Neste tópico, consideraremos o conceito de matriz, bem como os tipos de matrizes. Como há muitos termos neste tópico, adicionarei um resumo para facilitar a navegação pelo material.

Definição de uma matriz e seu elemento. Notação.

Matrizé uma tabela com $m$ linhas e $n$ colunas. Os elementos de uma matriz podem ser objetos de natureza completamente diversa: números, variáveis ​​ou, por exemplo, outras matrizes. Por exemplo, a matriz $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ tem 3 linhas e 2 colunas; seus elementos são inteiros. A matriz $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ contém 2 linhas e 4 colunas.

Diferentes maneiras de escrever matrizes: show\hide

A matriz pode ser escrita não apenas entre colchetes, mas também entre colchetes retos ou duplos. Ou seja, as entradas abaixo significam a mesma matriz:

$$ \left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right]; \;\; \left \Vert \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right \Vert $$

O produto $m\vezes n$ é chamado tamanho da matriz. Por exemplo, se a matriz contém 5 linhas e 3 colunas, fala-se de uma matriz $5\vezes 3$. A matriz $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ tem tamanho $3 \times 2$.

As matrizes geralmente são indicadas por letras maiúsculas do alfabeto latino: $A$, $B$, $C$ e assim por diante. Por exemplo, $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. A numeração das linhas vai de cima para baixo; colunas - da esquerda para a direita. Por exemplo, a primeira linha da matriz $B$ contém os elementos 5 e 3 e a segunda coluna contém os elementos 3, -87, 0.

Elementos de matrizes são geralmente denotados por letras minúsculas. Por exemplo, os elementos da matriz $A$ são denotados por $a_(ij)$. O índice duplo $ij$ contém informações sobre a posição do elemento na matriz. O número $i$ é o número da linha e o número $j$ é o número da coluna, na interseção da qual o elemento $a_(ij)$ está localizado. Por exemplo, na interseção da segunda linha e quinta coluna da matriz $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$ elemento $ a_(25)= $ 59:

Da mesma forma, na interseção da primeira linha e da primeira coluna, temos o elemento $a_(11)=51$; na interseção da terceira linha e da segunda coluna - o elemento $a_(32)=-15$ e assim por diante. Observe que $a_(32)$ é lido como "um três dois", mas não "um trinta e dois".

Para a designação abreviada da matriz $A$, cujo tamanho é igual a $m\times n$, é utilizada a notação $A_(m\times n)$. Você pode escrever um pouco mais detalhado:

$$ A_(m\vezes n)=(a_(ij)) $$

onde a notação $(a_(ij))$ denota os elementos da matriz $A$. Em uma forma totalmente expandida, a matriz $A_(m\times n)=(a_(ij))$ pode ser escrita da seguinte forma:

$$ A_(m\vezes n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$

Vamos introduzir outro termo - matrizes iguais.

Duas matrizes de mesmo tamanho $A_(m\times n)=(a_(ij))$ e $B_(m\times n)=(b_(ij))$ são chamadas igual se seus elementos correspondentes forem iguais, ou seja, $a_(ij)=b_(ij)$ para todos os $i=\overline(1,m)$ e $j=\overline(1,n)$.

Explicação para a entrada $i=\overline(1,m)$: show\hide

A entrada "$i=\overline(1,m)$" significa que o parâmetro $i$ muda de 1 para m. Por exemplo, a entrada $i=\overline(1,5)$ diz que o parâmetro $i$ assume os valores 1, 2, 3, 4, 5.

Assim, para a igualdade de matrizes, são necessárias duas condições: a coincidência de tamanhos e a igualdade dos elementos correspondentes. Por exemplo, a matriz $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ não é igual à matriz $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ porque a matriz $A$ é $3\times 2$ e a matriz $B$ é $2\vezes 2$. Além disso, a matriz $A$ não é igual à matriz $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right) $ porque $a_( 21)\neq c_(21)$ (ou seja, $0\neq 98$). Mas para a matriz $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$, podemos escrever com segurança $A =F$ porque os tamanhos e os elementos correspondentes das matrizes $A$ e $F$ coincidem.

