Plano de aula.
1. Momento organizacional.
2. Apresentação do material.
3. Lição de casa.
4. Resumindo a lição.
Durante as aulas
I. Momento organizacional.
II. Apresentação do material.
Motivação.
A expansão do conjunto dos números reais consiste no fato de que novos números (imaginários) são adicionados aos números reais. A introdução desses números está ligada à impossibilidade no conjunto dos números reais de extrair a raiz de um número negativo.
Introdução do conceito de número complexo.
Os números imaginários com os quais suplementamos os números reais são escritos como bi, Onde eué a unidade imaginária, e e 2 = - 1.
Com base nisso, obtemos a seguinte definição de um número complexo.
Definição. Um número complexo é uma expressão da forma a+bi, Onde uma e b são números reais. Nesse caso, as seguintes condições são atendidas:
a) Dois números complexos a 1 + b 1 e a 2 + b 2 igual se e somente se a 1 = a 2, b1=b2.
b) A adição de números complexos é determinada pela regra:
(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.
c) A multiplicação de números complexos é determinada pela regra:
(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.
Forma algébrica de um número complexo.
Escrevendo um número complexo na forma a+bié chamada de forma algébrica de um número complexo, onde uma- parte real bié a parte imaginária, e bé um número real.
Número complexo a+bié considerado igual a zero se suas partes real e imaginária são iguais a zero: a=b=0
Número complexo a+bi no b = 0 considerado um número real uma: a + 0i = a.
Número complexo a+bi no a = 0é chamado puramente imaginário e é denotado bi: 0 + bi = bi.
Dois números complexos z = a + bi e = a – bi, que diferem apenas no sinal da parte imaginária, são chamados de conjugados.
Ações sobre números complexos na forma algébrica.
As seguintes operações podem ser realizadas em números complexos na forma algébrica.
1) Adição.
Definição. A soma dos números complexos z 1 = a 1 + b 1 i e z 2 = a 2 + b 2 i chamado de número complexo z, cuja parte real é igual à soma das partes reais z1 e z2, e a parte imaginária é a soma das partes imaginárias dos números z1 e z2, ou seja z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.
Números z1 e z2 são chamados de termos.
A adição de números complexos tem as seguintes propriedades:
1º. Comutatividade: z1 + z2 = z2 + z1.
2º. Associatividade: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).
3º. Número complexo -a -bié chamado o oposto de um número complexo z = a + bi. Número complexo oposto ao número complexo z, denotado -z. Soma de números complexos z e -z igual a zero: z + (-z) = 0
Exemplo 1: Adicionar (3 - i) + (-1 + 2i).
(3 - i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.
2) Subtração.
Definição. Subtrair do número complexo z1 número complexo z2 z, que z + z 2 = z 1.
Teorema. A diferença dos números complexos existe e, além disso, é única.
Exemplo 2: Subtrair (4 - 2i) - (-3 + 2i).
(4 - 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 - 4i.
3) Multiplicação.
Definição. O produto de números complexos z 1 = a 1 + b 1 i e z 2 \u003d a 2 + b 2 i chamado de número complexo z, definido pela igualdade: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.
Números z1 e z2 são chamados de fatores.
A multiplicação de números complexos tem as seguintes propriedades:
1º. Comutatividade: z 1 z 2 = z 2 z 1.
2º. Associatividade: (z 1 z 2) z 3 = z 1 (z 2 z 3)
3º. Distributividade da multiplicação em relação à adição:
(z 1 + z 2) z 3 \u003d z 1 z 3 + z 2 z 3.
4º. z \u003d (a + bi) (a - bi) \u003d a 2 + b 2é um número real.
Na prática, a multiplicação de números complexos é realizada de acordo com a regra de multiplicar a soma pela soma e separar as partes reais e imaginárias.
No exemplo a seguir, considere a multiplicação de números complexos de duas maneiras: pela regra e multiplicando a soma pela soma.
Exemplo 3: Multiplicar (2 + 3i) (5 - 7i).
1 caminho. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + i.
2 maneiras. (2 + 3i) (5 - 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 - 14i + 15i + 21 = 31 + i.
4) Divisão.
Definição. Dividir um número complexo z1 para um número complexo z2, significa encontrar um número tão complexo z, que z 2 = z 1.
