As razões entre as principais funções trigonométricas - seno, cosseno, tangente e cotangente - são dadas fórmulas trigonométricas. E como existem muitas conexões entre funções trigonométricas, isso também explica a abundância de fórmulas trigonométricas. Algumas fórmulas conectam as funções trigonométricas do mesmo ângulo, outras - as funções de um ângulo múltiplo, outras - permitem diminuir o grau, o quarto - para expressar todas as funções pela tangente de um meio ângulo, etc.

Neste artigo, listamos em ordem todas as fórmulas trigonométricas básicas, que são suficientes para resolver a grande maioria dos problemas de trigonometria. Para facilitar a memorização e uso, vamos agrupá-los de acordo com sua finalidade e inseri-los em tabelas.

Navegação da página.

Identidades trigonométricas básicas

Identidades trigonométricas básicas definir a relação entre o seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo. Eles decorrem da definição de seno, cosseno, tangente e cotangente, bem como do conceito de círculo unitário. Eles permitem que você expresse uma função trigonométrica por meio de qualquer outra.

Para obter uma descrição detalhada dessas fórmulas de trigonometria, sua derivação e exemplos de aplicação, consulte o artigo.

Fórmulas de elenco

Fórmulas de elenco seguem das propriedades de seno, cosseno, tangente e cotangente, ou seja, refletem a propriedade de periodicidade das funções trigonométricas, a propriedade de simetria e também a propriedade de deslocamento por um determinado ângulo. Essas fórmulas trigonométricas permitem que você passe do trabalho com ângulos arbitrários para o trabalho com ângulos que variam de zero a 90 graus.

A justificativa para essas fórmulas, uma regra mnemônica para memorizá-las e exemplos de sua aplicação podem ser estudados no artigo.

Fórmulas de adição

Fórmulas de adição trigonométricas Mostre como as funções trigonométricas da soma ou diferença de dois ângulos são expressas em termos das funções trigonométricas desses ângulos. Essas fórmulas servem como base para a derivação das seguintes fórmulas trigonométricas.

Fórmulas para duplo, triplo, etc. canto

Fórmulas para duplo, triplo, etc. ângulo (elas também são chamadas de fórmulas de múltiplos ângulos) mostram como as funções trigonométricas de duplo, triplo, etc. ângulos () são expressos em termos de funções trigonométricas de um único ângulo. Sua derivação é baseada em fórmulas de adição.

Informações mais detalhadas são coletadas nas fórmulas do artigo para duplo, triplo, etc. ângulo.

Fórmulas de meio ângulo

Fórmulas de meio ângulo Mostre como as funções trigonométricas de um meio ângulo são expressas em termos do cosseno de um ângulo inteiro. Essas fórmulas trigonométricas decorrem das fórmulas de ângulo duplo.

Sua conclusão e exemplos de aplicação podem ser encontrados no artigo.

Fórmulas de redução

Fórmulas trigonométricas para graus decrescentes são projetados para facilitar a transição de potências naturais de funções trigonométricas para senos e cossenos no primeiro grau, mas vários ângulos. Em outras palavras, eles permitem reduzir as potências das funções trigonométricas à primeira.

Fórmulas para a soma e diferença de funções trigonométricas

O propósito principal fórmulas de soma e diferença para funções trigonométricas consiste na transição para o produto de funções, o que é muito útil na simplificação de expressões trigonométricas. Essas fórmulas também são muito utilizadas na resolução de equações trigonométricas, pois permitem fatorar a soma e a diferença de senos e cossenos.

Fórmulas para o produto de senos, cossenos e seno por cosseno

A transição do produto de funções trigonométricas para a soma ou diferença é realizada através das fórmulas do produto de senos, cossenos e seno por cosseno.

Substituição trigonométrica universal

Completamos a revisão das fórmulas básicas da trigonometria com fórmulas que expressam funções trigonométricas em termos da tangente de um semi-ângulo. Essa substituição é chamada substituição trigonométrica universal. Sua conveniência reside no fato de que todas as funções trigonométricas são expressas em termos da tangente de um meio ângulo racionalmente sem raízes.

Bibliografia.

