O barbeiro faz a barba. Paradoxo de Bertrand Russell

O mais famoso dos paradoxos descobertos já em nosso século é a antinomia descoberta por B. Russell. A ideia estava no ar, e sua publicação produziu a impressão de uma bomba explodindo. Esse paradoxo causou na matemática, segundo D. Hilbert, "o efeito da catástrofe completa". Os métodos lógicos mais simples e importantes, os conceitos mais comuns e úteis, estão ameaçados. Tornou-se imediatamente óbvio que nem na lógica nem na matemática, em toda a longa história de sua existência, havia algo decididamente elaborado que pudesse servir de base para eliminar a antinomia. Claramente, era necessário um afastamento das formas habituais de pensar.

O paradoxo de Russell em sua forma original está ligado ao conceito de conjunto, ou classe. Podemos falar sobre conjuntos de objetos diferentes, por exemplo, sobre o conjunto de todas as pessoas ou sobre o conjunto dos números naturais. Um elemento do primeiro conjunto será qualquer pessoa individual, um elemento do segundo - todo número natural. Também é possível considerar os próprios conjuntos como alguns objetos e falar de conjuntos de conjuntos. Pode-se até introduzir conceitos como o conjunto de todos os conjuntos ou o conjunto de todos os conceitos. Com relação a qualquer conjunto tomado arbitrariamente, parece razoável perguntar se ele é seu próprio elemento ou não. Conjuntos que não se contêm como elemento serão chamados de ordinários. Por exemplo, o conjunto de todas as pessoas não é uma pessoa, assim como o conjunto de átomos não é um átomo. Conjuntos que são elementos próprios serão incomuns. Por exemplo, um conjunto que une todos os conjuntos é um conjunto e, portanto, contém a si mesmo como um elemento. Obviamente, todo conjunto é ordinário ou incomum.

Considere agora o conjunto de todos os conjuntos comuns. Como é um conjunto, também se pode perguntar se é comum ou incomum. A resposta, no entanto, é desanimadora. Se for ordinário, então, por definição, deve conter a si mesmo como um elemento, pois contém todos os conjuntos ordinários. Mas isso significa que é um conjunto incomum. A suposição de que nosso conjunto é um conjunto comum, portanto, leva a uma contradição. Então não pode ser normal. Por outro lado, também não pode ser incomum: um conjunto incomum contém a si mesmo como um elemento, e os elementos do nosso conjunto são apenas conjuntos comuns. Como resultado, chegamos à conclusão de que o conjunto de todos os conjuntos ordinários não pode ser ordinário nem extraordinário.

Assim, o conjunto de todos os conjuntos que não são elementos próprios é um elemento próprio se e somente se não for tal elemento. Esta é uma clara contradição.

A contradição diz que tal conjunto simplesmente não existe. Mas por que não pode existir? Afinal, ele consiste em objetos que satisfazem uma condição bem definida, e a condição em si não parece ser de alguma forma excepcional ou obscura. Se um conjunto tão simples e claramente definido não pode existir, então qual é, de fato, a diferença entre conjuntos possíveis e impossíveis? A conclusão sobre a inexistência do conjunto considerado soa inesperada e inspira ansiedade. Isso torna nossa noção geral de um conjunto amorfa e caótica, e não há garantia de que não possa dar origem a alguns novos paradoxos.

O paradoxo de Russell é notável por sua extrema generalidade. Para sua construção não são necessários conceitos técnicos complexos, como no caso de alguns outros paradoxos, os conceitos de "conjunto" e "elemento do conjunto" são suficientes. Mas essa simplicidade fala apenas de sua natureza fundamental: toca nos fundamentos mais profundos de nosso raciocínio sobre conjuntos, pois não fala de alguns casos especiais, mas de conjuntos em geral.

O paradoxo de Russell não é especificamente matemático. Ele usa o conceito de conjunto, mas não toca em nenhuma propriedade especial associada especificamente à matemática. Isso se torna aparente quando o paradoxo é reformulado em termos puramente lógicos.

De toda propriedade pode-se, com toda probabilidade, perguntar se ela é aplicável a si mesma ou não. A propriedade de ser quente, por exemplo, não se aplica a si mesma, pois não é ela própria quente; a propriedade de ser concreto também não se refere a si mesma, pois é uma propriedade abstrata. Mas a propriedade de ser abstrato, ser abstrato, é aplicável a si mesmo. Chamemos essas propriedades de inaplicáveis a si mesmas de inaplicáveis. A propriedade de ser inaplicável a si mesmo se aplica? Acontece que uma inaplicabilidade só é inaplicável se não for. Isso é, naturalmente, paradoxal.A versão lógica, relacionada a propriedades, da antinomia de Russell é tão paradoxal quanto a versão matemática, relacionada a conjuntos.

B. Russell também propôs a seguinte versão popular do paradoxo que descobriu. “O barbeiro barbeia todos e somente aqueles moradores da cidade que não se barbeiam. Quem barbeia o barbeiro?" O paradoxo do barbeiro está no fato de que, supostamente, é impossível responder a essa pergunta.

Para entender a situação, vamos dividir os habitantes da cidade em três grupos. Essa repartição é mostrada na figura à esquerda: quem se barbeia fica por cima; aqueles que são raspados - de baixo; aqueles que não se barbeiam (monges, crianças, mulheres...) estão fora da elipse.

Considere primeiro a ação da condição (1). Deixe o barbeiro barbear todos aqueles que não se barbeiam, ou seja, toda a metade inferior da elipse (o hachura marca os clientes do barbeiro). Mas a condição (1) permite que ele se barbeie e aquele que se barbeia, ou seja, a si mesmo. A condição (1) permite que ele se posicione na metade superior da elipse, onde os próprios habitantes se barbeiam e se barbeiam ali. Isso é mostrado na imagem do meio.

Se a condição (2) se aplicar, e o barbeiro raspar apenas aqueles que não se barbeiam, isso significa que ele raspa parte da metade inferior da elipse e não se barbeia, ou seja, não está na metade superior da elipse . Mas os habitantes da metade inferior não podem ser barbeados por um barbeiro, mas por outra pessoa. E um barbeiro pode estar entre essas pessoas (figura à direita). Assim, o barbeiro pode barbear seu amigo, e o barbeiro barbeará a parte sombreada da metade inferior da elipse.

Mas se ambas as condições (1) e (2) se aplicam, então o barbeiro não tem lugar na elipse. Ele não faz a barba de jeito nenhum. E não há paradoxo aqui. Ele, portanto, é um monge, ou um robô, ou uma criança, ou uma mulher, ou um não residente da cidade... a aparência da elipse está vazia, então um barbeiro que satisfaça as condições (1) e (2) simplesmente não existe. É absurdo perguntar neste caso quem o barbeia. Muitos desses barbeiros estão vazios.