Teorema. O quociente dos números complexos existe e é único se z2 ≠ 0 + 0i.
Na prática, o quociente dos números complexos é encontrado multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.
Deixe ser z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, então
.
No exemplo a seguir, realizamos a divisão pela fórmula e a regra da multiplicação pelo conjugado do denominador.
Exemplo 4. Encontre um quociente 
.
5) Elevando a uma potência inteira positiva.
a) Potências da unidade imaginária.
Aproveitando a igualdade e 2 \u003d -1, é fácil definir qualquer potência inteira positiva da unidade imaginária. Nós temos:
i 3 \u003d i 2 i \u003d -i,
i 4 \u003d i 2 i 2 \u003d 1,
i 5 \u003d i 4 i \u003d i,
i 6 \u003d i 4 i 2 \u003d -1,
i 7 \u003d i 5 i 2 \u003d -i,
e 8 = e 6 e 2 = 1 etc.
Isso mostra que os valores de grau dentro, Onde n- um número inteiro positivo, repetido periodicamente quando o indicador aumenta em 4 .
Portanto, para aumentar o número eu para uma potência inteira positiva, divida o expoente por 4 e ereto euà potência cujo expoente é o resto da divisão.
Exemplo 5 Calcular: (e 36 + e 17) e 23.
i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,
i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 i = i.
i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 i 3 = - i.
(i 36 + i 17) i 23 \u003d (1 + i) (- i) \u003d - i + 1 \u003d 1 - i.
b) Elevar um número complexo a uma potência inteira positiva é feito de acordo com a regra de elevar um binômio à potência correspondente, pois é um caso especial de multiplicação de fatores complexos idênticos.
Exemplo 6 Calcular: (4 + 2i) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.
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Forma algébrica de um número complexo.
Adição, subtração, multiplicação e divisão de números complexos.
Já nos deparamos com a forma algébrica de um número complexo - esta é a forma algébrica de um número complexo. Por que estamos falando de forma? O fato é que também existem formas trigonométricas e exponenciais de números complexos, que serão discutidas no próximo parágrafo.
As operações com números complexos não são particularmente difíceis e diferem pouco da álgebra comum.
Adição de números complexos
Exemplo 1
Some dois números complexos,
Para somar dois números complexos, some suas partes reais e imaginárias:
Simples, não é? A ação é tão óbvia que dispensa comentários adicionais.
De uma forma tão simples, você pode encontrar a soma de qualquer número de termos: some as partes reais e some as partes imaginárias.
Para números complexos, a regra da primeira classe é verdadeira: 
- a partir do rearranjo dos termos, a soma não muda.
Subtração de números complexos
Exemplo 2
Encontre as diferenças de números complexos e , se ,
A ação é semelhante à adição, a única característica é que o subtraendo deve ser tomado entre colchetes e, em seguida, como padrão, abra esses colchetes com uma mudança de sinal:
O resultado não deve confundir, o número resultante tem duas, não três partes. Apenas a parte real é um componente: . Para maior clareza, a resposta pode ser reescrita da seguinte forma: .
Vamos calcular a segunda diferença:
Aqui a parte real também é um componente:
Para evitar qualquer eufemismo, vou dar um pequeno exemplo com uma parte imaginária "ruim": . Aqui você não pode ficar sem parênteses.
Multiplicação de números complexos
Chegou o momento de apresentar a você a famosa igualdade:
Exemplo 3
Encontre o produto de números complexos,
Obviamente, o trabalho deve ser escrito assim:
O que está sendo perguntado? Sugere-se abrir os colchetes de acordo com a regra de multiplicação de polinômios. É assim que deve ser feito! Todas as operações algébricas são familiares para você, a principal coisa a lembrar é que e tenha cuidado.
Vamos repetir, omg, a regra da escola para multiplicar polinômios: Para multiplicar um polinômio por um polinômio, você precisa multiplicar cada termo de um polinômio por cada termo do outro polinômio.
Vou escrever em detalhes:
Espero que tenha ficado claro para todos que
Atenção, e novamente atenção, na maioria das vezes um erro é cometido nos sinais.
Assim como a soma, o produto de números complexos é permutável, ou seja, a igualdade é verdadeira: .
