Sistemas de equações lineares homogêneas

Formulação do problema. Encontre alguma base e determine a dimensão do espaço linear de soluções do sistema

Plano de solução.

1. Escreva a matriz do sistema:

e com a ajuda de transformações elementares, transformamos a matriz em uma forma triangular, ou seja, a tal forma quando todos os elementos abaixo da diagonal principal são iguais a zero. A classificação da matriz do sistema é igual ao número de linhas linearmente independentes, ou seja, no nosso caso, o número de linhas nas quais permanecem elementos diferentes de zero:

A dimensão do espaço de soluções é . Se , então o sistema homogêneo tem uma única solução nula, se , então o sistema tem um número infinito de soluções.

2. Escolha variáveis ​​básicas e livres. Variáveis ​​livres são denotadas por . Então expressamos as variáveis ​​básicas em função das livres, obtendo assim a solução geral de um sistema homogêneo de equações lineares.

3. Escrevemos a base do espaço de solução do sistema definindo sequencialmente uma das variáveis ​​livres igual a um e o restante como zero. A dimensão do espaço de solução linear do sistema é igual ao número de vetores de base.

Observação. As transformações matriciais elementares incluem:

1. multiplicação (divisão) de uma string por um multiplicador diferente de zero;

2. adição a qualquer linha de outra linha, multiplicada por qualquer número;

3. permutação de linhas em lugares;

4. transformações 1–3 para colunas (no caso de resolução de sistemas de equações lineares, transformações elementares de colunas não são usadas).

Tarefa 3. Encontre alguma base e determine a dimensão do espaço linear de soluções do sistema.

Escrevemos a matriz do sistema e, usando transformações elementares, trazemos para uma forma triangular:

Supomos então

Quando analisamos os conceitos de um vetor n-dimensional e introduzimos operações sobre vetores, descobrimos que o conjunto de todos os vetores n-dimensionais gera um espaço linear. Neste artigo, falaremos sobre os conceitos relacionados mais importantes - sobre a dimensão e a base de um espaço vetorial. Também consideramos o teorema sobre a expansão de um vetor arbitrário em termos de uma base e a conexão entre diferentes bases de um espaço n-dimensional. Vamos analisar em detalhes as soluções de exemplos típicos.

Navegação da página.

Conceito de dimensão e base do espaço vetorial.

Os conceitos de dimensão e base de um espaço vetorial estão diretamente relacionados ao conceito de sistema de vetores linearmente independente, por isso recomendamos, se necessário, consultar o artigo dependência linear de um sistema de vetores, propriedades de dependência linear e independência.

Definição.

Dimensão do espaço vetorialé chamado o número igual ao número máximo de vetores linearmente independentes neste espaço.

Definição.

Base de espaço vetorialé um conjunto ordenado de vetores linearmente independentes desse espaço, cujo número é igual à dimensão do espaço.

Apresentamos alguns argumentos baseados nessas definições.

Considere o espaço de vetores n-dimensionais.

Mostremos que a dimensão deste espaço é igual a n .

Tomemos um sistema de n vetores unitários da forma

Vamos tomar esses vetores como linhas da matriz A. Neste caso, a matriz A será uma matriz identidade n por n. A classificação desta matriz é n (se necessário, consulte o artigo). Portanto, o sistema de vetores é linearmente independente, e nenhum vetor pode ser adicionado a este sistema sem violar sua independência linear. Como o número de vetores no sistema é igual a n, então a dimensão do espaço de vetores n-dimensionais é n, e os vetores unitários são a base deste espaço.

Da última afirmação e da definição da base, podemos concluir que qualquer sistema de vetores n-dimensionais cujo número de vetores é menor que n não é uma base.

Agora vamos trocar o primeiro e o segundo vetores do sistema . É fácil mostrar que o sistema resultante de vetores também é uma base de um espaço vetorial n-dimensional. Vamos compor uma matriz, tomando-a como vetores linhas desse sistema. Essa matriz pode ser obtida a partir da matriz identidade trocando a primeira e a segunda linha, portanto seu posto será n . Assim, um sistema de n vetores é linearmente independente e é uma base de um espaço vetorial n-dimensional.

Se trocarmos outros vetores do sistema , obtemos outra base.

Se tomarmos um sistema linearmente independente de vetores não unitários, ele também é a base de um espaço vetorial n-dimensional.

Por isso, um espaço vetorial de dimensão n tem tantas bases quantos são os sistemas linearmente independentes de vetores n n-dimensionais.

Se falamos de um espaço vetorial bidimensional (isto é, de um plano), sua base são quaisquer dois vetores não colineares. A base de um espaço tridimensional são quaisquer três vetores não coplanares.

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo.

Os vetores são a base de um espaço vetorial 3D?

Solução.

Vamos examinar este sistema de vetores para uma dependência linear. Para fazer isso, comporemos uma matriz, cujas linhas serão as coordenadas dos vetores e encontraremos sua classificação:


Assim, os vetores a , b e c são linearmente independentes e seu número é igual à dimensão do espaço vetorial, portanto, eles são a base deste espaço.

Responder:

Sim, eles estão.

Exemplo.

Um sistema de vetores pode ser a base de um espaço vetorial?

Solução.

Este sistema de vetores é linearmente dependente, pois o número máximo de vetores tridimensionais linearmente independentes é três. Portanto, este sistema de vetores não pode ser uma base de um espaço vetorial tridimensional (embora um subsistema do sistema de vetores original seja uma base).

Responder:

Não, ele não pode.

Exemplo.

Certifique-se de que os vetores

pode ser uma base de um espaço vetorial quadridimensional.

Solução.

