O que é uma equação?

Aqueles que estão dando os primeiros passos na álgebra, é claro, exigem uma apresentação mais ordenada do material. Portanto, em nosso artigo sobre o que é uma equação, não daremos apenas uma definição, mas também daremos várias classificações de equações com exemplos.

O que é uma equação: conceitos gerais

Assim, uma equação é um tipo de igualdade com uma incógnita, denotada por uma letra latina. Neste caso, o valor numérico desta letra, que nos permite obter a igualdade correta, é denominado raiz da equação. Você pode ler mais sobre isso em nosso artigo, mas continuaremos falando sobre as próprias equações. Os argumentos de uma equação (ou variáveis) são incógnitas, e a solução de uma equação é encontrar todas as suas raízes ou a ausência de raízes.

Tipos de equações

As equações são divididas em dois grandes grupos: algébricas e transcendentais.

• Algébrica é uma equação em que apenas operações algébricas são utilizadas para encontrar a raiz da equação - 4 operações aritméticas, além de exponenciação e extração da raiz natural.
• Uma equação transcendental é uma equação na qual funções não algébricas são usadas para encontrar a raiz: por exemplo, trigonométricas, logarítmicas e outras.

Entre as equações algébricas também existem:

• inteiros - com ambas as partes consistindo em expressões algébricas inteiras em relação a incógnitas;
• fracionário - contendo expressões algébricas inteiras no numerador e no denominador;
• irracional - expressões algébricas aqui estão sob o sinal de raiz.

Observe também que equações fracionárias e irracionais podem ser reduzidas à resolução de equações inteiras.

As equações transcendentais são divididas em:

• Equações exponenciais são equações que contêm uma variável como expoente. Eles são resolvidos passando para uma única base ou expoente, retirando o fator comum do colchete, fatorando e alguns outros métodos;
• logarítmico - equações com logaritmos, ou seja, equações onde as incógnitas estão dentro dos próprios logaritmos. Resolver essas equações é muito difícil (ao contrário, digamos, da maioria das equações algébricas), pois requer um treinamento matemático sólido. O mais importante aqui é passar de uma equação com logaritmos para uma equação sem eles, ou seja, simplificar a equação (esse método de remoção de logaritmos é chamado de potenciação). Claro, só é possível potencializar uma equação logarítmica se elas tiverem bases numéricas idênticas e não possuírem coeficientes;
• equações trigonométricas são equações com variáveis ​​​​sob os sinais de funções trigonométricas. A sua solução requer domínio inicial de funções trigonométricas;
• mistas são equações diferenciadas com partes pertencentes a tipos diferentes (por exemplo, com partes parabólicas e elípticas ou elípticas e hiperbólicas, etc.).

Quanto à classificação pelo número de incógnitas, tudo é simples: distinguem-se equações com uma, duas, três e assim por diante. Existe também outra classificação, que se baseia no grau que está à esquerda do polinômio. Com base nisso, distinguem-se equações lineares, quadráticas e cúbicas. Equações lineares também podem ser chamadas de equações de 1º grau, quadráticas - 2º e cúbicas, respectivamente, 3º. Bem, agora vamos dar exemplos de equações de um grupo ou de outro.

Exemplos de diferentes tipos de equações

Exemplos de equações algébricas:

• machado + b= 0
• machado 3 + bx 2 + cx+ d= 0
• machado 4 + bx 3 + cx 2 + bx + uma= 0
  (a não é igual a 0)

Exemplos de equações transcendentais:

• cos x = x log x = x−5 2 x = logx+x 5 +40

Exemplos de equações inteiras:

• (2+x)2 = (2+x)(55x-4) (x2-12x+10)4 = (3x+10)4 (4x2+3x-10)2=9x4

Exemplo de equações fracionárias:

• 15x + — = 5x - 17x

Exemplo de equações irracionais:

• √2kf(x)=g(x)

Exemplos de equações lineares:

• 2x+7=0x - 3 = 2 - 4x 2x+3=5x+5 - 3x - 2

Exemplos de equações quadráticas:

• x 2 +5x−7= 0 3x 2 +5x−7= 0 11x 2 −7x+3 = 0

Exemplos de equações cúbicas:

• x 3 -9x 2 -46x+120=0 x 3 - 4x 2 + x + 6 = 0

Exemplos de equações exponenciais:

• 5 x+2 = 125 3 x 2 x = 8 x+3 3 2x +4 3 x -5 = 0

Exemplos de equações logarítmicas:

• log 2 x= 3 log 3 x= -1

Exemplos de equações trigonométricas:

• 3sin 2 x + 4sin x cosx + cos 2 x = 2 sin(5x+π/4) = ctg(2x-π/3) senx + cos 2 x + tan 3 x = ctg 4 x

Exemplos de equações mistas:

• log x (log 9 (4⋅3 x −3))=1 |5x−8|+|2⋅5x+3|=13

Resta acrescentar que vários métodos são usados ​​para resolver equações de vários tipos. Bem, para resolver quase todas as equações, você precisará de conhecimento não apenas de álgebra, mas também de trigonometria, e muitas vezes de conhecimento muito profundo.

Para trás para a frente

Atenção! As visualizações de slides são apenas para fins informativos e podem não representar todos os recursos da apresentação. Se você estiver interessado neste trabalho, baixe a versão completa.

Lições objetivas:

Educacional:

• Resuma o conhecimento sobre todos os tipos de equações, enfatize a importância de todos os métodos utilizados na resolução de equações.
• Intensificar o trabalho dos alunos através de uma variedade de técnicas na aula.
• Testar competências teóricas e práticas na resolução de equações.
• Concentre-se no fato de que uma equação pode ser resolvida de várias maneiras

Educacional:

• Aumentar o interesse dos alunos pela matéria através da utilização das TIC.
• Familiarizar os alunos com material histórico sobre o tema.
• Desenvolvimento da atividade mental na determinação do tipo de equação e métodos para resolvê-la.

Educacional:

• Incutir disciplina na sala de aula.
• Desenvolver a capacidade de perceber a beleza em si mesmo, no outro e no mundo que nos rodeia.

Tipo de aula:

• Aula de generalização e sistematização do conhecimento.

Tipo de aula:

• Combinado.

Materiais e equipamentos técnicos:

• Computador
• Tela
• Projetor
• Disco com apresentação do tema

Métodos e técnicas:

• Usando uma apresentação
• Conversa frontal
• Trabalho oral
• Momentos de jogo
• Trabalhem em pares
• Trabalhe no conselho
• Trabalhar em cadernos

Plano de aula:

1. Momento organizacional (1 minuto)
2. Decodificando o tema da aula (3 minutos)
3. Declaração do tema e objetivo da aula (1 minuto)
4. Aquecimento teórico (3 minutos)
5. Excursão histórica (3 minutos)
6. Jogo “Retire o excesso” (2 minutos)
7. Trabalho criativo (2 minutos)
8. Tarefa “Encontre o erro” (2 minutos)
9. Resolvendo uma equação de várias maneiras (no slide) (3 minutos)
10. Resolvendo uma equação de várias maneiras (no quadro) (24 minutos)
11. Trabalho independente em pares seguido de explicação (5 minutos)
12. Trabalho de casa individual (1 minuto)
13. Reflexão do resumo da lição (1 minuto)

Epígrafe da lição:

“Só se aprende através da diversão; para digerir o conhecimento é preciso absorvê-lo com apetite.”
A. França

Resumo da lição

Parte organizacional

Verifico a preparação dos alunos para a aula e marco os que faltam à aula. Pessoal, o escritor francês do século 19, A. France, certa vez comentou: “Você só pode aprender por meio da diversão; para digerir o conhecimento, é preciso absorvê-lo com apetite”. Portanto, sigamos o conselho do escritor da nossa lição e digerimos o conhecimento com muito apetite, pois será útil em nossas vidas.