Na literatura educacional e na Web, é fácil encontrar uma fórmula especial para calcular o produto de números complexos. Use-o se quiser, mas me parece que a abordagem com multiplicação de polinômios é mais universal e mais clara. Não vou dar a fórmula, acho que nesse caso está entupindo a cabeça com serragem.
Divisão de números complexos
Exemplo 4
Dados números complexos , . Encontre privado.
Vamos fazer um quociente:
A divisão dos números é feita multiplicando o denominador e o numerador pela expressão conjugada do denominador.
Relembramos a fórmula barbuda e olhamos para o nosso denominador: . O denominador já tem , então a expressão conjugada neste caso é , ou seja
De acordo com a regra, o denominador deve ser multiplicado por , e para que nada mude, multiplique o numerador pelo mesmo número:
Vou escrever em detalhes:
Peguei um exemplo “bom”, se você pegar dois números “do trator”, então, como resultado da divisão, você quase sempre obterá frações, algo assim.
Em alguns casos, antes de dividir, é aconselhável simplificar a fração, por exemplo, considerar o quociente dos números:. Antes de dividir, nos livramos dos menos desnecessários: no numerador e no denominador, tiramos os menos dos colchetes e reduzimos esses menos: 
. Para quem gosta de resolver, vou dar a resposta correta:
Raramente, mas existe essa tarefa:
Exemplo 5
Você recebe um número complexo. Escreva o número dado na forma algébrica (ou seja, na forma).
A recepção é a mesma - multiplicamos o denominador e o numerador pela expressão conjugada ao denominador. Vamos olhar para a fórmula novamente. O denominador já possui , então o denominador e o numerador devem ser multiplicados pela expressão conjugada, ou seja, por:
Na prática, eles podem facilmente oferecer um exemplo sofisticado em que você precisa realizar muitas operações com números complexos. Nada de pânico: tome cuidado, siga as regras da álgebra, a ordem algébrica usual das operações, e lembre-se que .
Forma trigonométrica e exponencial de um número complexo
Nesta seção, vamos nos concentrar mais na forma trigonométrica de um número complexo. A forma exponencial em tarefas práticas é muito menos comum. Recomendo baixar e, se possível, imprimir as tabelas trigonométricas, o material metodológico pode ser encontrado na página Fórmulas matemáticas e tabelas. Você não pode ir longe sem mesas.
Qualquer número complexo (exceto zero) pode ser escrito na forma trigonométrica: 
, Cadê módulo de número complexo, uma - argumento de número complexo. Não fuja, é mais fácil do que você pensa.
Desenhe um número no plano complexo. Para definição e simplicidade de explicações, vamos colocá-lo no primeiro quarto coordenado, ou seja, pensamos que:
O módulo de um número complexoé a distância da origem das coordenadas ao ponto correspondente do plano complexo. Simplificando, módulo é o comprimento vetor de raio, que está marcado em vermelho no desenho.
O módulo de um número complexo é geralmente denotado por: ou
Usando o teorema de Pitágoras, é fácil derivar uma fórmula para encontrar o módulo de um número complexo: . Esta fórmula é válida para qualquer significa "um" e "ser".
Observação: o módulo de um número complexo é uma generalização do conceito módulo de número real, como a distância do ponto à origem.
O argumento de um número complexo chamado injeção entre eixo positivo o eixo real e o vetor raio desenhado da origem ao ponto correspondente. O argumento não está definido para singular: .
O princípio em consideração é, na verdade, semelhante ao coordenadas polares, onde o raio polar e o ângulo polar definem exclusivamente um ponto.
O argumento de um número complexo é geralmente denotado por: ou
A partir de considerações geométricas, obtém-se a seguinte fórmula para encontrar o argumento:
. Atenção! Esta fórmula funciona apenas no semiplano direito! Se o número complexo não estiver localizado no 1º ou 4º quadrante de coordenadas, a fórmula será ligeiramente diferente. Também consideraremos esses casos.
Mas primeiro, considere os exemplos mais simples, quando os números complexos estão localizados nos eixos coordenados.
Exemplo 7
Vamos executar o desenho:
Na verdade, a tarefa é oral. Para maior clareza, vou reescrever a forma trigonométrica de um número complexo: 
Vamos lembrar bem, o módulo - comprimento(que é sempre não negativo), o argumento é injeção.
1) Vamos representar o número na forma trigonométrica. Encontre seu módulo e argumento. É óbvio que. Cálculo formal de acordo com a fórmula: .
