Encontre o valor da expressão para vários valores racionais da variável x=2; 0; -3; -

Observe que não importa o número que substituímos em vez da variável x, você sempre pode encontrar o valor dessa expressão. Então, estamos considerando uma função exponencial (y igual a três à potência x), definida no conjunto dos números racionais: .

Vamos construir um gráfico desta função fazendo uma tabela de seus valores.

Vamos desenhar uma linha suave passando por esses pontos (Fig. 1)

Usando o gráfico desta função, considere suas propriedades:

3. Aumenta em toda a área de definição.

1. variam de zero a mais infinito.

8. A função é convexa para baixo.

Se em um sistema de coordenadas para construir gráficos de funções; y=(y é igual a dois elevado a x, y é igual a cinco elevado a x, y é igual a sete elevado a x), você pode ver que eles têm as mesmas propriedades que y=(y é igual a três elevado a x) ( Fig. .2), ou seja, todas as funções da forma y = (y é igual a a à potência de x, com um maior que um) terão tais propriedades

Vamos plotar a função:

1. Compilando uma tabela de seus valores.

Marcamos os pontos obtidos no plano coordenado.

Vamos desenhar uma linha suave passando por esses pontos (Fig. 3).

Usando o gráfico desta função, indicamos suas propriedades:

1. O domínio de definição é o conjunto de todos os números reais.

2. Não é par nem ímpar.

3. Diminui em todo o domínio de definição.

4. Não tem o maior nem o menor valor.

5. Limitado por baixo, mas não limitado por cima.

6. Contínua em todo o domínio de definição.

7. intervalo de valores de zero a mais infinito.

8. A função é convexa para baixo.

Da mesma forma, se em um sistema de coordenadas para construir gráficos de funções; y=(y é igual a um segundo à potência x, y é igual a um quinto à potência x, y é igual a um sétimo à potência x), você pode ver que eles têm as mesmas propriedades que y=(y é igual a um terço da potência potência de x). x) (Fig. 4), ou seja, todas as funções da forma y \u003d (y é igual a um dividido por a elevado a x, com maior que zero, mas menor que um) tem tais propriedades

Vamos construir gráficos de funções em um sistema de coordenadas

isso significa que os gráficos das funções y \u003d y \u003d (y é igual a a elevado a x e y é igual a um dividido por a elevado a x) também serão simétricos para o mesmo valor de a .

Resumimos o que foi dito dando uma definição de uma função exponencial e indicando suas principais propriedades:

Definição: Uma função da forma y \u003d, onde (y é igual a a elevado à potência de x, onde a é positivo e diferente de um), é chamada de função exponencial.

É necessário lembrar as diferenças entre a função exponencial y= e a função potência y=, a=2,3,4,…. tanto auditiva quanto visualmente. A função exponencial Xé um grau, e para uma função de potência Xé a base.

Exemplo 1: Resolva a equação (três elevado a x é igual a nove)

(y é igual a três elevado a x e y é igual a nove) fig.7

Observe que eles têm um ponto comum M (2; 9) (em com coordenadas dois; nove), o que significa que a abcissa do ponto será a raiz dessa equação. Ou seja, a equação tem uma única raiz x = 2.

Exemplo 2: Resolva a equação

Em um sistema de coordenadas, construiremos dois gráficos da função y \u003d (y é igual a cinco elevado a x e y é igual a um vigésimo quinto) Fig.8. Os gráficos se cruzam em um ponto T (-2; (te com coordenadas menos dois; um vigésimo quinto). Portanto, a raiz da equação é x \u003d -2 (número menos dois).

Exemplo 3: Resolva a desigualdade

Em um sistema de coordenadas, construímos dois gráficos da função y \u003d

(y é igual a três elevado a x e y é igual a vinte e sete).

