avião Lobachevsky

Geometria de Lobachevsky (geometria hiperbólica listen)) é uma das geometrias não-euclidianas, uma teoria geométrica baseada nas mesmas premissas básicas da geometria euclidiana comum, com exceção do axioma das paralelas, que é substituído pelo axioma das paralelas de Lobachevsky.

O axioma euclidiano das paralelas diz:

por um ponto que não pertence a uma reta dada, há apenas uma reta que se encontra com a reta dada no mesmo plano e não a intercepta.

Na geometria de Lobachevsky, o seguinte axioma é aceito:

por um ponto que não pertence a uma reta dada passam pelo menos duas retas que se encontram com a reta dada no mesmo plano e não a interceptam.

A geometria de Lobachevsky tem extensas aplicações em matemática e física. Seu significado histórico reside no fato de que por sua construção Lobachevsky mostrou a possibilidade de uma geometria diferente da euclidiana, que marcou uma nova era no desenvolvimento da geometria e da matemática em geral.

História

Tentativas de provar o quinto postulado

O ponto de partida da geometria de Lobachevsky foi o quinto postulado de Euclides, um axioma equivalente ao axioma das paralelas. Foi incluído na lista de postulados nos Elementos de Euclides). A relativa complexidade e não-intuitividade de sua formulação evocaram um sentimento de sua natureza secundária e deram origem a tentativas de derivá-la do restante dos postulados de Euclides.

Entre aqueles que tentavam provar estavam os seguintes cientistas:

• matemáticos gregos antigos Ptolomeu (século II), Proclo (século V) (com base na suposição de que a distância entre dois paralelos é finita),
• Ibn al-Haytham do Iraque (final - primeiros séculos) (com base na suposição de que o final de um movimento perpendicular a uma linha reta descreve uma linha reta),
• Os matemáticos iranianos Omar Khayyam (2ª metade - início do século XII) e Nasir ad-Din at-Tusi (século XIII) (com base na suposição de que duas linhas convergentes não podem continuar a divergir sem se cruzar),
• matemático alemão Clavius ​​​​(),
• matemáticos italianos
  • Cataldi (pela primeira vez em 1603 publicou um trabalho inteiramente dedicado à questão dos paralelos),
• O matemático inglês Wallis ( , publicado em ) (com base no pressuposto de que para cada figura existe uma figura semelhante a ela, mas não igual a ela),
• O matemático francês Legendre () (com base na suposição de que através de cada ponto dentro de um ângulo agudo você pode desenhar uma linha que cruza os dois lados do ângulo; ele também teve outras tentativas de prova).

Nessas tentativas de provar o quinto postulado, os matemáticos introduziram alguma nova afirmação, que lhes parecia mais óbvia.

Tentativas foram feitas para usar prova por contradição:

• o matemático italiano Saccheri () (tendo formulado uma afirmação contrariando o postulado, deduziu uma série de consequências e, reconhecendo erroneamente algumas delas como contraditórias, considerou o postulado comprovado),
• O matemático alemão Lambert (sobre, publicado em) (depois de realizar pesquisas, ele admitiu que não conseguiu encontrar contradições no sistema que construiu).

Por fim, começou a surgir o entendimento de que é possível construir uma teoria com base no postulado oposto:

• Os matemáticos alemães F. Schweikart () e Taurinus () (no entanto, eles não perceberam que tal teoria seria tão logicamente coerente).

Criação de geometria não-euclidiana

Lobachevsky em sua obra "Sobre os Princípios da Geometria" (), seu primeiro trabalho impresso sobre geometria não-euclidiana, afirmou claramente que o postulado V não pode ser provado com base em outras premissas da geometria euclidiana, e que a suposição de um postulado oposto ao postulado de Euclides permite construir uma geometria tão significativa quanto a euclidiana e livre de contradições.

Simultaneamente e independentemente, Janos Bolyai chegou a conclusões semelhantes, e Carl Friedrich Gauss chegou a tais conclusões ainda mais cedo. No entanto, os escritos de Bolyai não atraíram a atenção, e ele logo abandonou o assunto, enquanto Gauss se absteve de publicar, e seus pontos de vista só podem ser julgados por algumas cartas e entradas de diário. Por exemplo, em uma carta de 1846 ao astrônomo G. H. Schumacher, Gauss fala do trabalho de Lobachevsky da seguinte forma:

Esta obra contém os fundamentos da geometria que teria que acontecer e, além disso, constituiria um todo estritamente consistente, se a geometria euclidiana não fosse verdadeira... Lobachevsky a chama de "geometria imaginária"; Você sabe que por 54 anos (desde 1792) tenho compartilhado as mesmas opiniões com algum desenvolvimento delas, que não quero mencionar aqui; assim, não encontrei nada realmente novo para mim na obra de Lobachevsky. Mas no desenvolvimento do assunto, o autor não seguiu o caminho que eu mesmo segui; é magistralmente feito por Lobachevsky em um espírito verdadeiramente geométrico. Considero-me obrigado a chamar a sua atenção para este trabalho, que certamente lhe dará um prazer excepcional.

