1.3 Métodos para resolver equações

Ao resolver equações em números inteiros e naturais, os seguintes métodos podem ser aproximadamente distinguidos:

1. Método de enumeração de opções.

2. Algoritmo euclidiano.

3. Frações contínuas.

4. Método de fatoração.

5. Resolver equações em inteiros como quadrados em relação a alguma variável.

6. Método de resíduos.

7. Método de descida infinita.

Capítulo 2. Aplicação de métodos para resolução de equações

1. Exemplos de resolução de equações.

2.1 Algoritmo euclidiano.

Problema 1 . Resolva a equação em números inteiros 407 X – 2816sim = 33.

Vamos usar o algoritmo compilado.

1. Usando o algoritmo euclidiano, encontramos o máximo divisor comum dos números 407 e 2816:

2816 = 407 6 + 374;

407 = 374 1 + 33;

374 = 33 11 + 11;

Portanto (407,2816) = 11, com 33 divisível por 11

2. Divida ambos os lados da equação original por 11, obtemos a equação 37 X – 256sim= 3, com (37, 256) = 1

3. Utilizando o algoritmo euclidiano, encontramos uma representação linear do número 1 através dos números 37 e 256.

256 = 37 6 + 34;

Expressemos 1 da última igualdade, então subindo sucessivamente as igualdades expressaremos 3; 34 e substitua as expressões resultantes na expressão por 1.

1 = 34 – 3 11 = 34 – (37 – 34 1) 11 = 34 12 – 37 11 = (256 – 37 6) 12 – 37 11 =

– 83·37 – 256·(–12)

Assim, 37·(–83) – 256·(–12) = 1, portanto um par de números x0= – 83 e e 0= – 12 é a solução da equação 37 X – 256sim = 3.

4. Vamos escrever a fórmula geral para soluções da equação original

Onde t- qualquer número inteiro.

2.2 Método de enumeração de opções.

Tarefa 2. Coelhos e faisões sentam-se em uma gaiola; eles têm 18 patas no total. Descubra quantos de ambos estão na célula?

Solução:É traçada uma equação com duas variáveis ​​​​desconhecidas, em que x é o número de coelhos, y é o número de faisões:

4x + 2y = 18 ou 2x + y = 9.

Vamos expressar no através X : y = 9 – 2x.

X	1	2	3	4
no	7	5	3	1

Assim, o problema tem quatro soluções.

Responder: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).

2.3 Método de fatoração.

Enumerar opções ao encontrar soluções naturais para uma equação com duas variáveis ​​acaba sendo muito trabalhoso. Além disso, se a equação tiver todo soluções, então é impossível enumerá-las, uma vez que existe um número infinito de tais soluções. Portanto, mostraremos mais uma técnica - método de fatoração.

Tarefa 3. Resolva a equação em números inteirossim 3 - x 3 = 91.

Solução. 1) Usando fórmulas de multiplicação abreviadas, fatoramos o lado direito da equação:

(sim - x)(sim 2 + xy + x 2) = 91……………………….(1)

2) Vamos anotar todos os divisores do número 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91

3) Realizar pesquisas. Observe que para quaisquer números inteiros x E sim número

sim 2 + sim + x 2 ≥ sim 2 - 2|sim||x| + x 2 = (|sim| - |x|) 2 ≥ 0,

portanto, ambos os fatores do lado esquerdo da equação devem ser positivos. Então a equação (1) é equivalente a um conjunto de sistemas de equações:

; ; ;

4) Resolvidos os sistemas, obtemos: o primeiro sistema possui soluções (5; 6), (-6; -5); terceiro (-3; 4),(-4; 3); o segundo e o quarto não têm soluções em números inteiros.

Responder: a equação (1) possui quatro soluções (5; 6); (-6; -5); (-3;4); (-4;3).

Tarefa 4. Encontre todos os pares de números naturais que satisfazem a equação

Solução. Vamos fatorar o lado esquerdo da equação e escrever a equação na forma

.

Porque Os divisores do número 69 são os números 1, 3, 23 e 69, então 69 pode ser obtido de duas maneiras: 69=1·69 e 69=3·23. Considerando que

, obtemos dois sistemas de equações, resolvendo os quais podemos encontrar os números necessários: ou .

O primeiro sistema tem uma solução

, e o segundo sistema tem uma solução.

Responder:

.

Tarefa 5. Resolva a equação em números inteiros:

.

Solução. Vamos escrever a equação na forma

.

Vamos fatorar o lado esquerdo da equação. Nós temos

.

O produto de dois números inteiros só pode ser igual a 1 em dois casos: se ambos forem iguais a 1 ou -1. Temos dois sistemas:

ou .

O primeiro sistema tem uma solução x=2, y=2, e o segundo sistema tem uma solução x=0, y=0.

Responder:

.

Tarefa 6. Resolva a equação em números inteiros

Solução. Vamos escrever esta equação na forma

.

Vamos fatorar o lado esquerdo da equação usando o método de agrupamento, obtemos

.

O produto de dois números inteiros pode ser igual a 7 nos seguintes casos:

7=1· 7=7·1=-1·(-7)=-7·(-1) Assim, obtemos quatro sistemas:

ou, ou, ou.

A solução para o primeiro sistema é um par de números x = - 5, y = - 6. Resolvendo o segundo sistema, obtemos x = 13, y = 6. Para o terceiro sistema, a solução são os números x = 5, y = 6. O quarto sistema tem uma solução x = - 13, y = - 6.

.

Tarefa 7. Prove que a equação ( x - sim) 3 + (sim - z) 3 + (z - x) 3 = 30 não

Instituição de ensino municipal

Escola secundária Savrushskaya

Distrito de Pokhvistnevsky, região de Samara

Resumo em matemática sobre o tema:

"Equações com dois

desconhecido

em números inteiros"

Concluído por: Kolesova Tatyana

Staroverova Nina

no Alunos do 10º ano

Instituição educacional municipal, escola secundária Savrushskaya

Distrito de Pokhvistnevsky

Região de Samara.

Supervisor: Yatmankina Galina Mikhailovna

professor de matemática.

