Preparação para o exame de matemática

Experimentar

Lição 9 Funções trigonométricas inversas.

Prática

Resumo da lição

Principalmente, a capacidade de trabalhar com funções de arco será útil para resolver equações e desigualdades trigonométricas.

As tarefas que consideraremos agora são divididas em dois tipos: calcular os valores das funções trigonométricas inversas e convertê-las usando propriedades básicas.

Calculando os valores das funções de arco

Vamos começar calculando os valores das funções de arco.

Tarefa nº 1. Calcular .

Como você pode ver, todos os argumentos das funções de arco são positivos e tabulares, o que significa que podemos restaurar o valor dos ângulos da primeira parte da tabela de valores das funções trigonométricas para ângulos de a . Essa faixa de ângulos está incluída na faixa de valores de cada uma das funções de arco, então simplesmente usamos a tabela, encontramos o valor da função trigonométrica nela e restauramos a qual ângulo ela corresponde.

a)

b)

dentro)

G)

Responda. .

Tarefa nº 2. Calcular

.

Neste exemplo, já vemos argumentos negativos. Um erro típico neste caso é simplesmente remover o menos da função e simplesmente reduzir a tarefa para a anterior. No entanto, isso pode não ser possível em todos os casos. Vamos relembrar como na parte teórica da lição estipulamos a paridade de todas as funções de arco. As ímpares são o arco-seno e o arco-tangente, ou seja, tira-se o menos deles, e o arco-cosseno e o arco-tangente são funções de forma geral, para simplificar o menos no argumento eles têm fórmulas especiais. Após o cálculo, para evitar erros, verificamos se o resultado está incluído no intervalo de valores.

Quando os argumentos da função são simplificados para uma forma positiva, escrevemos os valores de ângulo correspondentes da tabela.

A questão pode surgir, por que não escrever o valor do ângulo correspondente, por exemplo, imediatamente da tabela? Em primeiro lugar, porque a tabela anterior é mais difícil de lembrar do que antes e, em segundo lugar, porque não há valores de seno negativos nela, e valores tangentes negativos fornecerão o ângulo errado de acordo com a tabela. É melhor ter uma abordagem única para uma solução do que ficar confuso com muitas abordagens diferentes.

Tarefa nº 3. Calcular .

a) Um erro típico neste caso é começar a tirar um menos e simplificar algo. A primeira coisa a notar é que o argumento arcsine está fora do escopo

Portanto, essa entrada não importa e o arco-seno não pode ser calculado.

b) O erro padrão neste caso é que eles confundem os valores do argumento e da função e dão a resposta. Isso não é verdade! Obviamente, surge a ideia de que na tabela o valor corresponde ao cosseno, mas neste caso é confuso que as funções de arco sejam calculadas não a partir de ângulos, mas a partir dos valores das funções trigonométricas. Aquilo não é .

Além disso, já que descobrimos qual é exatamente o argumento do arco cosseno, é necessário verificar se ele está incluído no domínio de definição. Para fazer isso, lembre-se que , ou seja, o que significa que o arco cosseno não faz sentido e não pode ser calculado.

Aliás, por exemplo, a expressão faz sentido, porque, mas como o valor do cosseno igual a não é tabular, então é impossível calcular o arco cosseno usando a tabela.

Responda. As expressões não fazem sentido.

Neste exemplo, não consideramos o arcotangente e arcotangente, pois não possuem escopo limitado e os valores das funções serão para quaisquer argumentos.

Tarefa nº 4. Calcular .

De fato, a tarefa é reduzida à primeira, basta calcular separadamente os valores das duas funções e substituí-los na expressão original.

O argumento da tangente do arco é tabular e o resultado está no intervalo.

O argumento arccosine não é tabular, mas isso não deve nos assustar, porque qualquer que seja o valor do arccosine, seu valor quando multiplicado por zero resultará em zero. Resta uma observação importante: é necessário verificar se o argumento do arccosine pertence ao domínio da definição, pois se não pertencer, toda a expressão não fará sentido, independentemente do fato de conter multiplicação por zero. Mas , então podemos argumentar que faz sentido e obtemos zero na resposta.

Vamos dar outro exemplo em que é necessário poder calcular uma função de arco, sabendo o valor de outra.

