Ou uma esfera. Qualquer segmento conectando o centro da bola com um ponto na superfície esférica é chamado raio. Um segmento de linha que liga dois pontos em uma superfície esférica e passa pelo centro da esfera é chamado diâmetro. As extremidades de qualquer diâmetro são chamadas de pontos diametralmente opostos da bola.Nada seção de esfera há um avião um círculo. O centro deste círculo é a base da perpendicular baixada do centro para o plano de corte.O plano que passa pelo centro da esfera é chamado plano diametral. A seção transversal da bola pelo plano diametral é chamada grande círculo, e a seção da esfera - grande círculo. Qualquer plano diametral de uma bola é seu plano de simetria. O centro da bola é centro de simetria. O plano que passa por um ponto em uma superfície esférica e perpendicular ao raio desenhado para esse ponto é chamado plano tangente. Este ponto é chamado ponto de toque. O plano tangente tem apenas um ponto comum com a bola - o ponto de contato.Uma linha reta que passa por um determinado ponto de uma superfície esférica perpendicular ao raio desenhado para esse ponto é chamada de tangente. Através de qualquer ponto da superfície esférica existem infinitas tangentes, e todas elas estão no plano tangente da bola.segmento de bola chamado a parte da bola cortada por um avião.camada de bola chamada de parte da bola, localizada entre dois planos paralelos que cruzam a bola.Setor de bolaé obtido a partir de um segmento esférico e um cone.Se o segmento esférico é menor que um hemisfério, então o segmento esférico é complementado por um cone cujo vértice está no centro da bola e cuja base é a base do segmento.Se o segmento for maior que um hemisfério, o cone indicado será removido dele. Fórmulas básicas Bola (R = OB - raio):S b \u003d 4πR 2; V = 4πR 3 / 3.Segmento da esfera (R = OB - raio da esfera, h = SK - altura do segmento, r = KV - raio da base do segmento):V segmento \u003d πh 2 (R - h / 3)ou V segmento \u003d πh (h 2 + 3r 2) / 6; segmento S = 2πRh.Setor esférico (R = OB - raio da esfera, h = SK - altura do segmento):V \u003d V segmento ± V con, "+"- se o segmento for menor, "-" - se o segmento for maior que um hemisfério.ou V \u003d V segm + V con \u003d πh 2 (R - h / 3) + πr 2 (R - h) / 3. Camada esférica (R 1 e R 2 - os raios das bases da camada esférica; h \u003d SC - a altura da camada esférica ou a distância entre as bases):V w/sl \u003d πh 3 / 6 + πh (R 1 2 + R 2 2 ) / 2; S w/sl = 2πRh.Exemplo 1O volume da bola é 288π cm 3. Encontre o diâmetro da bola.DecisãoV = πd 3 / 6288π = πd 3/6πd 3 = 1728πd3 = 1728d = 12 centímetros.Resposta: 12.Exemplo 2Três esferas iguais de raio r se tocam e algum plano. Determine o raio da quarta esfera tangente aos três dados dados e ao plano dado.Decisão Sejam O 1 , O 2 , O 3 os centros dessas esferas e O o centro da quarta esfera que toca os três dados e o plano dado. Sejam A, B, C, T os pontos de contato das esferas com o plano dado. Os pontos de contato de duas esferas estão na linha de centros dessas esferas, portanto O 1 O 2 \u003d O 2 O 3 \u003d O 3 O 1 \u003d 2r. Os pontos são equidistantes do plano ABC, então AVO 2 O 1, AVO 2 O 3, AVO 3 O 1 são retângulos iguais, portanto, ∆АВС é equilátero de lado 2r . Deixe ser x é o raio desejado da quarta esfera. Então OT = x. Portanto, semelhante Então T é o centro de um triângulo equilátero. Portanto A partir daquiResposta: r/3. Esfera inscrita em uma pirâmideUma esfera pode ser inscrita em toda pirâmide regular. O centro da esfera está na altura da pirâmide no ponto de sua interseção com a bissetriz do ângulo linear na borda da base