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Trigonometria- uma microseção de matemática que estuda a relação entre os ângulos e os comprimentos dos lados de triângulos, bem como as identidades algébricas de funções trigonométricas.
Existem muitas áreas onde trigonometria e funções trigonométricas são aplicadas. As funções trigonométricas ou trigonométricas são usadas em astronomia, navegação marítima e aérea, acústica, óptica, eletrônica, arquitetura e outros campos.

A história da criação da trigonometria

A história da trigonometria, como ciência das relações entre os ângulos e lados de um triângulo e outras figuras geométricas, abrange mais de dois milênios. A maioria dessas relações não pode ser expressa usando operações algébricas comuns e, portanto, foi necessário introduzir funções trigonométricas especiais, originalmente apresentadas na forma de tabelas numéricas.
Os historiadores acreditam que a trigonometria foi criada por astrônomos antigos e, um pouco mais tarde, começou a ser usada na arquitetura. Com o tempo, o escopo da trigonometria se expandiu constantemente, hoje inclui quase todas as ciências naturais, tecnologia e várias outras áreas de atividade.

Primeiros séculos

Da matemática babilônica, estamos acostumados a medir ângulos em graus, minutos e segundos (a introdução dessas unidades na matemática grega antiga é geralmente atribuída ao século II aC).

A principal conquista desse período foi a razão entre os catetos e a hipotenusa em um triângulo retângulo, mais tarde chamado de teorema de Pitágoras.

Grécia antiga

Uma apresentação geral e logicamente coerente das relações trigonométricas apareceu na geometria grega antiga. Os matemáticos gregos ainda não destacavam a trigonometria como uma ciência separada, para eles era parte da astronomia.
A principal conquista da antiga teoria trigonométrica foi a solução de uma forma geral do problema de "resolver triângulos", isto é, encontrar os elementos desconhecidos de um triângulo, com base em três de seus elementos dados (dos quais pelo menos um é um lateral).
Os problemas trigonométricos aplicados são muito diversos - por exemplo, podem ser definidos resultados mensuráveis ​​de operações nas quantidades listadas (por exemplo, a soma dos ângulos ou a razão dos comprimentos dos lados).
Em paralelo com o desenvolvimento da trigonometria plana, os gregos, sob a influência da astronomia, avançaram muito a trigonometria esférica. Nos "Princípios" de Euclides sobre este tema, há apenas um teorema sobre a razão dos volumes de bolas de diferentes diâmetros, mas as necessidades da astronomia e da cartografia causaram o rápido desenvolvimento da trigonometria esférica e áreas relacionadas - o sistema de coordenadas celestes, o teoria das projeções cartográficas e a tecnologia dos instrumentos astronômicos.

Meia idade

No século IV, após a morte da ciência antiga, o centro de desenvolvimento da matemática mudou-se para a Índia. Eles mudaram alguns conceitos da trigonometria, aproximando-os dos modernos: por exemplo, foram os primeiros a introduzir o cosseno em uso.

O primeiro tratado especializado em trigonometria foi o trabalho do cientista da Ásia Central (século X-XI) "O Livro das Chaves da Ciência da Astronomia" (995-996). Todo o curso de trigonometria continha a principal obra de Al-Biruni - "O Cânone de Mas'ud" (Livro III). Além das tabelas de senos (com passo de 15"), Al-Biruni deu tabelas de tangentes (com passo de 1°).

Depois que os tratados árabes foram traduzidos para o latim nos séculos XII-XIII, muitas ideias de matemáticos indianos e persas tornaram-se propriedade da ciência européia. Aparentemente, o primeiro contato dos europeus com a trigonometria ocorreu graças ao zij, cujas duas traduções foram feitas no século XII.

O primeiro trabalho europeu dedicado inteiramente à trigonometria é frequentemente chamado de Quatro Tratados sobre Acordes Diretos e Invertidos pelo astrônomo inglês Richard de Wallingford (por volta de 1320). As tabelas trigonométricas, muitas vezes traduzidas do árabe, mas às vezes originais, estão contidas nas obras de vários outros autores dos séculos XIV-XV. Em seguida, a trigonometria tomou seu lugar entre os cursos universitários.

novo tempo

O desenvolvimento da trigonometria nos tempos modernos tornou-se extremamente importante não apenas para astronomia e astrologia, mas também para outras aplicações, principalmente artilharia, óptica e navegação durante viagens marítimas de longa distância. Portanto, após o século 16, muitos cientistas proeminentes lidaram com esse tópico, incluindo Nicolau Copérnico, Johannes Kepler, François Viet. Copérnico dedicou dois capítulos à trigonometria em seu tratado Sobre as revoluções das esferas celestes (1543). Logo (1551) surgiram as tabelas trigonométricas de 15 dígitos de Rheticus, um estudante de Copérnico. Kepler publicou Astronomia Óptica (1604).

Vieta na primeira parte de seu "Cânone Matemático" (1579) colocou várias tabelas, inclusive trigonométricas, e na segunda parte ele deu uma apresentação detalhada e sistemática, embora sem provas, da trigonometria plana e esférica. Em 1593, Vieta preparou uma edição ampliada desta obra capital.
Graças ao trabalho de Albrecht Dürer, nasceu uma sinusóide.

século 18

Ele deu uma aparência moderna à trigonometria. No tratado Introdução à Análise dos Infinitos (1748), Euler deu uma definição de funções trigonométricas equivalente à moderna e definiu funções inversas de acordo.