Savrukha 2011

Introdução.________________________________________________3

1. Antecedentes históricos ________________________________________________5

1.1 Teoremas sobre o número de soluções de equações diofantinas lineares___6

1.2 Algoritmo para resolução de equações em números inteiros_________________ 6

1.3 Métodos para resolver equações______________________________ 7

Capítulo 2. Aplicação de métodos de resolução de equações.

1. Resolução de problemas_____________________________________________ 8

2.1 Resolvendo problemas usando o algoritmo euclidiano________________ 8

2.2 Método de enumeração de opções________________________________ 9

2.3 Método de fatoração ___________________________ 9

2.4 Método residual________________________________________________ 12

2. Tarefas de nível de exame ___________________________ 13

Conclusão________________________________________________ 16

Lista de referências ________________________________________ 17

"Quem controla os números,

Ele governa o mundo"

Pitágoras.

Introdução.

Análise da situação: As equações diofantinas são um tema atual em nosso tempo, pois a solução de equações, desigualdades e problemas que se reduzem à resolução de equações em números inteiros usando estimativas para variáveis ​​​​é encontrada em diversas coleções matemáticas e coleções do Exame Estadual Unificado.

Tendo estudado diferentes maneiras de resolver uma equação quadrática com uma variável em aula, estávamos interessados ​​em entender como as equações com duas variáveis ​​são resolvidas. Essas tarefas são encontradas nas Olimpíadas e nos materiais do Exame Estadual Unificado.

Neste ano letivo, os alunos do décimo primeiro ano terão que fazer o Exame Estadual Unificado de matemática, onde os KIMs são compilados de acordo com uma nova estrutura. Não existe parte “A”, mas foram adicionadas tarefas à parte “B” e à parte “C”. Os compiladores explicam a adição do C6 pelo fato de que para ingressar em uma universidade técnica é necessário ser capaz de resolver tarefas de alto nível de complexidade.

Problema: Ao resolver versões de amostra de tarefas do Exame de Estado Unificado, notamos que na maioria das vezes em C6 existem tarefas para resolver equações de primeiro e segundo grau em números inteiros. Mas não sabemos como resolver tais equações. Nesse sentido, tornou-se necessário estudar a teoria de tais equações e o algoritmo para resolvê-las.

Alvo: Domine o método de resolução de equações com duas incógnitas de primeiro e segundo grau em números inteiros.

Tarefas: 1) Estudar literatura educacional e de referência;

2) Recolher material teórico sobre métodos de resolução de equações;

3) Analisar o algoritmo de resolução de equações deste tipo;

4) Descreva a solução.

5) Considere vários exemplos usando esta técnica.

6) Resolva equações com duas variáveis ​​em números inteiros de

materiais do Exame Estadual Unificado-2010 C6.

Objeto de estudo : Resolvendo equações

Assunto de estudo : Equações com duas variáveis ​​em números inteiros.

Hipótese: Este tópico é de grande importância prática. No curso de matemática escolar, equações com uma variável e vários métodos para resolvê-las são estudadas detalhadamente. As necessidades do processo educacional exigem que os alunos conheçam e sejam capazes de resolver equações simples com duas variáveis. Portanto, uma maior atenção a este tema não só se justifica, mas também é relevante no curso de matemática escolar.

Este trabalho poderá ser utilizado para estudar este tema em aulas optativas para alunos, em preparação para exames finais e vestibulares. Esperamos que nosso material ajude alunos do ensino médio a aprender a resolver equações desse tipo.

Capítulo 1. Teoria das equações com duas variáveis ​​​​em inteiros.

1. Contexto histórico.

Diofanto e a história das equações diofantinas .

Resolver equações em números inteiros é um dos problemas matemáticos mais antigos. Esta área da matemática atingiu o seu maior florescimento na Grécia Antiga. A principal fonte que chegou até nossos dias é a obra de Diofanto - “Aritmética”. Diofanto resumiu e expandiu a experiência acumulada antes dele na resolução de equações indefinidas em números inteiros.

A história preservou para nós poucos traços da biografia do notável algebrista alexandrino Diofanto. Segundo algumas fontes, Diofanto viveu até 364 DC. Apenas se sabe com certeza a biografia única de Diofante, que, segundo a lenda, foi gravada em sua lápide e apresentou um quebra-cabeça:

“Deus o enviou para ser um menino durante um sexto de sua vida; acrescentando a isso a décima segunda parte, Ele cobriu o rosto com penugem; após a sétima parte, Ele acendeu a luz do casamento para ele e cinco anos após o casamento deu-lhe um filho. Infelizmente! Um infeliz filho tardio, tendo atingido metade da vida plena de seu pai, foi levado por um destino impiedoso. Quatro anos depois, consolando a dor que se abateu sobre ele com a ciência dos números, ele [Diofanto] acabou com a vida” (aproximadamente 84 anos).

Este quebra-cabeça serve de exemplo dos problemas que Diofanto resolveu. Ele se especializou em resolver problemas em números inteiros. Tais problemas são atualmente conhecidos como problemas Diofantinos.

O problema mais famoso, resolvido por Diofanto, é o problema da “decomposição em dois quadrados”. Seu equivalente é o conhecido teorema de Pitágoras. Este teorema era conhecido na Babilônia, talvez também fosse conhecido no Antigo Egito, mas foi comprovado pela primeira vez na escola pitagórica. Este era o nome de um grupo de filósofos interessados ​​em matemática que leva o nome do fundador da escola de Pitágoras (c. 580-500 aC)

A vida e obra de Diofante aconteceram em Alexandria, ele coletou e resolveu problemas conhecidos e surgiu com novos. Mais tarde, ele os combinou em uma grande obra chamada Aritmética. Dos treze livros que compunham a Aritmética, apenas seis sobreviveram até a Idade Média e se tornaram fonte de inspiração para os matemáticos da Renascença.

1.1 Teoremas sobre o número de soluções de uma equação diofantina linear.

Apresentamos aqui as formulações de teoremas com base nos quais um algoritmo para resolver equações indeterminadas de primeiro grau de duas variáveis ​​​​em inteiros pode ser compilado.

Teorema 1. Se em uma equação, então a equação tem pelo menos uma solução.