Fig.9 O gráfico da função está localizado acima do gráfico da função y=quando

x Portanto, a solução para a inequação é o intervalo (de menos infinito a três)

Exemplo 4: Resolva a desigualdade

Em um sistema de coordenadas, construiremos dois gráficos da função y \u003d (y é igual a um quarto elevado a x e y é igual a dezesseis). (Fig. 10). Os gráficos se cruzam em um ponto K (-2;16). Isso significa que a solução para a desigualdade é o intervalo (-2; (de menos dois a mais infinito), porque o gráfico da função y \u003d está localizado abaixo do gráfico da função em x

Nosso raciocínio nos permite verificar a validade dos seguintes teoremas:

Terem 1: Se é verdadeiro se e somente se m=n.

Teorema 2: Se é verdadeiro se e somente se, então a desigualdade é verdadeira se e somente se (Fig. *)

Teorema 4: Se é verdadeiro se e somente se (Fig.**), a desigualdade é verdadeira se e somente se Teorema 3: Se é verdadeiro se e somente se m=n.

Exemplo 5: Plote a função y=

Modificamos a função aplicando a propriedade de grau y=

Vamos construir um sistema de coordenadas adicional e no novo sistema de coordenadas vamos plotar a função y = (y é igual a dois à potência x) Fig.11.

Exemplo 6: Resolva a equação

Em um sistema de coordenadas, construímos dois gráficos da função y \u003d

(Y é igual a sete elevado a x e Y é igual a oito menos x) Fig.12.

Os gráficos se cruzam em um ponto E (1; (e com coordenadas um; sete). Portanto, a raiz da equação é x = 1 (x igual a um).

Exemplo 7: Resolva a desigualdade

Em um sistema de coordenadas, construímos dois gráficos da função y \u003d

(Y é igual a um quarto elevado a x e Y é igual a x mais cinco). O gráfico da função y= está localizado abaixo do gráfico da função y=x+5 at, a solução da inequação é o intervalo x (de menos um a mais infinito).

Conhecimento funções elementares básicas, suas propriedades e gráficos não menos importante do que conhecer a tabuada de multiplicação. Eles são como uma fundação, tudo é baseado neles, tudo é construído a partir deles, e tudo se resume a eles.

Neste artigo, listamos todas as principais funções elementares, fornecemos seus gráficos e os fornecemos sem derivação e provas. propriedades das funções elementares básicas de acordo com o esquema:

• comportamento da função nos limites do domínio de definição, assíntotas verticais (se necessário, veja o artigo classificação de pontos de quebra de uma função);
• par e impar;
• intervalos de convexidade (convexidade para cima) e concavidade (convexidade para baixo), pontos de inflexão (se necessário, consulte o artigo função convexidade, direção da convexidade, pontos de inflexão, convexidade e condições de inflexão);
• assíntotas oblíquas e horizontais;
• pontos singulares de funções;
• propriedades especiais de algumas funções (por exemplo, o menor período positivo para funções trigonométricas).

Se você estiver interessado em ou, então você pode ir para essas seções da teoria.

Funções elementares básicas são: função constante (constante), raiz do grau n, função potência, exponencial, função logarítmica, funções trigonométricas e trigonométricas inversas.

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Função permanente.

Uma função constante é dada no conjunto de todos os números reais pela fórmula , onde C é algum número real. A função constante atribui a cada valor real da variável independente x o mesmo valor da variável dependente y - o valor С. Uma função constante também é chamada de constante.

O gráfico de uma função constante é uma linha reta paralela ao eixo x que passa por um ponto com coordenadas (0,C) . Por exemplo, vamos mostrar gráficos das funções constantes y=5 , y=-2 e , que na figura abaixo correspondem às linhas preta, vermelha e azul, respectivamente.

Propriedades de uma função constante.

• Domínio de definição: todo o conjunto dos números reais.
• A função constante é par.
• Faixa de valores: conjunto composto por um único número C .
• Uma função constante é não crescente e não decrescente (é por isso que é constante).
• Não faz sentido falar sobre a convexidade e a concavidade da constante.
• Não há assíntota.
• A função passa pelo ponto (0,C) do plano de coordenadas.

A raiz do enésimo grau.

Considere a função elementar básica, que é dada pela fórmula , onde n é um número natural maior que um.

A raiz do grau n, n é um número par.