Euler considerou ângulos negativos e ângulos maiores que 360° como admissíveis, o que tornou possível determinar funções trigonométricas em toda a reta dos números reais e depois estendê-las ao plano complexo. Quando surgiu a questão de estender as funções trigonométricas para ângulos obtusos, os sinais dessas funções antes de Euler foram muitas vezes escolhidos erroneamente; muitos matemáticos consideravam, por exemplo, o cosseno e a tangente de um ângulo obtuso como positivos. Euler determinou esses sinais para ângulos em diferentes quadrantes de coordenadas com base em fórmulas de redução.
Euler não estudou a teoria geral das séries trigonométricas e não investigou a convergência das séries obtidas, mas obteve vários resultados importantes. Em particular, ele derivou as expansões de potências inteiras de seno e cosseno.

Aplicação da trigonometria

Aqueles que dizem que a trigonometria não é necessária na vida real estão certos à sua maneira. Bem, quais são suas tarefas aplicadas usuais? Meça a distância entre objetos inacessíveis.
De grande importância é a técnica de triangulação, que permite medir as distâncias a estrelas próximas em astronomia, entre pontos de referência na geografia e controlar sistemas de navegação por satélite. Também digna de nota é a aplicação da trigonometria em áreas como tecnologia de navegação, teoria musical, acústica, óptica, análise de mercado financeiro, eletrônica, teoria das probabilidades, estatística, biologia, medicina (incluindo ultra-som e tomografia computadorizada), farmacêutica, química, teoria dos números (e, como resultado, criptografia), sismologia, meteorologia, oceanologia, cartografia, muitos ramos da física, topografia e geodésia, arquitetura, fonética, economia, engenharia eletrônica, engenharia mecânica, computação gráfica, cristalografia, etc.
Conclusão: a trigonometria é um grande auxiliar em nossa vida diária.

Trigonometria em medicina e biologia

Modelo de Borritmo pode ser construído usando funções trigonométricas. Para construir um modelo de biorritmos, você deve inserir a data de nascimento de uma pessoa, a data de referência (dia, mês, ano) e a duração da previsão (número de dias).

Fórmula do coração. Como resultado de um estudo realizado por um estudante da Universidade Iraniana de Shiraz, Wahid-Reza Abbasi, pela primeira vez, os médicos conseguiram agilizar as informações relacionadas à atividade elétrica do coração, ou seja, a eletrocardiografia. A fórmula é uma equação algébrica-trigonométrica complexa, composta por 8 expressões, 32 coeficientes e 33 parâmetros principais, incluindo vários adicionais para cálculos em casos de arritmia. Segundo os médicos, essa fórmula facilita muito o processo de descrição dos principais parâmetros da atividade do coração, acelerando assim o diagnóstico e o início do tratamento propriamente dito.

A trigonometria também ajuda nosso cérebro a determinar as distâncias dos objetos.

1) A trigonometria ajuda nosso cérebro a determinar as distâncias dos objetos.

Cientistas americanos afirmam que o cérebro estima a distância dos objetos medindo o ângulo entre o plano do solo e o plano de visão. A rigor, a ideia de "medir ângulos" não é nova. Mesmo os artistas da China Antiga pintavam objetos distantes mais altos no campo de visão, negligenciando um pouco as leis da perspectiva. Alhazen, um cientista árabe do século 11, formulou a teoria de determinar a distância pela estimativa de ângulos. Depois de um longo esquecimento em meados do século passado, a ideia foi revivida pelo psicólogo James

2)O movimento dos peixes na água ocorre de acordo com a lei do seno ou cosseno, se você fixar um ponto na cauda e, em seguida, considerar a trajetória do movimento. Ao nadar, o corpo do peixe assume a forma de uma curva que lembra o gráfico da função y=tg(x)
5. Conclusão

Como resultado do trabalho de pesquisa:

· Conheci a história da trigonometria.

· Métodos sistematizados de resolução de equações trigonométricas.

· Aprendeu sobre as aplicações da trigonometria em arquitetura, biologia, medicina.

Escola Secundária MBOU Tselinnaya

Relatar trigonometria na vida real

Preparado e conduzido

professor de matemática

categoria de qualificação

Ilina V.P.

Tselinny março de 2014

Índice.

1. Introdução .

2. A história da criação da trigonometria:

Primeiros séculos.

Grécia antiga.

Meia idade.

Novo tempo.

Da história do desenvolvimento da geometria esférica.

3. Trigonometria e vida real:

Aplicação da trigonometria na navegação.

Trigonometria em álgebra.

Trigonometria em física.

Trigonometria em medicina e biologia.

Trigonometria na música.

Trigonometria em Ciência da Computação

Trigonometria na construção e geodésia.

4. Conclusão .

5. Lista de referências.

Introdução

Há muito foi estabelecido na matemática que, no estudo sistemático da matemática, nós, estudantes, temos que cumprir a trigonometria três vezes. Assim, o seu conteúdo parece consistir em três partes. Durante o treinamento, essas partes são separadas umas das outras no tempo e não se assemelham tanto em termos de significado investido nas explicações dos conceitos básicos, quanto em termos de aparato desenvolvido e funções de serviço (aplicativos).

E, de fato, pela primeira vez encontramos material trigonométrico na 8ª série ao estudar o tópico “Relação entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo”. Então aprendemos o que são seno, cosseno e tangente, aprendemos a resolver triângulos planos.