Teorema 2. Se na equação , e Com não é divisível por , então a equação não tem soluções inteiras.

Teorema 3. Se na equação, e, então é equivalente à equação na qual.

Teorema 4. Se na equação , , então todas as soluções inteiras para esta equação estão contidas nas fórmulas:

Onde x 0, y 0

1.2. Algoritmo para resolução de equações em números inteiros.

Os teoremas formulados permitem-nos compor o seguinte algoritmo soluções em números inteiros para equações da forma .

1. Encontre o máximo divisor comum de números a E b ,

se Com não é divisível por, então a equação não tem soluções inteiras;

se e , então

2. Divida a equação termo por termo, obtendo uma equação na qual .

3. Encontre a solução completa ( x 0, y 0) equações representando 1 como uma combinação linear de números e ;

4. Crie uma fórmula geral para soluções inteiras para esta equação

Onde x 0, y 0– uma solução inteira para a equação, - qualquer número inteiro.

1.3 Métodos para resolver equações

Ao resolver equações em números inteiros e naturais, os seguintes métodos podem ser aproximadamente distinguidos:

1. Método de enumeração de opções.

2. Algoritmo euclidiano.

3. Frações contínuas.

4. Método de fatoração.

5. Resolver equações em inteiros como quadrados em relação a alguma variável.

6. Método de resíduos.

7. Método de descida infinita.

Capítulo 2. Aplicação de métodos para resolução de equações

1. Exemplos de resolução de equações.

2.1 Algoritmo euclidiano.

Problema 1 . Resolva a equação em números inteiros 407 X – 2816sim = 33.

Vamos usar o algoritmo compilado.

1. Usando o algoritmo euclidiano, encontramos o máximo divisor comum dos números 407 e 2816:

2816 = 407 6 + 374;

407 = 374 1 + 33;

374 = 33 11 + 11;

Portanto (407,2816) = 11, com 33 divisível por 11

2. Divida ambos os lados da equação original por 11, obtemos a equação 37 X – 256sim= 3 e (37, 256) = 1

3. Utilizando o algoritmo euclidiano, encontramos uma representação linear do número 1 através dos números 37 e 256.

256 = 37 6 + 34;

Expressemos 1 da última igualdade, então subindo sucessivamente as igualdades expressaremos 3; 34 e substitua as expressões resultantes na expressão por 1.

1 = 34 – 3 11 = 34 – (37 – 34 1) 11 = 34 12 – 37 11 = (256 – 37 6) 12 – 37 11 =

– 83·37 – 256·(–12)

Assim, 37·(–83) – 256·(–12) = 1, portanto um par de números x0= – 83 e e 0= – 12 é a solução da equação 37 X – 256sim = 3.

4. Vamos escrever a fórmula geral para soluções da equação original

Onde t- qualquer número inteiro.

2.2 Método de enumeração de opções.

Tarefa 2. Coelhos e faisões sentam-se em uma gaiola; eles têm 18 patas no total. Descubra quantos de ambos estão na célula?

Solução:É traçada uma equação com duas variáveis ​​​​desconhecidas, em que x é o número de coelhos, y é o número de faisões:

4x + 2y = 18 ou 2x + y = 9.

Vamos expressar no através X : y = 9 – 2x.

Assim, o problema tem quatro soluções.

Responder: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).

2.3 Método de fatoração.

Enumerar opções ao encontrar soluções naturais para uma equação com duas variáveis ​​acaba sendo muito trabalhoso. Além disso, se a equação tiver todo soluções, então é impossível enumerá-las, uma vez que existe um número infinito de tais soluções. Portanto, mostraremos mais uma técnica - método de fatoração.

Tarefa 3. Resolva a equação em números inteiros sim 3 - x 3 = 91.

Solução. 1) Usando fórmulas de multiplicação abreviadas, fatoramos o lado direito da equação:

(sim - x)(sim 2 + xy + x 2) = 91……………………….(1)

2) Vamos anotar todos os divisores do número 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91

3) Realizar pesquisas. Observe que para quaisquer números inteiros x E sim número

sim 2 + sim + x 2 ≥ sim 2 - 2|sim ||x | + x 2 = (|sim | - |x |) 2 ≥ 0,

portanto, ambos os fatores do lado esquerdo da equação devem ser positivos. Então a equação (1) é equivalente a um conjunto de sistemas de equações:

; ; ;

4) Resolvidos os sistemas, obtemos: o primeiro sistema possui soluções (5; 6), (-6; -5); terceiro (-3; 4),(-4; 3); o segundo e o quarto não têm soluções em números inteiros.

Responder: a equação (1) possui quatro soluções (5; 6); (-6; -5); (-3;4); (-4;3).

Tarefa 4. Encontre todos os pares de números naturais que satisfazem a equação

Solução. Vamos fatorar o lado esquerdo da equação e escrever a equação na forma

.

Porque Os divisores do número 69 são os números 1, 3, 23 e 69, então 69 pode ser obtido de duas maneiras: 69=1·69 e 69=3·23. Considerando isso, obtemos dois sistemas de equações, resolvendo-os podemos encontrar os números necessários:

O primeiro sistema tem uma solução e o segundo sistema tem uma solução.

Responder: .

Tarefa 5.

Solução. Vamos escrever a equação na forma

.

Vamos fatorar o lado esquerdo da equação. Nós temos

.

O produto de dois números inteiros só pode ser igual a 1 em dois casos: se ambos forem iguais a 1 ou -1. Temos dois sistemas:

O primeiro sistema tem uma solução x=2, y=2, e o segundo sistema tem uma solução x=0, y=0.

Responder: .

Tarefa 6. Resolva a equação em números inteiros

.

Solução. Vamos escrever esta equação na forma

Vamos fatorar o lado esquerdo da equação usando o método de agrupamento, obtemos

.

O produto de dois números inteiros pode ser igual a 7 nos seguintes casos:

7=1· 7=7·1=-1·(-7)=-7·(-1) Assim, obtemos quatro sistemas:

Ou, ou, ou.