E aqui vamos notar que a pergunta "Quem faz a barba do barbeiro?", estava incorreta desde o início, assim como a pergunta clássica: "Por que você bate no seu pai?" Antes de perguntar quem barbeia o barbeiro, deve-se obter a concordância de que alguém o barbeia.

O argumento sobre o cabeleireiro pode ser chamado de pseudo-paradoxo. Em seu curso, é estritamente análogo ao paradoxo de Russell, e é isso que o torna interessante. Mas ainda não é um verdadeiro paradoxo.

Outro exemplo do mesmo pseudo-paradoxo é o conhecido argumento do catálogo.

Uma determinada biblioteca decidiu compilar um catálogo bibliográfico que incluísse todos aqueles e somente aqueles catálogos bibliográficos que não continham referências a si mesmos. Esse diretório deve incluir um link para si mesmo? É fácil mostrar que a ideia de criar tal catálogo não é viável; ele simplesmente não pode existir, porque deve incluir simultaneamente uma referência a si mesmo e não incluir. É interessante notar que catalogar todos os diretórios que não contêm referências a si mesmos pode ser pensado como um processo sem fim e sem fim.

Digamos que em algum momento um diretório foi compilado, digamos K1, que incluiu todos os outros diretórios que não continham referências a si mesmos. Com a criação do K1, apareceu outro diretório que não contém uma referência a si mesmo. Como o objetivo é fazer um catálogo completo de todos os diretórios que não se mencionam, é óbvio que K1 não é a solução. Ele não menciona um desses diretórios - ele mesmo. Incluindo esta menção de si mesmo no K1, obtemos o catálogo do K2. Ele menciona K1, mas não o próprio K2. Adicionando tal menção ao K2, obtemos o K3, que novamente está incompleto devido ao fato de não mencionar a si mesmo. E assim por diante sem fim.

capítulo abreviado e alterado da obra
"Paradoxos lógicos. Soluções»

Paradoxo de B. Russell "Sobre o cabeleireiro (barbeiro, barbeiro)"

Barbeiro raspado ou novamente sobre o cabeleireiro

No início do século 20, Bertrand Russell descobriu um paradoxo lógico. Ele relatou sobre isso em sua carta ao famoso matemático, filósofo e lógico Gottlob Frege - o fundador da semântica lógica moderna - quando ele "em 1902 já submeteu o segundo volume dos Fundamentos da Aritmética para impressão". A carta "relatou uma contradição formal na justificativa proposta de Frege para a aritmética (paradoxo de Russell), que Frege tentou em vão resolver até o fim de sua vida. No entanto, foi Russell quem trouxe grande fama a Frege, porque na apresentação de Russell (suplemento especial aos Fundamentos da Matemática, 1903) o conceito de Frege tornou-se acessível a um amplo círculo de leitores. Fim da citação http://www.krugosvet.ru/articles/92/1009213/1009213a1.htm).
Não apenas Frege, mas ninguém mais por mais de cem anos até hoje não foi capaz de resolver esse paradoxo lógico. Ninguém além de mim.

"O paradoxo de Russell em sua forma original está associado ao conceito de um conjunto, ou classe" (Ivin A. A. A arte de pensar corretamente. - M.: Educação. - 1998). Nesta forma, a solução está em outro artigo: O paradoxo de Russell - a versão original - sobre conjuntos, Mas o mundo inteiro o conhece em uma formulação diferente. Russell “ofereceu a seguinte versão popular do paradoxo que ele descobriu na teoria matemática dos conjuntos.
Imaginemos que o conselho de uma aldeia defina os deveres do barbeiro dessa aldeia da seguinte forma: barbear todos os homens da aldeia que não se barbeiam, e apenas estes homens. Ele deve se barbear? (Ivin A. A. A arte de pensar corretamente. - M.: Educação. - 1990, pp. 205 - 206, http://www.koob.ru/books/iskusstvo_pravilno_mislit.rar).

Houve muitas distorções do paradoxo, bem como tentativas de resolver essa contradição, mas basicamente todas as soluções se resumiam ao seguinte.
“Se sim (ou seja, o barbeiro deve se barbear - minha inserção), então ele se referirá àqueles que se barbeiam, e aqueles que se barbeiam, ele não deve se barbear. Caso contrário, ele pertencerá àqueles que não se barbeiam e, portanto, ele terá que se barbear. Chegamos assim à conclusão de que este barbeiro se barbeia se e somente se não se barbeia. O que, claro, é impossível.

O argumento sobre o barbeiro é baseado na suposição de que tal barbeiro existe. A contradição resultante significa que essa suposição é falsa e não existe um aldeão que depile todos aqueles e apenas aqueles de seus habitantes que não se barbeiam. Os deveres de um cabeleireiro não parecem contraditórios à primeira vista, então a conclusão de que não pode haver um parece um tanto inesperada. No entanto, esta conclusão não é paradoxal. A condição que o barbeiro da aldeia deve satisfazer é, de fato, autocontraditória e, portanto, impossível. Não pode haver tal cabeleireiro em uma aldeia pela mesma razão que não há ninguém nela que seja mais velho do que ele ou que tenha nascido antes de seu nascimento. A discussão sobre o cabeleireiro pode ser chamada de pseudo-paradoxo." Fim da cotação (ibid.).

DECISÃO

Em 1992, em 19 de dezembro, o jogo de TV “O quê? Onde? Quando?". Com o placar de 2 a 6, como costuma acontecer, surgiu uma situação discutível e até de conflito. E então Vladimir Yakovlevich Voroshilov fez uma pergunta que deveria trazer vitória ou derrota aos especialistas. Era a questão do barbeiro, o paradoxo de Russell. É claro que os especialistas perderam, embora pudessem ter vencido. Porque ele fez uma versão um pouco distorcida da pergunta: “A pergunta é: o barbeiro se barbeia se o barbeiro barbeia todo mundo que não se barbeia?
A resposta dos especialistas: não, ele não se depila. (Crônica / "O quê? Onde? Quando? Centro de Produção IGRA-TV", http://chgk.tvigra.ru/letopis/?19921219#cur). Eles tiveram que responder: “A partir da informação de que um barbeiro barbeia todo mundo que não se barbeia, é impossível concluir se ele se barbeia, se alguém o barbeia ou se ele não se barbeia. Porque não há fundamentos suficientes para tais conclusões.
Mas esse paradoxo me assombrava. Parecia que a resposta estava girando em sua cabeça, você só precisa "agarrar o rabo". E depois de um tempo consegui.