Como resultado, Lobachevsky atuou como o primeiro propagandista mais brilhante e consistente dessa teoria.

Embora a geometria de Lobachevsky tenha se desenvolvido como uma teoria especulativa e o próprio Lobachevsky a tenha chamado de "geometria imaginária", foi Lobachevsky quem a considerou não como um jogo da mente, mas como uma possível teoria das relações espaciais. No entanto, a prova de sua consistência se deu posteriormente, quando foram indicadas suas interpretações e, assim, a questão de seu real significado, consistência lógica, foi completamente resolvida.

Declaração da geometria de Lobachevsky

canto é ainda mais difícil.

Modelo Poincaré

O conteúdo da geometria de Lobachevsky

Lápis de linhas paralelas na geometria de Lobachevsky

Lobachevsky construiu sua geometria, partindo dos conceitos geométricos básicos e de seu axioma, e provou teoremas por um método geométrico, semelhante ao que é feito na geometria de Euclides. A teoria das linhas paralelas serviu de base, pois é aqui que começa a diferença entre a geometria de Lobachevsky e a geometria de Euclides. Todos os teoremas que não dependem do axioma das paralelas são comuns às duas geometrias e formam a chamada geometria absoluta, que inclui, por exemplo, teoremas sobre a igualdade dos triângulos. Seguindo a teoria das paralelas, outras seções foram construídas, incluindo a trigonometria e os princípios da geometria analítica e diferencial.

Vamos apresentar (em notação moderna) vários fatos da geometria de Lobachevsky que a distinguem da geometria de Euclides e foram estabelecidos pelo próprio Lobachevsky.

Através do ponto P não está na linha dada. R(veja a figura), existem infinitas linhas retas que não se cruzam R e localizado com ele no mesmo plano; entre eles há dois extremos x, y, que são chamadas de linhas paralelas R no sentido de Lobachevsky. Nos modelos de Klein (Poincaré) eles são representados por cordas (arcos de círculos) tendo com uma corda (arco) R um fim comum (que, por definição do modelo, é excluído, de modo que essas linhas não têm pontos comuns).

Ângulo entre perpendiculares PB a partir de P no R e cada um dos paralelos (chamados ângulo de paralelismo) à medida que o ponto é removido P diminui da linha reta de 90° para 0° (no modelo de Poincaré, os ângulos no sentido usual coincidem com os ângulos no sentido de Lobachevsky e, portanto, esse fato pode ser visto diretamente nele). Paralelo x por um lado (e y oposto) aproxima-se assintoticamente uma, e por outro lado, ele se afasta infinitamente dele (nos modelos, as distâncias são difíceis de determinar e, portanto, esse fato não é diretamente visível).

Para um ponto localizado a partir de uma determinada linha reta a uma distância PB = um(veja a figura), Lobachevsky deu uma fórmula para o ângulo de paralelismo P(a) :

Aqui qé alguma constante relacionada à curvatura do espaço de Lobachevsky. Ele pode servir como uma unidade absoluta de comprimento da mesma forma que na geometria esférica o raio da esfera ocupa uma posição especial.

Se as linhas têm uma perpendicular comum, então elas divergem infinitamente em ambos os lados dela. A qualquer uma delas é possível restabelecer perpendiculares que não atingem a outra linha.

Na geometria de Lobachevsky não há triângulos semelhantes, mas desiguais; triângulos são congruentes se seus ângulos são iguais.

A soma dos ângulos de qualquer triângulo é menor que π e pode ser arbitrariamente próxima de zero. Isso é diretamente visível no modelo de Poincaré. A diferença δ \u003d π - (α + β + γ) , onde α , β , γ são os ângulos do triângulo, é proporcional à sua área:

Pode-se ver pela fórmula que existe uma área máxima de um triângulo, e este é um número finito: π q 2 .

Uma linha de distâncias iguais de uma linha reta não é uma linha reta, mas uma curva especial chamada equidistante, ou hiperciclo.

O limite de círculos de raio infinitamente crescente não é uma linha reta, mas uma curva especial chamada círculo limite, ou um horóscopo.

O limite das esferas de raio infinitamente crescente não é um plano, mas uma superfície especial - a esfera limite, ou horosfera; é notável que a geometria euclidiana se mantenha nela. Isso serviu a Lobachevsky como base para a derivação de fórmulas de trigonometria.

A circunferência não é proporcional ao raio, mas cresce mais rápido. Em particular, na geometria de Lobachevsky, o número π não pode ser definido como a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro.