A solução para o primeiro sistema é um par de números x = - 5, y = - 6. Resolvendo o segundo sistema, obtemos x = 13, y = 6. Para o terceiro sistema, a solução são os números x = 5, y = 6. O quarto sistema tem uma solução x = - 13, y = - 6.

Tarefa 7. Prove que a equação ( x - sim) 3 + (sim - z) 3 + (z - x) 3 = 30 não

tem soluções em inteiros.

Solução. 1) Vamos fatorar o lado esquerdo da equação e dividir ambos os lados da equação por 3, resultando na seguinte equação:

(x - sim)(sim - z)(z - x) = 10…………………………(2)

2) Os divisores de 10 são os números ±1, ±2, ±5, ±10. Observe também que a soma dos fatores do lado esquerdo da equação (2) é igual a 0. É fácil verificar que a soma de quaisquer três números do conjunto de divisores do número 10, dando o produto 10, será diferente de 0. Conseqüentemente, a equação original não tem soluções em números inteiros.

Tarefa 8. Resolva a equação: x 2 - y 2 = 3 em números inteiros.

Solução:

1. aplique a fórmula de multiplicação abreviada x 2 - y 2 = (x-y)(x+y)=3

2. encontre os divisores do número 3 = -1;-3;1;3

3. Esta equação equivale a um conjunto de 4 sistemas:

X-y=1 2x=4 x=2, y=1

X-y=3 x=2, y=-1

X-y=-3 x=-2, y=1

X-y=-1 x=-2, y=-1

Resposta: (2;1), (2;-1), (-2;1), (-2,-1)

2.4 Método residual.

Problema 9 .Resolva a equação: x 2 + xy = 10

Solução:

1. Expresse a variável y através de x: y= 10's 2

S = - X

2. Fração será inteiro se x Є ±1;±2; ±5;±10

3. Encontre 8 valores você.

Se x=-1, então y=-9 x=-5, então y=3

X=1, então y=9 x=5, então y=-3

X=-2, então y=-3 x=-10, então y=9

X=2, então y=3 x=10, então y=-9

Problema 10. Resolva a equação em números inteiros:

2x 2 -2xy +9x+y=2

Solução:

Vamos expressar da equação a incógnita que está incluída nela apenas no primeiro grau - neste caso você:

2x 2 +9x-2=2xy-y

S =

Vamos selecionar a parte inteira de uma fração usando a regra de divisão de um polinômio por um polinômio por um “ângulo”. Nós temos:

Portanto, a diferença 2x-1 só pode assumir os valores -3,-1,1,3.

Resta passar por esses quatro casos.

Responder : (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

2. Tarefas de nível de exame

Tendo considerado várias maneiras de resolver equações de primeiro grau com duas variáveis ​​​​em números inteiros, notamos que o método de fatoração e o método dos restos são os mais utilizados.

As equações fornecidas nas versões USE -2011 são resolvidas principalmente pelo método dos resíduos.

1. Resolva a equação em números naturais: , onde m>n

Solução:

Vamos expressar a variável P através de variável T

(y+10) 2< 6 -2 ≤ у+10 ≤ 2 -12 ≤ у ≤ -8

(y+6) 2< 5 -2 ≤ у+6 ≤ 2 -8 ≤ у ≤ -4 у=-8

Resposta: (12; -8)

Conclusão.

A resolução de vários tipos de equações é uma das áreas de conteúdo do curso de matemática escolar, mas os métodos de resolução de equações com diversas incógnitas praticamente não são considerados. Ao mesmo tempo, resolver equações de várias incógnitas em números inteiros é um dos problemas matemáticos mais antigos. A maioria dos métodos para resolver tais equações baseia-se na teoria da divisibilidade de inteiros, cujo interesse é atualmente determinado pelo rápido desenvolvimento da tecnologia da informação. Nesse sentido, será interessante que os alunos do ensino médio conheçam os métodos de resolução de algumas equações em números inteiros, até porque as Olimpíadas de vários níveis muitas vezes oferecem tarefas que envolvem a resolução de uma equação em números inteiros, e este ano tais equações também estão incluídas e nos materiais do Exame Estadual Unificado.

Em nosso trabalho consideramos apenas equações indeterminadas de primeiro e segundo graus. As equações de primeiro grau, como vimos, são resolvidas de forma bastante simples. Identificamos os tipos de tais equações e algoritmos para resolvê-las. Uma solução geral para tais equações também foi encontrada.

Com equações de segundo grau é mais difícil, por isso consideramos apenas casos especiais: o teorema de Pitágoras e os casos em que uma parte da equação tem a forma de um produto e a segunda é fatorada.

Grandes matemáticos estudam equações de terceiro grau e superiores porque suas soluções são muito complexas e complicadas

No futuro, pretendemos aprofundar nossas pesquisas no estudo de equações com diversas variáveis ​​que são utilizadas na resolução de problemas

Literatura.

1. Berezin V.N. Coleção de problemas para atividades eletivas e extracurriculares de matemática. Moscou "Iluminismo" 1985

2. Galkin E.G. Problemas não padronizados em matemática. Cheliabinsk “Vzglyad” 2004

3. Galkin E.G. Problemas com números inteiros. Cheliabinsk “Vzglyad” 2004

4. Glazer E.I. História da matemática na escola. “Iluminismo” de Moscou 1983

5. Mordkovich A.G. Álgebra e início da análise do 10º ao 11º ano. Moscou 2003

6. Matemática. Exame Estadual Unificado 2010. Instituto Federal

medidas pedagógicas.

7. Sharygin I. F. Curso opcional de matemática. Solução

tarefas. Moscou 1986

Resolvendo equações em números inteiros.

Equações incertas são equações que contêm mais de uma incógnita. Por uma solução para uma equação indeterminada entendemos um conjunto de valores das incógnitas que transforma a equação dada em uma verdadeira igualdade.

Para resolver em números inteiros uma equação da forma ah + por = c , Onde A, b , c - números inteiros diferentes de zero, apresentamos uma série de disposições teóricas que nos permitirão estabelecer uma regra de decisão. Estas disposições baseiam-se também em factos já conhecidos da teoria da divisibilidade.

