Neste artigo vou te mostrar algoritmos para resolver sete tipos de equações racionais, que são reduzidos a quadrados por meio de uma mudança de variáveis. Na maioria dos casos, as transformações que levam à substituição não são muito triviais e é muito difícil adivinhar por conta própria.
Para cada tipo de equação, explicarei como fazer uma mudança de variável nela e, em seguida, no tutorial em vídeo correspondente, mostrarei uma solução detalhada.
Você tem a oportunidade de continuar resolvendo as equações por conta própria e, em seguida, verificar sua solução com o tutorial em vídeo.
Então, vamos começar.
1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40
Observe que o produto de quatro colchetes está no lado esquerdo da equação e o número está no lado direito.
1. Vamos agrupar os colchetes por dois para que a soma dos termos livres seja a mesma.
2. Multiplique-os.
3. Vamos introduzir uma mudança de variável.
Em nossa equação, agrupamos o primeiro colchete com o terceiro e o segundo com o quarto, pois (-1) + (-4) \u003d (-7) + 2:
Neste ponto, a mudança de variável torna-se óbvia:
Obtemos a equação 
Responda: 
2 .
Uma equação desse tipo é semelhante à anterior com uma diferença: no lado direito da equação está o produto de um número por. E é resolvido de uma maneira completamente diferente:
1. Agrupamos os colchetes por dois para que o produto dos termos livres seja o mesmo.
2. Multiplicamos cada par de colchetes.
3. De cada fator, tiramos x dos colchetes.
4. Divida ambos os lados da equação por .
5. Introduzimos uma mudança de variável.
Nesta equação, agrupamos o primeiro colchete com o quarto e o segundo com o terceiro, pois:
Observe que em cada colchete o coeficiente em e o termo livre são os mesmos. Vamos tirar o multiplicador de cada colchete:
Como x=0 não é a raiz da equação original, dividimos ambos os lados da equação por . Nós temos:
Obtemos a equação: 
Responda: 
3
. 
Observe que os denominadores de ambas as frações são trinômios quadrados, nos quais o coeficiente principal e o termo livre são os mesmos. Tiramos, como na equação do segundo tipo, x dos colchetes. Nós temos:
Divida o numerador e o denominador de cada fração por x:
Agora podemos introduzir uma mudança de variável:
Obtemos a equação para a variável t:
4 .
Observe que os coeficientes da equação são simétricos em relação ao central. Tal equação é chamada retornável .
Para resolvê-lo
1. Divida ambos os lados da equação por (Podemos fazer isso já que x=0 não é a raiz da equação.) Obtemos:
2. Agrupe os termos desta forma:
3. Em cada grupo, tiramos o fator comum:
4. Vamos introduzir um substituto:
5. Vamos expressar a expressão em termos de t:
Daqui 
Obtemos a equação para t:
Responda:
5. Equações homogêneas.
Equações que têm uma estrutura homogênea podem ser encontradas ao resolver equações exponenciais, logarítmicas e trigonométricas, então você precisa ser capaz de reconhecê-las.
As equações homogêneas têm a seguinte estrutura:
Nesta igualdade, A, B e C são números, e as mesmas expressões são indicadas por um quadrado e um círculo. Ou seja, no lado esquerdo da equação homogênea está a soma dos monômios que possuem o mesmo grau (neste caso, o grau dos monômios é 2), e não há termo livre.
Para resolver a equação homogênea, dividimos ambos os lados por
Atenção! Ao dividir os lados direito e esquerdo da equação por uma expressão contendo uma incógnita, você pode perder as raízes. Portanto, é necessário verificar se as raízes da expressão pela qual dividimos ambas as partes da equação são as raízes da equação original.
Vamos pelo primeiro caminho. Obtemos a equação:
Agora introduzimos uma substituição de variável:
Simplifique a expressão e obtenha uma equação biquadrática para t:
Responda: ou
7
. 
Esta equação tem a seguinte estrutura:
Para resolvê-lo, você precisa selecionar o quadrado completo no lado esquerdo da equação.
Para selecionar um quadrado completo, você precisa adicionar ou subtrair o produto duplo. Então obtemos o quadrado da soma ou a diferença. Isso é fundamental para uma substituição de variável bem-sucedida.
