O raio de uma bola (indicado como r ou R) é o segmento de linha que conecta o centro da bola a qualquer ponto de sua superfície. Tal como acontece com um círculo, o raio de uma bola é uma quantidade importante que é necessária para encontrar o diâmetro, circunferência, área de superfície e/ou volume da bola. Mas o raio da bola também pode ser encontrado a partir de um determinado valor do diâmetro, circunferência e outras grandezas. Use uma fórmula na qual você possa substituir esses valores.

Passos

Fórmulas para calcular o raio

Calcule o raio a partir do diâmetro. O raio é metade do diâmetro, então use a fórmula d = D/2. Esta é a mesma fórmula usada para calcular o raio e o diâmetro de um círculo.

• Por exemplo, dada uma bola com um diâmetro de 16 cm. O raio desta bola: r = 16/2 = 8 cm. Se o diâmetro é 42 cm, então o raio é 21 cm (42/2=21).

1. Calcule o raio a partir da circunferência do círculo. Use a fórmula: r = C/2π. Como a circunferência é C = πD = 2πr, divida a fórmula para calcular a circunferência por 2π e obtenha a fórmula para encontrar o raio.

   • Por exemplo, dada uma bola com uma circunferência de 20 cm. O raio dessa bola é: r = 20/2π = 3,183 cm.
   • A mesma fórmula é usada para calcular o raio e a circunferência de um círculo.

2. Calcule o raio a partir do volume da esfera. Use a fórmula: r = ((V/π)(3/4)) 1/3. O volume da bola é calculado pela fórmula V = (4/3)πr 3 . Separando r em um lado da equação, você obtém a fórmula ((V / π) (3/4)) 3 \u003d r, ou seja, para calcular o raio, divida o volume da bola por π, multiplique o resultado por 3/4, e eleve o resultado à potência de 1/3 (ou tire a raiz cúbica).

   • Por exemplo, dada uma bola com um volume de 100 cm 3. O raio desta esfera é calculado da seguinte forma:
     • ((V/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((100/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((31,83)(3/4)) 1/3 = r
     • (23,87) 1/3 = r
     • 2,88 centímetros= r

3. Calcule o raio a partir da área da superfície. Use a fórmula: r = √(A/(4 π)). A área da superfície da bola é calculada pela fórmula A \u003d 4πr 2. Isolando r em um lado da equação, você obtém a fórmula √(A/(4π)) = r, ou seja, para calcular o raio, você precisa tirar a raiz quadrada da área da superfície dividida por 4π. Em vez de tirar a raiz, a expressão (A/(4π)) pode ser elevada à potência de 1/2.

   • Por exemplo, dada uma esfera com uma área de superfície de 1200 cm 3 . O raio desta esfera é calculado da seguinte forma:
     • √(A/(4π)) = r
     • √(1200/(4π)) = r
     • √(300/(π)) = r
     • √(95,49) = r
     • 9,77 centímetros= r

   Definição de grandezas básicas

   1. Lembre-se das quantidades básicas que são relevantes para calcular o raio da bola. O raio de uma bola é um segmento que liga o centro da bola a qualquer ponto de sua superfície. O raio de uma esfera pode ser calculado a partir de determinados valores de diâmetro, circunferência, volume ou área de superfície.

      Use os valores dessas quantidades para encontrar o raio. O raio pode ser calculado a partir de determinados valores de diâmetro, circunferência, volume e área de superfície. Além disso, esses valores podem ser encontrados a partir de um determinado valor do raio. Para calcular o raio, basta converter as fórmulas para encontrar os valores fornecidos. Abaixo estão as fórmulas (em que há um raio) para calcular o diâmetro, circunferência, volume e área de superfície.

