Considere um plano Q no espaço.Sua posição é completamente determinada pela especificação de um vetor N perpendicular a esse plano e algum ponto fixo situado no plano Q. O vetor N perpendicular ao plano Q é chamado de vetor normal desse plano. Se denotarmos por A, B e C as projeções do vetor normal N, então

Vamos derivar a equação do plano Q passando pelo ponto dado e tendo o vetor normal dado . Para fazer isso, considere um vetor conectando um ponto com um ponto arbitrário do plano Q (Fig. 81).

Para qualquer posição do ponto M no plano Q, o vetor MXM é perpendicular ao vetor normal N do plano Q. Portanto, o produto escalar Vamos escrever o produto escalar em termos de projeções. Como , e vetor , então

e, portanto

Mostramos que as coordenadas de qualquer ponto do plano Q satisfazem a equação (4). É fácil ver que as coordenadas dos pontos que não estão no plano Q não satisfazem esta equação (no último caso, ). Portanto, obtivemos a equação desejada do plano Q. A equação (4) é chamada de equação do plano que passa pelo ponto dado. É do primeiro grau em relação às coordenadas atuais

Assim, mostramos que qualquer plano corresponde a uma equação de primeiro grau em relação às coordenadas atuais.

Exemplo 1. Escreva a equação de um plano que passa por um ponto perpendicular ao vetor.

Decisão. Aqui . Com base na fórmula (4), obtemos

ou, após simplificação,

Dando valores diferentes aos coeficientes A, B e C da equação (4), podemos obter a equação de qualquer plano que passe pelo ponto . O conjunto de planos que passam por um determinado ponto é chamado de conjunto de planos. A equação (4), na qual os coeficientes A, B e C podem assumir quaisquer valores, é chamada de equação de um feixe de planos.

Exemplo 2. Escreva uma equação para um plano que passa por três pontos (Fig. 82).

Decisão. Vamos escrever a equação para um monte de planos que passam por um ponto

é a equação geral de um plano no espaço

Vetor plano normal

Um vetor normal de um plano é um vetor ortogonal diferente de zero a cada vetor situado no plano.

Equação de um plano que passa por um ponto com um dado vetor normal

é a equação do plano que passa pelo ponto M0 com um vetor normal dado

Vetores de direção do plano

Dois vetores não colineares paralelos ao plano são chamados de vetores de direção do plano

Equações do plano paramétrico

– equação paramétrica do plano em forma vetorial

é a equação paramétrica do plano em coordenadas

Equação de um plano através de um dado ponto e dois vetores de direção

-ponto fixo

apenas um ponto kkk

são coplanares, então seu produto misto é 0.

Equação de um plano que passa por três pontos dados

– equação do plano através de três pontos

Equação de um plano em segmentos

- equação do plano em segmentos

Prova

Para provar isso, usamos o fato de que nosso plano passa por A, B, C e o vetor normal

Vamos substituir as coordenadas do ponto e o vetor n na equação do plano com o vetor normal

Divida tudo por e obtenha

Assim vai.

Equação do plano normal

é o ângulo entre ox e o vetor normal ao plano, saindo de O.

é o ângulo entre oy e o vetor normal ao plano, saindo de O.

é o ângulo entre oz e o vetor normal ao plano, saindo de O.

é a distância da origem das coordenadas ao plano.

Evidência ou alguma besteira

O sinal é oposto a D.

Da mesma forma para outros cossenos. Fim.

Distância do ponto ao plano

Ponto S, plano

é a distância orientada do ponto S ao plano

Se , então S e O estão em lados opostos do plano

Se , então S e O estão do mesmo lado

Multiplicar por n

Arranjo mútuo de duas linhas no espaço

Ângulo entre planos

Na interseção, dois pares de ângulos diedros verticais são formados, o menor é chamado de ângulo entre os planos

Linha reta no espaço

Uma linha no espaço pode ser dada como

Intersecção de dois planos:

Equações paramétricas de uma linha reta

- equação paramétrica de uma linha reta em forma vetorial

é a equação paramétrica de uma linha reta em coordenadas

Equação Canônica

é a equação canônica de uma linha reta.