A decisão, como muitas vezes acontece, é simplesmente insana. Toda a discussão em detalhes e com a consideração de opções distorcidas ocupa várias páginas. Darei apenas uma versão abreviada do argumento.

A resposta à questão do paradoxo de Russell é possível se atribuirmos o barbeiro a qualquer classe de homens: "eles se barbeiam" ou "eles não se barbeiam". Mas após uma análise lógica dos possíveis fundamentos para atribuir conjuntos de homens a essas classes, a única conclusão que se segue é que isso é impossível, porque tal fundamento logicamente justificado não existe. Com base nessa conclusão, muitos, incluindo A. A. Ivin, chegaram à conclusão de que o paradoxo é insolúvel, chamando-o de pseudo-paradoxo. Mas então todos os outros paradoxos devem ser “resolvidos” dessa maneira de uma vez por todas. Afinal, ninguém pensa que na realidade pode haver uma situação de conversa entre uma mãe e um crocodilo, um missionário e canibais e outros. Portanto, a negação da suposição lógica não é uma solução. E a solução é:

Se for impossível atribuir um cabeleireiro a qualquer uma das classes "barbeie-se" e "não se barbeie", então ele deve ser incluído na terceira classe - "NÃO RASPE". E então o cabeleireiro não viola nenhuma das condições lógicas, porque elas não se aplicam a essa classe de homens.

Todos os homens da aldeia

A. BARBEAR 1 - eles mesmos, 2- não eles mesmos B. NÃO SE BARBEAR

E agora o barbeiro está destinado a morrer barbudo.

Para uma correta compreensão desta tarefa, foi necessário apenas rearranjar mentalmente a partícula “não” antes do verbo “raspar” para o lugar depois dele. E então apareceria o significado da condição paradoxal do problema, como no papel fotográfico durante a impressão. Afinal, a frase “não se barbeie” imediatamente tomou a forma de uma forma absolutamente simples, não confusa e compreensível para ninguém. A saber - “NÃO se barbeie” significa “NÃO se depile”, ou seja, eles ainda se barbeiam, embora não com as próprias mãos. E assim, surge imediatamente um erro óbvio e grosseiro no raciocínio lógico de todos aqueles que tentaram resolver esse paradoxo. Chamei esse tipo de erro de “conclusão falsa”, quando uma conclusão absolutamente incorreta e até mesmo oposta é feita a partir da conclusão logicamente necessária (“Paradoxos lógicos. Soluções”, capítulo “Erros de raciocínio - conclusão falsa”,). Nesse problema, a “falsa conclusão” é que a frase no raciocínio lógico não deve soar como: “se o barbeiro não deve se barbear, então ele se referirá àqueles que não se barbeiam”, o que é incorreto, mas na forma: "se um barbeiro não deve se barbear, então ele se referirá àqueles que não se barbeiam ou NÃO SE RAPAM."

Depois de resolver o “paradoxo de Russell”, resolvi também outros paradoxos conhecidos aplicando-lhes dois postulados gerais: 1. ao abordar a solução de qualquer problema, é necessária uma compreensão clara do próprio problema em todos os seus detalhes; 2. o conhecimento é um conceito relativo (“Paradoxos lógicos. Formas de solução”, capítulo “Sobre os princípios da solução de paradoxos”,

O mais famoso dos paradoxos descobertos já no século passado é a antinomia descoberta por Bertrand Russell e por ele comunicada em carta a G. Ferge. Russell descobriu seu paradoxo relacionado ao campo da lógica e da matemática em 1902. A mesma antinomia foi discutida simultaneamente em Göttingen pelos matemáticos alemães Z. Zermelo (1871-1953) e D. Hilbert. A ideia estava no ar, e sua publicação deu a impressão de uma bomba explodindo Miroshnichenko P.N. O que destruiu o paradoxo de Russell no sistema de Frege? // Lógica moderna: problemas de teoria, história e aplicação na ciência. - SPb., 2000. - S. 512-514. . Esse paradoxo causou na matemática, segundo Hilbert, o efeito de uma catástrofe completa. Os métodos lógicos mais simples e importantes, os conceitos mais comuns e úteis, estão ameaçados. Descobriu-se que na teoria dos conjuntos de Cantor, que foi entusiasticamente aceita pela maioria dos matemáticos, existem estranhas contradições das quais é impossível, ou pelo menos muito difícil, se livrar. O paradoxo de Russell trouxe à luz essas contradições com particular clareza. Os matemáticos mais destacados daqueles anos trabalharam em sua resolução, bem como na resolução de outros paradoxos encontrados na teoria dos conjuntos de Cantor. Tornou-se imediatamente óbvio que nem na lógica nem na matemática, em toda a longa história de sua existência, havia algo decididamente elaborado que pudesse servir de base para eliminar a antinomia. Claramente, era necessário um afastamento das formas habituais de pensar. Mas de onde e em que direção? Courant R., Robbins G. O que é matemática? - CH. II, § 4.5.

Quão radical deveria ser a rejeição de formas estabelecidas de teorização? Com um estudo mais aprofundado da antinomia, a convicção na necessidade de uma abordagem fundamentalmente nova cresceu constantemente. Meio século depois de sua descoberta, os especialistas nos fundamentos da lógica e da matemática L. Frenkel e I. Bar-Hillel já afirmavam sem reservas: , até agora invariavelmente fracassados, são obviamente insuficientes para esse propósito. O lógico americano moderno H. Curry escreveu um pouco mais tarde sobre esse paradoxo: “Em termos da lógica conhecida no século 19, a situação simplesmente desafiava a explicação, embora, é claro, em nossa era educada possa haver pessoas que vejam (ou pensam que vêem), qual é o erro” Miroshnichenko P.N. O que destruiu o paradoxo de Russell no sistema de Frege? // Lógica moderna: problemas de teoria, história e aplicação na ciência. - SPb., 2000. - S. 512-514 ..

Como é um conjunto, também se pode perguntar se é comum ou incomum. A resposta, no entanto, é desanimadora. Se for ordinário, então, por definição, deve conter a si mesmo como um elemento, pois contém todos os conjuntos ordinários. Mas isso significa que é um conjunto incomum. A suposição de que nosso conjunto é um conjunto comum, portanto, leva a uma contradição. Então não pode ser normal. Por outro lado, também não pode ser incomum: um conjunto incomum contém a si mesmo como um elemento, e os elementos do nosso conjunto são apenas conjuntos comuns. Como resultado, chegamos à conclusão de que o conjunto de todos os conjuntos ordinários não pode ser ordinário nem extraordinário.

