MatemáticaCapítuloV

. GEOMETRIA ANALÍTICA NO PLANO

E NO ESPAÇO

A seção inclui tarefas que são discutidas no tópico “Geometria analítica no plano e no espaço”: elaboração de diversas equações de retas no plano e no espaço; determinar a posição relativa das linhas em um plano, linhas retas, uma linha reta e um plano, planos no espaço; imagem de curvas de segunda ordem. Ressalta-se que esta seção apresenta problemas de conteúdo econômico, cuja solução utiliza informações da geometria analítica no plano.

Na resolução de problemas de geometria analítica, é aconselhável utilizar livros didáticos dos seguintes autores: D.V. Kletenika, N. Sh. Kremer, D.T. Escrito por V.I. Malykhina, porque Esta literatura cobre uma gama mais ampla de tarefas que podem ser usadas para auto-estudo sobre este tópico. A aplicação da geometria analítica para resolver problemas econômicos é apresentada em publicações educacionais de M.S. Krass e V.I. Ermakova.Problema 5.1. Dadas as coordenadas dos vértices do triângulo abc

. Necessário

a) escreva as equações dos lados do triângulo;b) escreva a equação da altura de um triângulo desenhado a partir do vértice COMpara o lado AB

e encontre seu comprimento;c) escreva a equação da mediana de um triângulo desenhado a partir do vértice COMEM ;

AC

d) encontrar os ângulos do triângulo e estabelecer seu tipo (retangular, agudo, obtuso);

e) encontrar os comprimentos dos lados do triângulo e determinar seu tipo (escaleno, isósceles, equilátero);Problema 5.1. Dadas as coordenadas dos vértices do triângulo ;

e) encontrar as coordenadas do centro de gravidade (ponto de intersecção das medianas) do triânguloProblema 5.1. Dadas as coordenadas dos vértices do triângulo .

g) encontre as coordenadas do ortocentro (ponto de intersecção das altitudes) do triângulo

Para cada um dos pontos a) – c) da solução, faça desenhos em um sistema de coordenadas. Nas imagens marque as linhas e pontos correspondentes aos pontos da tarefa.

Exemplo 5.1Problema 5.1. Dadas as coordenadas dos vértices do triângulo : Dadas as coordenadas dos vértices do triângulo b) escreva a equação da altura de um triângulo desenhado a partir do vértice COMpara o lado . É necessário a) escrever as equações dos lados do triângulo; b) escreva a equação da altura de um triângulo desenhado a partir do vérticec) escreva a equação da mediana de um triângulo desenhado a partir do vértice COMEM ; d) encontrar os comprimentos dos lados do triângulo e determinar seu tipo (escaleno, isósceles, equilátero); e) encontrar os ângulos do triângulo e estabelecer seu tipo (retangular, agudo, obtuso); e) encontrar as coordenadas do centro de gravidade (ponto de intersecção das medianas) do triângulo Problema 5.1. Dadas as coordenadas dos vértices do triângulo ; g) encontre as coordenadas do ortocentro (ponto de intersecção das altitudes) do triânguloProblema 5.1. Dadas as coordenadas dos vértices do triângulo .

Solução

UM) Para cada lado do triângulo, as coordenadas de dois pontos que estão nas retas exigidas são conhecidas, o que significa que as equações dos lados do triângulo são as equações das retas que passam por dois pontos dados.

,

Onde
E
as coordenadas correspondentes dos pontos.

Assim, substituindo as coordenadas dos pontos correspondentes às retas na fórmula (5.1), obtemos

,
,
,

de onde, após as transformações, escrevemos as equações dos lados

Na Fig. 7 representamos os lados correspondentes do triângulo
direto.

Responder:

b) Deixar
– altura desenhada a partir do vértice COM
. Desde
passa por um ponto perpendicular ao vetor
, então comporemos a equação da reta usando a seguinte fórmula

Onde
– coordenadas do vetor perpendicular à linha desejada,
– coordenadas de um ponto pertencente a esta linha. Encontre as coordenadas do vetor perpendicular à linha
, e substitua na fórmula (5.2)

,
,

.

Encontre o comprimento da altura CH como distância do ponto para uma linha reta

,

Onde
– equação de uma reta
,
– coordenadas do ponto .

