Aplicativo

O comprimento do arco de uma linha curva no sistema de coordenadas cartesianas no site para os alunos consolidarem o material abordado. Calcular o comprimento do arco de uma curva a partir de uma função explicitamente especificada usando a aplicação de uma integral se resume ao cálculo básico de uma integral definida em um segmento especificado pela condição do problema. Freqüentemente, você precisa saber como o comprimento da curva é calculado na prática, sem usar as ferramentas disponíveis. Este problema é conhecido pelos matemáticos como nenhum outro desde os tempos antigos, quando uma curva era endireitada dividindo-a em vários segmentos retos e sua soma era calculada. Naquela época, as grandes mentes ainda não sabiam que o valor do comprimento do arco só pode ser calculado com exatidão por meio da integral, conhecendo sua fórmula. É a função do argumento que descreve a linha que é substituída na fórmula e calcular o comprimento da curva após tais manipulações é muito, muito simples. Para isso, você pode utilizar a calculadora do nosso site, especialmente desenvolvida para estudantes e escolares para que não percam muito tempo. Existem muitos solucionadores em nosso recurso, entre os quais o comprimento da curva pode ser resolvido online em questão de segundos e o resultado é exibido com alta precisão na página do site. Na matemática moderna, cada aluno precisa calcular o comprimento do arco de uma curva como parte de algum problema específico, e talvez ao longo do caminho, ao realizar trabalhos mais complexos. Eles até alocaram uma lição especial na qual as aplicações de uma determinada integral são estudadas usando muitas fórmulas derivadas por cientistas, entre as quais existe uma tarefa como encontrar o comprimento do arco de uma curva a partir de uma função dada explícita ou implicitamente. o site é uma calculadora para calcular o comprimento do arco de uma curva em um determinado sistema de coordenadas, que é estudado em programas escolares e universitários. Além da distância percorrida conforme os termos do problema do texto, o comprimento do arco da curva também é calculado através da integral, justamente aquela que corresponde à trajetória do movimento do pedestre. Sem tocar em objetos abstratos ou sistemas de cálculo complexos comuns, por exemplo, como o espaço Riemanniano, que afetam transformações afins, assumiremos que o comprimento do arco da curva está no sistema de coordenadas cartesianas. Portanto, fique à vontade para visitar o site, onde é apresentada uma seção sobre como encontrar o comprimento do arco online. De modo geral, o valor do comprimento da curva nos diferentes sistemas de coordenadas também será diferente e isso é um fato indiscutível, mas muito interessante. Digamos que temos um sistema de coordenadas curvilíneas no espaço tridimensional, e o comprimento da curva depende dos pontos inicial e final do segmento em estudo. Portanto, se você exibir uma curva ponto por ponto neste sistema, visualmente ela representará uma linha reta em relação às coordenadas retangulares e o comprimento do arco será determinado através da integral usual. Mas às vezes é muito difícil chegar experimentalmente a esse fato não óbvio e, por natureza, os humanos não são capazes de imaginar visualmente um espaço curvo. Reduzimos tudo à comparação com o familiar sistema cartesiano retangular. Porém, o comprimento de uma curva pode ser calculado em qualquer sistema de coordenadas se for retificável, o que é a base para resolver tal problema. Existem curvas não retificáveis, cujo comprimento nenhuma calculadora consegue encontrar online. Em geral, tal curva não pode ser especificada na representação normal. Existe uma regra pela qual ele é construído e pronto. Mas ninguém conseguirá calcular o comprimento do arco de uma curva, porque ele simplesmente não existe. Além de calcular a massa de um corpo ou os momentos de inércia de corpos e placas, aplicando uma integral definida, você pode facilmente encontrar o comprimento do arco de uma linha curva em vários sistemas de coordenadas, mesmo em polar, aliás, este é ainda mais fácil de fazer do que no cartesiano. A transição do primeiro sistema de coordenadas para o segundo é realizada por uma simples transformação através de funções trigonométricas, determinando a relação entre a função ângulo e raio a partir da origem. A seguir, você pode usar a calculadora gratuita de comprimento de arco de curva e obter o resultado aqui mesmo na janela do navegador. O site poderá completar o site instantaneamente e ajudará na resolução da tarefa. Neste caso, o comprimento do arco será encontrado online em qualquer função de qualquer livro de problemas de matemática superior. No decorrer da solução matemática, o comprimento da curva pode ser encontrado através de uma integral definida de uma determinada função sobre os limites inferior e superior de integração. Simultaneamente à procura de uma solução geral para o problema, o comprimento do arco através de uma integral específica é determinado instantaneamente, substituindo as quantidades necessárias na soma final do integrando, o que nos leva ao estudo da função radical nas extremidades do segmento. Ao mesmo tempo, um paralelo é adicionado ao problema matemático, a saber, calcular corretamente o comprimento de uma linha curva usando a variável t, em função da escala de tempo ao longo da direção do movimento do ponto material. Porém, a trajetória do movimento de um corpo como um conjunto de pontos materiais, ou um ponto específico separadamente, não pode representar a natureza completa do movimento sem ter uma lei pela qual sua linha de movimento seja descrita. Mas você pode, é claro, por meio de análise matemática, estudar facilmente seu movimento, incluindo aceleração em determinadas áreas, e também determinar qual é o comprimento da curva calculando esse valor online no site. Como encontrar o comprimento do arco de uma curva através de uma integral é conhecido há muito tempo por cientistas de todo o mundo, mas transmitir isso aos alunos em tempo hábil não é tão fácil quanto parece à primeira vista. Este recurso maravilhoso e útil para estudantes e crianças em idade escolar permite calcular o comprimento do arco de uma curva, como dizem, aqui e agora bem diante de seus olhos, e a resposta será absolutamente livre de erros até os milésimos mais próximos. Como as aplicações de uma integral definida não são totalmente estudadas nas universidades, porque pouco tempo de estudo é alocado para isso, os próprios alunos precisam fazer um esforço para compreender este importante ramo da matemática, porque será útil mais tarde na vida. Sites semelhantes, ao contrário do site, também ajudarão você a encontrar o comprimento do arco de uma curva de uma determinada função, mas ainda recomendamos comparar os resultados computacionais com a resposta recebida de nosso recurso, pelo qual garantimos nossa reputação. Não importa qual calculadora moderna e poderosa de comprimento de arco você use para estudar um problema de matemática, nenhuma calculadora ou computador pode ajudá-lo a aprender como