No entanto, algum tempo passou e no 9º ano voltamos à trigonometria novamente. Mas esta trigonometria não é como a estudada anteriormente. Suas razões agora são definidas com a ajuda de um círculo (um semicírculo unitário), e não de um triângulo retângulo. Embora ainda sejam definidos como funções de ângulos, esses ângulos já são arbitrariamente grandes.

Tendo passado para a 10ª série, encontramos novamente a trigonometria e vimos que ela se tornou ainda mais difícil, o conceito de medida em radianos de um ângulo foi introduzido e as identidades trigonométricas, a formulação de problemas e a interpretação de suas soluções parecem diferente. Gráficos de funções trigonométricas são introduzidos. Finalmente, aparecem as equações trigonométricas. E todo esse material apareceu diante de nós já como parte da álgebra, e não como geometria. E ficou muito interessante para nós estudar a história da trigonometria, sua aplicação no dia a dia, pois o uso de informações históricas por um professor de matemática não é obrigatório na apresentação do material da aula. No entanto, como K. A. Malygin aponta, “... as excursões ao passado histórico animam a lição, relaxam o estresse mental, aumentam o interesse pelo material estudado e contribuem para sua assimilação duradoura”. Além disso, o material sobre a história da matemática é muito extenso e interessante, pois o desenvolvimento da matemática está intimamente ligado à solução de problemas urgentes que surgiram em todos os períodos da existência da civilização.

Tendo aprendido sobre as razões históricas para o surgimento da trigonometria e estudado como os frutos das atividades de grandes cientistas influenciaram o desenvolvimento dessa área da matemática e a solução de problemas específicos, nós, entre os alunos, aumentamos interesse pelo assunto que está sendo estudado, e veremos seu significado prático.

Objetivo do projeto - desenvolvimento do interesse pelo estudo do tema "Trigonometria" no curso de álgebra e início da análise pelo prisma do valor aplicado do material em estudo; expansão de representações gráficas contendo funções trigonométricas; aplicação da trigonometria em ciências como física, biologia, etc.

A conexão da trigonometria com o mundo exterior, a importância da trigonometria na resolução de muitos problemas práticos, as capacidades gráficas das funções trigonométricas tornam possível "materializar" o conhecimento dos alunos. Isso permite que você entenda melhor a necessidade vital de conhecimentos adquiridos no estudo da trigonometria, aumenta o interesse no estudo deste tema.

Objetivos de pesquisa:

1. Considere a história do surgimento e desenvolvimento da trigonometria.

2. Mostrar aplicações práticas da trigonometria em várias ciências com exemplos concretos.

3.Explique em exemplos concretos as possibilidades de utilização de funções trigonométricas, que permitem transformar funções "pouco interessantes" em funções cujos gráficos têm um aspecto muito original.

"Uma coisa permanece clara, que o mundo está organizado de forma ameaçadora e bela."

N. Rubtsov

Trigonometria - Este é um ramo da matemática que estuda a relação entre os ângulos e os comprimentos dos lados dos triângulos, bem como as identidades algébricas das funções trigonométricas. É difícil imaginar, mas encontramos essa ciência não apenas nas aulas de matemática, mas também no nosso dia a dia. Podemos não estar cientes disso, mas a trigonometria é encontrada em ciências como física, biologia, desempenha um papel importante na medicina e, o mais interessante, nem a música e a arquitetura poderiam prescindir dela. Problemas com conteúdo prático desempenham um papel significativo no desenvolvimento de habilidades para aplicar na prática os conhecimentos teóricos adquiridos no estudo da matemática. Todo estudante de matemática está interessado em como e onde o conhecimento adquirido é aplicado. Este trabalho fornece uma resposta a esta pergunta.

A história da criação da trigonometria

Primeiros séculos

Da matemática babilônica, estamos acostumados a medir ângulos em graus, minutos e segundos (a introdução dessas unidades na matemática grega antiga é geralmente atribuída ao século II aC).

A principal conquista desse período foi a razão entre os catetos e a hipotenusa em um triângulo retângulo, que mais tarde recebeu o nome.

Grécia antiga

Uma apresentação geral e logicamente coerente das relações trigonométricas apareceu na geometria grega antiga. Os matemáticos gregos ainda não destacavam a trigonometria como uma ciência separada, para eles era parte da astronomia.
A principal conquista da antiga teoria trigonométrica foi a solução de uma forma geral do problema de "resolver triângulos", isto é, encontrar os elementos desconhecidos de um triângulo, com base em três de seus elementos dados (dos quais pelo menos um é um lateral).

Meia idade

No século IV, após a morte da ciência antiga, o centro de desenvolvimento da matemática mudou-se para a Índia. Eles mudaram alguns conceitos da trigonometria, aproximando-os dos modernos: por exemplo, foram os primeiros a introduzir o cosseno em uso.
O primeiro tratado especializado em trigonometria foi o trabalho do cientista da Ásia Central (século X-XI) "O Livro das Chaves da Ciência da Astronomia" (995-996). Todo o curso de trigonometria continha a principal obra de Al-Biruni - "O Cânone de Mas'ud" (Livro III). Além das tabelas de senos (com passo de 15"), Al-Biruni deu tabelas de tangentes (com passo de 1°).

Depois que os tratados árabes foram traduzidos para o latim nos séculos XII-XIII, muitas ideias de matemáticos indianos e persas tornaram-se propriedade da ciência européia. Aparentemente, o primeiro contato dos europeus com a trigonometria ocorreu graças ao zij, cujas duas traduções foram feitas no século XII.