Quanto menor a região no espaço ou no plano de Lobachevsky, menos as relações geométricas nesta região diferem das relações da geometria euclidiana. Podemos dizer que em uma região infinitesimal ocorre a geometria euclidiana. Por exemplo, quanto menor o triângulo, menos a soma de seus ângulos difere de π; quanto menor o círculo, menos a razão entre seu comprimento e raio difere de 2π, etc. Reduzir a área é formalmente equivalente a aumentar o comprimento da unidade, portanto, com um aumento infinito no comprimento da unidade, as fórmulas da geometria de Lobachevsky se transformam em fórmulas da geometria euclidiana. A geometria euclidiana é, nesse sentido, o caso "limitante" da geometria de Lobachevsky.

Formulários

• O próprio Lobachevsky aplicou sua geometria ao cálculo de integrais definidas.
• Na teoria das funções de uma variável complexa, a geometria de Lobachevsky ajudou a construir a teoria das funções automórficas. A conexão com a geometria de Lobachevsky foi aqui o ponto de partida da pesquisa de Poincaré, que escreveu que "a geometria não-euclidiana é a chave para resolver todo o problema".
• A geometria de Lobachevsky também encontra aplicação na teoria dos números, em seus métodos geométricos, unidos sob o nome de "geometria dos números".
• Uma estreita conexão foi estabelecida entre a geometria de Lobachevsky e a cinemática da teoria da relatividade especial (privada). Essa conexão se baseia no fato de que a igualdade que expressa a lei de propagação da luz

ao dividir por t 2 , ou seja, para a velocidade da luz, dá - a equação da esfera no espaço com coordenadas v x , v y , v z- componentes de velocidade ao longo dos eixos X, no, z(em "espaço de velocidade"). As transformações de Lorentz preservam essa esfera e, por serem lineares, transformam os espaços de velocidade direta em linhas retas. Portanto, de acordo com o modelo de Klein, no espaço de velocidades dentro de uma esfera de raio com, ou seja, para velocidades menores que a velocidade da luz, ocorre a geometria de Lobachevsky.

• A geometria de Lobachevsky encontrou uma aplicação notável na teoria geral da relatividade. Se considerarmos que a distribuição de massas de matéria no Universo é uniforme (esta aproximação é aceitável em escala cósmica), verifica-se que, sob certas condições, o espaço tem a geometria de Lobachevsky. Assim, a suposição de Lobachevsky de sua geometria como uma possível teoria do espaço real foi justificada.
• Usando o modelo de Klein, uma prova muito simples e curta é dada

Estamos acostumados a pensar que a geometria do mundo observado é euclidiana, ou seja, cumpre as leis da geometria que se estuda na escola. Na verdade isso não é verdade. Neste artigo, consideraremos as manifestações na realidade da geometria de Lobachevsky, que, à primeira vista, é puramente abstrata.

A geometria de Lobachevsky difere da geometria euclidiana usual na medida em que nela, por um ponto que não pertence a uma determinada reta, passam pelo menos duas retas que se encontram com a reta dada no mesmo plano e não a interceptam. Também é chamada de geometria hiperbólica.

1. Geometria euclidiana - apenas uma linha passa pelo ponto branco, que não cruza a linha amarela
2. Geometria de Riemann - quaisquer duas linhas se cruzam (não há linhas paralelas)
3. Geometria de Lobachevsky - existem infinitas linhas retas que não cruzam a linha amarela e passam pelo ponto branco

Para que o leitor visualize isso, vamos descrever brevemente o modelo de Klein. Neste modelo, o plano de Lobachevsky é realizado como o interior de um círculo de raio um, onde os pontos do plano são os pontos desse círculo e as linhas são as cordas. Uma corda é uma linha reta que une dois pontos em um círculo. A distância entre dois pontos é difícil de determinar, mas não precisamos dela. A partir da figura acima, fica claro que através do ponto P existem infinitas linhas que não interceptam a linha a. Na geometria euclidiana padrão, há apenas uma linha que passa pelo ponto P e não intercepta a linha a. Esta linha é paralela.

Agora vamos passar para o principal - as aplicações práticas da geometria de Lobachevsky.

Os sistemas de navegação por satélite (GPS e GLONASS) consistem em duas partes: uma constelação orbital de 24 a 29 satélites uniformemente espaçados ao redor da Terra e um segmento de controle na Terra, que garante a sincronização de tempo nos satélites e o uso de um único sistema de coordenadas. Os satélites têm relógios atômicos muito precisos, e os receptores (navegadores GPS) têm relógios de quartzo comuns. Os receptores também têm informações sobre as coordenadas de todos os satélites em um determinado momento. Os satélites em intervalos curtos transmitem um sinal contendo dados sobre a hora de início da transmissão. Depois de receber um sinal de pelo menos quatro satélites, o receptor pode ajustar seu relógio e calcular as distâncias a esses satélites usando a fórmula ((hora em que o sinal foi enviado pelo satélite) - (hora em que o sinal foi recebido do satélite)) x (velocidade da luz) = (distância ao satélite). As distâncias calculadas também são corrigidas de acordo com as fórmulas incorporadas ao receptor. Além disso, o receptor encontra as coordenadas do ponto de interseção das esferas com centros nos satélites e raios iguais às distâncias calculadas para eles. Obviamente, estas serão as coordenadas do receptor.