Tarefa nº 5. Calcule se é conhecido que .

Pode parecer que é necessário primeiro calcular o valor de x a partir da equação indicada, e depois substituí-lo na expressão desejada, ou seja, na cotangente do arco, mas isso não é necessário.

Vamos relembrar a fórmula pela qual essas funções são interconectadas:

E vamos expressar a partir dele o que precisamos:

Para ter certeza, você pode verificar se o resultado está na faixa da cotangente do arco.

Transformações de funções de arco usando suas propriedades básicas

Agora vamos passar para uma série de tarefas nas quais teremos que usar transformações de funções de arco usando suas propriedades básicas.

Tarefa nº 6. Calcular .

Para a solução, utilizaremos as principais propriedades das funções de arco indicadas, verificando apenas obrigatoriamente as restrições correspondentes a elas.

a)

b) .

Responda. uma) ; b).

Tarefa nº 7. Calcular .

Um erro típico neste caso é escrever imediatamente na resposta 4. Como indicamos no exemplo anterior, para usar as propriedades principais das funções arc, é necessário verificar as restrições correspondentes em seu argumento. Estamos lidando com um imóvel:

no

Mas . O principal nesta fase da decisão é não pensar que a expressão especificada não faz sentido e não pode ser calculada. Afinal, o quádruplo, que é o argumento da tangente, podemos reduzir subtraindo o período da tangente, e isso não afetará o valor da expressão. Tendo feito tais ações, teremos a chance de reduzir o argumento para que ele entre no intervalo especificado.

Visto que, portanto, , Porque .

Tarefa nº 8. Calcular.

Neste exemplo, estamos lidando com uma expressão que é semelhante à propriedade main do arcsine, mas contém apenas cofunções. Deve ser levado à forma do seno do arco-seno ou do co-seno do arco-cosseno. Como é mais fácil converter funções trigonométricas diretas do que inversas, vamos passar de seno para cosseno usando a fórmula da "unidade trigonométrica".

Como já sabemos:

No nosso caso, na função . Por conveniência, primeiro calculamos .

Antes de substituí-lo na fórmula, descobrimos seu sinal, ou seja, o sinal do seno original. Devemos calcular o seno a partir do valor do arco cosseno, qualquer que seja esse valor, sabemos que está na faixa. Este intervalo corresponde aos ângulos do primeiro e segundo quartos, em que o seno é positivo (verifique isso por si mesmo usando o círculo trigonométrico).

Na sessão prática de hoje, vimos o cálculo e a transformação de expressões contendo funções trigonométricas inversas

Corrija o material com a ajuda de simuladores

Máquina 1 Máquina 2 Máquina 3 Máquina 4 Máquina 5

Lições 32-33. Funções trigonométricas inversas

09.07.2015 6432 0

Alvo: considere funções trigonométricas inversas, seu uso para escrever soluções para equações trigonométricas.

I. Comunicação do tema e objetivos das aulas

II. Aprendendo novos materiais

1. Funções trigonométricas inversas

Vamos iniciar este tópico com o exemplo a seguir.

Exemplo 1

Vamos resolver a equação: a) sen x = 1/2; b) sen x \u003d a.

a) No eixo das ordenadas, separe o valor 1/2 e trace os ângulos x 1 e x2, para o qual pecado x = 1/2. Neste caso, x1 + x2 = π, de onde x2 = π – x 1 . De acordo com a tabela de valores das funções trigonométricas, encontramos o valor x1 = π/6, entãoLevamos em conta a periodicidade da função seno e escrevemos as soluções desta equação:onde k ∈ Z .

b) É óbvio que o algoritmo para resolver a equação pecado x = a é o mesmo que no parágrafo anterior. Claro, agora o valor de a é plotado ao longo do eixo y. Há uma necessidade de designar de alguma forma o ângulo x1. Concordamos em denotar tal ângulo pelo símbolo arco pecado uma. Então as soluções desta equação podem ser escritas comoEssas duas fórmulas podem ser combinadas em uma: em que

Outras funções trigonométricas inversas são introduzidas de forma semelhante.