Equação de uma linha reta que passa por dois pontos dados

– equação canônica de uma reta na forma vetorial;

Arranjo mútuo de duas linhas no espaço

Arranjo mútuo de uma linha reta e um plano no espaço

Ângulo entre a linha e o plano

Distância de um ponto a uma linha no espaço

a é o vetor de direção de nossa linha reta.

é um ponto arbitrário pertencente a uma dada linha

- o ponto para o qual estamos procurando a distância.

Distância entre duas linhas que se cruzam

Distância entre duas linhas paralelas

M1 - ponto pertencente à primeira linha

M2 é um ponto pertencente à segunda linha

Curvas e superfícies de segunda ordem

Uma elipse é um conjunto de pontos em um plano, a soma das distâncias a partir dos quais dois pontos dados (focos) é um valor constante.

Equação canônica de uma elipse

Vamos substituí-lo por

Dividido por

Propriedades da elipse

Intersecção com eixos coordenados

Simetria sobre

1. Origens

Uma elipse é uma curva situada em uma parte limitada de um plano

Uma elipse pode ser obtida a partir de um círculo esticando-o ou espremendo-o

Equação paramétrica de uma elipse:

- diretores

Hipérbole

Uma hipérbole é um conjunto de pontos em um plano para o qual o módulo da diferença de distâncias a 2 pontos dados (focos) é um valor constante (2a)

Fazemos tudo da mesma forma que com a elipse, obtemos

Substituir com

Dividido por

Propriedades de uma hipérbole

;

- diretores

Assíntota

Uma assíntota é uma linha reta para a qual a curva se aproxima indefinidamente, retrocedendo ao infinito.

Parábola

propriedades parabot

Relação entre elipse, hipérbole e parábola.

A relação entre essas curvas tem uma explicação algébrica: todas são dadas por equações do segundo grau. Em qualquer sistema de coordenadas, as equações dessas curvas têm a forma: ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+f=0, onde a, b, c, d, e, f são números

Transformando Sistemas de Coordenadas Cartesianas Retangulares

Translação paralela do sistema de coordenadas

–O’ no antigo sistema de coordenadas

– coordenadas do ponto no antigo sistema de coordenadas

– coordenadas do ponto no novo sistema de coordenadas

Coordenadas do ponto no novo sistema de coordenadas.

Girar em um sistema de coordenadas cartesianas

– novo sistema de coordenadas

Matriz de transição da base antiga para a nova

- (sob a primeira coluna EU’ , sob o segundo j’ ) a matriz de transição da base EU,j basear EU’ ,j’

Caso Geral

1 opção

1. Rotação do sistema de coordenadas

opção 2

1. Rotação do sistema de coordenadas

   Tradução paralela da origem

Equação geral de linhas de segunda ordem e sua redução à forma canônica

é a forma geral das equações da curva de segunda ordem

Classificação de curvas de segunda ordem

Elipsóide

Seções transversais de um elipsóide

- elipse

- elipse

Elipsóides de revolução

Os elipsóides de revolução são esferóides oblatos ou prolatos, dependendo do que estamos girando.

Hiperbolóide de uma banda

Seções de um hiperbolóide de uma tira

– hipérbole com eixo real oy

é uma hipérbole com eixo x real

Acontece uma elipse para qualquer h. Assim vai.

Hiperbolóides de revolução de tira única

Um hiperbolóide de revolução de uma folha pode ser obtido girando uma hipérbole em torno de seu eixo imaginário.

Hiperbolóide de duas folhas

Seções de um hiperbolóide de duas folhas

- hipérbole com ação. eixoz

é uma hipérbole com eixo real oz

Cone

- um par de linhas que se cruzam

- um par de linhas que se cruzam

Parabolóide elíptico

- parábola

- parábola

Rotações

Se , então o parabolóide elíptico é uma superfície de revolução formada pela rotação da parábola em torno de seu eixo de simetria.