Exemplo 1

Determine o tamanho da matriz $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \ 4 & 0 & -10 \\ \end(array) \right)$. Especifique a que os elementos $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$ são iguais.

Esta matriz contém 5 linhas e 3 colunas, então seu tamanho é $5\times 3$. A notação $A_(5\times 3)$ também pode ser usada para esta matriz.

O elemento $a_(12)$ está na interseção da primeira linha e da segunda coluna, então $a_(12)=-2$. O elemento $a_(33)$ está na interseção da terceira linha e da terceira coluna, então $a_(33)=23$. O elemento $a_(43)$ está na interseção da quarta linha e da terceira coluna, então $a_(43)=-5$.

Responda: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

Tipos de matrizes dependendo do seu tamanho. Diagonais principais e laterais. Traço de matriz.

Seja dada alguma matriz $A_(m\times n)$. Se $m=1$ (a matriz consiste em uma linha), então a matriz dada é chamada linha-matriz. Se $n=1$ (a matriz consiste em uma coluna), essa matriz é chamada matriz de coluna. Por exemplo, $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ é uma matriz de linhas e $\left(\begin(array) ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ - matriz de coluna.

Se a condição $m\neq n$ for verdadeira para a matriz $A_(m\times n)$ (ou seja, o número de linhas não é igual ao número de colunas), então costuma-se dizer que $A$ é uma matriz retangular. Por exemplo, a matriz $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ tem tamanho $2\times 4 $, esses. contém 2 linhas e 4 colunas. Como o número de linhas não é igual ao número de colunas, essa matriz é retangular.

Se a condição $m=n$ for verdadeira para a matriz $A_(m\times n)$ (isto é, o número de linhas é igual ao número de colunas), então $A$ é uma matriz quadrada de pedido $n$. Por exemplo, $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ é uma matriz quadrada de segunda ordem; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ é uma matriz quadrada de 3ª ordem. Em geral, a matriz quadrada $A_(n\vezes n)$ pode ser escrita da seguinte forma:

$$ A_(n\vezes n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$

Os elementos $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ estão em diagonal principal matrizes $A_(n\vezes n)$. Esses elementos são chamados principais elementos diagonais(ou apenas elementos diagonais). Os elementos $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ estão ativados lado (secundário) diagonal; eles são chamados elementos diagonais secundários. Por exemplo, para a matriz $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( array) \right)$ temos:

Os elementos $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ são os principais elementos da diagonal; os elementos $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ são elementos diagonais secundários.

A soma dos elementos diagonais principais é chamada seguido por uma matriz e denotado por $\Tr A$ (ou $\Sp A$):

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

Por exemplo, para a matriz $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ temos:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

O conceito de elementos diagonais também é usado para matrizes não quadradas. Por exemplo, para a matriz $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ os elementos diagonais principais serão $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.

Tipos de matrizes dependendo dos valores de seus elementos.

Se todos os elementos da matriz $A_(m\times n)$ forem iguais a zero, essa matriz é chamada nulo e geralmente é indicado pela letra $O$. Por exemplo, $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ são matrizes zero.

Deixe a matriz $A_(m\times n)$ ficar assim:

Então essa matriz é chamada trapezoidal. Pode não conter zero linhas, mas se forem, estão localizadas na parte inferior da matriz. De uma forma mais geral, uma matriz trapezoidal pode ser escrita como:

Novamente, strings nulas à direita são opcionais. Aqueles. formalmente, podemos destacar as seguintes condições para uma matriz trapezoidal:

1. Todos os elementos abaixo da diagonal principal são iguais a zero.
2. Todos os elementos de $a_(11)$ a $a_(rr)$ situados na diagonal principal não são iguais a zero: $a_(11)\neq 0, \; a_(22)\neq 0, \ldots, a_(rr)\neq 0$.
3. Ou todos os elementos das últimas linhas $m-r$ são iguais a zero, ou $m=r$ (ou seja, não há nenhuma linha zero).