Vamos começar com a função raiz n para valores pares do expoente raiz n .

Por exemplo, damos uma imagem com imagens de gráficos de funções e , correspondem às linhas preta, vermelha e azul.

Os gráficos das funções da raiz de grau par têm uma forma semelhante para outros valores do indicador.

Propriedades da raiz do grau n para n par.

A raiz do grau n, n é um número ímpar.

A função raiz do grau n com um expoente ímpar da raiz n é definida em todo o conjunto de números reais. Por exemplo, apresentamos gráficos de funções e , as curvas preta, vermelha e azul correspondem a elas.

Para outros valores ímpares do expoente raiz, os gráficos da função terão uma aparência semelhante.

Propriedades da raiz do grau n para n ímpar .

Função liga-desliga.

A função potência é dada por uma fórmula da forma .

Considere o tipo de gráficos de uma função potência e as propriedades de uma função potência dependendo do valor do expoente.

Vamos começar com uma função de potência com um expoente inteiro a . Nesse caso, a forma dos gráficos das funções de potência e as propriedades das funções dependem do expoente par ou ímpar, bem como de seu sinal. Portanto, primeiro consideramos funções de potência para valores positivos ímpares do expoente a , depois para positivos pares, depois para expoentes negativos ímpares e, finalmente, para a menos par.

As propriedades das funções de potência com expoentes fracionários e irracionais (assim como o tipo de gráfico de tais funções de potência) dependem do valor do expoente a. Vamos considerá-los, primeiro, quando a é de zero a um, segundo, quando a é maior que um, terceiro, quando a é de menos um a zero, e quarto, quando a é menor que menos um.

Como conclusão desta subseção, por uma questão de completude, descrevemos uma função potência com expoente zero.

Função de potência com expoente positivo ímpar.

Considere uma função potência com um expoente positivo ímpar, ou seja, com a=1,3,5,… .

A figura abaixo mostra gráficos de funções de potência - linha preta, - linha azul, - linha vermelha, - linha verde. Para a=1 temos Função linear y=x.

Propriedades de uma função potência com um expoente positivo ímpar.

Função de potência com expoente positivo par.

Considere uma função potência com um expoente positivo par, ou seja, para a=2,4,6,… .

Como exemplo, vamos pegar gráficos de funções de potência - linha preta, - linha azul, - linha vermelha. Para a=2 temos uma função quadrática cujo gráfico é parábola quadrática.

Propriedades de uma função potência com um expoente positivo par.

Função de potência com um expoente negativo ímpar.

Observe os gráficos da função exponencial para valores negativos ímpares​​do expoente, ou seja, para \u003d -1, -3, -5, ....

A figura mostra gráficos de funções exponenciais como exemplos - linha preta, - linha azul, - linha vermelha, - linha verde. Para a=-1 temos proporcionalidade inversa, cujo gráfico é hipérbole.

Propriedades de uma função potência com um expoente negativo ímpar.

Função de potência com um expoente negativo par.

Vamos passar para a função de potência em a=-2,-4,-6,….

A figura mostra gráficos de funções de potência - linha preta, - linha azul, - linha vermelha.

Propriedades de uma função potência com um expoente negativo par.

Uma função de potência com um expoente racional ou irracional cujo valor é maior que zero e menor que um.

Observação! Se a é uma fração positiva com denominador ímpar, alguns autores consideram o intervalo como sendo o domínio da função potência. Ao mesmo tempo, estipula-se que o expoente a é uma fração irredutível. Agora, os autores de muitos livros didáticos de álgebra e os primórdios da análise NÃO DEFINEM funções de potência com um expoente na forma de uma fração com um denominador ímpar para valores negativos do argumento. Vamos aderir a essa visão, ou seja, consideraremos os domínios das funções de potência com expoentes fracionários positivos como sendo o conjunto . Incentivamos os alunos a obter a perspectiva de seu professor sobre esse ponto sutil para evitar discordâncias.

Considere uma função de potência com expoente racional ou irracional a , e .

