De acordo com a definição de divisão de números reais, a seguinte definição é estabelecida.

Definição. Dividir um número complexo a + bi por um número complexo a "+ b" i significa encontrar tal número x + yi, que, quando multiplicado por um divisor, dará o dividendo.

Obtemos uma regra de divisão específica escrevendo o quociente como uma fração e multiplicando o numerador e o denominador dessa fração pelo número conjugado ao denominador: (a + bi): (c + di)=

Exemplo 1. Encontre o quociente (7 - 4i):(3 + 2i).

Tendo escrito a fração (7 - 4i)/(3 + 2i), nós a expandimos pelo número 3 - 2i conjugado para 3 + 2i. Nós temos:

((7 - 4i)(3 - 2i))/((3 + 2i)(3 - 2i)) = (13 - 26i)/13 = 1 - 2i.

O exemplo 1 do parágrafo anterior dá uma verificação.

Exemplo 2. (-2 +5i)/(-3 -4i) = ((-2 + 5i)(-3 - 4i))/((-3 - 4i)(-3 + 4i)) = (-14 -23i)/25 = -0,56 - 0,92i.

Para provar que o lado direito é de fato um quociente, basta multiplicá-lo por a" + b". Obtemos a + bi.

Resolvendo Equações com Variáveis ​​Complexas

variável de adição de número complexo

Considere primeiro a equação quadrática mais simples z2 = a, onde a é um número dado, z é uma incógnita. No conjunto dos números reais, esta equação é:

• 1) tem uma raiz z = 0 se a = 0;
• 2) tem duas raízes reais z1,2 = se a>0;
• 3) não tem raízes reais se a

No conjunto dos números complexos, esta equação sempre tem uma raiz.

Tarefa 1. Encontre as raízes complexas da equação z2 = a se:

• 1) a = -1; 2) a = -25; 3) a = -3.
• 1) z2 = -1. Como i2 = -1, esta equação pode ser escrita como z2 = i2, ou z2 - i2 = 0. Assim, fatorando o lado esquerdo, obtemos (z-i)(z+i) = 0, z1 = i, z2 = - eu respondo. z1,2 = e.
• 2) z2 = -25. Dado que i2 = -1, transformamos esta equação:

z2 = i2 52, z2 - 52 i2= 0, (z-5i)(z+5i) = 0, de onde z1 = 5i, z2 = -5i. Resposta:

3) z2 = -3, z2 = i2()2, z2 - ()2i2 = 0, (z - i)(z + i) = 0

Resposta: z1,2 = i.

Em geral, a equação z2 = a, onde a< 0 имеет два комплексных корня: Z1,2= i.

Usando a igualdade i2 \u003d -1, costuma-se escrever as raízes quadradas de números negativos da seguinte forma: \u003d i, \u003d 2i, \u003d i.

Assim, é definido para qualquer número real a (positivo, negativo e zero). Portanto, qualquer equação quadrática az2 + bz + c = 0, onde a, b, c são números reais e 0, tem raízes. Essas raízes são encontradas de acordo com a fórmula bem conhecida:

Tarefa 2. Resolva a equação z2-4z+13=0. De acordo com a fórmula encontramos: z1,2 = = = 2 3i.

Observe que as raízes encontradas neste problema são conjugadas: z1=2+3i e z2=2-3i. Vamos encontrar a soma e o produto dessas raízes: z1+z2=(2+3i)+(2-3i)=4, z1z2=(2+3i)(2-3i)=13.

O número 4 é o 2º coeficiente da equação z2-4z+13=0, tomado com sinal contrário, e o número 13 é um termo livre, ou seja, neste caso o teorema de Vieta é válido. É válido para qualquer equação quadrática: se z1 e z2 são as raízes da equação az2+bz+c = 0, z1+z2 = , z1z2 = .

Tarefa 3. Componha uma equação quadrática reduzida com coeficientes reais com raiz z1=-1-2i.

