Aula aberta de matemática "Esquema de Bernoulli. Resolvendo problemas usando o esquema de Bernoulli e Laplace"
Didática: a aquisição de competências e habilidades para trabalhar com o esquema de Bernoulli para calcular probabilidades.
Desenvolvimento: desenvolvimento de habilidades para aplicação de conhecimentos na prática, formação e desenvolvimento do pensamento funcional dos alunos, desenvolvimento de habilidades de comparação, análise e síntese, habilidades de trabalho em duplas, ampliação do vocabulário profissional.
Como jogar este jogo:
Educacional: fomentar o interesse pelo assunto através da aplicação prática da teoria, alcançar uma assimilação consciente do material didático dos alunos, a formação da capacidade de trabalhar em equipe, o uso correto de termos de informática, interesse pela ciência, respeito pela a futura profissão.
Conhecimento científico: B
Tipo de aula: aula combinada:
- consolidação do material abordado nas aulas anteriores;
- tecnologia temática de problemas de informação;
- generalização e consolidação do material estudado nesta lição.
Método de ensino: explicativo - ilustrativo, problemático.
Controle de conhecimento: levantamento frontal, resolução de problemas, apresentação.
Material e equipamento técnico da aula. computador, projetor multimídia.
Suporte metodológico: materiais de referência, apresentação sobre o tema da aula, palavras cruzadas.
Durante as aulas
1. Momento organizacional: 5 min.
(saudação, prontidão do grupo para a aula).
2. Verificação de conhecimento:
Confira as questões frontalmente nos slides: 10 min.
- definições da seção “Teoria das Probabilidades”
- o conceito principal da seção “Teoria das Probabilidades”
- quais eventos são estudados pela “Teoria da Probabilidade”
- característica de um evento aleatório
- definição clássica de probabilidades
Resumindo. 5 minutos.
3. Resolução de problemas em filas: 5 min.
Tarefa 1. Um dado é lançado. Qual é a probabilidade de obter um número par menor que 5?
Tarefa 2. Há nove tubos de rádio idênticos em uma caixa, três dos quais estavam em uso. Durante a jornada de trabalho, o comandante teve que levar dois tubos de rádio para consertar o equipamento. Qual é a probabilidade de que ambas as lâmpadas tenham sido usadas?
Tarefa 3. Há três filmes diferentes em três salas de cinema. A probabilidade de que haja ingressos para uma determinada hora na bilheteria do 1º salão é de 0,3, na bilheteria do 2º salão - 0,2 e na bilheteria do 3º salão - 0,4. Qual é a probabilidade de que em uma determinada hora seja possível comprar um ingresso para pelo menos um filme?
4. Verificar no quadro-negro como resolver problemas. Aplicação 1. 5 min.
5ª Conclusão sobre a resolução de problemas:
A probabilidade de ocorrência de um evento é a mesma para cada tarefa: m e n - const
6. Definição de metas através da tarefa: 5 min.
Tarefa. Dois jogadores de xadrez iguais jogam xadrez. Qual é a probabilidade de ganhar dois jogos em quatro?
Qual é a probabilidade de ganhar três jogos em seis (os empates não são levados em consideração)?
Pergunta. Pense e nomeie a diferença entre as questões deste problema e as questões dos problemas anteriores?
Por raciocinar, por comparação, chegar a uma resposta: nas questões m e n são diferentes.
7. Tópico da lição:
Cálculo da probabilidade de ocorrência de um evento k vezes em n experimentos com p-const.
Se as tentativas são feitas em que a probabilidade de ocorrência do evento A em cada tentativa não depende dos resultados de outras tentativas, então tais tentativas são chamadas de independentes em relação ao evento A. Tentativas, em cada uma das quais a probabilidade de ocorrência do evento é o mesmo.