É óbvio que (o número está diretamente no semieixo real positivo). Então o número na forma trigonométrica é: 
.
Limpar como o dia, ação de verificação inversa:
2) Vamos representar o número na forma trigonométrica. Encontre seu módulo e argumento. É óbvio que. Cálculo formal de acordo com a fórmula: .
Obviamente (ou 90 graus). No desenho, o canto está marcado em vermelho. Então o número na forma trigonométrica é: 
.
Usando a tabela de valores das funções trigonométricas, é fácil recuperar a forma algébrica de um número (ao mesmo tempo, verificando):
3) Vamos representar o número na forma trigonométrica. Encontre seu módulo e argumento. É óbvio que. Cálculo formal de acordo com a fórmula: .
Obviamente (ou 180 graus). No desenho, o ângulo é indicado em azul. Então o número na forma trigonométrica é: 
.
Exame:
4) E o quarto caso interessante. Vamos representar o número na forma trigonométrica. Encontre seu módulo e argumento. É óbvio que. Cálculo formal de acordo com a fórmula: .
O argumento pode ser escrito de duas maneiras: Primeira maneira: (270 graus), e, consequentemente: 
. Exame:
No entanto, a seguinte regra é mais padrão: Se o ângulo for maior que 180 graus, então é escrito com um sinal de menos e a orientação oposta (“rolagem”) do ângulo: (menos 90 graus), no desenho o ângulo é marcado em verde. É fácil ver que e são o mesmo ângulo.
Assim, a entrada fica: 
Atenção! Em nenhum caso você deve usar a uniformidade do cosseno, a estranheza do seno e realizar uma "simplificação" adicional do registro:
A propósito, é útil lembrar a aparência e as propriedades das funções trigonométricas e trigonométricas inversas, os materiais de referência estão nos últimos parágrafos da página Gráficos e propriedades de funções elementares básicas. E os números complexos são muito mais fáceis de aprender!
No desenho dos exemplos mais simples, deve-se escrever assim: “é óbvio que o módulo é... é óbvio que o argumento é...”. Isso é realmente óbvio e facilmente resolvido verbalmente.
Passemos aos casos mais comuns. Como já observei, não há problemas com o módulo, você deve sempre usar a fórmula. Mas as fórmulas para encontrar o argumento serão diferentes, depende do quarto de coordenadas em que o número se encontra. Neste caso, três opções são possíveis (é útil reescrevê-las em seu caderno):
1) Se (1º e 4º quartos de coordenadas, ou o semiplano direito), então o argumento deve ser encontrado usando a fórmula.
2) Se (2º trimestre de coordenadas), então o argumento deve ser encontrado pela fórmula 
.
3) Se (3º trimestre coordenado), então o argumento deve ser encontrado pela fórmula 
.
Exemplo 8
Expresse os números complexos na forma trigonométrica: , , , .
Assim que houver fórmulas prontas, o desenho não será necessário. Mas há um ponto: quando você é solicitado a apresentar um número na forma trigonométrica, então desenhar é melhor fazer de qualquer maneira. O fato é que os professores muitas vezes rejeitam uma solução sem desenho, a ausência de desenho é um motivo sério para um menos e um fracasso.
Eh, eu não desenho nada à mão há cem anos, espere:
Como sempre, ficou bagunçado =)
Vou apresentar os números e de forma complexa, o primeiro e o terceiro números serão para decisão independente.
Vamos representar o número na forma trigonométrica. Encontre seu módulo e argumento.