Parabolóide hiperbólico

Parábola

- parábola

h>0 hipérbole com eixo real paralelo a x

h<0 гипербола с действительной осью паралльной оу и мнимой ох

Sob o cilindro queremos dizer a superfície que será obtida quando uma linha reta se move no espaço, que não muda sua direção, se a linha reta se move em relação a oz, então a equação do cilindro é a equação de uma seção pelo plano xoy.

Cilindro elíptico

cilindro hiperbólico

cilindro parabólico

Geradores retilíneos de superfícies de segunda ordem

As linhas que se encontram completamente na superfície são chamadas de geradores retilíneos da superfície.

Superfícies de revolução

foda-se kkkk

Mostrar

exibindo Vamos chamar a regra segundo a qual cada elemento do conjunto A está associado a um ou mais elementos do conjunto B. Se a cada um é atribuído um único elemento do conjunto B, então o mapeamento é chamado inequívoco, por outro lado ambíguo.

Transformação conjunto é chamado de mapeamento um-para-um de um conjunto sobre si mesmo

Injeção

Injeção ou mapeamento um-para-um do conjunto A para o conjunto B

(diferentes elementos de a correspondem a diferentes elementos de B) por exemplo y=x^2

sobrejeção

Sobrejeção ou mapeamento de um conjunto A em um conjunto B

Para cada B, há pelo menos um A (por exemplo, um seno)

Cada elemento do conjunto B corresponde a apenas um elemento do conjunto A. (por exemplo, y=x)

Neste artigo, consideraremos a equação normal do plano. Vamos dar exemplos de construção da equação normal do plano de acordo com o ângulo de inclinação do vetor normal do plano dos eixos Ox, Oy, Oz e por distância r da origem ao plano. Vamos apresentar um método para reduzir a equação geral de uma linha reta à forma normal. Considere exemplos numéricos.

Seja um sistema de coordenadas retangulares cartesianas dado no espaço. Então equação normal do plano Ω representado pela seguinte fórmula:

xcosα+ycosβ+zcosγ−r=0,

(1)

Onde r− distância da origem ao plano Ω , uma α,β,γ são os ângulos entre o vetor unitário n, ortogonal ao plano Ω e eixos coordenados Ox, Oy, Oz, respectivamente (Fig.1). (Se um r>0, então o vetor n dirigido para o avião Ω , se o plano passa pela origem, então a direção do vetor n escolhido arbitrariamente).

Derivamos a fórmula (1). Seja um sistema de coordenadas retangulares cartesianas e um plano dados no espaço Ω (Figura 1). Desenhe uma linha através da origem Q, perpendicular ao plano Ω , e o ponto de interseção será denotado por R. Nesta linha, selecionamos o vetor unitário n, com a direção coincidindo com o vetor . (Se os pontos O e R corresponder, então a direção n podem ser tomadas arbitrariamente).

Expressamos a equação do plano Ω através dos seguintes parâmetros: o comprimento do segmento e os ângulos de inclinação α, β, γ entre vetor n e eixos Ox, Oy, Oz, respectivamente.

Uma vez que o vetor né um vetor unitário, então suas projeções sobre Ox, Oy, Oz terá as seguintes coordenadas:

Produto escalar de vetores n e tem a seguinte forma:

Dado que n={cosα, cosβ, cosγ}, , nós conseguiremos:

xcosα+ycosβ+zcosγ−r=0.

(7)

Obtivemos a equação normal do plano Ω . A equação (7) (ou (1)) também é chamada equação do plano normalizado. Vetor n chamado vetor normal plano.

Como mencionado acima, o número r na equação (1) mostra a distância do plano à origem. Portanto, tendo a equação normal do plano, é fácil determinar a distância do plano à origem. Para verificar se uma dada equação de um plano é uma equação na forma normal, você precisa verificar o comprimento do vetor normal desse plano e o sinal do número r, ou seja se | n|=1 e r>0, então esta equação é uma equação normal (normalizada) do plano.