   Encontrando o raio a partir da distância entre dois pontos

   1. Encontre as coordenadas (x, y, z) do centro da bola. O raio de uma esfera é igual à distância entre seu centro e qualquer ponto situado na superfície da esfera. Se as coordenadas do centro da bola e de qualquer ponto situado em sua superfície são conhecidas, você pode encontrar o raio da bola usando uma fórmula especial calculando a distância entre dois pontos. Primeiro, encontre as coordenadas do centro da bola. Tenha em mente que, como a bola é uma figura tridimensional, o ponto terá três coordenadas (x, y, z), e não duas (x, y).

      • Considere um exemplo. Dada uma bola centrada com coordenadas (4,-1,12) . Use essas coordenadas para encontrar o raio da bola.

   2. Encontre as coordenadas de um ponto na superfície da esfera. Agora você precisa encontrar as coordenadas (x, y, z) algum ponto na superfície da esfera. Como todos os pontos sobre a superfície da bola estão localizados à mesma distância do centro da bola, qualquer ponto pode ser escolhido para calcular o raio da bola.

      • Em nosso exemplo, vamos supor que algum ponto sobre a superfície da bola tenha coordenadas (3,3,0) . Calculando a distância entre este ponto e o centro da bola, você encontrará o raio.

   3. Calcule o raio usando a fórmula d \u003d √ ((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2). Tendo aprendido as coordenadas do centro da bola e do ponto em sua superfície, você pode encontrar a distância entre eles, que é igual ao raio da bola. A distância entre dois pontos é calculada pela fórmula d \u003d √ ((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2), onde d é a distância entre o pontos, (x 1, y 1 ,z 1) são as coordenadas do centro da bola, (x 2 ,y 2 ,z 2) são as coordenadas de um ponto situado na superfície da bola.

      • Neste exemplo, em vez de (x 1, y 1, z 1), substitua (4, -1,12), e em vez de (x 2, y 2, z 2) substitua (3,3,0):
        • d \u003d √ ((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2)
        • d = √((3 - 4) 2 + (3 - -1) 2 + (0 - 12) 2)
        • d = √((-1) 2 + (4) 2 + (-12) 2)
        • d = √(1 + 16 + 144)
        • d = √(161)
        • d=12,69. Este é o raio desejado da bola.

   4. Tenha em mente que em casos gerais r = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2). Todos os pontos situados na superfície da bola estão localizados à mesma distância do centro da bola. Se na fórmula para encontrar a distância entre dois pontos "d" for substituído por "r", você obtém uma fórmula para calcular o raio da bola a partir das coordenadas conhecidas (x 1, y 1, z 1) do centro de a bola e as coordenadas (x 2, y 2, z 2 ) qualquer ponto situado na superfície da esfera.

      • Eleve ao quadrado ambos os lados desta equação e você terá r 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 . Observe que esta equação corresponde à equação de uma esfera r 2 = x 2 + y 2 + z 2 centrada em (0,0,0).
   • Não se esqueça da ordem em que as operações matemáticas são executadas. Se você não se lembrar dessa ordem e sua calculadora souber trabalhar com parênteses, use-os.
   • Este artigo fala sobre o cálculo do raio de uma bola. Mas se você está tendo problemas para aprender geometria, é melhor começar calculando os valores associados a uma bola em termos de um valor de raio conhecido.
   • π (Pi) é a letra do alfabeto grego, que significa uma constante igual à razão entre o diâmetro de um círculo e o comprimento de sua circunferência. Pi é um número irracional que não é escrito como uma razão de números reais. Existem muitas aproximações, por exemplo, a proporção 333/106 permitirá encontrar o número Pi com uma precisão de até quatro dígitos após o ponto decimal. Como regra, eles usam o valor aproximado de pi, que é 3,14.