Decodificando o tema da lição

Para passar para uma tarefa mais complexa, vamos esticar nossos cérebros com tarefas simples. O tema da nossa aula é criptografado resolvendo tarefas orais e encontrando a resposta para elas, sabendo que cada resposta tem sua letra, iremos revelar o tema da aula. Slide de apresentação 3

Comunicar o tema e o propósito da aula

Você mesmo nomeou o tema da lição de hoje

“Tipos de equações e métodos para resolvê-las.” Slide de apresentação 4

Objetivo: Relembrar e generalizar todos os tipos de equações e métodos para resolvê-las. Resolva uma equação usando todos os métodos. Slide de apresentação 5 Leia a declaração de Einstein Slide de apresentação 5

Aquecimento teórico

Perguntas Apresentação slide 7

Respostas

1. Uma igualdade contendo uma variável indicada por uma letra.
2. Isto significa encontrar todas as suas raízes ou provar que não existem raízes.
3. O valor da variável na qual a equação se torna verdadeira.
4. Após esta definição, leia um poema sobre a equação Slide de apresentação 12,13,14.

Respostas às últimas 2 perguntas Slide de apresentação 9,10,11

Excursão histórica

Informações históricas sobre “Quem inventou a equação e quando” Apresentação slide 15

Vamos imaginar que uma mãe primitiva chamada... porém, provavelmente nem tinha nome, colheu 12 maçãs de uma árvore para dar a cada um de seus 4 filhos. Ela provavelmente não sabia contar não só até 12, mas também até quatro, e certamente não sabia dividir 12 por 4. E provavelmente dividiu as maçãs assim: primeiro ela deu uma maçã para cada criança, depois outra maçã , depois outro sozinho e então vi que não havia mais maçãs e as crianças estavam felizes. Se escrevermos essas ações em linguagem matemática moderna, obtemos x4=12, ou seja, minha mãe resolveu o problema de compor uma equação. Aparentemente, é impossível responder à questão colocada acima. Os problemas que levam à resolução de equações foram resolvidos por pessoas que usam o bom senso desde o momento em que se tornaram humanos. Mesmo 3-4 mil anos aC, os egípcios e os babilônios foram capazes de resolver as equações mais simples, cuja forma e métodos de solução não eram semelhantes aos modernos. Os gregos herdaram o conhecimento dos egípcios e seguiram em frente. O maior sucesso no desenvolvimento da doutrina das equações foi alcançado pelo cientista grego Diofanto (século III), sobre quem escreveram:

Ele resolveu muitos problemas.
Ele previu cheiros e chuvas.
Na verdade, seu conhecimento é maravilhoso.

O matemático da Ásia Central Muhammad al-Khorezmi (século IX) deu uma grande contribuição para a resolução de equações. Seu famoso livro al-Khwarizmi é dedicado à resolução de equações. É chamado de “Kitab al-jabr wal-mukabala”, ou seja, “O Livro da Complementação e Oposição”. Este livro tornou-se conhecido pelos europeus, e da palavra “al-jabr” do seu título surgiu a palavra “álgebra” - o nome de uma das principais partes da matemática. Posteriormente, muitos matemáticos trabalharam em problemas de equações. A regra geral para resolver equações quadráticas reduzidas à forma x2+in=0 foi formulada pelo matemático alemão Stiefel, que viveu no século XV. Após os trabalhos do matemático holandês Girard (século XVI), bem como de Descartes e Newton, o método de solução ganhou uma forma moderna. Fórmulas que expressam a dependência das raízes de uma equação em seus coeficientes foram introduzidas por Vieth. François Viet viveu no século XVI. Ele fez grandes contribuições para o estudo de vários problemas de matemática e astronomia; em particular, ele introduziu designações de letras para os coeficientes da equação. Agora vamos conhecer um episódio interessante de sua vida. O Vietnã ganhou grande fama sob o rei Henrique III, durante a Guerra Franco-Espanhola. Os inquisidores espanhóis inventaram uma escrita secreta muito complexa, graças à qual os espanhóis se correspondiam com os inimigos de Henrique III até na própria França.

Em vão os franceses tentaram encontrar a chave do código e então o rei recorreu a Vieta. Dizem que o Viet encontrou a chave do código em duas semanas de trabalho contínuo, após as quais, inesperadamente para a Espanha, a França começou a vencer uma batalha após a outra. Confiantes de que o código não poderia ser decifrado, os espanhóis acusaram o Viet de ter uma ligação com o diabo e o condenaram à queimadura na fogueira. Felizmente, ele não foi extraditado para a Inquisição e entrou para a história como um grande matemático.

Jogo “Retire o excesso”

Objetivo do jogo orientação em tipos de equações.

Temos três colunas de equações, em cada uma delas as equações são definidas de acordo com algum critério, mas uma delas é supérflua, sua tarefa é encontrá-la e caracterizá-la. Slide de apresentação 16

Trabalho criativo

O objetivo desta tarefa: Compreensão auditiva da fala matemática, orientando as crianças nos tipos de equações.

Na tela você vê 9 equações. Cada equação tem seu próprio número, vou nomear o tipo dessa equação, e você deve encontrar uma equação desse tipo, e colocar apenas o número sob o qual ela aparece, como resultado você obterá um número de 9 dígitos Apresentação slide 17

1. Equação quadrática reduzida.
2. Equação racional fracionária
3. Equação cúbica
4. Equação logarítmica
5. Equação linear
6. Equação quadrática incompleta
7. Equação exponencial
8. Equação irracional
9. Equação trigonométrica

Tarefa “Encontre o erro”

Um aluno resolveu equações, mas a turma toda riu, ele errou em cada equação, sua tarefa é encontrar e corrigir. Slide de apresentação 18

Resolvendo uma equação de várias maneiras

Agora vamos resolver uma equação de todas as maneiras possíveis, para economizar tempo na aula, uma equação na tela. Agora você nomeará o tipo desta equação e explicará qual método é usado para resolvê-la. Slides 19-27 da apresentação.

Resolvendo uma equação de várias maneiras (no quadro)

Vimos o exemplo e agora vamos resolver a equação no quadro de todas as maneiras possíveis.

X-2 - equação irracional

Vamos elevar ao quadrado ambos os lados da equação.

X 2 +2x+4x-1-4=0

Resolvemos esta equação no tabuleiro de 9 maneiras.

Trabalho independente em pares seguido de explicação no quadro

E agora vocês vão trabalhar em duplas, dou uma equação para sua mesa, sua tarefa é determinar o tipo de equação, listar todas as formas de resolver essa equação, resolver 1-2 da maneira mais racional para você. (2 minutos)

Tarefas para trabalhar em pares

Resolva a equação

Depois de trabalhar de forma independente em duplas, um representante vai até o quadro, apresenta sua equação, resolve de uma forma

Lição de casa individual(diferenciável)

Resolva a equação

(determine o tipo de equação, resolva de todas as formas em uma folha separada)

Resumo da lição de reflexão.

Faço um resumo da lição, chamo a atenção para o fato de que uma equação pode ser resolvida de várias maneiras, dou notas, tiro uma conclusão sobre quem foi ativo e quem precisa ser mais ativo. Eu li a declaração de Kalinin Apresentação slide 28

Observe atentamente os objetivos que estabelecemos para a lição de hoje:

• O que você acha que conseguimos fazer?
• O que não funcionou tão bem?
• O que você gostou especialmente e lembra?
• Hoje aprendi algo novo...
• Meu conhecimento foi útil durante a aula...
• Foi difícil para mim...
• gostei da aula...