Apresentamos gráficos de funções de potência para a=11/12 (linha preta), a=5/7 (linha vermelha), (linha azul), a=2/5 (linha verde).

Uma função de potência com um expoente racional ou irracional não inteiro maior que um.

Considere uma função de potência com um expoente racional ou irracional não inteiro a , e .

Vamos apresentar os gráficos das funções de potência dadas pelas fórmulas (linhas preta, vermelha, azul e verde, respectivamente).

>

Para outros valores do expoente a , os gráficos da função terão uma aparência semelhante.

Propriedades da função de potência para .

Uma função de potência com um expoente real maior que menos um e menor que zero.

Observação! Se a é uma fração negativa com denominador ímpar, alguns autores consideram o intervalo . Ao mesmo tempo, estipula-se que o expoente a é uma fração irredutível. Agora, os autores de muitos livros didáticos de álgebra e os primórdios da análise NÃO DEFINEM funções de potência com um expoente na forma de uma fração com um denominador ímpar para valores negativos do argumento. Vamos aderir exatamente a essa visão, ou seja, consideraremos os domínios das funções de potência com expoentes negativos fracionários fracionários como o conjunto, respectivamente. Incentivamos os alunos a obter a perspectiva de seu professor sobre esse ponto sutil para evitar discordâncias.

Passamos para a função potência , onde .

Para ter uma boa ideia do tipo de gráficos de funções de potência para , damos exemplos de gráficos de funções (curvas preta, vermelha, azul e verde, respectivamente).

Propriedades de uma função potência com expoente a , .

Uma função de potência com um expoente real não inteiro que é menor que menos um.

Vamos dar exemplos de gráficos de funções de potência para , eles são representados em linhas pretas, vermelhas, azuis e verdes, respectivamente.

Propriedades de uma função de potência com um expoente negativo não inteiro menor que menos um.

Quando a=0 e temos uma função - esta é uma linha reta da qual o ponto (0; 1) é excluído (a expressão 0 0 foi acordada para não atribuir nenhuma importância).

Função exponencial.

Uma das funções elementares básicas é a função exponencial.

Gráfico da função exponencial, onde e assume uma forma diferente dependendo do valor da base a. Vamos descobrir.

Primeiro, considere o caso em que a base da função exponencial assume um valor de zero a um, ou seja, .

Por exemplo, apresentamos os gráficos da função exponencial para a = 1/2 - a linha azul, a = 5/6 - a linha vermelha. Os gráficos da função exponencial têm aparência semelhante para outros valores da base do intervalo.

Propriedades de uma função exponencial com base menor que um.

Voltamos ao caso em que a base da função exponencial é maior que um, ou seja, .

Como ilustração, apresentamos gráficos de funções exponenciais - a linha azul e - a linha vermelha. Para outros valores da base, maiores que um, os gráficos da função exponencial terão uma aparência semelhante.

Propriedades de uma função exponencial com base maior que um.

Função logarítmica.

A próxima função elementar básica é a função logarítmica , onde , . A função logarítmica é definida apenas para valores positivos do argumento, ou seja, para .

O gráfico da função logarítmica assume uma forma diferente dependendo do valor da base a.

Concentração de atenção:

Definição. Função espécie é chamada função exponencial .

Comente. Exclusão básica uma números 0; 1 e valores negativos uma explicado pelas seguintes circunstâncias:

A própria expressão analítica um x nesses casos, ela mantém seu significado e pode ser encontrada na resolução de problemas. Por exemplo, para a expressão xy ponto x = 1; y = 1 entra no intervalo de valores aceitáveis.

Construir gráficos de funções: e .

Gráfico de uma função exponencial
y= uma x, a > 1	y= uma x , 0< a < 1

Propriedades da função exponencial

Propriedades da função exponencial	y= uma x, a > 1	y= uma x , 0< a < 1
Escopo da função
2. Faixa de valores de função
3. Intervalos de comparação com a unidade	no x> 0, um x > 1	no x > 0, 0< a x < 1
	no x < 0, 0< a x < 1	no x < 0, a x > 1
4. Par, ímpar.	A função não é nem par nem ímpar (função geral).
5. Monotonia.	aumenta monotonicamente por R	diminui monotonicamente por R
6. Extremos.	A função exponencial não tem extremos.
7.Assíntota	Eixo O xé uma assíntota horizontal.
8. Para quaisquer valores reais x e y;

Quando a tabela é preenchida, as tarefas são resolvidas em paralelo com o preenchimento.