Vamos começar encontrando o produto duplo. Será a chave para substituir a variável. Em nossa equação, o duplo produto é
Agora vamos descobrir o que é mais conveniente para nós - o quadrado da soma ou diferença. Considere, para começar, a soma das expressões:
Multar! esta expressão é exatamente igual a duas vezes o produto. Então, para obter o quadrado da soma entre colchetes, você precisa adicionar e subtrair o produto duplo:
Convidamos você para uma lição sobre como resolver equações com frações. Provavelmente, você já encontrou tais equações no passado, então nesta lição temos que repetir e resumir as informações que você conhece.
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Uma equação fracional-racional é uma equação na qual existem frações racionais, ou seja, uma variável no denominador. Provavelmente, você já lidou com essas equações no passado, portanto, nesta lição, repetiremos e resumiremos as informações que você conhece.
Primeiro, proponho consultar a lição anterior deste tópico - a lição "Resolvendo equações do segundo grau". Nessa lição, foi considerado um exemplo de resolução de uma equação racional fracionária. Considere isso
A solução desta equação é realizada em várias etapas:
- Transformação de uma equação contendo frações racionais.
- Transição para toda a equação e sua simplificação;
- Solução de uma equação quadrática.
É necessário passar pelos primeiros 2 estágios ao resolver qualquer equação fracional-racional. A terceira etapa é opcional, pois a equação obtida como resultado das simplificações pode não ser quadrada, mas linear; resolver uma equação linear é muito mais fácil. Há outro passo importante na resolução de uma equação racional fracionária. Será visível ao resolver a próxima equação.
o que deve ser feito primeiro? - Claro, traga as frações para um denominador comum. E é muito importante encontrar exatamente ao menos denominador comum, caso contrário, além disso, no processo de resolução, a equação será complicada. Aqui notamos que o denominador da última fração pode ser fatorado no e s+2. É precisamente este produto que será o denominador comum desta equação. Agora você precisa determinar fatores adicionais para cada uma das frações. Em vez disso, para a última fração, esse fator não é necessário, pois seu denominador é igual ao comum. Agora, quando todas as frações têm os mesmos denominadores, você pode ir para a equação inteira, composta por alguns numeradores. Mas uma observação deve ser feita, que o valor encontrado da incógnita não pode anular nenhum dos denominadores. Isso é ODZ: y≠0, y≠2. Isso completa o primeiro dos estágios da solução descritos anteriormente e prossegue para o segundo - simplificamos toda a equação resultante. Para fazer isso, abrimos os colchetes, transferimos todos os termos para uma parte da equação e damos os semelhantes. Faça você mesmo e verifique se meus cálculos estão corretos, nos quais a equação é obtida 3a 2 - 12a = 0. Esta equação é quadrática, está escrita na forma padrão e um de seus coeficientes é igual a zero.
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Introduzimos a equação acima no § 7. Primeiro, lembramos o que é uma expressão racional. Esta é uma expressão algébrica composta de números e a variável x usando as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão e exponenciação com um expoente natural.
Se r(x) é uma expressão racional, então a equação r(x) = 0 é chamada de equação racional.
No entanto, na prática é mais conveniente usar uma interpretação um pouco mais ampla do termo "equação racional": esta é uma equação da forma h(x) = q(x), onde h(x) e q(x) são expressões racionais.
Até agora, não conseguimos resolver nenhuma equação racional, mas apenas uma que, como resultado de várias transformações e raciocínios, foi reduzida a equação linear. Agora nossas possibilidades são muito maiores: poderemos resolver uma equação racional, que se reduz não apenas a
mu, mas também à equação quadrática.
Lembre-se de como resolvemos equações racionais anteriormente e tente formular um algoritmo de solução.
Exemplo 1 resolva a equação
Decisão. Reescrevemos a equação na forma
Nesse caso, como de costume, usamos o fato de que as igualdades A \u003d B e A - B \u003d 0 expressam a mesma relação entre A e B. Isso nos permitiu transferir o termo para o lado esquerdo da equação com o sinal oposto.
Vamos realizar transformações do lado esquerdo da equação. Nós temos
Lembre-se das condições de igualdade frações zero: se, e somente se, duas relações são satisfeitas simultaneamente:
1) o numerador da fração é zero (a = 0); 2) o denominador da fração é diferente de zero).
Igualando a zero o numerador da fração do lado esquerdo da equação (1), obtemos
Resta verificar o cumprimento da segunda condição acima mencionada. A razão significa para a equação (1) que . Os valores x 1 = 2 e x 2 = 0,6 satisfazem as relações indicadas e, portanto, servem como raízes da equação (1), e ao mesmo tempo as raízes da equação dada.
1) Vamos transformar a equação na forma
2) Vamos realizar as transformações do lado esquerdo desta equação:
(simultaneamente mudou os sinais no numerador e
frações).
