Teorema principal de análise

Teorema principal de análise ou Fórmula de Newton-Leibniz dá a relação entre duas operações: tomar uma integral definida e calcular a antiderivada

Redação

Considere a integral da função y = f(x) dentro de um número constante uma até o número x, que vamos considerar variável. Escrevemos a integral da seguinte forma:

Este tipo de integral é chamado de integral com um limite superior variável. Usando o teorema da integral média em definida, é fácil mostrar que uma dada função é contínua e diferenciável. E também a derivada desta função no ponto x é igual à própria função integrável. Daqui segue-se que qualquer função contínua tem uma antiderivada na forma de uma quadratura: . E como a classe de primitivas da função f difere por uma constante, é fácil mostrar que: a integral definida da função f é igual à diferença entre os valores das primitivas nos pontos b e a

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Fórmula de Newton-Leibniz

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Certa vez, meu pai e eu estávamos indo para longe em um carro. E esta é uma boa razão para uma conversa inteligente.

Estamos falando dos "teoremas básicos". O teorema básico da aritmética é que qualquer número inteiro pode ser decomposto em um produto de números primos e de uma maneira única. O teorema básico da álgebra é que um polinômio tem tantas raízes quanto seu grau (embora haja um inferno com as formulações). E então o principal teorema de análise de alguma forma saiu da minha cabeça.

Pai sugeriu que o teorema fundamental da análise é o teorema de Newton-Leibniz. “Do que se trata?” Eu perguntei. Pai: “Não me lembro do texto exato, mas algo sobre o fato de que a integração é uma operação inversa à diferenciação.”

Espere, isso não é por definição?

Como sempre acontece com esses teoremas fundamentais, o que eles dizem parece óbvio depois que você já passou por isso. Mas, na verdade, é o principal teorema que nos permite considerar a integração e a diferenciação como operações inversas. O raciocínio profundamente anticientífico irá além, onde qualquer matemático encontrará 100.500 erros formais, mas isso não é importante agora.

O que é diferenciação? É quando desenhamos uma tangente em cada ponto da função e encontramos a tangente do ângulo em que ela passa para o horizonte, assim:

Agora, se a cada ponto for atribuída a tangente encontrada, uma nova função será obtida, que é chamada de derivada. Deixe-me lembrá-lo que o número e que a derivada da função exé igual a ex, ou seja, em cada ponto, a tangente do ângulo é exatamente igual ao valor da própria função.

O que é integração? Isso é encontrar a área de uma figura sob a curva de uma função limitada por alguns limites verticais uma e b e o eixo horizontal:

Se você dividir por um número crescente de retângulos e observar o limite da soma das áreas, obterá apenas a área dessa figura. Essa área é chamada de integral definida da função y = f(x) no segmento [ uma; b] e está marcado assim:

Francamente, não é nada óbvio que as besteiras sobre ângulos e besteiras sobre a área estejam geralmente conectadas de alguma forma.

E é assim que eles estão conectados. A derivada inversa de uma função é chamada de antiderivada. Antiderivada de f(x)é tal função g(x) que seu derivado g´(x) = f(x). Por exemplo, a função y = x 2 + 8 derivada y = 2x. Então para a função y = x função y = (x 2 / 2) + 4 é antiderivada.

É fácil ver que há um número infinito de tais funções. Por exemplo, a derivada da função y = x 2 + 28 também é y = 2x. Então para a função y = x função ( x 2 / 2) + 14 também é uma antiderivada. Isso é lógico, porque a derivada é o ângulo em cada ponto, e é natural que ela não mude dependendo da altura para a qual elevamos verticalmente todo o gráfico da função como um todo. Então para a função x primitivo é x 2/2 mais tanto quanto você gosta.

Então, acontece que, para encontrar a área da figura sob a função y = f(x) variando de uma antes b, você precisa pegar os valores de qualquer uma de suas primitivas g(x) em pontos b e uma e subtraia um do outro:

Aqui g- embora qualquer um, mas ainda algum tipo de primitivo, portanto, "quantos você quiser" será o mesmo para ele, eles serão subtraídos um do outro e não afetarão o resultado. Você pode pegar alguma função simples como y = 2x, onde a área sem integrais é fácil de calcular em sua mente e verificar. Funciona!

Essa fórmula é chamada de teorema fundamental da análise ou teorema de Newton-Leibniz. Se for provado, já podemos chamar a descoberta da integração antiderivada e geralmente tratar a diferenciação e a integração como operações mutuamente inversas.