resolver esses problemas sozinho. É necessário estar atento, perseverante e, o mais importante, paciente ao estudar qualquer seção matemática, pois esta é uma ciência exata e requer domínio gradual devido às suas especificidades. Voltando ao nosso tópico, vamos resumir nossos pensamentos sobre como descobrir sem muita dificuldade que o comprimento do arco de uma curva pode ser encontrado usando uma fórmula predeterminada e calculado corretamente. Aconselhamos fortemente a todos que começam a estudar a ciência da matemática que saibam como o comprimento de um arco é calculado online no site. Como de costume, em tais problemas, o comprimento do arco da curva, calculado através da integral, é necessário, pois disso depende o curso da resolução posterior do problema. A finalidade da condição de identificação de pontos críticos não está diretamente relacionada à tarefa em questão, mas o comprimento da curva é determinado de acordo com os mesmos princípios das leis matemáticas. Os alunos notaram corretamente que o comprimento do arco como integral definida dá as respostas máximas a todas as questões colocadas ao estudar a área de movimento de um ponto material. Ao estudar o movimento de uma placa de material, basta conhecer a trajetória de movimento de pelo menos dois de seus pontos, pois as linhas de todos os seus outros pontos podem ser determinadas com base em relações geométricas, principalmente então o comprimento da curva de movimento de qualquer ponto da placa pode ser calculado. Utilizando a calculadora do site, o comprimento da curva é determinado online quase que imediatamente e com a maior precisão na resposta, já que utilizamos tecnologias modernas na abordagem para resolver tais problemas matemáticos. E se de repente você tiver que calcular o comprimento do arco de uma curva a partir de uma função explícita ou implícita, não se preocupe imediatamente até visitar nosso recurso, pois além de aplicar uma determinada integral para áreas ou calcular os volumes de sólidos, você será facilmente capaz de encontrar o comprimento do arco de uma curva aqui e neste minuto. O uso racional de recursos, e o tempo é o recurso mais importante e principal que uma pessoa possui, permite economizar tempo com uma calculadora de comprimento de arco de curva, porque esta ferramenta inerentemente única nas mãos de um artesão dará o melhor resultado do que simplesmente memorizar fórmulas matemáticas complexas sem desenvolver habilidades práticas. Não é segredo que a perseverança e a paciência são a chave para o sucesso de qualquer indivíduo, pois só nas situações difíceis o aluno aprende a ser independente e a incutir em si a qualidade de líder. Seus amigos e colegas não serão capazes de identificar mais rápido que você que o comprimento do arco da curva será maior para a primeira função, mas não para a segunda função, embora os segmentos sejam iguais do primeiro ao último ponto. Acontece que o comprimento do arco online tem um valor diferente daquele obtido pelo cálculo manual usando calculadoras e tabelas disponíveis, mas não se deve tirar conclusões infundadas com antecedência, pois erros naturais são permitidos em cálculos manuais. Concluindo, os alunos ainda precisam recomendar o site e dizer claramente que o comprimento do arco de uma curva através da integral é calculado com muito mais rapidez, produtividade e precisão do que usar métodos numéricos para cálculos aproximados. É amplamente aceito no nível estudantil que o comprimento de uma curva não pode ser calculado através de fórmulas matemáticas, a menos que alguém as conheça. Porém, não, este é um julgamento errôneo, pois existem serviços modernos na Internet, especialmente adaptados para estudantes, onde existem calculadoras para matemática e o comprimento do arco como integral é calculado em questão de segundos diante dos olhos do site Usuários. Essas calculadoras podem calcular o comprimento da curva a partir de qualquer função, usando leis matemáticas para fazer isso, identificando e selecionando cálculos ideais, assim como faria um professor competente. Afinal, programar um processo computacional arbitrariamente complexo é mais lucrativo e menos dispendioso do que mergulhar constantemente em livros obscuros, procurar uma fórmula adequada, determinar o tipo de função e assim por diante. Utilize todas as vantagens do site para seus objetivos, seja mais flexível na abordagem de estudo das ciências exatas, como matemática, física ou química, aproveite ao máximo seus recursos semelhantes, dedicando mais tempo ao estudo dos aspectos teóricos do que práticos, já que a prática é a base para consolidar o material abordado, mas ainda assim a teoria obriga você a usar o cérebro com mais intensidade e assim desenvolver seus horizontes. Se o comprimento da curva on-line for encontrado imediatamente e fornecer uma resposta bastante precisa, levando em consideração as condições da subtarefa, prossiga imediatamente para os próximos cálculos e complete as conclusões até a conclusão lógica. o site permitirá que você e todos os outros alunos calculem o comprimento do arco de uma curva ao longo da trajetória de um ponto material e baseiem a formulação do problema na determinação básica da localização de um objeto como um corpo material. A partir da aplicação de uma integral definida, com facilidade e maior precisão que os métodos numéricos que dão resultados aproximados, é possível e necessário resolver problemas como o volume de um corpo de rotação de uma figura em torno de um eixo num sistema de coordenadas cartesianas, ou, por exemplo, determinar a massa de uma placa de material com uma determinada densidade e muitas coisas úteis no estudo das ciências exatas. E no devido tempo, você e eu seremos capazes de encontrar o comprimento do arco de uma curva para uma função especificada explícita ou parametricamente, com base nos princípios da abordagem correta para resolver esse tipo de problemas de análise matemática. Como sabem, é impossível encontrar ou determinar inequivocamente uma solução sem confiar nas leis fundamentais da Mãe Natureza. Muitas vezes, no aspecto do estudo de ciências, os alunos raramente cometem erros se tiverem em mãos uma calculadora de comprimento de curva de alta qualidade e disponível 24 horas por dia, com a ajuda da qual são realizados cálculos matemáticos complexos. Apontemos diretamente algo tão óbvio como a abordagem correta e oportuna para o estudo da teoria e da prática em conjunto à medida que o aluno cresce e adquire conhecimento. O comprimento do arco da curva tem enorme significado prático, pois dá aos engenheiros a oportunidade de elaborar um projeto de construção de forma que não haja situações de emergência durante sua operação em um futuro próximo e distante. Tomemos, por exemplo, o projeto de uma ponte sobre um grande rio. Apenas quilómetros de cabos pendurados em guirlandas sobre a estrada ou zonas pedonais desta ponte, enormes massas de metal carregam a estrutura, tornando-a, por um lado, uma gigantesca incomparabilidade artificial, com um arco - uma conquista única do pensamento humano e da sua capacidades