Prova

Se uma corda é um diâmetro, então o teorema é óbvio.

A Figura 287 mostra um círculo de centro O , M é o ponto de interseção do diâmetro CD e corda AB , CD ⊥ AB . Devemos provar que AM = MB.

Vamos desenhar os raios OA e OB. Em um triângulo isósceles AOB ( OA \u003d OB) o segmento OM é a altura e, portanto, a mediana, ou seja, AM \u003d MB.

Teorema 20.2

O diâmetro de um círculo que divide uma corda diferente do diâmetro pela metade é perpendicular a essa corda.

Prove este teorema você mesmo. Considere se esta afirmação é verdadeira se a corda for um diâmetro.

A Figura 288 mostra todos os casos possíveis da posição relativa de uma linha reta e um círculo. Na figura 288, mas eles não têm pontos comuns, na figura 288, b - eles têm dois pontos comuns, na figura 288, em - um.

Arroz. 288

Definição

Uma linha que tem apenas um ponto comum com um círculo é chamada de tangente ao círculo.

Uma tangente a um círculo tem apenas um ponto comum com o círculo limitado por este círculo. Na Figura 288, na linha a é tangente a um círculo centrado no ponto O, A é o ponto de contato.

Se um segmento (raio) pertence a uma tangente a um círculo e tem um ponto comum com este círculo, então o segmento (raio) é dito tangente ao círculo. Por exemplo, a figura 289 mostra o segmento AB, que toca o círculo no ponto C.

Teorema 20.3

(propriedade tangente)

A tangente ao círculo é perpendicular ao raio desenhado para o ponto de contato.

Prova

A Figura 290 mostra um círculo com centro O, A é o ponto tangente da linha a e o círculo. Devemos provar que OA ⊥ a .

Arroz. 289	Arroz. 290	Arroz. 291

Suponha que não seja assim, ou seja, o segmento OA é oblíquo à reta a. Então, do ponto O, deixamos cair a perpendicular OM à linha a (Fig. 291). Como o ponto A é o único ponto comum da reta a e do círculo centrado em O, então o ponto M não pertence a este círculo. Daí OM = MB + OB, onde o ponto B é o ponto de intersecção do círculo e da perpendicular OM. Os segmentos OA e OB são iguais aos raios de um círculo. Assim, OM > OA. Temos uma contradição: a perpendicular OM é maior que a oblíqua OA . Portanto, OA ⊥ a .

Teorema 20.4

(sinal de uma tangente a um círculo)

Se uma linha que passa por um ponto de um círculo é perpendicular ao raio desenhado para esse ponto, então essa linha é tangente ao círculo dado.

Prova

Arroz. 292

A Figura 290 mostra um círculo centrado no ponto O , segmento OA é seu raio, ponto A pertence à linha a , OA ⊥ a . Vamos provar que a reta a é tangente ao círculo.

Deixe que a linha a não seja tangente, mas tenha mais um ponto comum B com o círculo (Fig. 292). Então ∆ AOB é isósceles (OA = OB como raios). Portanto ∠ OBA = ∠ OAB = 90°. Obtemos uma contradição: o triângulo AOB tem dois ângulos retos. Portanto, a linha a é tangente ao círculo.

Consequência

Se a distância do centro de um círculo a uma certa linha é igual ao raio do círculo, então esta linha é tangente ao círculo dado.

Arroz. 293

Prove este corolário você mesmo.

Tarefa. Prove que se duas tangentes são desenhadas através de um dado ponto até o círculo, então os segmentos das tangentes que ligam o dado ponto com os pontos de tangência são iguais.

Decisão. A Figura 293 mostra um círculo de centro O. As linhas AB e AC são tangentes, os pontos B e C são pontos tangentes. Devemos provar que AB = AC .

Vamos desenhar os raios OB e OC nos pontos de contato. Pela propriedade da tangente, OB ⊥ AB e OC ⊥ AC . Nos triângulos retângulos AOB e AOC, os catetos OB e OC são iguais aos raios de um círculo, AO é a hipotenusa comum. Portanto, os triângulos AOB e AOC são iguais em hipotenusa e cateto. Portanto AB = AC.

1. Como uma corda divide um diâmetro perpendicular a ela?
2. Qual é o ângulo entre uma corda que não seja um diâmetro e um diâmetro que bissecta essa corda?
3. Descreva todos os casos possíveis de arranjo mútuo de uma linha e um círculo.
4. Qual linha é chamada de tangente ao círculo?
5. Qual é a propriedade do raio desenhado no ponto de contato da linha com o círculo?
6. Formule um sinal de uma tangente a um círculo.
7. Qual é a propriedade das tangentes traçadas a um círculo através de um ponto?