Exemplo 1. Dada a seguinte equação de plano:

Vamos determinar o comprimento do vetor n:

Como as equações (1) e (8) devem determinar a mesma linha reta (Proposição 2 do artigo "Equação geral do plano"), existe esse número t, que

Simplifique a expressão e encontre t:

t 2 UMA 2 +t 2 B 2 +t 2 C 2 =t 2 (UMA 2 +B 2 +C 2)=1,

.

(11)

O denominador em (11) é diferente de zero, porque pelo menos um dos coeficientes A, B, C não é igual a zero (caso contrário (8) não representaria a equação de uma reta).

Descubra qual signo t. Prestemos atenção à quarta igualdade em (9). Como ré a distância da origem ao plano, então r≥0. Então o produto tD deve ter sinal negativo. Aqueles. sinal t em (11) deve ser oposto ao sinal D.

Substituindo em (1) em vez de cosα, cosβ, cosγ e −r valores de (9), obtemos tAx+tBy+tCz+tD=0. Aqueles. para trazer a equação geral do plano para a forma normal, você precisa multiplicar a equação dada pelo fator (11). O fator (11) é chamado fator de normalização.

Exemplo 2. A equação geral do plano é dada

Como D>0, então assine t negativo:

Observe que o número é a distância da origem à linha reta (12).

A posição do plano no espaço será completamente determinada se definirmos sua distância da origem O, ou seja, o comprimento da perpendicular OT, lançada do ponto O ao plano, e o vetor unitário n°, perpendicular ao plano e dirigido da origem O para o plano (Fig. 110).

Quando o ponto M se move ao longo do plano, então seu vetor raio muda de modo que está sempre limitado por alguma condição. Vamos ver qual é essa condição. Obviamente, para qualquer ponto do plano, temos:

Essa condição vale apenas para pontos no plano; ela é violada se o ponto M estiver fora do plano. Assim, a igualdade (1) expressa uma propriedade comum a todos os pontos do plano e somente a eles. De acordo com o § 7 Cap. 11 temos:

e, portanto, a equação (1) pode ser reescrita como:

A equação (D) expressa a condição sob a qual o ponto ) está em um determinado plano, e é chamada de equação normal desse plano. O vetor raio de um ponto arbitrário M do plano é chamado de vetor raio atual.

A equação (1) do plano é escrita na forma vetorial. Voltando às coordenadas e colocando a origem das coordenadas na origem dos vetores - o ponto O, notamos que as projeções do vetor unitário sobre os eixos coordenados são os cossenos dos ângulos compostos pelos eixos com este vetor, e o projeções do vetor raio do ponto M

são as coordenadas do ponto , ou seja, temos:

A equação (D) entra em uma coordenada:

Ao traduzir a equação vetorial (Г) do plano para a equação de coordenadas (2), usamos a fórmula (15) § 9 Ch. 11 expressando o produto escalar em termos de projeções vetoriais. A equação (2) expressa a condição sob a qual o ponto M(x, y, z) está em um determinado plano, e é chamada de equação normal desse plano na forma de coordenadas. A equação resultante (2) é de primeiro grau em relação a , ou seja, qualquer plano pode ser representado por uma equação de primeiro grau em relação às coordenadas atuais.

Observe que as equações derivadas (1") e (2) permanecem válidas mesmo quando , ou seja, o plano dado passa pela origem. Neste caso, qualquer um dos dois vetores unitários perpendiculares ao plano e diferindo por um da outra direção.

Comente. A equação normal do plano (2) pode ser derivada sem usar o método vetorial.

Pegue um plano arbitrário e desenhe uma linha reta I através da origem perpendicular a ele. Defina uma direção positiva nesta linha da origem ao plano (se o plano selecionado passou pela origem, então a direção na linha pode ser tomada qualquer ).

A posição deste plano no espaço é completamente determinada pela sua distância da origem, ou seja, o comprimento do segmento de eixo l da origem até o ponto de interseção com o plano (na Fig. 111 - segmento) e os ângulos entre o eixo e os eixos de coordenadas. Quando um ponto se move ao longo do plano com suas coordenadas, suas coordenadas mudam de tal forma que estão sempre limitadas por alguma condição. Vamos ver qual é essa condição.