neste mundo. Como nunca antes nos cálculos, o comprimento do arco online é calculado com resultados imediatos, uma vez que milhões de funções matemáticas devem funcionar em períodos de tempo razoáveis, descrevendo a estrutura como um único mecanismo vivo com as suas deformações naturais ao longo e transversalmente. E se lhe disserem que o comprimento do arco de uma curva através de uma integral é um exercício inútil, então você sabe como responder a esse absurdo. Tudo o que usamos todos os dias e de que o nosso país se orgulha é fruto do desenvolvimento humano neste ambiente. Assim que o verdadeiro comprimento da curva atingir o seu valor limite superior, utilizando o método da reta retificável, ou seja, inscrevendo cada vez mais novos segmentos da meia divisão, obteremos imediatamente um valor aproximado do método integral na resposta para o problema matemático. Ou seja, em outras palavras, o comprimento do arco que passa pela integral nos dá o valor absolutamente exato do valor a que corresponde o método de solução aplicado no espaço de coordenadas retangulares. Nesta fase de formulação do problema, os alunos ficam um pouco perdidos e cometem erros simples. Se, no entanto, não foi possível calcular totalmente o comprimento da curva usando uma fórmula explícita para calculá-la, divida o problema em vários subparágrafos, para que seja visualmente mais fácil percebê-lo e no futuro se livrar de imprecisões matemáticas. Recomendamos utilizar o recurso do site individualmente para saber como o comprimento da curva é calculado online em poucos segundos após inserir os dados das condições do problema e clicar no botão “Solução”. Suponhamos que você saiba calcular o comprimento do arco de uma curva e tenha experiência prática suficiente nisso, mas não se esqueça que ao economizar seu tempo em coisas simples, você se reserva o direito de administrar seu tempo livre pessoal para estudos adicionais de matemática online . As aplicações bem conhecidas da integral definida oferecem muitas oportunidades para os cientistas utilizá-las em qualquer lugar na construção, instalação de estruturas e simplesmente para fins de segurança ambiental. O site ajudará você e todos os outros alunos a encontrar o comprimento do arco de uma curva, um site especialmente desenvolvido para simplificar e facilitar o trabalho dos alunos. mas assim instruindo-os no caminho da compreensão correta da essência do conhecimento teórico. Você pode facilmente encontrar uma calculadora de comprimento de arco curvo no Google ou Yandex mediante solicitação e usá-la ao máximo, mas tenha cuidado ao se deparar com artistas inescrupulosos que querem apenas cobrar por serviços, sem pensar, como você pode passar um exame ou sessão com sucesso? Porque os professores já conseguem reconhecer se o aluno encomendou o trabalho ou o concluiu de forma independente. Tente resolver a matemática sozinho, não tenha preguiça de estudar o material necessário para isso e use dicas de solucionadores, e para te ajudar oferecemos uma poderosa ferramenta matemática chamada site e problemas que exigem o comprimento do arco de uma curva para outras ações são resolvidas em pouco tempo! Basta inserir corretamente todos os colchetes da expressão, inserir os sinais de adição, subtração, divisão e multiplicação, possivelmente com radicais, enfim, aplicar a sintaxe corretamente, e o comprimento do arco será apagado online ali mesmo e você verá sua resposta no monitor. Não importa como você divida a etapa de integração, é claro, dentro de limites aceitáveis, ela não pode ser calculada melhor do que o comprimento do arco da curva através da integral, pois esta é a maneira mais precisa de obter alta precisão da resposta. O crédito por isso pertence aos cientistas do século retrasado e até mesmo anterior. E agora, para concluir, queremos falar sobre o comprimento da curva f=f(x) ou qualquer outra função explicitamente definida, que é frequentemente encontrada em livros de problemas em escolas e universidades. Se você notar que todas as tarefas estão divididas em subtipos, isso é feito para a melhor percepção dos alunos sobre o material abordado. Assim que o professor explica uma teoria, ele imediatamente dá um exemplo para reforçar o material abordado. Portanto, o comprimento da curva pode ser encontrado usando métodos numéricos ou uma integral, o que é mais preferível. Porque o comprimento do arco como integral de uma função pode ser calculado de diferentes maneiras, mas isso dá exatamente o resultado desejado e pode ser posteriormente utilizado em cálculos de qualquer tipo de problema. Como o cálculo do comprimento da curva é obrigatório em quase todas as aulas, enquanto o professor entrega o material à medida que vai ficando mais complexo, aconselhamos que você escolha nosso site chamado site e facilite seu trabalho. porque é isso que os jovens fazem hoje. Eles não se prendem a algum exemplo complicado, mas assim que encontram obstáculos no caminho, eles vão de frente e resolvem problemas usando uma calculadora. Sabendo como o comprimento da curva é calculado online através do serviço do site, não há dúvida de que a resposta de qualquer outra seção deste recurso será mais precisa e correta do que nunca. E em diversas calculadoras estão disponíveis soluções passo a passo, o que geralmente dá uma vantagem sobre quem não as utiliza, ou não sabe usar calculadoras e calcular corretamente o comprimento do arco de uma curva. Não se esqueça de verificar-se após cada ação, seja a extração ordinária de uma raiz, ou a multiplicação por uma coluna, ou a divisão de um polinômio por um polinômio, em alguns casos, a aplicação de uma determinada integral dá um resultado colossal na determinação; o peso de um corpo ou placa, encontrar momentos de inércia, que na mecânica são indicadores muito significativos durante o projeto, ajudam ainda mais a encontrar o comprimento do arco da curva, que também será importante para os engenheiros. Como indicamos anteriormente, utilize a calculadora de comprimento de arco de curva do site e suas expectativas serão totalmente satisfeitas, pois os problemas matemáticos aqui são resolvidos como duas vezes dois! Você pode saber mais sobre isso na Internet sobre críticas positivas sobre nós, já que não cobramos taxa para resolver matemática online e garantimos a precisão de cálculos de qualquer complexidade, graças a um poderoso sistema computacional. Hoje, existem muitas maneiras de determinar que o comprimento do arco de uma curva não é difícil no projeto de estruturas, pois as calculadoras de engenharia já estão programadas para calcular esta importante etapa. Mas ainda existem, e há muitas delas, calculadoras online especialmente projetadas para encontrar o comprimento do arco, nas quais a curva pode ser especificada de várias maneiras. Daí a universalidade de tais invenções. Porém, por melhor que seja o método numérico para encontrar o comprimento do arco da curva, mas através da integral esse comprimento ainda terá um valor exato, por assim dizer, um valor de referência em comparação com resultados numéricos essencialmente semelhantes.