Tarefas práticas

507. Desenhe um círculo com centro O, desenhe uma corda AB. Usando um quadrado, divida este acorde ao meio.

508. Desenhe um círculo com centro O , desenhe uma corda CD . Usando uma régua com escala, desenhe um diâmetro perpendicular à corda CD.

509. Desenhe um círculo, marque nele os pontos A e B. Usando uma régua e um quadrado, desenhe linhas retas que tocam o círculo nos pontos A e B.

510. Desenhe uma linha a e marque nela o ponto M. Usando um esquadro, régua e compasso, desenhe um círculo de raio 3 cm que toca a linha a no ponto M. Quantos desses círculos podem ser desenhados?

Exercícios

511. Na figura 294, o ponto O é o centro do círculo, o diâmetro CD é perpendicular à corda AB. Prove que ∠ AOD = ∠ BOD .

512. Prove que cordas iguais de um círculo são equidistantes de seu centro.

513. Prove que se as cordas de um círculo são equidistantes do seu centro, então elas são iguais.

514. É verdade que uma linha perpendicular ao raio de um círculo toca o círculo?

515. Em linha reta CD toca a circunferência de centro O no ponto A, segmento AB é a corda da circunferência, ∠ BAD = 35° (Fig. 295). Encontre ∠AOB.

516. Em linha reta CD toca a circunferência de centro O no ponto A, segmento AB é a corda da circunferência, ∠ AOB = 80° (ver Fig. 295). Encontre ∠BAC.

517. É dado um círculo, cujo diâmetro é de 6 cm, a reta a é afastada de seu centro por: 1) 2 cm; 2) 3cm; 3) 6 cm Em que caso a reta é tangente ao círculo?

518. No triângulo ABC, sabemos que ∠ C = 90°. Prove que:

1) em linha reta BC é tangente à circunferência de centro A que passa pelo ponto C;

2) em linha reta AB não é tangente à circunferência de centro C que passa pelo ponto A.

519. Prove que o diâmetro de um círculo é maior do que qualquer corda que não seja o diâmetro.

520. Em um círculo de centro O, uma corda AB foi traçada no meio do raio, perpendicular a ele. Prove que ∠AOB = 120°.

521. Encontre o ângulo entre os raios OA e OB do círculo se a distância do centro O do círculo à corda AB for 2 vezes menor que: 1) o comprimento da corda AB; 2) o raio do círculo.

522. O diâmetro AB e as cordas AC e CD são desenhadas em um círculo de modo que AC = 12 cm, ∠ BAC = 30°, AB ⊥ CD . Encontre o comprimento do acorde CD.

523. Através do ponto M ao círculo centrado em O foram traçadas as tangentes MA e MB , A e B são pontos tangentes, ∠ OAB = 20°. Encontre ∠AMB.

524. Duas tangentes foram traçadas pelas extremidades da corda AB, iguais ao raio do círculo, que se interceptam no ponto C. Encontre ∠ ACB.

525. Através do ponto C círculos com centro O desenham uma tangente a este círculo, AB é o diâmetro do círculo. Uma perpendicular AD é lançada do ponto A até a tangente. Prove que o raio AC é a bissetriz do ângulo BAD .

526. Em linha reta AC toca o círculo de centro O no ponto A (Fig. 296). Prove que o ângulo BAC é 2 vezes menor que o ângulo AOB.

Arroz. 294	Arroz. 295	Arroz. 296

527. Segmentos AB e BC são a corda e o diâmetro do círculo, respectivamente, ∠ ABC = 30°. Desenhe uma tangente do ponto A a um círculo que intercepta a linha BC no ponto D. Prove que ∆ ABD é isósceles.

528. Sabe-se que o diâmetro AB corta ao meio a corda CD, mas não é perpendicular a ela. Prove que CD também é um diâmetro.

529. Encontre o lugar geométrico dos centros dos círculos que tocam a reta dada no ponto dado.

530. Encontre o lugar geométrico dos centros dos círculos que tocam ambos os lados do ângulo dado.

531. Encontre o lugar geométrico dos centros dos círculos que são tangentes à reta dada.

532. As linhas que tocam o círculo de centro O nos pontos A e B se cruzam no ponto K , ∠ AKB = 120°. Prove que AK + BK = OK.

533. O círculo é tangente ao lado AB do triângulo ABC no ponto M e é tangente à extensão dos outros dois lados. Prove que a soma dos comprimentos dos segmentos BC e BM é igual à metade do perímetro do triângulo ABC.

