora os físicos estão desenterrando uma fonte mais fundamental da flecha do tempo. A energia se dissipa e os objetos entram em equilíbrio, dizem eles, porque as partículas elementares ficam emaranhadas ao interagir. Esse estranho efeito eles chamaram de "mistura quântica", ou emaranhamento.

“Podemos finalmente entender por que uma xícara de café em uma sala entra em equilíbrio com ela”, diz o físico quântico de Bristol, Tony Short. “Há uma confusão entre o estado da xícara de café e o estado da sala.”

Popescu, Short e seus colegas Noah Linden e Andreas Winter relataram sua descoberta na revista Physical Review E em 2009, afirmando que os objetos entram em equilíbrio, ou um estado de distribuição uniforme de energia, por um período de tempo indefinido. mistura mecânica quântica com o meio ambiente. Uma descoberta semelhante foi feita alguns meses antes por Peter Reimann, da Universidade de Bielefeld, na Alemanha, publicando suas descobertas na Physical Review Letters. Short e colegas apoiaram seu argumento em 2012, mostrando que o emaranhamento produz equilíbrio em tempo finito. E em um artigo publicado em fevereiro no arXiv. org, dois grupos separados deram o próximo passo, calculando que a maioria dos sistemas físicos se equilibra rapidamente em um tempo diretamente proporcional ao seu tamanho. “Para mostrar que isso se aplica ao nosso mundo físico real, os processos devem ocorrer dentro de um prazo razoável”, diz Short.

A tendência de equilíbrio do café (e de tudo o mais) é "muito intuitiva", diz Nicolas Brunner, físico quântico da Universidade de Genebra. "Mas ao explicar as razões para isso, pela primeira vez, temos bases sólidas em vista da teoria microscópica."

© RIA Novosti, Vladimir Rodionov

Se a nova linha de pesquisa estiver correta, então a história da flecha do tempo começa com a ideia da mecânica quântica de que, em sua essência, a natureza é inerentemente incerta. Uma partícula elementar é desprovida de propriedades físicas específicas e é determinada apenas pelas probabilidades de estar em certos estados. Por exemplo, em um determinado momento, uma partícula pode girar no sentido horário com 50% de probabilidade e no sentido anti-horário com 50% de probabilidade. O teorema verificado experimentalmente do físico norte-irlandês John Bell afirma que não existe um estado "verdadeiro" de partículas; probabilidades são a única coisa que pode ser usada para descrevê-lo.

A incerteza quântica inevitavelmente leva à confusão, a suposta fonte da flecha do tempo.

Quando duas partículas interagem, elas não podem mais ser descritas por probabilidades separadas, de evolução independente, chamadas "estados puros". Em vez disso, eles se tornam componentes entrelaçados de uma distribuição de probabilidade mais complexa que descreve as duas partículas juntas. Eles podem, por exemplo, indicar que as partículas estão girando em direções opostas. O sistema como um todo está em estado puro, mas o estado de cada partícula está "misturado" com o estado da outra partícula. Ambas as partículas podem estar se movendo a vários anos-luz de distância, mas a rotação de uma partícula se correlacionará com a outra. Albert Einstein bem descreveu isso como "ação assustadora à distância".

“O emaranhamento é, em certo sentido, a essência da mecânica quântica”, ou as leis que governam as interações em escala subatômica, diz Brunner. Esse fenômeno está subjacente à computação quântica, criptografia quântica e teletransporte quântico.

A ideia de que a confusão poderia explicar a flecha do tempo ocorreu pela primeira vez a Seth Lloyd 30 anos atrás, quando ele era um graduado de filosofia da Universidade de Cambridge de 23 anos com um diploma de Harvard em física. Lloyd percebeu que a incerteza quântica, e sua disseminação à medida que as partículas se tornam mais emaranhadas, poderiam substituir a incerteza humana (ou ignorância) da antiga evidência clássica e se tornar a verdadeira fonte da flecha do tempo.