Vamos fazer uma matriz, tomando-a como linhas dos vetores originais:

Vamos encontrar:

Assim, o sistema de vetores a, b, c, d é linearmente independente e seu número é igual à dimensão do espaço vetorial, portanto, a, b, c, d são sua base.

Responder:

Os vetores originais são de fato a base de um espaço quadridimensional.

Exemplo.

Os vetores formam a base de um espaço vetorial de 4 dimensões?

Solução.

Mesmo que o sistema original de vetores seja linearmente independente, o número de vetores nele não é suficiente para ser a base de um espaço quadridimensional (a base de tal espaço consiste em 4 vetores).

Responder:

Não, não.

Decomposição de um vector em termos de uma base de espaço vectorial.

Deixe vetores arbitrários são a base de um espaço vetorial n-dimensional. Se adicionarmos algum vetor n-dimensional x a eles, o sistema de vetores resultante será linearmente dependente. Pelas propriedades de dependência linear, sabemos que pelo menos um vetor de um sistema linearmente dependente é expresso linearmente em termos dos outros. Em outras palavras, pelo menos um dos vetores de um sistema linearmente dependente é expandido em termos do restante dos vetores.

Assim, chegamos a um teorema muito importante.

Teorema.

Qualquer vetor de um espaço vetorial n-dimensional é exclusivamente decomposto em termos de uma base.

Prova.

Deixar - base do espaço vetorial n-dimensional. Vamos adicionar um vetor n-dimensional x a esses vetores. Então o sistema de vetores resultante será linearmente dependente e o vetor x pode ser expresso linearmente em termos dos vetores : , onde estão alguns números. Então nós temos a expansão do vetor x em termos da base. Resta provar que esta decomposição é única.

Suponha que haja outra decomposição , onde - alguns números. Subtraia das partes esquerda e direita da última igualdade, respectivamente, as partes esquerda e direita da igualdade:

Como o sistema de vetores de base é linearmente independente, então, pela definição de independência linear de um sistema de vetores, a igualdade resultante só é possível quando todos os coeficientes são iguais a zero. Portanto, , o que prova a unicidade da expansão do vetor em termos da base.

Definição.

Os coeficientes são chamados coordenadas do vetor x na base .

Depois de nos familiarizarmos com o teorema da expansão de um vetor em termos de uma base, começamos a entender a essência da expressão “nos é dado um vetor n-dimensional ". Esta expressão significa que estamos considerando um vetor x de um espaço vetorial n-dimensional cujas coordenadas são dadas em alguma base. Ao mesmo tempo, entendemos que o mesmo vetor x em outra base do espaço vetorial n-dimensional terá coordenadas diferentes de .

Considere o seguinte problema.

Sejamos, em alguma base de um espaço vetorial n-dimensional, dado um sistema de n vetores linearmente independentes

e vetor . Então os vetores também são uma base desse espaço vetorial.

Precisamos encontrar as coordenadas do vetor x na base . Vamos denotar essas coordenadas como .

Vetor x na base tem uma ideia. Escrevemos essa igualdade na forma de coordenadas:

Essa igualdade é equivalente a um sistema de n equações algébricas lineares com n variáveis ​​desconhecidas :

A matriz principal deste sistema tem a forma

Vamos denotar como A. As colunas da matriz A são vetores de um sistema linearmente independente de vetores , então o posto desta matriz é n , portanto seu determinante é diferente de zero. Este fato indica que o sistema de equações possui uma única solução que pode ser encontrada por qualquer método, por exemplo, ou .

Assim, as coordenadas desejadas serão encontradas vetor x na base .

Vamos analisar a teoria com exemplos.

Exemplo.

Em alguma base do espaço vetorial tridimensional, os vetores

Certifique-se de que o sistema vetorial também é uma base desse espaço e encontre as coordenadas do vetor x nessa base.

Solução.

Para que um sistema de vetores seja a base de um espaço vetorial tridimensional, ele deve ser linearmente independente. Vamos descobrir determinando o posto da matriz A , cujas linhas são vetores . Encontramos o posto pelo método de Gauss


portanto, Rank(A) = 3 , o que mostra a independência linear do sistema de vetores .

Portanto, os vetores são a base. Deixe o vetor x ter coordenadas nesta base. Então, como mostramos acima, a relação das coordenadas desse vetor é dada pelo sistema de equações

Substituindo nele os valores conhecidos da condição, obtemos

Vamos resolver pelo método de Cramer:

Assim, o vetor x na base tem coordenadas .

Responder:

Exemplo.

Em alguma base espaço vetorial quadridimensional é dado um sistema linearmente independente de vetores

Sabe-se que . Encontre as coordenadas do vetor x na base .

Solução.

Como o sistema de vetores é linearmente independente por suposição, então é uma base de um espaço quadridimensional. Então a igualdade significa que o vetor x na base tem coordenadas. Denote as coordenadas do vetor x na base Como .

O sistema de equações que define a relação das coordenadas do vetor x em bases E tem a forma

Substituímos os valores conhecidos nele e encontramos as coordenadas desejadas:

Responder:

.

Comunicação entre bases.

Sejam dados dois sistemas linearmente independentes de vetores em alguma base de um espaço vetorial n-dimensional

E

ou seja, são também bases desse espaço.

Se - coordenadas vetoriais na base , então a relação de coordenadas E é dado por um sistema de equações lineares (falamos sobre isso no parágrafo anterior):

, que na forma matricial pode ser escrita como

Da mesma forma, para um vetor, podemos escrever

As igualdades de matriz anteriores podem ser combinadas em uma, o que essencialmente define a relação dos vetores de duas bases diferentes

Da mesma forma, podemos expressar todos os vetores de base através da base :

Definição.