da pirâmide.Comente. Se uma esfera pode ser inscrita em uma pirâmide, que não é necessariamente regular, o raio r dessa esfera pode ser calculado pela fórmula r \u003d 3V / S pp, onde V é o volume da pirâmide, S pp é sua superfície total.Exemplo 3Um funil cônico com raio da base R e altura H está cheio de água. Uma bola pesada é lançada no funil. Qual deve ser o raio da bola para que o volume de água deslocado do funil pela parte imersa da bola seja máximo?DecisãoDesenhe uma seção através do centro do cone. Esta seção forma um triângulo isósceles. Se houver uma bola no funil, o tamanho máximo de seu raio será igual ao raio do círculo inscrito no triângulo isósceles resultante.O raio de um círculo inscrito em um triângulo é:r = S / p, onde S é a área do triângulo, p é seu meio perímetro.A área de um triângulo isósceles é igual a metade da altura (H = SO) vezes a base. Mas como a base é duas vezes o raio do cone, então S = RH.O semiperímetro é p = 1/2 (2R + 2m) = R + m.m é o comprimento de cada um dos lados iguais de um triângulo isósceles;R é o raio do círculo que constitui a base do cone.Encontre m usando o teorema de Pitágoras: , OndeResumidamente fica assim: Responda: Exemplo 4Em uma pirâmide triangular regular com um ângulo diedro na base igual a α, existem duas bolas. A primeira bola toca todas as faces da pirâmide, e a segunda bola toca todas as faces laterais da pirâmide e a primeira bola. Encontre a razão entre o raio da primeira bola e o raio da segunda bola se tgα = 24/7.Decisão
Deixe ser RABC é uma pirâmide regular e o ponto H é o centro de sua base ABC. Seja M o ponto médio da aresta BC. Então - o ângulo linear do ângulo diedro, que por condição é igual a α, e α< 90° . Центр первого шара, касающегося всех граней пирамиды, лежит на отрезке РН в точке его пересечения с биссектрисой . Deixe ser HH 1 é o diâmetro da primeira bola e o plano que passa pelo ponto H 1 perpendicular à reta PH intercepta as arestas laterais RA, RV, PC, respectivamente, nos pontos A 1 , B 1 , C 1 . Então H 1 será o centro do correto ∆A 1 B 1 C 1, e a pirâmide RA 1 B 1 C 1 será semelhante à pirâmide RABC com o coeficiente de similaridade k = PH 1 / PH. Observe que a segunda bola, centrada no ponto O 1, está inscrita na pirâmide RA 1 B 1 C 1 e, portanto, a razão dos raios das bolas inscritas é igual ao coeficiente de similaridade: OH / OH 1 = PH / PH 1. Da igualdade tgα = 24/7 encontramos: Deixe ser AB = x. EntãoDaí a razão desejada OH/O 1 H 1 = 16/9.Resposta: 16/9. Esfera inscrita em um prismaDiâmetro D de uma esfera inscrita em um prisma é igual à altura H do prisma: D = 2R = H. Raio R de uma esfera inscrita em um prisma é igual ao raio de um círculo inscrito em uma seção perpendicular do prisma.Se uma esfera está inscrita em um prisma reto, então um círculo pode ser inscrito na base desse prisma. Raio R de uma esfera inscrita em um prisma reto é igual ao raio de um círculo inscrito na base do prisma.Teorema 1Seja um círculo inscrito na base de um prisma reto, e a altura H do prisma seja igual ao diâmetro D desse círculo. Então uma esfera de diâmetro D pode ser inscrita neste prisma. O centro desta esfera inscrita coincide com o meio do segmento que liga os centros dos círculos inscritos nas bases do prisma.Prova Seja ABC ... A 1 B 1 C 1 ... - um prisma direto e O - o centro de um círculo inscrito em sua base ABC. Então o ponto O é equidistante de todos os lados da base ABC. Seja O 1 a projeção ortogonal do ponto O sobre a base A 1 B 1 C 1 . Então O 1 é equidistante de todos os lados da base A 1 B 1 C 1 e OO 1 || AA 1 . Segue-se que a reta OO 1 é paralela