Teorema 1.Se mdc (A, b ) = d , então existem tais números inteiros X E no, que a igualdade vale ah + b você = d . (Essa igualdade é chamada de combinação linear ou representação linear do máximo divisor comum de dois números em termos dos próprios números.)

A prova do teorema baseia-se na utilização da igualdade do algoritmo euclidiano para encontrar o máximo divisor comum de dois números (o máximo divisor comum é expresso em termos de quocientes parciais e restos, a partir da última igualdade no algoritmo euclidiano).

Exemplo.

Encontre a representação linear do máximo divisor comum dos números 1232 e 1672.

Solução.

1. Vamos criar as igualdades do algoritmo euclidiano:

1672 = 1232 ∙1 + 440,

1232 = 440 ∙ 2 + 352,

440 = 352 ∙ 1 + 88,

352 = 88 ∙ 4, ou seja, (1672,352) = 88.

2) Expressemos 88 sequencialmente através de quocientes incompletos e restos, utilizando as igualdades obtidas acima, começando pelo final:

88 = 440 - 352∙1 = (1672 - 1232) - (1232 - 1672∙2 + 1232∙2) = 1672∙3 - 1232∙4, ou seja, 88 = 1672∙3 + 1232∙(-4).

Teorema 2. Se a equação ah + b y = 1 , se mdc (A, b ) = 1 , basta imaginar o número 1 como uma combinação linear de números a e b.

A validade deste teorema segue do Teorema 1. Assim, para encontrar uma única solução inteira para a equação ah + b y = 1, se mdc (a, b) = 1, basta representar o número 1 como uma combinação linear de números A E V .

Exemplo.

Encontre uma solução inteira para a equação 15x + 37y = 1.

Solução.

1. 37 = 15 ∙ 2 + 7,

15 = 7 ∙ 2 + 1.

2. 1 = 15 - 7∙2 = 15 - (37 - 15∙2) ∙2 = 15∙5 + 37∙(-2),

Teorema 3. Se na Eq. ah + b y = c mdc(a, b ) = d >1 E Com não divisível por d , então a equação não tem soluções inteiras.

Para provar o teorema, basta assumir o contrário.

Exemplo.

Encontre uma solução inteira para a equação 16x - 34y = 7.

Solução.

(16,34)=2; 7 não é divisível por 2, a equação não tem soluções inteiras

Teorema 4. Se na Eq. ah + b y = c mdc(a, b ) = d >1 ec d , então é

Ao provar o teorema, deve-se mostrar que uma solução inteira arbitrária para a primeira equação também é uma solução para a segunda equação e vice-versa.

Teorema 5. Se na Eq. ah + b y = c mdc(a, b ) = 1, então todas as soluções inteiras para esta equação estão contidas nas fórmulas:

t – qualquer número inteiro.

Ao provar o teorema, deve ser mostrado, em primeiro lugar, que as fórmulas acima realmente fornecem soluções para esta equação e, em segundo lugar, que uma solução inteira arbitrária para esta equação está contida nas fórmulas acima.

Os teoremas acima nos permitem estabelecer a seguinte regra para resolver a equação em números inteiros ah+ b y = c mdc(a, b ) = 1:

1) Uma solução inteira para a equação é encontrada ah + b y = 1 representando 1 como uma combinação linear de números A Eb (existem outras maneiras de encontrar soluções inteiras para esta equação, por exemplo usando frações contínuas);

Uma fórmula geral para soluções inteiras do dado

Dando t certos valores inteiros, você pode obter soluções parciais para esta equação: o menor em valor absoluto, o menor positivo (se possível), etc.

Exemplo.

Encontre soluções inteiras para a equação 407x - 2816y = 33.

Solução.

1. Simplificamos esta equação, trazendo-a para a forma 37x - 256y = 3.

2. Resolva a equação 37x - 256y = 1.

256 = 37∙ 6 + 34,

37 = 34 ∙1 + 3,

34 = 3 ∙11 + 1.

1 = 34 - 3∙11 = 256 - 37∙6 - 11 (37 – 256 + 37∙6) = 256∙12 - 37∙83 =

37∙(-83) - 256∙(-12),

3. Visão geral de todas as soluções inteiras desta equação:

x = -83∙3 - 256 t = -249 - 256 t,

y = -12∙3 - 37 t = -36 - 37 t.

O método de enumeração exaustiva de todos os valores possíveis de variáveis,

incluído na equação.

Encontre o conjunto de todos os pares de números naturais que são soluções da equação 49x + 51y = 602.

Solução:

Vamos expressar a variável x da equação por meio de y x =, como x e y são números naturais, então x =602 - 51у ≥ 49, 51у≤553, 1≤у≤10.

Uma busca completa de opções mostra que as soluções naturais para a equação são x=5, y=7.

Resposta: (5;7).

Resolução de equações usando o método de fatoração.

Diofanto, junto com as equações lineares, considerou equações quadráticas e cúbicas indefinidas. Resolvê-los geralmente é difícil.

Vamos considerar um caso em que a fórmula da diferença de quadrados ou outro método de fatoração pode ser aplicada às equações.

Resolva a equação em números inteiros: x 2 + 23 = y 2

Solução:

Vamos reescrever a equação na forma: y 2 - x 2 = 23, (y - x)(y + x) = 23

Como x e y são inteiros e 23 é um número primo, os seguintes casos são possíveis:

Resolvendo os sistemas resultantes, encontramos:

(-11;12),(11;12),(11;-12),(-11;-12)

Expressar uma variável em termos de outra e isolar toda a parte da fração.

Resolva a equação em números inteiros: x 2 + xy – y – 2 = 0.

Solução:

Vamos expressar y através de x a partir desta equação:

y(x - 1) =2 - x 2,

Henrique G. N. FMS nº 146, Perm

54 ≡ 6× 5 ≡ 2(modificação 7),

55 ≡ 2× 5 ≡ 3(mod 7), 56 ≡ 3× 5 ≡ 1(mod 7).

Elevando k à potência, obtemos 56k ≡ 1(mod 7) para qualquer k natural. Portanto 5555 =56 × 92 × 53 ≡ 6 (mod7).

(Geometricamente, essa igualdade significa que damos uma volta no círculo, partindo de 5, noventa e dois ciclos e mais três números). Assim, o número 222555 deixa resto 6 quando dividido por 7.