A segunda raiz z2 da equação é o conjugado da raiz dada z1, ou seja, z2=-1+2i. Pelo teorema de Vieta encontramos

P=-(z1+z2)=2, q=z1z2=5. A resposta é z2-2z+5=0.

Definição:

Número complexo = x – yié chamado de número conjugado em relação a W = x + yi.

Exemplos de números complexos conjugados:

–1 + 5eu e -1 - 5 eu, 2 – 3eu e 2 + 3 eu.

Para dividir dois números complexos na forma algébrica, como regra, é conveniente multiplicar o numerador e o denominador de uma fração pelo conjugado do denominador.

Exemplo 4 Faça a divisão: = [multiplicar o numerador e denominador da fração pelo conjugado do denominador] =

notar que
é uma expressão, não um número, portanto não pode ser considerada uma resposta.

Exemplo 5 Executar ações:
=

=


=
.

Exemplo 6 Executar ações:
= [multiplique o numerador e o denominador da fração pelos números conjugados aos dois números do denominador] =

1. Extraindo a raiz quadrada de um número complexo na forma algébrica

Definição. Número complexo
chama-se raiz quadrada de um número complexo z, E se
.

Exemplo 7 Calcular
.

Decisão. Deixe ser
= x + yi, então

Resolvemos separadamente a equação biquadrática:

Resposta: (-3 + 4 eu; 3 ‑ 4eu}.

Outra solução é possível após a introdução da forma trigonométrica do número complexo (ver p. 14).

1. Resolvendo equações lineares e quadráticas para números complexos

No campo dos números complexos, as mesmas fórmulas para resolver equações lineares e quadráticas são verdadeiras como no campo dos números reais.

Exemplo 8 Resolva a equação: (-2 - eu)z = 3 +eu.

Exemplo 9 Resolva a equação:
.

Decisão. Vamos usar a fórmula para encontrar as raízes da equação quadrática:

Resposta: (-2 + eu; ‑2 –eu} .

Exemplo 10 Resolva a equação:
.

Decisão:

Resposta: (1 - 2 eu; 1 –eu} .

Exemplo 11 Resolva a equação:
.

Decisão:

Calcular
:

Compomos o sistema igualando as partes real e imaginária das partes esquerda e direita da igualdade:

Resposta:(2; eu} .

Exemplo 12 Resolva o sistema de equações:

Decisão. Expressamos a variável da primeira equação do sistema x através de uma variável y:

Multiplicamos o numerador e o denominador da fração pelo conjugado do denominador:

No numerador da fração, abra os colchetes e dê os termos semelhantes:

Substituímos o valor obtido da variável x na segunda equação do sistema:

;

Resposta: (1 + eu; eu}.

1. Notação trigonométrica de números complexos

   1. Representação geométrica de números complexos

Ao estudar as propriedades dos números complexos, sua interpretação geométrica é muito conveniente. Como um número complexo é definido como um par de números reais, então todo número complexo z = uma + bi representado por um ponto no plano ( x, y) com coordenadas x = uma e y = b. Tal plano é chamado plano complexo, o eixo de abcissas é real (Re z), e o eixo das ordenadas é o eixo imaginário (Im z).

Exemplo 13 Desenhe no plano os pontos correspondentes aos números:

R solução. Número z 1, a parte real é -2 e a parte imaginária é 0. Portanto, a imagem do número z 1 é o ponto (-2, 0) (Fig. 1.1).

Número z 2, a parte real é 0 e a parte imaginária é 3. Portanto, a imagem do número z 2 é o ponto (0, 3). Número z 3 a parte real é 1 e a imaginária é -4. Portanto, a imagem do número z 3 é o ponto (1, -4).

Número z 4 a parte real é 1 e a imaginária 1. Portanto, a imagem do número z 4 é o ponto (1, 1).

Número z 5 a parte real é -3 e a imaginária é -2. Portanto, a imagem do número z 5 é um ponto (-3, -2).

Os números conjugados são representados por pontos no plano complexo, simétricos em relação ao eixo real Re z.