Usando uma abordagem mecânica quântica pouco conhecida na qual as unidades de informação são os blocos básicos de construção, Lloyd passou vários anos estudando a evolução das partículas em termos de embaralhamento de uns e zeros. Ele descobriu que, à medida que as partículas se misturam cada vez mais umas com as outras, as informações que as descrevem (por exemplo, 1 para rotação no sentido horário e 0 para anti-horário) serão transferidas para a descrição do sistema de partículas emaranhadas como um todo. As partículas pareciam perder gradualmente sua independência e se tornar peões do estado coletivo. Com o tempo, todas as informações passam para esses aglomerados coletivos e as partículas individuais não as possuem. Nesse ponto, como Lloyd descobriu, as partículas entram em um estado de equilíbrio e seus estados param de mudar, como uma xícara de café esfria até a temperatura ambiente.

"O que realmente está acontecendo? As coisas ficam mais interconectadas. A flecha do tempo é a flecha das correlações crescentes.”

Essa ideia, apresentada na tese de doutorado de Lloyd em 1988, caiu em ouvidos surdos. Quando o cientista enviou um artigo sobre isso aos editores da revista, foi-lhe dito que "não há física neste trabalho". A teoria da informação quântica "era profundamente impopular" na época, diz Lloyd, e as questões sobre a flecha do tempo "eram o domínio de lunáticos e malucos ganhadores do Nobel".

“Eu estava muito perto de ser um motorista de táxi”, disse ele.

Desde então, os avanços na computação quântica transformaram a teoria da informação quântica em uma das áreas mais ativas da física. Lloyd é atualmente professor do Massachusetts Institute of Technology, reconhecido como um dos fundadores da disciplina, e suas ideias esquecidas estão sendo revividas pelos esforços dos físicos de Bristol. A nova evidência é mais geral, dizem os cientistas, e se aplica a qualquer sistema quântico.

“Quando Lloyd teve a ideia em sua dissertação, o mundo não estava pronto para isso”, diz Renato Renner, chefe do Instituto de Física Teórica da ETH Zurique. Ninguém o entendia. Às vezes você precisa que as ideias venham na hora certa.”

Em 2009, evidências de uma equipe de físicos de Bristol ressoaram com os teóricos da informação quântica, que descobriram novas maneiras de aplicar seus métodos. Eles mostraram que, à medida que os objetos interagem com seu ambiente – como partículas em uma xícara de café interagem com o ar – informações sobre suas propriedades “vazam e se espalham por esse ambiente”, explica Popescu. Essa perda local de informações faz com que o estado do café permaneça o mesmo, mesmo que o estado líquido de toda a sala continue a mudar. Com exceção de raras flutuações aleatórias, diz o cientista, “seu estado deixa de mudar com o tempo”.

Acontece que uma xícara de café fria não pode aquecer espontaneamente. Em princípio, à medida que o estado limpo da sala evolui, o café pode escapar repentinamente do ar da sala e retornar ao estado limpo. Mas há muito mais estados mistos do que puros e, na prática, o café nunca pode retornar ao estado puro. Para ver isso, teremos que viver mais do que o universo. Essa improbabilidade estatística torna a flecha do tempo irreversível. “Essencialmente, a mistura abre um enorme espaço para nós”, diz Popescu. - Imagine que você está em um parque, há um portão na sua frente. Assim que você entra neles, você perde o equilíbrio, cai em um espaço enorme e se perde nele. Você nunca vai voltar para o portão."

Na nova história da flecha do tempo, a informação se perde no processo de emaranhamento quântico, não por falta de conhecimento subjetivo humano sobre o que equilibra uma xícara de café e um quarto. A sala eventualmente se equilibra com o ambiente, e o ambiente se move ainda mais lentamente em direção ao equilíbrio com o resto do universo. Os gigantes termodinâmicos do século 19 viram esse processo como uma dissipação gradual de energia que aumenta a entropia geral, ou caos, do universo. Hoje, Lloyd, Popescu e outros no campo veem a flecha do tempo de forma diferente. Na opinião deles, a informação se torna cada vez mais difusa, mas nunca desaparece completamente. Embora a entropia cresça localmente, a entropia total do universo permanece constante e zero.