O primeiro trabalho europeu dedicado inteiramente à trigonometria é frequentemente chamado de Quatro Tratados sobre Acordes Diretos e Invertidos por um astrônomo inglês (por volta de 1320). As tabelas trigonométricas, muitas vezes traduzidas do árabe, mas às vezes originais, estão contidas nas obras de vários outros autores dos séculos XIV-XV. Em seguida, a trigonometria tomou seu lugar entre os cursos universitários.

novo tempo

A palavra "trigonometria" é encontrada pela primeira vez (1505) no título de um livro do teólogo e matemático alemão Pitiscus, cuja origem é grega: triângulo, medida. Em outras palavras, a trigonometria é a ciência de medir triângulos. Embora o nome tenha surgido há relativamente pouco tempo, muitos dos conceitos e fatos agora relacionados à trigonometria já eram conhecidos há dois mil anos.

O conceito de seno tem uma longa história. De fato, várias razões dos segmentos de um triângulo e um círculo (e, em essência, funções trigonométricas) já são encontradas no ӀӀӀ c. BC e nas obras dos grandes matemáticos da Grécia Antiga - Euclides, Arquimedes, Apolônio de Perga. No período romano, essas relações já eram bastante sistematicamente estudadas por Menelau (século Ӏ aC), embora não adquirissem um nome especial. O menos moderno de um ângulo, por exemplo, foi estudado como um produto de meias cordas, nas quais o ângulo central é apoiado por um valor, ou como uma corda de um arco dobrado.

No período subsequente, a matemática foi desenvolvida mais ativamente por cientistas indianos e árabes por muito tempo. Em ӀV- Vséculos Em particular, um termo especial apareceu nos trabalhos sobre astronomia do grande cientista indiano Aryabhata (476-c. 550), que dá nome ao primeiro satélite indiano da Terra.

Mais tarde, um nome mais curto jiva foi adotado. matemáticos árabes em ΙXdentro. a palavra jiva (ou jiba) foi substituída pela palavra árabe jaib (protuberância). Ao traduzir textos matemáticos árabes paraXΙΙdentro. esta palavra foi substituída pelo latim seno (seio- curvatura, curvatura)

A palavra cosseno é muito mais jovem. Cosseno é uma abreviação da expressão latinacomplementoseio, ou seja, "seno adicional" (ou "seno do arco adicional"; lembre-seporqueuma= pecado(90°- uma)).

Lidando com funções trigonométricas, essencialmente vamos além do escopo da tarefa de "medir triângulos". Portanto, o famoso matemático F. Klein (1849-1925) propôs chamar a teoria das funções "trigonométricas" de outra forma - goniometria (ângulo). No entanto, esse nome não pegou.

As tangentes surgiram em conexão com a solução do problema de determinar o comprimento da sombra. A tangente (assim como a cotangente, secante e cossecante) é introduzida emXdentro. O matemático árabe Abu-l-Wafa, que também compilou as primeiras tabelas para encontrar tangentes e cotangentes. No entanto, essas descobertas permaneceram desconhecidas dos cientistas europeus por muito tempo, e as tangentes foram redescobertas emXIVdentro. primeiro pelo cientista inglês T. Braverdin, e mais tarde pelo matemático alemão, astrônomo Regiomontanus (1467). O nome "tangente" vem do latimtanger(tocar), apareceu em 1583Tangentestraduzido como "tocar" (lembre-se: a linha de tangentes é tangente ao círculo unitário)

Designações modernasarco pecado e arcoaparecem em 1772 nas obras do matemático vienense Scherfer e do famoso cientista francês J.L. Lagrange, embora J. Bernoulli já os tivesse considerado um pouco antes, que usava um simbolismo diferente. Mas esses símbolos tornaram-se geralmente aceitos apenas no finalXVΙΙΙséculos. O prefixo "arco" vem do latimarcox, por exemplo -, este é um ângulo (ou, pode-se dizer, um arco), cujo seno é igual ax.

Por muito tempo, a trigonometria se desenvolveu como parte da geometria, ou seja, os fatos que agora formulamos em termos de funções trigonométricas foram formulados e provados com a ajuda de conceitos e afirmações geométricas. Talvez os maiores incentivos para o desenvolvimento da trigonometria tenham surgido em conexão com a resolução de problemas de astronomia, que eram de grande interesse prático (por exemplo, para resolver problemas de determinação da localização de um navio, previsão de eclipses etc.)

Os astrônomos estavam interessados ​​na relação entre os lados e os ângulos de triângulos esféricos compostos de grandes círculos sobre uma esfera. E deve-se notar que os matemáticos da antiguidade lidaram com sucesso com problemas que eram muito mais difíceis do que problemas para resolver triângulos planos.

De qualquer forma, na forma geométrica, muitas fórmulas de trigonometria conhecidas por nós foram descobertas e redescobertas por matemáticos gregos, indianos e árabes antigos (embora as fórmulas para a diferença de funções trigonométricas tenham se tornado conhecidas apenas emXVΙӀ v. - eles foram trazidos pelo matemático inglês Napier para simplificar cálculos com funções trigonométricas. E o primeiro desenho de uma sinusóide apareceu em 1634.)

De fundamental importância foi a compilação por K. Ptolomeu da primeira tabela de senos (por muito tempo foi chamada de tabela de acordes): uma ferramenta prática apareceu para resolver vários problemas aplicados e, em primeiro lugar, problemas de astronomia .

