O foco deste artigo é logaritmo. Aqui daremos a definição do logaritmo, mostraremos a notação aceita, daremos exemplos de logaritmos e falaremos sobre logaritmos naturais e decimais. Depois disso, considere a identidade logarítmica básica.
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Definição de logaritmo
O conceito de logaritmo surge ao resolver um problema em certo sentido inverso, quando você precisa encontrar o expoente de um valor conhecido do grau e de uma base conhecida.
Mas chega de preâmbulo, é hora de responder à pergunta "o que é um logaritmo"? Vamos dar uma definição apropriada.
Definição.
Logaritmo de b para basear a, onde a>0 , a≠1 e b>0 é o expoente ao qual você precisa elevar o número a para obter b como resultado.
Nesta fase, notamos que a palavra falada "logaritmo" deve levantar imediatamente duas questões: "qual número" e "em que base". Em outras palavras, simplesmente não existe logaritmo, mas existe apenas o logaritmo de um número em alguma base.
Apresentaremos imediatamente notação logarítmica: o logaritmo do número b na base a é geralmente denotado como log a b . O logaritmo do número b na base e e o logaritmo na base 10 têm suas próprias designações especiais lnb e lgb respectivamente, ou seja, eles escrevem não log e b , mas lnb , e não log 10 b , mas lgb .
Agora você pode trazer: .
E os registros 
não faz sentido, pois no primeiro deles há um número negativo sob o sinal do logaritmo, no segundo - um número negativo na base e no terceiro - um número negativo sob o sinal do logaritmo e uma unidade na base.
Agora vamos falar sobre regras para ler logaritmos. O log de entrada a b é lido como "logaritmo de b na base a". Por exemplo, log 2 3 é o logaritmo de três na base 2 e é o logaritmo de dois inteiros dois terços da base da raiz quadrada de cinco. O logaritmo na base e é chamado Logaritmo natural, e a notação lnb é lida como "o logaritmo natural de b". Por exemplo, ln7 é o logaritmo natural de sete, e nós o leremos como o logaritmo natural de pi. O logaritmo na base 10 também tem um nome especial - logaritmo decimal, e a notação lgb é lida como "logaritmo decimal b". Por exemplo, lg1 é o logaritmo decimal de um, e lg2.75 é o logaritmo decimal de dois vírgula setenta e cinco centésimos.
Vale a pena deter-se separadamente nas condições a>0, a≠1 e b>0, sob as quais se dá a definição do logaritmo. Vamos explicar de onde vêm essas restrições. Para fazer isso, seremos ajudados por uma igualdade da forma, chamada , que decorre diretamente da definição do logaritmo dada acima.
Vamos começar com a≠1 . Como um é igual a um para qualquer potência, a igualdade só pode ser verdadeira para b=1, mas log 1 1 pode ser qualquer número real. Para evitar essa ambiguidade, a≠1 é aceito.
Vamos fundamentar a conveniência da condição a>0. Com a=0, pela definição do logaritmo, teríamos igualdade , que só é possível com b=0 . Mas então log 0 0 pode ser qualquer número real diferente de zero, já que zero para qualquer potência diferente de zero é zero. Essa ambiguidade pode ser evitada pela condição a≠0 . E para um<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .
Finalmente, a condição b>0 decorre da desigualdade a>0 , pois , e o valor do grau com base positiva a é sempre positivo.
Em conclusão deste parágrafo, dizemos que a definição sonora do logaritmo permite indicar imediatamente o valor do logaritmo quando o número sob o sinal do logaritmo é um certo grau de base. De fato, a definição do logaritmo nos permite afirmar que se b=a p , então o logaritmo do número b na base a é igual a p . Ou seja, o log de igualdade a a p =p é verdadeiro. Por exemplo, sabemos que 2 3 =8 , então log 2 8=3 . Falaremos mais sobre isso no artigo.
Com o desenvolvimento da sociedade, a complexidade da produção, a matemática também se desenvolveu. Movimento do simples ao complexo. Do método contábil usual de adição e subtração, com sua repetição repetida, chegaram ao conceito de multiplicação e divisão. A redução da operação de repetição múltipla tornou-se o conceito de exponenciação. As primeiras tabelas da dependência dos números na base e do número de exponenciação foram compiladas no século VIII pelo matemático indiano Varasena. A partir deles, você pode contar o tempo de ocorrência dos logaritmos.
Contorno histórico
O renascimento da Europa no século XVI também estimulou o desenvolvimento da mecânica. T exigiu uma grande quantidade de computação associado à multiplicação e divisão de números de vários dígitos. As mesas antigas fizeram um ótimo serviço. Eles tornaram possível substituir operações complexas por outras mais simples - adição e subtração. Um grande passo à frente foi o trabalho do matemático Michael Stiefel, publicado em 1544, no qual ele percebeu a ideia de muitos matemáticos. Isso tornou possível usar tabelas não apenas para graus na forma de números primos, mas também para racionais arbitrários.
Em 1614, o escocês John Napier, desenvolvendo essas ideias, introduziu pela primeira vez o novo termo "logaritmo de um número". Novas tabelas complexas foram compiladas para calcular os logaritmos de senos e cossenos, bem como tangentes. Isso reduziu muito o trabalho dos astrônomos.
Novas tabelas começaram a aparecer, que foram usadas com sucesso pelos cientistas por três séculos. Muito tempo se passou antes que a nova operação em álgebra adquirisse sua forma final. O logaritmo foi definido e suas propriedades estudadas.
Somente no século XX, com o advento da calculadora e do computador, a humanidade abandonou as antigas tabelas que vinham operando com sucesso ao longo do século XIII.
Hoje chamamos o logaritmo de b para basear a o número x, que é a potência de a, para obter o número b. Isto é escrito como uma fórmula: x = log a(b).