Arroz. 297

534. Através do ponto C são tangentes AC e BC ao círculo, A e B são pontos tangentes (Fig. 297). Um ponto arbitrário M é tomado no círculo, situado no mesmo semiplano com o ponto C em relação à linha AB, e uma tangente ao círculo é traçada através dele, cruzando as linhas AC e BC nos pontos D e E, respectivamente. Prove que o perímetro do triângulo DEC não depende da escolha do ponto M .

Exercícios para repetir

535. Prove que o ponto médio M de um segmento cujas extremidades pertencem a duas retas paralelas é o ponto médio de qualquer segmento que passa pelo ponto M e cujas extremidades pertencem a essas retas.

536. Segmentos AB e CD estão na mesma linha e têm um ponto médio comum. O ponto M foi escolhido de modo que o triângulo AMB seja isósceles com base AB. Prove que ∆ CMD também é isósceles com base CD .

537. no lado MK do triângulo MPK marcou os pontos E e F de modo que o ponto E fica entre os pontos M e F, ME = EP, PF = FK. Encontre o ângulo M se ∠ EPF = 92°, ∠ K = 26°.

538. Em um triângulo de ângulo agudo ABC, uma bissetriz BM é desenhada, uma perpendicular MK é lançada do ponto M ao lado BC, ∠ ABM = ∠ KMC . Prove que o triângulo ABC é isósceles.

Observar, desenhar, projetar, fantasiar

539. Estabeleça uma regularidade nas formas das figuras mostradas na Figura 298. Qual figura deve ser colocada em seguida?

Arroz. 298

Uma linha que tem apenas um ponto comum com um círculo é chamada de tangente ao círculo, e seu ponto comum é chamado de ponto de contato entre a linha e o círculo.

Teorema (propriedade de uma tangente a um círculo)

A tangente ao círculo é perpendicular ao raio desenhado ao ponto tangente.

Dado

A - ponto de contato

Provar:p oa

Prova.

Vamos provar o método "por contradição".

Suponha que p é OA, então OA é oblíquo à linha p.

Se a partir do ponto O traçarmos uma perpendicular OH à reta p, então seu comprimento será menor que o raio: OH< ОА=r

Obtemos que a distância do centro do círculo à linha p (OH) é menor que o raio (r), o que significa que a linha p é uma secante (ou seja, tem dois pontos comuns com o círculo), o que contradiz a condição do teorema (p-tangente).

Portanto, a suposição é falsa, portanto, a linha p é perpendicular a OA.

Teorema (Propriedade dos segmentos tangentes desenhados a partir de um ponto)

Os segmentos das tangentes ao círculo, desenhados a partir de um ponto, são iguais e fazem ângulos iguais com a linha que passa por este ponto e o centro do círculo.

Dado: Aproximadamente. (Ou)

AB e AC são tangentes ao env. (Ou)

Provar: AB=AC

Prova

1) OB AB, OS AC, como raios desenhados para o ponto de contato (propriedade tangente)

2) Considere tr. AOV, etc. AOS - p/a

AO - total

OB=OC (como raios)

Então, ABO \u003d AOC (ao longo da hipotenusa e perna). Conseqüentemente,

AB \u003d AC,<3 = < 4 (как соответственные элементы в равных тр-ках). ч.т.д.

Teorema (Sinal de uma tangente)

Se uma linha reta passa pela extremidade de um raio situado em um círculo e é perpendicular a esse raio, então é uma tangente.

Dado: ОА – raio do círculo

Provar: p- tangente ao círculo

Prova

OA - raio do círculo (por condição) (OA \u003d r)

OA - perpendicular de O à linha p (OA \u003d d)

Então, r=OA=d, então a reta p e o círculo têm um ponto comum.

Portanto, a reta p é tangente ao círculo. h.t.d.

3. Propriedade dos acordes e secantes.

Propriedades tangentes e secantes

DEFINIÇÃO

circunferência chamado de lugar geométrico dos pontos equidistantes de um ponto, que é chamado de centro do círculo.

Um segmento de reta que une dois pontos em um círculo é chamado acorde(na figura é um segmento). A corda que passa pelo centro da circunferência é chamada diâmetro círculos.

1. A tangente é perpendicular ao raio desenhado para o ponto de contato.

2. Os segmentos de tangentes desenhados a partir de um ponto são iguais.

3. Se uma tangente e uma secante são traçadas a partir de um ponto situado fora do círculo, então o quadrado do comprimento da tangente é igual ao produto da secante pela sua parte externa.