Matriz chamado matriz de transição da base basear , então a igualdade

Multiplicando ambos os lados desta equação à direita por

Nós temos

Vamos encontrar a matriz de transição, enquanto não vamos nos deter em encontrar a matriz inversa e multiplicar matrizes (consulte, se necessário, artigos e):

Resta descobrir a relação das coordenadas do vetor x nas bases dadas.

Deixe o vetor x ter coordenadas na base, então

e na base o vetor x tem coordenadas , então

Como as partes esquerdas das duas últimas igualdades são iguais, podemos igualar as partes certas:

Se multiplicarmos ambos os lados à direita por

então nós pegamos


Por outro lado

(encontre você mesmo a matriz inversa).
As duas últimas igualdades nos dão a relação desejada das coordenadas do vetor x nas bases e .

Responder:

A matriz de transição de base para base tem a forma
;
as coordenadas do vetor x em bases e estão relacionadas pelas relações

ou
.

Consideramos os conceitos de dimensão e base de um espaço vetorial, aprendemos a decompor um vetor segundo uma base e descobrimos uma conexão entre diferentes bases de um espaço vetorial n-dimensional por meio de uma matriz de transição.

Página 1

Subespaço, sua base e dimensão.

Deixar eué o espaço linear sobre o campo P E Aé um subconjunto de eu. Se A em si constitui um espaço linear sobre o campo P para as mesmas operações que eu, Que A chamado de subespaço do espaço eu.

De acordo com a definição de um espaço linear, de modo que A era um subespaço para verificar a viabilidade em A operações:

1) :
;

2)
:
;

e verifique se as operações em A sujeito a oito axiomas. No entanto, o último será redundante (devido ao fato de que esses axiomas valem em L), ou seja, a seguir

Teorema. Seja L um espaço linear sobre um campo P e
. Um conjunto A é um subespaço de L se e somente se os seguintes requisitos forem atendidos:

1. :
;

2.
:
.

Declaração. Se eu – n- espaço linear dimensional e A seu subespaço, então A também é um espaço linear de dimensão finita e sua dimensão não excede n.

P Exemplo 1. O conjunto S de todos os vetores do plano, cada um dos quais está em um dos eixos de coordenadas 0x ou 0y, é um subespaço do espaço dos vetores segmento V 2?

Solução: Deixar
,
E
,
. Então
. Portanto, S não é um subespaço .

Exemplo 2 V 2 conjunto de segmentos vetoriais do plano S todos os vetores planos cujos começos e fins estão em uma determinada linha eu esse avião?

Solução.

E vetor sli
multiplique por um número real k, então obtemos o vetor
, também pertencente a S. Se E são dois vetores de S, então
(de acordo com a regra de adição de vetores em linha reta). Portanto, S é um subespaço .

Exemplo 3É um subespaço linear de um espaço linear V 2 um monte de A todos os vetores do plano cujas extremidades estão na reta dada eu, (suponha que a origem de qualquer vetor coincida com a origem)?

R solução.

No caso em que o direto eu não passa pela origem A subespaço linear do espaço V 2 não é, porque
.

No caso em que o direto eu passa pela origem, o conjunto Aé um subespaço linear do espaço V 2 , porque
e ao multiplicar qualquer vetor
para um número real α fora do campo R Nós temos
. Assim, os requisitos de espaço linear para o conjunto A concluído.

Exemplo 4 Seja dado um sistema de vetores
do espaço linear eu sobre o campo P. Prove que o conjunto de todas as combinações lineares possíveis
com coeficientes
de Pé um subespaço eu(este é um subespaço Aé chamado de subespaço gerado pelo sistema de vetores
ou casca linear este sistema de vetores, e são denotados da seguinte forma:
ou
).

Solução. De fato, desde , então para quaisquer elementos x, yA Nós temos:
,
, Onde
,
. Então

Porque
, Que
, É por isso
.

Vamos verificar a viabilidade da segunda condição do teorema. Se xé qualquer vetor de A E t- qualquer número de P, Que . Porque o
E
,
, Que
,
, É por isso
. Assim, de acordo com o teorema, o conjunto Aé um subespaço de um espaço linear eu.

Para espaços lineares de dimensão finita, o inverso também é verdadeiro.

Teorema. Qualquer subespaço A espaço linear eu sobre o campo é o span linear de algum sistema de vetores.

Ao resolver o problema de encontrar a base e a dimensão da casca linear, o seguinte teorema é usado.

Teorema. Base de casca linear
coincide com a base do sistema de vetores
. Dimensão da casca linear
coincide com o posto do sistema de vetores
.

Exemplo 4 Encontre a base e a dimensão de um subespaço
espaço linear R 3 [ x] , Se
,
,
,
.

Solução. Sabe-se que os vetores e suas linhas de coordenadas (colunas) têm as mesmas propriedades (com relação à dependência linear). Nós fazemos uma matriz A=
de colunas de coordenadas de vetores
na base
.

Encontrar o posto de uma matriz A.

. M 3 =
.
.

Portanto, a classificação r(A)= 3. Portanto, o posto do sistema de vetores
é igual a 3. Portanto, a dimensão do subespaço S é igual a 3, e sua base consiste em três vetores
(porque no menor básico
apenas as coordenadas desses vetores são incluídas)., . Este sistema de vetores é linearmente independente. De fato, vamos.

E
.

Pode-se verificar que o sistema
linearmente dependente para qualquer vetor x de H. Isso prova que
sistema linearmente independente máximo de vetores subespaciais H, ou seja
- base em H e escuro H=n 2 .