Muitas vezes é necessário determinar o valor de um ângulo a partir do valor conhecido de sua função trigonométrica. Esse problema é multivalorado - há um número infinito de ângulos cujas funções trigonométricas são iguais ao mesmo valor. Portanto, com base na monotonicidade das funções trigonométricas, as seguintes funções trigonométricas inversas são introduzidas para determinar exclusivamente os ângulos.

O arco-seno de a (arc-seno , cujo seno é igual a a, ou seja.

Arco cosseno de um número a(arcos a) - tal ângulo a do intervalo, cujo cosseno é igual a a, ou seja

Arco tangente de um número a(arctg a) - tal ângulo a do intervalocuja tangente é a, ou seja.tg a = a.

Arco tangente de um número a(arctg a) - tal ângulo a do intervalo (0; π), cuja cotangente é igual a a, ou seja ctg a = a.

Exemplo 2

Vamos encontrar:

Dadas as definições de funções trigonométricas inversas, temos:

Exemplo 3

Calcular

Seja ângulo a = arco seno 3/5, então por definição sen a = 3/5 e . Portanto, precisamos encontrar porque uma. Usando a identidade trigonométrica básica, temos:Leva-se em consideração que cos a ≥ 0. Então,

Propriedades da função	Função
	y = arco seno x	y = arcos x	y = arctg x	y = arcctg x
Domínio	x ∈ [-1; 1]	x ∈ [-1; 1]	x ∈ (-∞; +∞)	x ∈ (-∞ +∞)
Faixa de valores	y ∈ [-π/2 ; π/2]	y ∈	y ∈ (-π/2 ; π /2 )	y ∈ (0; π)
Paridade	ímpar	Nem par nem ímpar	ímpar	Nem par nem ímpar
Função zeros (y = 0)	Quando x = 0	Para x = 1	Quando x = 0	s ≠ 0
Intervalos de constância	y > 0 para x ∈ (0; 1], no< 0 при х ∈ [-1; 0)	y > 0 para x ∈ [-1; 1)	y > 0 para x ∈ (0; +∞), no< 0 при х ∈ (-∞; 0)	y > 0 para x ∈ (-∞; +∞)
Monótono	Aumentando	Diminui	Aumentando	Diminui
Relação com a função trigonométrica	sin y \u003d x	cosy = x	tg y = x	ctg y = x
Cronograma

Vamos dar alguns exemplos típicos relacionados às definições e propriedades básicas das funções trigonométricas inversas.

Exemplo 4

Encontre o domínio da função

Para que a função y seja definida, é necessário que a desigualdadeque é equivalente ao sistema de desigualdadesA solução da primeira inequação é o intervalo x∈ (-∞; +∞), o segundo - Esta lacuna e é uma solução para o sistema de desigualdades e, portanto, o domínio da função

Exemplo 5

Encontre a área de mudança da função

Considere o comportamento da função z \u003d 2x - x2 (veja a figura).

Pode-se ver que z ∈ (-∞; 1]. Dado que o argumento z função da tangente inversa varia dentro dos limites especificados, dos dados da tabela obtemos queAssim, a área de mudança

Exemplo 6

Vamos provar que a função y = arco x ímpar. Deixe serEntão tg a \u003d -x ou x \u003d - tg a \u003d tg (- a), e Portanto, - um \u003d arctg x ou um \u003d - arctg X. Assim, vemos queisto é, y(x) é uma função ímpar.

Exemplo 7

Expressamos em termos de todas as funções trigonométricas inversas

Deixe ser É óbvio que Então desde

Vamos introduzir um ângulo Como então

Da mesma forma, portanto e

Então,

Exemplo 8

Vamos construir um gráfico da função y \u003d cos (arco seno x).

Denote um arco \u003d em x, então Levamos em conta que x \u003d sen a e y \u003d cos a, ou seja, x 2 + y2 = 1, e restrições em x (x∈ [-1; 1]) e y (y ≥ 0). Então o gráfico da função y = cos(arcsin x) é um semicírculo.

Exemplo 9

Vamos construir um gráfico da função y \u003d arcos(cosx).