O círculo, suas partes, seus tamanhos e relações são coisas que um joalheiro encontra constantemente. Anéis, pulseiras, castas, tubos, bolas, espirais - muitas coisas redondas precisam ser feitas. Como você pode calcular tudo isso, especialmente se você teve a sorte de faltar às aulas de geometria na escola?..

Vejamos primeiro quais partes um círculo tem e como são chamadas.

• Um círculo é uma linha que circunda um círculo.
• Um arco faz parte de um círculo.
• Raio é um segmento que conecta o centro de um círculo a qualquer ponto do círculo.
• Uma corda é um segmento que conecta dois pontos em um círculo.
• Um segmento é uma parte de um círculo limitado por uma corda e um arco.
• Um setor é uma parte de um círculo delimitado por dois raios e um arco.

As quantidades que nos interessam e suas designações:

Agora vamos ver quais problemas relacionados às partes de um círculo precisam ser resolvidos.

• Encontre o comprimento do desenvolvimento de qualquer parte do anel (pulseira). Dado o diâmetro e a corda (opção: diâmetro e ângulo central), encontre o comprimento do arco.
• Há um desenho em um plano, você precisa descobrir seu tamanho na projeção depois de dobrá-lo em um arco. Dados o comprimento e o diâmetro do arco, encontre o comprimento da corda.
• Descubra a altura da peça obtida dobrando uma peça plana em um arco. Opções de dados de origem: comprimento e diâmetro do arco, comprimento do arco e corda; encontre a altura do segmento.