Teorema do volume de uma bola O volume de uma bola de raio R é igual a 4/3 πR 3 R x B O C M A Demonstração Considere uma bola de raio R centrada no ponto O e escolha o eixo Ox arbitrariamente. A seção da bola por um plano perpendicular ao eixo Ox e passando pelo ponto M deste eixo é um círculo centrado no ponto M. Vamos denotar o raio desse círculo como R, e sua área como S(x) , onde x é a abcissa do ponto M. Expresse S(x) passando por x e R. Do triângulo retângulo OMC encontramos R = OC²-OM² = R²-x² Como S (x) = p r ², então S (x ) = p (R²-x²). Observe que esta fórmula é verdadeira para qualquer posição do ponto M no diâmetro AB, ou seja, para todo x satisfazendo a condição –R x R. Aplicando a fórmula básica para calcular os volumes de corpos com a = –R, b = R , obtemos: R R R R R V = p (R²-x²) dx = p R² dxp - x²dx = p R²x - px³/3 = 4/3 pR³. -R -R -R -R -R Teorema provado x

Volumes de um segmento esférico, camada esférica e setor esférico A) Um segmento esférico é uma parte de uma bola cortada por algum plano. Na Figura 1, o plano secante α, passando por t.B, divide a bola em 2 segmentos esféricos. O círculo obtido na seção é chamado de base de cada um desses segmentos, e os comprimentos dos segmentos AB e BC de diâmetro AC, perpendiculares ao plano secante, são chamados de alturas dos segmentos. x АВ=h α О А С Segmento esférico Fig.1

Se o raio da bola é igual a R, e a altura do segmento é igual a h (na Fig. 1 h =AB), então o volume V do segmento esférico é calculado pela fórmula: V = ph² (R -1/3h). B) Uma camada esférica é uma parte de uma esfera encerrada entre 2 planos de corte paralelos (Fig. 2). Os círculos obtidos na seção da bola por esses planos são chamados de bases da camada esférica, e a distância entre os planos é chamada de altura da camada esférica. O volume da camada esférica pode ser calculado como a diferença entre os volumes de 2 segmentos esféricos. A B C x Fig.2 Camada esférica

C) Um setor esférico é um corpo obtido pela rotação de um setor circular com um ângulo menor que 90 graus em torno de uma linha reta contendo um dos raios que limitam o setor circular (Fig. 3). O setor esférico consiste em um segmento esférico e um cone. Se o raio da bola é igual a R, e a altura do segmento esférico é igual a h, então o volume V do setor esférico é calculado pela fórmula: V = 2/3 pR² h h O R r Fig.3 Esférico setor

Área de uma esfera Ao contrário da superfície lateral de um cilindro ou cone, uma esfera não pode ser desdobrada em um plano e, portanto, o método de determinação e cálculo da área de superfície usando uma varredura não é adequado para ela. Para determinar a área da esfera, usamos o conceito de poliedro circunscrito. Seja um poliedro circunscrito próximo a uma esfera com n faces. Aumentaremos n indefinidamente de tal forma que o maior tamanho de cada face do poliedro descrito tenda a zero. Para a área da esfera, tomamos o limite da sequência de áreas de superfícies de poliedros circunscritos ao redor da esfera, pois o maior tamanho de cada face tende a zero => ">

onde V é o desejado volume de bola, π - 3,14 , R - raio.

Assim, com um raio de 10 centímetros volume de bolaé igual a:

V

3,14×103

= 4186,7

centímetros cúbicos.

Na geometria bolaé definido como um determinado corpo, que é uma coleção de todos os pontos no espaço que estão localizados a partir do centro a uma distância não superior a um dado, chamado raio da bola. A superfície de uma esfera é chamada de esfera e é formada pela rotação de um semicírculo em torno de seu diâmetro, que permanece imóvel.

Este corpo geométrico é muito frequentemente encontrado por engenheiros de projeto e arquitetos, que muitas vezes precisam calcule o volume de uma esfera. Por exemplo, no design da suspensão dianteira da grande maioria dos carros modernos, são usados ​​os chamados rolamentos de esferas, nos quais, como você pode adivinhar pelo próprio nome, as esferas são um dos principais elementos. Com a ajuda deles, os cubos das rodas e alavancas de direção são conectados. De quão certo será calculado seu volume depende em grande parte não apenas da durabilidade dessas unidades e da correção de seu trabalho, mas também da segurança no trânsito.