Vamos construir na Fig. 111 polilinha de coordenadas OPSM de um ponto arbitrário M do plano. Tomemos a projeção desta linha quebrada no eixo l. Observando que a projeção da linha pontilhada é igual à projeção de seu segmento de fechamento (Capítulo I, § 3), temos.

Equação do plano. Como escrever uma equação para um plano?
Arranjo mútuo de aviões. Tarefas

A geometria espacial não é muito mais complicada do que a geometria "plana", e nossos voos no espaço começam com este artigo. Para entender o assunto, é preciso ter uma boa compreensão do assunto. vetores, além disso, é desejável estar familiarizado com a geometria do plano - haverá muitas semelhanças, muitas analogias, para que as informações sejam digeridas muito melhor. Em uma série de minhas lições, o mundo 2D abre com um artigo Equação de uma linha reta em um plano. Mas agora Batman saiu da TV de tela plana e está lançando do Cosmódromo de Baikonur.

Vamos começar com desenhos e símbolos. Esquematicamente, o plano pode ser desenhado como um paralelogramo, o que dá a impressão de espaço:

O plano é infinito, mas temos a oportunidade de retratar apenas um pedaço dele. Na prática, além do paralelogramo, também é desenhado um oval ou mesmo uma nuvem. Por razões técnicas, é mais conveniente para mim retratar o avião dessa maneira e nessa posição. Os planos reais, que consideraremos em exemplos práticos, podem ser organizados de qualquer maneira - mentalmente pegue o desenho em suas mãos e gire-o no espaço, dando ao plano qualquer inclinação, qualquer ângulo.

Notação: é costume designar os planos em pequenas letras gregas, aparentemente para não confundi-los com direto no avião ou com direto no espaço. Estou acostumado a usar a letra. No desenho, é a letra "sigma", e não um buraco. Embora, um avião furado, é certamente muito engraçado.

Em alguns casos, é conveniente usar as mesmas letras gregas com subscritos para designar planos, por exemplo, .

Obviamente, o plano é determinado exclusivamente por três pontos diferentes que não estão na mesma linha reta. Portanto, as designações de três letras de aviões são bastante populares - de acordo com os pontos que lhes pertencem, por exemplo, etc. Muitas vezes as letras são colocadas entre parênteses: , para não confundir o plano com outra figura geométrica.

Para leitores experientes, darei menu de atalho:

• Como escrever uma equação para um plano usando um ponto e dois vetores?
• Como escrever uma equação para um plano usando um ponto e um vetor normal?

e não vamos definhar em longas esperas:

Equação geral do plano

A equação geral do plano tem a forma , onde os coeficientes são simultaneamente diferentes de zero.

Uma série de cálculos teóricos e problemas práticos são válidos tanto para a base ortonormal usual quanto para a base afim do espaço (se óleo é óleo, volte para a lição (não) dependência linear de vetores. Base vetorial). Por simplicidade, vamos assumir que todos os eventos ocorrem em uma base ortonormal e um sistema de coordenadas retangulares cartesianas.

E agora vamos treinar um pouco de imaginação espacial. Tudo bem se você tiver ruim, agora vamos desenvolvê-lo um pouco. Até jogar com os nervos requer prática.

No caso mais geral, quando os números não são iguais a zero, o plano cruza os três eixos coordenados. Por exemplo, assim:

Repito mais uma vez que o plano continua indefinidamente em todas as direções, e temos a oportunidade de retratar apenas parte dele.

Considere as equações mais simples de planos:

Como entender essa equação? Pense nisso: “Z” SEMPRE, pois qualquer valor de “X” e “Y” é igual a zero. Esta é a equação do plano de coordenadas "nativo". De fato, formalmente a equação pode ser reescrita da seguinte forma: , de onde é claramente visível que não nos importamos, que valores “x” e “y” assumem, é importante que “z” seja igual a zero.

De forma similar:
é a equação do plano coordenado;
é a equação do plano coordenado.