Literatura.

1. Dorofeev G.V. “Coleção de tarefas para realização de exame escrito de matemática para curso de ensino médio” - M.: Bustard, 2006.
2. Garner Martin. Quebra-cabeças matemáticos e entretenimento.
3. Ivlev BM, Sahakyan SM. Materiais didáticos de álgebra e início de análise para o 10º ano, 11º ano. M.: Iluminismo. 2002.

Ministério da Educação Geral e Profissional da Federação Russa

Instituição de ensino municipal

Ginásio nº 12

composição

sobre o tema: Equações e métodos para resolvê-las

Concluído por: aluno da turma 10 “A”

Krutko Eugene

Verificado por: professor de matemática Iskhakova Gulsum Akramovna

Tiumen 2001

Plano................................................. .................................................. ...... ................................ 1

Introdução................................................. ....... ........................................... ............. ........................ 2

Parte principal................................................ .................................................. ...... ............... 3

Conclusão................................................. .................................................. ...... ............... 25

Aplicativo................................................. .................................................. ...... ................ 26

Lista de literatura usada................................................. .......... ........................... 29

Plano.

Introdução.

Referência histórica.

Equações. Equações algébricas.

a) Definições básicas.

b) Equação linear e método para resolvê-la.

c) Equações quadráticas e métodos para as resolver.

d) Equações binomiais e como resolvê-las.

e) Equações cúbicas e métodos para as resolver.

f) Equação biquadrática e método de resolução.

g) Equações do quarto grau e métodos para a sua resolução.

g) Equações de graus elevados e métodos para a sua resolução.

h) Equação algébrica racional e seu método

i) Equações irracionais e métodos para as resolver.

j) Equações contendo uma incógnita sob um sinal.

valor absoluto e método para resolvê-lo.

Equações transcendentais.

a) Equações exponenciais e como resolvê-las.

b) Equações logarítmicas e métodos para a sua resolução.

Introdução

A educação matemática recebida em uma escola abrangente é um componente essencial da educação geral e da cultura geral do homem moderno. Quase tudo que rodeia o homem moderno está de alguma forma ligado à matemática. E os recentes avanços na física, na engenharia e na tecnologia da informação não deixam dúvidas de que no futuro a situação permanecerá a mesma. Portanto, resolver muitos problemas práticos se resume a resolver vários tipos de equações que você precisa aprender a resolver.

Este trabalho é uma tentativa de resumir e sistematizar o material estudado sobre o tema acima. Organizei o material em ordem de dificuldade, começando pelo mais simples. Inclui os tipos de equações que conhecemos no curso de álgebra escolar e material adicional. Ao mesmo tempo, procurei mostrar os tipos de equações que não são estudadas no curso escolar, mas cujo conhecimento pode ser necessário no ingresso em uma instituição de ensino superior. No meu trabalho, ao resolver equações, não me limitei apenas à solução real, mas também indiquei a complexa, pois acredito que caso contrário a equação fica simplesmente sem solução. Afinal, se uma equação não tem raízes reais, isso não significa que não tenha soluções. Infelizmente por falta de tempo não consegui apresentar todo o material que tenho, mas mesmo com o material aqui apresentado muitas dúvidas podem surgir. Espero que meu conhecimento seja suficiente para responder à maioria das perguntas. Então, começo a apresentar o material.

Matemática... revela ordem,

simetria e certeza,

e esses são os tipos de beleza mais importantes.

Aristóteles.

Referência histórica

Naqueles tempos distantes, quando os sábios começaram a pensar em igualdades contendo quantidades desconhecidas, provavelmente não existiam moedas ou carteiras. Mas havia pilhas, assim como potes e cestos, perfeitos para o papel de esconderijos que podiam conter um número desconhecido de itens. “Procuramos um montão que, junto com dois terços, um meio e um sétimo, perfaz 37...”, ensinava o escriba egípcio Ahmes no II milénio a.C.. Nos antigos problemas matemáticos da Mesopotâmia, Índia, China, Grécia, quantidades desconhecidas expressavam o número de pavões no jardim, o número de touros no rebanho e a totalidade das coisas levadas em conta na divisão da propriedade. Escribas, funcionários e sacerdotes iniciados no conhecimento secreto, bem treinados na ciência da contabilidade, lidaram com tais tarefas com bastante sucesso.

Fontes que chegaram até nós indicam que os cientistas antigos possuíam algumas técnicas gerais para resolver problemas com quantidades desconhecidas. No entanto, nem um único papiro ou tabuinha de argila contém uma descrição dessas técnicas. Os autores apenas ocasionalmente forneciam aos seus cálculos numéricos comentários acanhados como: “Olha!”, “Faça isto!”, “Você encontrou o caminho certo”. Nesse sentido, a exceção é a “Aritmética” do matemático grego Diofante de Alexandria (século III) - uma coleção de problemas para a composição de equações com apresentação sistemática de suas soluções.

No entanto, o primeiro manual para resolução de problemas que se tornou amplamente conhecido foi o trabalho do cientista de Bagdá do século IX. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. A palavra "al-jabr" do nome árabe deste tratado - "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("Livro de restauração e oposição") - acabou se transformando na conhecida palavra "álgebra", e al- O próprio trabalho de Khwarizmi serviu de ponto de partida para o desenvolvimento da ciência da resolução de equações.

equações Equações algébricas

Definições básicas

Na álgebra, são considerados dois tipos de igualdades - identidades e equações.

Identidadeé uma igualdade que vale para todos os valores (admissíveis) das letras nela incluídas). Para registrar a identidade, junto com o sinal, o sinal também é usado.

A equaçãoé uma igualdade válida apenas para determinados valores das letras nela incluídas. As letras incluídas na equação, de acordo com as condições do problema, podem ser desiguais: algumas podem assumir todos os seus valores permitidos (são chamadas parâmetros ou coeficientes equações e geralmente são denotadas pelas primeiras letras do alfabeto latino:, , ... - ou pelas mesmas letras fornecidas com índices: , , ... ou , , ...); outros cujos valores precisam ser encontrados são chamados desconhecido(geralmente são designados pelas últimas letras do alfabeto latino: , , , ... - ou pelas mesmas letras com índices: , , ... ou , , ...).

Em geral, a equação pode ser escrita da seguinte forma:

Dependendo do número de incógnitas, a equação é chamada de equação com uma, duas, etc.

O valor das incógnitas que transformam a equação em uma identidade, chamadas soluções equações

Resolver uma equação significa encontrar muitas de suas soluções ou provar que não existem soluções. Dependendo do tipo de equação, o conjunto de soluções da equação pode ser infinito, finito ou vazio.

Se todas as soluções da equação são soluções da equação, então eles dizem que a equação é uma consequência da equação e escrevem

Duas equações

chamado equivalente, se cada um deles é consequência do outro, e escreva

Assim, duas equações são consideradas equivalentes se o conjunto de soluções dessas equações coincidir.

Uma equação é considerada equivalente a duas (ou mais) equações, se o conjunto de soluções da equação coincidir com a união dos conjuntos de soluções das equações,.

ALGUMAS EQUAÇÕES EQUIVALENTES:

A equação é equivalente à equação considerada no conjunto de valores admissíveis da equação original.

Equivalente a duas equações e .

A equação é equivalente à equação.

A equação para n ímpar é equivalente à equação, e para n par é equivalente a duas equações e.

Equação algébrica chamada de equação da forma

onde é um polinômio de enésimo grau em uma ou mais variáveis.