Página 1

1. Deixe o subespaço eu = eu(A 1 , A 2 , …, sou) , aquilo é eué a casca linear do sistema A 1 , A 2 , …, sou; vetores A 1 , A 2 , …, soué o sistema de geradores deste subespaço. Então a base eué a base do sistema de vetores A 1 , A 2 , …, sou, ou seja, a base do sistema de geradores. Dimensão eué igual ao posto do sistema de geradores.

2. Deixe o subespaço eué a soma dos subespaços eu 1 e eu 2. O sistema de subespaços geradores pode ser obtido combinando os sistemas de subespaços geradores, após o que se encontra a base da soma. A dimensão da soma é encontrada pela seguinte fórmula:

escurecer(eu 1 + eu 2) = dimL 1 + dimL 2 – escurecer(eu 1 Z eu 2).

3. Seja a soma dos subespaços eu 1 e eu 2 linha reta, isto é eu = eu 1 Å eu 2. Em que eu 1 Z eu 2 = {O) E escurecer(eu 1 Z eu 2) = 0. A base da soma direta é igual à união das bases das somas. A dimensão da soma direta é igual à soma das dimensões dos termos.

4. Vamos dar um exemplo importante de um subespaço e uma variedade linear.

Considere um sistema homogêneo m equações lineares com n desconhecido. Muitas soluções M 0 deste sistema é um subconjunto do conjunto R n e é fechado sob a adição de vetores e sua multiplicação por um número real. Isso significa que este é um conjunto M 0 - subespaço do espaço R n. A base do subespaço é o conjunto fundamental de soluções do sistema homogêneo, a dimensão do subespaço é igual ao número de vetores no conjunto fundamental de soluções do sistema.

Um monte de M soluções de sistemas comuns m equações lineares com n desconhecido também é um subconjunto do conjunto R n e é igual à soma do conjunto M 0 e vetor A, Onde Aé alguma solução particular do sistema original, e o conjunto M 0 é o conjunto de soluções de um sistema homogêneo de equações lineares que acompanha este sistema (difere do sistema original apenas em termos livres),

M = A + M 0 = {A = m, m Î M 0 }.

Isso significa que muitos Mé uma variedade linear do espaço R n com vetor de deslocamento A e direção M 0 .

Exemplo 8.6. Encontre a base e a dimensão de um subespaço dado por um sistema homogêneo de equações lineares:

Solução. Vamos encontrar a solução geral deste sistema e seu conjunto fundamental de soluções: Com 1 = (–21, 12, 1, 0, 0), Com 2 = (12, –8, 0, 1, 0), Com 3 = (11, –8, 0, 0, 1).

A base do subespaço é formada por vetores Com 1 , Com 2 , Com 3 , sua dimensão é três.

Fim do trabalho -

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Álgebra Linear

Kostroma State University em homenagem a N.A. Nekrasov.

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BBK 22.174ya73-5
M350 Impresso por decisão do conselho editorial e editorial da KSU. N. A. Nekrasova Revisor A. V. Cherednikov

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Interseção (ou produto)
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Seja V um espaço vetorial n-dimensional no qual duas bases são dadas: e1, e2, ..., en é a base antiga, e "1, e

espaços vetoriais euclidianos
Dado um espaço vetorial V sobre o corpo dos números reais. Este espaço pode ser um espaço vetorial de dimensão finita de dimensão n ou de dimensão infinita.

Produto escalar em coordenadas
Em um espaço vetorial euclidiano n-dimensional V, uma base e1, e2, …, en é dada. Vetores x e y decompostos em vetores

Conceitos de métricas
Nos espaços vetoriais euclidianos, pode-se passar do produto escalar introduzido aos conceitos de norma de um vetor e ângulo entre vetores. Definição 8.16. Norma (

Propriedades da norma
1) ||a|| = 0 w a = o. 2) ||la|| = |l|×||a||, porque ||la|| =

Base ortonormal de um espaço vetorial euclidiano
Definição 8.21. Uma base de um espaço vetorial euclidiano é chamada ortogonal se os vetores da base forem ortogonais aos pares, isto é, se a1, a

processo de ortogonalização
Teorema 8.12. Todo espaço euclidiano n-dimensional tem uma base ortonormal. Prova. Seja a1, a2

Produto escalar em base ortonormal
É dada uma base ortonormal e1, e2, …, en do espaço euclidiano V. Visto que (ei, ej) = 0 para i

Complemento de subespaço ortogonal
V é um espaço vetorial euclidiano, L é seu subespaço. Definição 8.23. Diz-se que um vetor a é ortogonal a um subespaço L se o vetor

Relação entre as coordenadas de um vetor e as coordenadas de sua imagem
Um operador linear j é dado no espaço V, e sua matriz M(j) é encontrada em alguma base e1, e2, …, en. Que esta seja a base

matrizes semelhantes
Consideremos o conjunto Pn´n de matrizes quadradas de ordem n com elementos de um corpo arbitrário P. Introduzimos neste conjunto a relativa

Propriedades da relação de similaridade de matriz
1. Reflexividade. Qualquer matriz é semelhante a si mesma, ou seja, A ~ A. 2. Simetria. Se a matriz A é semelhante a B, então B é semelhante a A, ou seja,

Propriedades dos autovetores
1. Cada autovetor pertence a apenas um autovalor. Prova. Seja x um autovetor com dois autovalores

Polinômio característico de uma matriz
Dada uma matriz A Î Pn´n (ou A Î Rn´n). Definir

Condições sob as quais uma matriz é semelhante a uma matriz diagonal
Seja A uma matriz quadrada. Podemos assumir que esta é a matriz de algum operador linear dado em alguma base. Sabe-se que em outra base a matriz do operador linear

Jordan forma normal
Definição 10.5. Uma célula de Jordan de ordem k relacionada ao número l0 é uma matriz de ordem k, 1 ≤ k ≤ n,