Assim, o conjunto de todos os conjuntos que não são elementos próprios é um elemento próprio se e somente se não for tal elemento. Esta é uma clara contradição. E foi obtido com base nas suposições mais plausíveis e com a ajuda de etapas aparentemente indiscutíveis. A contradição diz que tal conjunto simplesmente não existe. Mas por que não pode existir? Afinal, ele consiste em objetos que satisfazem uma condição bem definida, e a condição em si não parece ser de alguma forma excepcional ou obscura. Se um conjunto tão simples e claramente definido não pode existir, então qual é, de fato, a diferença entre conjuntos possíveis e impossíveis? A conclusão de que o conjunto em questão não existe parece inesperada e preocupante. Isso torna nossa noção geral de um conjunto amorfa e caótica, e não há garantia de que não possa dar origem a alguns novos paradoxos.

O paradoxo de Russell é notável por sua extrema generalidade Courant R., Robbins G. O que é matemática? - CH. II, § 4.5. . Para sua construção não são necessários conceitos técnicos complexos, como no caso de alguns outros paradoxos, os conceitos de "conjunto" e "elemento do conjunto" são suficientes. Mas essa simplicidade fala apenas de sua natureza fundamental: toca nos fundamentos mais profundos de nosso raciocínio sobre conjuntos, pois não fala de alguns casos especiais, mas de conjuntos em geral.

Outras variantes do paradoxo O paradoxo de Russell não é especificamente matemático. Ele usa o conceito de conjunto, mas não toca em nenhuma propriedade especial associada especificamente à matemática.

Isso se torna aparente quando o paradoxo é reformulado em termos puramente lógicos. De toda propriedade pode-se, com toda probabilidade, perguntar se ela é aplicável a si mesma ou não. A propriedade de ser quente, por exemplo, não se aplica a si mesma, pois não é ela própria quente; a propriedade de ser concreto também não se refere a si mesma, pois é uma propriedade abstrata. Mas a propriedade de ser abstrato, ser abstrato, é aplicável a si mesmo.

Chamemos essas propriedades de inaplicáveis a si mesmas de inaplicáveis. A propriedade de ser inaplicável a si mesmo se aplica? Acontece que a inaplicabilidade só é inaplicável se não for. Isso é, obviamente, paradoxal. A variedade lógica, relacionada a propriedades, da antinomia de Russell é tão paradoxal quanto a variedade matemática relacionada a conjuntos.

Russell também propôs a seguinte versão popular do paradoxo descoberto por ele Katrechko S.L. O paradoxo do barbeiro de Russell e a dialética de Platão-Aristóteles // Lógica moderna: problemas de teoria, história e aplicação na ciência. - SPb., 2002. - S. 239-242 .. Imaginemos que o conselho de uma aldeia definiu as funções do barbeiro desta forma: barbear todos os homens da aldeia que não se barbeiam, e apenas estes homens. Ele deve se barbear? Se sim, se referirá àqueles que se barbeiam, e àqueles que se barbeiam, ele não deve se barbear. Caso contrário, ele pertencerá aos que não se barbeiam e, portanto, terá que se barbear. Chegamos assim à conclusão de que este barbeiro se barbeia se e somente se não se barbeia. Isso, claro, é impossível.

O argumento sobre o barbeiro é baseado na suposição de que tal barbeiro existe. A contradição resultante significa que essa suposição é falsa, e não existe um aldeão que barbeie todos aqueles e apenas aqueles aldeões que não se barbem. Os deveres de um barbeiro não parecem contraditórios à primeira vista, então a conclusão de que não pode haver um parece um tanto inesperada. No entanto, esta conclusão não é paradoxal. A condição que o barbeiro da aldeia deve satisfazer é, de fato, autocontraditória e, portanto, impossível. Não pode haver tal cabeleireiro na aldeia pela mesma razão que não há ninguém que seja mais velho do que ele ou que tenha nascido antes de seu nascimento Miroshnichenko P.N. O que destruiu o paradoxo de Russell no sistema de Frege? // Lógica moderna: problemas de teoria, história e aplicação na ciência. - SPb., 2000. - S. 512-514 ..

O argumento sobre o barbeiro pode ser chamado de pseudo-paradoxo. Em seu curso, é estritamente análogo ao paradoxo de Russell, e é isso que o torna interessante. Mas ainda não é um verdadeiro paradoxo.

Outro exemplo do mesmo pseudo-paradoxo é o conhecido argumento do catálogo. Uma determinada biblioteca decidiu compilar um catálogo bibliográfico que incluísse todos aqueles e somente aqueles catálogos bibliográficos que não continham referências a si mesmos. Esse diretório deve incluir um link para si mesmo? É fácil mostrar que a ideia de criar tal catálogo não é viável; ele simplesmente não pode existir, porque deve incluir simultaneamente uma referência a si mesmo e não incluir.

É interessante notar que catalogar todos os diretórios que não contêm referências a si mesmos pode ser pensado como um processo sem fim e sem fim. Digamos que em algum momento um diretório, digamos K1, foi compilado, incluindo todos os outros diretórios que não contêm referências a si mesmos. Com a criação do K1, apareceu outro diretório que não contém um link para si mesmo. Como o objetivo é fazer um catálogo completo de todos os diretórios que não se mencionam, é óbvio que K1 não é a solução. Ele não menciona um desses diretórios - ele mesmo. Incluindo esta menção de si mesmo no K1, obtemos o catálogo do K2. Ele menciona K1, mas não o próprio K2. Adicionando tal menção ao K2, obtemos KZ, que novamente não está completo devido ao fato de não mencionar a si mesmo. E sem fim.

Mais um paradoxo lógico pode ser mencionado - o paradoxo dos prefeitos holandeses, semelhante ao paradoxo do barbeiro. Cada município na Holanda deve ter um prefeito e dois municípios diferentes não podem ter o mesmo prefeito. Às vezes acontece que o prefeito não mora em seu município. Suponhamos que seja aprovada uma lei pela qual algum território S seja alocado exclusivamente para esses prefeitos que não residem em seus municípios, e orientando todos esses prefeitos a se instalarem nesse território. Suponha ainda que haja tantos desses prefeitos que o próprio território S forme um município separado. Onde deve residir o prefeito deste Município Especial S? O raciocínio simples mostra que se o prefeito de um Município Especial mora no território S, então ele não deve morar lá, e vice-versa, se ele não mora no território, então ele deve morar nesse território. Que este paradoxo é análogo ao paradoxo do barbeiro é bastante óbvio.