Equação algébrica com uma incógnitaé chamada de equação que se reduz a uma equação da forma

onde n é um número inteiro não negativo; os coeficientes do polinômio , , , ..., , são chamados coeficientes(ou parâmetros) equações e são consideradas dadas; x é chamado desconhecido e é o que procuramos. O número n é chamado grau equações

Os valores da incógnita x que transformam a equação algébrica em uma identidade são chamados raízes(menos frequentemente decisões) equação algébrica.

Existem vários tipos de equações que podem ser resolvidas usando fórmulas prontas. Estas são equações lineares e quadráticas, bem como equações da forma F(x), onde F é uma das funções padrão (potência ou função exponencial, logaritmo, seno, cosseno, tangente ou cotangente). Tais equações são consideradas as mais simples. Também existem fórmulas para a equação cúbica, mas não é considerada a mais simples.

Assim, a principal tarefa ao resolver qualquer equação é reduzi-la ao mais simples.

Todas as equações listadas abaixo também possuem sua própria solução gráfica, que consiste em apresentar os lados esquerdo e direito da equação como duas funções idênticas da incógnita. Em seguida, um gráfico é construído, primeiro de uma função e depois da outra, e o(s) ponto(s) de intersecção dos dois gráficos darão a(s) solução(ões) da equação original. Exemplos de soluções gráficas de todas as equações são fornecidos no apêndice.

Equação linear

Equação linearé chamada de equação de primeiro grau.

onde aeb são alguns números reais.

Uma equação linear sempre tem uma única raiz, que é encontrada da seguinte forma.

Adicionando o número a ambos os lados da equação (1), obtemos a equação

equivalente à equação (1). Dividindo ambos os lados da equação (2) pelo valor, obtemos a raiz da equação (1):

Equação quadrática

Equação algébrica de segundo grau.

, (3)

onde , , são alguns números reais, chamados Equação quadrática. Se , então a equação quadrática (3) é chamada dado .

As raízes de uma equação quadrática são calculadas usando a fórmula

,

A expressão é chamada discriminante Equação quadrática.

Em que:

se , então a equação tem duas raízes reais diferentes;

se , então a equação tem uma raiz real de multiplicidade 2;

se , então a equação não tem raízes reais, mas tem duas raízes conjugadas complexas:

, ,

Tipos particulares de equação quadrática (3) são:

1) A equação quadrática reduzida (se ), que geralmente é escrita na forma

.

As raízes da equação quadrática fornecida são calculadas usando a fórmula

. (4)

Esta fórmula é chamada de fórmula de Vieta, em homenagem ao matemático francês do final do século XVI, que deu uma contribuição significativa para o desenvolvimento do simbolismo algébrico.

2) Uma equação quadrática com um segundo coeficiente par, que geralmente é escrita como

(- inteiro).

É conveniente calcular as raízes desta equação quadrática usando a fórmula

. (5)

As fórmulas (4) e (5) são tipos especiais de fórmulas para calcular as raízes de uma equação quadrática completa.

Raízes da equação quadrática reduzida

estão relacionados aos seus coeficientes pelas Fórmulas Vieta

,

.

Se a equação quadrática dada tiver raízes reais, as fórmulas de Vieta permitem-nos julgar tanto os sinais como a magnitude relativa das raízes da equação quadrática, a saber:

se , então ambas as raízes são negativas;

se , então ambas as raízes são positivas;

se , , então a equação tem raízes de sinais diferentes, e a raiz negativa é maior em valor absoluto que a positiva;

se , , a equação tem raízes de sinais diferentes e a raiz negativa é menor que a raiz positiva em valor absoluto.

Vamos reescrever a equação quadrática novamente

(6)

e mostraremos outra forma de derivar as raízes da equação quadrática (6) através de seus coeficientes e termo livre. Se

então as raízes da equação quadrática são calculadas usando a fórmula

,

, .

que pode ser obtido como resultado das seguintes transformações da equação original, bem como levando em consideração a fórmula (7).

,

Observe que, portanto

,

.

,

mas, da fórmula (7), portanto, finalmente

Se colocarmos isso +, então

,

Observe que, portanto

,

,

mas, portanto, finalmente

.

Equações binomiais

Equações do enésimo grau da forma

chamado equação binomial. Com e substituição)

onde está o valor aritmético da raiz, a equação (8) é reduzida à equação

Uma equação binomial para n ímpar tem uma raiz real. No conjunto dos números complexos, esta equação possui n raízes (das quais uma é real e complexa):

( 0, 1, 2, ..., ). (9)

Uma equação binomial para n par no conjunto dos números reais tem duas raízes , e no conjunto dos números complexos existem n raízes, calculadas pela fórmula (9).

Uma equação binomial para n par tem uma raiz real, e no conjunto de números complexos de raízes, calculado pela fórmula

( 0, 1, 2, ..., ). (10)

Uma equação binomial para n par não tem raízes reais. No conjunto dos números complexos, a equação possui raízes calculadas pela fórmula (10).

Vamos dar um breve resumo dos conjuntos de raízes de uma equação binomial para alguns valores específicos de n.

A equação tem duas raízes reais.

.

A equação tem duas raízes reais e duas raízes complexas.

A equação não tem raízes reais. Raízes complexas: .

A equação tem uma raiz real e duas raízes complexas

.

A equação não tem raízes reais. Raízes complexas:

, .

Equações cúbicas

Se os matemáticos da Babilônia e da Índia Antiga foram capazes de resolver equações quadráticas, então as cúbicas, ou seja, equações da forma

acabou por ser um osso duro de roer. No final do século XV. O professor de matemática das Universidades de Roma e Milão, Luca Pacioli, em seu famoso livro “A Soma do Conhecimento em Aritmética, Geometria, Relações e Proporcionalidade” colocou o problema de encontrar um método geral para resolver equações cúbicas no mesmo nível do problema de quadratura o circulo. E, no entanto, através dos esforços dos algebristas italianos, tal método foi logo encontrado.

Vamos começar com simplificação

Se uma equação cúbica de forma geral

dividido por , então o coeficiente em torna-se igual a 1. Portanto, no futuro procederemos da equação

Assim como a solução de uma equação quadrática se baseia na fórmula do quadrado da soma, a solução de uma equação cúbica se baseia na fórmula do cubo da soma:

Para não nos confundirmos nos coeficientes, vamos substituir aqui e reorganizar os termos:

Vemos que escolhendo corretamente, nomeadamente tomando, podemos garantir que o lado direito desta fórmula difere do lado esquerdo da equação (11) apenas no coeficiente em e no termo livre. Vamos somar as equações (11) e (12) e fornecer outras semelhantes:

Se fizermos uma substituição aqui, obteremos uma equação cúbica em relação a sem o termo c:

.

Assim, mostramos que na equação cúbica (11), por meio de uma substituição adequada, podemos nos livrar do termo que contém o quadrado da incógnita. Portanto, vamos agora resolver uma equação da forma

. (13)

Fórmula Cardano

Vejamos novamente a fórmula da soma do cubo, mas escreva-a de forma diferente:

Compare esta entrada com a equação (13) e tente estabelecer uma conexão entre elas. Mesmo com uma dica não é fácil. Devemos prestar homenagem aos matemáticos da Renascença que resolveram a equação cúbica sem conhecer os símbolos alfabéticos. Vamos substituir em nossa fórmula:

Agora está claro: para encontrar a raiz da equação (13), basta resolver o sistema de equações

ou

e tome como a soma e . Ao substituir , este sistema fica reduzido a uma forma muito simples:

Então você pode agir de maneiras diferentes, mas todas as “estradas” levarão à mesma equação quadrática. Por exemplo, de acordo com o teorema de Vieta, a soma das raízes da equação quadrática reduzida é igual ao coeficiente com sinal menos e o produto é igual ao termo livre. Segue-se que e são as raízes da equação

.