• Álgebra: Proc. para 9 células. média escola / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Iluminismo, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I.Álgebra e o início da análise: Proc. para 10-11 células. média escola - 3ª edição. - M.: Iluminismo, 1993. - 351 p.: ll. - ISBN 5-09-004617-4.
• Álgebra e o início da análise: Proc. para 10-11 células. Educação geral instituições / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn e outros; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14ª ed.- M.: Iluminismo, 2004.- 384 p.: il.- ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matemática (um manual para candidatos a escolas técnicas): Proc. subsídio.- M.; Superior escola, 1984.-351 p., ll.

Direitos autorais de estudantes inteligentes

Todos os direitos reservados.
Protegido pela lei de direitos autorais. Nenhuma parte do site, incluindo materiais internos e design externo, pode ser reproduzida de qualquer forma ou usada sem a permissão prévia por escrito do detentor dos direitos autorais.

NO transformações idênticas expressões trigonométricas os seguintes truques algébricos podem ser usados: adição e subtração de termos idênticos; tirando o fator comum entre colchetes; multiplicação e divisão pelo mesmo valor; aplicação de fórmulas de multiplicação abreviadas; seleção de um quadrado completo; fatoração de um trinômio quadrado; introdução de novas variáveis ​​para simplificar as transformações.

Ao converter expressões trigonométricas contendo frações, você pode usar as propriedades de proporção, redução de frações ou redução de frações para um denominador comum. Além disso, você pode usar a seleção da parte inteira da fração, multiplicando o numerador e o denominador da fração pelo mesmo valor, e também, se possível, levar em consideração a uniformidade do numerador ou denominador. Se necessário, você pode representar uma fração como uma soma ou diferença de várias frações mais simples.

Além disso, ao aplicar todos os métodos necessários para converter expressões trigonométricas, é necessário levar em consideração constantemente o intervalo de valores permitidos das expressões convertidas.

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1

Calcule A = (sen (2x - π) cos (3π - x) + sen (2x - 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x - π/2) cos ( 2x – 7π) /2) +
+ sen (3π/2 - x) sen (2x -5π/2)) 2

Decisão.

Segue das fórmulas de redução:

sin (2x - π) \u003d -sen 2x; cos (3π - x) \u003d -cos x;

sin (2x - 9π / 2) \u003d -cos 2x; cos (x + π/2) = -sen x;

cos (x - π / 2) \u003d sin x; cos (2x - 7π/2) = -sen 2x;

sin (3π / 2 - x) \u003d -cos x; sin (2x - 5π / 2) \u003d -cos 2x.

De onde, em virtude das fórmulas para a adição de argumentos e a identidade trigonométrica básica, obtemos

A \u003d (sen 2x cos x + cos 2x sen x) 2 + (-sen x sen 2x + cos x cos 2x) 2 \u003d sen 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) \u003d
= sen 2 3x + cos 2 3x = 1

Resposta 1.

Exemplo 2

Converta a expressão M = cos α + cos (α + β) cos γ + cos β – sen (α + β) sen γ + cos γ em um produto.

Decisão.

Das fórmulas para a adição de argumentos e das fórmulas para converter a soma das funções trigonométricas em um produto, após o agrupamento apropriado, temos

М = (cos (α + β) cos γ - sen (α + β) sen γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β – γ)/2) – (α + ( β + γ)/2)/2) =

4cos ((β + γ)/2) cos ((α + β)/2) cos ((α + γ)/2).

Resposta: М = 4cos ((α + β)/2) cos ((α + γ)/2) cos ((β + γ)/2).

Exemplo 3.

Mostre que a expressão A \u003d cos 2 (x + π / 6) - cos (x + π / 6) cos (x - π / 6) + cos 2 (x - π / 6) leva para todo x de R um e o mesmo valor. Encontre este valor.

Decisão.

Apresentamos dois métodos para resolver este problema. Aplicando o primeiro método, isolando o quadrado completo e usando as correspondentes fórmulas trigonométricas básicas, obtemos

A \u003d (cos (x + π / 6) - cos (x - π / 6)) 2 + cos (x - π / 6) cos (x - π / 6) \u003d

4sen 2 x sen 2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =

Sin 2 x + 1/2 cos 2x + 1/4 = 1/2 (1 - cos 2x) + 1/2 cos 2x + 1/4 = 3/4.