§ 5. Teorema principal de análise

1. Teorema principal. O conceito de integração, e até certo ponto de diferenciação, foi bem desenvolvido antes do trabalho de Newton e Leibniz. Mas era absolutamente necessário fazer uma descoberta muito simples para dar impulso à enorme evolução da análise matemática recém-criada. Dois processos de limite aparentemente não contíguos entre si, usados ​​um para diferenciação e outro para funções de integração, mostraram-se intimamente ligados um ao outro. Na verdade, eles são mútuos

				operações inversas,
				bom para operações como
				adição e subtração, inteligente
				corte e divisão. Diferen-
				sociais e integrais
				os números são
				algo unificado.
				A grande conquista do Novo
				tom e Leibniz é
				em que pela primeira vez eles
Arroz. 274. Int jogado como uma função topo				mas entendido e usado
				este principal teorema de análise
				atras do. Sem dúvida, eles estão abertos

postura de gravata f mas o caminho direto é desenvolvimento científico, e nada surpreendente Notavelmente, a diferença Esses indivíduos chegaram de forma independente e quase simultaneamente a uma compreensão clara da circunstância acima.

Para formular o teorema principal com precisão, consideramos a integral da função y = f(x) no intervalo de um número constante a até um número x, que consideraremos variável. Para não confundir o limite superior de integração x com a variável que aparece sob o sinal de integral, escrevemos a integral da seguinte forma (ver página 428):

F(x)=Z

demonstrando assim nossa intenção de estudar a integral como uma função F(x) de seu limite superior (Fig. 274). Esta função F(x) é a área sob a curva y = f(u) do ponto u = a até o ponto u = x. Às vezes, a integral F(x) com um limite superior variável é chamada de "integral indefinida".

O principal teorema de análise é o seguinte:

A derivada da integral indefinida (1) em relação ao seu limite superior x é igual ao valor da função f(u) no ponto u = x:

F 0 (x) = f(x).

TEOREMA PRINCIPAL DE ANÁLISE

Em outras palavras, o processo de integração que leva da função f(x) à função F(x) é "destruído" pelo processo inverso de diferenciação aplicado à função F(x).

Em uma base intuitiva, a prova desta proposição não é difícil. Ela é baseada na interpretação da integral F(x) como uma área, e seria obscurecida se tentássemos traçar a função F(x) e interpretar a derivada F0(x) como a inclinação correspondente. Deixando de lado a interpretação geométrica da derivada previamente estabelecida, manteremos a interpretação geométrica da integral F(x) como uma área, e nos tornaremos um método analítico para derivar a função F(x). Diferença

F (x1) − F (x)

é simplesmente a área sob a curva y = f(u) entre os limites u = x1 e u = x (Fig. 275), e é fácil entender que o valor numérico dessa área está entre os números (x1 − x )m e (x1 − x) M:

(x1 − x)m 6 F (x1 ) − F (x) 6 (x1 − x)M,

onde M e m são, respectivamente, o maior e o menor valor da função f(u) no intervalo de u = x a u = x1 . De fato, esses produtos fornecem as áreas de dois retângulos, dos quais um contém a região curvilínea em consideração e o outro está contido nela.

Arroz. 275. Na prova do teorema principal

isso implica

m 6 F (x1 ) − F (x) 6 M. x1 − x

Suponhamos que a função f(u) seja contínua, de modo que como x1 tende para x, ambas as quantidades M e m tendem para o valor da função f(u) no ponto u = x, ou seja, para o valor de f(x). Neste caso, pode-se considerar

468 ANÁLISE MATEMÁTICA Cap. VIII

provou que
F 0 (x) = lim	F (x1) − F (x)
x1→x	x1 − x

O significado intuitivo desse resultado é que, à medida que aumenta, a taxa de variação da área sob a curva y = f(x) é igual à altura da curva em x.

Em alguns manuais, o conteúdo deste teorema principal é obscurecido devido à terminologia mal escolhida. Ou seja, muitos autores primeiro introduzem o conceito de derivada e depois definem a "integral indefinida" simplesmente como o resultado da operação inversa com relação à diferenciação: eles dizem que a função G(x) é uma integral indefinida da função f (x) se

G0 (x) = f(x).