Exemplos de matrizes trapezoidais:

Vamos para a próxima definição. A matriz $A_(m\times n)$ é chamada pisou se satisfizer as seguintes condições:

Por exemplo, as matrizes de passos seriam:

Para comparação, a matriz $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right)$ não é escalonado porque a terceira linha tem a mesma parte zero que a segunda linha. Ou seja, o princípio "quanto menor a linha - maior a parte zero" é violado. Acrescentarei que a matriz trapezoidal é um caso especial da matriz escalonada.

Vamos para a próxima definição. Se todos os elementos de uma matriz quadrada localizados sob a diagonal principal forem iguais a zero, essa matriz é chamada matriz triangular superior. Por exemplo, $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ - matriz triangular superior. Observe que a definição da matriz triangular superior não diz nada sobre os valores dos elementos localizados acima da diagonal principal ou na diagonal principal. Eles podem ou não ser zero, não importa. Por exemplo, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ também é uma matriz triangular superior.

Se todos os elementos de uma matriz quadrada localizados acima da diagonal principal forem iguais a zero, essa matriz é chamada matriz triangular inferior. Por exemplo, $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - matriz triangular inferior. Observe que a definição de uma matriz triangular inferior não diz nada sobre os valores dos elementos abaixo ou na diagonal principal. Eles podem ou não ser nulos, não importa. Por exemplo, $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ e $\left(\ begin (array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ também são matrizes triangulares inferiores.

A matriz quadrada é chamada diagonal se todos os elementos desta matriz que não estão na diagonal principal são iguais a zero. Exemplo: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ end(array)\right)$. Os elementos na diagonal principal podem ser qualquer coisa (igual a zero ou não) - isso não é essencial.

A matriz diagonal é chamada solteiro se todos os elementos desta matriz localizados na diagonal principal forem iguais a 1. Por exemplo, $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ - matriz identidade de 4ª ordem; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ é a matriz identidade de segunda ordem.

Operações sobre matrizes e suas propriedades.

O conceito de determinante de segunda e terceira ordens.Propriedades dos determinantes e seu cálculo.

3. Descrição geral da tarefa.

4. Conclusão das tarefas.

5. Fazer um relatório sobre o trabalho de laboratório.

Glossário

Aprenda as definições dos seguintes termos:

Dimensão Uma matriz é uma coleção de dois números, consistindo no número de suas linhas m e no número de colunas n.

Se m = n, então a matriz é chamada quadrado matriz de ordem n.

Operações de matriz: transpor uma matriz, multiplicar (dividir) uma matriz por um número, adição e subtração, multiplicar uma matriz por uma matriz.

A transição da matriz A para a matriz A m, cujas linhas são as colunas e as colunas são as linhas da matriz A, é chamada transposição matrizes A.

Exemplo: A= , A t = .

Para multiplicar uma matriz por um número, você precisa multiplicar cada elemento da matriz por esse número.

Exemplo: 2A= 2 = .

Soma (diferença) matrizes A e B da mesma dimensão são chamadas de matriz C \u003d A B, cujos elementos são iguais com ij = a ij b ij para todos eu e j.

Exemplo: A = ; B = . A+B= = .

trabalhar matriz A m n à matriz B n k é chamada de matriz C m k , cada elemento do qual c ij é igual à soma dos produtos dos elementos da i-ésima linha da matriz A e o elemento correspondente da j-ésima coluna da matriz B:

c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j +…+ a em b nj .

Para poder multiplicar uma matriz por uma matriz, elas devem ser concordou para multiplicação, ou seja numero de colunas na primeira matriz deve ser igual a número de linhas na segunda matriz.

Exemplo: A= e B=.

A·B—impossível, porque eles são inconsistentes.

В·А= . = = .

Propriedades da operação de multiplicação de matrizes.