a cada plano da face lateral do prisma, e o comprimento do segmento OO 1 é igual à altura do prisma e, por condição, ao diâmetro do círculo inscrito no prisma. base do prisma. Isso significa que os pontos do segmento OO 1 são equidistantes das faces laterais do prisma, e o F médio do segmento OO 1, equidistante dos planos das bases do prisma, será equidistante de todas as faces do prisma. prisma. Ou seja, F é o centro de uma esfera inscrita em um prisma, e o diâmetro dessa esfera é igual ao diâmetro de um círculo inscrito na base do prisma. O teorema foi provado.Teorema 2Seja um círculo inscrito em uma seção perpendicular de um prisma inclinado, e a altura do prisma seja igual ao diâmetro desse círculo. Então uma esfera pode ser inscrita neste prisma inclinado. O centro dessa esfera corta ao meio a altura que passa pelo centro de um círculo inscrito em uma seção perpendicular.Prova
Seja АВС…А 1 В 1 С 1 … um prisma inclinado e F o centro de um círculo de raio FK inscrito em sua seção perpendicular. Como a seção perpendicular do prisma é perpendicular a cada plano de sua face lateral, os raios de um círculo inscrito na seção perpendicular, desenhados para os lados dessa seção, são perpendiculares às faces laterais do prisma. Portanto, o ponto F é equidistante de todas as faces laterais.Tracemos uma reta OO 1 passando pelo ponto F, perpendicular ao plano das bases do prisma, intersectando essas bases nos pontos O e O 1. Então OO 1 é a altura do prisma. Como de acordo com a condição OO 1 = 2FK, então F é o ponto médio do segmento OO 1:FK \u003d OO 1 / 2 \u003d F0 \u003d F0 1, ou seja o ponto F é equidistante dos planos de todas as faces do prisma sem exceção. Isso significa que uma esfera pode ser inscrita em um determinado prisma, cujo centro coincide com o ponto F - o centro do círculo inscrito naquela seção perpendicular do prisma que divide a altura do prisma que passa pelo ponto F pela metade . O teorema foi provado.Exemplo 5Uma bola de raio 1 está inscrita em um paralelepípedo retangular. Encontre o volume do paralelepípedo.Decisão Desenhe uma vista superior. Ou do lado. Ou na frente. Você verá a mesma coisa - um círculo inscrito em um retângulo. Obviamente, este retângulo será um quadrado e a caixa será um cubo. O comprimento, largura e altura deste cubo é duas vezes o raio da esfera.AB \u003d 2 e, portanto, o volume do cubo é 8.Resposta: 8.Exemplo 6Em um prisma triangular regular com lado da base igual a , existem duas bolas. A primeira bola está inscrita no prisma e a segunda bola toca uma base do prisma, duas de suas faces laterais e a primeira bola. Encontre o raio da segunda bola.Decisão
Seja ABCA 1 B 1 C 1 um prisma regular e os pontos P e P 1 os centros de suas bases. Então o centro da bola O inscrita neste prisma é o ponto médio do segmento PP 1 . Considere o plano РВВ 1 . Como o prisma está correto, então РВ está no segmento BN, que é a bissetriz e a altura ΔАВС. Portanto, o plano e é o plano bissetriz do ângulo diedro na aresta lateral BB 1 . Portanto, qualquer ponto deste plano é equidistante das faces laterais AA 1 BB 1 e SS 1 B 1 B . Em particular, a perpendicular OK , baixada do ponto O até a face ACC 1 A 1 , está no plano RVV 1 e é igual ao segmento OR .Observe que KNPO é um quadrado cujo lado é igual ao raio da esfera inscrita no prisma dado. Deixe ser Cerca de 1 - o centro da bola tocando a bola inscrita com o centro O e o lado voltado para AA 1 BB 1 e CC 1 B 1 B do prisma. Então o ponto O 1 está no plano RVV 1, e sua projeção P 2 no plano ABC está no segmento RV.De acordo com a condição, o lado da base é igual a