Assim, essa forma de apresentação conecta diretamente a diferenciação com a palavra "integral". Só mais tarde é introduzido o conceito de "integral definido", tratado como uma área ou como o limite de uma sequência de somas, e não é suficientemente enfatizado que a palavra "integral" agora significa algo completamente diferente do que antes. E agora acontece que a coisa mais importante contida na teoria é adquirida apenas furtivamente - pela porta dos fundos, e o aluno encontra sérias dificuldades em seus esforços para entender a essência do assunto. Preferimos chamar funções G(x) para as quais G0 (x) = f(x) não “integrais indefinidas”, mas primitivas da função f(x). Então o teorema principal pode ser formulado da seguinte forma:

A função F(x), que é uma integral da função f(x) com um limite inferior constante e um limite superior variável x, é uma das primitivas da função f(x).

Dizemos "uma das" funções antiderivadas porque se G(x) é uma função antiderivada de f(x), então fica imediatamente claro que qualquer função da forma H(x) = G(x) + c (c - constante arbitrária) também é uma antiderivada, pois H0 (x) = G0 (x). A recíproca também é verdadeira. Duas funções antiderivadas G(x)

e H(x) podem diferir um do outro apenas por um termo constante. De fato, a diferença U(x) = G(x) − H(x) tem U0 (x) = G0 (x) − H0 (x) = f(x) − f(x) = 0 como uma derivada, ou seja, , Ou seja, essa diferença é constante, pois é óbvio que se o gráfico de uma função é horizontal em cada um de seus pontos, então a própria função, representada pelo gráfico, certamente deve ser constante.

Isso leva a uma regra muito importante para calcular a integral entre a e b - assumindo que conhecemos alguma função antiderivada G(x) da função f(x). De acordo com nosso principal

TEOREMA PRINCIPAL DE ANÁLISE

teorema, função

existe também uma função antiderivada da função f(x). Então F(x) =

G(x) + c, onde c é uma constante. O valor desta constante será determinado,

se levarmos em conta que F(a) = f(u) du = 0. Isso implica:

0 = G(a) + c, então c = −G(a). Então a integral definida entre a e x satisfaz identicamente a igualdade

F(x) = f(u) du = G(x) − G(a);

substituindo x por b leva à fórmula

f(u) du = G(b) − G(a),

independentemente de qual das funções antiderivadas foi "lançada". Em outras palavras: para calcular um certo in-

integral f(x) dx, basta encontrar uma função G(x) para a qual

enxame G0 (x) = f(x), e então faça a diferença G(b) − G(a).

2. Primeiras aplicações. Integração de funções xr , cos x, sen x. função arctg x. Aqui é impossível dar uma ideia exaustiva do papel do teorema principal, e nos limitamos a dar alguns exemplos expressivos. Em problemas encontrados em mecânica e física ou na própria matemática, muitas vezes é necessário calcular o valor numérico de alguma integral definida. Uma tentativa direta de encontrar a integral como limite pode ser insuperavelmente difícil. Por outro lado, como vimos no § 3, qualquer diferenciação é realizada com relativa facilidade, sendo possível acumular um número muito grande de fórmulas de diferenciação sem dificuldade. Cada uma dessas fórmulas G0 (x) = f(x), inversamente, pode ser considerada como uma fórmula que define a função antiderivada G(x) da função f(x).

A fórmula (3) permite usar a função antiderivada conhecida para calcular a integral da função f(x) em algum intervalo dado.

Se, por exemplo, queremos encontrar integrais de potências x2, x3 ou xn em geral, então o mais simples é proceder como indicado no § 1. Pela fórmula de diferenciação de potências, a derivada de xn é nxn−1,

470 ANÁLISE MATEMÁTICA Cap. VIII

então a derivada da função

G(x) = nx
	1 (n 6 = -1)

existe uma função

G0 (x) = n n + + 1 1 xn = xn .

xn+1

Neste caso, a função n + 1 é a função antiderivada

em relação à função f(x) = xn e, portanto, obtemos imediatamente a fórmula

x n dx = G(b) − G(a) = b n+1 − a n+1 . n + 1

Este argumento é incomparavelmente mais simples do que o complicado procedimento para calcular diretamente a integral como o limite da soma.