A vida lhe dará outros exemplos, mas eu os dei apenas para mostrar a necessidade de definir alguns dois parâmetros para encontrar todos os outros. Isto é o que faremos. Ou seja, pegaremos cinco parâmetros do segmento: D, L, X, φ e H. Em seguida, escolhendo todos os pares possíveis deles, iremos considerá-los como dados iniciais e encontrar todo o resto por meio de brainstorming.

Para não sobrecarregar desnecessariamente o leitor, não darei soluções detalhadas, mas apresentarei apenas os resultados em forma de fórmulas (aqueles casos em que não há solução formal, discutirei ao longo do caminho).

E mais uma nota: sobre unidades de medida. Todas as quantidades, exceto o ângulo central, são medidas nas mesmas unidades abstratas. Isso significa que se, por exemplo, você especificar um valor em milímetros, o outro não precisará ser especificado em centímetros, e os valores resultantes serão medidos nos mesmos milímetros (e áreas em milímetros quadrados). O mesmo pode ser dito de polegadas, pés e milhas náuticas.

E apenas o ângulo central em todos os casos é medido em graus e nada mais. Porque, como regra geral, as pessoas que projetam algo redondo não tendem a medir ângulos em radianos. A frase “ângulo pi por quatro” confunde muitos, enquanto “ângulo quarenta e cinco graus” é compreensível para todos, pois está apenas cinco graus acima do normal. Porém, em todas as fórmulas haverá mais um ângulo - α - presente como valor intermediário. Em termos de significado, esta é a metade do ângulo central, medido em radianos, mas você não pode se aprofundar nesse significado com segurança.

1. Dado o diâmetro D e o comprimento do arco L

; comprimento do acorde ;
altura do segmento ; ângulo central .

2. Dado o diâmetro D e o comprimento da corda X

; comprimento do arco ;
altura do segmento ; ângulo central .

Como a corda divide o círculo em dois segmentos, este problema não tem uma, mas duas soluções. Para obter o segundo, você precisa substituir o ângulo α nas fórmulas acima pelo ângulo .

3. Dado o diâmetro D e o ângulo central φ

; comprimento do arco ;
comprimento do acorde ; altura do segmento .

4. Dado o diâmetro D e a altura do segmento H

; comprimento do arco ;
comprimento do acorde ; ângulo central .

6. Dado o comprimento do arco L e o ângulo central φ

; diâmetro;
comprimento do acorde ; altura do segmento .

8. Dado o comprimento da corda X e o ângulo central φ

; comprimento do arco ;
diâmetro; altura do segmento .

9. Dado o comprimento da corda X e a altura do segmento H

; comprimento do arco ;
diâmetro; ângulo central .

10. Dado o ângulo central φ e a altura do segmento H

; diâmetro ;
comprimento do arco ; comprimento do acorde .

O leitor atento não pôde deixar de notar que perdi duas opções:

5. Dado o comprimento do arco L e o comprimento da corda X

7. Dado o comprimento do arco L e a altura do segmento H

Esses são apenas aqueles dois casos desagradáveis ​​em que o problema não tem solução que possa ser escrita em forma de fórmula. E a tarefa não é tão rara. Por exemplo, você tem uma peça plana de comprimento L e deseja dobrá-la para que seu comprimento se torne X (ou sua altura se torne H). Qual o diâmetro que devo tomar o mandril (travessa)?

Este problema se resume a resolver as equações:
; - na opção 5
; - na opção 7
e embora não possam ser resolvidos analiticamente, podem ser facilmente resolvidos programaticamente. E eu até sei onde conseguir esse programa: neste mesmo site, com o nome . Tudo o que estou contando aqui detalhadamente, ela faz em microssegundos.

Para completar o quadro, vamos adicionar aos resultados dos nossos cálculos a circunferência e três valores de área - círculo, setor e segmento. (As áreas nos ajudarão muito no cálculo da massa de todas as partes redondas e semicirculares, mas falaremos mais sobre isso em um artigo separado.) Todas essas quantidades são calculadas usando as mesmas fórmulas:

circunferência;
área de um círculo ;
área do setor ;
área do segmento ;

E para finalizar, deixe-me lembrá-lo mais uma vez da existência de um programa totalmente gratuito que realiza todos os cálculos acima, dispensando você da necessidade de lembrar o que é um arco tangente e onde procurá-lo.

Você se lembra bem de todos os nomes associados ao círculo? Por precaução, deixe-nos lembrá-lo - veja as fotos - atualize seus conhecimentos.

Primeiramente - O centro de um círculo é um ponto a partir do qual as distâncias de todos os pontos do círculo são iguais.

Em segundo lugar - raio - um segmento de linha conectando o centro e um ponto no círculo.

Existem muitos raios (tantos quantos pontos no círculo), mas Todos os raios têm o mesmo comprimento.

Às vezes, brevemente raio eles chamam isso exatamente comprimento do segmento“o centro é um ponto do círculo” e não o segmento em si.

E aqui está o que acontece se você conectar dois pontos em um círculo? Também é um segmento?