Por exemplo, log 3(9) será igual a 2. Isso é óbvio se você seguir a definição. Se elevarmos 3 à potência de 2, obtemos 9.
Assim, a definição formulada coloca apenas uma restrição, os números aeb devem ser reais.
Variedades de logaritmos
A definição clássica é chamada de logaritmo real e é na verdade uma solução para a equação a x = b. A opção a = 1 é limítrofe e não tem interesse. Nota: 1 para qualquer potência é 1.
Valor real do logaritmo definido somente se a base e o argumento forem maiores que 0, e a base não deve ser igual a 1.
Lugar especial no campo da matemática jogar logaritmos, que serão nomeados dependendo do valor de sua base:
Regras e restrições
A propriedade fundamental dos logaritmos é a regra: o logaritmo de um produto é igual à soma logarítmica. log abp = log a(b) + log a(p).
Como variante desta declaração, será: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), a função quociente é igual à diferença das funções.
É fácil ver pelas duas regras anteriores que: log a(b p) = p * log a(b).
Outras propriedades incluem:
Comente. Não cometa um erro comum - o logaritmo da soma não é igual à soma dos logaritmos.
Por muitos séculos, a operação de encontrar o logaritmo era uma tarefa bastante demorada. Os matemáticos usaram a conhecida fórmula da teoria logarítmica da expansão em um polinômio:
ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* ((x^n)/n), onde n é um número natural maior que 1, que determina a precisão do cálculo.
Os logaritmos com outras bases foram calculados usando o teorema da transição de uma base para outra e a propriedade do logaritmo do produto.
Como este método é muito trabalhoso e ao resolver problemas práticos difícil de implementar, eles usaram tabelas pré-compiladas de logaritmos, o que acelerou muito todo o trabalho.
Em alguns casos, foram usados gráficos de logaritmos especialmente compilados, que davam menos precisão, mas agilizavam significativamente a busca pelo valor desejado. A curva da função y = log a(x), construída em vários pontos, permite usar a régua usual para encontrar os valores da função em qualquer outro ponto. Por muito tempo, os engenheiros usaram o chamado papel milimetrado para esses fins.
No século XVII, surgiram as primeiras condições auxiliares de computação analógica, que no século XIX adquiriram uma forma acabada. O dispositivo de maior sucesso foi chamado de régua de cálculo. Apesar da simplicidade do dispositivo, sua aparência acelerou significativamente o processo de todos os cálculos de engenharia, e isso é difícil de superestimar. Atualmente, poucas pessoas estão familiarizadas com este dispositivo.
O advento de calculadoras e computadores tornou inútil o uso de quaisquer outros dispositivos.
Equações e desigualdades
As seguintes fórmulas são usadas para resolver várias equações e desigualdades usando logaritmos:
- Transição de uma base para outra: log a(b) = log c(b) / log c(a);
- Como consequência da versão anterior: log a(b) = 1 / log b(a).
Para resolver inequações, é útil saber:
- O valor do logaritmo será positivo somente se a base e o argumento forem ambos maiores ou menores que um; se pelo menos uma condição for violada, o valor do logaritmo será negativo.
- Se a função logarítmica for aplicada aos lados direito e esquerdo da desigualdade e a base do logaritmo for maior que um, o sinal da desigualdade será preservado; caso contrário, ele muda.
Exemplos de tarefas
Considere várias opções para usar logaritmos e suas propriedades. Exemplos com resolução de equações:
Considere a opção de colocar o logaritmo no grau:
- Tarefa 3. Calcule 25^log 5(3). Solução: nas condições do problema, a notação é semelhante à seguinte (5^2)^log5(3) ou 5^(2 * log 5(3)). Vamos escrever de forma diferente: 5^log 5(3*2), ou o quadrado de um número como argumento de função pode ser escrito como o quadrado da própria função (5^log 5(3))^2. Usando as propriedades dos logaritmos, essa expressão é 3^2. Resposta: como resultado do cálculo, obtemos 9.
Uso pratico
Sendo uma ferramenta puramente matemática, parece muito distante da vida real que o logaritmo de repente ganhou muita importância na descrição de objetos no mundo real. É difícil encontrar uma ciência onde ela não seja usada. Isso se aplica plenamente não apenas aos campos de conhecimento naturais, mas também às humanidades.
Dependências logarítmicas
Aqui estão alguns exemplos de dependências numéricas:
Mecânica e física
Historicamente, a mecânica e a física sempre se desenvolveram usando métodos de pesquisa matemática e ao mesmo tempo serviram de incentivo para o desenvolvimento da matemática, incluindo os logaritmos. A teoria da maioria das leis da física está escrita na linguagem da matemática. Damos apenas dois exemplos de descrição de leis físicas usando o logaritmo.
É possível resolver o problema de calcular uma quantidade tão complexa como a velocidade de um foguete usando a fórmula de Tsiolkovsky, que lançou as bases para a teoria da exploração espacial:
V = I * ln(M1/M2), onde
- V é a velocidade final da aeronave.
- I é o impulso específico do motor.
- M 1 é a massa inicial do foguete.
- M 2 - massa final.
Outro exemplo importante- este é o uso na fórmula de outro grande cientista, Max Planck, que serve para avaliar o estado de equilíbrio na termodinâmica.
S = k * ln (Ω), onde
- S é uma propriedade termodinâmica.
- k é a constante de Boltzmann.
- Ω é o peso estatístico de diferentes estados.
Química
Menos óbvio seria o uso de fórmulas em química contendo a razão de logaritmos. Aqui estão apenas dois exemplos:
- A equação de Nernst, a condição do potencial redox do meio em relação à atividade das substâncias e a constante de equilíbrio.
- O cálculo de constantes como o índice de autoprólise e a acidez da solução também não está completo sem nossa função.