Como um caso mais geral, encontramos no § 3 que para qualquer racional s, tanto positivo quanto negativo, a derivada da função xs é igual a sxs−1 e, portanto, para s = r + 1, a função

xr+1

tem uma derivada f(x) = G0 (x) = xr (assumimos que r 6= −1,

xr+1

ou seja, que s 6 = 0). Então a função r + 1 é a função antiderivada, ou

"integral indefinida" de xr , e obtemos (para a e b positivos e para r 6= −1) a fórmula

xr dx =	b r+1 − a r+1

Na fórmula (4), deve-se assumir que a função xr sob a integral é definida e contínua no intervalo de integração, então o ponto x = 0 deve ser excluído se r< 0. Вот потому мы и вынуждены допустить, что в этом случае a и b положительны.

Se definirmos G(x) = − cos x, obteremos G0 (x) = sin x, e, portanto, a relação surge

sen xdx = -(cos a - cos 0) = 1 - cos a.

Da mesma forma, se G(x) = sen x, então G0 (x) = cos x e, portanto,

cos xdx \u003d sin a - sin 0 \u003d sin a.

§ 5 TEOREMA PRINCIPAL DE ANÁLISE 471

Um resultado particularmente interessante é obtido a partir da fórmula para derivar a função arctg x:

	Como a função arctg x é antiderivada em relação à função
							1+x2

então, com base na fórmula (3), podemos escrever

arctan b − arctan 0 = Z 0	1 + x2dx.

Mas arctan 0 = 0 (um valor zero da tangente corresponde a um valor zero do ângulo). Então nós temos

arcg b = Z 0

1+x2

Em particular,

significado

tangente,

1, combinar

a 45◦, que em medida em radianos corresponde a

coloca p. Assim, nós

Nós temos

Maravilhoso

1 + x2dx.

mostra

qual area

cronograma

1 + x 2 variando de x = 0 a x =

1 é igual a um quarto da área da unidade

276. Área sob o Cree

nenhum círculo.

dentro de

3. Fórmula

Leibniz

1+x2

pistas

para p . Último resultado

dos mais bonitos

fórmulas matemáticas descobertas no século XVII - a uma variável de sinal

à série de Leibniz, que permite calcular p:

4 p = 1 1 − 3 1 + 5 1 − 7 1 + 9 1 − 11 1 + . . .

+ símbolo. . . deve ser entendido no sentido de que a sequência de "somas parciais" finitas obtidas quando o lado direito da

de igualdades, apenas n termos da soma são tomados, tendendo ao limite p em

aumento ilimitado de n.

ANALISE MATEMÁTICA

Para provar esta fórmula notável, precisamos apenas lembrar a fórmula da soma de uma progressão geométrica finita

1 − qn = 1 + q + q2 + . . . + qn−1 ,

onde o "termo residual" Rn é expresso pela fórmula

Rn = (−1)n x 2n 2 .

A igualdade (8) pode ser integrada dentro do intervalo de 0 a 1. Seguindo a regra a) do § 3, devemos tomar a soma das integrais dos termos individuais do lado direito. Com base em (4) sabemos que

xm dx =

bm+1

− am+1

em particular, obtemos

xm dx =

de onde, para

1+x2

1 − 3 +

E consequentemente,

− 7

+ . . . + (−1)n−1

2n − 1 + Tn ,

pR0

1+x2

Tn = (

De acordo com a fórmula (5), o lado esquerdo do formulário é

ly (9) é

diferença entre

e soma privada

(−1)n−1

Sn = 1 -

− Sn = Tn . Resta provar que Tn tende a zero quando

aumentando n. Temos uma desigualdade

x 2n 6 x2n .

1+x2

Lembrando a fórmula (13) § 1º, que estabelece a desigualdade

f(x) dx 6 g(x) dx para f(x) 6 g(x) e a< b,

O conceito de integração, e até certo ponto de diferenciação, foi bem desenvolvido antes do trabalho de Newton e Leibniz. Mas era absolutamente necessário fazer uma descoberta muito simples para dar impulso à enorme evolução da análise matemática recém-criada. Dois processos de limite aparentemente não contíguos entre si, usados ​​um para diferenciação e outro para funções de integração, mostraram-se intimamente ligados um ao outro. De fato, são operações mutuamente inversas, como operações como adição e subtração, multiplicação e divisão. Cálculo diferencial e integral são uma coisa.

A grande conquista de Newton e Leibniz é que pela primeira vez eles perceberam e usaram claramente esse teorema básico de análise. Sem dúvida, sua descoberta estava no caminho direto do desenvolvimento científico natural, e não é de modo algum surpreendente que várias pessoas tenham chegado independentemente e quase simultaneamente a uma compreensão clara da circunstância acima.