Na tecnologia, peças como rolamentos de esferas são amplamente utilizadas, com a qual os eixos são fixados nas partes fixas de várias unidades e conjuntos e sua rotação é garantida. Deve-se notar que, ao calculá-los, os designers precisam encontrar o volume de uma esfera(ou melhor, bolas colocadas em uma gaiola) com alto grau de precisão. Quanto à produção de esferas metálicas para rolamentos, são feitas a partir de fios metálicos por meio de um complexo processo tecnológico que inclui as etapas de conformação, têmpera, desbaste, lapidação de acabamento e limpeza. A propósito, as bolas incluídas no design de todas as canetas esferográficas são feitas usando exatamente a mesma tecnologia.

Muitas vezes, as bolas também são usadas na arquitetura e, na maioria das vezes, são elementos decorativos de edifícios e outras estruturas. Na maioria dos casos, são feitos de granito, o que muitas vezes exige muito trabalho manual. Obviamente, não é necessário observar uma precisão tão alta na fabricação dessas bolas quanto as usadas em várias unidades e mecanismos.

Um jogo tão interessante e popular como o bilhar é impensável sem bolas. Para a sua produção, são utilizados vários materiais (osso, pedra, metal, plásticos) e vários processos tecnológicos. Um dos principais requisitos para as bolas de bilhar é sua alta resistência e capacidade de suportar altas cargas mecânicas (principalmente choque). Além disso, sua superfície deve ser uma esfera exata para garantir um rolamento suave e uniforme na superfície das mesas de bilhar.

Finalmente, nem um único ano novo ou árvore de Natal pode prescindir de corpos geométricos como bolas. Essas decorações são feitas na maioria dos casos de vidro por sopro, e em sua produção a maior atenção é dada não à precisão dimensional, mas à estética dos produtos. Ao mesmo tempo, o processo tecnológico é quase totalmente automatizado e as bolas de Natal são embaladas apenas manualmente.

Fórmulas

VOLUME DO CILINDRO

VOLUME DO CONE

VOLUME DO CONE TRUNCADO

VOLUME DA BOLA

V=1/3∏H(R2+r2+Rr)

V=4/3 ∙ ∏R 3

Fórmulas para calcular o volume: esfera, setor esférico, camada esférica, setor esférico e área da esfera

• A área de uma esfera é:

S=4 π R 2 ,

onde R é o raio da esfera

• O volume da bola é:

V = 1 ⅓ π R 3 = 4/3 π R 3

onde R é o raio da bola

• O volume do segmento esférico é igual a:

V = π h 2 (R - ⅓ h) ,

onde R é o raio da bola e h é a altura do segmento

• O volume da camada esférica é igual a:

V = V 1 – V 2 ,

onde V 1 é o volume de um segmento esférico e V 2 é o volume do segundo segmento esférico

• O volume do setor esférico é igual a:

V = ⅔ π R 2 h ,

onde R é o raio da bola e h é a altura do segmento da bola

Ditado teórico

Opção 1

Preencha as palavras que faltam no texto .

• Qualquer seção de uma esfera por um plano é um círculo. O centro deste círculo é …………………… a perpendicular baixada do centro da bola ao plano de corte.

2. O centro da bola é o seu ………………….……. simetria.

3. A seção axial da esfera é ………………………….

4. As linhas de intersecção das duas esferas são…………………

5. Planos equidistantes do centro interceptam a bola em ……………… círculos.

6. Perto de qualquer pirâmide regular, uma esfera pode ser descrita, e seu centro está em ……………….. da pirâmide.

base

Centro

um círculo

círculo

igual

altura

Ditado teórico

opção 2

plano

círculo

altura

perpendicular

tocar

altura

Cartão nº 1

Um plano perpendicular ao diâmetro da esfera divide suas partes 3cm e 9cm. Encontre o volume da esfera?