Psicologia e biologia
E é completamente incompreensível o que a psicologia tem a ver com isso. Acontece que a força da sensação é bem descrita por esta função como a razão inversa do valor da intensidade do estímulo para o valor da intensidade mais baixa.
Após os exemplos acima, não é mais surpreendente que o tema dos logaritmos também seja amplamente utilizado na biologia. Volumes inteiros podem ser escritos sobre formas biológicas correspondentes a espirais logarítmicas.
Outras áreas
Parece que a existência do mundo é impossível sem conexão com essa função, e ela rege todas as leis. Especialmente quando as leis da natureza estão ligadas a uma progressão geométrica. Vale a pena consultar o site MatProfi, e existem muitos exemplos desse tipo nas seguintes áreas de atividade:
A lista poderia ser interminável. Tendo dominado as leis básicas desta função, você pode mergulhar no mundo da sabedoria infinita.
Vamos começar com propriedades do logaritmo da unidade. Sua formulação é a seguinte: o logaritmo da unidade é igual a zero, ou seja, registrar um 1=0 para qualquer a>0, a≠1. A prova é direta: como a 0 =1 para qualquer a que satisfaça as condições acima a>0 e a≠1 , então a igualdade provada log a 1=0 segue imediatamente da definição do logaritmo.
Vamos dar exemplos de aplicação da propriedade considerada: log 3 1=0 , lg1=0 e .
Vamos para a próxima propriedade: o logaritmo de um número igual à base é igual a um, ou seja, log a a = 1 para a>0, a≠1. De fato, como a 1 =a para qualquer a , então pela definição do logaritmo log a a=1 .
Exemplos de uso desta propriedade de logaritmos são log 5 5=1 , log 5.6 5.6 e lne=1 .
Por exemplo, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 e 
.
Logaritmo do produto de dois números positivos x e y é igual ao produto dos logaritmos desses números: log a (x y) = log a x + log a y, a>0, a≠1. Vamos provar a propriedade do logaritmo do produto. Pelas propriedades do grau a log a x + log a y = a log a x a log a y, e como pela identidade logarítmica principal a log a x = x e a log a y = y , então a log a x a log a y = x y . Assim, a log a x+log a y =x y , de onde a igualdade requerida segue pela definição do logaritmo.
Vamos mostrar exemplos de uso da propriedade do logaritmo do produto: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 e 
.
A propriedade do logaritmo do produto pode ser generalizada para o produto de um número finito n de números positivos x 1 , x 2 , …, x n como log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Essa igualdade é facilmente provada.
Por exemplo, o logaritmo natural de um produto pode ser substituído pela soma de três logaritmos naturais dos números 4 , e , e .
Logaritmo do quociente de dois números positivos xey é igual à diferença entre os logaritmos desses números. A propriedade do logaritmo do quociente corresponde a uma fórmula da forma , onde a>0 , a≠1 , xey são alguns números positivos. A validade desta fórmula é provada como a fórmula do logaritmo do produto: uma vez que 
, então pela definição do logaritmo .
Aqui está um exemplo de uso desta propriedade do logaritmo: 
.
Vamos seguir para propriedade do logaritmo do grau. O logaritmo de um grau é igual ao produto do expoente pelo logaritmo do módulo da base deste grau. Escrevemos esta propriedade do logaritmo do grau na forma de uma fórmula: log a b p =p log a |b|, onde a>0 , a≠1 , b e p são números tais que o grau de b p faz sentido e b p >0 .
Primeiro provamos esta propriedade para b positivo. A identidade logarítmica básica nos permite representar o número b como a log a b , então b p =(a log a b) p , e a expressão resultante, devido à propriedade da potência, é igual a a p log a b . Assim chegamos à igualdade b p = a p log a b , da qual, pela definição do logaritmo, concluímos que log a b p =p log a b .
Resta provar esta propriedade para b negativo. Aqui notamos que a expressão log a b p para b negativo faz sentido apenas para expoentes pares p (já que o valor do grau b p deve ser maior que zero, caso contrário o logaritmo não fará sentido), e neste caso b p =|b| p. Então bp =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, de onde log a b p =p log a |b| .
Por exemplo, 
e ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .
Segue da propriedade anterior propriedade do logaritmo da raiz: o logaritmo da raiz do grau n é igual ao produto da fração 1/n e o logaritmo da expressão raiz, ou seja, 
, onde a>0 , a≠1 , n é um número natural maior que um, b>0 .
A prova é baseada na igualdade (ver ), que é válida para qualquer b positivo, e na propriedade do logaritmo do grau: 
.
Aqui está um exemplo de uso desta propriedade: 
.
Agora vamos provar fórmula de conversão para a nova base do logaritmo Gentil 
. Para isso, basta provar a validade da igualdade log c b=log a b log c a . A identidade logarítmica básica nos permite representar o número b como a log a b , então log c b=log c a log a b . Resta usar a propriedade do logaritmo do grau: log c a log a b = log a b log c a. Assim, fica provada a igualdade log c b=log a b log c a, o que significa que também está provada a fórmula de transição para uma nova base do logaritmo.
Vamos mostrar alguns exemplos de aplicação dessa propriedade dos logaritmos: e 
.
A fórmula para mudar para uma nova base permite que você passe a trabalhar com logaritmos que tenham uma base “conveniente”. Por exemplo, ele pode ser usado para ir para logaritmos naturais ou decimais para que você possa calcular o valor do logaritmo a partir da tabela de logaritmos. A fórmula para a transição para uma nova base do logaritmo também permite em alguns casos encontrar o valor de um determinado logaritmo, quando são conhecidos os valores de alguns logaritmos com outras bases.
Frequentemente usado é um caso especial da fórmula para a transição para uma nova base do logaritmo para c=b da forma 
. Isso mostra que log a b e log b a – . Por exemplo, 
.