Então, esse segmento é chamado "acorde".

Assim como no caso do raio, o diâmetro costuma ser o comprimento de um segmento que conecta dois pontos de um círculo e passa pelo centro. A propósito, como o diâmetro e o raio estão relacionados? Olhe atentamente. Claro, o raio é igual à metade do diâmetro.

Além dos acordes, também existem secantes.

Lembra da coisa mais simples?

Ângulo central é o ângulo entre dois raios.

E agora - o ângulo inscrito

Ângulo inscrito - o ângulo entre duas cordas que se cruzam em um ponto de um círculo.

Neste caso, dizem que o ângulo inscrito repousa sobre um arco (ou sobre uma corda).

Olha a foto:

Medições de arcos e ângulos.

Circunferência. Arcos e ângulos são medidos em graus e radianos. Primeiro, sobre graus. Não há problemas com ângulos - você precisa aprender como medir o arco em graus.

A medida de grau (tamanho do arco) é o valor (em graus) do ângulo central correspondente

O que a palavra “apropriado” significa aqui? Vejamos com atenção:

Você vê dois arcos e dois ângulos centrais? Bem, um arco maior corresponde a um ângulo maior (e está tudo bem que seja maior), e um arco menor corresponde a um ângulo menor.

Então, concordamos: o arco contém o mesmo número de graus que o ângulo central correspondente.

E agora sobre o que é assustador - sobre radianos!

Que tipo de animal é esse “radiano”?

Imagina isto: Radianos são uma forma de medir ângulos... em raios!

Um ângulo de radianos é um ângulo central cujo comprimento do arco é igual ao raio do círculo.

Então surge a pergunta - quantos radianos existem em um ângulo reto?

Em outras palavras: quantos raios “cabem” em um semicírculo? Ou de outra forma: quantas vezes o comprimento de um semicírculo é maior que o raio?

Os cientistas fizeram esta pergunta na Grécia Antiga.

E assim, após uma longa pesquisa, descobriram que a razão entre a circunferência e o raio não quer ser expressa em números “humanos” como, etc.

E nem é possível expressar essa atitude através das raízes. Ou seja, acontece que é impossível dizer que meio círculo é vezes ou vezes maior que o raio! Você pode imaginar como foi incrível para as pessoas descobrirem isso pela primeira vez?! Para a relação entre o comprimento de um semicírculo e o raio, os números “normais” não eram suficientes. Eu tive que digitar uma carta.

Então, - este é um número que expressa a razão entre o comprimento do semicírculo e o raio.

Agora podemos responder à pergunta: quantos radianos existem num ângulo reto? Ele contém radianos. Precisamente porque metade do círculo é vezes maior que o raio.

Povos antigos (e não tão antigos) ao longo dos séculos (!) tentei calcular com mais precisão esse número misterioso, para melhor expressá-lo (pelo menos aproximadamente) por meio de números “comuns”. E agora somos incrivelmente preguiçosos - dois sinais depois de um dia agitado são suficientes para nós, estamos acostumados

Pense bem, isso significa, por exemplo, que o comprimento de um círculo com raio de um é aproximadamente igual, mas esse comprimento exato é simplesmente impossível de anotar com um número “humano” - você precisa de uma letra. E então esta circunferência será igual. E claro, a circunferência do raio é igual.

Voltemos aos radianos.

Já descobrimos que um ângulo reto contém radianos.

O que nós temos:

Isso significa que estou feliz, isto é, estou feliz. Da mesma forma, obtém-se uma placa com os ângulos mais populares.

A relação entre os valores dos ângulos inscritos e centrais.

Há um fato surpreendente:

O ângulo inscrito tem metade do tamanho do ângulo central correspondente.

Veja como essa afirmação fica na foto. Um ângulo central “correspondente” é aquele cujas extremidades coincidem com as extremidades do ângulo inscrito e o vértice está no centro. E, ao mesmo tempo, o ângulo central “correspondente” deve “olhar” para a mesma corda () que o ângulo inscrito.

Porque isto é assim? Vejamos primeiro um caso simples. Deixe um dos acordes passar pelo centro. Às vezes acontece assim, certo?

o que acontece aqui? Vamos considerar. Afinal, é isósceles e - raios. Então, (rotulou-os).

Agora vamos dar uma olhada. Este é o canto externo para! Lembramos que um ângulo externo é igual à soma de dois ângulos internos não adjacentes a ele e escrevemos:

Aquilo é! Efeito inesperado. Mas também existe um ângulo central para o inscrito.

Isto significa que para este caso provaram que o ângulo central é o dobro do ângulo inscrito. Mas é um caso dolorosamente especial: não é verdade que o acorde nem sempre passa direto pelo centro? Mas tudo bem, agora esse caso específico vai nos ajudar muito. Veja: segundo caso: deixe o centro ficar dentro.

Vamos fazer isso: desenhe o diâmetro. E então... vemos duas fotos que já foram analisadas no primeiro caso. Portanto já temos isso

Isso significa (no desenho, a)

Bem, isso deixa o último caso: o centro está fora do canto.

Fazemos a mesma coisa: desenhamos o diâmetro através da ponta. Tudo é igual, mas em vez de uma soma há uma diferença.

Isso é tudo!