Redução de uma matriz à forma de Jordan (normal)
Teorema 10.3. A forma normal de Jordan é definida exclusivamente para uma matriz até a ordem em que as células de Jordan estão localizadas na diagonal principal. etc

Formas Bilineares
Definição 11.1. Uma forma bilinear é uma função (mapeamento) f: V ´ V ® R (ou C), onde V é um vetor arbitrário n

Propriedades de Formas Bilineares
Qualquer forma bilinear pode ser representada como uma soma de formas simétricas simétricas. Com a base escolhida e1, e2, …, en no vetor

Transformação de uma matriz de forma bilinear ao passar a uma nova base. Classificação da forma bilinear
Sejam duas bases e = (e1, e2, …, en) e f = (f1, f2,

formas quadráticas
Seja A(x, y) uma forma bilinear simétrica definida em um espaço vetorial V. Definição 11.6 Por uma forma quadrática

Redução de uma forma quadrática para uma forma canônica
Dada uma forma quadrática (2) A(x, x) = , onde x = (x1

Lei da inércia das formas quadráticas
Está estabelecido que o número de coeficientes canônicos diferentes de zero de uma forma quadrática é igual ao seu posto e não depende da escolha de uma transformação não degenerada pela qual a forma A(x

Condição necessária e suficiente para uma forma quadrática ser definida por sinais
Declaração 11.1. Para que a forma quadrática A(x, x) dada no espaço vetorial n-dimensional V seja de sinal definido, é necessário

Uma condição necessária e suficiente para formas quadráticas quase variáveis
Declaração 11.3. Para que a forma quadrática A(x, x) definida no espaço vetorial n-dimensional V seja quase alternada (ou seja,

Critério de Sylvester para a definição de sinal de uma forma quadrática
Seja a forma A(x, x) na base e = (e1, e2, …, en) definida pela matriz A(e) = (aij)

Conclusão
A Álgebra Linear é uma parte obrigatória de qualquer programa de matemática avançada. Qualquer outra seção pressupõe a presença de conhecimentos, habilidades e habilidades estabelecidas durante o ensino desta disciplina.

lista bibliográfica
Burmistrova E.B., Lobanov S.G. Álgebra linear com elementos de geometria analítica. - M .: Editora da Escola Superior de Economia, 2007. Beklemishev D.V. Curso de Geometria Analítica e Álgebra Linear.

Álgebra Linear
Auxiliar de ensino Editor e revisor G. D. Neganova Composição tipográfica por T. N. Matytsina, E. K. Korzhevina

O espaço linear V é chamado n-dimensional, se contém um sistema de n vetores linearmente independentes, e qualquer sistema de mais vetores é linearmente dependente. O número n é chamado dimensão (número de dimensões) espaço linear V e é denotado \operatorname(dim)V. Em outras palavras, a dimensão de um espaço é o número máximo de vetores linearmente independentes naquele espaço. Se tal número existe, diz-se que o espaço é de dimensão finita. Se para qualquer número natural n no espaço V existe um sistema que consiste em n vetores linearmente independentes, então tal espaço é chamado de dimensão infinita (eles escrevem: \operatorname(dim)V=\infty). A seguir, salvo indicação em contrário, serão considerados espaços de dimensão finita.

Base espaço linear n-dimensional é um conjunto ordenado de n vetores linearmente independentes ( vetores de base).

Teorema 8.1 sobre a expansão de um vetor em termos de uma base. Se é uma base de um espaço linear n-dimensional V , então qualquer vetor \mathbf(v)\in V pode ser representado como uma combinação linear de vetores de base:

\mathbf(v)=\mathbf(v)_1\cdot \mathbf(e)_1+\mathbf(v)_2\cdot \mathbf(e)_2+\ldots+\mathbf(v)_n\cdot \mathbf(e)_n

e, além disso, de forma única, ou seja, chances \mathbf(v)_1, \mathbf(v)_2,\ldots, \mathbf(v)_n são definidos de forma inequívoca. Em outras palavras, qualquer vetor espacial pode ser expandido em uma base e, além disso, de forma única.

Com efeito, a dimensão do espaço V é igual a n . sistema vetorial \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n linearmente independente (esta é a base). Depois de adicionar qualquer vetor \mathbf(v) à base, obtemos um sistema linearmente dependente \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n, \mathbf(v)(uma vez que este sistema consiste em (n + 1) vetores de espaço n-dimensional). Pela propriedade de 7 vetores linearmente dependentes e linearmente independentes, obtemos a conclusão do teorema.

Consequência 1. Se \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_né uma base do espaço V , então V=\operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n), ou seja o espaço linear é o espaço linear dos vetores de base.

De fato, para provar a igualdade V=\operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots, \mathbf(e)_n) dois conjuntos, basta mostrar que as inclusões V\subset \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n) e são executados ao mesmo tempo. De fato, por um lado, qualquer combinação linear de vetores em um espaço linear pertence ao próprio espaço linear, ou seja, \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n)\subconjunto V. Por outro lado, pelo Teorema 8.1 qualquer vetor espacial pode ser representado como uma combinação linear de vetores de base, ou seja, V\subset \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n). Isto implica a igualdade dos conjuntos considerados.

Consequência 2. Se \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_né um sistema linearmente independente de vetores no espaço linear V e qualquer vetor \mathbf(v)\in V pode ser representado como uma combinação linear (8.4): \mathbf(v)=v_1\mathbf(e)_1+ v_2\mathbf(e)_2+\ldots+v_n\mathbf(e)_n, então o espaço V tem dimensão n , e o sistema \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_né a sua base.