Também é frequentemente usada a fórmula 
, que é útil para encontrar valores logarítmicos. Para confirmar nossas palavras, mostraremos como o valor do logaritmo do formulário é calculado usando-o. Nós temos 
. Para provar a fórmula 
basta usar a fórmula de transição para a nova base do logaritmo a: 
.
Resta provar as propriedades de comparação dos logaritmos.
Vamos provar que para quaisquer números positivos b 1 e b 2 , b 1 log a b 2 , e para a>1, a desigualdade log a b 1 Finalmente, resta provar a última das propriedades listadas dos logaritmos. Limitamo-nos a provar a sua primeira parte, isto é, provamos que se a 1 >1 , a 2 >1 e a 1 1 é verdadeiro log a 1 b> log a 2 b . As declarações restantes desta propriedade dos logaritmos são provadas por um princípio semelhante. Vamos usar o método oposto. Suponha que para a 1 > 1 , a 2 > 1 e a 1 1 log a 1 b≤log a 2 b é verdadeiro. Pelas propriedades dos logaritmos, essas desigualdades podem ser reescritas como 
e 
respectivamente, e deles segue que log b a 1 ≤log b a 2 e log b a 1 ≥log b a 2, respectivamente. Então, pelas propriedades das potências de mesmas bases, as igualdades b log b a 1 ≥b log b a 2 e b log b a 1 ≥b log b a 2 devem ser satisfeitas, ou seja, a 1 ≥a 2 . Assim, chegamos a uma contradição com a condição a 1
Bibliografia.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. e outros Álgebra e os primórdios da análise: um livro-texto para as séries 10-11 de instituições educacionais gerais.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemática (um manual para candidatos a escolas técnicas).
Em relação a
a tarefa de encontrar qualquer um dos três números dos outros dois, dados, pode ser definida. Dado a e então N é encontrado por exponenciação. Se N são dados e então a é encontrado extraindo a raiz da potência x (ou exponenciação). Agora considere o caso em que, dados a e N, é necessário encontrar x.
Seja o número N positivo: o número a é positivo e não igual a um: .
Definição. O logaritmo do número N na base a é o expoente ao qual você precisa elevar a para obter o número N; o logaritmo é denotado por
Assim, na igualdade (26.1), o expoente é encontrado como o logaritmo de N na base a. Entradas
têm o mesmo significado. A igualdade (26.1) às vezes é chamada de identidade básica da teoria dos logaritmos; na verdade, expressa a definição do conceito de logaritmo. Por esta definição, a base do logaritmo a é sempre positiva e diferente da unidade; o número logarítmico N é positivo. Números negativos e zero não têm logaritmos. Pode-se provar que qualquer número com uma dada base tem um logaritmo bem definido. Portanto, a igualdade implica . Observe que a condição é essencial aqui, caso contrário a conclusão não seria justificada, pois a igualdade é verdadeira para quaisquer valores de x e y.
Exemplo 1. Encontrar
Decisão. Para obter o número, você precisa elevar a base 2 à potência Portanto.
Você pode gravar ao resolver esses exemplos da seguinte forma:
Exemplo 2. Encontre .
Decisão. Nós temos
Nos exemplos 1 e 2, encontramos facilmente o logaritmo desejado ao representar o número logaritmável como um grau de base com um expoente racional. No caso geral, por exemplo, para etc., isso não pode ser feito, pois o logaritmo tem um valor irracional. Prestemos atenção a uma questão relacionada a esta afirmação. No § 12, demos o conceito da possibilidade de determinar qualquer potência real de um dado número positivo. Isso foi necessário para a introdução de logaritmos, que, em geral, podem ser números irracionais.
Considere algumas propriedades dos logaritmos.
Propriedade 1. Se o número e a base são iguais, então o logaritmo é igual a um e, inversamente, se o logaritmo é igual a um, então o número e a base são iguais.
Prova. Let Pela definição do logaritmo, temos e de onde
Por outro lado, seja Então por definição
Propriedade 2. O logaritmo da unidade para qualquer base é igual a zero.
Prova. Pela definição do logaritmo (a potência zero de qualquer base positiva é igual a um, veja (10.1)). Daqui
Q.E.D.
A afirmação inversa também é verdadeira: se , então N = 1. De fato, temos .
Antes de declarar a seguinte propriedade dos logaritmos, concordamos em dizer que dois números a e b estão do mesmo lado de um terceiro número c se ambos forem maiores que c ou menores que c. Se um desses números for maior que c e o outro for menor que c, diremos que eles estão em lados opostos de c.
Propriedade 3. Se o número e a base estiverem do mesmo lado da unidade, então o logaritmo é positivo; se o número e a base estiverem em lados opostos da unidade, então o logaritmo é negativo.
A prova da propriedade 3 baseia-se no fato de que o grau de a é maior que um se a base for maior que um e o expoente for positivo, ou a base for menor que um e o expoente for negativo. O grau é menor que um se a base for maior que um e o expoente for negativo, ou a base for menor que um e o expoente for positivo.
Quatro casos precisam ser considerados:
Limitamo-nos à análise do primeiro deles, o leitor considerará o resto por conta própria.
Seja então o expoente em igualdade nem negativo nem igual a zero, portanto, é positivo, ou seja, o que precisava ser provado.
Exemplo 3. Descubra quais dos seguintes logaritmos são positivos e quais são negativos:
Solução, a) visto que o número 15 e a base 12 estão localizados do mesmo lado da unidade;
b) , visto que 1000 e 2 estão localizados do mesmo lado da unidade; ao mesmo tempo, não é essencial que a base seja maior que o número logarítmico;
c), visto que 3,1 e 0,8 estão em lados opostos da unidade;
G); porque?
e); porque?
As seguintes propriedades 4-6 são frequentemente chamadas de regras do logaritmo: elas permitem, conhecendo os logaritmos de alguns números, encontrar os logaritmos de seu produto, quociente, grau de cada um deles.