Russell foi um dos primeiros a propor uma solução para o “seu” paradoxo. A solução que ele propôs foi chamada de "teoria dos tipos": um conjunto (classe) e seus elementos pertencem a diferentes tipos lógicos, o tipo de um conjunto é superior ao tipo de seus elementos, o que elimina o paradoxo de Russell (a teoria dos tipos também foi usada por Russell para resolver o famoso paradoxo do "mentiroso"). Muitos matemáticos, no entanto, não aceitaram a solução de Russell, acreditando que ela impõe restrições muito severas às declarações matemáticas de Katrechko S.L. O paradoxo do barbeiro de Russell e a dialética de Platão-Aristóteles // Lógica moderna: problemas de teoria, história e aplicação na ciência. - São Petersburgo, 2002. - S. 239-242 ..

A situação é semelhante com outros paradoxos lógicos. “As antinomias da lógica”, escreve von Wright, “nos intrigaram desde sua descoberta e provavelmente sempre nos confundirão. Devemos, penso eu, considerá-los não tanto como problemas à espera de solução, mas como matéria-prima inesgotável para o pensamento. Eles são importantes porque pensar sobre eles toca as questões mais fundamentais de toda lógica e, portanto, de todo pensamento” Wrigt G.Kh. fundo. Lógica e filosofia no século XX // Vopr. filosofia. 1992. Nº 8..

Paradoxo de Russell (A antinomia de Russell, Além disso Paradoxo de Russell-Zermelo) - um paradoxo da teoria dos conjuntos (antinomia) descoberto em 1901 por Bertrand Russell, demonstrando a inconsistência do sistema lógico de Frege, que foi uma tentativa inicial de formalizar a teoria dos conjuntos ingênua de Georg Cantor. Descoberto anteriormente, mas não publicado por Ernst Zermelo.

Em linguagem informal, o paradoxo pode ser descrito da seguinte forma. Vamos concordar em chamar um conjunto de "ordinário" se não for seu próprio elemento. Por exemplo, o conjunto de todas as pessoas é "comum", pois o conjunto em si não é uma pessoa. Um exemplo de conjunto "incomum" é o conjunto de todos conjuntos, pois ele próprio é um conjunto e, portanto, é um elemento próprio.

Pode-se considerar um conjunto consistindo apenas de todos os conjuntos "ordinários", tal conjunto é chamado conjunto Russell . Um paradoxo surge ao tentar determinar se esse conjunto é "ordinário" ou não, ou seja, se ele se contém como elemento. Existem duas possibilidades.

Por um lado, se é "ordinário", deve incluir-se como elemento, pois por definição consiste em todos os conjuntos "comuns". Mas então não pode ser "ordinário", pois conjuntos "comuns" são aqueles que não se incluem.
Resta supor que este conjunto é "incomum". No entanto, ele não pode se incluir como elemento, pois por definição deve consistir apenas em conjuntos "comuns". Mas se não se inclui como elemento, então é um conjunto "comum".

Em qualquer caso, resulta uma contradição.

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Legendas

Formulação do paradoxo

O paradoxo de Russell pode ser formulado na teoria dos conjuntos ingênua. Portanto, a teoria dos conjuntos ingênua é inconsistente. Um fragmento contraditório da teoria dos conjuntos ingênua, que pode ser definida como uma teoria de primeira ordem com uma relação de associação binária ∈ (\displaystyle \in ) e esquema de seleção: para cada fórmula lógica com uma variável livre na teoria dos conjuntos ingênua existe um axioma

∃ y ∀ x (x ∈ y ⟺ P (x)) (\displaystyle \exists y\forall x(x\in y\iff P(x)))).

Este esquema de axiomas diz que para qualquer condição P (x) (\estilo de exibição P(x)) Há muitos y , (\displaystyle y,) composto por aqueles x , (\displaystyle x,) que satisfaz a condição P (x) (\estilo de exibição P(x)) .

Isso é suficiente para formular o paradoxo de Russell da seguinte forma. Deixe ser P (x) (\estilo de exibição P(x)) existe uma fórmula x ∉ x . (\displaystyle x\notin x.)(isto é, P (x) (\estilo de exibição P(x)) significa que muitos x (\displaystyle x) não se contém como um elemento, ou, em nossa terminologia, é um conjunto "comum".) Então, pelo axioma da seleção, há um conjunto y (\displaystyle y)(conjunto de Russell) tal que

∀ x (x ∈ y ⟺ x ∉ x) (\displaystyle \forall x(x\in y\iff x\notin x)).

Como isso é verdade para qualquer x , (\displaystyle x,) isso também é verdade para x = y. (\displaystyle x=y.) Ou seja

y ∈ y ⟺ y ∉ y . (\displaystyle y\in y\iff y\notin y.)

Segue-se disso que uma contradição é deduzida na teoria dos conjuntos ingênua.

O paradoxo não surgiria se assumissemos que o conjunto de Russell não existe. No entanto, essa suposição em si é paradoxal: na teoria dos conjuntos de Cantor, acredita-se que qualquer propriedade determina o conjunto de elementos que satisfazem essa propriedade. Como a propriedade de um conjunto ser "ordinário" parece bem definida, deve haver um conjunto de todos os conjuntos "comuns". Essa teoria agora é chamada de teoria dos conjuntos ingênua .

Versões populares do paradoxo

Existem várias versões do paradoxo de Russell. Ao contrário do próprio paradoxo, eles, via de regra, não podem ser expressos em uma linguagem formal.

Paradoxo do mentiroso

O paradoxo de Russell está relacionado ao paradoxo do mentiroso conhecido desde a antiguidade, que é a seguinte questão. Dada uma declaração:

Esta afirmação é falsa.

Essa afirmação é verdadeira ou não? É fácil mostrar que esta afirmação não pode ser nem verdadeira nem falsa.

Russell escreveu sobre esse paradoxo:

O próprio Russell explicou o paradoxo do mentiroso dessa maneira. Para dizer algo sobre enunciados, é preciso primeiro definir o próprio conceito de "enunciado", sem usar conceitos ainda não definidos. Assim, podem ser definidas declarações do primeiro tipo que não dizem nada sobre declarações. Então pode-se definir declarações do segundo tipo que falam de declarações do primeiro tipo, e assim por diante. A afirmação "esta afirmação é falsa" não se enquadra em nenhuma dessas definições e, portanto, não faz sentido.

O paradoxo do barbeiro

Russell menciona a seguinte versão do paradoxo, formulada como um enigma que alguém lhe sugeriu.

Deixe um barbeiro viver em uma certa aldeia, que barbeia todos os habitantes da aldeia que não se barbeiam, e apenas eles. O barbeiro se barbeia sozinho?

Qualquer resposta leva a uma contradição. Russell observa que esse paradoxo não é equivalente ao seu paradoxo e é facilmente resolvido. De fato, assim como o paradoxo de Russell mostra que não existe um conjunto de Russell, o paradoxo do barbeiro mostra que tal barbeiro não existe. A diferença é que não há nada de surpreendente na inexistência de tal barbeiro: não para qualquer propriedade existe um barbeiro que barbeia pessoas com essa propriedade. No entanto, o fato de não haver um conjunto de elementos dado por alguma propriedade bem definida contraria a ideia ingênua de conjuntos e requer explicação.