Assim, a equação dada toma a forma
3) Resolva a equação x 2 - 6x + 8 = 0. Encontre
4) Para os valores encontrados, verifique a condição 
. O número 4 satisfaz essa condição, mas o número 2 não. Então 4 é a raiz da equação dada, e 2 é uma raiz estranha.
Resposta: 4.
2. Solução de equações racionais introduzindo uma nova variável
O método de introdução de uma nova variável é familiar para você, já o usamos mais de uma vez. Vamos mostrar por exemplos como ele é usado na resolução de equações racionais.
Exemplo 3 Resolva a equação x 4 + x 2 - 20 = 0.
Decisão. Introduzimos uma nova variável y \u003d x 2. Como x 4 \u003d (x 2) 2 \u003d y 2, a equação dada pode ser reescrita na forma
y 2 + y - 20 = 0.
Esta é uma equação quadrática, cujas raízes encontraremos usando o conhecido fórmulas; obtemos y 1 = 4, y 2 = - 5.
Mas y \u003d x 2, o que significa que o problema foi reduzido a resolver duas equações:
x2=4; x 2 \u003d -5.
Da primeira equação encontramos que a segunda equação não tem raízes.
Responda: .
Uma equação da forma ax 4 + bx 2 + c \u003d 0 é chamada de equação biquadrática ("bi" - dois, ou seja, por assim dizer, uma equação "duas vezes quadrada"). A equação que acabamos de resolver era exatamente biquadrática. Qualquer equação biquadrática é resolvida da mesma maneira que a equação do exemplo 3: uma nova variável y \u003d x 2 é introduzida, a equação quadrática resultante é resolvida em relação à variável y e depois retornada à variável x.
Exemplo 4 resolva a equação
Decisão. Observe que a mesma expressão x 2 + 3x ocorre duas vezes aqui. Portanto, faz sentido introduzir uma nova variável y = x 2 + Zx. Isso nos permitirá reescrever a equação de uma forma mais simples e agradável (que, na verdade, é o propósito de introduzir uma nova variável- e a gravação é mais fácil
, e a estrutura da equação fica mais clara):
E agora vamos usar o algoritmo para resolver uma equação racional.
1) Vamos mover todos os termos da equação em uma parte:
= 0
2) Vamos transformar o lado esquerdo da equação
Assim, transformamos a equação dada na forma
3) Da equação - 7y 2 + 29y -4 = 0 encontramos (já resolvemos muitas equações quadráticas, então provavelmente não vale a pena sempre dar cálculos detalhados no livro).
4) Vamos verificar as raízes encontradas usando a condição 5 (y - 3) (y + 1). Ambas as raízes satisfazem esta condição.
Assim, a equação quadrática para a nova variável y é resolvida: 
Como y \u003d x 2 + Zx, e y, como estabelecemos, assume dois valores: 4 e, - ainda temos que resolver duas equações: x 2 + Zx \u003d 4; x 2 + Zx \u003d. As raízes da primeira equação são os números 1 e - 4, as raízes da segunda equação são os números
Nos exemplos considerados, o método de introdução de uma nova variável foi, como os matemáticos gostam de dizer, adequado à situação, ou seja, correspondeu bem a ela. Por quê? Sim, porque a mesma expressão foi encontrada claramente no registro da equação várias vezes e era razoável designar essa expressão com uma nova letra. Mas nem sempre é esse o caso, às vezes uma nova variável "aparece" apenas no processo de transformações. Isso é exatamente o que acontecerá no próximo exemplo.
Exemplo 5 resolva a equação
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Decisão. Nós temos
x (x - 3) \u003d x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) \u003d x 2 -3x + 2.
Assim, a equação dada pode ser reescrita como
(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24
Agora uma nova variável "apareceu": y = x 2 - Zx.
Com sua ajuda, a equação pode ser reescrita na forma y (y + 2) \u003d 24 e depois y 2 + 2y - 24 \u003d 0. As raízes desta equação são os números 4 e -6.
Voltando à variável original x, obtemos duas equações x 2 - Zx \u003d 4 e x 2 - Zx \u003d - 6. Na primeira equação, encontramos x 1 \u003d 4, x 2 \u003d - 1; a segunda equação não tem raízes.
Resposta: 4, - 1.
Em primeiro lugar, para aprender a trabalhar com frações racionais sem erros, você precisa aprender as fórmulas da multiplicação abreviada. E não apenas para aprender - eles devem ser reconhecidos mesmo quando senos, logaritmos e raízes atuam como termos.