1. Se a matriz A tiver a dimensão mn, e a matriz B é a dimensão nk, então o produto A · B existe.

O produto B A só pode existir quando m=k.

2. A multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja. A · B nem sempre é igual a B · A, mesmo que ambos os produtos estejam definidos. No entanto, se a relação A B = B A for satisfeita, então as matrizes A e B são chamadas permutacional.

Exemplo. Calcular .

Menor elemento é o determinante da matriz de ordem obtida pela exclusão da -ésima linha da -ésima coluna.

Adição algébrica elemento é chamado.

Teorema da Expansão de Laplace:

O determinante de uma matriz quadrada é igual à soma dos produtos dos elementos de qualquer linha (coluna) e seus complementos algébricos.

Exemplo. Calcular .

Decisão. .

Propriedades de determinantes de enésima ordem:

1) O valor do determinante não mudará se as linhas e colunas forem trocadas.

2) Se o determinante contém uma linha (coluna) de apenas zeros, então é igual a zero.

3) Quando duas linhas (colunas) são trocadas, o determinante muda de sinal.

4) Um determinante com duas linhas (colunas) idênticas é igual a zero.

5) O fator comum dos elementos de qualquer linha (coluna) pode ser retirado do sinal do determinante.

6) Se cada elemento de uma determinada linha (coluna) é a soma de dois termos, então o determinante é igual à soma de dois determinantes, em cada uma das quais todas as linhas (colunas), exceto a mencionada, são as mesmas como no determinado determinante, e na linha mencionada (coluna) do primeiro determinante estão os primeiros termos, o segundo - o segundo.

7) Se duas linhas (colunas) são proporcionais no determinante, então é igual a zero.

8) O determinante não muda se os elementos de uma determinada linha (coluna) forem somados aos elementos correspondentes de outra linha (coluna) multiplicados pelo mesmo número.

9) Os determinantes das matrizes triangulares e diagonais são iguais ao produto dos elementos da diagonal principal.

O método de acumulação de zeros para calcular determinantes é baseado nas propriedades dos determinantes.

Exemplo. Calcular .

Decisão. Subtraímos o terço dobrado da primeira linha e usamos o teorema da expansão na primeira coluna.

~ .

perguntas do teste(OK-1, OK-2, OK-11, PC-1) :

1. O que é chamado de determinante de segunda ordem?

2. Quais são as principais propriedades dos determinantes?

3. Qual é o menor do elemento?

4. Como é chamado o complemento algébrico do elemento determinante?

5. Como expandir o determinante de terceira ordem pelos elementos de qualquer linha (coluna)?

6. Qual é a soma dos produtos dos elementos de qualquer linha (ou coluna), o determinante por complementos algébricos dos elementos correspondentes de outra linha (ou coluna)?

7. Qual é a regra dos triângulos?

8. Como os determinantes de ordem superior são calculados pela redução de ordem

10. Qual matriz é chamada de quadrada? Nulo? O que é uma linha-matriz, uma coluna-matriz?

11. Quais matrizes são chamadas iguais?

12. Dê definições de operações de adição, multiplicação de matrizes, multiplicação de matrizes por um número

13. Quais condições devem satisfazer o tamanho das matrizes durante a adição, multiplicação?

14. Quais são as propriedades das operações algébricas: comutatividade, associatividade, distributividade? Quais deles são executados para matrizes durante a adição, multiplicação e quais não são?