No parágrafo anterior foi encontrado

Substituindo os dados na fórmula (5.3), obtemos

,

Na Fig. 8 desenhe um triângulo e a altura encontrada CH.

Responder: .

R é. 8

V) mediana
triângulo
divide o lado
em duas partes iguais, ou seja, ponto é o ponto médio do segmento
. Com base nisso, você pode encontrar as coordenadas
pontos

, ,

Onde
E
E , substituindo qual nas fórmulas (5.4), obtemos

;
.

Equação mediana
triângulo
Vamos escrevê-lo como a equação de uma reta que passa pelos pontos
E
de acordo com a fórmula (5.1)

,

.

Responder:(Fig. 9).

R é. 9

G) Encontramos os comprimentos dos lados do triângulo como os comprimentos dos vetores correspondentes, ou seja,

,
,
.

Festas
E
triângulo
são iguais, o que significa que o triângulo é isósceles com a base
.

Responder: triângulo
isósceles com base
;

,
.

e)Ângulos de um triângulo
vamos encontrar os ângulos entre os vetores que emanam dos vértices correspondentes de um determinado triângulo, ou seja,

,
,
.

Como o triângulo é isósceles de base
, Que

,

Calculamos os ângulos entre os vetores usando a fórmula (4.4), que requer produtos escalares de vetores
,
.

Vamos encontrar as coordenadas e magnitudes dos vetores necessários para calcular os ângulos

,
;

,
,
.

Substituindo os dados encontrados na fórmula (4.4), obtemos

,

Como os cossenos de todos os ângulos encontrados são positivos, então o triângulo
é de ângulo agudo.

Responder: triângulo
ângulo agudo;

,
,
.

e) Deixar

, então as coordenadas
pontos
pode ser encontrado usando fórmulas (5.5)

, ,

Onde
,
E
– coordenadas dos pontos respectivamente , E , por isso,

,
.

Responder:
– centro de gravidade do triângulo
.

e) Deixar – ortocentro do triângulo
. Encontre as coordenadas do ponto como as coordenadas do ponto de intersecção das altitudes do triângulo. Equação de Altura
foi encontrado em b). Vamos encontrar a equação da altura
:

,
,

.

Desde
, então a solução do sistema

são as coordenadas do ponto , onde encontramos
.

Responder:
– ortocentro do triângulo
.

Problema 5.2. Os custos fixos da empresa na produção de alguns produtos sãoF Capítulo 0 esfregar. por unidade de produção, com receita equivalente aR 0 esfregar. por unidade de produto fabricado. Crie uma função de lucroP (q ) (q

Dados para a condição do problema correspondente às opções:

Exemplo 5.2

Os custos fixos da empresa na produção de alguns produtos são
esfregar. por mês, custos variáveis ​​–
esfregar. por unidade de produção, com receita equivalente a
esfregar. por unidade de produto fabricado. Crie uma função de lucroP (q ) (q – quantidade de produtos produzidos); construa seu gráfico e determine o ponto de equilíbrio.

Solução

Vamos calcular os custos totais de produção no lançamento q unidades de alguns produtos

Se vendido q unidades de produção, então a renda total será

Com base nas funções obtidas de receita total e custos totais, encontramos a função lucro

,

.

Ponto de equilíbrio – o ponto em que o lucro é zero ou o ponto em que os custos totais são iguais à receita total

,

,

de onde o encontramos?

- empatar.

Para traçar um gráfico (Fig. 10) da função lucro, encontraremos mais um ponto

Responder: função lucro
, empatar
.

Problema 5.3. As leis da oferta e da demanda de um determinado produto são determinadas respectivamente pelas equaçõesp = p D (q ), p = p S (q ), Ondep – preço do produto,q – quantidade de mercadorias. Supõe-se que a demanda é determinada apenas pelo preço do produto no mercadop b) escreva a equação da altura de um triângulo desenhado a partir do vértice , e a oferta é apenas por preçop S recebidos pelos fornecedores. Necessário

a) determinar o ponto de equilíbrio do mercado;

b) o ponto de equilíbrio após a introdução de um imposto igual at . Determinar o aumento do preço e a diminuição do volume de vendas de equilíbrio;

c) encontrar um subsídioé , o que levará a um aumento nas vendas emq 0 unidades relativamente ao original (definido na alínea a));

d) encontrar um novo ponto de equilíbrio e receita do governo ao introduzir um imposto proporcional ao preço e igualN %;

e) determinar quanto dinheiro o governo gastará na compra do excedente ao estabelecer um preço mínimo igual a p 0 .