Arroz. 274. Integral em função do limite superior

Para formular o teorema principal com precisão, consideramos a integral de uma função que varia de um número constante a a um número x, que consideraremos variável. Para não confundir o limite superior de integração x com a variável que aparece sob o sinal de integral, escrevemos a integral da seguinte forma (ver p. 459):

demonstrando assim nossa intenção de estudar a integral em função de seu limite superior (Fig. 274). Esta função é a área sob a curva de ponto a ponto.Às vezes, uma integral com um limite superior variável é chamada de "integral indefinida".

O principal teorema de análise é o seguinte: A derivada da integral indefinida (1) em relação ao seu limite superior x é igual ao valor da função no ponto

Em outras palavras, o processo de integração que leva de função a função é “destruído” pelo processo inverso de diferenciação aplicado à função

Arroz. 275. Na prova do teorema principal

Em uma base intuitiva, a prova desta proposição não é difícil. Baseia-se na interpretação da integral como uma área, e seria obscurecida se tentássemos traçar a função e interpretar a derivada como a inclinação correspondente. Deixando de lado a interpretação geométrica da derivada previamente estabelecida, reteremos a interpretação geométrica da integral como uma área, e nos tornaremos um método analítico para derivar uma função. Diferença

existe simplesmente a área sob a curva entre os limites (Fig. 275), e não é difícil entender que o valor numérico dessa área está entre os números

onde estão (respectivamente, os maiores e menores valores da função no intervalo de a) De fato, esses produtos fornecem as áreas de dois retângulos, um dos quais contém a região curvilínea em consideração e o outro está contido nela.

Isso implica:

Suponhamos que a função seja contínua, de modo que ambas as quantidades tendam ao valor da função

no ponto , ou seja, no valor Neste caso, podemos considerar provado que

O significado intuitivo desse resultado é que, à medida que aumenta, a taxa de variação da área sob a curva é igual à altura da curva em x.

Em alguns manuais, o conteúdo deste teorema principal é obscurecido devido à terminologia mal escolhida. Nomeadamente, muitos autores primeiro introduzem o conceito de derivada e depois definem a "integral indefinida" simplesmente como o resultado da operação inversa à diferenciação: eles dizem que uma função é uma integral indefinida de uma função se

Assim, essa forma de apresentação conecta diretamente a diferenciação com a palavra "integral". Só mais tarde é introduzido o conceito de "integral definido", tratado como uma área ou como o limite de uma sequência de somas, e não é suficientemente enfatizado que a palavra "integral" agora significa algo completamente diferente do que antes. E agora acontece que a coisa mais importante contida na teoria é adquirida apenas furtivamente - pela porta dos fundos, e o aluno encontra sérias dificuldades em seus esforços para entender a essência do assunto. Preferimos funções para as quais não chamamos “integrais indefinidas”, mas funções antiderivadas de uma função. Então o teorema principal pode ser formulado da seguinte forma:

Uma função que é integral de uma função com um limite inferior constante e um limite superior variável x é uma das funções antiderivadas da função

Dizemos “uma das” funções antiderivadas porque se é uma função antiderivada de então fica imediatamente claro que qualquer função da forma (c é uma constante arbitrária) também é uma antiderivada, pois a afirmação inversa também é verdadeira. Duas funções antiderivadas podem diferir uma da outra apenas por um termo constante. De fato, a diferença tem como derivada, ou seja, essa diferença é constante, pois é óbvio que se o gráfico da função em cada

O conceito de integração, e até certo ponto de diferenciação, foi bem desenvolvido antes do trabalho de Newton e Leibniz. Mas era absolutamente necessário fazer uma descoberta muito simples para dar impulso à enorme evolução da análise matemática recém-criada. Dois processos limitantes aparentemente não contíguos entre si, usados ​​um para a diferenciação e o outro para a integração de funções, mostraram-se intimamente ligados um ao outro. De fato, são operações mutuamente inversas, como operações como adição e subtração, multiplicação e divisão. Cálculo diferencial e integral são uma coisa.

A grande conquista de Newton e Leibniz é que pela primeira vez reconheceram e usaram claramente esta o principal teorema de análise. Sem dúvida, sua descoberta estava no caminho direto do desenvolvimento científico natural, e não é de modo algum surpreendente que várias pessoas tenham chegado independentemente e quase simultaneamente a uma compreensão clara da circunstância acima.