O leitor provavelmente está ciente de que devido ao efeito na Relatividade Especial, devido à alta velocidade do satélite, o tempo em órbita é diferente do tempo na Terra. Mas ainda há um efeito semelhante na Teoria Geral da Relatividade, conectado precisamente com a geometria não-euclidiana do espaço-tempo. Novamente, não entraremos em detalhes matemáticos, pois são bastante abstratos. Mas, se deixarmos de considerar esses efeitos, em um dia de operação, um erro da ordem de 10 km se acumulará nas leituras do sistema de navegação.

As fórmulas de geometria de Lobachevsky também são usadas em física de altas energias, ou seja, nos cálculos de aceleradores de partículas carregadas. Espaços hiperbólicos (isto é, espaços nos quais operam as leis da geometria hiperbólica) também são encontrados na própria natureza. Vamos dar mais exemplos:

A geometria de Lobachevsky pode ser vista nas estruturas dos corais, na organização das estruturas celulares em uma planta, na arquitetura, em algumas flores e assim por diante. Aliás, se você se lembrar na última edição, falamos sobre hexágonos na natureza, então, na natureza hiperbólica, a alternativa são os heptágonos, que também são muito difundidos.

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”, dedicado à relação entre a ciência russa e britânica, a matemática Valentina Kirichenko conta ao PostNauka sobre o caráter revolucionário das ideias de Lobachevsky para a geometria do século XIX.

As linhas paralelas não se cruzam nem mesmo na geometria de Lobachevsky. Em algum lugar nos filmes você pode encontrar a frase: "Mas as linhas paralelas de nosso Lobachevsky se cruzaram". Parece bom, mas não é verdade. Nikolai Ivanovich Lobachevsky realmente criou uma geometria incomum na qual as linhas paralelas se comportam de maneira bem diferente do que estamos acostumados. No entanto, eles não se cruzam.

Estamos acostumados a pensar que duas linhas paralelas não se aproximam nem se afastam. Ou seja, não importa qual ponto da primeira linha pegamos, a distância dela até a segunda linha é a mesma, não depende do ponto. Mas é realmente assim? E por que é assim? E como isso pode ser verificado?

Se estamos falando de linhas físicas, apenas uma pequena seção de cada linha está disponível para observação. E devido aos erros de medição, não poderemos tirar conclusões definitivas sobre como as linhas se comportam muito, muito longe de nós. Questões semelhantes já surgiram entre os antigos gregos. No século III aC, o antigo geômetra grego Euclides declarou com muita precisão a principal propriedade das linhas paralelas, que ele não podia provar nem refutar. Portanto, ele o chamou de postulado - uma afirmação que deve ser tomada com fé. Este é o famoso quinto postulado de Euclides: se duas retas em um plano se cruzam com uma secante, de modo que a soma dos ângulos internos unilaterais seja menor que duas retas, ou seja, menor que 180 graus, então com suficiente continuação, essas duas linhas se cruzarão, e é precisamente do outro lado da secante ao longo da qual a soma é menor que dois ângulos retos.

As palavras-chave deste postulado são "com continuação suficiente". É por causa dessas palavras que o postulado não pode ser verificado empiricamente. Talvez as linhas se cruzem na linha de visão. Talvez depois de 10 quilômetros ou além da órbita de Plutão, ou talvez até em outra galáxia.

Euclides delineou seus postulados e os resultados que logicamente se seguem deles no famoso livro "Beginnings". A palavra russa "elementos" vem do antigo título grego deste livro, e a palavra "elementos" vem do título latino. Os Elementos de Euclides é o livro mais popular de todos os tempos. Em termos de número de edições, perde apenas para a Bíblia.

Gostaria de destacar especialmente a maravilhosa edição britânica de 1847 com infográficos muito visuais e bonitos. Em vez de designações maçantes nos desenhos, desenhos coloridos são usados ​​lá - não como nos livros didáticos de geometria escolar modernos.