Vamos complicar um pouco o problema, considere um plano (aqui e mais adiante no parágrafo assumimos que os coeficientes numéricos não são iguais a zero). Vamos reescrever a equação na forma: . Como entendê-lo? "X" é SEMPRE, para qualquer valor de "y" e "z" é igual a um determinado número. Este plano é paralelo ao plano de coordenadas. Por exemplo, um plano é paralelo a um plano e passa por um ponto.

De forma similar:
- a equação do plano, que é paralela ao plano de coordenadas;
- a equação de um plano que é paralelo ao plano de coordenadas.

Adicionar membros: . A equação pode ser reescrita assim: , ou seja, "Z" pode ser qualquer coisa. O que isso significa? "X" e "Y" estão conectados por uma razão que desenha uma certa linha reta no plano (você reconhecerá equação de uma reta em um plano?). Como Z pode ser qualquer coisa, essa linha é "replicada" em qualquer altura. Assim, a equação define um plano paralelo ao eixo de coordenadas

De forma similar:
- a equação do plano, que é paralelo ao eixo de coordenadas;
- a equação do plano, que é paralelo ao eixo de coordenadas.

Se os termos livres forem zero, os planos passarão diretamente pelos eixos correspondentes. Por exemplo, a clássica "proporcionalidade direta":. Desenhe uma linha reta no plano e multiplique-a mentalmente para cima e para baixo (já que “z” é qualquer). Conclusão: o plano dado pela equação passa pelo eixo de coordenadas.

Concluímos a revisão: a equação do plano passa pela origem. Bem, aqui é bastante óbvio que o ponto satisfaz a equação dada.

E, finalmente, o caso mostrado no desenho: - o plano é amigo de todos os eixos coordenados, enquanto sempre “corta” um triângulo que pode ser localizado em qualquer um dos oito octantes.

Desigualdades lineares no espaço

Para entender a informação, é necessário estudar bem desigualdades lineares no plano porque muitas coisas serão semelhantes. O parágrafo será de uma breve visão geral com alguns exemplos, já que o material é bastante raro na prática.

Se a equação define um plano, então as desigualdades
perguntar meios-espaços. Se a desigualdade não for estrita (as duas últimas da lista), a solução da desigualdade, além do meio-espaço, inclui o próprio plano.

Exemplo 5

Encontre o vetor normal unitário do plano .

Decisão: Um vetor unitário é um vetor cujo comprimento é um. Vamos denotar este vetor por . É bastante claro que os vetores são colineares:

Primeiro, removemos o vetor normal da equação do plano: .

Como encontrar o vetor unitário? Para encontrar o vetor unitário, você precisa cada coordenada vetorial dividida pelo comprimento vetorial.

Vamos reescrever o vetor normal na forma e encontrar seu comprimento:

De acordo com o acima:

Responda:

Check: , que era necessário para verificar.

Os leitores que estudaram cuidadosamente o último parágrafo da lição, provavelmente notaram que as coordenadas do vetor unitário são exatamente os cossenos de direção do vetor:

Vamos divagar do problema desmontado: quando você recebe um vetor arbitrário diferente de zero, e pela condição é necessário encontrar seus cossenos de direção (veja as últimas tarefas da lição Produto escalar de vetores), então você, de fato, também encontra um vetor unitário colinear ao dado. Na verdade, duas tarefas em uma garrafa.

A necessidade de encontrar um vetor normal unitário surge em alguns problemas de análise matemática.

Descobrimos a pesca do vetor normal, agora vamos responder a pergunta oposta:

Como escrever uma equação para um plano usando um ponto e um vetor normal?

Esta construção rígida de um vetor normal e um ponto é bem conhecida por um alvo de dardos. Por favor, estique a mão para a frente e selecione mentalmente um ponto arbitrário no espaço, por exemplo, um pequeno gato em um aparador. Obviamente, através deste ponto, você pode desenhar um único plano perpendicular à sua mão.

A equação de um plano que passa por um ponto perpendicular ao vetor é expressa pela fórmula: