Equação diferencial ordinária chamada de equação que relaciona uma variável independente, uma função desconhecida dessa variável e suas derivadas (ou diferenciais) de várias ordens.

A ordem da equação diferencial é a ordem da maior derivada contida nele.

Além das ordinárias, as equações diferenciais parciais também são estudadas. São equações que relacionam variáveis ​​independentes, uma função desconhecida dessas variáveis ​​e suas derivadas parciais em relação às mesmas variáveis. Mas vamos considerar apenas Equações diferenciais ordinárias e, portanto, vamos omitir a palavra "ordinário" por brevidade.

Exemplos de equações diferenciais:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

A equação (1) é de quarta ordem, a equação (2) é de terceira ordem, as equações (3) e (4) são de segunda ordem, a equação (5) é de primeira ordem.

Equação diferencial n ordem não precisa conter explicitamente uma função, todas as suas derivadas da primeira à nª ordem e uma variável independente. Pode não conter explicitamente derivadas de algumas ordens, uma função, uma variável independente.

Por exemplo, na equação (1) claramente não há derivadas de terceira e segunda ordens, bem como funções; na equação (2) - derivada e função de segunda ordem; na equação (4) - variável independente; na equação (5) - funções. Apenas a equação (3) contém explicitamente todas as derivadas, a função e a variável independente.

Resolvendo a equação diferencial qualquer função é chamada y = f(x), substituindo qual na equação, ele se transforma em uma identidade.

O processo de encontrar uma solução para uma equação diferencial é chamado de integração.

Exemplo 1 Encontre uma solução para a equação diferencial.

Decisão. Escrevemos esta equação na forma . A solução é encontrar a função por sua derivada. A função original, como é conhecida do cálculo integral, é a antiderivada de, ou seja,

É isso que é solução da equação diferencial dada . mudando nele C, obteremos soluções diferentes. Descobrimos que há um número infinito de soluções para uma equação diferencial de primeira ordem.

Solução geral da equação diferencial nª ordem é sua solução expressa explicitamente em relação à função desconhecida e contendo n constantes arbitrárias independentes, ou seja,

A solução da equação diferencial no exemplo 1 é geral.

Solução parcial da equação diferencial sua solução é chamada, na qual valores numéricos específicos são atribuídos a constantes arbitrárias.

Exemplo 2 Encontre a solução geral da equação diferencial e uma solução particular para .

Decisão. Integramos ambas as partes da equação tantas vezes que a ordem da equação diferencial é igual.

,

.

Como resultado, obtivemos a solução geral -

dada equação diferencial de terceira ordem.

Agora vamos encontrar uma solução particular nas condições especificadas. Para fazer isso, substituímos seus valores em vez de coeficientes arbitrários e obtemos

.

Se, além da equação diferencial, a condição inicial for dada na forma , esse problema é chamado Problema de Cauchy . Os valores e são substituídos na solução geral da equação e o valor de uma constante arbitrária é encontrado C, e então uma solução particular da equação para o valor encontrado C. Esta é a solução para o problema de Cauchy.

Exemplo 3 Resolva o problema de Cauchy para a equação diferencial do Exemplo 1 sob a condição .

Decisão. Substituímos na solução geral os valores da condição inicial y = 3, x= 1. Obtemos

Escrevemos a solução do problema de Cauchy para a equação diferencial de primeira ordem dada:

Resolver equações diferenciais, mesmo as mais simples, requer boas habilidades em integração e derivação, incluindo funções complexas. Isso pode ser visto no exemplo a seguir.

Exemplo 4 Encontre a solução geral da equação diferencial.

Decisão. A equação é escrita de tal forma que ambos os lados podem ser integrados imediatamente.

.

Aplicamos o método de integração alterando a variável (substituição). Vamos, então.

Obrigatório tomar dx e agora - atenção - fazemos de acordo com as regras de diferenciação de uma função complexa, pois x e há uma função complexa ("maçã" - extraindo a raiz quadrada ou, o que é o mesmo - elevando à potência "um segundo" e "carne picada" - a própria expressão sob a raiz):

Encontramos a integral:

Voltando à variável x, Nós temos:

.

Esta é a solução geral desta equação diferencial de primeiro grau.

Não apenas as habilidades das seções anteriores de matemática superior serão necessárias na resolução de equações diferenciais, mas também habilidades do elementar, ou seja, matemática escolar. Como já mencionado, em uma equação diferencial de qualquer ordem pode não haver uma variável independente, ou seja, uma variável x. O conhecimento das proporções que não foram esquecidas (no entanto, qualquer um tem como) do banco da escola ajudará a resolver esse problema. Este é o próximo exemplo.

Lembre-se do problema que enfrentamos ao encontrar integrais definidas:

ou dy = f(x)dx. A solução dela:

e se reduz ao cálculo de uma integral indefinida. Na prática, uma tarefa mais difícil é mais comum: encontrar uma função y, se for conhecido que satisfaz uma relação da forma

Esta relação relaciona a variável independente x, função desconhecida y e seus derivados até a ordem n inclusive, são chamados .

Uma equação diferencial inclui uma função sob o signo de derivadas (ou diferenciais) de uma ordem ou de outra. A ordem do mais alto é chamada de ordem (9.1) .

Equações diferenciais:

- primeira ordem

segunda ordem,

- quinta ordem, etc.

Uma função que satisfaz uma dada equação diferencial é chamada de sua solução , ou integral . Resolver significa encontrar todas as suas soluções. Se para a função desejada y conseguiu obter uma fórmula que fornece todas as soluções, então dizemos que encontramos sua solução geral , ou integral geral .

Decisão comum contém n constantes arbitrárias e parece

Se for obtida uma relação que se relaciona x, y e n constantes arbitrárias, em uma forma não permitida em relação a y -

então tal relação é chamada de integral geral da equação (9.1).

Problema de Cauchy

Cada solução específica, isto é, cada função específica que satisfaz uma dada equação diferencial e não depende de constantes arbitrárias, é chamada de solução particular. , ou integral privada. Para obter soluções particulares (integrais) das gerais, é necessário anexar valores numéricos específicos às constantes.

O gráfico de uma solução particular é chamado de curva integral. A solução geral, que contém todas as soluções particulares, é uma família de curvas integrais. Para uma equação de primeira ordem, esta família depende de uma constante arbitrária; para a equação nª ordem - de n constantes arbitrárias.

O problema de Cauchy é encontrar uma solução particular para a equação nª ordem, satisfazendo n condições iniciais:

que determinam n constantes с 1 , с 2 ,..., c n.

equações diferenciais de 1ª ordem

Para um não resolvido em relação à derivada, a equação diferencial de 1ª ordem tem a forma

ou para permitido relativamente

Exemplo 3.46. Encontre uma solução geral para a equação

Decisão. Integrando, obtemos

onde C é uma constante arbitrária. Se fornecermos valores numéricos específicos para C, obteremos soluções particulares, por exemplo,

Exemplo 3.47. Considere uma quantidade crescente de dinheiro depositado no banco, sujeito ao acúmulo de 100 r juros compostos por ano. Seja Yo a quantia inicial de dinheiro e Yx após o vencimento x anos. Quando os juros são calculados uma vez por ano, obtemos

onde x = 0, 1, 2, 3,.... Quando os juros são calculados duas vezes ao ano, obtemos

onde x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Ao calcular juros n uma vez por ano e se x assume sucessivamente os valores 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., então

Denote 1/n = h , então a igualdade anterior será semelhante a:

Com ampliação ilimitada n(no ) no limite chegamos ao processo de aumentar a quantidade de dinheiro com juros contínuos:

Assim, pode-se perceber que com uma mudança contínua x a lei da variação da oferta monetária é expressa por uma equação diferencial de 1ª ordem. Onde Y x é uma função desconhecida, x- variável independente, r- constante. Resolvemos essa equação, para isso a reescrevemos da seguinte forma:

Onde , ou , onde P representa e C .

Das condições iniciais Y(0) = Yo , encontramos P: Yo = Pe o , de onde, Yo = P. Portanto, a solução se parece com:

Considere o segundo problema econômico. Os modelos macroeconômicos também são descritos por equações diferenciais lineares de 1ª ordem, descrevendo a variação da renda ou do produto Y em função do tempo.

Exemplo 3.48. Deixe a renda nacional Y aumentar a uma taxa proporcional ao seu tamanho:

e deixe, o déficit nos gastos do governo é diretamente proporcional à renda Y com um coeficiente de proporcionalidade q. O déficit de gastos leva a um aumento da dívida nacional D:

Condições iniciais Y = Yo e D = Do em t = 0. Da primeira equação Y= Yoe kt . Substituindo Y obtemos dD/dt = qYoe kt . A solução geral tem a forma
D = (q/ k) Yoe kt +С, onde С = const, que é determinado a partir das condições iniciais. Substituindo as condições iniciais, obtemos Do = (q/k)Yo + C. Então, finalmente,

D = Do +(q/k)Yo (e kt -1),

isso mostra que a dívida nacional está aumentando na mesma taxa relativa k, que é a renda nacional.

Considere as equações diferenciais mais simples n ordem, estas são equações da forma

Sua solução geral pode ser obtida usando n tempos de integração.

Exemplo 3.49. Considere o exemplo y """ = cos x.

Decisão. Integrando, encontramos

A solução geral tem a forma

Equações diferenciais lineares

Em economia, eles são de grande utilidade, considere a solução de tais equações. Se (9.1) tiver a forma:

então é chamado de linear, onde po(x), p1(x),..., pn(x), f(x) são funções dadas. Se f(x) = 0, então (9.2) é chamado de homogêneo, caso contrário é chamado de não-homogêneo. A solução geral da equação (9.2) é igual à soma de qualquer uma de suas soluções particulares y(x) e a solução geral da equação homogênea correspondente a ela:

Se os coeficientes p o (x), p 1 (x),..., p n (x) são constantes, então (9.2)

(9.4) é chamada de equação diferencial linear com coeficientes de ordem constantes n .

Para (9.4) tem a forma:

Podemos definir sem perda de generalidade p o = 1 e escrever (9.5) na forma

Procuraremos uma solução (9.6) na forma y = e kx , onde k é uma constante. Nós temos: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Substituindo as expressões obtidas em (9.6), teremos:

(9.7) é uma equação algébrica, sua incógnita é k, é chamado de característica. A equação característica tem grau n e n raízes, entre as quais podem ser múltiplas e complexas. Seja k 1 , k 2 ,..., k n real e distinto, então são soluções particulares (9.7), enquanto as soluções gerais

Considere uma equação diferencial homogênea linear de segunda ordem com coeficientes constantes:

Sua equação característica tem a forma

(9.9)

seu discriminante D = p 2 - 4q, dependendo do sinal de D, três casos são possíveis.

1. Se D>0, então as raízes k 1 e k 2 (9.9) são reais e diferentes, e a solução geral tem a forma:

Decisão. Equação característica: k 2 + 9 = 0, de onde k = ± 3i, a = 0, b = 3, a solução geral é:

y = C 1 cos 3x + C 2 sen 3x.