Até o século passado, os "Inícios" de Euclides eram obrigatórios para o estudo em todos os programas educacionais que implicavam criatividade intelectual, ou seja, não apenas aprender um ofício, mas algo mais intelectual. A não obviedade do quinto postulado de Euclides levantou uma questão natural: pode ser provado, isto é, deduzido logicamente do resto das suposições de Euclides? Muitos matemáticos tentaram fazer isso, desde os contemporâneos de Euclides até os contemporâneos de Lobachevsky. Via de regra, eles reduziram o quinto postulado a uma afirmação mais demonstrativa, mais fácil de acreditar.

Por exemplo, no século XVII, o matemático inglês John Wallis reduziu o quinto postulado à seguinte afirmação: existem dois triângulos semelhantes, mas desiguais, ou seja, dois triângulos cujos ângulos são iguais, mas os tamanhos são diferentes. Parece, o que poderia ser mais fácil? Vamos apenas mudar a escala. Mas acontece que a capacidade de mudar a escala mantendo todos os ângulos e proporções é uma propriedade exclusiva da geometria euclidiana, ou seja, uma geometria na qual todos os postulados de Euclides, incluindo o quinto, são cumpridos.

No século 18, o cientista escocês John Playfair reformulou o quinto postulado na forma em que geralmente aparece nos livros escolares modernos: duas linhas que se cruzam não podem ser simultaneamente paralelas a uma terceira linha. É dessa forma que o quinto postulado aparece nos livros didáticos modernos.

No início do século XIX, muitos tinham a impressão de que provar o quinto postulado era como inventar uma máquina de movimento perpétuo - um exercício completamente inútil. Mas ninguém teve coragem de sugerir que a geometria de Euclides não era a única possível: a autoridade de Euclides era grande demais. Em tal situação, as descobertas de Lobachevsky foram, por um lado, naturais e, por outro, absolutamente revolucionárias.

Lobachevsky substituiu o quinto postulado por uma afirmação diretamente oposta. O axioma de Lobachevsky soava assim: se de um ponto que não está em uma linha reta, saem todos os raios que cruzam essa linha reta, então à esquerda e à direita esses raios serão limitados por dois raios limitantes que não mais se cruzarão a linha reta, mas se aproximará cada vez mais dela. Além disso, o ângulo entre esses raios limitantes será estritamente inferior a 180 graus.

Segue-se imediatamente do axioma de Lobachevsky que através de um ponto que não pertence a uma linha dada, pode-se traçar não uma linha paralela à linha dada, como na de Euclides, mas quantas quiser. Mas essas linhas se comportarão de maneira diferente das de Euclides. Por exemplo, se temos duas linhas paralelas, elas podem primeiro se aproximar e depois se afastar. Ou seja, a distância de um ponto na primeira linha até a segunda linha dependerá do ponto. Será diferente para diferentes pontos.

A geometria de Lobachevsky contradiz nossa intuição em parte porque nas pequenas distâncias com que costumamos lidar difere muito pouco da geometria euclidiana. Da mesma forma, percebemos a curvatura da superfície da Terra. Quando caminhamos de casa para a loja, parece-nos que estamos caminhando em linha reta, e a Terra é plana. Mas se voarmos, digamos, de Moscou a Montreal, já notamos que o avião voa ao longo de um arco de círculo, porque esse é o caminho mais curto entre dois pontos na superfície da Terra. Ou seja, notamos que a Terra se parece mais com uma bola de futebol do que com uma panqueca.

A geometria de Lobachevsky também pode ser ilustrada com a ajuda de uma bola de futebol, mas não uma bola comum, mas hiperbólica. Uma bola de futebol hiperbólica é colada como uma bola normal. Apenas em uma bola comum, hexágonos brancos são colados em pentágonos pretos e, em uma bola hiperbólica, em vez de pentágonos, você precisa fazer heptágonos e também colá-los com hexágonos. Nesse caso, é claro que não será uma bola, mas uma sela. E nesta sela se realiza a geometria de Lobachevsky.

Lobachevsky tentou contar sobre suas descobertas em 1826 na Universidade de Kazan. Mas o texto do relatório não sobreviveu. Em 1829 ele publicou um artigo sobre sua geometria em um jornal universitário. Os resultados de Lobachevsky pareciam sem sentido para muitos - não apenas porque destruíam a imagem usual do mundo, mas porque não foram apresentados da maneira mais compreensível.

No entanto, Lobachevsky também teve publicações em revistas de alto nível, como as chamamos hoje. Por exemplo, em 1836 ele publicou um artigo em francês intitulado "Geometria Imaginária" no famoso jornal Krell, na mesma edição dos artigos dos matemáticos mais famosos da época - Dirichlet, Steiner e Jacobi. E em 1840, Lobachevsky publicou um livro pequeno e muito bem escrito chamado Geometric Research on the Theory of Parallel Lines. O livro estava em alemão e foi publicado na Alemanha. Houve também uma crítica devastadora. O crítico zombou especialmente da frase de Lobachevsky: "Quanto mais avançamos as linhas na direção de seu paralelismo, mais elas se aproximam". "Esta declaração por si só", escreveu o revisor, "já caracteriza suficientemente o trabalho do Sr. Lobachevsky e libera o revisor da necessidade de avaliá-lo mais."