Resolvendo equações em números inteiros.

Sem dúvida, um dos temas interessantes da matemática é a solução das equações diofantinas. Este tópico é estudado na 8ª e depois na 10ª e 11ª séries.

Qualquer equação que precise ser resolvida em números inteiros é chamada de equação diofantina. A mais simples delas é uma equação da forma ax+bу=c, onde a, b e cÎ Z. O seguinte teorema é usado para resolver esta equação.

Teorema. A equação diofantina linear ax+bу=c, onde a, b e сО Z tem solução se e somente se c é divisível pelo mdc dos números a e b. Se d=GCD (a, b), a=a1 d, b=b1 d, c=c1 d e (x0, y0) é uma solução para a equação akh+bу=с, então todas as soluções são dadas pelas fórmulas x=x0 +b1 t, y=y0 –a1 t, onde t é um número inteiro arbitrário.

1. Resolva as equações em números inteiros:

	3xy–6x2 =y–2x+4;
	(x–2)(xy+4)=1;		y-x-xy=2;
	2x2 +xy=x+7;		3xy+2x+3y=0;
	x2 – xy – x + y = 1;
	x2 –3xy=x–3y+2;	10. x2 – xy – y = 4.

2. Considerei os seguintes problemas com graduados em preparação para o Exame Estadual Unificado em matemática neste tópico.

1). Resolva a equação em números inteiros: xy+3y+2x+6=13. Solução:

Vamos fatorar o lado esquerdo da equação. Nós temos:

y(x+3)+2(x+3)=13;

(x+3)(y+2)=13.

Desde x,уО Z, obtemos um conjunto de sistemas de equações:

Henrique G. N.

	M x +
	M x +
	M x +
êÐx +

FMS nº 146, Perm

		M x =
		M x =
		M x =
	ê Ð x =

Resposta: (–2;11), (10; –1), (–4; –15), (–15, –3)

2). Resolva a equação em números naturais: 3x +4y =5z.

9). Encontre todos os pares de números naturais m e n para os quais a igualdade 3m +7=2n é válida.

10). Encontre todos os trigêmeos de números naturais k, m e n para os quais a igualdade é válida: 2∙k!=m! –2∙n! (1!=1, 2!=1∙2, 3!= 1∙2∙3,…n!= 1∙2∙3∙…∙n)

onze). Todos os termos da sequência finita são números naturais. Cada membro desta sequência, a partir do segundo, é 14 vezes maior ou 14 vezes menor que o anterior. A soma de todos os termos da sequência é 4321.

c) Qual é o maior número de termos que a sequência pode ter? Solução:

a) Seja a1 =x, então a2 = 14x ou a1 =14x, então a2 =x. Então, por condição, a1 + a2 = 4321. Obtemos: x + 14x = 4321, 15x = 4321, mas 4321 não é um múltiplo de 15, o que significa que não pode haver dois termos na sequência.

b) Seja a1 =x, então a2 = 14x, a3 =x, ou 14x+x+14x=4321, ou x+14x+x=4321. 29x=4321, então x=149, 14x=2086. Isso significa que a sequência pode ter três termos. No segundo caso, 16x=4321, mas então x não é um número natural.

Nenhuma resposta; b) sim; c) 577.

Henrique G. N.

FMS nº 146, Perm

12). Todos os termos da sequência finita são números naturais. Cada membro desta sequência, começando pelo segundo, ou 10; vezes mais ou 10 vezes menos que o anterior. A soma de todos os termos da sequência é 1860.

a) Uma sequência pode ter dois termos? b) Uma sequência pode ter três termos?

c) Qual é o maior número de termos que a sequência pode ter?

Obviamente, podemos falar sobre a divisibilidade de inteiros e considerar indefinidamente problemas sobre esse assunto. Procurei considerar este tema de forma a interessar ainda mais os alunos, a mostrar-lhes a beleza da matemática deste ponto de vista.

Henrique G. N.

FMS nº 146, Perm

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2. A. V. Spivak. Suplemento da revista Kvant No. 4/2000 Feriado matemático, Moscou 2000

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5. Álgebra para o 8º ano. Um livro didático para alunos em escolas e turmas com estudo aprofundado de matemática. Editado por N. Ya. Vilenkin. Moscou, 1995

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8. M.I.Shabunin, A.A.Prokofiev UMK MATEMÁTICA Álgebra. Início da análise matemática. Nível de perfil. Livro didático para o 11º ano. Binom de Moscou. Laboratório do Conhecimento 2009

9. MI Shabunin, AA Prokofiev, TA Oleinik, TV Sokolova. Álgebra UMK MATEMÁTICA. Início da análise matemática. Livro de problemas de nível de perfil para o 11º ano. Binom de Moscou. Laboratório do Conhecimento 2009

10. AG Klovo, DA Maltsev, LI Abzelilova Matemática. Coleta de provas de acordo com o plano do Exame Estadual Unificado 2010

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12. Exame Estadual Unificado UMK “Matemática. Preparação para o Exame Estadual Unificado." Editado por F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhov. Preparando para Exame Estadual Unificado 2011. "Legião-M". Rostov do Don 2010

13. UMK "Matemática. Exame Estadual Unificado 2010". Editado por F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhov. MATEMÁTICA Preparação para o Exame Estadual Unificado-2010. Testes educacionais e de treinamento. "Legião-M". Rostov do Don 2009

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15. A.Zh.Zhafyarov. Matemática. Consulta expressa do Exame Estadual Unificado-2010. Editora da Universidade Siberiana, 2010

Equações em números inteiros são equações algébricas com duas ou mais variáveis ​​desconhecidas e coeficientes inteiros. As soluções para tal equação são todos conjuntos inteiros (às vezes naturais ou racionais) de valores de variáveis ​​​​desconhecidas que satisfazem esta equação. Tais equações também são chamadas diofantina, em homenagem ao antigo matemático grego que estudou alguns tipos de tais equações antes de nossa era.