De fato, no espaço V existe um sistema de n vetores linearmente independentes, e qualquer sistema \mathbf(u)_1,\mathbf(u)_2,\ldots,\mathbf(u)_n de mais vetores (k>n) é linearmente dependente, já que cada vetor deste sistema é expresso linearmente em termos dos vetores \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n. Significa, \operatorname(dim) V=n E \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n- base V.

Teorema 8.2 sobre a completação de um sistema de vetores para uma base. Qualquer sistema linearmente independente de k vetores em um espaço linear n-dimensional (1\leqslant k

De fato, seja um sistema de vetores linearmente independente em um espaço n-dimensional V~(1\leqslant k . Considere o span linear desses vetores: L_k=\operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots, \mathbf(e)_k). Qualquer vetor \mathbf(v)\em L_k formulários com vetores \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots, \mathbf(e)_k sistema linearmente dependente \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_k,\mathbf(v), já que o vetor \mathbf(v) é expresso linearmente em função dos demais. Como existem n vetores linearmente independentes em um espaço n-dimensional, então L_k\ne V e existe um vetor \mathbf(e)_(k+1)\em V, que não pertence a L_k . Complementando com este vetor o sistema linearmente independente \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_k, obtemos um sistema de vetores \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_k,\mathbf(e)_(k+1), que também é linearmente independente. De fato, se fosse linearmente dependente, seguir-se-ia do item 1 das Observações 8.3 que \mathbf(e)_(k+1)\in \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_k)=L_k, o que contradiz a condição \mathbf(e)_(k+1)\notin L_k. Assim, o sistema de vetores \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots, \mathbf(e)_k, \mathbf(e)_(k+1) Linearmente independente. Isso significa que o sistema original de vetores foi complementado com um vetor sem violação da independência linear. Continuamos da mesma forma. Considere o span linear desses vetores: L_(k+1)=\operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots, \mathbf(e)_k, \mathbf(e)_(k+1)). Se L_(k+1)=V , então \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_k, \mathbf(e)_(k+1)- a base e o teorema estão provados. Se L_(k+1)\ne V , então completamos o sistema \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_k,\mathbf(e)_(k+1) vetor \mathbf(e)_(k+2)\notin L_(k+1) etc. O processo de finalização necessariamente terminará, pois o espaço V é de dimensão finita. Com isso, obtemos a igualdade V=L_n=\operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\ldots,\mathbf(e)_k,\ldots,\mathbf(e)_n), de onde se segue que \mathbf(e)_1,\ldots,\mathbf(e)_k,\ldots,\mathbf(e)_né a base do espaço V . O teorema foi provado.

Observações 8.4

1. A base de um espaço linear é definida de forma ambígua. Por exemplo, se \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots, \mathbf(e)_né a base do espaço V , então o sistema de vetores \lambda \mathbf(e)_1,\lambda \mathbf(e)_2,\ldots,\lambda \mathbf(e)_n para qualquer \lambda\ne0 também é uma base de V . O número de vetores de base em diferentes bases do mesmo espaço de dimensão finita é, obviamente, o mesmo, pois esse número é igual à dimensão do espaço.

2. Em alguns espaços, frequentemente encontrados em aplicações, uma das bases possíveis, a mais conveniente do ponto de vista prático, é chamada de padrão.

3. O teorema 8.1 nos permite dizer que uma base é um sistema completo de elementos de um espaço linear, no sentido de que qualquer vetor espacial é linearmente expresso em termos de vetores de base.

4. Se o conjunto \mathbb(L) é um span linear \operatorname(Lin)(\mathbf(v)_1,\mathbf(v)_2,\ldots,\mathbf(v)_k), então os vetores \mathbf(v)_1,\mathbf(v)_2,\ldots,\mathbf(v)_k são chamados de geradores do conjunto \mathbb(L) . Corolário 1 do Teorema 8.1, em virtude da igualdade V=\operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n) nos permite dizer que a base é sistema gerador mínimo espaço linear V , pois é impossível reduzir o número de geradores (remover pelo menos um vetor do conjunto \mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n) sem violar a igualdade V=\operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n).

5. O teorema 8.2 nos permite dizer que a base é máximo sistema de vetores linearmente independente espaço linear, já que a base é um sistema de vetores linearmente independente, e não pode ser suplementado por nenhum vetor sem perder a independência linear.

6. É conveniente usar o Corolário 2 do Teorema 8.1 para encontrar a base e a dimensão de um espaço linear. Em alguns livros didáticos, é considerado para definir a base, a saber: sistema linearmente independente \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n vetores de um espaço linear é chamado de base se qualquer vetor do espaço é expresso linearmente em termos dos vetores \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n. O número de vetores de base determina a dimensão do espaço. Claro, essas definições são equivalentes às dadas acima.

Exemplos de bases para espaços lineares

Indicamos a dimensão e base para os exemplos de espaços lineares considerados acima.

1. O espaço linear zero \(\mathbf(o)\) não contém vetores linearmente independentes. Portanto, a dimensão deste espaço é assumida como zero: \dim\(\mathbf(o)\)=0. Este espaço não tem base.