As equações diferenciais lineares de segunda ordem são usadas para estudar um modelo econômico do tipo web com estoques de bens, onde a taxa de variação do preço P depende do tamanho do estoque (ver parágrafo 10). Se oferta e demanda são funções lineares do preço, isto é,

a - é uma constante que determina a taxa de reação, então o processo de mudança de preço é descrito por uma equação diferencial:

Para uma solução particular, você pode tomar uma constante

que tem o significado de preço de equilíbrio. Desvio satisfaz a equação homogênea

(9.10)

A equação característica será a seguinte:

No caso, o termo é positivo. Indicar . As raízes da equação característica k 1,2 = ± i w, então a solução geral (9.10) tem a forma:

onde C e constantes arbitrárias, elas são determinadas a partir das condições iniciais. Obtivemos a lei da mudança de preço no tempo:

Digite sua equação diferencial, o apóstrofo """ é usado para inserir a derivada, pressione enviar e obtenha a solução

Ou já resolvidos em relação à derivada, ou podem ser resolvidos em relação à derivada .

Decisão comum equações diferenciais digite no intervalo X, que é dado, pode ser encontrado tomando a integral de ambos os lados desta igualdade.

Obter .

Se olharmos para as propriedades da integral indefinida, encontramos a solução geral desejada:

y = F(x) + C,

Onde F(x)- uma das primitivas da função f(x) entre X, uma Comé uma constante arbitrária.

Observe que na maioria das tarefas o intervalo X não indique. Isso significa que uma solução deve ser encontrada para todos. x, para o qual e a função desejada y, e a equação original faz sentido.

Se você precisar calcular uma solução particular de uma equação diferencial que satisfaça a condição inicial y(x0) = y0, então depois de calcular a integral geral y = F(x) + C, ainda é necessário determinar o valor da constante C=C0 usando a condição inicial. Ou seja, uma constante C=C0 determinado a partir da equação F(x 0) + C = y 0, e a solução particular desejada da equação diferencial terá a forma:

y = F(x) + C0.

Considere um exemplo:

Encontre a solução geral da equação diferencial , verifique a exatidão do resultado. Vamos encontrar uma solução particular desta equação que satisfaça a condição inicial.

Decisão:

Depois de integrarmos a equação diferencial dada, obtemos:

.

Tomamos esta integral pelo método de integração por partes:

Que., é uma solução geral da equação diferencial.

Vamos verificar se o resultado está correto. Para fazer isso, substituímos a solução que encontramos na equação dada:

.

Ou seja, ao a equação original se transforma em uma identidade:

portanto, a solução geral da equação diferencial foi determinada corretamente.

A solução que encontramos é a solução geral da equação diferencial para cada válido valores de argumento x.

Resta calcular uma solução particular da EDO que satisfaça a condição inicial. Em outras palavras, é necessário calcular o valor da constante Com, em que a igualdade será verdadeira:

.

.

Em seguida, substituindo C = 2 na solução geral da EDO, obtemos uma solução particular da equação diferencial que satisfaz a condição inicial:

.

Equação diferencial ordinária pode ser resolvido em relação à derivada dividindo as 2 partes da equação por f(x). Esta transformação será equivalente se f(x) não vai a zero para nenhum x do intervalo de integração da equação diferencial X.

Situações são prováveis ​​quando, para alguns valores do argumento x ∈ X funções f(x) e g(x) zerar ao mesmo tempo. Para valores semelhantes x a solução geral da equação diferencial é qualquer função y, que é definido neles, porque .

Se para alguns valores do argumento x ∈ X a condição é satisfeita, o que significa que neste caso a EDO não tem soluções.

Para todos os outros x do intervalo X a solução geral da equação diferencial é determinada a partir da equação transformada.

Vejamos exemplos:

Exemplo 1

Vamos encontrar a solução geral da EDO: .

Decisão.

A partir das propriedades das funções elementares básicas, fica claro que a função logarítmica natural é definida para valores não negativos do argumento, portanto, o domínio da expressão log(x+3) existe um intervalo x > -3 . Portanto, a equação diferencial dada faz sentido para x > -3 . Com esses valores do argumento, a expressão x + 3 não desaparece, então pode-se resolver a EDO em relação à derivada dividindo as 2 partes por x + 3.

Nós temos .