Como a função cos x muda no segmento [-1; 1], então a função y é definida em todo o eixo real e muda no intervalo . Lembrando que y = arcos(cosx) \u003d x no segmento; a função y é par e periódica com um período de 2π. Considerando que a função tem essas propriedades cos x , Agora ficou fácil plotar.

Observamos algumas igualdades úteis:

Exemplo 10

Encontre os menores e maiores valores da função Indicar então Obter uma função Esta função tem um mínimo no ponto z = π/4, e é igual a O valor máximo da função é atingido no ponto z = -π/2, e é igual a Assim, e

Exemplo 11

Vamos resolver a equação

Levamos em conta que Então a equação fica assim:ou Onde Pela definição do arco tangente, temos:

2. Solução das equações trigonométricas mais simples

Da mesma forma que no exemplo 1, você pode obter soluções para as equações trigonométricas mais simples.

A equação	Decisão
tgx = a
ctg x = a

Exemplo 12

Vamos resolver a equação

Como a função seno é ímpar, escrevemos a equação na formaSoluções para esta equação:onde encontramos

Exemplo 13

Vamos resolver a equação

De acordo com a fórmula acima, escrevemos as soluções da equação:e encontra

Observe que em casos particulares (a = 0; ±1) ao resolver as equações sen x = a e cos x \u003d, mas é mais fácil e conveniente não usar fórmulas gerais, mas escrever soluções com base em um círculo unitário:

para a equação sen x = 1 solução

para a equação sen x \u003d 0 soluções x \u003d π k;

para a equação sen x = -1 soluções

para a equação cos x = 1 soluções x = 2π k;

para a equação cos x = 0 soluções

para a equação cos x = -1 solução

Exemplo 14

Vamos resolver a equação

Como neste exemplo há um caso especial da equação, escrevemos a solução usando a fórmula correspondente:onde encontramos

III. Perguntas de controle (pesquisa frontal)

1. Defina e liste as principais propriedades das funções trigonométricas inversas.

2. Dê gráficos de funções trigonométricas inversas.

3. Solução das equações trigonométricas mais simples.

4. Atribuição nas aulas

§ 15, nº 3 (a, b); 4 (c, d); 7(a); 8(a); 12(b); 13(a); 15 (c); 16(a); 18 (a, b); 19 (c); 21;

§ 16, nº 4 (a, b); 7(a); 8 (b); 16 (a, b); 18(a); 19 (c, d);

§ 17, nº 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9 (b); 10 (a, c).

V. Lição de casa

§ 15, nº 3 (c, d); 4 (a, b); 7 (c); 8 (b); 12(a); 13(b); 15 (d); 16(b); 18 (c, d); 19 (d); 22;

§ 16, nº 4 (c, d); 7(b); 8(a); 16 (c, d); 18(b); 19 (a, b);

§ 17, nº 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (a, b); 9 (d); 10 (b, d).

VI. Tarefas criativas

1. Encontre o escopo da função:

Respostas :

2. Encontre o intervalo da função:

Respostas:

3. Faça o gráfico da função:

VII. Resumindo as lições

Agência Federal de Educação da Federação Russa

SEI HPE "Universidade Estadual de Mari"

Departamento de Matemática e MPM

Trabalho do curso

Funções trigonométricas inversas

Realizado:

aluna

33 grupos JNF

Yashmetova L.N.

Supervisor:

Ph.D. professor assistente

Borodina M. V.

Yoshkar-Ola

Introdução……………………………………………………………………………3

Capítulo I. Definição de funções trigonométricas inversas.

1.1. Função y=arco pecado x……………………………………………………........4

1.2. Função y=arcos x…………………………………………………….......5

1.3. Função y=arco x………………………………………………………….6

1.4. Função y=arco x…………………………………………………….......7

Capítulo II. Solução de equações com funções trigonométricas inversas.

Relações básicas para funções trigonométricas inversas ... .8

Resolvendo equações contendo funções trigonométricas inversas…………………………………………………………………………..11

Cálculo dos valores de funções trigonométricas inversas .................... 21

Conclusão………………………………………………………………………….25

Lista de literatura usada……………………………………………26

Introdução

Em muitos problemas, é necessário encontrar não apenas os valores das funções trigonométricas para um determinado ângulo, mas também, inversamente, um ângulo ou um arco para um determinado valor de alguma função trigonométrica.