2. Os espaços V_1,\,V_2,\,V_3 têm dimensões 1, 2, 3 respectivamente. De fato, qualquer vetor não nulo do espaço V_1 , forma um sistema linearmente independente (ver item 1. das Observações 8.2), e quaisquer dois vetores não nulos do espaço V_1 são colineares, ou seja, são linearmente dependentes (ver Exemplo 8.1). Portanto, \dim(V_1)=1 , e a base do espaço V_1 é qualquer vetor diferente de zero. Da mesma forma, provamos que \dim(V_2)=2 e \dim(V_3)=3 . A base do espaço V_2 são quaisquer dois vetores não colineares tomados em uma determinada ordem (um deles é considerado o primeiro vetor base, o outro - o segundo). A base do espaço V_3 são quaisquer três vetores não coplanares (não situados nos mesmos planos ou paralelos), tomados em uma determinada ordem. A base padrão em V_1 é o vetor unitário \vec(i) na linha. A base padrão em V_2 é a base \vec(i),\,\vec(j), consistindo em dois vetores unitários mutuamente perpendiculares do plano. A base padrão no espaço V_3 é a base \vec(i),\,\vec(j),\,\vec(k), composto de três vetores perpendiculares pares unitários formando o triplo direito.

3. O espaço \mathbb(R)^n não contém mais do que n vetores linearmente independentes. De fato, vamos pegar k colunas de \mathbb(R)^n e fazer uma matriz de tamanhos n\vezes k a partir delas. Se k>n , então as colunas são linearmente dependentes pelo Teorema 3.4 do posto de uma matriz. Por isso, \dim(\mathbb(R)^n)\leqslant n. No espaço \mathbb(R)^n não é difícil encontrar n colunas linearmente independentes. Por exemplo, as colunas da matriz identidade

\mathbf(e)_1=\begin(pmatrix)1\\0\\\vdots\\0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_2= \begin(pmatrix)0\\1\ \\vdots\\0\end(pmatrix)\!,\quad \ldots,\quad \mathbf(e)_n= \begin(pmatrix) 0\\0\\\vdots\\1 \end(pmatrix)\ !.

são linearmente independentes. Por isso, \dim(\mathbb(R)^n)=n. O espaço \mathbb(R)^n é chamado espaço aritmético real n-dimensional. O conjunto especificado de vetores é considerado a base padrão do espaço \mathbb(R)^n . Da mesma forma, está provado que \dim(\mathbb(C)^n)=n, então o espaço \mathbb(C)^n é chamado espaço aritmético complexo n-dimensional.

4. Lembre-se de que qualquer solução do sistema homogêneo Ax=o pode ser representada como x=C_1\varphi_1+C_2\varphi_2+\ldots+C_(n-r)\varphi_(n-r), Onde r=\operatorname(rg)A, a \varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r)- sistema de decisão fundamental. Por isso, \(Ax=o\)=\operatorname(Lin) (\varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r)), ou seja a base do espaço \(Ax=0\) de soluções de um sistema homogêneo é seu sistema fundamental de soluções, e a dimensão do espaço é \dim\(Ax=o\)=n-r , onde n é o número de incógnitas, e r é o posto da matriz do sistema.

5. No espaço M_(2\times3) de matrizes de tamanho 2\times3, podem ser selecionadas 6 matrizes:

\begin(recolhido)\mathbf(e)_1= \begin(pmatrix)1&0&0\\0&0&0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_2= \begin(pmatrix)0&1&0\\0&0&0\end( pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_3= \begin(pmatrix) 0&0&1\\0&0&0\end(pmatrix)\!,\hfill\\ \mathbf(e)_4= \begin(pmatrix) 0&0&0\\ 1&0&0 \end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_5= \begin(pmatrix)0&0&0\\0&1&0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_6= \begin(pmatrix)0&0&0 \\0&0&1\end(pmatriz)\!,\hfill \end(recolhido)

que são linearmente independentes. De fato, sua combinação linear

\alpha_1\cdot \mathbf(e)_1+\alpha_2\cdot \mathbf(e)_2+\alpha_3\cdot \mathbf(e)_3+ \alpha_4\cdot \mathbf(e)_4+\alpha_5\cdot \mathbf(e)_5+ \alpha_6\cdot \mathbf(e)_6= \begin(pmatrix)\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\\ \alpha_4&\alpha_5&\alpha_6\end(pmatrix)

é igual à matriz nula apenas no caso trivial \alpha_1=\alpha_2= \ldots= \alpha_6=0. Lendo a igualdade (8.5) da direita para a esquerda, concluímos que qualquer matriz de M_(2\times3) é expressa linearmente em termos das 6 matrizes escolhidas, ou seja, M_(2\times)= \operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_6). Por isso, \dim(M_(2\times3))=2\cdot3=6, e matrizes \mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_6 são a base (padrão) deste espaço. Da mesma forma, está provado que \dim(M_(m\vezes n))=m\cdot n.

6. Para qualquer número natural n no espaço P(\mathbb(C)) de polinômios com coeficientes complexos, pode-se encontrar n elementos linearmente independentes. Por exemplo, os polinômios \mathbf(e)_1=1, \mathbf(e)_2=z, \mathbf(e)_3=z^2,\,\ldots, \mathbf(e)_n=z^(n-1) são linearmente independentes, pois sua combinação linear

a_1\cdot \mathbf(e)_1+a_2\cdot \mathbf(e)_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf(e)_n= a_1+a_2z+\ldots+a_nz^(n-1)

é igual ao polinômio zero (o(z)\equiv0) apenas no caso trivial a_1=a_2=\ldots=a_n=0. Como esse sistema de polinômios é linearmente independente para qualquer n natural, o espaço P(\mathbb(C)) é de dimensão infinita. Da mesma forma, concluímos que o espaço P(\mathbb(R)) de polinômios com coeficientes reais tem dimensão infinita. O espaço P_n(\mathbb(R)) de polinômios de grau no máximo n é de dimensão finita. De fato, os vetores \mathbf(e)_1=1, \mathbf(e)_2=x, \mathbf(e)_3=x^2,\,\ldots, \mathbf(e)_(n+1)=x^n formam uma base (padrão) para este espaço, pois são linearmente independentes e qualquer polinômio em P_n(\mathbb(R)) pode ser representado como uma combinação linear destes vetores:

a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0=a_0\cdot \mathbf(e)_1+a_1 \mathbf(e)_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf(e)_(n+1). Por isso, \dim(P_n(\mathbb(R)))=n+1.