Propriedade 4 (a regra para o logaritmo do produto). O logaritmo do produto de vários números positivos em uma determinada base é igual à soma dos logaritmos desses números na mesma base.
Prova. Sejam dados números positivos.
Para o logaritmo de seu produto, escrevemos a igualdade (26.1) definindo o logaritmo:
A partir daqui encontramos
Comparando os expoentes da primeira e da última expressões, obtemos a igualdade necessária:
Observe que a condição é essencial; o logaritmo do produto de dois números negativos faz sentido, mas neste caso temos
Em geral, se o produto de vários fatores for positivo, seu logaritmo será igual à soma dos logaritmos dos módulos desses fatores.
Propriedade 5 (regra do logaritmo do quociente). O logaritmo de um quociente de números positivos é igual à diferença entre os logaritmos do dividendo e do divisor, tomados na mesma base. Prova. Encontre consistentemente
Q.E.D.
Propriedade 6 (regra do logaritmo do grau). O logaritmo da potência de qualquer número positivo é igual ao logaritmo desse número vezes o expoente.
Prova. Escrevemos novamente a identidade principal (26.1) para o número:
Q.E.D.
Consequência. O logaritmo da raiz de um número positivo é igual ao logaritmo do número raiz dividido pelo expoente da raiz:
Podemos provar a validade deste corolário apresentando como e usando a propriedade 6.
Exemplo 4. Logaritmo para basear a:
a) (supõe-se que todos os valores b, c, d, e sejam positivos);
b) (supõe-se que ).
Solução, a) É conveniente passar nesta expressão para potências fracionárias:
Com base nas igualdades (26,5)-(26,7) podemos agora escrever:
Observamos que operações mais simples são realizadas nos logaritmos dos números do que nos próprios números: ao multiplicar os números, seus logaritmos são adicionados, ao dividir, eles são subtraídos, etc.
É por isso que os logaritmos têm sido usados na prática computacional (ver Seção 29).
A ação inversa do logaritmo é chamada de potenciação, a saber: potenciação é a ação pela qual este próprio número é encontrado pelo logaritmo dado de um número. Em essência, a potenciação não é nenhuma ação especial: se resume a elevar a base a uma potência (igual ao logaritmo do número). O termo "potenciação" pode ser considerado sinônimo do termo "exponenciação".
Na potenciação, é necessário utilizar as regras inversas às regras do logaritmo: substituir a soma dos logaritmos pelo logaritmo do produto, a diferença dos logaritmos pelo logaritmo do quociente, etc. qualquer fator na frente do sinal do logaritmo, então durante a potenciação deve ser transferido para os graus do indicador sob o sinal do logaritmo.
Exemplo 5. Encontre N se for conhecido que
Decisão. Em conexão com a regra de potencialização que acabamos de dizer, os fatores 2/3 e 1/3, que estão na frente dos sinais dos logaritmos do lado direito desta igualdade, serão transferidos para os expoentes sob os sinais desses logaritmos; Nós temos
Agora substituímos a diferença de logaritmos pelo logaritmo do quociente:
para obter a última fração dessa cadeia de igualdades, liberamos a fração anterior da irracionalidade no denominador (seção 25).
Propriedade 7. Se a base for maior que um, então o número maior tem um logaritmo maior (e o menor tem um logaritmo menor), se a base for menor que um, então o número maior tem um logaritmo menor (e o menor tem um logaritmo menor). um tem um maior).
Esta propriedade também é formulada como uma regra para o logaritmo das desigualdades, ambas as partes das quais são positivas:
Ao levar o logaritmo das desigualdades a uma base maior que um, o sinal da desigualdade é preservado, e ao levar um logaritmo a uma base menor que um, o sinal da desigualdade é invertido (ver também item 80).
A prova é baseada nas propriedades 5 e 3. Considere o caso em que Se , então e, tomando o logaritmo, obtemos
(a e N/M estão do mesmo lado da unidade). Daqui
Caso a segue, o leitor descobrirá por si mesmo.
Logaritmo de b (b > 0) para basear a (a > 0, a ≠ 1)é o expoente ao qual você precisa aumentar o número a para obter b.
O logaritmo de base 10 de b pode ser escrito como log(b), e o logaritmo na base e (logaritmo natural) - ln(b).
Frequentemente usado ao resolver problemas com logaritmos:
Propriedades dos logaritmos
Existem quatro principais propriedades dos logaritmos.
Seja a > 0, a ≠ 1, x > 0 e y > 0.
Propriedade 1. Logaritmo do produto
Logaritmo do produtoé igual à soma dos logaritmos:
log a (x ⋅ y) = log a x + log a y
Propriedade 2. Logaritmo do quociente
Logaritmo do quocienteé igual à diferença de logaritmos:
log a (x / y) = log a x – log a y
Propriedade 3. Logaritmo do grau
Logaritmo de graué igual ao produto do grau pelo logaritmo:
Se a base do logaritmo estiver no expoente, aplica-se outra fórmula:
Propriedade 4. Logaritmo da raiz
Esta propriedade pode ser obtida a partir da propriedade do logaritmo do grau, pois a raiz do grau n é igual à potência de 1/n:
A fórmula para ir de um logaritmo em uma base para um logaritmo em outra base
Esta fórmula também é frequentemente usada ao resolver várias tarefas para logaritmos:
Caso especial:
Comparação de logaritmos (desigualdades)
Suponha que temos 2 funções f(x) e g(x) sob logaritmos com as mesmas bases e existe um sinal de desigualdade entre elas:
Para compará-los, primeiro você precisa olhar para a base dos logaritmos a:
- Se a > 0, então f(x) > g(x) > 0
- Se 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)
Como resolver problemas com logaritmos: exemplos
Tarefas com logaritmos incluído no USE em matemática para a 11ª série na tarefa 5 e tarefa 7, você pode encontrar tarefas com soluções em nosso site nas seções apropriadas. Além disso, tarefas com logaritmos são encontradas no banco de tarefas em matemática. Você pode encontrar todos os exemplos pesquisando no site.