Problemas com funções trigonométricas inversas estão contidos nas tarefas USE (especialmente muito nas partes B e C). Por exemplo, na parte B do Exame de Estado Unificado, era necessário encontrar o valor correspondente da tangente pelo valor do seno (coseno) ou calcular o valor de uma expressão contendo valores tabulares de funções trigonométricas inversas. Relativamente a este tipo de tarefas, notamos que tais tarefas nos manuais escolares não são suficientes para formar uma competência sólida na sua execução.

Que. o objetivo do trabalho do curso é considerar funções trigonométricas inversas e suas propriedades, e aprender a resolver problemas com funções trigonométricas inversas.

Para atingir o objetivo, precisamos resolver as seguintes tarefas:

Para estudar os fundamentos teóricos das funções trigonométricas inversas,

Mostrar a aplicação dos conhecimentos teóricos na prática.

CapítuloEU. Definição de funções trigonométricas inversas

1.1. Função y =arco pecadox

Considere a função
. (1)

Neste intervalo, a função é monotônica (aumenta de -1 para 1), portanto, existe uma função inversa

,
. (2)

Para cada valor dado no(valor seno) do intervalo [-1,1] corresponde a um valor bem definido X(valor do arco) do intervalo
. Passando para a notação geralmente aceita, temos

Onde
. (3)

Esta é a especificação analítica da função inversa à função (1). A função (3) é chamada arco-seno argumento . O gráfico desta função é uma curva simétrica ao gráfico da função , onde , em relação à bissetriz dos ângulos coordenados I e III.

Vamos apresentar as propriedades da função, onde .

Propriedade 1.Área de mudança de valores de função: .

Propriedade 2. A função é ímpar, ou seja.

Propriedade 3. A função, onde , tem uma única raiz
.

Propriedade 4. Se então
; E se , então.

Propriedade 5. A função é monotônica: à medida que o argumento aumenta de -1 para 1, o valor da função aumenta de
antes
.

1.2. Funçãoy = arcomporquex

Considere a função
, . (4)

Nesse intervalo, a função é monotônica (diminui de +1 para -1), o que significa que existe uma função inversa para ela

, , (5)

Essa. cada valor (valor do cosseno) do intervalo [-1,1] corresponde a um valor bem definido (valor do arco) do intervalo . Passando para a notação geralmente aceita, temos

, . (6)

Esta é a especificação analítica da função inversa à função (4). A função (6) é chamada arco cosseno argumento X. O gráfico desta função pode ser construído com base nas propriedades dos gráficos de funções mutuamente inversas.

A função , onde , tem as seguintes propriedades.

Propriedade 1.Área de mudança de valores de função:
.

Propriedade 2. Quantidades
e
relacionado pela razão

Propriedade 3. A função tem uma única raiz
.

Propriedade 4. A função não aceita valores negativos.

Propriedade 5. A função é monótona: à medida que o argumento aumenta de -1 para +1, os valores da função diminuem de para 0.

1.3. Funçãoy = arctgx

Considere a função
,
. (7)

Observe que esta função é definida para todos os valores que estão estritamente dentro do intervalo de a ; não existe nas extremidades deste intervalo, pois os valores

- pontos de interrupção da tangente.

Nesse ínterim
a função é monótona (aumenta de -
antes
), portanto, para a função (1) existe uma função inversa:

,
, (8)

Essa. para cada valor dado (valor tangente) do intervalo
corresponde a um valor bem definido (a magnitude do arco) do intervalo .

Passando para a notação geralmente aceita, temos

,
. (9)

Esta é a especificação analítica da função inversa a (7). A função (9) é chamada arco tangente argumento X. Observe que quando
valor da função
, e quando

, ou seja O gráfico da função tem duas assíntotas:
e.

A função , , tem as seguintes propriedades.

Propriedade 1. Faixa de valores de função
.

Propriedade 2. A função é ímpar, ou seja. .

Propriedade 3. A função tem uma única raiz.

Propriedade 4. Se um
, então

; E se , então
.

Propriedade 5. A função é monótona: à medida que o argumento de para aumenta, os valores da função aumentam de para +.