1. A imagem da bola. Deixe ser F 0 é uma bola. Escolhemos a direção de projeção e consideramos as tangentes à bola que pertencem à direção escolhida. Essas tangentes formam uma superfície cilíndrica e passam por pontos do grande círculo da bola, cujo plano é perpendicular à direção do projeto.

Vamos escolher o plano da imagem. Em geral, uma superfície cilíndrica cruzará esse plano em uma elipse, e a projeção F 1 bola F 0 fará parte do plano delimitado por esta elipse. Tal imagem da bola não é visual (Fig. 59). Se o plano da imagem for escolhido perpendicularmente à direção do desenho, a imagem da bola será um círculo F. O círculo, é claro, dá uma representação mais visual da bola, mas tanto um círculo igual a ele quanto um cilindro podem ser projetados em um círculo (se a projeção for realizada paralelamente aos seus geradores).

Antes de continuar a conversa sobre como tornar a imagem da bola visual, vamos relembrar os conceitos associados à bola conhecidos na escola. A seção de uma esfera por um plano que passa pelo centro da esfera é chamada grande círculo, e sua circunferência é equador. Os pontos de intersecção de uma linha reta perpendicular ao plano do equador com a superfície da bola são chamados pólos, correspondente a este equador, e o diâmetro que os conecta é eixo polar.

Se qualquer equador e os pólos correspondentes estiverem representados no desenho de projeção da bola, a imagem terá tridimensionalidade. Ele ficará visível.

Qual equador representar? Em primeiro lugar, é desejável que o segmento que liga as imagens dos postes seja vertical no desenho. Este desejo será realizado se o plano da imagem p será vertical e o plano uma passando pelos polos N 0 ,S 0 bola, - perpendicular a ela e também vertical. (Lembre-se de que concordamos em usar a projeção ortogonal.) Além disso, podemos supor que o plano da imagem p passa pelo centro da bola e, portanto, atravessa-a ao longo da circunferência do grande círculo. Este círculo é geralmente chamado redação a circunferência da bola.

Vamos denotar os pontos de intersecção da linha reta com a superfície da bola pelas letras P 0 e Q 0. Se o plano equatorial também for escolhido perpendicularmente ao plano p, então o equador e o diâmetro conectando os pólos serão representados como diâmetros perpendiculares do círculo (Fig. 60) e a imagem da bola não ficará mais clara. Portanto, o plano equatorial não deve ser perpendicular ao plano da imagem. Na fig. 61 dada uma seção de uma bola por um plano uma. Nesta foto P 0 Q 0 - linha de interseção de planos uma e p; C 0 D 0 - interseção uma e o círculo equatorial N 0 S 0 é o diâmetro que liga os pólos. Ao projetar em um avião p postes N 0 e S 0 é projetado em pontos N e S respectivamente, o diâmetro C 0 D 0 equador - no eixo menor da elipse que representa este equador.

O eixo maior da elipse (Fig. 62) será a projeção do diâmetro do equador, perpendicular ao diâmetro e, portanto, paralelo ao plano.

Para indicar a posição dos pólos, voltemos à Fig. 61. Triângulos retângulos e nesta figura são iguais em hipotenusa e ângulo agudo (ângulos com lados perpendiculares respectivamente). Então . Mas por sua vez, onde é um segmento da tangente à elipse que representa o equador (Fig. 62).

Assim, uma imagem visual da bola pode ser construída da seguinte forma:

1) Construímos uma elipse, que tomamos como imagem do equador e seus eixos.

2) Desenhamos um círculo centrado no centro da elipse, cujo raio é igual ao semieixo maior da elipse.

3) Construímos um segmento da tangente à elipse, paralelo ao seu eixo maior, e depois as imagens dos pólos.

Na fig. 63 mostra um erro bastante típico quando os pólos são representados em um círculo de esboço, enquanto o equador é representado como uma elipse.

2. Imagem de paralelos e meridianos. Considere a imagem dos pólos e meridianos da esfera, que é a superfície da bola. Lembre-se de que os paralelos de uma esfera são suas seções por planos paralelos ao plano do equador. Seções da esfera por planos que passam pelo eixo polar são chamadas de meridianos.

Por cada ponto da esfera, exceto o pólo, passa exatamente um meridiano e um paralelo. Cada meridiano passa por ambos os pólos.