Para formular exatamente o teorema principal, consideramos a integral da função y=f(x) variando de um número constante a a um número x, que consideraremos variável. Para não confundir o limite superior de integração x com a variável que aparece sob o sinal de integral, escrevemos a integral da seguinte forma (ver p. 435):

demonstrando assim nossa intenção de estudar a integral em função de F(x) de seu limite superior (Fig. 274). Esta função F(x) é a área sob a curva y=f(u) a partir do ponto vc = um ao ponto u=x. Às vezes, a integral F(x) com um limite superior variável é chamada de "integral indefinida".

O principal teorema de análise é o seguinte: A derivada da integral indefinida (1) em relação ao seu limite superior x é igual ao valor da função f (u) no ponto u = x:

F "(x) \u003d f (x).

Em outras palavras, o processo de integração que leva da função f(x) à função F(x) é "destruído" pelo processo inverso de diferenciação aplicado à função F(x).

Em uma base intuitiva, a prova desta proposição não é difícil. Ela é baseada na interpretação da integral F(x) como uma área, e seria obscurecida se tentássemos traçar a função F(x) e interpretar a derivada F"(x) como a inclinação correspondente. estabelecida a interpretação geométrica da derivada , manteremos a interpretação geométrica da integral F(x) como uma área, e diferenciar a função F(x) se tornará um método analítico.

F (x 1) - F (x)

é apenas a área sob a curva y=f(u) entre os limites u = x 1 e u=x(Fig. 275), e é fácil entender que o valor numérico desta área está entre os números (x 1 - x)m e (x 1 - x) M:

(x 1 - x)m≤F (x 1) - F (x) ≤(x 1 - x) M,

onde M e m são respectivamente os maiores e menores valores da função f(u) no intervalo de u = x a u = x 1 . De fato, esses produtos fornecem as áreas de dois retângulos, dos quais um contém a região curvilínea em consideração e o outro está contido nela.

Isso implica:

Suponha que a função f (u) seja contínua, de modo que como x 1 tende para x, ambas as quantidades M e m tendem para o valor da função f (u) no ponto u \u003d x, ou seja, para o valor de f(x). Neste caso, pode-se considerar provado que

O significado intuitivo deste resultado é que, à medida que a taxa de variação da área sob a curva aumenta, y=f(x) igual à altura da curva em x.

Em alguns manuais, o conteúdo deste teorema principal é obscurecido pela terminologia mal escolhida. Ou seja, muitos autores primeiro introduzem o conceito de derivada e depois definem a "integral indefinida" simplesmente como o resultado da operação inversa à diferenciação: eles dizem que a função G (x) é uma integral indefinida da função f (x ) E se

G"(x) = f(x).

Assim, essa forma de apresentação conecta diretamente a diferenciação com a palavra "integral". Só mais tarde é introduzido o conceito de "integral definido", tratado como uma área ou como o limite de uma sequência de somas, e não é suficientemente enfatizado que a palavra "integral" agora significa algo completamente diferente do que antes. E agora acontece que a coisa mais importante contida na teoria é adquirida apenas furtivamente pela porta dos fundos, e o estudante encontra sérias dificuldades em seus esforços para entender a essência do assunto. Preferimos funções G(x) para as quais G "(x) \u003d f (x), não chame de "integrais indefinidas", mas funções antiderivadas da função f(x). Então o teorema principal pode ser formulado da seguinte forma:

A função F (x), que é a integral da função f (x) com um limite inferior constante e um limite superior variável x, é uma das primitivas da função f (x).

Dizemos "uma das" funções antiderivadas porque se G(x) é uma função antiderivada de f(x), então fica imediatamente claro que qualquer função da forma H(x) = G(x) + c(c é uma constante arbitrária) também é uma antiderivada, pois H "(x) = G" (x). A recíproca também é verdadeira. As duas funções antiderivadas G(x) e H(x) só podem diferir uma da outra por um termo constante. De fato, a diferença U(x) = G(x) - H(x) tem como derivado U "(x) \u003d G" (x) - H "(x) \u003d f (x) - f (x) \u003d 0, ou seja, essa diferença é constante, pois é óbvio que se o gráfico de uma função é horizontal em cada um de seus pontos, então a própria função, representada pelo gráfico, certamente deve ser constante.