Devemos a formulação moderna dos problemas diofantinos ao matemático francês. Foi ele quem levantou a questão da resolução de equações indefinidas apenas em números inteiros diante dos matemáticos europeus. A equação mais famosa em números inteiros é o último teorema de Fermat: equação

não tem soluções racionais diferentes de zero para todos os n > 2 naturais.

O interesse teórico pelas equações de números inteiros é bastante grande, uma vez que essas equações estão intimamente relacionadas a muitos problemas da teoria dos números.

Em 1970, o matemático de Leningrado Yuri Vladimirovich Matiyasevich provou que não existe e não pode existir um método geral que permita resolver equações diofantinas arbitrárias em números inteiros em um número finito de etapas. Portanto, você deve escolher seus próprios métodos de solução para diferentes tipos de equações.

Ao resolver equações em números inteiros e naturais, os seguintes métodos podem ser aproximadamente distinguidos:

maneira de classificar as opções;

aplicação do algoritmo euclidiano;

representação de números na forma de frações contínuas (continuadas);

fatoração;

resolver equações em inteiros como quadrados (ou outros) em relação a qualquer variável;

método residual;

método de descida infinita.

Problemas com soluções

1. Resolva a equação x 2 – xy – 2y 2 = 7 em números inteiros.

Vamos escrever a equação na forma (x – 2y)(x + y) = 7.

Como x, y são inteiros, encontramos soluções para a equação original como soluções para os quatro sistemas a seguir:

1) x – 2y = 7, x + y = 1;

2) x – 2y = 1, x + y = 7;

3) x – 2y = –7, x + y = –1;

4) x – 2y = –1, x + y = –7.

Resolvidos esses sistemas, obtemos soluções para as equações: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) e (–5; –2).

Resposta: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2).

a) 20x + 12y = 2013;

b) 5x + 7y = 19;

c) 201x – 1999y = 12.

a) Como para quaisquer valores inteiros de xey o lado esquerdo da equação é divisível por dois e o lado direito é um número ímpar, a equação não tem soluções em números inteiros.

Resposta: não há soluções.

b) Vamos primeiro selecionar alguma solução específica. Neste caso, é simples, por exemplo,

x 0 = 1, y 0 = 2.

5x 0 + 7y 0 = 19,

5(x – x 0) + 7(y – y 0) = 0,

5(x – x 0) = –7(y – y 0).

Como os números 5 e 7 são relativamente primos, então

x – x 0 = 7k, y – y 0 = –5k.

Então a solução geral é:

x = 1 + 7k, y = 2 – 5k,

onde k é um número inteiro arbitrário.

Resposta: (1+7k; 2–5k), onde k é um número inteiro.

c) Encontrar uma solução específica por seleção neste caso é bastante difícil. Vamos usar o algoritmo euclidiano para os números 1999 e 201:

GCD(1999, 201) = GCD(201, 190) = GCD(190, 11) = GCD(11, 3) = GCD(3, 2) = GCD(2, 1) = 1.

Vamos escrever este processo na ordem inversa:

1 = 2 – 1 = 2 – (3 – 2) = 2 2 – 3 = 2 (11 – 3 3) – 3 = 2 11 – 7 3 = 2 11 – 7(190 – 11 17) =

121 11 – 7 190 = 121(201 – 190) – 7 190 = 121 201 – 128 190 =

121·201 – 128(1999 – 9·201) = 1273·201 – 128·1999.

Isso significa que o par (1273, 128) é uma solução para a equação 201x – 1999y = 1. Então o par de números

x 0 = 1273 12 = 15276, y 0 = 128 12 = 1536

é uma solução para a equação 201x – 1999y = 12.

A solução geral desta equação será escrita na forma

x = 15276 + 1999k, y = 1536 + 201k, onde k é um número inteiro,

ou, após redesignação (usamos que 15276 = 1283 + 7 1999, 1536 = 129 + 7 201),

x = 1283 + 1999n, y = 129 + 201n, onde n é um número inteiro.

Resposta: (1283+1999n, 129+201n), onde n é um número inteiro.

3. Resolva a equação em números inteiros:

a) x 3 + y 3 = 3333333;

b) x 3 + y 3 = 4(x 2 y + xy 2 + 1).

a) Como x 3 e y 3 quando divididos por 9 só podem dar os restos 0, 1 e 8 (veja a tabela na seção), então x 3 + y 3 só podem dar os restos 0, 1, 2, 7 e 8. Mas o número 3333333 quando dividido por 9 dá resto 3. Portanto, a equação original não tem soluções em números inteiros.

b) Vamos reescrever a equação original na forma (x + y) 3 = 7(x 2 y + xy 2) + 4. Como cubos de inteiros quando divididos por 7 dão restos 0, 1 e 6, mas não 4, então a equação não tem soluções em números inteiros.

Resposta: Não existem soluções inteiras.

a) nos números primos a equação x 2 – 7x – 144 = y 2 – 25y;

b) em números inteiros a equação x + y = x 2 – xy + y 2.

a) Vamos resolver esta equação como uma equação quadrática em relação à variável y. Nós temos

y = x + 9 ou y = 16 – x.

Como para x ímpar o número x + 9 é par, então o único par de números primos que satisfaz a primeira igualdade é (2; 11).

Como x, y são simples, então da igualdade y = 16 – x temos

2 x 16,2 no 16.

Pesquisando as opções, encontramos as restantes soluções: (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

Resposta: (2; 11), (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

b) Considere esta equação como uma equação quadrática para x:

x 2 – (y + 1)x + y 2 – y = 0.

O discriminante desta equação é –3y 2 + 6y + 1. É positivo apenas para os seguintes valores de y: 0, 1, 2. Para cada um desses valores, a partir da equação original obtemos uma equação quadrática para x , o que é facilmente resolvido.

Resposta: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2).

5. Existe um número infinito de trigêmeos de inteiros x, y, z tais que x 2 + y 2 + z 2 = x 3 + y 3 + z 3?

Vamos tentar selecionar triplos onde y = –z. Então y 3 e z 3 sempre se cancelarão, e nossa equação ficará assim

x 2 + 2y 2 = x 3

ou então,

x 2 (x–1) = 2y 2 .