Paralelos e meridianos são círculos, então eles também são representados como elipses.

Vamos começar traçando paralelos. Um paralelo será definido especificando o ponto em que seu plano intercepta o eixo polar. Como o plano do paralelo é paralelo ao plano do equador, a imagem do paralelo será uma elipse, semelhante à elipse que representa o equador.

Para construir esta elipse, considere uma seção de uma esfera (bola) por um plano que passa pelo eixo polar perpendicular ao plano da imagem (lado direito da Fig. 64). A seção auxiliar construída facilita a localização do eixo menor da elipse que representa o equador e as imagens dos pólos correspondentes.

Seja o paralelo dado por um ponto, então o plano do paralelo intercepta a bola ao longo de um segmento perpendicular ao eixo. Este segmento é igual ao eixo maior da elipse, que é a imagem da paralela. O eixo menor é encontrado projetando pontos em uma linha reta. Finalmente, com a ajuda de uma linha reta, são encontrados pontos que tocam a imagem do paralelo com o contorno do círculo. Os pontos separam as partes visíveis e invisíveis da imagem paralela.

Ao construir uma elipse, que é uma imagem de um paralelo, não é necessário construir uma elipse, que é uma imagem do equador, ao qual é semelhante. Além disso, é possível não realizar separadamente a construção de uma seção auxiliar (Fig. 65).

Como pode ser visto a partir da fig. 66, em cada um dos hemisférios, é possível construir uma elipse-paralela que toca o contorno do círculo em apenas um ponto. No hemisfério superior, imagens de paralelos ao norte de tal paralelo serão completamente visíveis, e no hemisfério inferior, imagens de paralelos ao sul de tal paralelo serão completamente invisíveis.

Tarefa. Construa uma imagem de um cilindro inscrito em uma esfera se a altura do cilindro for igual ao raio da esfera.

Decisão. Vamos construir uma imagem do contorno do círculo da bola e marcar as imagens dos postes em seu diâmetro vertical (Fig. 67).

No mesmo diâmetro, construímos imagens dos centros e bases do cilindro. Da condição do problema , onde é o raio da bola, igual ao raio do círculo de contorno. então . Isso define a posição dos paralelos. De acordo com as regras consideradas, construímos uma imagem elipse da base superior. Uma elipse representando a base inferior pode ser obtida usando a tradução paralela por um vetor.

Em conclusão, vamos considerar como a imagem dos meridianos é construída se for dada a imagem de uma esfera, seu equador e seus pólos correspondentes.

Seja a imagem do ponto por onde passa o equador representado (Fig. 68). No original, o diâmetro é perpendicular ao eixo polar , então os segmentos , são os diâmetros conjugados da elipse que representa o meridiano em questão. Isso significa que uma elipse - uma imagem de um meridiano - pode ser construída a partir desses diâmetros conjugados.

Ao construir um meridiano "à mão", eles geralmente procuram pontos adicionais, tocando a elipse com o círculo de contorno (Fig. 68). O diâmetro do círculo de contorno para a elipse será o eixo maior, e , o que significa que o diâmetro da esfera é paralelo ao plano de projeção.

Os pontos e podem ser encontrados a partir das seguintes considerações. Vamos construir o diâmetro do conjugado elipse-equador para o diâmetro . No original, , , então o diâmetro é perpendicular ao plano do meridiano considerado. Isso implica que , mas então e (a projeção é ortogonal). Aponta e separa as partes visíveis e invisíveis da imagem do meridiano.

imagem de sombras

Às vezes, as sombras são usadas para tornar o desenho mais visível. Além disso, a construção de sombras é um problema geométrico interessante que contribui para o desenvolvimento do pensamento espacial, cuja essência é a seguinte.

Deixe que os raios de luz se propaguem de um ponto luminoso em todas as direções em uma linha reta. Se um raio encontra um corpo opaco em seu caminho, ele permanece nele e não atinge uma determinada tela. Ao mesmo tempo, uma região escura é formada neste último, que é chamada de sombra caindo do corpo (Fig. 69).