Em seguida, integramos a equação diferencial resultante, resolvida em relação à derivada: . Para obter essa integral, usamos o método de subsunção sob o sinal da diferencial.

6.1. CONCEITOS BÁSICOS E DEFINIÇÕES

Ao resolver vários problemas de matemática e física, biologia e medicina, muitas vezes não é possível estabelecer imediatamente uma dependência funcional na forma de uma fórmula ligando as variáveis ​​que descrevem o processo em estudo. Normalmente, deve-se usar equações contendo, além da variável independente e da função desconhecida, também suas derivadas.

Definição. Uma equação que relaciona uma variável independente, uma função desconhecida e suas derivadas de várias ordens é chamada diferencial.

A função desconhecida é geralmente denotada y(x) ou simplesmente sim, e seus derivados são você", você" etc.

Outras notações também são possíveis, por exemplo: se y= x(t), então x"(t), x""(t) são seus derivados, e té uma variável independente.

Definição. Se a função depende de uma variável, então a equação diferencial é chamada de ordinária. Forma geral equação diferencial ordinária:

ou

Funções F e f pode não conter alguns argumentos, mas para que as equações sejam diferenciais, a presença de uma derivada é essencial.

Definição.A ordem da equação diferencialé a ordem da maior derivada incluída nela.

Por exemplo, x 2 anos"- y= 0, y" + sin x= 0 são equações de primeira ordem, e você"+ 2 você"+ 5 y= xé uma equação de segunda ordem.

Ao resolver equações diferenciais, é usada a operação de integração, associada ao aparecimento de uma constante arbitrária. Se a ação de integração for aplicada n vezes, então, obviamente, a solução conterá n constantes arbitrárias.

6.2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM

Forma geral equação diferencial de primeira ordemé definido pela expressão

A equação não pode conter explicitamente x e sim, mas necessariamente contém y".

Se a equação pode ser escrita como

então obtemos uma equação diferencial de primeira ordem resolvida em relação à derivada.

Definição. A solução geral da equação diferencial de primeira ordem (6.3) (ou (6.4)) é o conjunto de soluções , Onde Comé uma constante arbitrária.

O gráfico para resolver uma equação diferencial é chamado curva integral.

Dando uma constante arbitrária Com valores diferentes, é possível obter soluções particulares. Na superfície xOy a solução geral é uma família de curvas integrais correspondentes a cada solução particular.

Se você definir um ponto A(x0, y0), pelo qual a curva integral deve passar, então, via de regra, do conjunto de funções um pode ser destacado - uma solução particular.

Definição.Decisão privada de uma equação diferencial é sua solução que não contém constantes arbitrárias.

Se um é uma solução geral, então da condição

você pode encontrar um permanente COM. A condição é chamada condição inicial.

O problema de encontrar uma solução particular de uma equação diferencial (6.3) ou (6.4) que satisfaça a condição inicial no chamado o problema de Cauchy. Esse problema sempre tem solução? A resposta está contida no seguinte teorema.

Teorema de Cauchy(teorema da existência e unicidade da solução). Deixe na equação diferencial você"= f(x, y) função f(x, y) e ela

derivativo parcial definido e contínuo em alguns

áreas D, contendo um ponto Então na área D existir

a única solução da equação que satisfaz a condição inicial no

O teorema de Cauchy afirma que sob certas condições existe uma única curva integral y= f(x), passando por um ponto Pontos onde as condições do teorema não são satisfeitas

Os gatos são chamados especial. Pausas nestes pontos f(x, y) ou.

Ou várias curvas integrais passam por um ponto singular, ou nenhuma.

Definição. Se a solução (6.3), (6.4) for encontrada na forma f(x, y, c)= 0 não permitido em relação a y, então é chamado integral comum equação diferencial.

O teorema de Cauchy apenas garante que existe uma solução. Como não existe um método único para encontrar uma solução, consideraremos apenas alguns tipos de equações diferenciais de primeira ordem que são integráveis ​​em quadrados.