No entanto, a principal ferramenta é a fatoração do numerador e denominador de uma fração racional. Isso pode ser alcançado de três maneiras diferentes:
- Na verdade, de acordo com a fórmula de multiplicação abreviada: eles permitem que você reduza um polinômio em um ou mais fatores;
- Fatorando um trinômio quadrado em fatores através do discriminante. O mesmo método permite verificar que nenhum trinômio pode ser fatorado;
- O método de agrupamento é a ferramenta mais complexa, mas é a única que funciona se as duas anteriores não funcionaram.
Como você provavelmente adivinhou pelo título deste vídeo, vamos falar novamente sobre frações racionais. Literalmente há alguns minutos, terminei uma aula com um aluno do décimo ano, e lá analisamos precisamente essas expressões. Portanto, esta aula será destinada especificamente para alunos do ensino médio.
Certamente muitos agora terão uma pergunta: “Por que os alunos do 10º ao 11º ano aprendem coisas tão simples como frações racionais, porque isso é feito no 8º ano?”. Mas esse é o problema, que a maioria das pessoas apenas "passa por" este tópico. Eles do 10º ao 11º ano não se lembram mais de como se faz a multiplicação, divisão, subtração e adição de frações racionais do 8º ano, e é sobre esse conhecimento simples que se constroem estruturas mais complexas, como a solução de logarítmica , equações trigonométricas e muitas outras expressões complexas, então não há praticamente nada para fazer no ensino médio sem frações racionais.
Fórmulas para resolver problemas
Vamos ao que interessa. Em primeiro lugar, precisamos de dois fatos - dois conjuntos de fórmulas. Antes de tudo, você precisa conhecer as fórmulas para multiplicação abreviada:
- $((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ é a diferença de quadrados;
- $((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2))$ é o quadrado da soma ou diferença ;
- $((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ é a soma dos cubos;
- $((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ é a diferença de cubos.
Em sua forma pura, eles não são encontrados em nenhum exemplo e em expressões realmente sérias. Portanto, nossa tarefa é aprender a ver construções muito mais complexas sob as letras $a$ e $b$, por exemplo, logaritmos, raízes, senos, etc. Isso só pode ser aprendido através da prática constante. É por isso que a resolução de frações racionais é absolutamente necessária.
A segunda fórmula bastante óbvia é a fatoração de um trinômio quadrado:
$((x)_(1))$; $((x)_(2))$ são raízes.
Nós tratamos da parte teórica. Mas como resolver frações racionais reais, que são consideradas na 8ª série? Agora vamos praticar.
Tarefa nº 1
\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(3))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]
Vamos tentar aplicar as fórmulas acima para resolver frações racionais. Em primeiro lugar, quero explicar por que a fatoração é necessária. O fato é que, à primeira vista, na primeira parte da tarefa, quero reduzir o cubo com o quadrado, mas isso é absolutamente impossível, porque são termos no numerador e no denominador, mas em nenhum caso são fatores .
O que exatamente é uma abreviatura? Redução é o uso da regra básica para trabalhar com tais expressões. A principal propriedade de uma fração é que podemos multiplicar o numerador e o denominador pelo mesmo número diferente de "zero". Nesse caso, quando reduzimos, ao contrário, dividimos pelo mesmo número diferente de “zero”. No entanto, devemos dividir todos os termos no denominador pelo mesmo número. Você não pode fazer isso. E temos o direito de reduzir o numerador com o denominador apenas quando ambos são fatorados. Vamos fazê-lo.
Agora você precisa ver quantos termos estão em um determinado elemento, de acordo com isso, descubra qual fórmula você precisa usar.
Vamos transformar cada expressão em um cubo exato:
Vamos reescrever o numerador:
\[((\left(3a \right))^(3))-((\left(4b \right))^(3))=\left(3a-4b \right)\left(((\left) (3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)) \right)\]
Vejamos o denominador. Nós o expandimos de acordo com a fórmula da diferença de quadrados:
\[((b)^(2))-4=((b)^(2))-((2)^(2))=\left(b-2 \right)\left(b+2 \ direita)\]
Agora vamos ver a segunda parte da expressão:
Numerador:
Resta tratar do denominador:
\[((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\left(b+2 \right))^(2))\]
Vamos reescrever toda a construção, levando em consideração os fatos acima:
\[\frac(\left(3a-4b \right)\left(((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2 )) \right))(\left(b-2 \right)\left(b+2 \right))\cdot \frac(((\left(b+2 \right))^(2)))( ((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)))=\]
\[=\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))\]
Nuances de multiplicação de frações racionais
A conclusão chave dessas construções é a seguinte:
- Nem todo polinômio pode ser fatorado.