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Mantendo sua privacidade no nível da empresa

Para garantir que suas informações pessoais estejam seguras, comunicamos práticas de privacidade e segurança aos nossos funcionários e aplicamos rigorosamente as práticas de privacidade.

\[(\Large(\text(Ângulos Centrais e Inscritos)))\]

Definições

Um ângulo central é um ângulo cujo vértice está no centro do círculo.

Um ângulo inscrito é um ângulo cujo vértice está no círculo.

A medida em graus de um arco de círculo é a medida em graus do ângulo central que repousa sobre ele.

Teorema

A medida de um ângulo inscrito é metade da medida do arco que ele intercepta.

Prova

Faremos a prova em duas etapas: primeiro, provamos a validade da afirmação para o caso em que um dos lados do ângulo inscrito contém um diâmetro. Seja o ponto \(B\) o vértice do ângulo inscrito \(ABC\) e \(BC\) o diâmetro do círculo:

O triângulo \(AOB\) é isósceles, \(AO = OB\) , \(\angle AOC\) é externo, então \(\ângulo AOC = \ângulo OAB + \ângulo ABO = 2\ângulo ABC\), Onde \(\ângulo ABC = 0,5\cdot\ângulo AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).

Agora considere um ângulo inscrito arbitrário \(ABC\) . Desenhe o diâmetro do círculo \(BD\) a partir do vértice do ângulo inscrito. Dois casos são possíveis:

1) o diâmetro corta o ângulo em dois ângulos \(\angle ABD, \angle CBD\) (para cada um dos quais o teorema é verdadeiro como provado acima, portanto também é verdadeiro para o ângulo original, que é a soma desses dois e, portanto, é igual à metade da soma dos arcos em que se apoiam, ou seja, igual à metade do arco em que se apoia). Arroz. 1.

2) o diâmetro não cortou o ângulo em dois ângulos, então temos mais dois novos ângulos inscritos \(\angle ABD, \angle CBD\) , cujo lado contém o diâmetro, portanto, o teorema é verdadeiro para eles, então é também é verdade para o ângulo original (que é igual à diferença desses dois ângulos, o que significa que é igual à meia diferença dos arcos sobre os quais eles repousam, ou seja, é igual à metade do arco sobre o qual descansa). Arroz. 2.

Consequências

1. Os ângulos inscritos com base no mesmo arco são iguais.

2. Um ângulo inscrito com base em um semicírculo é um ângulo reto.

3. Um ângulo inscrito é igual a metade do ângulo central baseado no mesmo arco.

\[(\Large(\text(Tangente ao círculo)))\]

Definições

Existem três tipos de arranjo mútuo de uma linha e um círculo:

1) a linha \(a\) intercepta o círculo em dois pontos. Tal linha é chamada de secante. Neste caso, a distância \(d\) do centro do círculo até a reta é menor que o raio \(R\) do círculo (Fig. 3).

2) a linha \(b\) intercepta o círculo em um ponto. Essa linha reta é chamada de tangente e seu ponto comum \(B\) é chamado de ponto tangente. Neste caso \(d=R\) (Fig. 4).

Teorema

1. A tangente ao círculo é perpendicular ao raio traçado ao ponto de contato.

2. Se a linha passa pela extremidade do raio do círculo e é perpendicular a esse raio, então é tangente ao círculo.

Consequência

Os segmentos de tangentes desenhados de um ponto ao círculo são iguais.

Prova

Desenhe duas tangentes \(KA\) e \(KB\) ao círculo a partir do ponto \(K\):

Então \(OA\perp KA, OB\perp KB\) como raios. Os triângulos retângulos \(\triangle KAO\) e \(\triangle KBO\) são iguais em cateto e hipotenusa, portanto \(KA=KB\) .

Consequência

O centro do círculo \(O\) está na bissetriz do ângulo \(AKB\) formado por duas tangentes traçadas a partir do mesmo ponto \(K\) .

\[(\Large(\text(Teoremas relacionados a ângulos)))\]

O teorema sobre o ângulo entre secantes

O ângulo entre duas secantes desenhadas a partir do mesmo ponto é igual à meia diferença das medidas em graus dos arcos maiores e menores cortados por elas.

Prova

Seja \(M\) um ponto a partir do qual duas secantes são desenhadas como mostrado na figura:

Vamos mostrar que \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).

\(\angle DAB\) é o canto externo do triângulo \(MAD\) , então \(\ângulo DAB = \ângulo DMB + \ângulo MDA\), Onde \(\ângulo DMB = \ângulo DAB - \ângulo MDA\), mas os ângulos \(\angle DAB\) e \(\angle MDA\) estão inscritos, então \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), que deveria ser provado.