Ao lidar com tabelas prontas, ou usando uma calculadora, muitas vezes não pensamos no fato de que houve um tempo em que as tabelas ainda não haviam sido inventadas. Para compilá-los, foi necessário realizar não apenas uma grande quantidade de cálculos, mas também criar uma maneira de compilar tabelas. As tabelas de Ptolomeu têm precisão de cinco casas decimais, inclusive.

A forma moderna de trigonometria foi dada pelo maior matemáticoXVSéculo ΙӀΙ L. Euler (1707-1783), suíço de nascimento, trabalhou por muitos anos na Rússia e foi membro da Academia de Ciências de São Petersburgo. Foi Euler quem primeiro introduziu as conhecidas definições de funções trigonométricas, começou a considerar funções de um ângulo arbitrário e obteve fórmulas de redução. Tudo isso é uma pequena fração do que Euler conseguiu fazer na matemática durante uma longa vida: deixou mais de 800 trabalhos, provou muitos teoremas que se tornaram clássicos, relacionados às mais diversas áreas da matemática. Mas se você está tentando operar com funções trigonométricas em forma geométrica, isto é, da maneira que muitas gerações de matemáticos faziam antes de Euler, então você poderá apreciar os méritos de Euler na sistematização da trigonometria. Depois de Euler, a trigonometria adquiriu uma nova forma de cálculo: vários fatos começaram a ser comprovados pela aplicação formal de fórmulas de trigonometria; as provas tornaram-se muito mais compactas e simples.

Da história do desenvolvimento da geometria esférica .

É amplamente conhecido que a geometria euclidiana é uma das ciências mais antigas: já emIIIséculo aC A obra clássica de Euclides "Beginnings" apareceu. Menos conhecido é que a geometria esférica é apenas um pouco mais jovem. Sua primeira exposição sistemática refere-se aEU- IIséculos. No livro "Sphere", escrito pelo matemático grego Menelau (EUc.), foram estudadas as propriedades dos triângulos esféricos; provou-se, em particular, que a soma dos ângulos de um triângulo esférico é maior que 180 graus. Outro matemático grego Cláudio Ptolomeu deu um grande passo à frente (IIdentro.). Em essência, ele foi o primeiro a compilar tabelas de funções trigonométricas e introduzir a projeção estereográfica.

Assim como a geometria de Euclides, a geometria esférica surgiu ao resolver problemas de natureza prática, principalmente problemas de astronomia. Essas tarefas eram necessárias, por exemplo, para viajantes e navegadores que navegavam pelas estrelas. E como em observações astronômicas é conveniente supor que tanto o Sol quanto a Lua e as estrelas se movem ao longo da "esfera celeste" representada, é natural que o conhecimento da geometria da esfera fosse necessário para estudar seu movimento. Não é coincidência, portanto, que a obra mais famosa de Ptolomeu tenha sido chamada de "A Grande Construção Matemática da Astronomia em 13 Livros".

O período mais importante da história da trigonometria esférica está associado às atividades dos cientistas no Oriente Médio. Cientistas indianos resolveram com sucesso problemas de trigonometria esférica. No entanto, o método descrito por Ptolomeu e baseado no teorema de Menelau do quadrilátero completo não foi utilizado por eles. E na trigonometria esférica, eles usaram métodos projetivos que correspondiam aos do Analema de Ptolomeu. Como resultado, eles obtiveram um conjunto de regras computacionais específicas que tornaram possível resolver praticamente qualquer problema de astronomia esférica. Com a ajuda deles, esse problema foi finalmente reduzido a comparar triângulos retângulos planos semelhantes entre si. Ao resolver, a teoria das equações quadráticas e o método de aproximações sucessivas eram frequentemente usados. Um exemplo de problema astronômico que cientistas indianos resolveram usando as regras que desenvolveram é o problema considerado na obra Panga Siddhantika de Varahamihira (V- VI). Consiste em encontrar a altura do Sol, se a latitude do local for conhecida, a declinação do Sol e seu ângulo horário. Como resultado da resolução deste problema, após uma série de construções, estabelece-se uma relação equivalente ao teorema moderno dos cossenos para um triângulo esférico. No entanto, esta relação, e outra equivalente ao teorema do seno, não foram generalizadas como regras aplicáveis ​​a qualquer triângulo esférico.

Entre os primeiros estudiosos orientais que se voltaram para a discussão do teorema de Menelau, deve-se citar os irmãos Banu Mussa - Muhammad, Hasan e Ahmad, filhos de Musa ibn Shakir, que trabalhou em Bagdá e estudou matemática, astronomia e mecânica. Mas o primeiro trabalho sobrevivente sobre o teorema de Menelau é o "Tratado sobre a figura da secante" de seu aluno Thabit ibn Korra (836-901)

O tratado de Thabit ibn Korra chegou até nós no original árabe. E na tradução latinaXIIdentro. Esta tradução de Gerando de Cremona (1114-1187) foi amplamente utilizada na Europa Medieval.

A história da trigonometria, como ciência das relações entre os ângulos e lados de um triângulo e outras figuras geométricas, abrange mais de dois milênios. A maioria dessas relações não pode ser expressa usando operações algébricas comuns e, portanto, foi necessário introduzir funções trigonométricas especiais, originalmente apresentadas na forma de tabelas numéricas.
Os historiadores acreditam que a trigonometria foi criada por astrônomos antigos e, um pouco mais tarde, começou a ser usada na arquitetura. Com o tempo, o escopo da trigonometria se expandiu constantemente, hoje inclui quase todas as ciências naturais, tecnologia e várias outras áreas de atividade.