Fórmula de Bernoulli. A probabilidade de que em n tentativas independentes, em cada uma das quais a probabilidade de ocorrência de um evento seja igual a p (0 ou Apêndice 2 Fórmula de Bernoulli, onde k,n-pequenos números onde q = 1-p Solução: Enxadristas iguais estão jogando, então a probabilidade de ganhar é p=1/2; portanto, a probabilidade de perder q também é 1/2. Como a probabilidade de ganhar é constante em todos os jogos e não importa em que ordem os jogos são ganhos, a fórmula de Bernoulli é aplicável. 5 minutos Encontre a probabilidade de que dois jogos em quatro sejam vencidos: Encontre a probabilidade de que três dos seis jogos sejam vencidos: Desde P4 (2) > P6 (3), é mais provável ganhar dois jogos em quatro do que três em seis. Encontre a probabilidade de que o evento A ocorra exatamente 70 vezes em 243 tentativas se a probabilidade desse evento ocorrer em cada tentativa for 0,25. k=70, n=243 Isso implica que k e n são números grandes. Isso significa que é difícil calcular de acordo com a fórmula de Bernoulli. Para esses casos, a fórmula de Laplace local é aplicada: O Apêndice 3 para valores positivos de x é fornecido no Apêndice 4; para valores negativos de x use a mesma tabela e = . Seção 2. Equivalência lógica de fórmulas. Formas normais para fórmulas de álgebra proposicional Relação de equivalência Com a ajuda de tabelas de verdade, pode-se determinar sob quais conjuntos de valores de verdade das variáveis de entrada a fórmula terá um valor verdadeiro ou falso (assim como uma declaração que possui a estrutura lógica correspondente), quais fórmulas serão tautologias ou contradições, e também estabelecer se duas fórmulas dadas equivalente. Em lógica, duas sentenças são ditas equivalentes se ambas forem verdadeiras ou ambas falsas. A palavra "simultaneamente" nesta frase é ambígua. Assim, para as frases "Amanhã será terça-feira" e "Ontem foi domingo" esta palavra tem um significado literal: na segunda-feira ambas são verdadeiras e no resto da semana ambas são falsas. Para as equações " x = 2" e " 2x = 4» "simultaneamente" significa "com os mesmos valores da variável". As previsões “Amanhã vai chover” e “Não é verdade que amanhã não vai chover” serão simultaneamente confirmadas (se revelam verdadeiras) ou não confirmadas (se revelam falsas). Em essência, esta é a mesma previsão, expressa em duas formas diferentes, que podem ser representadas pelas fórmulas X e . Essas fórmulas assumem simultaneamente o valor "true" ou o valor "false". Para verificar, basta fazer uma tabela-verdade: Vemos que os valores de verdade na primeira e na última coluna são os mesmos. Tais fórmulas, assim como as sentenças correspondentes a elas, são naturalmente consideradas equivalentes. As fórmulas F 1 e F 2 são chamadas equivalentes se seu equivalente for uma tautologia. A equivalência de duas fórmulas é escrita da seguinte forma: (leia-se: fórmula F1é equivalente à fórmula F2). Existem três maneiras de verificar se as fórmulas são equivalentes: 1) fazer sua equivalente e usar a tabela-verdade para verificar se é uma tautologia; 2) para cada fórmula, faça uma tabela-verdade e compare os resultados finais; se nas colunas totais para os mesmos conjuntos de valores de variáveis
os valores de verdade de ambas as fórmulas serão iguais, então as fórmulas são equivalentes; 3) com a ajuda de transformações equivalentes. Exemplo 2.1: Descubra se as fórmulas são equivalentes: 1) , ; 2), . 1) Vamos usar o primeiro método para determinar a equivalência, ou seja, descobrir se a equivalência de fórmulas é uma tautologia. Vamos fazer uma equivalência de fórmulas: . A fórmula resultante contém duas variáveis diferentes ( MAS e NO) e 6 operações: 1) ; 2); 3); 4); 5); 6). Isso significa que a tabela verdade correspondente terá 5 linhas e 8 colunas: A partir da última coluna da tabela-verdade, pode-se observar que a equivalência compilada é uma tautologia e, portanto, . 2) Para saber se as fórmulas e são equivalentes, usamos o segundo método, ou seja, compilamos uma tabela verdade para cada uma das fórmulas e comparamos as colunas finais. ( Comente. Para usar o segundo método de forma eficaz, é necessário que todas as tabelas verdade compiladas comecem da mesma forma, ou seja, os conjuntos de valores de variáveis eram os mesmos nas respectivas linhas