15. O que é uma matriz inversa? Para quais matrizes ela é definida?

16. Formule um teorema sobre a existência e unicidade da matriz inversa.

17. Formule um lema sobre a transposição do produto de matrizes.

Tarefas práticas em geral(OK-1, OK-2, OK-11, PC-1) :

Nº 1. Encontre a soma e a diferença das matrizes A e B :

a)

b)

dentro)

Nº 2. Siga esses passos :

c) Z \u003d -11A + 7B-4C + D

E se

N ° 3. Siga esses passos :

dentro)

Nº 4. Aplicando quatro métodos para calcular o determinante de uma matriz quadrada, encontre os determinantes das seguintes matrizes :

Número 5. Encontre determinantes de ordem n, pelos elementos da coluna (linha) :

a) b)

Número 6. Encontre o determinante de uma matriz usando as propriedades dos determinantes:

a) b)

Este guia irá ajudá-lo a aprender como operações de matriz: adição (subtração) de matrizes, transposição de uma matriz, multiplicação de matrizes, encontrar a inversa de uma matriz. Todo o material é apresentado de forma simples e acessível, são dados exemplos relevantes, para que mesmo uma pessoa despreparada possa aprender a realizar ações com matrizes. Para autocontrole e autoteste, você pode baixar gratuitamente uma calculadora de matrizes >>>.

Tentarei minimizar cálculos teóricos, em alguns lugares é possível explicações “nos dedos” e o uso de termos não científicos. Amantes da teoria sólida, por favor, não se envolvam em críticas, nossa tarefa é Aprenda a trabalhar com matrizes.

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Uma matriz é uma mesa retangular de alguns elementos. Como elementos consideraremos números, ou seja, matrizes numéricas. ELEMENTOé um termo. É desejável lembrar o termo, ele ocorrerá com frequência, não é por acaso que usei negrito para destacá-lo.

Designação: matrizes são geralmente denotadas por letras maiúsculas latinas

Exemplo: Considere uma matriz de dois por três:

Esta matriz é composta por seis elementos:

Todos os números (elementos) dentro da matriz existem por conta própria, ou seja, não há nenhuma questão de subtração:

É apenas uma tabela (conjunto) de números!

Também vamos concordar não reorganize número, salvo indicação em contrário na explicação. Cada número tem sua própria localização e você não pode embaralhá-los!

A matriz em questão tem duas linhas:

e três colunas:

PADRÃO: ao falar sobre as dimensões da matriz, então inicialmente indique o número de linhas e só então - o número de colunas. Acabamos de decompor a matriz dois por três.

Se o número de linhas e colunas de uma matriz for o mesmo, a matriz será chamada quadrado, Por exemplo: é uma matriz de três por três.

Se a matriz tiver uma coluna ou uma linha, essas matrizes também são chamadas vetores.

De fato, conhecemos o conceito de matriz desde a escola, considere, por exemplo, um ponto com as coordenadas "x" e "y": . Essencialmente, as coordenadas de um ponto são escritas em uma matriz de um por dois. A propósito, aqui está um exemplo para você porque a ordem dos números importa: e são dois pontos completamente diferentes do plano.

Agora vamos para o estudo. operações de matriz:

1) Ação um. Removendo um menos de uma matriz (Introduzindo um menos em uma matriz).

De volta à nossa matriz . Como você provavelmente notou, há muitos números negativos nesta matriz. Isso é muito inconveniente em termos de executar várias ações com a matriz, é inconveniente escrever tantas desvantagens e parece feio no design.

Vamos mover o menos para fora da matriz alterando o sinal de CADA elemento da matriz:

No zero, como você entende, o sinal não muda, zero - também é zero na África.

Exemplo reverso: . Parece feio.

Introduzimos um sinal de menos na matriz alterando o sinal de CADA elemento da matriz:

Pois é muito mais bonito. E, o mais importante, será MAIS FÁCIL realizar qualquer ação com a matriz. Porque existe um sinal popular matemático: quanto mais desvantagens - mais confusão e erros.

2) Ação dois. Multiplicando uma matriz por um número.

Exemplo:

É simples, para multiplicar uma matriz por um número, você precisa todos multiplique o elemento da matriz pelo número dado. Neste caso, três.

Outro exemplo útil:

– multiplicação de uma matriz por uma fração

Vamos primeiro ver o que fazer NÃO HÁ NECESSIDADE:

NÃO É NECESSÁRIO inserir uma fração na matriz, em primeiro lugar, apenas dificulta as ações posteriores com a matriz e, em segundo lugar, dificulta ao professor a verificação da solução (especialmente se - a resposta final da tarefa).