Os problemas trigonométricos aplicados são muito diversos - por exemplo, podem ser definidos resultados mensuráveis ​​de operações nas quantidades listadas (por exemplo, a soma dos ângulos ou a razão dos comprimentos dos lados).

Em paralelo com o desenvolvimento da trigonometria plana, os gregos, sob a influência da astronomia, avançaram muito a trigonometria esférica. Nos "Princípios" de Euclides sobre este tema, há apenas um teorema sobre a razão dos volumes de bolas de diferentes diâmetros, mas as necessidades da astronomia e da cartografia causaram o rápido desenvolvimento da trigonometria esférica e áreas relacionadas - o sistema de coordenadas celestes, o teoria das projeções cartográficas e a tecnologia dos instrumentos astronômicos.

cursos.

Trigonometria e vida real

As funções trigonométricas encontraram aplicação em análise matemática, física, ciência da computação, geodésia, medicina, música, geofísica e navegação.

Aplicação da trigonometria na navegação

Navegação (esta palavra vem do latimnavegação- navegando em um navio) - uma das ciências mais antigas. As tarefas mais simples da navegação, como, por exemplo, determinar a rota mais curta, escolher a direção do movimento, enfrentaram os primeiros navegadores. Atualmente, essas e outras tarefas precisam ser resolvidas não apenas por marinheiros, mas também por pilotos e astronautas. Vamos considerar alguns conceitos e tarefas de navegação com mais detalhes.

Tarefa. As coordenadas geográficas são conhecidas - a latitude e longitude dos pontos A e B da superfície da terra:, e, . É necessário encontrar a distância mais curta entre os pontos A e B ao longo da superfície da Terra (o raio da Terra é considerado conhecido:R= 6371 km)

Decisão. Lembre-se primeiro que a latitude do ponto M da superfície terrestre é o valor do ângulo formado pelo raio OM, onde O é o centro da Terra, com o plano do equador: ≤ , e ao norte do equador , a latitude é considerada positiva, e ao sul - negativa

A longitude do ponto M é o valor do ângulo diedro entre os planos COM e SON, onde C é o Pólo Norte da Terra, e H é o ponto correspondente ao observatório de Greenwich: ≤ (a leste do meridiano de Greenwich , a longitude é considerada positiva, a oeste - negativa).

Como já se sabe, a distância mais curta entre os pontos A e B na superfície da Terra é o comprimento do menor dos arcos de um grande círculo ligando A e B (tal arco é chamado de ortódromo - traduzido do grego significa "correr em linha reta" ). Portanto, nossa tarefa se reduz a determinar o comprimento do lado AB do triângulo esférico ABC (C é o pólo norte).

Aplicando a notação padrão para os elementos do triângulo ABC e o ângulo triédrico correspondente OABS, da condição do problema encontramos: α = = - , β = (Fig. 2).

O ângulo C também não é difícil de expressar em termos das coordenadas dos pontos A e B. Por definição, ≤ , portanto, ou ângulo C = se ≤ , ou - se. Conhecendo = usando o teorema do cosseno: = + (-). Conhecendo e, portanto, o ângulo, encontramos a distância necessária: =.

Trigonometria na navegação 2.

Para traçar o curso do navio em um mapa feito na projeção de Gerhard Mercator (1569), era necessário determinar a latitude. Ao navegar no Mar Mediterrâneo em direções de navegação atéXVIIdentro. latitude não foi especificada. Pela primeira vez, Edmond Gunther (1623) aplicou cálculos trigonométricos na navegação.

A trigonometria ajuda a calcular o efeito do vento no voo da aeronave. O triângulo da velocidade é o triângulo formado pelo vetor velocidade do ar (V), vetor vento (C), vetor velocidade do solo (V P ). PU - ângulo da pista, SW - ângulo do vento, KUV - ângulo do vento de direção.

A relação entre os elementos do triângulo de velocidade de navegação tem a forma:

V P = V porque EUA + C porque UV; pecado EUA = * pecado UV, tg SO =

O triângulo de navegação de velocidades é resolvido com a ajuda de dispositivos de contagem, na régua de navegação e aproximadamente na mente.

Trigonometria em álgebra.

Aqui está um exemplo de resolução de uma equação complexa usando substituição trigonométrica.

Dada a equação

Deixe ser , Nós temos

;

Onde: ou

sujeito a restrições, obtemos:

Trigonometria em física

Onde quer que tenhamos que lidar com processos e oscilações periódicas - seja acústica, óptica ou o balanço de um pêndulo - estamos lidando com funções trigonométricas. Fórmulas de oscilação:

Onde UMA- amplitude de oscilação, - frequência angular de oscilação, - fase inicial de oscilação

Fase de oscilação.

Quando os objetos são imersos na água, eles não mudam de forma ou tamanho. Todo o segredo é o efeito óptico que faz com que nossa visão perceba o objeto de uma maneira diferente. As fórmulas trigonométricas mais simples e os valores do seno do ângulo de incidência e refração do feixe permitem calcular o índice de refração constante durante a transição de um feixe de luz de meio para meio. Por exemplo, um arco-íris ocorre devido ao fato de que a luz solar é refratada em gotículas de água suspensas no ar de acordo com a lei da refração:

pecado α / pecado β =n 1 /n 2

Onde:

n 1 - índice de refração do primeiro meio
nº 2 - índice de refração do segundo meio

α -ângulo de incidência, β é o ângulo de refração da luz.