7. O espaço C(\mathbb(R)) de funções contínuas é de dimensão infinita. De fato, para qualquer natural n os polinômios 1,x,x^2,\ldots, x^(n-1), consideradas como funções contínuas, formam sistemas linearmente independentes (ver o exemplo anterior).

No espaço T_(\omega)(\mathbb(R)) binômios trigonométricos (frequências \omega\ne0 ) com coeficientes de base reais formam monômios \mathbf(e)_1(t)=\sin\omega t,~\mathbf(e)_2(t)=\cos\omega t. Eles são linearmente independentes, pois a igualdade de identidade a\sin\omega t+b\cos\omega t\equiv0 possível apenas no caso trivial (a=b=0) . Qualquer função da forma f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t linearmente expresso em termos dos básicos: f(t)=a\,\mathbf(e)_1(t)+b\,\mathbf(e)_2(t).

8. O espaço \mathbb(R)^X de funções reais definidas no conjunto X , dependendo do domínio de X, pode ser de dimensão finita ou de dimensão infinita. Se X é um conjunto finito, então o espaço \mathbb(R)^X é de dimensão finita (por exemplo, X=\(1,2,\ldots,n\)). Se X é um conjunto infinito, então o espaço \mathbb(R)^X é de dimensão infinita (por exemplo, o espaço \mathbb(R)^N de sequências).

9. No espaço \mathbb(R)^(+) qualquer número positivo \mathbf(e)_1 diferente de 1 pode servir de base. Tome, por exemplo, o número \mathbf(e)_1=2 . Qualquer número positivo r pode ser expresso em termos de \mathbf(e)_1 , ou seja, presente na forma \alpha\cdot \mathbf(e)_1\dois pontos r=2^(\log_2r)=\log_2r\ast2=\alpha_1\ast \mathbf(e)_1, em que \alpha_1=\log_2r . Portanto, a dimensão deste espaço é 1, e o número \mathbf(e)_1=2 é uma base.

10. Deixe \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_né uma base do espaço linear real V . Definimos funções escalares lineares em V definindo:

\mathcal(E)_i(\mathbf(e)_j)=\begin(cases)1,&i=j,\\ 0,&i\ne j.\end(cases)

Ao mesmo tempo, devido à linearidade da função \mathcal(E)_i , para um vetor arbitrário obtemos \mathcal(E)(\mathbf(v))=\sum_(j=1)^(n)v_j \mathcal(E)(\mathbf(e)_j)=v_i.

Então, n elementos (covectores) são definidos \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2, \ldots, \mathcal(E)_n espaço dual V^(\ast) . Vamos provar que \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n- base V^(\ast) .

Primeiro, mostramos que o sistema \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n Linearmente independente. De fato, pegue uma combinação linear desses covetores (\alpha_1 \mathcal(E)_1+\ldots+\alpha_n\mathcal(E)_n)(\mathbf(v))= e igualá-lo à função zero

\mathbf(o)(\mathbf(v))~~ (\mathbf(o)(\mathbf(v))=0~ \forall \mathbf(v)\in V)\dois pontos~ \alpha_1\mathcal(E )_1(\mathbf(v))+\ldots+\alpha_n\mathcal(E)_n(\mathbf(v))= \mathbf(o)(\mathbf(v))=0~~\forall \mathbf(v )\em V.

Substituindo nessa igualdade \mathbf(v)=\mathbf(e)_i,~ i=1,\ldots,n, Nós temos \alpha_1=\alpha_2\cdot= \alpha_n=0. Portanto, o sistema de elementos \mathcal(E)_1,\mathcal(E)_2,\ldots,\mathcal(E)_n espaço V^(\ast) é linearmente independente, pois a igualdade \alpha_1\mathcal(E)_1+\ldots+ \alpha_n\mathcal(E)_n =\mathbf(o) possível apenas no caso trivial.

Em segundo lugar, provamos que qualquer função linear f\in V^(\ast) pode ser representada como uma combinação linear de covetores \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n. De fato, para qualquer vetor \mathbf(v)=v_1 \mathbf(e)_1+v_2 \mathbf(e)_2+\ldots+v_n \mathbf(e)_n devido à linearidade da função f, obtemos:

\begin(aligned)f(\mathbf(v))&= f(v_1 \mathbf(e)_1+\ldots+v_n \mathbf(e)_n)= v_1 f(\mathbf(e)_1)+\ldots+ v_n f(\mathbf(e)_n)= f(\mathbf(e)_1)\mathcal(E)_1(\mathbf(v))+ \ldots+ f(\mathbf(e)_n)\mathcal(E) _n (\mathbf(v))=\\ &=(f(\mathbf(e)_1)\mathcal(E)_1+\ldots+ f(\mathbf(e)_n)\mathcal(E)_n)(\mathbf ( v))= (\beta_1\mathcal(E)_1+ \ldots+\beta_n\mathcal(E)_n) (\mathbf(v)),\end(alinhado)

aqueles. a função f é representada como uma combinação linear f=\beta_1 \mathcal(E)_1+\ldots+\beta_n\mathcal(E)_n funções \mathcal(E)_1,\mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n(números \beta_i=f(\mathbf(e)_i) são os coeficientes da combinação linear). Portanto, o sistema de covetores \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_né uma base do espaço dual V^(\ast) e \dim(V^(\ast))=\dim(V)(para um espaço de dimensão finita V ).

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