Teorema do ângulo entre cordas que se cruzam

O ângulo entre duas cordas que se cruzam é ​​igual à metade da soma das medidas em graus dos arcos que elas cortam: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]

Prova

\(\angle BMA = \angle CMD\) como vertical.

Do triângulo \(AMD\): \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).

Mas \(\ângulo AMD = 180^\circ - \ângulo CMD\), de onde concluímos que \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ sorriso\sobre(CD)).\]

Teorema do ângulo entre uma corda e uma tangente

O ângulo entre a tangente e a corda que passa pelo ponto tangente é igual à metade da medida em grau do arco subtraída pela corda.

Prova

Deixe a linha \(a\) tocar o círculo no ponto \(A\) , \(AB\) ser a corda deste círculo, \(O\) ser seu centro. Deixe a linha contendo \(OB\) interceptar \(a\) no ponto \(M\) . Vamos provar isso \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).

Denote \(\angle OAB = \alpha\) . Como \(OA\) e \(OB\) são raios, então \(OA = OB\) e \(\ângulo OBA = \ângulo OAB = \alfa\). Por isso, \(\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).

Como \(OA\) é o raio desenhado para o ponto tangente, então \(OA\perp a\) , ou seja, \(\angle OAM = 90^\circ\) , portanto, \(\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).

Teorema sobre arcos contraídos por cordas iguais

Acordes iguais subtendem arcos iguais, semicírculos menores.

E vice-versa: arcos iguais são contraídos por cordas iguais.

Prova

1) Seja \(AB=CD\) . Vamos provar que os menores semicírculos do arco .

Em três lados, portanto \(\angle AOB=\angle COD\) . Mas desde \(\angle AOB, \angle COD\) - ângulos centrais baseados em arcos \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\) respectivamente, então \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).

2) Se \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), então \(\triângulo AOB=\triângulo COD\) ao longo de dois lados \(AO=BO=CO=DO\) e o ângulo entre eles \(\angle AOB=\angle COD\) . Portanto, \(AB=CD\) .

Teorema

Se um raio bissecta uma corda, então é perpendicular a ela.

A recíproca também é verdadeira: se o raio é perpendicular à corda, então o ponto de interseção a corta ao meio.

Prova

1) Seja \(AN=NB\) . Vamos provar que \(OQ\perp AB\) .

Considere \(\triangle AOB\): é isósceles, porque \(OA=OB\) – raios do círculo. Porque \(ON\) é a mediana desenhada para a base, então também é a altura, portanto \(ON\perp AB\) .

2) Seja \(OQ\perp AB\) . Vamos provar que \(AN=NB\) .

Da mesma forma, \(\triangle AOB\) é isósceles, \(ON\) é a altura, então \(ON\) é a mediana. Portanto, \(AN=NB\) .

\[(\Large(\text(Teoremas relacionados aos comprimentos dos segmentos)))\]

Teorema sobre o produto de segmentos de cordas

Se duas cordas de um círculo se cruzam, então o produto dos segmentos de uma corda é igual ao produto dos segmentos da outra corda.

Prova

Deixe as cordas \(AB\) e \(CD\) se cruzarem no ponto \(E\) .

Considere os triângulos \(ADE\) e \(CBE\) . Nesses triângulos, os ângulos \(1\) e \(2\) são iguais, pois estão inscritos e contam com o mesmo arco \(BD\) , e os ângulos \(3\) e \(4\) são iguais à vertical. Os triângulos \(ADE\) e \(CBE\) são semelhantes (de acordo com o critério de semelhança do primeiro triângulo).

Então \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), onde \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .

Teorema tangente e secante

O quadrado de um segmento tangente é igual ao produto da secante e sua parte externa.

Prova

Deixe a tangente passar pelo ponto \(M\) e toque o círculo no ponto \(A\) . Deixe a secante passar pelo ponto \(M\) e interceptar o círculo nos pontos \(B\) e \(C\) de modo que \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .

Considere os triângulos \(MBA\) e \(MCA\): \(\angle M\) é geral, \(\ângulo BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). De acordo com o teorema do ângulo entre uma tangente e uma secante, \(\ângulo BAM = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \ângulo BCA\). Assim, os triângulos \(MBA\) e \(MCA\) são semelhantes em dois ângulos.

Da semelhança dos triângulos \(MBA\) e \(MCA\) temos: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), que é equivalente a \(MB\cdot MC = MA^2\) .