Para cada ponto de solução, faça um desenho no sistema de coordenadas. Na figura, marque as linhas e pontos correspondentes ao item da tarefa.

Dados para a condição do problema correspondente às opções:

Na geometria, o conceito de “vértice de um triângulo” é frequentemente considerado. Este é o ponto de intersecção de dois lados de uma determinada figura. Este conceito aparece em quase todos os problemas, por isso faz sentido considerá-lo com mais detalhes.

Determinando o vértice de um triângulo

Um triângulo tem três pontos onde os lados se cruzam, formando três ângulos. Eles são chamados de vértices e os lados sobre os quais repousam são chamados de lados do triângulo.

Arroz. 1. Vértice de um triângulo.

Os vértices dos triângulos são indicados em letras maiúsculas. Portanto, na maioria das vezes em matemática, os lados são denotados por duas letras latinas maiúsculas, após os nomes dos vértices que entram nos lados. Por exemplo, o lado AB é o lado de um triângulo que conecta os vértices A e B.

Arroz. 2. Designação de vértices em um triângulo.

Características do conceito

Se tomarmos um triângulo orientado arbitrariamente em um plano, então na prática é muito conveniente expressar suas características geométricas através das coordenadas dos vértices desta figura. Assim, o vértice A de um triângulo pode ser expresso como um ponto com certos parâmetros numéricos A(x; y).

Conhecendo as coordenadas dos vértices do triângulo, é possível encontrar os pontos de intersecção das medianas, o comprimento da altura baixada para um dos lados da figura e a área do triângulo.

Para isso, são utilizadas as propriedades dos vetores representados no sistema de coordenadas cartesianas, pois o comprimento do lado de um triângulo é determinado através do comprimento do vetor com os pontos nos quais estão localizados os vértices correspondentes desta figura.

Usando o vértice de um triângulo

Para qualquer vértice de um triângulo, você pode encontrar um ângulo que será adjacente ao ângulo interno da figura em questão. Para fazer isso, você terá que estender um dos lados do triângulo. Como existem dois lados em cada vértice, existem dois ângulos externos em cada vértice. Um ângulo externo é igual à soma de dois ângulos internos de um triângulo que não são adjacentes a ele.

Arroz. 3. Propriedade do ângulo externo de um triângulo.

Se você construir dois ângulos externos em um vértice, eles serão iguais, como os verticais.

O que aprendemos?

Um conceito importante em geometria quando se olha para diferentes tipos de triângulos é o vértice. Este é o ponto onde os dois lados do ângulo de uma determinada figura geométrica se cruzam. É denotado por uma das letras maiúsculas do alfabeto latino. O vértice de um triângulo pode ser expresso em termos de coordenadas xey, o que ajuda a definir o comprimento do lado do triângulo como o comprimento de um vetor.

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Como aprender a resolver problemas de geometria analítica?
Problema típico com um triângulo em um plano

Esta lição foi criada na aproximação do equador entre a geometria do plano e a geometria do espaço. Neste momento há necessidade de sistematizar a informação acumulada e responder a uma questão muito importante: como aprender a resolver problemas de geometria analítica? A dificuldade é que você pode encontrar um número infinito de problemas de geometria, e nenhum livro conterá toda a multidão e variedade de exemplos. Isto não é derivada de uma função com cinco regras de diferenciação, uma tabela e diversas técnicas….

Existe uma solução! Não vou falar alto sobre o fato de ter desenvolvido algum tipo de técnica grandiosa, porém, na minha opinião, existe uma abordagem eficaz para o problema em questão, que permite até mesmo um bule completo alcançar bons e excelentes resultados. Pelo menos o algoritmo geral para resolver problemas geométricos tomou forma com muita clareza na minha cabeça.

O QUE VOCÊ PRECISA SABER E PODER FAZER
para resolver com sucesso problemas de geometria?