Resolvendo o problema da segunda maneira, considere A como uma função de x de R e calcule sua derivada. Após as transformações, obtemos

А´ \u003d -2cos (x + π/6) sen (x + π/6) + (sen (x + π/6) cos (x - π/6) + cos (x + π/6) sen ( x + π/6)) - 2cos (x - π/6) sen (x - π/6) =

Sin 2(x + π/6) + sen ((x + π/6) + (x - π/6)) - sen 2(x - π/6) =

Sin 2x - (pecado (2x + π/3) + sen (2x - π/3)) =

sen 2x - 2sen 2x cos π/3 = sen 2x - sen 2x ≡ 0.

Assim, em virtude do critério de constância de uma função diferenciável em um intervalo, concluímos que

A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x ∈ R.

Resposta: A = 3/4 para x € R.

Os principais métodos para provar identidades trigonométricas são:

a) redução do lado esquerdo da identidade para o lado direito por transformações apropriadas;
b) redução do lado direito da identidade para a esquerda;
dentro) redução das partes direita e esquerda da identidade para a mesma forma;
G) redução a zero da diferença entre as partes esquerda e direita da identidade que está sendo provada.

Exemplo 4

Verifique se cos 3x = -4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3).

Decisão.

Transformando o lado direito desta identidade de acordo com as fórmulas trigonométricas correspondentes, temos

4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =

2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) - cos x = cos 3x.

O lado direito da identidade é reduzido para o lado esquerdo.

Exemplo 5

Prove que sen 2 α + sen 2 β + sen 2 γ – 2cos α cos β cos γ = 2 se α, β, γ são ângulos internos de algum triângulo.

Decisão.

Levando em conta que α, β, γ são ângulos internos de algum triângulo, obtemos que

α + β + γ = π e, portanto, γ = π – α – β.

sen 2 α + sen 2 β + sen 2 γ – 2cos α cos β cos γ =

Sin 2 α + sen 2 β + sen 2 (π - α - β) - 2cos α cos β cos (π - α - β) =

Sin 2 α + sen 2 β + sen 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α - β) (cos (α + β) =

Sin 2 α + sen 2 β + (sen 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α - β) (cos (α + β) =

1/2 (1 - cos 2α) + ½ (1 - cos 2β) + 1 + 1/2 (cos 2α + cos 2β) = 2.

A igualdade original está provada.

Exemplo 6

Prove que para que um dos ângulos α, β, γ do triângulo seja igual a 60°, é necessário e suficiente que sen 3α + sen 3β + sen 3γ = 0.

Decisão.

A condição deste problema pressupõe a prova tanto da necessidade quanto da suficiência.

Primeiro provamos necessidade.

Pode ser mostrado que

sen 3α + sen 3β + sen 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).

Assim, tendo em conta que cos (3/2 60°) = cos 90° = 0, obtemos que se um dos ângulos α, β ou γ for igual a 60°, então

cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 e, portanto, sen 3α + sen 3β + sen 3γ = 0.

Vamos provar agora adequação a condição especificada.

Se sen 3α + sen 3β + sen 3γ = 0, então cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 e, portanto,

ou cos (3α/2) = 0, ou cos (3β/2) = 0, ou cos (3γ/2) = 0.

Conseqüentemente,

ou 3α/2 = π/2 + πk, isto é. α = π/3 + 2πk/3,

ou 3β/2 = π/2 + πk, i.e. β = π/3 + 2πk/3,

ou 3γ/2 = π/2 + πk,

Essa. γ = π/3 + 2πk/3, onde k ϵ Z.

Do fato de que α, β, γ são os ângulos de um triângulo, temos

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Portanto, para α = π/3 + 2πk/3 ou β = π/3 + 2πk/3 ou

γ = π/3 + 2πk/3 de todos os kϵZ apenas k = 0 se encaixa.

Daí segue que ou α = π/3 = 60°, ou β = π/3 = 60°, ou γ = π/3 = 60°.

A afirmação foi comprovada.

Você tem alguma pergunta? Não sabe como simplificar expressões trigonométricas?
Para obter a ajuda de um tutor - registre-se.
A primeira aula é grátis!

site, com cópia total ou parcial do material, é necessário um link para a fonte.