Consequência

O produto da secante retirada do ponto \(O\) e sua parte externa não depende da escolha da secante retirada do ponto \(O\) .

lições objetivas

• Educacional - repetição, generalização e teste de conhecimento sobre o tema: “Tangente a um círculo”; desenvolvimento de habilidades básicas.
• Desenvolver - desenvolver a atenção dos alunos, perseverança, perseverança, raciocínio lógico, discurso matemático.
• Educacional - através de uma lição, cultivar uma atitude atenta um para com o outro, incutir a capacidade de ouvir os companheiros, assistência mútua, independência.
• Introduzir o conceito de tangente, um ponto de contato.
• Considere a propriedade da tangente e seu sinal e mostre sua aplicação na resolução de problemas na natureza e na tecnologia.

Lições objetivas

• Formar habilidades na construção de tangentes usando uma régua de escala, um transferidor e um triângulo de desenho.
• Verifique a capacidade dos alunos para resolver problemas.
• Assegurar o domínio das técnicas algorítmicas básicas para construir uma tangente a um círculo.
• Formar a capacidade de aplicar conhecimentos teóricos à resolução de problemas.
• Desenvolver o pensamento e a fala dos alunos.
• Trabalhar na formação de habilidades para observar, perceber padrões, generalizar, raciocinar por analogia.
• Cultive o interesse pela matemática.

Plano de aula

1. O surgimento do conceito de tangente.
2. A história do aparecimento da tangente.
3. Definições geométricas.
4. Teoremas básicos.
5. Construção de uma tangente a um círculo.
6. Consolidação.

O surgimento do conceito de tangente

O conceito de tangente é um dos mais antigos da matemática. Em geometria, uma tangente a um círculo é definida como uma linha reta que tem exatamente um ponto de interseção com esse círculo. Os antigos, com a ajuda de um compasso e uma régua, eram capazes de traçar tangentes a um círculo e, posteriormente, a seções cônicas: elipses, hipérboles e parábolas.

A história do aparecimento da tangente

O interesse pelas tangentes reviveu nos tempos modernos. Então foram descobertas curvas que não eram conhecidas pelos cientistas da antiguidade. Por exemplo, Galileu introduziu a ciclóide, e Descartes e Fermat construíram uma tangente a ela. No primeiro terço do século XVII. Eles começaram a entender que uma tangente é uma linha reta, “mais próxima” de uma curva em uma pequena vizinhança de um determinado ponto. É fácil imaginar uma situação em que seja impossível construir uma tangente a uma curva em um determinado ponto (figura).

Definições geométricas

Círculo- o lugar geométrico dos pontos do plano, equidistantes de um ponto dado, chamado seu centro.

círculo.

Definições relacionadas

• O segmento que liga o centro do círculo com qualquer ponto dele (e também o comprimento desse segmento) é chamado raio círculos.
• A parte do plano limitada por um círculo é chamada por aí.
• Um segmento de reta que liga dois pontos em um círculo é chamado acorde. A corda que passa pelo centro da circunferência é chamada diâmetro.
• Quaisquer dois pontos não coincidentes no círculo o dividem em duas partes. Cada uma dessas partes é chamada arco círculos. A medida de um arco pode ser a medida de seu ângulo central correspondente. Um arco é chamado de semicírculo se o segmento que conecta suas extremidades é um diâmetro.
• Uma linha que tem exatamente um ponto em comum com um círculo é chamada tangente ao círculo, e seu ponto comum é chamado de ponto de contato da linha e do círculo.
• Uma linha que passa por dois pontos de um círculo é chamada secante.
• Um ângulo central em um círculo é um ângulo plano com um vértice em seu centro.
• Um ângulo cujo vértice está em um círculo e cujos lados interceptam o círculo é chamado ângulo inscrito.
• Dois círculos que têm um centro comum são chamados concêntrico.

Linha tangente- uma reta que passa por um ponto da curva e coincide com ela nesse ponto até a primeira ordem.

Tangente a um círculo Uma linha reta que tem um ponto comum com um círculo é chamada.

Uma linha reta que passa por um ponto de um círculo no mesmo plano perpendicular ao raio desenhado para este ponto, chamado de tangente. Nesse caso, esse ponto do círculo é chamado de ponto de contato.

Onde no nosso caso "a" é uma linha reta que é tangente ao círculo dado, o ponto "A" é o ponto de contato. Neste caso, a ⊥ OA (a linha a é perpendicular ao raio OA).