Forma algébrica de escrever um número complexo ........................................ ... ................... | |||
Plano de números complexos ............................................. ................................................................... ................... ... | |||
Números conjugados complexos ............................................. ......................................................... ............... | |||
Operações com números complexos na forma algébrica ........................................ ................... .... | |||
Adição de números complexos ............................................. ................................................................... ................... | |||
Subtração de números complexos ............................................. ....................................................... .......... | |||
Multiplicação de números complexos ............................................. ....................................................... ......... | |||
Divisão de números complexos ............................................. ......................................................... ............... ... | |||
Forma trigonométrica de um número complexo .................................................. .......... .......... | |||
Operações com números complexos na forma trigonométrica ........................................ ........... | |||
Multiplicação de números complexos na forma trigonométrica ........................................ ......................... | |||
Divisão de números complexos na forma trigonométrica ........................................ ................... ... | |||
Elevando um número complexo a uma potência inteira positiva | |||
Extraindo a raiz de uma potência inteira positiva de um número complexo | |||
Elevando um número complexo a uma potência racional ........................................ .................................... | |||
Série complexa .................................................. ......................................................... ......................................... | |||
Série de números complexos ............................................. ......................................................... ............... | |||
Série de potências no plano complexo .................................................. ......................................................... | |||
Série de potências bilaterais no plano complexo ........................................ ....................... ... | |||
Funções de uma variável complexa ............................................. ........................................................ ................... | |||
Funções elementares básicas .................................................... ................................................... .......... | |||
Fórmulas de Euler .................................................... .. .................................................. ......................... | |||
A forma exponencial da representação de um número complexo ........................................ ...... . | |||
Relação entre funções trigonométricas e hiperbólicas ............................................. | |||
Função logarítmica ........................................................ ......................................................... .................. ... | |||
Funções exponenciais gerais e potências gerais .................................................. ....................... ............... | |||
Diferenciação de funções de uma variável complexa ........................................ .................... ... | |||
Condições de Cauchy-Riemann ............................................. ......................................................... ......... ............ | |||
Fórmulas para calcular a derivada ............................................. .................. ................................. | |||
Propriedades da operação de diferenciação .................................................. ................................................... | |||
Propriedades das partes real e imaginária de uma função analítica ........................................ ....... | |||
Recuperação de uma função de uma variável complexa de seu real ou imaginário |
|||
Método número 1. Usando a Integral Curvilínea ............................................. ......... ......... | |||
Método número 2. Aplicação direta das condições de Cauchy-Riemann ........................................ | |||
Método número 3. Através da derivada da função desejada .......................................... ....................... ......... | |||
Integração de funções de uma variável complexa .......................................... .................................................... | |||
Fórmula integral de Cauchy ............................................. .................................................. . .. | |||
Expansão de funções em séries de Taylor e Laurent ............................................. .................................... | |||
Zeros e pontos singulares de uma função de uma variável complexa ........................................ ...... ..... | |||
Zeros de uma função de uma variável complexa ............................................. ........................................ | |||
Pontos singulares isolados de uma função de uma variável complexa ........................................ ...... | |||
14.3 Ponto no infinito como um ponto singular de uma função de uma variável complexa
Retiradas .................................................. .................................................. . .............................................. | |||
Dedução no ponto final ............................................. ......................................................................... ............ ...... | |||
Resíduo de uma função em um ponto no infinito ........................................ ......................... .................. | |||
Cálculo de integrais usando resíduos ............................................. ......................................................... | |||
Questões para auto-exame ............................................. ......................................................... ......... ......... | |||
Literatura................................................. .................................................. . ........................ | |||
Índice de assuntos................................................ .................................................. . .............. | |||
Prefácio
É bastante difícil alocar corretamente tempo e esforço na preparação para as partes teóricas e práticas de um exame ou certificação de módulo, especialmente porque sempre não há tempo suficiente durante a sessão. E como mostra a prática, nem todos podem lidar com isso. Como resultado, durante o exame, alguns alunos resolvem corretamente os problemas, mas têm dificuldade em responder às questões teóricas mais simples, enquanto outros podem formular um teorema, mas não podem aplicá-lo.
Estas recomendações metodológicas de preparação para o exame do curso de Teoria das Funções de uma Variável Complexa (TFV) são uma tentativa de resolver essa contradição e garantir a repetição simultânea do material teórico e prático do curso. Guiados pelo princípio “Teoria sem prática é morta, prática sem teoria é cega”, contêm tanto as posições teóricas do curso ao nível das definições e formulações, como exemplos ilustrativos da aplicação de cada posição teórica dada e, assim, facilitando sua memorização e compreensão.
O objetivo das recomendações metodológicas propostas é ajudar o aluno a se preparar para o exame em um nível básico. Em outras palavras, foi compilado um guia de trabalho estendido que contém os principais pontos usados nas aulas do curso TFKT e necessários para fazer os trabalhos de casa e preparar as atividades de controle. Além do trabalho independente dos alunos, esta publicação educacional eletrônica pode ser utilizada na realização de aulas de forma interativa utilizando uma lousa eletrônica ou para colocação em sistema de ensino a distância.