Definição. A equação diferencial é chamada integrável em quadraturas, se a busca de sua solução se reduz à integração de funções.

6.2.1. Equações diferenciais de primeira ordem com variáveis ​​separáveis

Definição. Uma equação diferencial de primeira ordem é chamada de equação com variáveis ​​separáveis,

O lado direito da equação (6.5) é o produto de duas funções, cada uma das quais depende de apenas uma variável.

Por exemplo, a equação é uma equação com separação

passando variáveis
e a equação

não pode ser representado na forma (6.5).

Dado que , reescrevemos (6.5) como

Desta equação obtemos uma equação diferencial com variáveis ​​separadas, em que as diferenciais contêm funções que dependem apenas da variável correspondente:

Integrando termo a termo, temos

onde C= C 2 - C 1 é uma constante arbitrária. A expressão (6.6) é a integral geral da equação (6.5).

Dividindo ambas as partes da equação (6.5) por , podemos perder as soluções para as quais, Com efeito, se no

então é obviamente uma solução da equação (6.5).

Exemplo 1 Encontre uma solução para a equação que satisfaça

doença: y= 6 em x= 2 (s(2) = 6).

Decisão. Vamos substituir no" para então . Multiplique os dois lados por

dx, uma vez que em uma maior integração é impossível deixar dx no denominador:

e, em seguida, dividindo ambas as partes por obtemos a equação,

que podem ser integrados. Integramos:

Então ; potencializando, obtemos y = C . (x + 1) - ob-

solução.

Com base nos dados iniciais, determinamos uma constante arbitrária substituindo-os na solução geral

Finalmente obtemos y= 2(x + 1) é uma solução particular. Considere mais alguns exemplos de resolução de equações com variáveis ​​separáveis.

Exemplo 2 Encontre uma solução para a equação

Decisão. Dado que , Nós temos .

Integrando ambos os lados da equação, temos

Onde

Exemplo 3 Encontre uma solução para a equação Decisão. Dividimos ambas as partes da equação pelos fatores que dependem de uma variável que não coincide com a variável sob o sinal diferencial, ou seja, por e integrar. Então obtemos

e finalmente

Exemplo 4 Encontre uma solução para a equação

Decisão. Sabendo o que vamos conseguir. Seção-

variáveis ​​lim. Então

Integrando, obtemos

Comente. Nos exemplos 1 e 2, a função desejada y expressa explicitamente (solução geral). Nos exemplos 3 e 4 - implicitamente (integral geral). No futuro, a forma da decisão não será especificada.

Exemplo 5 Encontre uma solução para a equação Decisão.

Exemplo 6 Encontre uma solução para a equação satisfatório

doença vós)= 1.

Decisão. Escrevemos a equação na forma

Multiplicando ambos os lados da equação por dx e vamos, obtemos

Integrando ambos os lados da equação (a integral do lado direito é tomada por partes), obtemos

Mas por condição y= 1 em x= e. Então

Substituir os valores encontrados Com em uma solução geral:

A expressão resultante é chamada de solução particular da equação diferencial.

6.2.2. Equações diferenciais homogêneas de primeira ordem

Definição. A equação diferencial de primeira ordem é chamada homogêneo se pode ser representado como

Apresentamos um algoritmo para resolver uma equação homogênea.

1. Em vez disso y introduzir uma nova função Então e, portanto

2. Em termos de função você a equação (6.7) assume a forma

ou seja, a substituição reduz a equação homogênea a uma equação com variáveis ​​separáveis.

