Este artigo contém informações básicas sobre numeros reais. Primeiro, damos a definição de números reais e damos exemplos. O seguinte mostra a posição dos números reais na linha de coordenadas. E para concluir, veremos como os números reais são dados na forma de expressões numéricas.

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Definição e exemplos de números reais

Números reais como expressões

A partir da definição de números reais, fica claro que os números reais são:

• qualquer número natural;
• qualquer número inteiro;
• qualquer fração ordinária (positiva e negativa);
• qualquer número misto;
• qualquer fração decimal (positiva, negativa, finita, periódica infinita, infinita não periódica).

Mas muitas vezes os números reais podem ser vistos na forma, etc. Além disso, a soma, a diferença, o produto e o quociente de números reais também são números reais (ver operações com números reais). Por exemplo, estes são números reais.

E se formos mais longe, então a partir de números reais usando sinais aritméticos, sinais de raiz, potências, funções logarítmicas, trigonométricas, etc. Você pode fazer todos os tipos de expressões numéricas, cujos valores também serão números reais. Por exemplo, o significado das expressões E existem números reais.

Concluindo este artigo, notamos que a próxima etapa na expansão do conceito de número é a transição dos números reais para números complexos.

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya. e outros.Matemática. 6ª série: livro didático para instituições de ensino geral.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Álgebra: livro didático para a 8ª série. instituições educacionais.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemática (manual para quem ingressa em escolas técnicas).

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Repetindo o ensino médio

Integrante

Derivado

Volumes de corpos

Corpos de revolução

Método de coordenadas no espaço

Sistema de coordenadas retangulares. Relação entre coordenadas vetoriais e coordenadas de ponto. Os problemas mais simples em coordenadas. Produto escalar de vetores.

O conceito de cilindro. Área de superfície de um cilindro. O conceito de cone.

Área de superfície de um cone. Esfera e bola. Área de uma esfera. A posição relativa da esfera e do plano.

O conceito de volume. Volume de um paralelepípedo retangular. Volume de um prisma ou cilindro reto. Volume de uma pirâmide e de um cone. Volume da bola.

Seção III. Início da análise matemática

Derivado. Derivada de uma função de potência. Regras de diferenciação. Derivadas de algumas funções elementares. Significado geométrico da derivada.

Aplicação da derivada ao estudo de funções Função crescente e decrescente. Extremo da função. Aplicação da derivada na construção de gráficos. Os maiores e menores valores da função.

Antiderivada. Regras para encontrar antiderivadas. Área de um trapézio curvo e integral. Cálculo de integrais. Cálculo de áreas usando integrais.

Tarefas educacionais e de treinamento para exames

Seção I. Álgebra

Número é uma abstração usada para quantificar objetos. Os números surgiram na sociedade primitiva em conexão com a necessidade das pessoas de contar objetos. Com o tempo, à medida que a ciência se desenvolveu, o número tornou-se o conceito matemático mais importante.

Para resolver problemas e provar vários teoremas, você precisa entender que tipos de números existem. Os tipos básicos de números incluem: números naturais, inteiros, números racionais, números reais.

Os números naturais são números obtidos pela contagem natural de objetos, ou melhor, pela numeração deles (“primeiro”, “segundo”, “terceiro”...). O conjunto dos números naturais é denotado pela letra latina N (pode ser lembrada com base na palavra inglesa natural). Podemos dizer que N =(1,2,3,....)

Ao complementar os números naturais com zero e números negativos (ou seja, números opostos aos números naturais), o conjunto dos números naturais é expandido para o conjunto dos inteiros.

Inteiros são números do conjunto (0, 1, -1, 2, -2, ....). Este conjunto consiste em três partes - números naturais, inteiros negativos (o oposto dos números naturais) e o número 0 (zero). Os inteiros são denotados pela letra latina Z. Podemos dizer que Z=(1,2,3,....). Números racionais são números que podem ser representados como uma fração, onde m é um número inteiro e n é um número natural.