A penetração de partículas carregadas do vento solar na atmosfera superior dos planetas é determinada pela interação do campo magnético do planeta com o vento solar.

A força que atua sobre uma partícula carregada movendo-se em um campo magnético é chamada de força de Lorentz. É proporcional à carga da partícula e ao produto vetorial do campo e a velocidade da partícula.

Como exemplo prático, considere um problema físico que é resolvido usando trigonometria.

Tarefa. Em um plano inclinado fazendo um ângulo de 24,5 com o horizonte cerca de , existe um corpo de massa 90 kg. Encontre a força com que este corpo exerce pressão sobre o plano inclinado (ou seja, que pressão o corpo exerce neste plano).

Decisão:

Tendo designado os eixos X e Y, começaremos a construir projeções de forças nos eixos, primeiro usando esta fórmula:

mãe = N + mg , em seguida, olhe para a imagem,

X : ma = 0 + mg sen24,5 0

Y: 0 = N - mg cos24,5 0

N = mg porque 24,5 0

substituímos a massa, descobrimos que a força é 819 N.

Resposta: 819N

Trigonometria em medicina e biologia

Um de propriedades fundamentaisa natureza viva é a ciclicidade da maioria dos processos que ocorrem nela.

Ritmos biológicos, biorritmossão mudanças mais ou menos regulares na natureza e intensidade dos processos biológicos.

Ritmo básico da terra- diário.

O modelo de biorritmos pode ser construído usando funções trigonométricas.

Para construir um modelo de biorritmos, você deve inserir a data de nascimento de uma pessoa, a data de referência (dia, mês, ano) e a duração da previsão (número de dias).

Mesmo algumas partes do cérebro são chamadas de seios.

As paredes dos seios são formadas por uma dura-máter revestida por endotélio. O lúmen dos seios se abre, as válvulas e a membrana muscular, ao contrário de outras veias, estão ausentes. Na cavidade dos seios existem septos fibrosos recobertos por endotélio. Dos seios, o sangue entra nas veias jugulares internas; além disso, há uma conexão entre os seios e as veias da superfície externa do crânio por meio de graduados venosos de reserva.

O movimento dos peixes na água ocorre de acordo com a lei do seno ou cosseno, se você fixar um ponto na cauda e, em seguida, considerar a trajetória do movimento.

Ao nadar, o corpo do peixe assume a forma de uma curva que lembra um gráfico.

funções y= tgx.

Trigonometria na música

Nós ouvimos músicamp3.

Um sinal de áudio é uma onda, aqui está o seu “gráfico”.

Como você pode ver, embora seja muito complexo, é uma senóide que obedece às leis da trigonometria.

No Teatro de Arte de Moscou, na primavera de 2003, ocorreu a apresentação do álbum "Trigonometria" do grupo "Night Snipers", solista Diana Arbenina. O conteúdo do álbum revela o significado original da palavra "trigonometria" - a medida da Terra.

Trigonometria em Ciência da Computação

As funções trigonométricas podem ser usadas para cálculos precisos.

Usando funções trigonométricas, você pode aproximar qualquer

(em certo sentido, "bom"), expandindo-o em uma série de Fourier:

uma 0 + um 1 cos x + b 1 sen x + a 2 cos 2x + b 2 pecado 2x + a 3 cos 3x + b 3 pecado 3x + ...

Escolhendo os números certos a 0 , a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , ..., é possível representar quase todas as funções em um computador com a precisão necessária na forma de tal soma (infinita).

As funções trigonométricas são úteis ao trabalhar com informações gráficas. É necessário simular (descrever em um computador) a rotação de algum objeto em torno de algum eixo. Há uma rotação através de um determinado ângulo. Para determinar as coordenadas dos pontos, você terá que multiplicar pelos senos e cossenos.

Justin Windell, programador e designer daGoogle gráficos Laboratório , publicou uma demonstração mostrando exemplos de uso de funções trigonométricas para criar animações dinâmicas.

Trigonometria na construção e geodésia

Os comprimentos dos lados e os ângulos de um triângulo arbitrário no plano são interconectados por certas relações, as mais importantes das quais são chamadas de teoremas do cosseno e do seno.

2ab

= =

Nessas fórmulas,b, c- os comprimentos dos lados do triângulo ABC, respectivamente opostos aos ângulos A, B, C. Essas fórmulas nos permitem restaurar os três elementos restantes dos três elementos do triângulo - os comprimentos dos lados e os ângulos. Eles são usados ​​na resolução de problemas práticos, por exemplo, em geodésia.

Toda geodésia "clássica" é baseada em trigonometria. Desde, de fato, desde os tempos antigos, os agrimensores estão envolvidos em "resolver" triângulos.

O processo de construção de edifícios, estradas, pontes e outras estruturas começa com o trabalho de levantamento e projeto. Todas as medições no canteiro de obras são realizadas usando instrumentos de levantamento, como teodolito e nível trigonométrico. Com o nivelamento trigonométrico, é determinada a diferença de altura entre vários pontos na superfície da Terra.

Conclusão

A trigonometria foi trazida à vida pela necessidade de medir ângulos, mas acabou se desenvolvendo na ciência das funções trigonométricas.

A trigonometria está intimamente relacionada à física, encontrada na natureza, música, arquitetura, medicina e tecnologia.

A trigonometria se reflete em nossas vidas, e as áreas em que desempenha um papel importante se expandirão, portanto, o conhecimento de suas leis é necessário para todos.