Vamos anotar essas raízes:

As variáveis ​​e são iguais às raízes cúbicas de e , e a solução desejada para a equação cúbica (13) é a soma dessas raízes:

.

Esta fórmula é conhecida como Fórmula Cardano .

Solução trigonométrica

, , . (14)

As raízes , , da equação cúbica “incompleta” (14) são iguais

, ,

, ,

.

Deixe a equação cúbica “incompleta” (14) ser válida.

a) Se (o caso “irredutível”), então

,

,

.

(b) Se , , então

, ,

, .

(c) Se , , então

, ,

, .

Em todos os casos, o valor real da raiz cúbica é obtido.

Equação biquadrática

Equação algébrica do quarto grau.

,

onde a, b, c são alguns números reais, chamados equação biquadrática. Por substituição, a equação é reduzida a uma equação quadrática seguido pela resolução de duas equações binomiais e (e são as raízes da equação quadrática correspondente).

Se e , então a equação biquadrática tem quatro raízes reais:

, .

Se , ), então a equação biquadrática tem duas raízes reais e raízes conjugadas imaginárias:

.

Se e, então a equação biquadrática tem quatro raízes conjugadas aos pares puramente imaginárias:

, .

Equações do quarto grau

Um método para resolver equações de quarto grau foi encontrado no século XVI. Ludovico Ferrari, aluno de Gerolamo Cardano. É assim que se chama – o método. Ferrari .

Como na resolução de equações cúbicas e quadráticas, em uma equação de quarto grau

você pode se livrar do termo por substituição. Portanto, assumiremos que o coeficiente do cubo da incógnita é zero:

A ideia de Ferrari era representar a equação na forma, onde o lado esquerdo é o quadrado da expressão, e o lado direito é o quadrado de uma equação linear de, cujos coeficientes dependem de. Depois disso, resta resolver duas equações quadráticas: e . É claro que tal representação só é possível com uma escolha especial do parâmetro. É conveniente tomá-lo na forma , então a equação será reescrita da seguinte forma:

. (15)

O lado direito desta equação é o trinômio quadrático de. Será um quadrado completo quando seu discriminante for igual a zero, ou seja,

, ou

Esta equação é chamada resolvente(ou seja, "permissivo"). É relativamente cúbico e a fórmula de Cardano permite-nos encontrar algumas das suas raízes. Quando o lado direito da equação (15) assume a forma

,

e a própria equação é reduzida a duas equações quadráticas:

.

Suas raízes fornecem todas as soluções da equação original.

Por exemplo, vamos resolver a equação

Aqui será mais conveniente usar não fórmulas prontas, mas a própria ideia da solução. Vamos reescrever a equação na forma

e adicione a expressão a ambos os lados para que um quadrado completo seja formado no lado esquerdo:

Agora vamos igualar o discriminante do lado direito da equação a zero:

ou, após simplificação,

Uma das raízes da equação resultante pode ser adivinhada classificando os divisores do termo livre: . Depois de substituir este valor obtemos a equação

onde . As raízes das equações quadráticas resultantes são E . É claro que, no caso geral, também podem ser obtidas raízes complexas.

Solução Descartes-Euler

por substituição é reduzido a uma forma “incompleta”

. (16)

As raízes , , , da equação “incompleta” do quarto grau (16) são iguais a uma das expressões

em que combinações de sinais são escolhidas para que a condição seja satisfeita

onde , e são as raízes da equação cúbica

.

Equações de alto grau

Solubilidade em radicais

A fórmula das raízes de uma equação quadrática é conhecida desde tempos imemoriais e no século XVI. Os algebristas italianos resolveram equações de terceiro e quarto graus em radicais. Assim, foi estabelecido que as raízes de qualquer equação que não ultrapasse o quarto grau são expressas através dos coeficientes da equação por uma fórmula que utiliza apenas quatro operações aritméticas (adição, subtração, multiplicação, divisão) e a extração de raízes de um grau. não excedendo o grau da equação. Além disso, todas as equações de um determinado grau () podem ser “servidas” por uma fórmula geral. Ao substituir nela os coeficientes da equação, obtemos todas as raízes - reais e complexas.

Depois disso, surgiu naturalmente a questão: existem fórmulas gerais semelhantes para resolver equações de quinto grau e superiores? A resposta foi encontrada pelo matemático norueguês Niels Henrik Abel no início do século XIX. Um pouco antes, esse resultado foi indicado, mas não suficientemente fundamentado, pelo italiano Paolo Ruffini. O teorema de Abel-Ruffini é assim:

A equação geral de potência em é insolúvel em radicais.

Assim, não existe uma fórmula geral aplicável a todas as equações de um determinado grau. No entanto, isso não significa que seja impossível resolver certos tipos particulares de equações de alto grau em radicais. O próprio Abel encontrou tal solução para uma ampla classe de equações de grau arbitrariamente alto - as chamadas equações abelianas. O teorema de Abel-Ruffini nem sequer exclui o fato de que as raízes de cada equação algébrica específica podem ser escritas através de seus coeficientes usando sinais de operações aritméticas e radicais, em particular, que qualquer número algébrico, ou seja, raiz de uma equação da forma

com coeficientes inteiros, podem ser expressos em radicais por meio de números racionais. Na verdade, tal expressão nem sempre existe. Isto decorre do teorema da solubilidade para equações algébricas, construído pelo notável matemático francês Evariste Galois em suas “Memórias sobre as condições para a solubilidade de equações em radicais” (1832; publicado em 1846).

Ressaltamos que em problemas aplicados estamos interessados ​​apenas nos valores aproximados das raízes da equação. Portanto, a sua solubilidade em radicais geralmente não desempenha um papel aqui. Existem métodos computacionais especiais que permitem encontrar as raízes de qualquer equação com qualquer precisão pré-determinada, não menos que a fornecida por cálculos usando fórmulas prontas.

Equações que são resolvidas

Embora as equações de graus elevados sejam geralmente insolúveis em radicais, as fórmulas de Cardano e Ferrari para equações de terceiro e quarto graus não funcionam na escola, nos livros didáticos de álgebra e nos vestibulares às vezes há problemas em que é necessário resolver equações superiores ao valor; segundo grau. Geralmente eles são especialmente selecionados para que as raízes das equações possam ser encontradas usando algumas técnicas elementares.

Uma dessas técnicas é baseada no teorema das raízes racionais de um polinômio:

Se uma fração irredutível é a raiz de um polinômio com coeficientes inteiros, então seu numerador é o divisor do termo livre e o denominador é o divisor do coeficiente líder.

Para provar isso, basta substituí-lo na equação e multiplicar a equação por . Nós temos

Todos os termos do lado esquerdo, exceto o último, são divisíveis por, portanto, é divisível por, e como e são números relativamente primos, é um divisor de. A prova para é semelhante.

Usando este teorema, você pode encontrar todas as raízes racionais de uma equação com coeficientes inteiros testando um número finito de “candidatos”. Por exemplo, para a equação

cujo coeficiente líder é 1, os “candidatos” serão divisores do número –2. Existem apenas quatro deles: 1, -1, 2 e –2. A verificação mostra que apenas um desses números é a raiz: .