Não há como escapar disso - para não apertar botões aleatoriamente com o nariz, você precisa dominar os fundamentos da geometria analítica. Portanto, se você acabou de começar a estudar geometria ou a esqueceu completamente, comece com a lição Vetores para manequins. Além de vetores e ações com eles, você precisa conhecer os conceitos básicos da geometria plana, em particular, equação de uma reta em um plano E . A geometria do espaço é apresentada em artigos Equação plana, Equações de uma linha no espaço, Problemas básicos em linha reta e plano e algumas outras lições. Linhas curvas e superfícies espaciais de segunda ordem ficam um tanto distantes e não há tantos problemas específicos com elas.

Suponhamos que o aluno já possua conhecimentos e habilidades básicas para resolver os problemas mais simples de geometria analítica. Mas acontece assim: você lê o enunciado do problema, e... você quer fechar tudo de uma vez, jogar num canto distante e esquecer, como um pesadelo. Além disso, isto não depende fundamentalmente do nível das suas qualificações; de vez em quando, eu próprio me deparo com tarefas para as quais a solução não é óbvia; O que fazer nesses casos? Não há necessidade de ter medo de uma tarefa que você não entende!

Primeiramente, deve ser instalado - Este é um problema “plano” ou espacial? Por exemplo, se a condição inclui vetores com duas coordenadas, então, é claro, esta é a geometria de um plano. E se o professor carregou o ouvinte agradecido com uma pirâmide, então há claramente a geometria do espaço. Os resultados da primeira etapa já são bastante bons, pois conseguimos cortar uma enorme quantidade de informações desnecessárias para esta tarefa!

Segundo. A condição geralmente diz respeito a alguma figura geométrica. Na verdade, caminhe pelos corredores da sua universidade natal e você verá muitos rostos preocupados.

Em problemas “planos”, sem falar nos pontos e linhas óbvios, a figura mais popular é um triângulo. Iremos analisá-lo detalhadamente. Em seguida vem o paralelogramo, e muito menos comuns são o retângulo, o quadrado, o losango, o círculo e outras formas.

Em problemas espaciais, as mesmas figuras planas + os próprios planos e pirâmides triangulares comuns com paralelepípedos podem voar.

Pergunta dois - Você sabe tudo sobre essa figura? Suponha que a condição fale sobre um triângulo isósceles e você se lembre vagamente que tipo de triângulo é. Abrimos um livro escolar e lemos sobre um triângulo isósceles. O que fazer... o médico disse um losango, isso significa um losango. Geometria analítica é geometria analítica, mas o problema será resolvido pelas propriedades geométricas das próprias figuras, que conhecemos no currículo escolar. Se você não sabe qual é a soma dos ângulos de um triângulo, poderá sofrer por muito tempo.

Terceiro. SEMPRE tente seguir o desenho(em um rascunho/cópia finalizada/mentalmente), mesmo que isso não seja exigido pela condição. Nos problemas “planos”, o próprio Euclides mandava pegar uma régua e um lápis - e não apenas para entender o estado, mas também para fins de autoteste. Neste caso, a escala mais conveniente é 1 unidade = 1 cm (2 células de caderno). Não vamos falar sobre estudantes descuidados e matemáticos girando em seus túmulos - é quase impossível cometer um erro em tais problemas. Para tarefas espaciais, realizamos um desenho esquemático, que também ajudará na análise do estado.

Um desenho ou desenho esquemático geralmente permite que você veja imediatamente a maneira de resolver um problema. Claro, para isso você precisa conhecer os fundamentos da geometria e compreender as propriedades das formas geométricas (veja o parágrafo anterior).

Quarto. Desenvolvimento de um algoritmo de solução. Muitos problemas de geometria são de várias etapas, portanto a solução e seu design são muito convenientes para serem divididos em pontos. Freqüentemente, o algoritmo vem imediatamente à mente depois de ler a condição ou concluir o desenho. Em caso de dificuldades, começamos com a PERGUNTA da tarefa. Por exemplo, de acordo com a condição “você precisa construir uma linha reta...”. Aqui a questão mais lógica é: “O que é suficiente saber para construir esta linha reta?” Suponha que “conhecemos o ponto, precisamos conhecer o vetor de direção”. Fazemos a seguinte pergunta: “Como encontrar esse vetor de direção? Onde?" etc.