288 P cm³

Cartão #2

Duas esferas iguais estão localizadas de modo que o centro de uma esteja na superfície da outra. Como o volume da parte comum das bolas está relacionado ao volume da bola inteira?

5 / 16

Cartão nº 3

Que parte do volume da esfera é o volume do segmento esférico, cuja altura é igual a 0,1 do diâmetro da bola, igual a 20 cm?

Tarefa nº 1

O volume de uma bola de raio R é igual a V. Encontre: o volume de uma bola de raio: a) 2 R b) 0,5 R

Tarefa nº 2

Qual é o volume do setor esférico se o raio do círculo base é 60 cm e o raio da bola é 75 cm.

ESCREVA RÁPIDA E BREVE RESPOSTAS PARA AS PERGUNTAS:

• Quantas esferas podem ser mantidas:

a) pelo mesmo círculo;

b) por um círculo e um ponto não pertencente ao seu plano?

2. Quantas esferas podem ser desenhadas através de quatro pontos que são vértices:

a) um quadrado

b) um trapézio isósceles;

3. É verdade que um grande círculo passa por quaisquer dois pontos da esfera?

4. Através de quais dois pontos da esfera podem ser desenhados vários círculos máximos?

5. Como devem ser localizados dois círculos iguais para que uma esfera de mesmo raio possa passar por eles?

infinitamente

1

infinitamente

infinitamente

Nenhum

diametralmente oposto

ter um centro comum

Ditado teórico

opção 2

Preencha as palavras que faltam no texto.

• Qualquer plano diametral da bola é sua ………………… simetria.

2. A seção axial da esfera é………………..

3. O centro da bola descrita perto da pirâmide regular está em …………………. pirâmides.

4. O raio da esfera traçada ao ponto de contato entre a esfera e o plano ………………………………………..ao plano tangente.

5. O plano tangente tem apenas um ponto comum com a bola …………………….

6. Uma esfera pode ser inscrita em qualquer pirâmide regular, e seu centro está em ……………… .…….pirâmides.

plano

círculo

altura

perpendicular

tocar

altura

Nv.52

Nível 1 Opção 1

1. A uma distância de 12 cm do centro da bola, uma seção é desenhada, cujo raio é de 9 cm. Encontre o volume da esfera e sua área de superfície.

2. Uma esfera de raio 3 cm tem um centavo no ponto O (4; -2; 1). Escreva uma equação para a esfera na qual esta esfera passará se for simétrica em relação ao plano OXY. Encontre o volume da esfera circundada pela esfera dada.

Nível 1 opção 2

1. Através de um ponto sobre uma esfera, traça-se uma seção de raio 3 cm formando um ângulo de 60° com o raio da esfera traçada para este ponto. Encontre a área da esfera e o volume da esfera.

2. Uma esfera de raio 3 tem centro no ponto O (-2;5;3). Escreva uma equação para a esfera na qual esta esfera irá se for simétrica em relação ao plano OX Z . Encontre a área dessa esfera.

Teste o trabalho independente lvl.52

Nível 2 Opção 1

1. Uma seção é desenhada a uma distância de 2√7 cm do centro da bola. A corda desta seção é de 4 cm, subtraindo o ângulo de 90°. Encontre o volume da esfera e sua área de superfície.

2. Uma esfera centrada no ponto O (2; 1; -2) passa pela origem. Escreva uma equação para a esfera na qual essa esfera passará se for simétrica em relação ao eixo das abcissas. Encontre o volume da esfera limitada pela esfera resultante.

Nível 2 opção 2

1. A uma distância de 4 cm do centro da bola, foi traçado um corte. Uma corda afastada do centro desta seção por √5cm, subtraindo um ângulo de 120°. Encontre o volume da esfera e sua área de superfície.