Se uma raiz for encontrada, você poderá diminuir o grau da equação. De acordo com o teorema de Bezout,

o resto da divisão de um polinômio por um binômio é igual a, ou seja,

Segue diretamente do teorema que

Se for a raiz de um polinômio, então o polinômio é dividido por, ou seja, onde é um polinômio de grau 1 menor que.

Continuando nosso exemplo, retiramos do polinômio

fator . Para encontrar o quociente, você pode realizar a divisão com um canto:

Mas existe uma maneira mais fácil. Ficará claro a partir do exemplo:

Agora só falta resolver a equação quadrática . Suas raízes:

.

Método de coeficiente incerto

Se um polinômio com coeficientes inteiros não tiver raízes racionais, você pode tentar decompô-lo em fatores de grau inferior com coeficientes inteiros. Considere, por exemplo, a equação

Vamos imaginar o lado esquerdo como o produto de dois trinômios quadrados com coeficientes desconhecidos (indefinidos):

Vamos abrir os colchetes do lado direito e dar outros semelhantes:

Agora, igualando os coeficientes nas mesmas potências em ambas as partes, obtemos um sistema de equações

Uma tentativa de resolver este sistema de uma forma geral nos levaria de volta à resolução da equação original. Mas raízes inteiras, se existirem, não são difíceis de encontrar por seleção. Sem perda de generalidade, podemos assumir que, então a última equação mostra que apenas duas opções precisam ser consideradas:, e. Substituindo esses pares de valores nas demais equações, estamos convencidos de que a primeira delas dá a expansão desejada: . Esta solução é chamada método de coeficientes indeterminados .

Se a equação tiver a forma , onde e são polinômios, então a substituição reduz sua solução à solução de duas equações de graus inferiores: e .

Equações recíprocas

Uma equação algébrica recíproca é uma equação de grau par da forma

em que os coeficientes, igualmente espaçados das extremidades, são iguais a: , etc. Tal equação é reduzida a uma equação de metade do grau dividindo por e depois substituindo .

Considere, por exemplo, a equação

Dividindo por (o que é legal, pois não é uma raiz), obtemos

.

notar que

.

Portanto, a quantidade satisfaz a equação quadrática

,

resolvendo o que pode ser encontrado a partir da equação .

Ao resolver equações recíprocas de graus superiores, eles geralmente usam o fato de que a expressão para qualquer pode ser representada como um polinômio de grau em.

Equações algébricas racionais

Racional uma equação algébrica é uma equação da forma

Conjunto de valores admissíveis da equação algébrica racional (17)

é dado pela condição, ou seja,,,, ..., onde,,, ..., são as raízes do polinômio.

O método para resolver a equação (17) é o seguinte. Resolvendo a equação

cujas raízes denotamos por

.

Comparamos os conjuntos de raízes dos polinômios e. Se nenhuma raiz de um polinômio for raiz de um polinômio, então todas as raízes do polinômio serão raízes da equação (17). Se qualquer raiz de um polinômio é a raiz de um polinômio, então é necessário comparar a partir da multiplicidade: se a multiplicidade da raiz do polinômio for maior que a multiplicidade da raiz do polinômio, então esta raiz é uma raiz (17) com multiplicidade igual à diferença entre as multiplicidades das raízes do dividendo e do divisor; caso contrário, a raiz do polinômio não é a raiz da equação racional (17).

EXEMPLO Vamos encontrar as raízes reais da equação

Onde , .

O polinômio tem duas raízes reais (ambas simples):

Um polinômio tem uma raiz simples. Portanto, a equação tem uma raiz real.

Resolvendo a mesma equação no conjunto dos números complexos, descobrimos que a equação possui, além da raiz real indicada, duas raízes conjugadas complexas:

Equações irracionais

Uma equação contendo uma incógnita (ou uma expressão algébrica racional para uma incógnita) sob o sinal radical é chamada equação irracional. Na matemática elementar, as soluções para equações irracionais são encontradas no conjunto dos números reais.

Qualquer equação irracional pode ser reduzida a uma equação algébrica racional usando operações algébricas elementares (multiplicação, divisão, elevação de ambos os lados da equação a uma potência inteira). Deve-se ter em mente que a equação algébrica racional resultante pode revelar-se não equivalente à equação irracional original, ou seja, pode conter raízes “extras” que não serão raízes da equação irracional original. Portanto, tendo encontrado as raízes da equação algébrica racional resultante, é necessário verificar se todas as raízes da equação racional serão raízes da equação irracional.

No caso geral, é difícil indicar qualquer método universal para resolver qualquer equação irracional, pois é desejável que, como resultado das transformações da equação irracional original, o resultado não seja apenas alguma equação algébrica racional, entre as raízes de onde haverá as raízes da equação irracional dada, mas uma equação algébrica racional formada a partir de polinômios do menor grau possível. O desejo de obter aquela equação algébrica racional formada a partir de polinômios do menor grau possível é bastante natural, pois encontrar todas as raízes de uma equação algébrica racional em si pode ser uma tarefa bastante difícil, que só podemos resolver completamente num número muito limitado de casos.

Vamos apresentar alguns métodos padrão usados ​​com mais frequência para resolver equações algébricas irracionais.

1) Um dos métodos mais simples para resolver equações irracionais é o método de eliminação de radicais elevando sucessivamente ambos os lados da equação à potência natural apropriada. Deve-se ter em mente que quando ambos os lados da equação são elevados a uma potência ímpar, a equação resultante é equivalente à original, e quando ambos os lados da equação são elevados a uma potência par, a equação resultante será, geralmente falando, não seja equivalente à equação original. Isso pode ser facilmente verificado elevando ambos os lados da equação

em qualquer grau par. O resultado desta operação é a equação

cujo conjunto solução é uma união de conjuntos solução:

E .

No entanto, apesar desta desvantagem, é o procedimento de elevar ambos os lados da equação a alguma potência (muitas vezes par) que é o procedimento mais comum para reduzir uma equação irracional a uma equação racional.

onde , , são alguns polinômios.

Devido à definição da operação de extração de raiz no conjunto dos números reais, os valores permitidos da incógnita são determinados pelas condições

Ao elevar ao quadrado ambos os lados da equação (18), obtemos a equação

Depois de quadratura novamente, a equação se torna uma equação algébrica

Como ambos os lados da equação (18) foram elevados ao quadrado, pode acontecer que nem todas as raízes da equação (19) sejam soluções para a equação original, sendo necessário verificar as raízes;

2) Outro exemplo de resolução de equações irracionais é o método de introdução de novas incógnitas, em relação às quais é obtida uma equação irracional mais simples ou uma equação racional.

Exemplo 2. Resolva uma equação irracional

.

O conjunto de valores válidos para esta equação é:

Colocando , após a substituição obtemos a equação

ou equação equivalente

que pode ser considerada como uma equação quadrática em relação a. Resolvendo esta equação, obtemos

Portanto, o conjunto solução da equação irracional original é a união dos conjuntos solução das duas equações a seguir:

, .

Elevando ambos os lados de cada uma dessas equações a um cubo, obtemos duas equações algébricas racionais:

, .

Resolvendo estas equações, descobrimos que esta equação irracional tem uma única raiz.

Concluindo, notamos que ao resolver equações irracionais, não se deve começar a resolver a equação elevando ambos os lados das equações a uma potência natural, tentando reduzir a solução da equação irracional à solução de uma equação algébrica racional. Primeiro precisamos ver se é possível fazer alguma transformação idêntica da equação que possa simplificar significativamente a sua solução.

. (20)

O conjunto de valores válidos para esta equação é: . Vamos fazer as seguintes transformações desta equação:

.

,

a equação não terá soluções;

quando a equação pode ser escrita como

.