A ligação da matemática com o mundo exterior permite “materializar” o conhecimento dos alunos. Isso nos ajuda a compreender melhor a necessidade vital do conhecimento adquirido na escola.

Por um problema matemático com conteúdo prático (tarefa de natureza aplicada), entendemos um problema cujo enredo revela as aplicações da matemática em disciplinas acadêmicas relacionadas, tecnologia e vida cotidiana.

A história sobre as razões históricas para o surgimento da trigonometria, seu desenvolvimento e aplicação prática estimula nossos alunos a se interessarem pelo assunto que está sendo estudado, forma nossa visão de mundo e melhora nossa cultura geral.

Este trabalho será útil para alunos do ensino médio que ainda não viram a beleza da trigonometria e não estão familiarizados com as áreas de sua aplicação na vida circundante.

Bibliografia:

1. Repita as fórmulas básicas da trigonometria e consolide os seus conhecimentos durante os exercícios;
2. Desenvolver habilidades de autocontrole, a capacidade de trabalhar com uma apresentação de computador.
3. Educação de uma atitude responsável para o trabalho educativo, vontade e perseverança para alcançar os resultados finais.

Equipamentos: Computadores, apresentação em computador.

Resultado esperado:

1. Cada aluno deve conhecer fórmulas de trigonometria e ser capaz de aplicá-las para transformar expressões trigonométricas ao nível dos resultados pretendidos.
2. Conhecer a derivação dessas fórmulas e ser capaz de aplicá-las para converter expressões trigonométricas.
3. Conhecer as fórmulas da trigonometria, ser capaz de derivar essas fórmulas e aplicá-las a expressões trigonométricas mais complexas.

As principais etapas da aula:

1. A mensagem do tema, propósito, objetivos da aula e a motivação das atividades educativas.
2. Contagem verbal
3. Mensagem da história da matemática
4. Repetição (do 9º ano) de fórmulas de trigonometria usando uma apresentação de computador
5. Aplicando fórmulas trigonométricas para converter expressões
6. Execução do teste
7. Resumindo a lição
8. Definir uma tarefa em casa

Durante as aulas

EU. Organizando o tempo.

Relatar o tópico, metas, objetivos da aula e motivação para as atividades de aprendizagem

II. Trabalho oral (as tarefas são pré-impressas para cada aluno):

A medida em radianos de dois ângulos de um triângulo é e . Encontre a medida de cada ângulo do triângulo. Responda: 60, 30, 90

Encontre a medida em radianos dos ângulos de um triângulo se sua razão for 2:3:4. Responda: , ,

O cosseno pode ser igual a: a), b), c), d), e) -2? Responda: a) sim; b) não; c) não; e) sim; olhos.

O seno pode ser igual a: a) -3, 7 b), c)? Responda: a) não; b) sim; c) não.

Para quais valores de a e b são verdadeiras as seguintes igualdades: a) cos x = ; b) sen x=; c) cosx= ; d) tgx= ; e) sen x = a? Responda: a) /a/ 7; BA/ ; c) 0 d) b – qualquer número; e)-

III. Mensagem da história da trigonometria (breve contexto histórico):

A trigonometria surgiu e se desenvolveu na antiguidade como uma das seções da astronomia, como seu aparato computacional que atende às necessidades práticas do homem.

Algumas informações trigonométricas eram conhecidas pelos antigos babilônios e egípcios, mas as bases dessa ciência foram estabelecidas na Grécia antiga.

Astrônomo grego Hiparco no século II. BC e. compilou uma tabela de valores numéricos de cordas, dependendo da magnitude dos arcos contraídos por elas. Informações mais completas da trigonometria estão contidas no famoso "Almagest" de Ptolomeu. Os cálculos feitos permitiram a Ptolomeu compilar uma tabela que continha acordes de 0 a 180.

Os nomes das linhas seno e cosseno foram introduzidos pela primeira vez por cientistas indianos. Eles também compilaram as primeiras tabelas de senos, embora menos precisas que as ptolomaicas.

Na Índia, em essência, começa a doutrina das quantidades trigonométricas, mais tarde chamada de goniometria (de “gônia” - ângulo e “métrio” - eu meço).

No limiar do século XVII no desenvolvimento da trigonometria, uma nova direção começa - analítica.

A trigonometria fornece o método necessário para o desenvolvimento de muitos conceitos e métodos para resolver problemas reais que surgem em física, mecânica, astronomia, geodosia, cartografia e outras ciências. Além disso, a trigonometria é uma grande ajuda na resolução de problemas estereométricos.

4. Trabalhe em computadores com uma apresentação:

“Fórmulas básicas de trigonometria” (Apêndice 1)

Pré-lembrar precauções de segurança na sala de aula de informática.

• Identidades trigonométricas básicas.
• Fórmulas de adição.
• Fórmulas de elenco
• Fórmulas para a soma e diferença de senos (cossenos).
• Fórmulas de argumento duplo.
• Fórmulas de meio argumento.

V. Aplicação de fórmulas trigonométricas à transformação de expressões.

a) Um aluno completa a tarefa na parte de trás do quadro, o restante do local confere e levanta as placas de sinalização (correto - “+”, incorreto - “-“) do local.

Escolha uma resposta.

Simplifique a expressão 7 cos - 5.

a) 1+cos; b) 2; às 12; e) 12

Simplifique a expressão 5 – 4 sen

a) 1; b) 9; c) 1+8sin; d) 1+cos.