.) A fórmula tem duas variáveis diferentes e 2 operações, o que significa que a tabela verdade correspondente tem 5 linhas e 4 colunas: A fórmula tem duas variáveis diferentes e 3 operações, o que significa que a tabela verdade correspondente tem 5 linhas e 5 colunas: Comparando as colunas finais das tabelas verdade compiladas (como as tabelas começam da mesma forma, podemos ignorar os conjuntos de valores das variáveis), vemos que elas não coincidem e, portanto, as fórmulas não são equivalentes (). A expressão não é uma fórmula (porque o símbolo " " não se refere a nenhuma operação lógica). Ele expressa atitude entre fórmulas (assim como igualdade entre números, paralelismo entre linhas, etc.). O teorema sobre as propriedades da relação de equivalência é válido: Teorema 2.1. Relação de equivalência entre fórmulas de álgebra proposicional: 1) reflexivamente: ; 2) simetricamente: se , então ; 3) transitivamente: se e , então . Leis da lógica As equivalências de fórmulas de lógica proposicional são frequentemente chamadas de as leis da lógica. Listamos os mais importantes deles: 1. - a lei da identidade. 2. - a lei do meio excluído 3. - a lei da contradição 4. - disjunção com zero 5. - conjunção com zero 6. - disjunção com unidade 7. - conjunto com unidade 8. - a lei da dupla negação 9. - comutatividade da conjunção 10. – comutatividade da disjunção 11. - associatividade da conjunção 12. - associatividade da disjunção 13. – distributividade da conjunção 14. – disjunção distributiva 15. - leis de idempotência 16. 17. 18. 19. 20. - leis que expressam equivalência através de outras operações lógicas As leis da lógica são usadas para simplificar fórmulas complexas e provar que as fórmulas são identicamente verdadeiras ou falsas. Transformações equivalentes. Simplificando Fórmulas Se em todas as fórmulas equivalentes substituirmos a mesma fórmula em vez de alguma variável, as fórmulas recém-obtidas também serão equivalentes de acordo com a regra de substituição. Desta forma, qualquer número de novas equivalências pode ser obtido de cada equivalência. Exemplo 1: Se na lei de De Morgan em vez de X substituto, em vez de S substituto , então obtemos uma nova equivalência . A validade da equivalência obtida é fácil de verificar usando a tabela-verdade. Se alguma fórmula que faz parte da fórmula F, ser substituído por uma fórmula equivalente à fórmula , então a fórmula resultante será equivalente à fórmula F. Então, para a fórmula do Exemplo 2, podemos fazer as seguintes substituições: - a lei da dupla negação; - Lei de De Morgan; - a lei da dupla negação; – a lei da associatividade; Pela propriedade da transitividade da relação de equivalência, podemos afirmar que A substituição de uma fórmula por outra equivalente a ela chama-se transformação equivalente
fórmulas. Debaixo simplificação
fórmulas que não contêm sinais de implicação e equivalência entendem uma transformação equivalente que leva a uma fórmula que não contém negações de fórmulas não elementares (em particular, negações duplas) ou contém no total um número menor de sinais de conjunção e disjunção do que o original 1. Exemplo 2.2: Vamos simplificar a fórmula No primeiro passo, aplicamos a lei que transforma a implicação em disjunção. Na segunda etapa, foi aplicada a lei comutativa. Na terceira etapa, foi aplicada a lei da idempotência. Na quarta - a lei de De Morgan. E no quinto - a lei da dupla negação. Observação 1. Se uma certa fórmula é uma tautologia, então qualquer fórmula equivalente a ela também é uma tautologia. Assim, transformações equivalentes também podem ser usadas para provar a verdade idêntica de certas fórmulas. Para isso, esta fórmula deve ser reduzida por transformações equivalentes a uma das fórmulas que são tautologias. Observação 2. Algumas tautologias e equivalências são combinadas em pares (a lei da contradição e a lei das leis alternativas, comutativas, associativas, etc.). Nessas correspondências, os chamados princípio da dualidade
. Duas fórmulas que não contêm sinais de implicação e equivalência são chamadas dual