- Mesmo que seja decomposto, é necessário observar cuidadosamente qual fórmula específica para a multiplicação abreviada.
Para fazer isso, primeiro, precisamos estimar quantos termos existem (se houver dois, tudo o que podemos fazer é expandi-los pela soma da diferença dos quadrados ou pela soma ou diferença dos cubos; e se existem três deles, então este , exclusivamente, ou o quadrado da soma ou o quadrado da diferença). Muitas vezes acontece que o numerador ou o denominador não requer fatoração, pode ser linear ou seu discriminante será negativo.
Tarefa nº 2
\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]
Em geral, o esquema para resolver esse problema não é diferente do anterior - simplesmente haverá mais ações e elas se tornarão mais diversas.
Vamos começar com a primeira fração: observe seu numerador e faça as possíveis transformações:
Agora vamos ao denominador:
Com a segunda fração: nada pode ser feito no numerador, porque é uma expressão linear e é impossível tirar qualquer fator dela. Vamos ao denominador:
\[((x)^(2))-4x+4=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^(2))=((\left(x-2 \right ))^(2))\]
Vamos para a terceira fração. Numerador:
Vamos lidar com o denominador da última fração:
Vamos reescrever a expressão levando em consideração os fatos acima:
\[\frac(3\left(1-2x \right))(2\left(((x)^(2))+2x+4 \right))\cdot \frac(2x+1)((( \left(x-2 \right))^(2)))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+2x+((x)^( 2)) \right))(\left(2x-1 \right)\left(2x+1 \right))=\]
\[=\frac(-3)(2\left(2-x \right))=-\frac(3)(2\left(2-x \right))=\frac(3)(2\left (x-2 \direita))\]
Nuances da solução
Como você pode ver, nem tudo e nem sempre se baseia nas fórmulas de multiplicação abreviadas - às vezes basta colocar entre parênteses uma constante ou uma variável. No entanto, há também a situação oposta, quando há tantos termos ou eles são construídos de tal forma que a fórmula para multiplicação abreviada para eles é geralmente impossível. Neste caso, uma ferramenta universal vem em nosso auxílio, a saber, o método de agrupamento. Isto é o que vamos aplicar agora no próximo problema.
Tarefa nº 3
\[\frac(((a)^(2))+ab)(5a-((a)^(2))+((b)^(2))-5b)\cdot \frac(((a) )^(2))-((b)^(2))+25-10a)(((a)^(2))-((b)^(2)))\]
Vejamos a primeira parte:
\[((a)^(2))+ab=a\left(a+b \right)\]
\[=5\left(a-b \right)-\left(a-b \right)\left(a+b \right)=\left(a-b \right)\left(5-1\left(a+b \right) ) )\direito)=\]
\[=\left(a-b \right)\left(5-a-b \right)\]
Vamos reescrever a expressão original:
\[\frac(a\left(a+b \right))(\left(a-b \right)\left(5-a-b \right))\cdot \frac(((a)^(2))-( (b)^(2))+25-10a)(((a)^(2))-((b)^(2)))\]
Agora vamos lidar com o segundo colchete:
\[((a)^(2))-((b)^(2))+25-10a=((a)^(2))-10a+25-((b)^(2))= \left(((a)^(2))-2\cdot 5a+((5)^(2)) \right)-((b)^(2))=\]
\[=((\left(a-5 \right))^(2))-((b)^(2))=\left(a-5-b \right)\left(a-5+b \direita)\]
Como não foi possível agrupar dois elementos, agrupamos três. Resta lidar apenas com o denominador da última fração:
\[((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)\]
Agora vamos reescrever toda a nossa estrutura:
\[\frac(a\left(a+b \right))(\left(a-b \right)\left(5-a-b \right))\cdot \frac(\left(a-5-b \right) \left(a-5+b \right))(\left(a-b \right)\left(a+b \right))=\frac(a\left(b-a+5 \right))((( \left(a-b \right))^(2)))\]
O problema está resolvido e nada mais pode ser simplificado aqui.
Nuances da solução
Descobrimos o agrupamento e conseguimos outra ferramenta muito poderosa que expande as possibilidades de fatoração. Mas o problema é que na vida real ninguém nos dará exemplos tão refinados onde existem várias frações que só precisam ser fatoradas no numerador e denominador, e então, se possível, reduzi-las. Expressões reais serão muito mais complicadas.