Vamos agora formar duas consequências principais e muito importantes da afirmação de que o ângulo inscrito é metade do ângulo central.

Corolário 1

Todos os ângulos inscritos baseados em um arco são iguais entre si.

Ilustramos:

Existem inúmeros ângulos inscritos baseados em um mesmo arco (temos esse arco), eles podem parecer completamente diferentes, mas todos possuem o mesmo ângulo central (), o que significa que todos esses ângulos inscritos são iguais entre si.

Corolário 2

O ângulo subtendido pelo diâmetro é um ângulo reto.

Veja: qual ângulo é central?

Certamente, . Mas ele é igual! Bem, portanto (assim como muitos outros ângulos inscritos apoiados em) e é igual.

Ângulo entre dois acordes e secantes

Mas e se o ângulo que nos interessa NÃO estiver inscrito e NÃO for central, mas, por exemplo, assim:

ou assim?

É possível expressá-lo de alguma forma através de alguns ângulos centrais? Acontece que é possível. Olha: estamos interessados.

a) (como canto externo para). Mas - inscrito, repousa sobre o arco -. - inscrito, repousa sobre o arco - .

Pela beleza eles dizem:

O ângulo entre as cordas é igual à metade da soma dos valores angulares dos arcos encerrados neste ângulo.

Eles escrevem isso por uma questão de brevidade, mas é claro, ao usar esta fórmula, você precisa ter em mente os ângulos centrais

b) E agora - “lá fora”! Como ser? Sim, quase o mesmo! Só agora (novamente aplicamos a propriedade do ângulo externo para). Isso é agora.

E isso significa... Vamos trazer beleza e brevidade às notas e ao texto:

O ângulo entre as secantes é igual à metade da diferença nos valores angulares dos arcos encerrados neste ângulo.

Bem, agora você está munido de todo o conhecimento básico sobre ângulos relacionados a um círculo. Vá em frente, enfrente os desafios!

CÍRCULO E ÂNGULO INSINALADO. NÍVEL MÉDIO

Até uma criança de cinco anos sabe o que é um círculo, certo? Os matemáticos, como sempre, têm uma definição obscura sobre este assunto, mas não a daremos (veja), mas lembremos como são chamados os pontos, retas e ângulos associados a um círculo.

Termos importantes

Primeiramente:

centro do círculo- um ponto do qual todos os pontos do círculo estão à mesma distância.

Em segundo lugar:

Existe outra expressão aceita: “a corda contrai o arco”. Aqui na figura, por exemplo, a corda subtende o arco. E se um acorde passa repentinamente pelo centro, então ele tem um nome especial: “diâmetro”.

A propósito, como o diâmetro e o raio estão relacionados? Olhe atentamente. Claro,

E agora - os nomes dos cantos.

Natural, não é? Os lados do ângulo se estendem do centro - o que significa que o ângulo é central.

É aqui que às vezes surgem dificuldades. Prestar atenção - NENHUM ângulo dentro de um círculo está inscrito, mas apenas aquele cujo vértice “assenta” no próprio círculo.

Vamos ver a diferença nas fotos:

Outra maneira eles dizem:

Há um ponto complicado aqui. Qual é o ângulo central “correspondente” ou “próprio”? Apenas um ângulo com o vértice no centro do círculo e as extremidades nas extremidades do arco? Certamente não dessa forma. Veja o desenho.

Um deles, porém, nem parece um canto – é maior. Mas um triângulo não pode ter mais ângulos, mas um círculo pode muito bem! Assim: o arco menor AB corresponde a um ângulo menor (laranja), e o arco maior corresponde a um ângulo maior. Simples assim, não é?

A relação entre as magnitudes dos ângulos inscritos e centrais

Lembre-se desta afirmação muito importante:

Nos livros didáticos eles gostam de escrever o mesmo fato assim:

Não é verdade que a formulação é mais simples com ângulo central?

Mas ainda assim, vamos encontrar uma correspondência entre as duas formulações e, ao mesmo tempo, aprender a encontrar nos desenhos o ângulo central “correspondente” e o arco sobre o qual “repousa” o ângulo inscrito.

Veja: aqui está um círculo e um ângulo inscrito:

Onde está o seu ângulo central “correspondente”?

Vejamos novamente:

Qual é a regra?

Mas! Neste caso, é importante que os ângulos inscritos e centrais “olhem” para o arco de um lado. Por exemplo:

Curiosamente, azul! Porque o arco é longo, maior que meio círculo! Portanto, nunca se confunda!

Que consequência pode ser deduzida da “metade” do ângulo inscrito?

Mas, por exemplo:

Ângulo subtendido pelo diâmetro

Você já percebeu que os matemáticos adoram falar sobre a mesma coisa com palavras diferentes? Por que eles precisam disso? Veja, a linguagem da matemática, embora formal, está viva e, portanto, como na linguagem comum, toda vez que você quiser dizê-la da maneira que for mais conveniente. Bem, já vimos o que significa “um ângulo apoiado num arco”. E imagine, a mesma imagem é chamada “um ângulo repousa sobre uma corda”. Em que? Sim, claro, para quem aperta esse arco!

Quando é mais conveniente confiar em um acorde do que em um arco?

Bem, especialmente quando este acorde tem diâmetro.