Opção sobre diretórios

A redação mais próxima do paradoxo de Russell é a seguinte versão de sua apresentação:

Catálogos bibliográficos são livros que descrevem outros livros. Alguns diretórios podem descrever outros diretórios. Alguns diretórios podem até descrever a si mesmos. É possível catalogar todos os catálogos que não se descrevem?

Um paradoxo surge ao tentar decidir se esse diretório deve se descrever. Apesar da aparente proximidade das formulações (este é, na verdade, o paradoxo de Russell, em que catálogos são usados em vez de conjuntos), esse paradoxo, como o paradoxo do barbeiro, é resolvido simplesmente: tal catálogo não pode ser compilado.

Paradoxo de Grelling-Nelson

Este paradoxo foi formulado por matemáticos alemães Kurt Grelling e Leonard Nelson em 1908. Na verdade, é uma tradução da versão original do paradoxo de Russell, declarada por ele em termos de lógica de predicados (ver carta a Frege), em linguagem não matemática.

Vamos chamar o adjetivo reflexivo se este adjetivo tem a propriedade definida por este adjetivo. Por exemplo, os adjetivos "russo", "polissilábico" - têm as propriedades que eles definem (o adjetivo "russo" é russo e o adjetivo "polissilábico" é polissilábico), então eles são reflexivos, e os adjetivos "alemão", "monossílabos" - são não reflexivo. O adjetivo "não reflexivo" será reflexivo ou não?

Qualquer resposta leva a uma contradição. Ao contrário do paradoxo do barbeiro, a solução para esse paradoxo não é tão simples. Não se pode simplesmente dizer que tal adjetivo ("não-reflexivo") não existe, pois acabamos de defini-lo. O paradoxo surge do fato de que a definição do termo "não-reflexivo" é incorreta em si mesma. A definição deste termo depende valores o adjetivo a que se aplica. E como a palavra "não-reflexivo" é em si um adjetivo na definição, segue-se um círculo vicioso.

História

Russell provavelmente descobriu seu paradoxo em maio ou junho de 1901. Segundo o próprio Russell, ele estava tentando encontrar um erro na prova de Cantor do fato paradoxal (conhecido como Paradoxo de Cantor) de que não há número cardinal máximo (ou conjunto de todos os conjuntos). Como resultado, Russell obteve um paradoxo mais simples. Russell comunicou seu paradoxo a outros lógicos, notadamente Whitehead e Peano. Em sua carta a Frege em 16 de junho de 1902, ele escreveu que havia encontrado uma contradição em " Cálculo de Conceitos” - um livro de Frege, publicado em 1879. Ele expôs seu paradoxo em termos de lógica e depois em termos de teoria dos conjuntos, usando a definição de função de Frege:

Eu experimentei dificuldades em apenas um lugar. Você afirma (p. 17) que uma função pode agir como uma incógnita. Eu costumava pensar assim também. Mas agora essa visão me parece duvidosa por causa da seguinte contradição. Deixe ser W predicado: "ser um predicado que não pode ser aplicado a si mesmo." lata W ser aplicável a si mesmo? Qualquer resposta implica o contrário. Portanto, devemos concluir que W não é um predicado. Da mesma forma, não há classe (como um todo) daquelas classes que, tomadas como um todo, não pertencem a si mesmas. Disso concluo que às vezes um determinado conjunto não forma uma formação holística.

Texto original (alemão)
Nur in einem Punkte ist mir eine Schwierigkeit begegnet. Sie behaupten (S. 17) es könne auch die Funktion das unbestimmte Element bilden. Dies habe ich früher geglaubt, jedoch jetzt scheint mir diese Ansicht zweifelhaft, wegen des folgenden Widerspruchs: Sei w das Prädicat, ein Prädicat zu sein welches von sich selbst nicht prädicirt werden kann. Kann man w von sich selbst prädiciren? Aus jeder Antwort folgt das Gegentheil. Deshalb muss man schließen dass w kein Prädicat ist. Ebenso giebt es keine Klasse (als Ganzes) derjenigen Klassen die als Ganze sich selber nicht angehören. Daraus schliesse ich dass unter gewissen Umständen eine definierbare Menge kein Ganzes bildet .

Frege recebeu a carta no momento em que terminava de trabalhar no segundo volume de As Leis Fundamentais da Aritmética (alemão: Grundgesetze der Arithmetik). Frege não teve tempo de corrigir sua teoria dos conjuntos. Ele apenas acrescentou um apêndice ao segundo volume com uma exposição e sua análise do paradoxo, que começou com a famosa observação:

É improvável que algo pior possa acontecer a um cientista do que se o chão for arrancado de seus pés no exato momento em que ele completa seu trabalho. Foi nessa posição que me encontrei quando recebi uma carta de Bertrand Russell, quando meu trabalho já estava concluído.

Texto original (alemão)
Einem wissenschaftlichen Schriftsteller kann kaum etwas Unerwünschteres begegnen, também daß ihm nach Vollendung einer Arbeit eine der Grundlagen seines Baues erschüttert wird. In diese Lage wurde ich durch einen Brief des Herrn Bertrand Russell versetzt, als der Druck dieses Bandes sich seinem Ende näherte .

z ∈ ( x: P (x) ) ⟺ P (z) (\displaystyle z\in \(x\colon P(x)\)\iff P(z)),

que dizia que é possível construir um conjunto de elementos que satisfaçam a propriedade P (x), (\displaystyle P(x),) ele sugeriu usar o seguinte axioma:

z ∈ ( x: P (x) ) ⟺ P (z) & z ≠ ( x: P (x) ) (\displaystyle z\in \(x\colon P(x)\)\iff P(z)\ \&\ z\neq \(x\colon P(x)\)),

eliminando assim a possibilidade de um conjunto ser um membro de si mesmo. No entanto, um pequeno [ que?] modificação do paradoxo de Russell prova que este axioma também leva a uma contradição.

Russell publicou seu paradoxo em seu livro " Princípios da Matemática" em 1903 .

Abaixo estão algumas das abordagens possíveis para a construção de um sistema de axiomas livre dos paradoxos de Russell.