1.4. Funçãoy = arcctgx

Considere a função
,
. (10)

Esta função é definida para todos os valores situados no intervalo de 0 a ; não existe nas extremidades desse intervalo, pois os valores de e são os pontos de descontinuidade da cotangente. No intervalo (0,) a função é monotônica (decresce de a), portanto, para a função (1) existe uma função inversa

, (11)

Essa. para cada valor dado (valor cotangente) do intervalo (
) corresponde a um valor bem definido (a magnitude do arco) do intervalo (0,). Voltando à notação geralmente aceita, nos conectamos pela relação Resumo >> Matemática por trigonométrica funções. Para reverter trigonométrico funções geralmente referido como seis funções: arco-seno...

A dialética do desenvolvimento do conceito funções na escola matemática

Tese >> Pedagogia

... . Reverter trigonométrico funções. O objetivo principal é estudar as propriedades trigonométrico funções, ensine os alunos a construir seus gráficos. Primeiro trigonométrico função ...

Como surgiu e se desenvolveu o conceito? funções

Resumo >> Matemática

Como essa equação inclui reverter trigonométrico função, a ciclóide não é algébrica... e também a notação trigonométrico) reverter trigonométrico, exponencial e logarítmica funções. Tal funções chamado elementar. Em breve...

Seções: Matemática

As funções trigonométricas inversas são amplamente utilizadas no cálculo.

Tarefas relacionadas a funções trigonométricas inversas muitas vezes causam dificuldades significativas para alunos do ensino médio. Isso se deve, em primeiro lugar, ao fato de que, nos livros e manuais existentes, essas tarefas não recebem muita atenção e, se os alunos ainda lidam de alguma forma com as tarefas de calcular os valores das funções trigonométricas inversas, as equações e as desigualdades que contêm essas funções, muitas vezes as confundem. Este último não é surpreendente, pois praticamente nenhum livro didático (incluindo livros didáticos para aulas com estudo aprofundado de matemática) descreve um método para resolver até mesmo as equações e desigualdades mais simples desse tipo. O programa proposto é dedicado a métodos de resolução de equações e inequações e à transformação de expressões contendo funções trigonométricas inversas.

Será útil para professores que trabalham nas séries superiores - tanto do ensino geral quanto da matemática, bem como para os alunos interessados ​​em matemática.

Este curso expande o curso básico de matemática, oferece uma oportunidade para se familiarizar com questões interessantes de matemática. As questões abordadas no curso estão fora do escopo do curso de matemática exigido. No entanto, eles estão intimamente relacionados com o prato principal. Portanto, esta disciplina eletiva contribuirá para o aprimoramento e desenvolvimento de conhecimentos e habilidades matemáticas dos alunos.

Ao conduzir as aulas, as formas tradicionais, como uma palestra e um seminário, devem ser usadas, mas formas de organização como discussão, debate, apresentações, redação de ensaios devem ser trazidas à tona.

As opções para a certificação final podem ser as seguintes: testes, testes, redação de trabalhos sobre temas propostos pelo professor; tarefas individuais em que é necessário realizar pesquisas independentes, testes temáticos.

Os objetivos do curso são criar condições para a implementação de formação especializada; formação de um sistema integral de conhecimento matemático e a base para a educação matemática continuada em universidades de diversos perfis.

Objetivos do curso:

• ampliar o alcance do conhecimento matemático dos alunos;
• expandir a compreensão dos alunos de funções trigonométricas inversas;
• generalizar os principais métodos de resolução de equações, inequações contendo funções trigonométricas inversas;
• considere métodos para construir gráficos de funções trigonométricas inversas.

Requisitos para o nível de formação dos alunos.

• Os alunos devem saber:
  – definição de funções trigonométricas inversas, suas propriedades;
  – fórmulas básicas;
  – métodos de resolução de equações e inequações contendo funções trigonométricas inversas;
  – métodos para traçar gráficos de funções: y=arcsinx, y= arccosx, y=arctgx, y=arcctgx.
• Os alunos devem ser capazes de:
  - aplicar as propriedades e fórmulas básicas de funções trigonométricas inversas;
  – resolver as equações e desigualdades mais simples;
  – realizar a transformação de expressões contendo funções trigonométricas inversas;
  – aplicar vários métodos de resolução de equações e inequações;
  – resolver equações e inequações com parâmetros contendo funções trigonométricas inversas;
  - construir gráficos de funções trigonométricas inversas.