Às vezes há um “bug” - o problema não foi resolvido e pronto. Os motivos da parada podem ser os seguintes:

– Grave lacuna no conhecimento básico. Em outras palavras, você não sabe e/ou não vê alguma coisa muito simples.

– Ignorância das propriedades das figuras geométricas.

- A tarefa foi difícil. Sim, isso acontece. Não adianta cozinhar por horas e guardar lágrimas em um lenço. Peça conselhos ao seu professor, colegas ou faça uma pergunta no fórum. Além disso, é melhor tornar sua afirmação concreta - sobre aquela parte da solução que você não entende. Um grito na forma de “Como resolver o problema?” não parece muito bom... e, acima de tudo, para a sua própria reputação.

Estágio cinco. Nós decidimos-verificamos, decidimos-verificamos, decidimos-verificamos-damos uma resposta. É benéfico verificar cada ponto da tarefa imediatamente após ser concluído. Isso o ajudará a detectar o erro imediatamente. Naturalmente, ninguém proíbe resolver rapidamente todo o problema, mas existe o risco de reescrever tudo novamente (geralmente várias páginas).

Estas são, talvez, todas as principais considerações que devem ser seguidas na resolução de problemas.

A parte prática da aula é apresentada em geometria plana. Serão apenas dois exemplos, mas não parecerão suficientes =)

Vamos examinar o tópico do algoritmo que acabei de examinar em meu pequeno trabalho científico:

Exemplo 1

São dados três vértices de um paralelogramo. Encontre o topo.

Vamos começar a entender:

Primeiro passo: É óbvio que estamos falando de um problema “plano”.

Etapa dois: O problema trata de um paralelogramo. Todos se lembram dessa figura do paralelogramo? Não há necessidade de sorrir, muitas pessoas recebem a sua educação aos 30-40-50 anos ou mais de idade, por isso mesmo factos simples podem ser apagados da memória. A definição de paralelogramo é encontrada no Exemplo nº 3 da lição (não) dependência linear de vetores. Base de vetores.

Etapa três: Vamos fazer um desenho no qual marcamos três vértices conhecidos. É engraçado que não seja difícil construir imediatamente o ponto desejado:

Construí-lo é, obviamente, bom, mas a solução deve ser formulada analiticamente.

Etapa quatro: Desenvolvimento de um algoritmo de solução. A primeira coisa que vem à mente é que um ponto pode ser encontrado como a intersecção de retas. Não conhecemos suas equações, então teremos que lidar com esta questão:

1) Os lados opostos são paralelos. Por pontos Vamos encontrar o vetor diretor desses lados. Este é o problema mais simples que foi discutido em aula. Vetores para manequins.

Observação: seria mais correto dizer “a equação de uma reta contendo um lado”, mas aqui e mais adiante, por questões de brevidade, usarei as frases “equação de um lado”, “vetor de direção de um lado”, etc.

3) Os lados opostos são paralelos. Usando os pontos, encontramos o vetor diretor desses lados.

4) Vamos criar uma equação de uma reta usando um ponto e um vetor de direção

A propósito, nos parágrafos 1-2 e 3-4, resolvemos o mesmo problema duas vezes, foi discutido no exemplo nº 3 da lição; Os problemas mais simples com uma linha reta em um avião. Foi possível fazer um percurso mais longo - primeiro encontrar as equações das retas e só depois “retirar” delas os vetores de direção.

5) Agora as equações das retas são conhecidas. Resta compor e resolver o sistema de equações lineares correspondente (ver exemplos nº 4, 5 da mesma lição Os problemas mais simples com uma linha reta em um avião).

O ponto foi encontrado.

A tarefa é bastante simples e a sua solução é óbvia, mas existe um caminho mais curto!

Segunda solução:

As diagonais de um paralelogramo são divididas ao meio pelo seu ponto de intersecção. Marquei o ponto, mas para não atrapalhar o desenho não desenhei as próprias diagonais.