A teoria dos tipos de Russell

O próprio Russell foi o primeiro a propor uma teoria livre do paradoxo de Russell. Ele desenvolveu uma teoria dos tipos, cuja primeira versão apareceu no livro de Russell e Whitehead Princípios da Matemática" em 1903 . Essa teoria é baseada na seguinte ideia: objetos simples nesta teoria têm tipo 0, conjuntos de objetos simples têm tipo 1, conjuntos de conjuntos de objetos simples têm tipo 2 e assim por diante. Assim, nenhum conjunto pode ter a si mesmo como elemento. Nem o conjunto de todos os conjuntos nem o conjunto de Russell podem ser definidos nesta teoria. Uma hierarquia semelhante é introduzida para instruções e propriedades. Proposições sobre objetos simples pertencem ao tipo 1, proposições sobre as propriedades de proposições do tipo 1 pertencem ao tipo 2 e assim por diante. Em geral, uma função, por definição, é de um tipo superior às variáveis das quais depende. Essa abordagem permite que você se livre não apenas do paradoxo de Russell, mas também de muitos outros paradoxos, incluindo o paradoxo do mentiroso (), o paradoxo de Grelling-Nelson, o paradoxo de Burali-Forti. Russell e Whitehead mostraram como reduzir toda a matemática aos axiomas da teoria dos tipos em seus três volumes Principia Mathematica, publicados em 1910-1913.

No entanto, esta abordagem encontrou dificuldades. Em particular, surgem problemas na definição de conceitos como o melhor limite superior para conjuntos de números reais. Por definição, um limite superior mínimo é o menor de todos os limites superiores. Portanto, ao determinar o menor limite superior, o conjunto de números reais é usado. Portanto, o menor limite superior é um objeto de tipo superior aos números reais. Isso significa que ele próprio não é um número real. Para evitar isso, foi necessário introduzir o chamado axioma da redutibilidade. Por causa de sua arbitrariedade, muitos matemáticos se recusaram a aceitar o axioma da redutibilidade, e o próprio Russell o chamou de defeito em sua teoria. Além disso, a teoria acabou por ser muito complexa. Como resultado, não recebeu ampla aplicação.

Teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel

A abordagem mais conhecida para a axiomatização da matemática é a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF), que se originou como uma extensão da As teorias de Zermelo(1908). Ao contrário de Russell, Zermelo manteve os princípios lógicos e mudou apenas os axiomas da teoria dos conjuntos. A ideia dessa abordagem é que é permitido usar apenas conjuntos construídos a partir de conjuntos já construídos usando um determinado conjunto de axiomas. Por exemplo, um dos axiomas de Zermelo diz que é possível construir um conjunto de todos subconjuntos de um determinado conjunto (o axioma booleano). Outro axioma ( esquema de seleção) diz que de cada conjunto é possível selecionar um subconjunto de elementos que possuem determinada propriedade. Esta é a principal diferença entre a teoria dos conjuntos de Zermelo e a teoria dos conjuntos ingênuos: na teoria dos conjuntos ingênuos, você pode considerar o conjunto de todos os elementos que possuem uma determinada propriedade, e na teoria dos conjuntos de Zermelo, você só pode selecionar um subconjunto de um conjunto já construído . Na teoria dos conjuntos de Zermelo, é impossível construir um conjunto de todos os conjuntos. Assim, o conjunto de Russell também não pode ser construído ali.

Aulas

Às vezes, em matemática, é útil considerar todos os conjuntos como um todo, por exemplo, considerar a totalidade de todos os grupos. Para isso, a teoria dos conjuntos pode ser estendida pela noção de classe , como, por exemplo, no sistema Neumann- Bernays- Gödel (NBG). Nesta teoria, a coleção de todos os conjuntos é aula. No entanto, esta classe não é um conjunto e não é membro de nenhuma classe, evitando assim o paradoxo de Russell.

Um sistema mais forte que permite tomar quantificadores sobre classes, e não apenas sobre conjuntos, é, por exemplo, Teoria dos conjuntos de Morse - Kelly(MK) . Nesta teoria, o conceito principal é o conceito aula, mas não conjuntos. Conjuntos nesta teoria são considerados tais classes que são elementos de algumas classes. Nesta teoria, a fórmula z ∈ ( x: P (x) ) (\displaystyle z\in \(x\colon P(x)\))é considerado equivalente à fórmula

P (z) & ∃ y . z ∈ y (\displaystyle P(z)\ \&\ \exists y.z\in y).

Como ∃ e. z ∈ y (\displaystyle \exists y.z\in y) nesta teoria significa que a classe z (\displaystyle z)é um muitos, esta fórmula deve ser entendida como ( x: P (x) ) (\displaystyle \(x\colon P(x)\))é a classe de todos conjuntos(não aulas) z (\displaystyle z), de tal modo que P (z) (\displaystyle P(z)). O paradoxo de Russell nesta teoria é resolvido pelo fato de que nem toda classe é um conjunto.

Pode-se ir além e considerar coleções de classes - conglomerados, coleções de conglomerados e assim por diante.

Impacto na matemática

Axiomatização da matemática

O paradoxo de Russell, juntamente com outras antinomias matemáticas descobertas no início do século XX, estimulou uma revisão dos fundamentos da matemática, que resultou na construção de teorias axiomáticas para justificar a matemática, algumas das quais já mencionadas.

Em todas as novas teorias axiomáticas construídas, os paradoxos conhecidos em meados do século XX (incluindo o paradoxo de Russell) foram eliminados. No entanto, para provar que novos paradoxos semelhantes não podem ser descobertos no futuro (este é o problema da consistência das teorias axiomáticas construídas), acabou, na compreensão moderna deste problema, é impossível (ver teoremas de Gödel sobre incompletude) .

intuicionismo

Paralelamente, surgiu uma nova tendência na matemática, chamada intuicionismo, cujo fundador é L. E. Ya. Brouwer. O intuicionismo surgiu independentemente do paradoxo de Russell e de outras antinomias. No entanto, a descoberta de antinomias na teoria dos conjuntos aumentou a desconfiança dos intuicionistas em relação aos princípios lógicos e acelerou a formação do intuicionismo. A principal tese do intuicionismo diz que para provar a existência de algum objeto é necessário apresentar um método para sua construção. Os intuicionistas rejeitam conceitos abstratos como o conjunto de todos os conjuntos. O intuicionismo nega a lei do terceiro excluído, no entanto, deve-se notar que a lei do terceiro excluído não é necessária para derivar uma contradição da antinomia de Russell ou de qualquer outra (em qualquer antinomia está provado que A (\estilo de exibição A) implica negação A (\estilo de exibição A) e negação A (\estilo de exibição A) implica A , (\displaystyle A,) no entanto, de (A ⇒ ¬ A) & (¬ A ⇒ A) (\displaystyle (A\Rightarrow \neg A)\&(\neg A\Rightarrow A)) mesmo na lógica intuicionista segue-se uma contradição). Também vale a pena notar que em axiomatizações posteriores da matemática intuicionista foram encontrados paradoxos semelhantes aos de Russell, como, por exemplo, Paradoxo de Girard na redação original Martin Loef.