E especialmente, NÃO HÁ NECESSIDADE divida cada elemento da matriz por menos sete:

Do artigo Matemática para leigos ou por onde começar, lembramos que frações decimais com uma vírgula em matemática superior estão tentando de todas as maneiras possíveis evitar.

A única coisa desejável fazer neste exemplo é inserir um sinal de menos na matriz:

Mas se TUDO elementos da matriz foram divididos por 7 sem deixar vestígios, então seria possível (e necessário!) dividir.

Exemplo:

Neste caso, você pode NECESSIDADE multiplique todos os elementos da matriz por , pois todos os números da matriz são divisíveis por 2 sem deixar vestígios.

Nota: na teoria da matemática superior não existe o conceito escolar de "divisão". Em vez da frase "isso é dividido por isso", você sempre pode dizer "isso é multiplicado por uma fração". Ou seja, a divisão é um caso especial de multiplicação.

3) Ação três. Transposição de matriz.

Para transpor uma matriz, você precisa escrever suas linhas nas colunas da matriz transposta.

Exemplo:

Transpor Matriz

Há apenas uma linha aqui e, de acordo com a regra, deve ser escrita em uma coluna:

é a matriz transposta.

A matriz transposta geralmente é indicada por um sobrescrito ou um traço no canto superior direito.

Exemplo passo a passo:

Transpor Matriz

Primeiro, reescrevemos a primeira linha na primeira coluna:

Em seguida, reescrevemos a segunda linha na segunda coluna:

E, finalmente, reescrevemos a terceira linha na terceira coluna:

Preparar. Grosso modo, transpor significa virar a matriz de lado.

4) Ação quatro. Soma (diferença) de matrizes.

A soma de matrizes é uma operação simples.
NEM TODAS AS MATRIZES PODEM SER DOBRADAS. Para realizar a adição (subtração) de matrizes, é necessário que elas sejam do MESMO TAMANHO.

Por exemplo, se uma matriz de dois por dois for fornecida, ela só poderá ser adicionada a uma matriz de dois por dois e nenhuma outra!

Exemplo:

Adicionar matrizes e

Para adicionar matrizes, você precisa adicionar seus elementos correspondentes:

Para a diferença de matrizes, a regra é semelhante, é necessário encontrar a diferença dos elementos correspondentes.

Exemplo:

Encontrar diferença de matrizes ,

E como resolver este exemplo mais fácil, para não ficar confuso? É aconselhável se livrar de menos desnecessários, para isso adicionaremos um sinal de menos à matriz:

Nota: na teoria da matemática superior não existe o conceito escolar de "subtração". Em vez da frase “subtrair isso disso”, você sempre pode dizer “adicione um número negativo a isso”. Ou seja, a subtração é um caso especial de adição.

5) Ação cinco. Multiplicação da matriz.

Quais matrizes podem ser multiplicadas?

Para que uma matriz seja multiplicada por uma matriz, para que o número de colunas da matriz seja igual ao número de linhas da matriz.

Exemplo:
É possível multiplicar uma matriz por uma matriz?

Assim, você pode multiplicar os dados da matriz.

Mas se as matrizes forem rearranjadas, nesse caso, a multiplicação não será mais possível!

Portanto, a multiplicação é impossível:

Não é incomum para tarefas com um truque, quando um aluno é solicitado a multiplicar matrizes, cuja multiplicação é obviamente impossível.

Deve-se notar que em alguns casos é possível multiplicar matrizes de ambas as maneiras.
Por exemplo, para matrizes, e tanto a multiplicação quanto a multiplicação são possíveis

Definição 1. Tamanho da matriz Am né uma tabela retangular de m linhas e n colunas, consistindo em números ou outras expressões matemáticas (chamadas de elementos da matriz), i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

, ou

Definição 2. Duas matrizes
e
do mesmo tamanho são chamados igual, se corresponderem elemento por elemento, ou seja, =,i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

Com a ajuda de matrizes, é fácil anotar algumas dependências econômicas, por exemplo, tabelas de distribuição de recursos para determinados setores da economia.