Existem números racionais que não podem ser escritos como decimais finitos, por exemplo. Se, por exemplo, você tentar escrever um número como uma fração decimal usando o conhecido algoritmo de divisão de canto, obterá uma fração decimal infinita. Uma fração decimal infinita é chamada periódico, repetindo o número 3 - ela período. Uma fração periódica é escrita resumidamente da seguinte forma: 0,(3); diz: “Zero inteiro e três no período.”

Em geral, uma fração periódica é uma fração decimal infinita em que, a partir de uma determinada casa decimal, se repete o mesmo dígito ou vários dígitos - o período da fração.

Por exemplo, uma fração decimal é periódica com período 56; lê "23 inteiros, 14 centésimos e 56 no período."

Assim, todo número racional pode ser representado como uma fração decimal periódica infinita.

O inverso também é verdadeiro: toda fração decimal periódica infinita é um número racional, pois pode ser representado como uma fração, onde é um número inteiro e é um número natural.

Números reais são números usados ​​para medir quantidades contínuas. O conjunto dos números reais é denotado pela letra latina R. Os números reais incluem números racionais e números irracionais. Números irracionais são números obtidos como resultado da realização de várias operações com números racionais (por exemplo, tirar raízes, calcular logaritmos), mas não são racionais. Exemplos de números irracionais são:

Qualquer número real pode ser exibido na reta numérica:

Para os conjuntos de números listados acima, a seguinte afirmação é verdadeira: o conjunto dos números naturais está incluído no conjunto dos inteiros, o conjunto dos inteiros está incluído no conjunto dos números racionais e o conjunto dos números racionais está incluído no conjunto dos números racionais. conjunto de números reais. Esta afirmação pode ser ilustrada usando círculos de Euler.

Exercícios para solução independente

Se o número α não pode ser representado como uma fração irredutível $$\frac(p)(q)$$, então ele é chamado de irracional.
Um número irracional é escrito como uma fração decimal não periódica infinita.

Demonstremos o fato da existência de números irracionais com um exemplo.
Exemplo 1.4.1. Prove que não existe número racional cujo quadrado seja 2.
Solução. Suponha que exista uma fração irredutível $$\frac(p)(q)$$ tal que $$(\frac(p)(q))^(2)=2$$
ou $$p^(2)=2q^(2)$$. Segue-se que $$p^(2)$$ é um múltiplo de 2 e, portanto, p é um múltiplo de 2. Caso contrário, se p não for divisível por 2, ou seja, $$p=2k-1$$, então $$p^(2)=(2k-1)^(2)=4k^(2)-4k+1$$ também não é divisível por 2. Portanto, $ $ p=2k$$ $$\Rightarrow$$ $$p^(2)=4k^(2)$$ $$\Rightarrow$$ $$4k^(2)=2q^(2)$$ $$ \ Seta para a direita$$ $$q^(2)=2k^(2)$$.
Como $$q^(2)$$ é um múltiplo de 2, então q também é um múltiplo de 2, ou seja, $$q=2m$$.
Portanto, os números p e q têm um fator comum - o número 2, o que significa que a fração $$\frac(p)(q)$$ é redutível.
Esta contradição significa que a suposição feita está incorreta, provando assim a afirmação.
O conjunto dos números racionais e irracionais é chamado de conjunto dos números reais.
No conjunto dos números reais, as operações de adição e multiplicação são introduzidas axiomaticamente: quaisquer dois números reais aeb estão associados ao número $$a+b$$ e ao produto $$a\cdot b$$.
Além disso, neste conjunto são introduzidas as relações “mais que”, “menos que” e igualdades:
$$a>b$$ se e somente se a - b for um número positivo;
$$a a = b se e somente se a - b = 0.
Listamos as principais propriedades das desigualdades numéricas.
1. Se $$a>b$$ e $$b>c$$ $$\Rightarrow$$ $$a>c$$.
2. Se $$a>b$$ e $$c>0$$ $$\Rightarrow$$ $$ac>bc$$.
3. Se $$a>b$$ e $$c<0$$ $$\Rightarrow$$ $$ac4. Se $$a>b$$ e c for qualquer número $$\Rightarrow$$ $$a+c>b+c$$.
5. Se a, b, c, d são números positivos tais que $$a>b$$ e $$c>d$$ $$\Rightarrow$$ $$ac>bd$$.
Consequência. Se a e b são números positivos e $$a>b$$ $$\Rightarrow$$ $$a^(2)>b^(2)$$.
6. Se $$a>b$$ e $$c>d$$ $$\Rightarrow$$ $$a+c>b+d$$.
7. Se $$a>0$$, $$b>0$$ e $$a>b$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac(1)(a)<\frac{1}{b}$$.