O próprio corpo também é dividido em duas partes: iluminada e escura (apagada). A parte escura do corpo é chamada própria sombra.

O limite da sombra que cai é formado pelos pontos de interseção com a tela de raios que tocam a superfície do corpo e formam cone de luz com ponto superior. A linha ao longo da qual esses raios tocam a superfície do corpo é chamada linha divisória luz e sombra.

No caso mostrado na Fig. 69, a iluminação é chamada tocha, a sombra correspondente tem o mesmo nome. Este tipo de iluminação ocorre quando se utilizam fontes de iluminação artificial: uma lâmpada elétrica em uma sala, uma lâmpada de rua, a chama de uma vela, etc.

Podemos supor que as fontes naturais (sol, lua) estão no infinito e os raios delas são paralelos. Portanto, a iluminação produzida por um feixe de raios paralelos é chamada de solar. A iluminação solar é mostrada na fig. 70.

Para passar para as tarefas de construção de sombras, vamos combinar como vamos definir os raios de luz no desenho de projeção. Sob a luz do sol, tal feixe de luz pode ser definido por uma linha reta e sua projeção no plano principal (Fig. 71). Seja necessário construir uma sombra descendente a partir de um ponto no plano principal (tela). Para que o próprio ponto seja definido, é necessário especificar sua projeção no plano principal. A construção da sombra se reduz a encontrar o ponto de interseção da linha que passa pelo ponto paralelo a , e a linha que passa pelo ponto paralelo a . Observe que, neste caso, o segmento é uma sombra descendente do segmento.

Com a iluminação da tocha no desenho de projeção, você deve especificar um ponto que seja uma fonte de luz. É determinado por um ponto e sua projeção no plano principal (Fig. 72). Aqui a sombra descendente do ponto é o ponto de intersecção das linhas e .
É claro que não apenas o plano principal pode ser escolhido como tela. Os casos mais interessantes de construção de sombras acontecem exatamente quando você tem que construir sombras caindo em outros planos. (Por exemplo, a sombra caindo de um poliedro na superfície de outro.)

Tarefa 1. Na fig. 73 mostra uma pirâmide triangular, sua altura e um paralelepípedo. Construa sombras próprias e solte essas formas opacas sob a iluminação fornecida.

Decisão. Estamos lidando com iluminação solar. Em primeiro lugar, vamos encontrar a sombra descendente do paralelepípedo no plano principal. A sombra projetada da borda é o segmento, onde , . Da mesma forma, existem sombras caindo , bordas , respectivamente. Segue-se que é a sombra projetada da face , e é a sombra projetada da face (parcialmente coberta pela imagem do paralelepípedo). De passagem, notamos que é a própria sombra do paralelepípedo.

Para encontrar as sombras descendente da pirâmide nas faces do paralelepípedo, primeiro encontramos sua sombra descendente no plano principal. Este é um triângulo ( , ), o triângulo será a própria sombra da pirâmide. O plano de projeção da linha reta intercepta a face do paralelepípedo ao longo do segmento . Traçando uma linha reta paralela a , encontramos a sombra descendente do vértice na base superior do paralelepípedo. As linhas , passando pelo ponto paralelo às linhas , respectivamente, determinam a sombra descendente da pirâmide na base superior do paralelepípedo.

Resta encontrar a sombra projetada na face lateral do paralelepípedo. Para fazer isso, observe que é o traço do plano no plano principal. A face intercepta o traço no ponto , e o ponto pertence aos planos e . Daí concluímos que o plano intercepta a aresta lateral do paralelepípedo no ponto , e construímos a sombra descendente da pirâmide na face .

Representa uma curva plana - um círculo que pertence a um plano de corte.
Construir seção de uma esfera por um plano posição geral β

Como o plano de corte está em posição geral, este círculo é projetado sobre os planos de projeção na forma de elipses. Para construir uma elipse, você precisa conhecer as dimensões da elipse ao longo de seus eixos maior e menor.
Para corpos de revolução, que incluem um cilindro, um cone e uma esfera, uma linha de seção pode ser construída com pontos característicos da curva, que incluem:
- pontos em que o sinal de visibilidade muda;
- pontos em que suas coordenadas assumem os valores máximo e mínimo:
-xmáximo; xmin;
-y max; y min;
-zmáx; zmin;
O uso de pontos característicos permite realizar uma construção mais precisa da linha de interseção da superfície de revolução e do plano.