Eles disseram aquilo dois círculos se tocam se eles têm um único ponto comum. Este ponto é chamado ponto tangente dos círculos. Através de um ponto tangente, pode-se traçar uma tangente a um dos círculos, que também é tangente ao outro círculo. A tangência dos círculos é interna e externa.

Uma tangência é chamada interna se os centros dos círculos estiverem do mesmo lado da tangente.

Uma tangência é chamada externa se os centros dos círculos estiverem em lados opostos da tangente

a é uma tangente comum a dois círculos, K é um ponto de contato.

Teoremas básicos

Teorema sobre tangente e secante

Se uma tangente e uma secante são desenhadas de um ponto fora do círculo, então o quadrado do comprimento da tangente é igual ao produto da secante e sua parte externa: MC 2 = MA MB.

Teorema. O raio desenhado para o ponto tangente do círculo é perpendicular à tangente.

Teorema. Se o raio é perpendicular à linha no ponto de intersecção do círculo, então esta linha é tangente a este círculo.

Prova.

Para provar esses teoremas, precisamos lembrar o que é uma perpendicular de um ponto a uma linha. Esta é a distância mais curta deste ponto até esta linha. Vamos supor que OA não é perpendicular à tangente, mas existe uma linha reta OC perpendicular à tangente. O comprimento do OS inclui o comprimento do raio e um determinado segmento BC, que certamente é maior que o raio. Assim, pode-se provar para qualquer linha. Concluímos que o raio, o raio traçado ao ponto de contato, é a distância mais curta à tangente do ponto O, ou seja. OS é perpendicular à tangente. Na prova do teorema inverso, partiremos do fato de que a tangente tem apenas um ponto comum com o círculo. Deixe a linha dada ter mais um ponto comum B com o círculo. O triângulo AOB é retângulo e seus dois lados são iguais aos raios, o que não pode ser. Assim, obtemos que a reta dada não tem mais pontos em comum com o círculo, exceto o ponto A, ou seja. é tangente.

Teorema. Os segmentos das tangentes traçadas de um ponto ao círculo são iguais, e a linha reta que liga este ponto ao centro do círculo divide o ângulo entre as tangentes em acertos.

Prova.

A prova é muito simples. Usando o teorema anterior, afirmamos que OB é perpendicular a AB e OS é perpendicular a AC. Os triângulos retângulos ABO e ACO são iguais em cateto e hipotenusa (OB = OS - raios, AO - total). Portanto, seus catetos AB = AC e os ângulos OAC e OAB também são iguais.

Teorema. O valor do ângulo formado por uma tangente e uma corda tendo um ponto comum em um círculo é igual à metade do valor angular do arco fechado entre seus lados.

Prova.

Considere o ângulo NAB formado pela tangente e pela corda. Desenhe o diâmetro AC. A tangente é perpendicular ao diâmetro traçado até o ponto de contato, portanto, ∠CAN=90 o. Conhecendo o teorema, vemos que o ângulo alfa (a) é igual a metade da magnitude angular do arco BC ou metade do ângulo BOC. ∠NAB=90 o -a, portanto obtemos ∠NAB=1/2(180 o -∠BOC)=1/2∠AOB ou = metade do valor angular do arco BA. h.t.d.

Teorema. Se uma tangente e uma secante são desenhadas de um ponto a um círculo, então o quadrado do segmento da tangente do ponto dado ao ponto de tangência é igual ao produto dos comprimentos dos segmentos da secante a partir do ponto dado apontar para os pontos de sua interseção com o círculo.

Prova.

Na figura, este teorema se parece com isto: MA 2 \u003d MV * MS. Vamos provar isso. De acordo com o teorema anterior, o ângulo MAC é igual à metade do tamanho angular do arco AC, mas também o ângulo ABC é igual à metade do tamanho angular do arco AC, de acordo com o teorema, portanto, esses ângulos são iguais a uns aos outros. Levando em conta que os triângulos AMC e VMA têm um ângulo comum no vértice M, afirmamos a semelhança desses triângulos em dois ângulos (o segundo sinal). Da semelhança temos: MA / MB = MC / MA, do qual obtemos MA 2 \u003d MB * MC

Construção de tangentes a um círculo

E agora vamos tentar descobrir e descobrir o que precisa ser feito para construir uma tangente a um círculo.

Neste caso, como regra, um círculo e um ponto são dados no problema. E você e eu precisamos construir uma tangente ao círculo para que essa tangente passe por um determinado ponto.

No caso de não sabermos a localização do ponto, vamos considerar os casos da possível localização dos pontos.