O que é um logaritmo
Os logaritmos sempre foram considerados um tópico difícil no curso de matemática escolar. Existem muitas definições diferentes de logaritmo, mas por alguma razão a maioria dos livros usa a mais complexa e infeliz delas.
Vamos definir o logaritmo de forma simples e clara. Vamos criar uma tabela para isso:
Então, temos potências de dois.
Logaritmos - propriedades, fórmulas, como resolver
Se você pegar o número da linha de fundo, poderá encontrar facilmente a potência à qual precisa aumentar um dois para obter esse número. Por exemplo, para obter 16, você precisa elevar dois à quarta potência. E para obter 64, você precisa elevar dois à sexta potência. Isso pode ser visto na tabela.
E agora - de fato, a definição do logaritmo:
a base a do argumento x é a potência à qual o número a deve ser elevado para obter o número x.
Notação: log a x \u003d b, onde a é a base, x é o argumento, b é realmente o que o logaritmo é igual.
Por exemplo, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (o logaritmo de base 2 de 8 é três porque 2 3 = 8). Pode também logar 2 64 = 6, porque 2 6 = 64.
A operação de encontrar o logaritmo de um número para uma determinada base é chamada. Então, vamos adicionar uma nova linha à nossa tabela:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| log 2 2 = 1 | log 2 4 = 2 | log 2 8 = 3 | log 2 16 = 4 | log 2 32 = 5 | log 2 64 = 6 |
Infelizmente, nem todos os logaritmos são considerados tão facilmente. Por exemplo, tente encontrar log 2 5. O número 5 não está na tabela, mas a lógica determina que o logaritmo estará em algum lugar no segmento. Porque 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Esses números são chamados de irracionais: os números após a vírgula podem ser escritos indefinidamente e nunca se repetem. Se o logaritmo for irracional, é melhor deixá-lo assim: log 2 5, log 3 8, log 5 100.
É importante entender que o logaritmo é uma expressão com duas variáveis (base e argumento). A princípio, muitas pessoas confundem onde está a base e onde está o argumento. Para evitar mal-entendidos irritantes, basta dar uma olhada na imagem:
Diante de nós nada mais é do que a definição do logaritmo. Lembrar: o logaritmo é a potência, para o qual você precisa aumentar a base para obter o argumento. É a base que é elevada a uma potência - na foto ela está destacada em vermelho. Acontece que a base está sempre no fundo! Eu conto essa regra maravilhosa para meus alunos na primeira aula - e não há confusão.
Como contar logaritmos
Descobrimos a definição - resta aprender a contar logaritmos, ou seja, livrar-se do sinal "log". Para começar, notamos que dois fatos importantes decorrem da definição:
- O argumento e a base devem ser sempre maiores que zero. Isso decorre da definição do grau por um expoente racional, ao qual se reduz a definição do logaritmo.
- A base deve ser diferente da unidade, pois uma unidade para qualquer poder ainda é uma unidade. Por causa disso, a questão “a que poder um deve ser elevado para obter dois” não tem sentido. Não existe esse grau!
Tais restrições são chamadas intervalo válido(ODZ). Acontece que a ODZ do logaritmo se parece com isso: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Observe que não há restrições quanto ao número b (o valor do logaritmo) não é imposto. Por exemplo, o logaritmo pode ser negativo: log 2 0,5 = −1, porque 0,5 = 2 −1 .
No entanto, agora estamos considerando apenas expressões numéricas, onde não é necessário conhecer a ODZ do logaritmo. Todas as restrições já foram levadas em consideração pelos compiladores dos problemas. Mas quando as equações logarítmicas e as desigualdades entrarem em jogo, os requisitos do DHS se tornarão obrigatórios. De fato, na base e no argumento pode haver construções muito fortes que não necessariamente correspondem às restrições acima.
Agora considere o esquema geral para calcular logaritmos. Consiste em três etapas:
- Expresse a base a e o argumento x como uma potência com a menor base possível maior que um. Ao longo do caminho, é melhor se livrar das frações decimais;
- Resolva a equação para a variável b: x = a b ;
- O número resultante b será a resposta.
Isso é tudo! Se o logaritmo for irracional, isso já será visto na primeira etapa. A exigência de que a base seja maior que um é muito relevante: isso reduz a probabilidade de erro e simplifica muito os cálculos. Da mesma forma com frações decimais: se você as converter imediatamente para as ordinárias, haverá muitas vezes menos erros.
Vamos ver como esse esquema funciona com exemplos específicos:
Tarefa. Calcule o logaritmo: log 5 25
- Vamos representar a base e o argumento como uma potência de cinco: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
- Recebeu uma resposta: 2.
Vamos fazer e resolver a equação:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
Tarefa. Calcule o logaritmo:
Tarefa. Calcule o logaritmo: log 4 64
- Vamos representar a base e o argumento como uma potência de dois: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
- Vamos fazer e resolver a equação:
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3; - Recebeu uma resposta: 3.
Tarefa. Calcule o logaritmo: log 16 1
- Vamos representar a base e o argumento como uma potência de dois: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
- Vamos fazer e resolver a equação:
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0; - Recebeu uma resposta: 0.
Tarefa. Calcule o logaritmo: log 7 14
- Vamos representar a base e o argumento como uma potência de sete: 7 = 7 1 ; 14 não é representado como uma potência de sete, porque 7 1< 14 < 7 2 ;
- Decorre do parágrafo anterior que o logaritmo não é considerado;
- A resposta é nenhuma mudança: log 7 14.