Vamos criar uma equação para o lado ponto por ponto:

Para verificar, você deve substituir mentalmente ou em um rascunho as coordenadas de cada ponto na equação resultante. Agora vamos encontrar a inclinação. Para fazer isso, reescrevemos a equação geral na forma de uma equação com coeficiente de inclinação:

Assim, a inclinação é:

Da mesma forma, encontramos as equações dos lados. Não vejo muito sentido em descrever a mesma coisa, então darei imediatamente o resultado final:

2) Encontre o comprimento do lado. Este é o problema mais simples abordado em aula. Vetores para manequins. Para pontos usamos a fórmula:

Usando a mesma fórmula é fácil encontrar os comprimentos dos outros lados. A verificação pode ser feita muito rapidamente com uma régua comum.

Usamos a fórmula .

Vamos encontrar os vetores:

Por isso:

Aliás, ao longo do caminho encontramos os comprimentos dos lados.

Como resultado:

Bem, parece que é verdade; para torná-lo mais convincente, você pode colocar um transferidor no canto.

Atenção! Não confunda o ângulo de um triângulo com o ângulo entre linhas retas. O ângulo de um triângulo pode ser obtuso, mas o ângulo entre linhas retas não (veja o último parágrafo do artigo Os problemas mais simples com uma linha reta em um avião). No entanto, para encontrar o ângulo de um triângulo, você também pode usar as fórmulas da lição acima, mas o problema é que essas fórmulas sempre fornecem um ângulo agudo. Com a ajuda deles, resolvi esse problema no rascunho e obtive o resultado. E na cópia final eu teria que escrever desculpas adicionais, que.

4) Escreva uma equação para uma reta que passa por um ponto paralelo à reta.

Tarefa padrão discutida em detalhes no exemplo nº 2 da lição Os problemas mais simples com uma linha reta em um avião. Da equação geral da reta Vamos retirar o vetor guia. Vamos criar uma equação de uma linha reta usando um ponto e um vetor de direção:

Como encontrar a altura de um triângulo?

5) Vamos criar uma equação para a altura e encontrar seu comprimento.

Não há como escapar de definições estritas, então você terá que roubar um livro escolar:

Altura do triângulo é chamada de perpendicular traçada do vértice do triângulo à linha que contém o lado oposto.

Ou seja, é necessário criar uma equação para uma perpendicular traçada do vértice ao lado. Esta tarefa é discutida nos exemplos nº 6, 7 da lição Os problemas mais simples com uma linha reta em um avião. Da Eq. remova o vetor normal. Vamos compor a equação da altura usando um ponto e um vetor de direção:

Observe que não sabemos as coordenadas do ponto.

Às vezes, a equação da altura é encontrada a partir da razão dos coeficientes angulares das retas perpendiculares: . Neste caso, então: . Vamos compor a equação da altura usando um ponto e um coeficiente angular (veja o início da lição Equação de uma linha reta em um plano):

O comprimento da altura pode ser encontrado de duas maneiras.

Existe um caminho indireto:

a) encontrar – o ponto de intersecção da altura e do lado;
b) encontre o comprimento do segmento usando dois pontos conhecidos.

Mas na aula Os problemas mais simples com uma linha reta em um avião foi considerada uma fórmula conveniente para a distância de um ponto a uma linha. O ponto é conhecido: , a equação da reta também é conhecida: , Por isso:

6) Calcule a área do triângulo. No espaço, a área de um triângulo é tradicionalmente calculada usando produto vetorial de vetores, mas aqui temos um triângulo em um plano. Usamos a fórmula escolar:
– A área de um triângulo é igual à metade do produto de sua base pela sua altura.

Nesse caso:

Como encontrar a mediana de um triângulo?

7) Vamos criar uma equação para a mediana.

Mediana de um triângulo é chamado de segmento que conecta o vértice de um triângulo ao meio do lado oposto.

a) Encontre o ponto - o meio do lado. Nós usamos fórmulas para as coordenadas do ponto médio de um segmento. As coordenadas das extremidades do segmento são conhecidas: , então as coordenadas do meio:

Por isso:

Vamos compor a equação da mediana ponto por ponto :

Para verificar a equação, você precisa substituir as coordenadas dos pontos nela.

8) Encontre o ponto de intersecção da altura e da mediana. Acho que todo mundo já aprendeu a realizar esse elemento da patinação artística sem cair: