Considere uma equação quadrática.

Vamos definir suas raízes.

Não existe um número real cujo quadrado seja -1. Mas se a fórmula define o operador eu como uma unidade imaginária, então a solução desta equação pode ser escrita na forma . Em que e - números complexos, em que -1 é a parte real, 2 ou no segundo caso -2 é a parte imaginária. A parte imaginária também é um número real (real). A parte imaginária multiplicada pela unidade imaginária significa já número imaginário.

Em geral, um número complexo tem a forma

z = x + ei ,

Onde x, y são números reais, é uma unidade imaginária. Em várias ciências aplicadas, por exemplo, em engenharia elétrica, eletrônica, teoria de sinais, a unidade imaginária é denotada por j. Numeros reais x = Re(z) e y=Eu estou(z) chamado partes reais e imaginárias números z. A expressão é chamada forma algébrica notação de um número complexo.

Qualquer número real é um caso especial de um número complexo na forma . Um número imaginário também é um caso especial de um número complexo. .

Definição do conjunto de números complexos C

Esta expressão fica assim: set Com, composto por elementos tais que x e y pertencem ao conjunto dos números reais R e é a unidade imaginária. Observe que etc

Dois números complexos e são iguais se e somente se suas partes reais e imaginárias são iguais, ou seja, e .

Números complexos e funções são amplamente utilizados em ciência e tecnologia, em particular, em mecânica, análise e cálculo de circuitos AC, eletrônica analógica, teoria e processamento de sinais, teoria de controle automático e outras ciências aplicadas.

1. Aritmética dos números complexos

A adição de dois números complexos consiste em somar suas partes real e imaginária, ou seja,

Assim, a diferença de dois números complexos

Número complexo chamado complexo conjugado número z=x +i.y.

Os números conjugados complexos z e z * diferem nos sinais da parte imaginária. É óbvio que

.

Qualquer igualdade entre expressões complexas permanece válida se nesta igualdade em todos os lugares eu substituído por - eu, ou seja vá para a igualdade dos números conjugados. Números eu e – eu são algebricamente indistinguíveis porque .

O produto (multiplicação) de dois números complexos pode ser calculado da seguinte forma:

Divisão de dois números complexos:

Exemplo:

1. Plano complexo

Um número complexo pode ser representado graficamente em um sistema de coordenadas retangulares. Vamos definir um sistema de coordenadas retangulares no plano (x, y).

no eixo Boi vamos organizar as peças reais x, é chamado eixo real (real), no eixo Oi- partes imaginárias y números complexos. Ela leva o nome eixo imaginário. Além disso, cada número complexo corresponde a um determinado ponto do plano, e tal plano é chamado plano complexo. apontar MAS o plano complexo corresponderá ao vetor OA.

Número x chamado abscissa número complexo, número y – ordenado.

Um par de números conjugados complexos é exibido como pontos localizados simetricamente em torno do eixo real.

Se no avião definido sistema de coordenadas polares, então todo número complexo z determinado por coordenadas polares. Em que módulo números é o raio polar do ponto e o ângulo - seu ângulo polar ou argumento de número complexo z.

Módulo de número complexo sempre não negativo. O argumento de um número complexo não é definido exclusivamente. O valor principal do argumento deve satisfazer a condição . Cada ponto do plano complexo também corresponde ao valor total do argumento. Argumentos que diferem por um múltiplo de 2π são considerados iguais. O argumento de número zero não está definido.

O valor principal do argumento é determinado pelas expressões:

É óbvio que

Em que
, .

Representação de número complexo z como

chamado forma trigonométrica número complexo.

Exemplo.

1. A forma exponencial dos números complexos

Decomposição em Série Maclaurin para funções de argumento real parece:

Para a função exponencial de um argumento complexo z decomposição é semelhante

.

A expansão em série de Maclaurin para a função exponencial do argumento imaginário pode ser representada como

A identidade resultante é chamada Fórmula de Euler.

Para um argumento negativo, parece

Combinando essas expressões, podemos definir as seguintes expressões para seno e cosseno

.

Usando a fórmula de Euler, da forma trigonométrica da representação de números complexos

você pode conseguir isso demonstrativo(exponencial, polar) forma de um número complexo, ou seja, sua representação na forma

,

Onde - coordenadas polares de um ponto com coordenadas retangulares ( x,y).

O conjugado de um número complexo é escrito na forma exponencial como segue.

Para a forma exponencial, é fácil definir as seguintes fórmulas para multiplicação e divisão de números complexos

Ou seja, na forma exponencial, o produto e a divisão de números complexos é mais fácil do que na forma algébrica. Ao multiplicar, os módulos dos fatores são multiplicados e os argumentos são adicionados. Esta regra se aplica a qualquer número de fatores. Em particular, ao multiplicar um número complexo z no eu vetor z gira no sentido anti-horário em 90

Na divisão, o módulo do numerador é dividido pelo módulo do denominador e o argumento do denominador é subtraído do argumento do numerador.

Usando a forma exponencial de números complexos, pode-se obter expressões para identidades trigonométricas bem conhecidas. Por exemplo, a partir da identidade

usando a fórmula de Euler, podemos escrever

Igualando as partes real e imaginária nesta expressão, obtemos expressões para o cosseno e seno da soma dos ângulos

1. Potências, raízes e logaritmos de números complexos

Elevando um número complexo a uma potência natural n produzido de acordo com a fórmula

Exemplo. Calcular .

Imagina um número na forma trigonométrica

’

Aplicando a fórmula de exponenciação, obtemos

Colocando o valor na expressão r= 1, obtemos o chamado Fórmula de De Moivre, com o qual você pode determinar as expressões para os senos e cossenos de vários ângulos.

Raiz nª potência de um número complexo z Tem n valores diferentes determinados pela expressão

Exemplo. Vamos encontrar .

Para fazer isso, expressamos o número complexo () na forma trigonométrica

.

De acordo com a fórmula para calcular a raiz de um número complexo, obtemos

Logaritmo de um número complexo zé um número W, para qual . O logaritmo natural de um número complexo tem um número infinito de valores e é calculado pela fórmula

Consiste em partes reais (coseno) e imaginárias (seno). Tal tensão pode ser representada como um vetor de comprimento Um, fase inicial (ângulo), girando com velocidade angular ω .

Além disso, se funções complexas são adicionadas, suas partes reais e imaginárias são adicionadas. Se uma função complexa é multiplicada por uma constante ou uma função real, então suas partes real e imaginária são multiplicadas pelo mesmo fator. A diferenciação/integração de uma função tão complexa é reduzida à diferenciação/integração das partes real e imaginária.

Por exemplo, a diferenciação da expressão de estresse complexo

é multiplicar por iω é a parte real da função f(z), e é a parte imaginária da função. Exemplos: .

Significado zé representado por um ponto no plano z complexo, e o valor correspondente W- um ponto no plano complexo W. Quando exibido w = f(z) linhas planas z passar para as linhas do avião W, figuras de um plano em figuras de outro, mas as formas de linhas ou figuras podem mudar significativamente.