3. Resolvendo a equação (6.8), primeiro encontramos u, e então y= ux.

Exemplo 1 resolva a equação Decisão. Escrevemos a equação na forma

Fazemos uma substituição:
Então

Vamos substituir

Multiplique por dx: Dividido por x e em então

Integrando ambas as partes da equação em relação às variáveis ​​correspondentes, temos

ou, voltando às antigas variáveis, finalmente obtemos

Exemplo 2resolva a equação Decisão.Deixe ser então

Divida os dois lados da equação por x2: Vamos abrir os colchetes e reorganizar os termos:

Passando para as variáveis ​​antigas, chegamos ao resultado final:

Exemplo 3Encontre uma solução para a equação dado que

Decisão.Executando uma substituição padrão Nós temos

ou

ou

Então a solução particular tem a forma Exemplo 4 Encontre uma solução para a equação

Decisão.

Exemplo 5Encontre uma solução para a equação Decisão.

Trabalho independente

Encontrar uma solução para equações diferenciais com variáveis ​​separáveis (1-9).

Encontrar uma solução para equações diferenciais homogêneas (9-18).

6.2.3. Algumas aplicações de equações diferenciais de primeira ordem

O problema do decaimento radioativo

A taxa de decaimento de Ra (rádio) em cada momento de tempo é proporcional à sua massa disponível. Encontre a lei do decaimento radioativo de Ra se for conhecido que no momento inicial havia Ra e a meia-vida de Ra é de 1590 anos.

Decisão. Seja no momento a massa Ra x= x(t) g, e Então a taxa de decaimento de Ra é

De acordo com a tarefa

Onde k

Separando as variáveis ​​na última equação e integrando, obtemos

Onde

Para determinar C usamos a condição inicial: .

Então e, portanto,

Fator de proporcionalidade k determinado a partir da condição adicional:

Nós temos

Daqui e a fórmula desejada

O problema da taxa de reprodução das bactérias

A taxa de reprodução das bactérias é proporcional ao seu número. No momento inicial havia 100 bactérias. Em 3 horas, o número deles dobrou. Encontre a dependência do número de bactérias no tempo. Quantas vezes o número de bactérias aumentará em 9 horas?

Decisão. Deixe ser x- o número de bactérias no momento t. Então, de acordo com a condição,

Onde k- coeficiente de proporcionalidade.

Daqui Sabe-se da condição que . Meios,

Da condição adicional . Então

Função necessária:

Então, ao t= 9 x= 800, ou seja, em 9 horas o número de bactérias aumentou 8 vezes.

A tarefa de aumentar a quantidade da enzima

Na cultura de levedura de cerveja, a taxa de crescimento da enzima ativa é proporcional à sua quantidade inicial. x. Quantidade inicial de enzima uma dobrou em uma hora. Encontrar dependência

x(t).

Decisão. Por condição, a equação diferencial do processo tem a forma

daqui

Mas . Meios, C= uma e então

Sabe-se também que

Conseqüentemente,

6.3. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEM

6.3.1. Conceitos Básicos

Definição.Equação diferencial de segunda ordemé chamada de relação que conecta a variável independente, a função desejada e suas primeiras e segundas derivadas.

Em casos especiais, x pode estar ausente na equação, no ou y". No entanto, a equação de segunda ordem deve necessariamente conter y". No caso geral, a equação diferencial de segunda ordem é escrita como:

ou, se possível, na forma permitida para a segunda derivada:

Como no caso de uma equação de primeira ordem, uma equação de segunda ordem pode ter uma solução geral e uma solução particular. A solução geral se parece com:

Encontrar uma solução privada

sob condições iniciais - dado

número) é chamado o problema de Cauchy. Geometricamente, isso significa que é necessário encontrar a curva integral no= y(x), passando por um determinado ponto e tendo uma tangente neste ponto, que é aproximadamente

garfos com direção do eixo positivo Boiângulo dado. e. (Fig. 6.1). O problema de Cauchy tem uma solução única se o lado direito da equação (6.10), despre-

é descontínua e tem derivadas parciais contínuas em relação a você, você" em algum bairro do ponto de partida

Para encontrar constante incluído em uma determinada solução, é necessário permitir que o sistema

Arroz. 6.1. curva integral