Tarefa número 1. (Para encontrar o domínio da função).

Quais valores de argumento são válidos para funções:

Tarefa número 2. (Para encontrar o intervalo da função).

A figura mostra um gráfico de uma função. Especifique o escopo e o escopo da função:

Tarefa número 3. (Para indicar os intervalos de comparação com a unidade).

Compare cada uma das seguintes potências com uma:

Tarefa número 4. (Estudar a função para monotonicidade).

Comparar números reais por magnitude m e n E se:

Tarefa número 5. (Estudar a função para monotonicidade).

Faça uma conclusão sobre a base uma, E se:

y(x) = 10x; f(x) = 6x; z(x) - 4x

Como são os gráficos de funções exponenciais em relação umas às outras para x > 0, x = 0, x< 0?

Em um plano de coordenadas, gráficos de funções são plotados:

y(x) = (0,1) x ; f(x) = (0,5) x ; z(x) = (0,8) x .

Como são os gráficos de funções exponenciais em relação umas às outras para x > 0, x = 0, x< 0?

Número uma das constantes mais importantes da matemática. Por definição, é igual ao limite da sequência com ilimitado aumentando n . Designação e introduzido Leonardo Euler em 1736. Ele calculou os primeiros 23 dígitos deste número em notação decimal, e o próprio número foi nomeado após Napier "número não-par". Número e desempenha um papel especial na análise matemática. Função exponencial com base e, chamado de expoente e denotado y = e x. Primeiros sinais números e fácil de lembrar: dois, uma vírgula, sete, o ano de nascimento de Leo Tolstoy - duas vezes, quarenta e cinco, noventa, quarenta e cinco.

Trabalho de casa:

Kolmogorov página 35; Nº 445-447; 451; 453.

Repita o algoritmo para construir gráficos de funções contendo uma variável sob o sinal do módulo.

1. Uma função exponencial é uma função da forma y(x) \u003d a x, dependendo do expoente x, com um valor constante da base do grau a, onde a > 0, a ≠ 0, xϵR (R é o conjunto dos números reais).

Considerar gráfico da função se a base não satisfaz a condição: a>0
a) um< 0
Se um< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
a = -2

Se a = 0 - a função y = é definida e tem um valor constante 0

c) a \u003d 1
Se a = 1 - a função y = é definida e tem um valor constante de 1

2. Considere a função exponencial com mais detalhes:

0

Domínio de função (OOF)

Área de valores de função permitidos (ODZ)

3. Zeros da função (y = 0)

4. Pontos de interseção com o eixo y (x = 0)

5. Função crescente e decrescente

Se , então a função f(x) aumenta
Se , então a função f(x) diminui
Função y= , em 0 A função y \u003d, para a> 1, aumenta monotonicamente
Isso decorre das propriedades de monotonicidade de um grau com um expoente real.

6. Funções pares e ímpares

A função y = não é simétrica em relação ao eixo 0y e em relação à origem, portanto não é nem par nem ímpar. (função geral)

7. A função y \u003d não tem extremos

8. Propriedades de um grau com um expoente real:

Seja a > 0; a≠1
b > 0; b≠1

Então para xϵR; yϵR:

Propriedades de monotonicidade de grau:

se então
Por exemplo:

Se a > 0, então .
A função exponencial é contínua em qualquer ponto ϵ R.

9. Localização relativa da função

Quanto maior a base a, mais próximo dos eixos x e y

a > 1, a = 20

Se a0, então a função exponencial assume uma forma próxima a y = 0.
Se a1, mais longe dos eixos x e y e o gráfico assume a forma próxima à função y \u003d 1.

Exemplo 1
Parcela y=