Uma pequena nota sobre o último exemplo. Como ter certeza de que um número não é uma potência exata de outro número? Muito simples - basta decompô-lo em fatores primos. Se houver pelo menos dois fatores distintos na expansão, o número não é uma potência exata.
Tarefa. Descubra se as potências exatas do número são: 8; 48; 81; 35; quatorze.
8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - o grau exato, porque há apenas um multiplicador;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 não é uma potência exata porque existem dois fatores: 3 e 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - grau exato;
35 = 7 5 - novamente não é um grau exato;
14 \u003d 7 2 - novamente não é um grau exato;
Observe também que os próprios números primos são sempre potências exatas de si mesmos.
logaritmo decimal
Alguns logaritmos são tão comuns que têm um nome e uma designação especiais.
do argumento x é o logaritmo de base 10, ou seja a potência à qual 10 deve ser elevado para obter x. Designação: lgx.
Por exemplo, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - etc.
A partir de agora, quando uma frase como “Find lg 0.01” aparecer no livro, saiba que isso não é um erro de digitação. Este é o logaritmo decimal. No entanto, se você não estiver acostumado com essa designação, sempre poderá reescrevê-la:
log x = log 10 x
Tudo o que é verdade para logaritmos comuns também é verdade para decimais.
Logaritmo natural
Há outro logaritmo que tem sua própria notação. Em certo sentido, é ainda mais importante do que decimal. Este é o logaritmo natural.
do argumento x é o logaritmo da base e, ou seja a potência à qual o número e deve ser elevado para obter o número x. Designação: lnx.
Muitos vão perguntar: qual é o número e? Este é um número irracional, seu valor exato não pode ser encontrado e escrito. Aqui estão apenas os primeiros números:
e = 2,718281828459…
Não vamos nos aprofundar no que é esse número e por que ele é necessário. Basta lembrar que e é a base do logaritmo natural:
ln x = log e x
Assim ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - etc. Por outro lado, ln 2 é um número irracional. Em geral, o logaritmo natural de qualquer número racional é irracional. Exceto, é claro, a unidade: ln 1 = 0.
Para logaritmos naturais, todas as regras que são verdadeiras para logaritmos comuns são válidas.
Veja também:
Logaritmo. Propriedades do logaritmo (potência do logaritmo).
Como representar um número como um logaritmo?
Usamos a definição de logaritmo.
O logaritmo é uma medida da potência à qual a base deve ser elevada para obter o número sob o sinal do logaritmo.
Assim, para representar um certo número c como logaritmo da base a, é necessário colocar um grau sob o sinal do logaritmo com a mesma base que a base do logaritmo e escrever esse número c no expoente :
Na forma de um logaritmo, você pode representar absolutamente qualquer número - positivo, negativo, inteiro, fracionário, racional, irracional:
Para não confundir a e c em condições estressantes de um teste ou exame, você pode usar a seguinte regra para lembrar:
o que está embaixo desce, o que está em cima sobe.
Por exemplo, você deseja representar o número 2 como um logaritmo na base 3.
Temos dois números - 2 e 3. Esses números são a base e o expoente, que escreveremos sob o sinal do logaritmo. Resta determinar qual desses números deve ser escrito, na base do grau, e qual - para cima, no expoente.
A base 3 no registro do logaritmo está na parte inferior, o que significa que quando representamos o deuce como um logaritmo na base de 3, também escreveremos 3 na base.
2 é maior que 3. E na notação do grau, escrevemos os dois acima dos três, ou seja, no expoente:
Logaritmos. Primeiro nível.
Logaritmos
logaritmo número positivo b Por razão uma, Onde a > 0, a ≠ 1, é o expoente ao qual o número deve ser elevado. uma, Obter b.
Definição de logaritmo pode ser escrito resumidamente assim:
Essa igualdade é válida para b > 0, a > 0, a ≠ 1. Ele costuma ser chamado identidade logarítmica.
A ação de encontrar o logaritmo de um número é chamada logaritmo.
Propriedades dos logaritmos:
O logaritmo do produto:
Logaritmo do quociente da divisão:
Substituindo a base do logaritmo:
Logaritmo de grau:
logaritmo da raiz:
Logaritmo com base de potência:
Logaritmos decimais e naturais.
logaritmo decimal números chame o logaritmo de base 10 desse número e escreva lg b
Logaritmo natural números chamam o logaritmo desse número para a base e, Onde eé um número irracional, aproximadamente igual a 2,7. Ao mesmo tempo, eles escrevem ln b.
Outras notas sobre álgebra e geometria
Propriedades básicas dos logaritmos
Propriedades básicas dos logaritmos
Logaritmos, como qualquer número, podem ser somados, subtraídos e convertidos de todas as formas possíveis. Mas como os logaritmos não são números bem comuns, existem regras aqui, que são chamadas de propriedades básicas.
Essas regras devem ser conhecidas - nenhum problema logarítmico sério pode ser resolvido sem elas. Além disso, há muito poucos deles - tudo pode ser aprendido em um dia. Então vamos começar.
Adição e subtração de logaritmos
Considere dois logaritmos com a mesma base: log a x e log a y. Então eles podem ser adicionados e subtraídos, e:
- log a x + log a y = log a (x y);
- log a x - log a y = log a (x: y).
Assim, a soma dos logaritmos é igual ao logaritmo do produto, e a diferença é o logaritmo do quociente. Por favor, note: o ponto-chave aqui é - mesmos motivos. Se as bases forem diferentes, essas regras não funcionam!
Essas fórmulas ajudarão a calcular a expressão logarítmica mesmo quando suas partes individuais não forem consideradas (consulte a lição "O que é um logaritmo"). Dê uma olhada nos exemplos e veja:
log 6 4 + log 6 9.