Muito provavelmente, além da multiplicação e da divisão, haverá subtrações e adições, todos os tipos de colchetes - em geral, você terá que levar em consideração a ordem das ações. Mas o pior é que ao subtrair e somar frações com denominadores diferentes, elas terão que ser reduzidas a uma comum. Para fazer isso, cada um deles precisará ser decomposto em fatores e, em seguida, essas frações serão transformadas: dê semelhantes e muito mais. Como fazê-lo corretamente, rapidamente e ao mesmo tempo obter a resposta inequivocamente correta? É sobre isso que falaremos agora usando o exemplo da construção a seguir.
Tarefa nº 4
\[\left(((x)^(2))+\frac(27)(x) \right)\cdot \left(\frac(1)(x+3)+\frac(1)((( x)^(2))-3x+9) \direita)\]
Vamos escrever a primeira fração e tentar lidar com ela separadamente:
\[((x)^(2))+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(2)))(1)+\frac(27)(x)=\frac( ((x)^(3)))(x)+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(3))+27)(x)=\frac(((x)^ (3))+((3)^(3)))(x)=\]
\[=\frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))(x)\]
Vamos para o segundo. Vamos calcular o discriminante do denominador:
Ele não fatora, então escrevemos o seguinte:
\[\frac(1)(x+3)+\frac(1)(((x)^(2))-3x+9)=\frac(((x)^(2))-3x+9 +x+3)(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))=\]
\[=\frac(((x)^(2))-2x+12)(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right)) \]
Escrevemos o numerador separadamente:
\[((x)^(2))-2x+12=0\]
Portanto, esse polinômio não pode ser fatorado.
O máximo que podíamos fazer e decompor, já fizemos.
No total, reescrevemos nossa construção original e obtemos:
\[\frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))(x)\cdot \frac(((x)^(2) )-2x+12)(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))=\frac(((x)^(2))- 2x+12)(x)\]
Tudo, a tarefa está resolvida.
Para ser honesto, não foi uma tarefa tão difícil: tudo foi facilmente fatorado ali, termos semelhantes foram dados rapidamente e tudo foi lindamente reduzido. Então agora vamos tentar resolver o problema mais a sério.
Tarefa número 5
\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \direito)\]
Primeiro, vamos lidar com o primeiro parêntese. Desde o início, fatoramos o denominador da segunda fração separadamente:
\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \direita)\]
\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(((x)^(2)))=\]
\[=\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\ left(((x)^(2))+2x+4 \right))-\frac(1)(x-2)=\]
\[=\frac(x\left(x-2 \right)+((x)^(2))+8-\left(((x)^(2))+2x+4 \right))( \left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))=\]
\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \direita)\esquerda(((x)^(2))+2x+4 \direita))=\]
\[=\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)) =\frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right ))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]
Agora vamos trabalhar com a segunda fração:
\[\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2) )))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2))+2\ left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\]
\[=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))\]
Voltamos ao nosso projeto original e escrevemos:
\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \direita)\esquerda(x+2 \direita))=\frac(1)(x+2)\]
Pontos chave
Mais uma vez, os principais fatos do tutorial em vídeo de hoje:
- Você precisa saber de cor as fórmulas para multiplicação abreviada - e não apenas saber, mas ser capaz de ver nessas expressões que você encontrará em problemas reais. Uma regra maravilhosa pode nos ajudar com isso: se há dois termos, então isso é a diferença de quadrados, ou a diferença ou soma de cubos; se três, só pode ser o quadrado da soma ou diferença.
- Se alguma construção não puder ser decomposta usando fórmulas de multiplicação abreviadas, então a fórmula padrão para fatorar trinômios em fatores ou o método de agrupamento vem em nosso auxílio.
- Se algo não funcionar, observe cuidadosamente a expressão original - e se alguma transformação é necessária com ela. Talvez seja suficiente apenas tirar o multiplicador do suporte, e isso muitas vezes é apenas uma constante.
- Em expressões complexas onde você precisa realizar várias ações seguidas, não esqueça de trazer para um denominador comum, e somente depois disso, quando todas as frações forem reduzidas a ele, certifique-se de trazer o mesmo no novo numerador e então fatore o novo numerador novamente - é possível que - seja reduzido.
Isso é tudo que eu queria dizer hoje sobre frações racionais. Se algo não estiver claro, ainda há muitos tutoriais em vídeo no site, além de muitas tarefas para uma solução independente. Então fique conosco!