, se cada um deles puder ser obtido do outro substituindo os sinais por , respectivamente. O princípio da dualidade afirma o seguinte: Teorema 2.2: Se duas fórmulas que não contêm sinais de implicação e equivalência são equivalentes, então suas fórmulas duais também são equivalentes. formas normais forma normalé uma maneira sintaticamente inequívoca de escrever uma fórmula que implementa uma determinada função. Usando as leis conhecidas da lógica, qualquer fórmula pode ser transformada em uma fórmula equivalente da forma Exemplo 2.3: Em fórmulas grandes ou com múltiplas transformações, costuma-se omitir o sinal de conjunção (por analogia com o sinal de multiplicação): . Vemos que após as transformações realizadas, a fórmula é uma disjunção de três conjunções. Este formulário é chamado forma normal disjuntiva
(DNF). Um único elemento de um DNF é chamado conjunção elementar
ou unidade constituinte. Da mesma forma, qualquer fórmula pode ser reduzida a uma fórmula equivalente, que será uma conjunção de elementos, cada um dos quais será uma disjunção de variáveis lógicas com ou sem sinal de negação. Ou seja, cada fórmula pode ser reduzida a uma fórmula equivalente da forma Exemplo 2.4: Um único elemento de CNF é chamado disjunção elementar
ou o constituinte de zero. Obviamente, toda fórmula tem infinitas DNFs e CNFs. Exemplo 2.5: Vamos encontrar vários DNFs para a fórmula Formas normais perfeitas SDNF (perfeito DNF) é um tal DNF em que cada conjunção elementar contém todas as declarações elementares, ou suas negações uma vez, conjunções elementares não são repetidas. SKNF (CNF perfeito) é um CNF em que cada disjunção elementar contém todas as proposições elementares ou suas negações uma vez, as disjunções elementares não são repetidas. Exemplo 2.6: 1) - SDNF 2) 1 - SKNF Vamos formular os traços característicos do SDNF (SKNF). 1) Todos os membros da disjunção (conjunção) são diferentes; 2) Todos os membros de cada conjunção (disjunção) são diferentes; 3) Nenhuma conjunção (disjunção) contém tanto uma variável quanto sua negação; 4) Cada conjunção (disjunção) contém todas as variáveis incluídas na fórmula original. Como podemos ver, características (mas não formas!) satisfazem a definição de dualidade, então é suficiente entender uma forma para aprender como obter ambas. É fácil obter SDNF (SKNF) de DNF (CNF) com a ajuda de transformações equivalentes. Como as regras para obter formas normais perfeitas também são duais, analisaremos detalhadamente a regra para obter SMNF e formularemos a regra para obter SKNF independentemente usando a definição de dualidade. A regra geral para reduzir uma fórmula a SDNF usando transformações equivalentes é:
Para dar a fórmula F, que não é identicamente falso, ao SDNF, basta: 1) trazê-lo para algum DNF; 2) remover os membros da disjunção contendo a variável junto com sua negação (se houver); 3) dos mesmos membros da disjunção (se houver), remover todos menos um; 4) remover todos, exceto um dos membros idênticos de cada conjunção (se houver); 5) se alguma conjunção não contiver uma variável dentre as variáveis incluídas na fórmula original, acrescentar um termo a esta conjunção e aplicar a lei distributiva correspondente; 6) se a disjunção resultante contiver os mesmos termos, usar prescrição 3. A fórmula resultante é o SDNF desta fórmula. Exemplo 2.7: Vamos encontrar SDNF e SKNF para a fórmula Como o DNF para esta fórmula já foi encontrado (veja o Exemplo 2.5), começaremos obtendo o SDNF: 2) na disjunção resultante não há variáveis junto com suas negações; 3) não há membros idênticos na disjunção; 4) não há variáveis idênticas em nenhuma conjunção; 5) a primeira conjunção elementar contém todas as variáveis incluídas na fórmula original, e a segunda conjunção elementar carece de uma variável z, então vamos adicionar um termo a ele e aplicar a lei distributiva: ; 6) é fácil ver que os mesmos termos apareceram na disjunção, então retiramos um (receita 3); 3) remova uma das disjunções idênticas: 4) não há termos idênticos nas demais disjunções; 5) nenhuma das disjunções elementares contém todas as variáveis incluídas na fórmula original, então complementamos cada uma delas com a conjunção : ; 6) não há disjunções idênticas na conjunção resultante, então a