Existe uma declaração surpreendentemente simples, bonita e útil para tal situação!

Veja: aqui está o círculo, o diâmetro e o ângulo que nele repousa.

CÍRCULO E ÂNGULO INSINALADO. BREVEMENTE SOBRE AS COISAS PRINCIPAIS

1. Conceitos básicos.

3. Medições de arcos e ângulos.

Um ângulo de radianos é um ângulo central cujo comprimento do arco é igual ao raio do círculo.

Este é um número que expressa a razão entre o comprimento de um semicírculo e seu raio.

A circunferência do raio é igual a.

4. A relação entre os valores dos ângulos inscritos e centrais.

Bem, o assunto acabou. Se você está lendo estas linhas, significa que você é muito legal.

Porque apenas 5% das pessoas conseguem dominar algo sozinhas. E se você ler até o fim, você está nesses 5%!

Agora o mais importante.

Você entendeu a teoria sobre este tópico. E, repito, isso... isso é simplesmente fantástico! Você já é melhor do que a grande maioria de seus colegas.

O problema é que isso pode não ser suficiente...

Para que?

Por passar com sucesso no Exame Estadual Unificado, por entrar na faculdade com orçamento limitado e, O MAIS IMPORTANTE, para o resto da vida.

Não vou te convencer de nada, só vou dizer uma coisa...

As pessoas que receberam uma boa educação ganham muito mais do que aquelas que não a receberam. Isto são estatísticas.

Mas isto não é o principal.

O principal é que eles fiquem MAIS FELIZES (existem estudos desse tipo). Talvez porque muito mais oportunidades se abram diante deles e a vida se torne mais brilhante? Não sei...

Mas pense por si mesmo...

O que é necessário para ser melhor do que os outros no Exame de Estado Unificado e, em última análise, ser... mais feliz?

GANHE SUA MÃO RESOLVENDO PROBLEMAS NESTE TÓPICO.

Não será solicitada teoria durante o exame.

Você vai precisar resolver problemas contra o tempo.

E, se você não os resolveu (MUITO!), com certeza cometerá um erro estúpido em algum lugar ou simplesmente não terá tempo.

É como nos esportes: você precisa repetir muitas vezes para vencer com certeza.

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Para concluir...

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“Entendido” e “Posso resolver” são habilidades completamente diferentes. Você precisa de ambos.

Encontre problemas e resolva-os!

A fórmula para encontrar o comprimento de um arco de círculo é bastante simples e muitas vezes em exames importantes como o Exame de Estado Unificado existem problemas que não podem ser resolvidos sem a sua utilização. Também é necessário conhecê-lo para passar em testes padronizados internacionais, como SAT e outros.

Qual é o comprimento do arco de um círculo?

A fórmula fica assim:

eu = πrα / 180°

O que é cada elemento da fórmula:

• π - número Pi (valor constante igual a ≈ 3,14);
• r é o raio de um determinado círculo;
• α é a magnitude do ângulo em que o arco repousa (central, não inscrito).

Como você pode ver, para resolver o problema, r e α devem estar presentes na condição. Sem estas duas quantidades, é impossível encontrar o comprimento do arco.

Como essa fórmula é derivada e por que ela se parece com isso?

Tudo é extremamente fácil. Ficará muito mais claro se você colocar 360° no denominador e adicionar dois no numerador na frente. Você também pode α não deixe na fração, retire e escreva com o sinal de multiplicação. Isso é bem possível, pois esse elemento está no numerador. Então a visão geral será assim:

eu = (2πr / 360°) × α

Apenas por conveniência encurtamos 2 e 360°. E agora, se você olhar de perto, poderá ver uma fórmula muito familiar para o comprimento de todo o círculo, a saber - 2πr. O círculo inteiro consiste em 360°, então dividimos a medida resultante em 360 partes. Então multiplicamos pelo número α, isto é, para o número de “pedaços do bolo” que precisamos. Mas todos sabem com certeza que um número (isto é, o comprimento de todo o círculo) não pode ser dividido por um grau. O que fazer neste caso? Normalmente, via de regra, o grau se contrai com o grau do ângulo central, ou seja, com α. Depois, restam apenas os números e, no final, obtém-se a resposta final.

Isto pode explicar porque o comprimento do arco de um círculo é encontrado desta forma e tem esta forma.

Um exemplo de problema de média complexidade usando esta fórmula

Condição: existe um círculo com raio de 10 centímetros. A medida de grau de um ângulo central é 90°. Encontre o comprimento do arco circular formado por este ângulo.

Solução: l = 10π × 90° / 180° = 10π × 1/2=5π

Resposta: eu = 5π

Também é possível que, em vez de uma medida de grau, seja fornecida uma medida de ângulo em radianos. Em hipótese alguma você deve ter medo, pois desta vez a tarefa ficou muito mais fácil. Para converter uma medida de radianos em uma medida de graus, você precisa multiplicar esse número por 180°/π. Isso significa que agora podemos substituir α a seguinte combinação: m × 180° / π. Onde m é o valor em radianos. E então 180 e o número π são reduzidos e uma fórmula completamente simplificada é obtida, que se parece com isto:

• m - medida radiana do ângulo;
• r é o raio de um determinado círculo.