Mas o livro também teve um leitor imparcial. Foi Carl Friedrich Gauss, também conhecido como o Rei dos Matemáticos, um dos maiores matemáticos da história. Ele apreciou muito o livro de Lobachevsky em uma de suas cartas. Mas sua resenha só foi publicada após sua morte, junto com o restante da correspondência. E foi aí que começou o verdadeiro boom da geometria de Lobachevsky.

Em 1866 seu livro foi traduzido para o francês e depois para o inglês. Além disso, a edição em inglês foi reimpressa mais três vezes devido à sua extraordinária popularidade. Infelizmente, Lobachevsky não viveu até este momento. Ele morreu em 1856. E em 1868, uma edição russa do livro de Lobachevsky apareceu. Foi publicado não como um livro, mas como um artigo na mais antiga revista russa Mathematical Collection. Mas então esta revista era muito jovem, ainda não tinha dois anos. Mas a tradução russa de 1945, feita pelo notável geômetra russo e soviético Veniamin Fedorovich Kagan, é mais conhecida.

No final do século 19, os matemáticos foram divididos em dois campos. Alguns imediatamente aceitaram os resultados de Lobachevsky e começaram a desenvolver suas ideias. E outros não podiam deixar de acreditar que a geometria de Lobachevsky descreve algo que não existe, ou seja, a geometria de Euclides é a única verdadeira e nada mais pode ser. Infelizmente, este último incluiu o matemático, mais conhecido como o autor de Alice no País das Maravilhas, Lewis Carroll. Seu nome verdadeiro é Charles Dodgson. Em 1890, publicou um artigo intitulado "Uma Nova Teoria dos Paralelos", onde defendeu uma versão extremamente ilustrativa do quinto postulado. O axioma de Lewis Carroll soa assim: se um quadrilátero regular estiver inscrito em um círculo, a área desse quadrilátero será estritamente maior que a área de qualquer um dos segmentos do círculo que se encontram fora do quadrilátero. Na geometria de Lobachevsky este axioma não é verdadeiro. Se pegarmos um círculo suficientemente grande, então não importa qual quadrilátero inscrevemos nele, não importa quanto tempo os lados desse quadrilátero possam ser, a área do quadrilátero será limitada pela constante física universal. Em geral, a presença de constantes físicas e medidas universais de comprimento é uma diferença vantajosa entre a geometria de Lobachevsky e a geometria de Euclides.

Mas Arthur Cayley, outro famoso matemático inglês, em 1859, ou seja, apenas três anos após a morte de Lobachevsky, publicou um artigo que mais tarde ajudou a legalizar o postulado de Lobachevsky. Curiosamente, Cayley naquela época trabalhava como advogado em Londres e só então recebeu uma cátedra em Cambridge. De fato, Cayley construiu o primeiro modelo da geometria de Lobachevsky, embora tenha resolvido, à primeira vista, um problema completamente diferente.

E outro notável matemático inglês, cujo nome era William Kingdon Clifford, estava profundamente imbuído das ideias de Lobachevsky. E, em particular, ele foi o primeiro a expressar a ideia, muito antes da criação da teoria geral da relatividade, de que a gravidade é causada pela curvatura do espaço. Clifford elogiou a contribuição de Lobachevsky para a ciência em uma de suas palestras sobre a filosofia da ciência: "Lobachevsky se tornou para Euclides o que Copérnico se tornou para Ptolomeu". Se antes de Copérnico a humanidade acreditava que sabemos tudo sobre o Universo, agora está claro para nós que observamos apenas uma pequena parte do Universo. Da mesma forma, antes de Lobachevsky, a humanidade acreditava que havia apenas uma geometria - euclidiana, tudo sobre ela é conhecido há muito tempo. Agora sabemos que existem muitas geometrias, mas sabemos longe de todas elas.

teoremas de geometria de Lobachevsky

1. Conceitos básicos da geometria de Lobachevsky

Na geometria euclidiana, segundo o quinto postulado, no plano através de um ponto R, deitado fora da linha Um "A, há apenas uma linha reta B"B, não se cruzando Um "A. Em linha reta B "B" chamado paralelo para A"A. Basta exigir que haja no máximo uma dessas linhas, pois a existência de uma linha que não se cruza pode ser provada desenhando linhas sucessivamente PQA"A e PBPQ. Na geometria de Lobachevsky, o axioma do paralelismo requer que através de um ponto R passou mais de uma linha reta que não se cruzou Um "A.