Resolvendo o problema em seção de uma esfera por um planoé bastante simplificado se o plano de corte ocupa a posição de projeção.

Usando o método de mudar os planos de projeção, traduzimos o plano β de uma posição geral para uma particular - projetando-se frontalmente. No plano de projeção frontal V 1 construir um traço do plano β e projeção da bola. No rastro do avião βV tome um ponto arbitrário 3" medir sua distância do plano de projeção H e adiá-lo ao longo da linha de comunicação já no avião V 1, ganhando um ponto 3" 1 . Um traço passará por ele. Linha de seção da bola - pontos A" 1, B" 1 coincide aqui com o traço do plano. Mais adiante no plano de projeção frontal V 1 construir o centro do círculo de seção - um ponto C" 1 que obtemos restaurando a perpendicular do centro da bola (ponto 0" 1 ) para [ A" 1 B" 1] em sua interseção. Em seguida, ligue a projeção traseira: através de pontos A" 1, B" 1 e C" 1 desenhar linhas horizontais h pertencente ao avião β , e no plano de projeção H pelo centro da bola desenhamos um plano auxiliar que se projeta horizontalmente γ 1. Traço de plano horizontal γ 1 irá parar a projeção da horizontal h e definir um ponto neste ponto C`- o centro da circunferência da seção. Horizontal h` intercepta a projeção da bola em pontos D' e E`, determinando assim o valor real do segmento [ DE] - eixo maior da elipse. Os pontos são construídos da mesma maneira. A` e B`, definindo o valor do segmento [ A`B`] - eixo menor da elipse.

Projeções dos eixos maior e menor da elipse no plano de projeção horizontal H encontrado, o que significa que a elipse é a projeção do círculo de seção sobre H pode ser construído, veja o artigo: Círculo

Repita os mesmos passos para o plano de projeção frontal V e construir outra elipse - a projeção do círculo de seção sobre V.

Para encontrar pontos que indicam os limites de visibilidade da projeção horizontal do círculo de seção

desenhamos um plano de projeção frontal através do centro da bola γ 2 ⊥ V β horizontalmente h(h`, h"). Linha h` cruza com a projeção horizontal do círculo de seção por pontos 5,6 indicando o limite de visibilidade. Pontos do círculo de seção localizados na projeção frontal abaixo do traço do plano γ 2, no plano de projeção horizontal H 5`, 6` ] - e ficará invisível nele.

Para encontrar pontos que indicam os limites de visibilidade da projeção frontal do círculo de seção. Desenhamos um plano que se projeta horizontalmente através do centro da bola γ 1 ⊥ H, que intercepta o plano β frontal f(f`, f"). Linha f" cruza com a projeção frontal do círculo de seção por pontos 7", 8" indicando o limite de visibilidade. Pontos do círculo de seção localizados na projeção horizontal acima do traço do plano γ 1, no plano de projeção frontal V estará localizado à esquerda do segmento [ 7", 8" ] - e ficará invisível nele.

Introdução

Uma bola é um corpo que consiste em todos os pontos no espaço que estão a uma distância não maior do que uma dada distância de um determinado ponto. Esse ponto é chamado de centro da bola e essa distância é chamada de raio da bola.

O limite de uma esfera é chamado de superfície esférica ou esfera. Assim, os pontos da esfera são todos os pontos da bola que estão a uma distância do centro igual ao raio. Qualquer segmento de linha que conecta o centro de uma bola a um ponto na superfície da bola, também chamado de raio.

O segmento que liga dois pontos da superfície esférica que passa pelo centro da bola é chamado de diâmetro. As extremidades de qualquer diâmetro são chamadas de pontos diametralmente opostos da bola.

Uma bola, como um cilindro e um cone, é um corpo de revolução. É obtido girando um semicírculo em torno de seu diâmetro como um eixo.