Definição 3. Se o número de linhas da matriz corresponder ao número de suas colunas, ou seja, m = n, então a matriz é chamada ordem quadradan, por outro lado retangular.

Definição 4. A transição de uma matriz A para uma matriz A m, na qual as linhas e colunas são trocadas com a preservação da ordem, é chamada de transposição matrizes.

Tipos de matrizes: quadradas (tamanho 33) -
,

retangular (tamanho 25) -
,

diagonal -
, solteiro -
, zero -
,

linha-matriz -
, matriz-coluna -.

Definição 5. Elementos de uma matriz quadrada de ordem n com os mesmos índices são chamados de elementos da diagonal principal, ou seja, estes são os elementos:
.

Definição 6. Os elementos de uma matriz quadrada de ordem n são chamados de elementos diagonais secundários se a soma de seus índices for igual a n + 1, ou seja, estes são os elementos: .

1.2. Operações em matrizes.

1 0 . soma duas matrizes
e
do mesmo tamanho é chamada de matriz С = (с ij), cujos elementos são determinados pela igualdade com ij = a ij + b ij , (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2 ,3,…,n).

Propriedades da operação de adição de matrizes.

Para quaisquer matrizes A, B, C do mesmo tamanho, as seguintes igualdades são válidas:

1) A + B = B + A (comutatividade),

2) (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (associatividade).

2 0 . trabalhar matrizes
por número  chamada matriz
o mesmo tamanho que a matriz A, e b ij =  (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n).

Propriedades da operação de multiplicar uma matriz por um número.

(А) = ()А (associatividade de multiplicação);

(А+В) = А+В (distributividade da multiplicação em relação à adição de matrizes);

(+)A = A+A (distributividade da multiplicação em relação à adição de números).

Definição 7. Combinação linear de matrizes
e
do mesmo tamanho é chamada de expressão da forma A + B, onde  e  são números arbitrários.

3 0 . Produto A  Em matrizes A e B, respectivamente, de tamanhos mn e nk, é chamada de matriz C de tamanho mk, tal que o elemento com ij é igual à soma dos produtos dos elementos da i-ésima linha da matriz A e a j-ésima coluna da matriz B, i.e. com ij = a i 1 b 1 j +a i 2 b 2 j +…+a ik b kj .

O produto AB só existe se o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B.

Propriedades da operação de multiplicação de matrizes:

(АВ)С = А(ВС) (associatividade);

(А+В)С = АС+ВС (distributividade em relação à adição de matrizes);

А(В+С) = АВ+АС (distributividade em relação à adição de matrizes);

АВ  ВА (não comutatividade).

Definição 8. As matrizes A e B, para as quais AB = BA, são chamadas comutadoras ou permutadoras.

Multiplicar uma matriz quadrada de qualquer ordem pela matriz identidade correspondente não altera a matriz.

Definição 9. Transformações elementares matrizes são chamadas as seguintes operações:

Troque duas linhas (colunas).

Multiplique cada elemento de uma linha (coluna) por um número diferente de zero.

Adicionando aos elementos de uma linha (coluna) os elementos correspondentes de outra linha (coluna).

Definição 10. A matriz B obtida da matriz A com a ajuda de transformações elementares é chamada equivalente(denominado BA).

Exemplo 1.1. Encontre uma combinação linear das matrizes 2A–3B se

,
.

,
,

.

Exemplo 1.2. Encontrar produto de matrizes
, E se

.

Solução: como o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz, então existe o produto da matriz. Como resultado, obtemos uma nova matriz
, Onde

Como resultado, obtemos
.

Aula 2. Determinantes. Cálculo de determinantes de segunda, terceira ordem. Propriedades do qualificadorn-ª ordem.