Linhas que não se cruzam preenchem a parte do lápis com um vértice R, deitado dentro de um par de ângulos verticais TPU e U"PT", localizado simetricamente em torno da perpendicular P.Q. As linhas que formam os lados dos ângulos verticais separam as linhas que se cruzam das que não se cruzam e também não se cruzam. Essas linhas de fronteira são chamadas paralelas no ponto P a uma linha reta Um "Um respectivamente em duas direções: T "T paralelo Um "Um na direção A "A, uma UU" paralelo Um "Um na direção AA". Outras linhas que não se cruzam são chamadas linhas divergentes com Um "Um.

Injeção , 0< R formas com uma perpendicular pQ, QPT=QPU"=, chamado ângulo de paralelismo segmento PQ=a e é denotado por . No a=0ângulo =/2; com o aumento uma o ângulo diminui de modo que para cada dado, 0<uma. Essa dependência é chamada Função Lobachevsky :

P(a)=2arctg (),

Onde para-- alguma constante que define um segmento fixo em valor. É chamado de raio de curvatura do espaço de Lobachevsky. Como a geometria esférica, existe um conjunto infinito de espaços de Lobachevsky, diferindo em magnitude para.

Duas linhas retas diferentes em um plano formam um par de um dos três tipos.

linhas de interseção . A distância dos pontos de uma linha a outra linha aumenta indefinidamente à medida que o ponto se afasta da interseção das linhas. Se as linhas não forem perpendiculares, cada uma é projetada ortogonalmente na outra em um segmento aberto de tamanho finito.

Linhas paralelas . No plano, passando por um ponto dado, existe uma única reta paralela à reta dada na direção dada nesta última. Paralelo em um ponto R retém em cada um de seus pontos a propriedade de ser paralela à mesma linha na mesma direção. O paralelismo é recíproco (se uma||b em uma determinada direção, então b||uma na direção correspondente) e transitividade (se uma||b e com || b em uma direção, então a||s na direção correspondente). Na direção do paralelismo, os paralelos se aproximam indefinidamente, na direção oposta eles se afastam indefinidamente (no sentido da distância de um ponto móvel de uma linha reta a outra linha reta). A projeção ortogonal de uma linha sobre outra é uma meia linha aberta.

Linhas divergentes . Eles têm uma perpendicular comum, cujo segmento dá a distância mínima. Em ambos os lados da perpendicular, as linhas divergem indefinidamente. Cada linha é projetada em outra em um segmento aberto de tamanho finito.

Três tipos de linhas correspondem no plano a três tipos de lápis de linhas, cada um dos quais cobre todo o plano: viga do 1º tipo é o conjunto de todas as linhas que passam por um ponto ( Centro feixe); feixe do 2º tipo é o conjunto de todas as linhas perpendiculares a uma linha ( base feixe); viga do 3º tipo é o conjunto de todas as linhas paralelas a uma linha em uma determinada direção, incluindo esta linha.

As trajetórias ortogonais das linhas retas desses feixes formam análogos do círculo do plano euclidiano: círculo no sentido próprio; equidistante , ou linha igual distâncias (se não considerar a base), que é côncava em direção à base; linha limite , ou horóscopo, pode ser considerado como um círculo com um centro infinitamente distante. As linhas limite são congruentes. Eles não são fechados e são côncavos em direção ao paralelismo. Duas linhas limite geradas por um feixe são concêntricas (segmentos iguais são cortados em linhas retas do feixe). A razão dos comprimentos dos arcos concêntricos entre duas linhas retas do feixe diminui em direção ao paralelismo como uma função exponencial da distância X entre arcos:

s" / s = e.

Cada um dos análogos do círculo pode deslizar sobre si mesmo, o que dá origem a três tipos de movimentos de um parâmetro do plano: rotação em torno de seu próprio centro; rotação em torno do centro ideal (uma trajetória é a base, as demais são equidistantes); rotação em torno de um centro infinitamente distante (todas as trajetórias são linhas limite).

A rotação de análogos de círculo em torno da linha reta do lápis gerador leva a análogos de esfera: a esfera propriamente dita, a superfície de distâncias iguais e a horosfera, ou marginal superfícies .

Na esfera, a geometria dos grandes círculos é a geometria esférica usual; na superfície de distâncias iguais - geometria equidistante, que é a planimetria de Lobachevsky, mas com um valor maior para; na superfície limite, a geometria euclidiana das linhas limite.

A conexão entre os comprimentos de arcos e cordas das linhas limite e as relações trigonométricas euclidianas na superfície limite permitem derivar relações trigonométricas no plano, ou seja, fórmulas trigonométricas para triângulos retilíneos.

2. Alguns teoremas da geometria de Lobachevsky

Teorema 1. A soma dos ângulos de qualquer triângulo é menor que 2d.