Interpretação geométrica de números reais.
Vamos seguir em linha reta eu, veja a fig. 1.4.1, e fixe nele o ponto O - a origem.
O ponto O divide a linha em duas partes - raios. Um raio direcionado para a direita será chamado de raio positivo, e um raio direcionado para a esquerda será chamado de raio negativo. Na reta marcamos um segmento tomado como unidade de comprimento, ou seja, entre na escala.

Arroz. 1.4.1. Interpretação geométrica de números reais.

Uma linha reta com origem escolhida, direção positiva e escala é chamada de linha numérica.
Cada ponto na reta numérica pode receber um número real de acordo com a seguinte regra:

– vamos atribuir zero ao ponto O;
– a cada ponto N de um raio positivo atribuímos um número positivo a, onde a é o comprimento do segmento ON;
– a cada ponto M de uma semirreta negativa atribuímos um número negativo b, onde $$b=-\left | OM \right |$$ (o comprimento do segmento OM, obtido com um sinal de menos).
Assim, uma correspondência biunívoca é estabelecida entre o conjunto de todos os pontos da reta numérica e o conjunto dos números reais, ou seja, :
1) cada ponto da reta numérica está associado a um e apenas um número real;
2) números diferentes são atribuídos a pontos diferentes;
3) não existe um único número real que não corresponda a nenhum ponto da reta numérica.

Exemplo 1.4.2. Na reta numérica, marque os pontos correspondentes aos números:
1) $$1\frac(5)(7)$$ 2) $$\sqrt(2)$$ 3) $$\sqrt(3)$$
Solução. 1) Para marcar o número fracionário $$\frac(12)(7)$$, você precisa construir um ponto correspondente a $$\frac(12)(7)$$.
Para fazer isso, você precisa dividir um segmento de comprimento 1 em 7 partes iguais. É assim que resolvemos esse problema.
Desenhamos um raio arbitrário de t.O e traçamos 7 segmentos iguais neste raio. Nós temos
segmento OA, e do ponto A traçamos uma linha reta até a interseção com 1.

Arroz. 1.4.2. Dividindo um segmento unitário em 7 partes iguais.

As retas traçadas paralelamente à reta A1 através das extremidades dos segmentos reservados dividem um segmento de comprimento unitário em 7 partes iguais (Fig. 1.4.2). Isto torna possível construir um ponto representando o número $$1\frac(5)(7)$$ (Fig. 1.4.3).

Arroz. 1.4.3. O ponto no eixo numérico correspondente ao número $$1\frac(5)(7)$$.

2) O número $$\sqrt(2)$$ pode ser obtido da seguinte forma. Vamos construir um triângulo retângulo com pernas unitárias. Então o comprimento da hipotenusa é $$\sqrt(2)$$; Traçamos este segmento de O na reta numérica (Fig. 1.4.4).
3) Para construir um ponto distante do ponto a uma distância de $$\sqrt(3)$$ (para a direita), é necessário construir um triângulo retângulo com catetos de comprimento 1 e $$\sqrt(2) $$. Então sua hipotenusa tem comprimento $$\sqrt(2)$$, o que permite indicar o ponto desejado no eixo dos números.
Para números reais, o conceito de módulo (ou valor absoluto) é definido.

Arroz. 1.4.4. O ponto no eixo numérico correspondente ao número $$\sqrt(2)$$.