O planejamento do curso temático dado é exemplar. O professor pode variar o número de horas atribuídas ao estudo de tópicos individuais, tendo em conta o nível de preparação dos alunos.

Planejamento temático

	Sujeito	Número de horas	Formas de atividades de aprendizagem
	Funções trigonométricas inversas e suas propriedades. Valores de funções trigonométricas inversas.		Trabalho independente com literatura educacional, seminário.
	Gráficos de funções trigonométricas inversas.		Trabalho prático.
	Convertendo expressões contendo funções trigonométricas inversas.		Análise e análise de soluções. Teste.
	Solução das equações e inequações trigonométricas mais simples.		Sessão do seminário.
	Métodos de resolução de equações e inequações contendo funções trigonométricas inversas.		Análise e análise de soluções. Disputa. Teste.
	Solução de equações e inequações contendo parâmetros.		Análise e análise de soluções. Discussão.
	Generalizando a repetição		Desenvolvimento e proteção do projeto.
	Controle final do curso.		Teste. Proteção abstrata.

“Funções trigonométricas inversas, seus gráficos. Valores de funções trigonométricas inversas”.

Definição de funções trigonométricas inversas, suas propriedades. Encontrando os valores de funções trigonométricas inversas.

"Gráficos de funções trigonométricas inversas".

Funçõesy= arcsinx, y= umarccosx, y= arctgx, y= arcctgx, seus gráficos.

"Conversão de expressões contendo funções trigonométricas inversas".

Cálculo de valores de funções trigonométricas a partir dos valores de funções trigonométricas inversas. Verificação da validade de igualdades contendo funções trigonométricas inversas. Simplificando expressões contendo imagemfunções trigonométricas sólidas» .

"Solução das equações trigonométricas mais simples e inequações contendo funções trigonométricas inversas".

Equações:arcsinx=a,arcosx=a,arctgx=a,arcctgx=a.
Desigualdades:arcsinx>a,arcosx>a,arctgx>a,arcctgx>a,arcsinx<а, arcosx<а, arctgx<а, arcctgx<а.

"Métodos para resolver equações e desigualdades contendo funções trigonométricas inversas".

Equações e desigualdades, cujas partes esquerda e direita são funções trigonométricas inversas com o mesmo nome. Equações e desigualdades cujas partes esquerda e direita são funções trigonométricas inversas opostas. Substituição variável. Usando a monotonicidade e limitação de funções trigonométricas inversas.

"Resolver equações e desigualdades contendo parâmetros".

Métodos de resolução de equações e inequações contendo parâmetros.

"Repetição generalizada".

Resolução de equações e inequações de diferentes níveis.

Controle final do curso (2 horas).

As atividades de controle podem ser representadas na formatestes em diversas variantes e diferentes níveis de complexidade. Proteção de resumos sobre determinados tópicos.

Literatura para alunos:

1. Kramor V.S., Mikhailov P.A. funções trigonométricas. – M.: Iluminismo, 1983.
2. Litvinenko VN, Mordkovich AG Workshop sobre resolução de problemas matemáticos. – M.: Iluminismo, 1984.
3. Tsypkin A. G., Pinsky A. I. Manual sobre métodos de resolução de problemas para o ensino médio. – M.: Nauka, 1983.
4. Disco CD 1C: Tutor Matemática. 1 parte.
5. Recursos da Internet: Coleção de resumos.

Literatura para o professor:

1. Ershov V., Raykhmist R.B. Construção de gráficos de funções. – M.: Iluminismo, 1984.
2. Vasil'eva V. A., Kudrina T. D., Molodozhnikova R. N. Manual metodológico em matemática para candidatos a universidades. – M.: MAI, 1992.
3. Ershova A.P., Goloborodko V.V. Algebra. O início da análise. – M.: ILEKSA, 2003.
4. Coleção de problemas em matemática para concursos em universidades técnicas / Ed. M. I. Skanavi. - M.: Ensino Superior, 2003.
5. Revistas "Matemática na escola".