Considere primeiro um triângulo retângulo ABC (Fig. 2). Seus lados a, b, c são representados respectivamente como um segmento da perpendicular euclidiana à linha e, arcos do círculo euclidiano com centro M e arcos do círculo euclidiano com centro N. Injeção Com--Em linha reta. Injeção MAS igual ao ângulo entre as tangentes aos círculos b e com no ponto MAS, ou, que é o mesmo, o ângulo entre os raios N / D e MA esses círculos. Finalmente, B = BMN.

Vamos construir em um segmento BN como no diâmetro do círculo euclidiano q; ela tem com circunferência com um ponto comum NO, pois seu diâmetro é o raio do círculo com. Portanto, o ponto MAS está fora do círculo delimitado pelo círculo q, conseqüentemente,

A = HOMEM< MBN.

Assim, pela igualdade MBN+B = d temos:

A + B< d; (1)

então A+B+C< 2d, что и требовалось доказать.

Observe que, com o movimento hiperbólico adequado, qualquer triângulo retângulo pode ser arranjado de modo que um de seus catetos fique sobre a perpendicular à linha euclidiana. e; portanto, o método que usamos para derivar a desigualdade (1) aplicável a qualquer triângulo retângulo.

Se um triângulo oblíquo é dado, então o dividimos por uma das alturas em dois triângulos retângulos. A soma dos ângulos agudos desses triângulos retângulos é igual à soma dos ângulos do triângulo oblíquo dado. Assim, tendo em conta a desigualdade (1) , concluímos que o teorema é válido para qualquer triângulo.

Teorema 2 . A soma dos ângulos de um quadrilátero é menor que 4d.

Para provar isso, basta dividir o quadrilátero com uma diagonal em dois triângulos.

Teorema 3 . Duas linhas divergentes têm uma e apenas uma perpendicular comum.

Deixe uma dessas linhas divergentes ser representada no mapa como uma perpendicular euclidiana R para uma linha reta e no ponto M, o outro está na forma de um semicírculo euclidiano q centrado em e, e R e q não possuem pontos comuns (Fig. 3). Tal arranjo de duas linhas hiperbólicas divergentes em um mapa sempre pode ser alcançado com movimento hiperbólico adequado.

Vamos gastar de M tangente euclidiana MN para q e descrever a partir do centro M raio MN semicírculo euclidiano m. Está claro que m--linha hiperbólica que cruza e R e q em ângulo reto. Conseqüentemente, m representa no mapa a perpendicular comum necessária das linhas retas divergentes dadas.

Duas retas divergentes não podem ter duas perpendiculares comuns, pois nesse caso haveria um quadrilátero com quatro ângulos retos, o que contraria o Teorema 2.

. Teorema 4. A projeção retangular de um lado de um ângulo agudo sobre seu outro lado é um segmento(e não uma meia linha, como na geometria de Euclides).

A validade do teorema é óbvia a partir da Fig. 4, onde o segmento AB há uma projeção retangular do lado ABângulo agudo TU do lado dele COMO.

Na mesma figura, o arco DE Círculo euclidiano com centro Mé uma perpendicular à linha hiperbólica CA. Esta perpendicular não cruza com a oblíqua AB. Portanto, a suposição de que uma linha perpendicular e uma linha oblíqua à mesma linha sempre se cruzam contradiz o axioma do paralelismo de Lobachevsky; é equivalente ao axioma do paralelismo de Euclides.

Teorema 5. Se três ângulos do triângulo ABC são iguais, respectivamente, a três ângulos do triângulo A, B, C, então esses triângulos são congruentes.

Suponha o oposto e ponha de lado, respectivamente, nos raios AB e CA segmentos AB \u003d A "B", AC \u003d A "C". Obviamente triângulos. abc e ABC" igual em dois lados e o ângulo entre eles. Ponto B não combina com NO, ponto C não combina com Com, pois em qualquer um desses casos ocorreria a igualdade desses triângulos, o que contraria a suposição.

Considere as seguintes possibilidades.

a) O ponto B fica entre MAS e NO, ponto Com-- entre MAS e Com(Fig. 5); nesta e na próxima figura, as linhas hiperbólicas são convencionalmente representadas como linhas euclidianas). É fácil verificar que a soma dos ângulos de um quadrilátero SSNEé igual a 4d, o que é impossível devido ao Teorema 2.

6) Ponto NO situa-se entre MAS e NO, ponto Com-- entre MAS e Com(Fig. 6). Denotado por D o ponto de intersecção dos segmentos Sol e BC Como C=C" e C" \u003d C, então C= Com , o que é impossível, pois o ângulo C é externo ao triângulo CCD.

Outros casos possíveis são tratados de forma semelhante.

O teorema está provado porque a suposição feita levou a uma contradição.

Do Teorema 5 segue que na geometria de Lobachevsky não há triângulo semelhante ao triângulo dado, mas não igual a ele.