Quando esta equação não tem soluções, pois para qualquer , pertencente ao conjunto de valores admissíveis da equação, a expressão do lado esquerdo da equação é positiva.

Quando a equação tem solução

.

Levando em conta que o conjunto de soluções admissíveis para a equação é determinado pela condição, obtemos finalmente:

Ao resolver a equação irracional (20) haverá

.

Para todos os outros valores, a equação não tem soluções, ou seja, o conjunto das suas soluções é um conjunto vazio.

Equações contendo uma incógnita sob o sinal de valor absoluto

Equações contendo uma incógnita com sinal de valor absoluto podem ser reduzidas a equações sem sinal de valor absoluto usando a definição de módulo. Então, por exemplo, resolvendo a equação

(21)

reduz-se a resolver duas equações com condições adicionais.

1) Se , então a equação (21) é reduzida à forma

. (22)

Soluções para esta equação: , . A condição é satisfeita pela segunda raiz da equação quadrática (22), e o número 3 é a raiz da equação (21).

2) Se , a equação (21) é reduzida à forma

.

As raízes desta equação são os números E . Primeira raiz não satisfaz a condição e, portanto, não é uma solução para esta equação (21).

Assim, as soluções da equação (21) serão os números 3 e .

Observe que os coeficientes de uma equação contendo uma incógnita sob o sinal de valor absoluto podem ser selecionados de tal forma que as soluções da equação serão todos os valores da incógnita pertencentes a um determinado intervalo do eixo numérico. Por exemplo, vamos resolver a equação

. (23)

Vejamos o eixo numérico Boi e marque nele os pontos 0 e 3 (zeros de funções sob o sinal de valor absoluto). Esses pontos dividirão a reta numérica em três intervalos (Fig. 1):

1) Quando a equação (23) é reduzida à forma

No intervalo, a última equação não tem solução.

Da mesma forma, quando a equação (23) é reduzida à forma

e no intervalo não tem soluções.

2) Quando a equação (23) é reduzida à forma

,

isto é, transforma-se em identidade. Portanto, qualquer valor é uma solução da equação (23).

Equações transcendentais

Uma equação que não pode ser reduzida a uma equação algébrica usando transformações algébricas é chamada equação transcendental ).

As equações transcendentais mais simples são equações exponenciais, logarítmicas e trigonométricas.

Equações exponenciais

Equação exponencialé uma equação na qual a incógnita está incluída apenas nos expoentes para algumas bases constantes.

A equação exponencial mais simples, cuja solução se reduz à solução de uma equação algébrica, é uma equação da forma

onde e são alguns números positivos. A equação exponencial (24) é equivalente à equação algébrica

.

No caso mais simples, quando , a equação exponencial (24) tem uma solução

O conjunto de soluções para uma equação exponencial da forma

onde está algum polinômio, encontrado como segue.

Uma nova variável é introduzida e a equação (25) é resolvida como algébrica em relação à incógnita. Depois disso, a resolução da equação original (25) se reduz à resolução das equações exponenciais mais simples da forma (24).

Exemplo 1. Resolva a equação

Escrevendo a equação na forma

e introduzindo uma nova variável, obtemos uma equação cúbica em relação à variável:

É fácil verificar que esta equação cúbica possui uma única raiz racional e duas raízes irracionais: e .

Assim, resolver a equação original se reduz a resolver as equações exponenciais mais simples:

O último listado não possui equações de solução. O conjunto de soluções para a primeira e segunda equações:

Algumas das equações indicadoras mais simples:

1) Equação da forma

.

2) Equação da forma

substituição se reduz a uma equação quadrática

.

3) Equação da forma

substituição se reduz a uma equação quadrática

.

Equações logarítmicas

Logarítmico Uma equação é uma equação em que a incógnita aparece como um argumento para uma função logarítmica.

A equação logarítmica mais simples é uma equação da forma

, (26)

onde está algum número positivo diferente de um, é qualquer número real. A equação logarítmica (26) é equivalente à equação algébrica

No caso mais simples, quando , a equação logarítmica (26) tem uma solução

O conjunto de soluções para uma equação logarítmica da forma , onde está algum polinômio da incógnita especificada, é encontrado como segue.

Uma nova variável é introduzida e a equação (25) é resolvida como uma equação algébrica para. Depois disso, as equações logarítmicas mais simples da forma (25) são resolvidas.

Exemplo 1. Resolva a equação

Em relação à incógnita, esta equação é quadrática:

.

As raízes desta equação são: , .

Resolvendo equações logarítmicas

obtemos soluções para a equação logarítmica (27): , .

Em alguns casos, para reduzir a solução de uma equação logarítmica à solução sequencial de equações algébricas e logarítmicas simples, é necessário primeiro fazer transformações adequadas dos logaritmos incluídos na equação. Tais transformações podem ser a transformação da soma dos logaritmos de duas quantidades no logaritmo do produto dessas quantidades, a transição de um logaritmo com uma base para um logaritmo com outra base, etc.

Exemplo 2. Resolva a equação

Para reduzir a solução desta equação a uma solução sequencial de equações algébricas e logarítmicas simples, é necessário antes de tudo reduzir todos os logaritmos a uma base (aqui, por exemplo, à base 2). Para fazer isso, usamos a fórmula

,

em virtude do qual . Substituindo um valor igual na equação (28), obtemos a equação

Substituição esta equação se reduz a uma equação quadrática para a incógnita:

.

As raízes desta equação quadrática são: , . Resolvemos equações e :

,

Exemplo 3. Resolva a equação

Convertendo a diferença entre os logaritmos de duas quantidades no logaritmo do quociente dessas quantidades:

reduzimos esta equação à equação logarítmica mais simples

.

Conclusão

A matemática, como qualquer outra ciência, não pára junto com o desenvolvimento da sociedade, as opiniões das pessoas mudam, surgem novos pensamentos e ideias. E o século XX não foi exceção nesse sentido. O advento dos computadores fez ajustes nos métodos de resolução de equações e os tornou muito mais fáceis. Mas nem sempre um computador pode estar disponível (exame, teste), então é necessário conhecer pelo menos as formas mais importantes de resolver equações. O uso de equações na vida cotidiana é raro. Eles encontraram aplicação em muitos setores da economia e em quase todas as tecnologias mais recentes.

Neste trabalho não foram apresentados todos os métodos de resolução de equações e nem mesmo todos os seus tipos, mas apenas os mais básicos. Espero que meu ensaio possa servir como um bom material de referência na resolução de certas equações. Concluindo, gostaria de ressaltar que ao escrever este ensaio não me propus o objetivo de mostrar todos os tipos de equações, mas apresentei apenas o material que possuía.

Lista de literatura usada

Cabeça. Ed. M. D. Aksenova. Enciclopédia para crianças. Volume 11. Matemática. – M.: Avanta+, 1998. – 688 p.

Tsypkin A. G. Ed. S. A. Stepanova. Manual de matemática para o ensino médio. – M.: Nauka, 1980.- 400 p.

G. Korn e T. Korn. Manual de matemática para cientistas e engenheiros. – M.: Nauka, 1970.- 720 p.

) Sob aceitável Entende-se aqueles valores numéricos das letras para os quais todas as operações realizadas nas letras incluídas na igualdade são viáveis. Por exemplo, os valores aceitáveis ​​​​das letras incluídas na igualdade

será o seguinte; Para ; para para

) Se a e b tiverem sinais diferentes, então.

) O caso é semelhante ao discutido.

) Sob transformações algébricas equações

Entenda as seguintes transformações:

1) adicionar a mesma expressão algébrica a ambos os lados da equação;

2) multiplicar ambos os lados da equação pela mesma expressão algébrica;

3) elevar ambos os lados da equação a uma potência racional.