Argumento diagonal (auto-aplicabilidade)

Apesar do raciocínio de Russell levar a um paradoxo, a ideia principal desse raciocínio é frequentemente usada na prova de teoremas matemáticos. Como mencionado acima, Russell obteve seu paradoxo analisando a prova de Cantor da inexistência do maior número cardinal. Este fato contradiz a existência de um conjunto de todos os conjuntos, pois sua cardinalidade deve ser máxima. No entanto, de acordo com o teorema de Cantor, o conjunto de todos os subconjuntos de um determinado conjunto tem uma cardinalidade maior do que o próprio conjunto. A prova deste fato baseia-se no seguinte argumento diagonal?!:

Seja uma correspondência biunívoca, que para cada elemento x (\displaystyle x) conjuntos X (\displaystyle X) corresponde a um subconjunto s x (\displaystyle s_(x)) conjuntos x. (\displaystyle X.) Deixe ser d (\displaystyle d) será um conjunto de elementos x (\displaystyle x) de tal modo que x ∈ s x (\estilo de exibição x\in s_(x)) (conjunto diagonal). Então o complemento deste conjunto s = d ¯ (\displaystyle s=(\overline (d))) não pode ser um dos sx. (\displaystyle s_(x).) Portanto, a correspondência não era de um para um.

Cantor usou o argumento diagonal para provar a incontabilidade dos números reais em 1891. (Esta não é sua primeira prova da incontável dos números reais, mas a mais simples).

Paradoxos relacionados

A auto-aplicabilidade é usada em muitos paradoxos além dos discutidos acima:

O paradoxo da onipotência é uma questão medieval: "Pode um deus todo-poderoso criar uma pedra que ele mesmo não possa levantar?"
O paradoxo Burali-Forti (1897) é um análogo do paradoxo Cantor para números ordinais.
O paradoxo de Mirimanov (1917) é uma generalização do paradoxo de Burali-Forti para a classe de todas as classes bem fundamentadas.
O paradoxo de Richard (1905) é um paradoxo semântico que mostra a importância de separar a linguagem da matemática e da metamatemática.
O paradoxo de Berry (1906) é uma versão simplificada do paradoxo de Richard publicada por Russell.
Paradoxo de Kleene-Rosser(1935) - formulação do paradoxo de Richard em termos do λ-cálculo.
O paradoxo de Curry (1941) é uma simplificação do paradoxo de Kleene-Rosser.
Paradoxo de Girard(1972) - formulação do paradoxo Burali-Forti em termos de teoria do tipo intuicionista .
é um paradoxo semi-brincando que lembra o paradoxo de Berry.

Notas

Godhard Link (2004) Um cem anos do paradoxo de Russell , com. 350, ISBN 9783110174380 , .
A antinomia de Russell // Dicionário de Lógica. Ivin A. A., Nikiforov A. L.- M.: Tumanit, VLADOS, 1997. - 384 p. - ISBN 5-691-00099-3.
Andrew David Irvine, Harry Deutsch. Russell "s Paradox // The Stanford Encyclopedia of Philosophy / Edward N. Zalta. - 2014-01-01.
Antinomia- artigo da Enciclopédia Matemática. A. G. Dragalin
A. S. Gerasimov. Curso matemática lógica e teoria computabilidade. - Terceira edição, revista e ampliada. - São Petersburgo: LEMA, 2011. - S. 124-126. - 284 p.

Na maioria em geral forma de paradoxo Bertrand Russel parece com isso:

Seja M o conjunto de todos os conjuntos que não contêm a si mesmos como seu elemento. Pergunta: M contém a si mesmo como um elemento?

Se a resposta for "sim", então, pela definição de M, não deve ser um elemento de M, e temos uma contradição.

Se a resposta for "não" - então, pela definição de M, deve ser um elemento de M - novamente uma contradição ...

“Qual é a essência da contradição? Uma classe às vezes é e às vezes não é um membro de si mesma. " Aula colheres de chá, por exemplo, não é outra colher de chá, mas classes de coisas que não são colheres de chá são algumas das coisas que não são colheres de chá."

O paradoxo de Russell está relacionado ao uso da noção de uma classe de todas as classes próprias. "Own" é uma classe que não se contém como seu membro. "Impróprio" é uma classe que deveria conter a si mesma como seu membro. Supõe-se que esta é a classe de todas as classes. No que diz respeito à classe de todas as classes próprias (a "classe Russell"), surge a questão: o que é - própria ou imprópria? Se assumirmos que é próprio, ele deve ser atribuído a classes não próprias e vice-versa.

De uma forma meio jocosa, Russell apresenta esse paradoxo através do chamado paradoxo do "Barber" em Uma Introdução à Filosofia da Matemática (1919). O barbeiro da aldeia deve barbear todos aqueles e somente os habitantes de sua aldeia que não se barbeiam. Ele deve se barbear? Se ele se barbeia, então ele se barbeia e não tem o direito de se barbear. Mas se ele não se barbear, ele tem o direito de se barbear. Dessa forma, pode-se também demonstrar a paradoxalidade do "conjunto de todos os conjuntos que não são elementos próprios". Deve-se notar que o “Barbeiro” não é um “puro paradoxo”, porque apenas se segue que tal cabeleireiro não pode existir, ou seja, “em princípio, nenhuma definição inequívoca e consistente pode ser encontrada para este conjunto contendo elementos definidos apenas em termos desta totalidade, bem como elementos que incluem ou implicam esta totalidade. O paradoxo é eliminado pela conclusão de que se algumas premissas dão origem a uma contradição, então elas estão erradas.

A antinomia de Russell desempenhou um papel importante no desenvolvimento dos fundamentos da matemática. Ela minou os fundamentos da teoria dos conjuntos, a própria lógica nova, tornou-se um verdadeiro desastre e o colapso das esperanças daqueles que lidaram com os problemas de fundamentar a matemática e a lógica na virada dos séculos XIX-XX.

Russell em 1903 não admitiu abertamente que havia descoberto a solução para o paradoxo. No "Prefácio" de "Princípios de Matemática", ele observou que a única justificativa para a publicação de um trabalho que tinha uma série de questões não resolvidas era que esse estudo permitia penetrar mais profundamente na natureza das aulas. Russell propôs uma teoria de tipos simples como uma possível solução no "Apêndice B" deste artigo. No futuro, ele chega à conclusão de que é essa teoria, desenvolvida em um sistema, que permite eliminar o paradoxo.

Kolesnikov A.S., Filosofia de Bertrand Russell, L., Leningrad University Press, 1991, p. 84-85.

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