O módulo de um número real a é:
– este número em si, se a- número positivo;
– zero se a– zero;
– -a, Se a- um número negativo.
O valor absoluto de um número a denotado por $$\left | a \certo |$$.
A definição de módulo (ou valor absoluto) pode ser escrita como

$$\esquerda | a \right |=\left\(\begin(matriz)a, a\geq0\\-a, a<0\end{matrix}\right.$$

(1.4.1)

Geometricamente, o módulo de um número a significa a distância na reta numérica da origem O ao ponto correspondente ao número a.
Vamos observar algumas propriedades do módulo.
1. Para qualquer número a a igualdade $$\left | a \direita |=\esquerda | -a \certo |$$.
2. Para qualquer número a E b igualdades são válidas

$$\esquerda | ab \direita |=\esquerda | a \direita |\cdot \esquerda | b \direito |$$; $$\esquerda | \frac(a)(b) \right |=\frac(\left | a \right |)(\left | b \right |)$$ $$(b\neq 0)$$; $$\esquerda | uma \direita |^(2)=a^(2)$$.

3. Para qualquer número a a desigualdade $$\esquerda | a \right |\geq 0$$.
4. Para qualquer número a a desigualdade $$-\left | a \direita |\leq a\leq \esquerda | a \certo |$$.
5. Para qualquer número a E b a desigualdade é verdadeira

$$\esquerda | a+b \direita |\leq \esquerda | a \direita |+\esquerda | b \certo |$$

Considere os seguintes conjuntos de números.
Se $$a 1) um segmento é o conjunto de todos os números reais α para cada um dos quais o seguinte é verdadeiro: $$a\leq \alpha \leq b$$;
2) o intervalo (a; b) é o conjunto de todos os números reais α , para cada um dos quais o seguinte é verdadeiro: $$a<\alpha 3) meio intervalo (a; b] é o conjunto de todos os números reais α para cada um dos quais o seguinte é verdadeiro: $$a<\alpha \leq b$$.
Da mesma forma, você pode inserir um meio intervalo.
Em alguns casos, eles falam sobre “intervalos”, significando um raio, um segmento, um intervalo ou meio intervalo.

Um monte de R todos os números reais são denotados da seguinte forma: $$(-\infty; \infty)$$.
Para qualquer número real a, é introduzido o conceito de grau com expoente natural n, nomeadamente

$$a^(n)=\underbrace (a\cdot a\cdot a\cdot a...a)$$, $$n\geq 2$$ e $$a^(1)=a$$.

Deixar aé qualquer número diferente de zero, então por definição $$a^(0)=1$$.
O grau zero de zero é indefinido.
Deixar a– qualquer número diferente de zero, eu– qualquer número inteiro. Então o número $$a^(m)$$ é determinado pela regra:

$$a^(m)=\left\(\begin(matrix)a, m=1;\\\underbrace(a\cdot a\cdot a\cdot a...a), m\in N, m \geq2;\\1, m=0;\\\frac(1)(a^(n)), m=-n, n\in N\end(matriz)\right.$$

em que soué chamada de potência com expoente inteiro.

Antes de definir o conceito de grau com expoente racional, introduzimos o conceito de raiz aritmética.
Raiz aritmética de um grau n (n ∈ N, n > 2) número não negativo a chamado de número não negativo b de tal modo que bilhões=a. Número bé denotado como $$b\sqrt[n](a)$$.
Propriedades das raízes aritméticas ( uma > 0, b > 0, n, m, k- inteiros.)