“No geral, o universo está em estado puro”, diz Lloyd. “Mas suas partes individuais, entrelaçadas com o resto do universo, entram em um estado misto.”

Mas um enigma da flecha do tempo permanece sem solução. “Não há nada nessas obras que explique por que você começa com um portão”, diz Popescu, voltando à analogia do parque. “Em outras palavras, eles não explicam por que o estado original do universo estava longe do equilíbrio.” O cientista sugere que esta questão se refere à natureza do Big Bang.

Apesar dos recentes avanços nos cálculos de tempo de equilíbrio, a nova abordagem ainda não pode ser usada como ferramenta para calcular as propriedades termodinâmicas de coisas específicas como café, vidro ou estados incomuns da matéria. (Alguns termodinamicistas convencionais dizem que sabem muito pouco sobre a nova abordagem.) “A questão é que você precisa encontrar critérios para quais coisas se comportam como vidro de janela e quais coisas se comportam como uma xícara de chá”, diz Renner. “Acho que verei novos trabalhos nessa direção, mas ainda há muito a ser feito.”

Alguns pesquisadores expressaram dúvidas de que essa abordagem abstrata da termodinâmica seja capaz de explicar com precisão como determinados objetos observáveis ​​se comportam. Mas os avanços conceituais e um novo conjunto de fórmulas matemáticas já estão ajudando os pesquisadores a fazer perguntas teóricas do campo da termodinâmica, como as limitações fundamentais dos computadores quânticos e até mesmo o destino final do universo.

“Estamos pensando cada vez mais no que pode ser feito com máquinas quânticas”, diz Paul Skrzypczyk, do Instituto de Ciências de Fótons de Barcelona. Digamos que o sistema ainda não está em equilíbrio e queremos fazê-lo funcionar. Quanto trabalho útil podemos extrair? Como posso intervir para fazer algo interessante?”

Contexto

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Como um nanossatélite pode alcançar uma estrela?

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Nautilus 25/01/2016
O teórico da cosmologia da Caltech, Sean Carroll, aplica novas fórmulas em seu último trabalho sobre a flecha do tempo na cosmologia. “Estou mais interessado no destino de longo prazo do espaço-tempo cosmológico”, diz Carroll, que escreveu From Eternity to Here: The Quest for the Ultimate Theory of Time. “Nesta situação, ainda não conhecemos todas as leis necessárias da física, por isso faz sentido nos voltarmos para o nível abstrato e, aqui, parece-me, essa abordagem da mecânica quântica nos ajudará.”

Vinte e seis anos após o fracasso da grandiosa ideia de Lloyd da flecha do tempo, ele gosta de assistir seu renascimento e tentar aplicar as ideias do último trabalho ao paradoxo da informação cair em um buraco negro. “Acho que agora eles ainda vão falar sobre o fato de que há física nessa ideia”, diz ele.

E a filosofia ainda mais.

Segundo os cientistas, nossa capacidade de lembrar o passado, mas não o futuro, que é uma manifestação confusa da flecha do tempo, também pode ser vista como um aumento nas correlações entre partículas em interação. Quando você lê uma nota em um pedaço de papel, o cérebro se correlaciona com a informação por meio de fótons que atingem seus olhos. Somente a partir deste momento você pode se lembrar do que está escrito no papel. Como observa Lloyd, "o presente pode ser caracterizado como o processo de estabelecer correlações com nosso ambiente".

O pano de fundo para o crescimento constante dos tecidos em todo o universo é, obviamente, o próprio tempo. Os físicos apontam que, apesar dos grandes avanços na compreensão de como ocorrem as mudanças no tempo, eles não estão mais próximos de entender a natureza do próprio tempo ou por que ele difere das outras três dimensões do espaço (em termos conceituais e nas equações da mecânica quântica). Popescu chama esse mistério de "uma das maiores incógnitas da física".

“Podemos discutir que uma hora atrás nosso cérebro estava em um estado que se correlacionava com menos coisas”, diz ele. “Mas nossa percepção de que o tempo está passando é outra questão. Muito provavelmente, precisaremos de uma nova revolução na física que fale sobre isso.”

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