Primeiro, o ponto pode estar dentro de um círculo que é limitado pelo círculo dado. Neste caso, não é possível construir uma tangente através deste círculo.

No segundo caso, o ponto está em um círculo e podemos construir uma tangente traçando uma linha perpendicular ao raio, que é traçada até o ponto conhecido por nós.

Em terceiro lugar, vamos supor que o ponto esteja fora do círculo, que é limitado por um círculo. Neste caso, antes de construir uma tangente, é necessário encontrar um ponto no círculo pelo qual a tangente deve passar.

Com o primeiro caso, espero que você entenda tudo, mas para resolver a segunda opção, precisamos construir um segmento na reta em que o raio se encontra. Este segmento deve ser igual ao raio e ao segmento que se encontra no círculo, no lado oposto.

Aqui vemos que um ponto em um círculo é o ponto médio de um segmento que é igual a duas vezes o raio. O próximo passo é desenhar dois círculos. Os raios desses círculos serão iguais ao dobro do raio do círculo original, com centros nas extremidades do segmento, que é igual ao dobro do raio. Agora podemos traçar uma linha reta através de qualquer ponto de interseção desses círculos e um determinado ponto. Essa linha reta é a mediana perpendicular ao raio do círculo, que foi desenhado no início. Assim, vemos que esta linha é perpendicular ao círculo, e daí segue que é tangente ao círculo.

Na terceira opção, temos um ponto fora do círculo, que é limitado por um círculo. Nesse caso, primeiro construímos um segmento que conectará o centro do círculo fornecido e o ponto fornecido. E então encontramos seu meio. Mas para isso você precisa construir uma mediatriz. E você já sabe como construí-lo. Então precisamos desenhar um círculo, ou pelo menos parte dele. Agora vemos que o ponto de intersecção do círculo dado e o recém-construído é o ponto pelo qual passa a tangente. Ele também passa pelo ponto que foi especificado pela condição do problema. E finalmente, pelos dois pontos que você já conhece, você pode traçar uma reta tangente.

E, finalmente, para provar que a linha que construímos é uma tangente, você precisa prestar atenção ao ângulo que foi formado pelo raio do círculo e o segmento conhecido pela condição e ligando o ponto de interseção dos círculos com o ponto dado pela condição do problema. Agora vemos que o ângulo resultante repousa sobre um semicírculo. E disso segue-se que esse ângulo é reto. Portanto, o raio será perpendicular à linha recém-construída, e essa linha é a tangente.

Construção de uma tangente.

A construção de tangentes é um desses problemas que levaram ao nascimento do cálculo diferencial. O primeiro trabalho publicado relacionado ao cálculo diferencial, escrito por Leibniz, intitulava-se "Um novo método de máximos e mínimos, bem como tangentes, para o qual nem quantidades fracionárias nem irracionais são um obstáculo, e um tipo especial de cálculo para isso".

Conhecimento geométrico dos antigos egípcios.

Se não levarmos em conta a contribuição muito modesta dos antigos habitantes do vale entre o Tigre e o Eufrates e a Ásia Menor, a geometria se originou no antigo Egito antes de 1700 aC. Durante a estação chuvosa tropical, o Nilo reabasteceu seu suprimento de água e inundou. A água cobria trechos de terra cultivada e, para fins fiscais, era necessário estabelecer a quantidade de terra perdida. Os agrimensores usavam uma corda bem esticada como ferramenta de medição. Outro incentivo para o acúmulo de conhecimento geométrico pelos egípcios foram suas atividades como a construção de pirâmides e artes plásticas.

O nível de conhecimento geométrico pode ser julgado a partir de manuscritos antigos que são especificamente dedicados à matemática e são algo como livros didáticos, ou melhor, livros de problemas, onde são dadas soluções para vários problemas práticos.

O manuscrito matemático mais antigo dos egípcios foi copiado por um certo estudante entre 1800 e 1600. BC. de um texto mais antigo. O papiro foi encontrado pelo egiptólogo russo Vladimir Semenovich Golenishchev. É mantido em Moscou - no Museu de Belas Artes em homenagem a A.S. Pushkin, e é chamado de papiro de Moscou.

Outro papiro matemático, escrito duzentos ou trezentos anos depois de Moscou, está guardado em Londres. Chama-se: “Instrução sobre como alcançar o conhecimento de todas as coisas obscuras, todos os segredos que escondem as coisas em si... De acordo com os antigos monumentos, o escriba Ahmes escreveu isso.” e comprou este papiro no Egito. O Papiro de Ahmes dá a solução de 84 problemas para vários cálculos que podem ser necessários na prática.