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Depois de termos estudado o conceito de igualdades, nomeadamente um dos seus tipos - igualdades numéricas, podemos passar para outro tipo importante - equações. No âmbito deste material, explicaremos o que é uma equação e sua raiz, formularemos definições básicas e daremos vários exemplos de equações e como encontrar suas raízes.

Conceito de equação

Normalmente, o conceito de equação é ensinado logo no início de um curso escolar de álgebra. Então é definido assim:

Definição 1

Equação chamada de igualdade com um número desconhecido que precisa ser encontrado.

É costume denotar incógnitas em letras latinas minúsculas, por exemplo, t, r, m, etc., mas x, y, z são usados ​​​​com mais frequência. Ou seja, a equação é determinada pela forma de seu registro, ou seja, a igualdade só será uma equação quando for reduzida a uma determinada forma - deve conter uma letra, o valor que deve ser encontrado.

Vamos dar alguns exemplos das equações mais simples. Podem ser igualdades da forma x = 5, y = 6, etc., bem como aquelas que incluem operações aritméticas, por exemplo, x + 7 = 38, z − 4 = 2, 8 t = 4, 6: x = 3.

Depois de estudado o conceito de colchetes, surge o conceito de equações com colchetes. Estes incluem 7 · (x - 1) = 19, x + 6 · (x + 6 · (x - 8)) = 3, etc. A letra que precisa ser encontrada pode aparecer mais de uma vez, mas várias vezes, como , por exemplo, na equação x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 . Além disso, as incógnitas podem estar localizadas não apenas à esquerda, mas também à direita ou em ambas as partes ao mesmo tempo, por exemplo, x (8 + 1) − 7 = 8, 3 − 3 = z + 3 ou 8 x − 9 = 2 (x + 17) .

Além disso, depois que os alunos se familiarizam com os conceitos de inteiros, reais, racionais, números naturais, bem como logaritmos, raízes e potências, surgem novas equações que incluem todos esses objetos. Dedicamos um artigo separado a exemplos de tais expressões.

No currículo do 7º ano, o conceito de variáveis ​​aparece pela primeira vez. São letras que podem assumir diferentes significados (para mais detalhes, veja o artigo sobre expressões numéricas, alfabéticas e variáveis). Com base neste conceito, podemos redefinir a equação:

Definição 2

A equaçãoé uma igualdade envolvendo uma variável cujo valor precisa ser calculado.

Ou seja, por exemplo, a expressão x + 3 = 6 x + 7 é uma equação com a variável x, e 3 y − 1 + y = 0 é uma equação com a variável y.

Uma equação pode ter mais de uma variável, mas duas ou mais. São chamadas, respectivamente, de equações com duas, três variáveis, etc. Vamos anotar a definição:

Definição 3

Equações com duas (três, quatro ou mais) variáveis ​​são equações que incluem um número correspondente de incógnitas.

Por exemplo, uma igualdade da forma 3, 7 · x + 0, 6 = 1 é uma equação com uma variável x, e x − z = 5 é uma equação com duas variáveis ​​x e z. Um exemplo de equação com três variáveis ​​seria x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26.

Raiz da equação

Quando falamos em equação, surge imediatamente a necessidade de definir o conceito de sua raiz. Vamos tentar explicar o que isso significa.

Exemplo 1

Recebemos uma certa equação que inclui uma variável. Se substituirmos a letra desconhecida por um número, a equação se torna uma igualdade numérica - verdadeira ou falsa. Então, se na equação a + 1 = 5 substituirmos a letra pelo número 2, então a igualdade se tornará falsa, e se for 4, então a igualdade correta será 4 + 1 = 5.

Estamos mais interessados ​​​​exatamente naqueles valores com os quais a variável se transformará em uma verdadeira igualdade. Eles são chamados de raízes ou soluções. Vamos escrever a definição.

Definição 4

Raiz da equação Eles chamam o valor de uma variável que transforma uma determinada equação em uma verdadeira igualdade.

A raiz também pode ser chamada de solução ou vice-versa - ambos os conceitos significam a mesma coisa.

Exemplo 2

Vejamos um exemplo para esclarecer esta definição. Acima demos a equação a + 1 = 5. Pela definição, a raiz neste caso será 4, pois quando substituída em vez de uma letra dá a igualdade numérica correta, e dois não será uma solução, pois corresponde à igualdade incorreta 2 + 1 = 5.

Quantas raízes uma equação pode ter? Toda equação tem raiz? Vamos responder a essas perguntas.

Também existem equações que não possuem uma única raiz. Um exemplo seria 0 x = 5. Podemos substituir nele um número infinito de números diferentes, mas nenhum deles o transformará em uma igualdade verdadeira, pois multiplicar por 0 sempre dá 0.

Existem também equações que possuem várias raízes. Eles podem ter um número finito ou infinito de raízes.

Exemplo 3

Assim, na equação x − 2 = 4 há apenas uma raiz - seis, em x 2 = 9 duas raízes - três e menos três, em x · (x − 1) · (x − 2) = 0 três raízes - zero, um e dois, existem infinitas raízes na equação x=x.

Agora vamos explicar como escrever corretamente as raízes da equação. Se não estiverem, então escrevemos: “a equação não tem raízes”. Neste caso, você também pode indicar o sinal do conjunto vazio ∅. Se houver raízes, então as escrevemos separadas por vírgulas ou as indicamos como elementos de um conjunto, colocando-as entre chaves. Então, se qualquer equação tiver três raízes - 2, 1 e 5, então escrevemos - 2, 1, 5 ou (- 2, 1, 5).

É permitido escrever raízes na forma de igualdades simples. Portanto, se a incógnita na equação for denotada pela letra y e as raízes forem 2 e 7, então escrevemos y = 2 e y = 7. Às vezes, subscritos são adicionados às letras, por exemplo, x 1 = 3, x 2 = 5. Desta forma apontamos para os números das raízes. Se a equação tiver um número infinito de soluções, então escrevemos a resposta como um intervalo numérico ou usamos a notação geralmente aceita: o conjunto dos números naturais é denotado N, inteiros - Z, números reais - R. Digamos que, se precisarmos escrever que a solução da equação será qualquer número inteiro, então escrevemos que x ∈ Z, e se for qualquer número real de um a nove, então y ∈ 1, 9.

Quando uma equação tem duas, três raízes ou mais, então, via de regra, não falamos de raízes, mas de soluções da equação. Vamos formular a definição de uma solução para uma equação com diversas variáveis.

Definição 5

A solução para uma equação com duas, três ou mais variáveis ​​são dois, três ou mais valores das variáveis ​​que transformam a equação dada em uma igualdade numérica correta.

Vamos explicar a definição com exemplos.

Exemplo 4

Digamos que temos a expressão x + y = 7, que é uma equação com duas variáveis. Vamos substituir um em vez do primeiro e dois em vez do segundo. Obteremos uma igualdade incorreta, o que significa que este par de valores não será uma solução para esta equação. Se pegarmos o par 3 e 4, então a igualdade se torna verdadeira, o que significa que encontramos uma solução.

Tais equações também podem não ter raízes ou ter um número infinito delas. Se precisarmos anotar dois, três, quatro ou mais valores, então os escrevemos separados por vírgulas entre parênteses. Ou seja, no exemplo acima a resposta será semelhante a (3, 4).

Na prática, na maioria das vezes você precisa lidar com equações que contêm uma variável. Consideraremos detalhadamente o algoritmo para resolvê-los no artigo dedicado à resolução de equações.

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