1. $$\sqrt[n](ab)=\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[n](b)$$	5.$$\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$$
2. $$(a)^(\frac(k)(n))=\sqrt[n](a^(k))$$	6. $$\sqrt[n](a^(m))=\sqrt(a^(mk))$$
3. $$(\sqrt[n](a))^(k)=\sqrt[n](a^(k))$$	7. $$\sqrt(a^(2))=\esquerda | a \certo |$$
4. $$\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt[n](a))(\sqrt[n](b)) (b\neq 0)$$	8. $$\sqrt(a^(2n))=\esquerda | a \certo |$$

Deixar a< 0 , A n– número natural maior que 1. Se né um número par, então a igualdade bilhões=a falha para qualquer valor válido b. Isso significa que no campo dos números reais é impossível determinar a raiz par de um número negativo. Se né um número ímpar, então só existe um número real b de tal modo que bilhões=a. Este número é denotado √n a e é chamado de raiz ímpar de um número negativo.
Usando a definição de elevação a uma potência inteira e a definição de uma raiz aritmética, damos a definição de uma potência com um expoente racional.
Deixar aé um número positivo e $$r=\frac(p)(q)$$ é um número racional, e q- número natural.

Número positivo

$$b=\sqrt[q](a^(p))$$

é chamado de potência de a com expoente r e é denotado como

$$b=a^(r)$$, ou $$a^(\frac(p)(q))=\sqrt[q](a^(r))$$, aqui $$q\in N $$, $$q\geq2$$.

Consideremos as propriedades básicas de um grau com um expoente racional.

Deixar a E b– quaisquer números positivos, r 1 e r 2 – quaisquer números racionais. Então as seguintes propriedades são verdadeiras:

1. $$(ab)^(r_(1))=a^(r_(1))\cdot b^(r_(1))$$
2. $$(\frac(a)(b))^(r_(1))=\frac(a^(r_(1)))(b^(r_(1)))$$
3. $$a^(r_(1))\cdot a^(r_(2))=a^(r_(1)+r_(2))$$
4. $$\frac(a^(r_(1)))(a^(r_(2)))=a^(r_(1)-r_(2))$$
5. $$(a^(r_(1)))^(r_(2))=a^(r_(1)r_(2))$$	(1.4.2)
6.$$a^(0)=1$$
7. Se $$a>1$$ e $$r_(1)>0\Rightarrow a^(r_(1))> 1$$
8. Se $$0< a< 1$$ и $$r_{1}>0\Seta para a direita 0< a^{r_{1}}< 1$$
9. Se $$a>1$$ e $$r_(1)>r_(2)\Rightarrow a^(r_(1))> a^(r_(2))$$
10. Se $$0< a< 1$$ и $$r_{1}>r_(2)\Rightarrow a^(r_(1))> a^(r_(2))$$

O conceito de potência de um número positivo é generalizado para qualquer expoente real α .
Determinando a potência de um número positivo a com expoentes reais α .

1. Se $$\alpha > 0$$ e

1) $$\alpha=m$$, $$m\in N \Rightarrow a^(\alpha)=\left\(\begin(matrix)a, m=1\\\underbrace(a\cdot a\ cdot a\cdot a....a), m\geq 2\end(matriz)\right.$$

2) $$\alpha=\frac(p)(q)$$, onde p E q- números naturais $$\Rightarrow a^(\alpha)=\sqrt[q](a^(p))$$

3) α é um número irracional, então

a) se a > 1, então um α- um número maior que a r i e menor que um, Onde eu α com uma desvantagem rk- qualquer aproximação racional de um número α em abundância;
b) se 0< a< 1, то um α- um número maior que um e menos de eu;
c) se a= 1, então aα = 1.

2. Se $$\alpha=0$$, então a α = 1.

3. Se $$\alfa<0$$, то $$a^{\alpha}=\frac{1}{a^{\left | \alpha \right |}}$$.

Número um α chamado de grau, o número a é a base do grau, o número α – expoente.
Uma potência de um número positivo com um expoente real tem as mesmas propriedades que uma potência com um expoente racional.

Exemplo 1.4.3. Calcule $$\sqrt(81)\cdot\sqrt(\frac(16)(6))$$.

Solução. Vamos usar a propriedade das raízes:

$$\sqrt(81)\cdot\sqrt(\frac(16)(6))=\sqrt(\frac(81\cdot16)(6))=\sqrt(\frac(3^(4)\cdot2 ^(4))(3\cdot2))=\sqrt(3^(3)\cdot2^(3))=6$$

Responder. 6.