Para resolver alguns problemas, uma tabela de identidades trigonométricas será útil, o que facilitará muito a realização de transformações de funções:

As identidades trigonométricas mais simples

O quociente da divisão do seno do ângulo alfa pelo cosseno do mesmo ângulo é igual à tangente desse ângulo (Fórmula 1). Veja também a prova da correção da transformação das identidades trigonométricas mais simples.
O quociente da divisão do cosseno do ângulo alfa pelo seno do mesmo ângulo é igual à cotangente do mesmo ângulo (Fórmula 2)
A secante de um ângulo é igual a um dividido pelo cosseno do mesmo ângulo (Fórmula 3)
A soma dos quadrados do seno e cosseno do mesmo ângulo é igual a um (Fórmula 4). veja também a prova da soma dos quadrados de cosseno e seno.
A soma da unidade e a tangente do ângulo é igual à razão da unidade pelo quadrado do cosseno deste ângulo (Fórmula 5)
A unidade mais a cotangente do ângulo é igual ao quociente da divisão da unidade pelo seno quadrado deste ângulo (Fórmula 6)
O produto da tangente pela cotangente do mesmo ângulo é igual a um (Fórmula 7).

Convertendo ângulos negativos de funções trigonométricas (par e ímpar)

Para se livrar do valor negativo da medida de grau do ângulo ao calcular o seno, cosseno ou tangente, você pode usar as seguintes transformações trigonométricas (identidades) com base nos princípios das funções trigonométricas pares ou ímpares.

Como visto, cosseno e secante é função par, seno, tangente e cotangente são funções ímpares.

O seno de um ângulo negativo é igual ao valor negativo do seno desse mesmo ângulo positivo (menos o seno de alfa).
O cosseno "menos alfa" dará o mesmo valor que o cosseno do ângulo alfa.
Tangente menos alfa é igual a menos tangente alfa.

Fórmulas de redução de ângulo duplo (seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo duplo)

Se você precisar dividir o ângulo pela metade, ou vice-versa, passar de um ângulo duplo para um único, você pode usar as seguintes identidades trigonométricas:

Conversão de ângulo duplo (seno de ângulo duplo, cosseno de ângulo duplo e tangente de ângulo duplo) em um único ocorre de acordo com as seguintes regras:

Seno de um ângulo duploé igual a duas vezes o produto do seno pelo cosseno de um único ângulo

Cosseno de um ângulo duploé igual à diferença entre o quadrado do cosseno de um único ângulo e o quadrado do seno desse ângulo

Cosseno de um ângulo duplo igual a duas vezes o quadrado do cosseno de um único ângulo menos um

Cosseno de um ângulo duploé igual a um menos o quadrado seno duplo de um único ângulo

Tangente de ângulo duploé igual a uma fração cujo numerador é duas vezes a tangente de um único ângulo, e cujo denominador é igual a um menos a tangente do quadrado de um único ângulo.

Cotangente de ângulo duploé igual a uma fração cujo numerador é o quadrado da cotangente de um único ângulo menos um, e o denominador é igual a duas vezes a cotangente de um único ângulo

Fórmulas de substituição trigonométricas universais

As fórmulas de conversão abaixo podem ser úteis quando você precisa dividir o argumento da função trigonométrica (sen α, cos α, tg α) por dois e trazer a expressão para o valor da metade do ângulo. Do valor de α obtemos α/2 .

Essas fórmulas são chamadas fórmulas da substituição trigonométrica universal. Seu valor está no fato de que a expressão trigonométrica com sua ajuda é reduzida à expressão da tangente de meio ângulo, independentemente de quais funções trigonométricas (sin cos tg ctg) estavam originalmente na expressão. Depois disso, a equação com a tangente de meio ângulo é muito mais fácil de resolver.

Identidades de transformação de meio ângulo trigonométricas

A seguir estão as fórmulas para a conversão trigonométrica de metade do valor de um ângulo para seu valor inteiro.
O valor do argumento da função trigonométrica α/2 é reduzido ao valor do argumento da função trigonométrica α.