Observe que este trabalho não substitui livros didáticos ou notas de aula. Para um estudo aprofundado do material, recomenda-se consultar as seções relevantes da publicação publicada na Universidade Técnica Estadual de Moscou. N.E. Manual básico de Bauman.
No final do manual há uma lista de literatura recomendada e um índice de assuntos, que inclui todos aqueles destacados no texto. negrito itálico termos. O índice consiste em hiperlinks para seções onde esses termos são estritamente definidos ou descritos e onde são fornecidos exemplos para ilustrar seu uso.
O manual destina-se aos alunos do 2º ano de todas as faculdades do MSTU. N.E. Bauman.
1. Forma algébrica de escrever um número complexo
Gravação da forma z \u003d x + iy, onde x, y são números reais, i é uma unidade imaginária (ou seja, i 2 = − 1)
é chamada de forma algébrica do número complexo z. Nesse caso, x é chamado de parte real do número complexo e denotado por Re z (x = Re z ), y é chamado de parte imaginária do número complexo e denotado por Im z (y = Im z ).
Exemplo. O número complexo z = 4− 3i tem a parte real Rez = 4 e a parte imaginária Imz = − 3 .
2. Plano de números complexos
NO teorias de funções de uma variável complexa consideramplano de número complexo, que também é indicado, ou as letras que denotam números complexos z, w, etc. são usadas.
O eixo horizontal do plano complexo é chamado eixo real, os números reais estão localizados nele z \u003d x + 0i \u003d x.
O eixo vertical do plano complexo é chamado de eixo imaginário, tem
3. Números conjugados complexos
Os números z = x + iy e z = x − iy são chamados conjugado complexo. No plano complexo, eles correspondem a pontos simétricos em relação ao eixo real.
4. Operações com números complexos na forma algébrica
4.1 Adição de números complexos
A soma de dois números complexos | z 1 = x 1 + iy 1 | e z 2 = x 2 + iy 2 é chamado de número complexo |
|||||||||||
z 1+ z 2 | = (x 1+ iy 1) + (x 2+ iy 2) = (x 1+ x 2) + i (y 1+ y 2) . | Operação | aditivos |
||||||||||
números complexos é semelhante à operação de adição de binômios algébricos. | |||||||||||||
Exemplo. A soma de dois números complexos z 1 = 3+ 7i e z 2 | = -1 +2 | será um número complexo |
|||||||||||
z 1 +z 2 =(3 +7 i ) +(−1 +2 i ) =(3 −1 ) +(7 +2 ) i =2 +9 i . | |||||||||||||
Obviamente, | soma em um complexo | conjugado | é um | válido | |||||||||
z + z = (x + iy) + (x − iy) = 2 x= 2 Rez. | |||||||||||||
4.2 Subtração de números complexos | |||||||||||||
A diferença de dois números complexos z 1 = x 1 + iy 1 | X 2 +iy 2 | chamado | compreensivo |
||||||||||
número z 1− z 2= (x 1+ iy 1) − (x 2+ iy 2) = (x 1− x 2) + i (y 1− y 2) . | |||||||||||||
Exemplo. A diferença entre dois números complexos | z 1 =3 −4i | e z2 | = -1 +2 | haverá um abrangente |
|||||||||
número z 1 − z 2 = (3− 4i ) − (− 1+ 2i ) = (3− (− 1) ) + (− 4− 2) i = 4− 6i . | |||||||||||||
diferença | conjugado complexo | é um | |||||||||||
z − z = (x+ iy) − (x − iy) = 2 iy= 2 iIm z. | |||||||||||||
4.3 Multiplicação de números complexos | |||||||||||||
O produto de dois números complexos | z 1 = x 1 + iy 1 | e z 2= x 2+ iy 2 | é chamado de complexo |
||||||||||
z 1z 2= (x 1+ iy 1)(x 2+ iy 2) = x 1x 2+ iy 1x 2+ iy 2x 1+ i 2 y 1y 2 | = (x 1x 2− y 1y 2) + i (y 1x 2+ y 2x ) . | ||||||||||||
Assim, a operação de multiplicação de números complexos é semelhante à operação de multiplicação de binômios algébricos, levando em consideração o fato de que i 2 = − 1.