Seção de uma esfera por um plano

Qualquer seção de uma esfera por um plano é um círculo. O centro deste círculo é a base da perpendicular baixada do centro da bola até o plano de corte.

Prova: Seja um plano de corte e O - o centro da bola (Fig. 1) Vamos soltar a perpendicular do centro da bola ao plano e denotar a base desta perpendicular por O".

Seja X um ponto arbitrário da bola pertencente ao plano. De acordo com o teorema de Pitágoras, OX2 \u003d OO "2 + O" X2. Como OX não é maior que o raio R da bola, então O "X?, ou seja, qualquer ponto da seção da bola por um plano é do ponto O" a uma distância não maior, portanto, pertence a um círculo com centro O "e raio. Inversamente: qualquer ponto X deste círculo pertence à bola, o que significa que a seção da bola pelo plano é um círculo centrado no ponto O". O teorema foi provado.

A área que passa pelo centro da esfera é chamada de plano diametral. A seção transversal de uma bola com um plano diametral é chamada de grande círculo, e a seção transversal de uma esfera é chamada de grande círculo.

Na fig. 11 mostra a construção de projeções de alguns pontos.

Projeções C" e D" construído sobre uma projeção horizontal do paralelo de raio 0"1", construído com

projeção 1 ". Projeção C"" e D"" construído sobre uma projeção de perfil de um círculo desenhado em uma esfera através das projeções C"(D") de modo que o plano do círculo seja paralelo ao plano de projeções.

Projeção E"é o ponto tangente da elipse (projeção horizontal do círculo fatiado) e o equador da esfera. É construído em conexão de projeção na projeção horizontal do equador na projeção frontal E".

Projeção horizontal M" um ponto arbitrário na linha de corte é construído usando um raio paralelo Sobre "2", cuja projeção frontal passa pelas projeções M"e 2 " . Projeção F "é o ponto de contato da elipse (projeção do perfil do círculo cortado) e a projeção do perfil do contorno da esfera.

Se o plano que cruza a esfera é um plano em posição geral, então o problema é resolvido alterando os planos de projeção. O plano de projeção adicional é escolhido de modo a garantir que seja perpendicular ao plano de corte. Isso é permite simplificar a construção da linha de interseção.

12. Construção de seções de toro

No exemplo da fig. 12 mostra o uso de planos auxiliares γ 1 (γ 1 ") e γ 2 (γ 2 "), perpendiculares ao eixo do toro, para construir uma linha de interseção e uma vista natural da figura da seção da superfície do toro pelo plano α (α ""). O toro da Fig. 12 tem duas imagens - uma projeção frontal e uma projeção de meio perfil.

Raio do semicírculo R 2 (projeção de perfil da linha de interseção do toro do auxiliar

plano γ 2 ) toca a projeção do plano α (traço α ""). Isso define a projeção do perfil 3"" e ao longo dela uma projeção frontal 3"" um dos pontos de projeção da linha de interseção desejada. Raio do semicírculo R 1 - projeção do perfil da linha de interseção do toro pelo plano auxiliar γ 1 . Ele cruza a projeção do perfil do plano α (o traço α "") em dois pontos 5"" e 7"" - projeções de perfil de pontos da linha de interseção. Realizando construções semelhantes, você pode obter o número necessário de projeções de pontos para a linha de interseção desejada. Usamos os pontos encontrados para construir uma visão natural da figura seccional. A figura de uma seção de um toro por um plano paralelo ao seu eixo tem eixos e um centro de simetria. Na construção, as distâncias l 1 e l 2 na projeção frontal foram utilizadas para plotar os pontos 5 0 , 7 0 e 3 0 .

Os pontos 6 0 , 8 0 e 4 0 são construídos como simétricos. A curva construída de interseção da superfície do toro pelo plano é expressa por uma equação algébrica de 4ª ordem.

As curvas de interseção de um toro com um plano paralelo ao eixo são mostradas na Fig. 12 abaixo. Eles têm um nome comum - curvas de Perseu. (Perseu- Geômetro da Grécia Antiga). São curvas de quarta ordem. A forma das curvas depende da distância do plano secante ao eixo do toro.