Fórmulas trigonométricas para adicionar ângulos

cos (α - β) = cos α cos β + sen α sen β

sen (α + β) = sen α cos β + sen β cos α

sen (α - β) = sen α cos β - sen β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sen α sen β

Tangente e cotangente da soma dos ângulos alfa e beta podem ser convertidos de acordo com as seguintes regras para converter funções trigonométricas:

Tangente da soma dos ângulosé igual a uma fração, cujo numerador é a soma da tangente do primeiro e da tangente do segundo ângulo, e o denominador é um menos o produto da tangente do primeiro ângulo e a tangente do segundo ângulo.

Diferença de ângulo tangenteé igual a uma fração, cujo numerador é igual à diferença entre a tangente do ângulo reduzido e a tangente do ângulo a ser subtraído, e o denominador é um mais o produto das tangentes desses ângulos.

Cotangente da soma dos ângulosé igual a uma fração cujo numerador é igual ao produto das cotangentes desses ângulos mais um, e o denominador é igual à diferença entre a cotangente do segundo ângulo e a cotangente do primeiro ângulo.

Cotangente da diferença de ânguloé igual a uma fração cujo numerador é o produto das cotangentes desses ângulos menos um, e o denominador é igual à soma das cotangentes desses ângulos.

Essas identidades trigonométricas são convenientes de usar quando você precisa calcular, por exemplo, a tangente de 105 graus (tg 105). Se for representado como tg (45 + 60), você pode usar as transformações idênticas dadas da tangente da soma dos ângulos, após o que você simplesmente substitui os valores tabulares da tangente de 45 e da tangente de 60 graus.

Fórmulas para converter a soma ou diferença de funções trigonométricas

Expressões que representam a soma da forma sen α + sen β podem ser convertidas usando as seguintes fórmulas:

Fórmulas de ângulo triplo - converter sin3α cos3α tg3α em sinα cosα tgα

Às vezes é necessário converter o valor triplo do ângulo para que o ângulo α se torne o argumento da função trigonométrica em vez de 3α.
Neste caso, você pode usar as fórmulas (identidades) para a transformação do ângulo triplo:

Fórmulas para transformar o produto de funções trigonométricas

Se for necessário converter o produto de senos de diferentes ângulos de cossenos de diferentes ângulos, ou mesmo o produto de seno e cosseno, você pode usar as seguintes identidades trigonométricas:


Neste caso, o produto das funções seno, cosseno ou tangente de diferentes ângulos será convertido em uma soma ou diferença.

Fórmulas para reduzir funções trigonométricas

Você precisa usar a tabela de conversão da seguinte maneira. Na linha, selecione a função que nos interessa. A coluna é um ângulo. Por exemplo, o seno do ângulo (α+90) na interseção da primeira linha e da primeira coluna, descobrimos que sen (α+90) = cos α .

Executado para todos os valores do argumento (do escopo geral).

Fórmulas de substituição universais.

Com essas fórmulas, é fácil transformar qualquer expressão que contenha várias funções trigonométricas de um argumento em uma expressão racional de uma função. tg (α/2):

Fórmulas para converter somas em produtos e produtos em somas.

Anteriormente, as fórmulas acima eram usadas para simplificar os cálculos. Eles calcularam usando tabelas logarítmicas e, posteriormente, uma régua de cálculo, pois os logaritmos são mais adequados para multiplicar números. É por isso que cada expressão original foi reduzida a uma forma que seria conveniente para logaritmos, ou seja, para produtos, Por exemplo:

2 pecado α pecado b = porque (α - b) - porque (α + b);

2 porque α porque b = porque (α - b) + porque (α + b);

2 pecado α porque b = pecado (α - b) + pecado (α + b).

onde é o ângulo para o qual, em particular,

Fórmulas para as funções tangente e cotangente são facilmente obtidas a partir do acima.

Fórmulas de redução de grau.

sin 2 α \u003d (1 - cos 2α) / 2;	cos2α = (1 + cos2α)/2;
pecado 3α = (3 pecadoα -pecado 3α )/4;	cos 3 a = (3 cosα + cos 3α )/4.

Com a ajuda dessas fórmulas, as equações trigonométricas são facilmente reduzidas a equações com graus mais baixos. Da mesma forma, as fórmulas de redução são derivadas para graus mais altos pecado e porque.

Expressão de funções trigonométricas através de uma delas do mesmo argumento.

O sinal na frente da raiz depende do quarto do ângulo α .