Para que um par de inteiros (x; y) satisfaça esta condição, é suficiente que o número x–1 seja duas vezes o quadrado do inteiro. Existem infinitos números desse tipo, ou seja, todos são números da forma 2n 2 +1. Substituindo este número em x 2 (x–1) = 2y 2, após transformações simples obtemos:

y = xn = n(2n 2 +1) = 2n 3 +n.

Todos os trigêmeos obtidos desta forma têm a forma (2n 2 +1; 2n 3 +n; –2n 3 – n).

Resposta: existe.

6. Encontre inteiros x, y, z, u tais que x 2 + y 2 + z 2 + u 2 = 2xyzu.

O número x 2 + y 2 + z 2 + u 2 é par, portanto entre os números x, y, z, u existe um número par de números ímpares.

Se todos os quatro números x, y, z, u forem ímpares, então x 2 + y 2 + z 2 + u 2 é divisível por 4, mas 2xyzu não é divisível por 4 - uma discrepância.

Se exatamente dois dos números x, y, z, u são ímpares, então x 2 + y 2 + z 2 + u 2 não é divisível por 4, mas 2xyzu é divisível por 4 – novamente uma discrepância.

Portanto, todos os números x, y, z, u são pares. Então podemos escrever isso

x = 2x 1 , y = 2y 1 , z = 2z 1 , você = 2u 1 ,

e a equação original assumirá a forma

x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 = 8x 1 y 1 z 1 u 1 .

Agora observe que (2k + 1) 2 = 4k(k + 1) + 1 quando dividido por 8 dá um resto de 1. Portanto, se todos os números x 1 , y 1 , z 1 , u 1 são ímpares, então x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 não é divisível por 8. E se exatamente dois desses números são ímpares, então x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 não é divisível por 4. Isso significa

x 1 = 2x 2, y 1 = 2y 2, z 1 = 2z 2, você 1 = 2u 2,

e obtemos a equação

x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 + u 2 2 = 32x 2 y 2 z 2 u 2 .

Repetindo o mesmo raciocínio novamente, descobrimos que x, y, z, u são divisíveis por 2 n para todo n natural, o que só é possível para x = y = z = u = 0.

Resposta: (0; 0; 0; 0).

7. Prove que a equação

(x – y) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 30

não tem soluções em inteiros.

Vamos usar a seguinte identidade:

(x – y) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 3(x – y)(y – z)(z – x).

Então a equação original pode ser escrita como

(x – y)(y – z)(z – x) = 10.

Vamos denotar a = x – y, b = y – z, c = z – x e escrever a igualdade resultante na forma

Além disso, é óbvio que a + b + c = 0. É fácil verificar que, até a permutação, a igualdade abc = 10 implica que os números |a|, |b|, |c| são iguais a 1, 2, 5 ou 1, 1, 10. Mas em todos esses casos, para qualquer escolha dos sinais a, b, c, a soma a + b + c é diferente de zero. Assim, a equação original não possui soluções inteiras.

8. Resolva a equação 1 em números inteiros! +2! + . . . +x! = y 2 .

É óbvio que

se x = 1, então y 2 = 1,

se x = 3, então y 2 = 9.

Esses casos correspondem aos seguintes pares de números:

x 1 = 1, y 1 = 1;

x 2 = 1, y 2 = –1;

x 3 = 3, y 3 = 3;

x 4 = 3, y 4 = –3.

Observe que para x = 2 temos 1! +2! = 3, para x = 4 temos 1! +2! +3! +4! = 33 e nem 3 nem 33 são quadrados de inteiros. Se x > 5, então, como

5! +6! + . . . +x! = 10n,

podemos escrever isso

1! +2! +3! +4! +5! + . . . +x! = 33 + 10n.

Como 33 + 10n é um número que termina em 3, não é o quadrado de um número inteiro.

Resposta: (1; 1), (1; –1), (3; 3), (3; –3).

9. Resolva o seguinte sistema de equações em números naturais:

a 3 – b 3 – c 3 = 3abc, a 2 = 2(b + c).

3abc > 0, então a 3 > b 3 + c 3 ;

assim temos

Somando essas desigualdades, obtemos que

Levando em consideração a última desigualdade, da segunda equação do sistema obtemos que

Mas a segunda equação do sistema também mostra que a é um número par. Assim, a = 2, b = c = 1.

Resposta: (2; 1; 1)

10. Encontre todos os pares de inteiros xey que satisfazem a equação x 2 + x = y 4 + y 3 + y 2 + y.

Fatorando ambos os lados desta equação, obtemos:

x(x + 1) = y(y + 1)(y 2 + 1),

x(x + 1) = (y 2 + y)(y 2 + 1)

Tal igualdade é possível se os lados esquerdo e direito forem iguais a zero ou forem o produto de dois inteiros consecutivos. Portanto, igualando certos fatores a zero, obtemos 4 pares de valores de variáveis ​​​​desejáveis:

x 1 = 0, y 1 = 0;

x 2 = 0, y 2 = –1;

x 3 = –1, y 3 = 0;

x 4 = –1, y 4 = –1.

O produto (y 2 + y)(y 2 + 1) pode ser considerado como o produto de dois inteiros consecutivos diferentes de zero somente quando y = 2. Portanto x(x + 1) = 30, de onde x 5 = 5, x 6 = –6. Isso significa que existem mais dois pares de inteiros que satisfazem a equação original:

x 5 = 5, y 5 = 2;

x 6 = –6, y 6 = 2.

Resposta: (0; 0), (0; –1), (–1; 0), (–1; –1), (5; 2), (–6; 2.)

Problemas sem soluções

1. Resolva a equação em números inteiros:

a) xy = x + y + 3;

b) x 2 + y 2 = x + y + 2.

2. Resolva a equação em números inteiros:

a) x 3 + 21y 2 + 5 = 0;

b) 15x 2 – 7y 2 = 9.

3. Resolva a equação em números naturais:

a) 2 x + 1 = y 2;

b) 3 2 x + 1 = y 2.

4. Prove que a equação x 3 + 3y 3 + 9z 3 = 9xyz em números racionais tem uma solução única

5. Prove que a equação x 2 + 5 = y 3 em números inteiros não tem solução.