ODA. Mesa retangular com t linhas e P colunas de números reais é chamada matriz Tamanho t×n. As matrizes são indicadas por letras latinas maiúsculas: A, B, ..., e uma matriz de números é distinguida por colchetes ou colchetes.

Os números incluídos na tabela são chamados de elementos da matriz e são indicados por pequenas letras latinas com um índice duplo, onde eu- número da linha j– número da coluna na interseção da qual o elemento está localizado. Em geral, a matriz é escrita da seguinte forma:

Duas matrizes são consideradas igual se seus elementos correspondentes forem iguais.

Se o número de linhas da matriz t igual ao número de suas colunas P, então a matriz é chamada quadrado(caso contrário retangular).

Matriz de tamanho
é chamada de matriz linha. Matriz de tamanho

é chamada de matriz coluna.

Elementos da matriz com índices iguais (
etc.), forma diagonal principal matrizes. A outra diagonal é chamada de diagonal lateral.

A matriz quadrada é chamada diagonal se todos os seus elementos localizados fora da diagonal principal forem iguais a zero.

Uma matriz diagonal cujas entradas diagonais são iguais a um é chamada solteiro matriz e tem a notação padrão E:

Se todos os elementos de uma matriz localizados acima (ou abaixo) da diagonal principal forem iguais a zero, diz-se que a matriz tem uma forma triangular:

§2. Operações de matriz

1. Transposição de matriz - uma transformação na qual as linhas da matriz são escritas como colunas, mantendo sua ordem. Para uma matriz quadrada, esta transformação é equivalente a um mapeamento simétrico em relação à diagonal principal:

.

2. Matrizes de mesma dimensão podem ser somadas (subtraídas). A soma (diferença) de matrizes é uma matriz de mesma dimensão, cada elemento da qual é igual à soma (diferença) dos elementos correspondentes das matrizes originais:

3. Qualquer matriz pode ser multiplicada por um número. O produto de uma matriz por um número é uma matriz da mesma ordem, cada elemento da qual é igual ao produto do elemento correspondente da matriz original por este número:

.

4. Se o número de colunas de uma matriz for igual ao número de linhas de outra, você poderá multiplicar a primeira matriz pela segunda. O produto de tais matrizes é uma matriz, cada elemento da qual é igual à soma dos produtos aos pares dos elementos da linha correspondente da primeira matriz e dos elementos da coluna correspondente da segunda matriz.

Consequência. Exponenciação da matriz para>1 é o produto da matriz A para uma vez. Definido apenas para matrizes quadradas.

Exemplo.

Propriedades das operações sobre matrizes.

1. (A+B)+C=A+(B+C);

   k(A+B)=kA+kV;

   A(B+C)=AB+AC;

   (A+B)C=AC+BC;

   k(AB)=(kA)B=A(kV);

   A(BC)=(AB)C;

2. (kA) T = kAT;

   (A + B) T \u003d A T + B T;

   (AB) T = B T A T;

As propriedades listadas acima são semelhantes às propriedades das operações em números. Existem também propriedades específicas de matrizes. Estes incluem, por exemplo, a propriedade distintiva da multiplicação de matrizes. Se o produto AB existe, então o produto BA

Pode não existir

Pode diferir de AB.

Exemplo. A empresa produz produtos de dois tipos A e B e utiliza três tipos de matérias-primas S 1 , S 2 e S 3 . As taxas de consumo de matérias-primas são dadas pela matriz N=
, Onde n eu j- quantidade de matéria prima j gasto na produção de uma unidade de produto eu. O plano de produção é dado pela matriz C = (100 200), e o custo unitário de cada tipo de matéria-prima é dado pela matriz . Determine o custo das matérias-primas necessárias para a produção planejada e o custo total das matérias-primas.

Decisão. O custo das matérias-primas é definido como o produto das matrizes C e N:

Calculamos o custo total das matérias-primas como o produto de S e P.