forma conjuntiva encontrada é perfeita. Uma vez que no agregado de SKNF e SDNF as fórmulas F 8 membros, então provavelmente eles serão encontrados corretamente. Cada fórmula satisfazível (refutável) tem um único SDNF e um único SKNF. Uma tautologia não tem SKNF e uma contradição não tem SDNF. 1. Dois jogadores iguais jogam um jogo no qual empates são excluídos. Qual é a probabilidade de o primeiro jogador ganhar: a) um jogo em dois? b) dois de quatro? c) três de seis? Responda: uma) ; b); dentro) 3. Corte AB separados por um ponto Com na proporção de 2:1. Quatro pontos são lançados ao acaso neste segmento. Encontre a probabilidade de que dois deles estejam à esquerda do ponto C e dois estejam à direita. Responda: 4. Encontre a probabilidade de que o evento A ocorra exatamente 70 vezes em 243 tentativas se a probabilidade desse evento ocorrer em cada tentativa for 0,25. Responda: . 5. A probabilidade de ter um menino é 0,515. Encontre a probabilidade de que entre 100 recém-nascidos meninos e meninas sejam divididos igualmente. Responda: 0,0782 6. A loja recebeu 500 garrafas em potes de vidro. A probabilidade de que qualquer uma das garrafas seja quebrada durante o transporte é de 0,003. Encontre a probabilidade de que a loja receba garrafas quebradas: a) exatamente duas; b) menos de dois; c) pelo menos dois; e) pelo menos um. Responda: a) 0,22; b) 0,20; c) 0,80; e) 0,95 7. Uma fábrica de automóveis produz 80% dos carros sem defeitos significativos. Qual é a probabilidade de que entre os 600 carros que vieram da fábrica para a troca automotiva, haja pelo menos 500 carros sem defeitos significativos? Responda: 0,02. 8. Quantas vezes você precisa jogar uma moeda para que, com uma probabilidade de 0,95, você possa esperar que a frequência relativa do brasão se desvie da probabilidade R\u003d 0,5 aparência do brasão em um lançamento de uma moeda por não mais que 0,02? Resposta: n ≥ 2401. 9. A probabilidade de um evento ocorrer em cada um dos 100 eventos independentes é constante e igual a p=0,8. Encontre a probabilidade de que o evento ocorra: a) pelo menos 75 vezes e no máximo 90 vezes; b) pelo menos 75 vezes; c) não mais de 74 vezes. Responda: a B C). 10. A probabilidade de um evento ocorrer em cada uma das tentativas independentes é 0,2. Encontre qual desvio da frequência relativa de ocorrência de um evento de sua probabilidade pode ser esperado com uma probabilidade de 0,9128 em 5.000 tentativas. Responda: 11. Quantas vezes uma moeda deve ser lançada para que, com uma probabilidade de 0,6, se possa esperar que o desvio da frequência relativa do aparecimento do brasão da probabilidade p=0,5 não será maior que 0,01 em valor absoluto. Resposta: n = 1764. 12. A probabilidade de um evento ocorrer em cada uma das 10.000 tentativas independentes é de 0,75. Encontre a probabilidade de que a frequência relativa de ocorrência de um evento se desvie de sua probabilidade em valor absoluto em não mais que 0,01. Responda: . 13. A probabilidade de um evento ocorrer em cada uma das tentativas independentes é 0,5. Encontre o número de tentativas n, no qual, com uma probabilidade de 0,7698, pode-se esperar que a frequência relativa da ocorrência de um evento se desvie de sua probabilidade em valor absoluto em não mais que 0,02.8. Tarefa.
9. Componha um algoritmo para resolver o problema: 5 min.
10. Resolver o problema com análise no quadro-negro. Anexo 5. 10 min.
11. Resumindo as informações da aula por meio de apresentações
X
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- leis de absorção
; 
- Leis de De Morgan
é a lei que expressa a implicação através da disjunção
- lei da contraposição
é a lei da idempotência.
.
.
, onde e cada é uma variável, ou a negação de uma variável, ou uma conjunção de variáveis ou suas negações. Em outras palavras, qualquer fórmula pode ser reduzida a uma fórmula equivalente de uma forma padrão simples, que será uma disjunção de elementos, cada um dos quais é uma conjunção de diferentes variáveis lógicas separadas, com ou sem sinal de negação.
, onde e cada um é uma variável, ou a negação de uma variável, ou uma disjunção de variáveis ou suas negações. Este formulário é chamado forma normal conjuntiva
(KNF).
.
.
;