Como as bases dos logaritmos são as mesmas, usamos a fórmula da soma:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Tarefa. Encontre o valor da expressão: log 2 48 − log 2 3.
As bases são as mesmas, usamos a fórmula da diferença:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Tarefa. Encontre o valor da expressão: log 3 135 − log 3 5.
Novamente, as bases são as mesmas, então temos:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Como você pode ver, as expressões originais são compostas de logaritmos "ruins", que não são considerados separadamente. Mas depois de transformações números bastante normais resultam. Muitos testes são baseados neste fato. Sim, controle - expressões semelhantes com toda a seriedade (às vezes - praticamente sem alterações) são oferecidas no exame.
Removendo o expoente do logaritmo
Agora vamos complicar um pouco a tarefa. E se houver um grau na base ou argumento do logaritmo? Então o expoente deste grau pode ser retirado do sinal do logaritmo de acordo com as seguintes regras:
É fácil ver que a última regra segue as duas primeiras. Mas é melhor lembrar de qualquer maneira - em alguns casos, reduzirá significativamente a quantidade de cálculos.
Claro, todas essas regras fazem sentido se o logaritmo ODZ for observado: a > 0, a ≠ 1, x > 0. E mais uma coisa: aprenda a aplicar todas as fórmulas não apenas da esquerda para a direita, mas também vice-versa, ou seja, você pode inserir os números antes do sinal do logaritmo no próprio logaritmo.
Como resolver logaritmos
Isso é o que é mais frequentemente exigido.
Tarefa. Encontre o valor da expressão: log 7 49 6 .
Vamos nos livrar do grau no argumento de acordo com a primeira fórmula:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Tarefa. Encontre o valor da expressão:
Observe que o denominador é um logaritmo cuja base e argumento são potências exatas: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Nós temos:
Acho que o último exemplo precisa de esclarecimento. Para onde foram os logaritmos? Até o último momento, trabalhamos apenas com o denominador. Eles apresentaram a base e o argumento do logaritmo ali na forma de graus e retiraram os indicadores - eles obtiveram uma fração de “três andares”.
Agora vamos olhar para a fração principal. O numerador e o denominador têm o mesmo número: log 2 7. Como log 2 7 ≠ 0, podemos reduzir a fração - 2/4 permanecerá no denominador. De acordo com as regras da aritmética, o quatro pode ser transferido para o numerador, o que foi feito. O resultado é a resposta: 2.
Transição para uma nova fundação
Falando sobre as regras para somar e subtrair logaritmos, enfatizei especificamente que elas só funcionam com as mesmas bases. E se as bases forem diferentes? E se não forem potências exatas do mesmo número?
Fórmulas de transição para uma nova base vêm em socorro. Nós os formulamos na forma de um teorema:
Seja dado o logaritmo log a x. Então, para qualquer número c tal que c > 0 e c ≠ 1, a igualdade é verdadeira:
Em particular, se colocarmos c = x, obtemos:
Segue-se da segunda fórmula que é possível trocar a base e o argumento do logaritmo, mas neste caso toda a expressão é “invertida”, ou seja, o logaritmo está no denominador.
Essas fórmulas raramente são encontradas em expressões numéricas comuns. É possível avaliar quão convenientes eles são apenas ao resolver equações logarítmicas e desigualdades.
No entanto, existem tarefas que não podem ser resolvidas, exceto pela mudança para uma nova fundação. Vamos considerar alguns deles:
Tarefa. Encontre o valor da expressão: log 5 16 log 2 25.
Observe que os argumentos de ambos os logaritmos são expoentes exatos. Vamos tirar os indicadores: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;
Agora vamos inverter o segundo logaritmo:
Como o produto não muda com a permutação de fatores, multiplicamos calmamente quatro e dois, e então descobrimos os logaritmos.
Tarefa. Encontre o valor da expressão: log 9 100 lg 3.
A base e o argumento do primeiro logaritmo são potências exatas. Vamos anotá-lo e nos livrar dos indicadores:
Agora vamos nos livrar do logaritmo decimal movendo para uma nova base:
Identidade logarítmica básica
Muitas vezes, no processo de resolução, é necessário representar um número como um logaritmo para uma determinada base.
Nesse caso, as fórmulas nos ajudarão:
No primeiro caso, o número n torna-se o expoente no argumento. O número n pode ser absolutamente qualquer coisa, porque é apenas o valor do logaritmo.
A segunda fórmula é na verdade uma definição parafraseada. É chamado assim:
De fato, o que acontecerá se o número b for elevado a tal potência que o número b elevado a essa potência dê o número a? Isso mesmo: este é o mesmo número a. Leia este parágrafo com atenção novamente - muitas pessoas “se penduram” nele.
Como as novas fórmulas de conversão de base, a identidade logarítmica básica às vezes é a única solução possível.
Tarefa. Encontre o valor da expressão:
Observe que log 25 64 = log 5 8 - apenas tirou o quadrado da base e o argumento do logaritmo. Dadas as regras para multiplicar potências de mesma base, temos:
Se alguém não sabe, essa foi uma tarefa real do Exame Estadual Unificado 🙂
Unidade logarítmica e zero logarítmico
Em conclusão, darei duas identidades que são difíceis de chamar de propriedades - ao contrário, são consequências da definição do logaritmo. Eles são constantemente encontrados em problemas e, surpreendentemente, criam problemas mesmo para alunos "avançados".
- log a a = 1 é. Lembre-se de uma vez por todas: o logaritmo para qualquer base a dessa própria base é igual a um.
- log a 1 = 0 é. A base a pode ser qualquer coisa, mas se o argumento for um, o logaritmo será zero! Porque a 0 = 1 é uma consequência direta da definição.
Essas são todas as propriedades. Certifique-se de praticar colocá-los em prática! Baixe a folha de dicas no início da lição, imprima e resolva os problemas.