2. Uma esfera centrada no ponto O (-1;-2;2) passa pela origem. Escreva uma equação para a esfera na qual a esfera dada passará com simetria em torno do plano Z = 1. Encontre a área da esfera.

Trabalho independente

opção 2

• Diâmetro da esfera ½ dm. Calcule o volume de uma esfera e a área de uma esfera.

2. Uma bola de vôlei tem um raio de 12 dm. Quanto ar há na bola?

Opção 1

• raio da bola ¾ dm. Calcule o volume de uma esfera e a área de uma esfera.

2. Uma bola de futebol tem diâmetro de 30 dm. Quanto ar há na bola?

Trabalho independente

Opção 1

opção 2

• resolver problemas :

• Anote as fórmulas para a área de uma esfera, o volume de uma esfera e suas partes.
• resolver problemas :

№ 1. O volume da esfera é 36 Pcm³. Encontre a área da esfera que limita a esfera dada.

№ 2. Uma seção é desenhada em uma esfera de raio 15 cm, cuja área é 81 cm². Encontre o volume do segmento esférico menor cortado pelo plano de corte.

№ 3. Encontre o volume de um setor esférico se o raio da esfera for 6 cm e a altura do segmento correspondente for um sexto do diâmetro da esfera.

№ 1. A área da superfície da esfera é 144P cm². Encontre o volume dessa esfera.

№ 2. Uma seção é desenhada a uma distância de 9 m do centro da bola, cuja circunferência é 24 P cm. Encontre o volume do segmento esférico menor cortado pelo plano da seção.

№ 3. Encontre o volume de um setor esférico se o raio da esfera for 6 cm e a altura do cone que forma o setor for um terço do diâmetro da esfera.

113,04=4πR³/3 = R³=27, R=3. S=4πR², S=4π3²=36π. Resposta: 3,36π. Dado: bola; S=64π cm² Encontre: R, V Solução: S=4πR², 64π=4πR², = R=4 V=4πR³/3, V=4π4³/3=256π/3. Resposta: 4,256π/3. 3. Dado: segmento esférico, rbase=60 cm, Rball=75 cm. Encontre: Vsegmento esférico. Solução: V=πh²(R-⅓h) O₁ С=√R²-r²=√75²-60²=45 h= OS-OS₁ =75-45=30 V=π 30² (75-⅓ 30) =58500π. Resposta: 58500π. "largura="640"

Resolução de problemas com auto-teste.

Dado: bola; V=113,04 cm³,

Encontrar: R, S.

Solução: V=4πR³/3, = 113,04=4πR³/3 = R³=27, R=3.

S=4πR², S=4π3²=36π.

Resposta: 3,36π.

Dado: bola; S=64π cm²

Encontrar: R, V

Solução: S=4πR², 64π=4πR², = R=4

V=4πR³/3, V=4π4³/3=256π/3.

Resposta: 4,256π/3.

3. Dado: segmento esférico, r principal = 60 cm, R bola = 75 cm.

Localizar: segmento Vsférico.

Solução: V=πh²(R-⅓h) O ₁ C=√R²-r²=√75²-60²=45

h= OS-OS ₁ =75-45=30 V=π 30² (75-⅓ 30)=58500π.

Resposta: 58500π.

Reflexão

Mostre seu humor com um emoji.

Pegue o emoticon que combina com seu humor no final da aula e, ao sair, prenda-o no quadro com uma base magnética.

Trabalho de casa

• Trabalho de casa

• Repita as fórmulas para os volumes de uma bola, um segmento esférico, uma camada esférica, um setor esférico. #723, #724, #755

Literatura e recursos da Internet

Livro didático de geometria 10-11 classe Atanasyan L.S., 2008

Gavrilova N.F. Desenvolvimentos de lições em geometria 11º ano