Exemplo 1.4.4. Calcule $$6,25^(1,5)-2,25^(1,5)$$

1) 4

2) 8

3) 8,25

4) 12,25

Mas essas frações são sempre periódicas? A resposta a esta questão é negativa: existem segmentos cujos comprimentos não podem ser expressos como uma fração periódica infinita (ou seja, um número racional positivo) com a unidade de comprimento escolhida. Esta foi uma grande descoberta na matemática, da qual se concluiu que os números racionais não são suficientes para medir o comprimento dos segmentos.

Se a unidade de comprimento for o comprimento do lado de um quadrado, então o comprimento da diagonal desse quadrado não pode ser expresso como um número racional positivo.

Desta afirmação segue-se que existem segmentos cujos comprimentos não podem ser expressos como um número positivo (com a unidade de comprimento escolhida), ou, em outras palavras, escritos como uma fração periódica infinita. Isso significa que as infinitas frações decimais obtidas ao medir os comprimentos dos segmentos podem ser não periódicas.

Acredita-se que infinitas frações decimais não periódicas são uma representação de novos números - números irracionais positivos. Como os conceitos de número e sua notação são frequentemente identificados, dizem que frações decimais periódicas infinitas são números irracionais positivos.

O conjunto de números irracionais positivos é denotado pelo símbolo J+.

A união de dois conjuntos de números: números racionais positivos e números irracionais positivos é chamada de conjunto de números reais positivos e é denotada pelo símbolo R+.

Qualquer número real positivo pode ser representado por uma fração decimal infinita - periódica (se for racional) ou não periódica (se for irracional).

As operações com números reais positivos reduzem-se a operações com números racionais positivos. Nesse sentido, para cada número real positivo são introduzidos seus valores aproximados de deficiência e excesso.

Sejam dados dois números reais positivos a E b, um E bilhões- consequentemente, as suas aproximações em termos de deficiência, um E b¢n- suas aproximações em excesso.

Soma de números reais a E b a+ b n satisfaz a desigualdade um+ bilhões ≤ a + b< a¢n + b¢n.

Produto de números reais a E b esse número real é chamado a× b, que para qualquer natural n satisfaz a desigualdade um× bilhões ≤ a b × b¢n.

Diferença de números reais positivos a E b esse número real é chamado Com, O que a= b + c.

Quociente de números reais positivos a E b esse número real é chamado Com, O que a= b × c.

A união do conjunto dos números reais positivos com o conjunto dos números reais negativos e zero é o conjunto R de todos os números reais.

A comparação de números reais e as operações sobre eles são realizadas de acordo com as regras conhecidas no curso de matemática escolar.

Problema 60. Encontre as três primeiras casas decimais da soma 0,333... + 1,57079...

Solução. Vamos fazer aproximações decimais de termos com quatro casas decimais:

0,3333 < 0,3333… < 0,3334

1,5707 < 1,57079… < 1,5708.

Adicionar: 1,9040 ≤ 0,333… + 1,57079…< 1,9042.

Portanto, 0,333... + 1,57079...= 1,904...

Problema 61. Encontre as duas primeiras casas decimais do produto a×b, Se A= 1,703604... e b = 2,04537…

Solução. Tomamos aproximações decimais desses números com três casas decimais:

1,703 < a <1,704 и 2,045 < b < 2,046. По определению произведения действительных чисел имеем:

1,703 × 2,045 ≤ a×b < 1,704 × 2,046 или 3,483 ≤ ab < 3,486.

Por isso, a×b= 3,48…

Exercícios para trabalho independente

1. Escreva as aproximações decimais do número irracional π = 3,1415... por deficiência e excesso até:

a) 0,1; b) 0,01; c) 0,001.

2. Encontre as três primeiras casas decimais da soma a+ b, Se:

A) A = 2,34871…, b= 5,63724…; b) A = , b=π; V) A = ; b=; G) A = ; b = .