Consideremos primeiro o caso de uma função de duas variáveis. O extremo condicional da função $z=f(x,y)$ no ponto $M_0(x_0;y_0)$ é o extremo desta função, alcançado sob a condição de que as variáveis $x$ e $y$ no vizinhança deste ponto satisfaz a equação de restrição $\varphi(x,y)=0$.
O nome de extremo "condicional" se deve ao fato de que a condição adicional $\varphi(x,y)=0$ é imposta às variáveis. Se for possível expressar uma variável em termos de outra a partir da equação de conexão, então o problema de determinar o extremo condicional é reduzido ao problema do extremo usual de uma função de uma variável. Por exemplo, se $y=\psi(x)$ segue da equação de restrição, então substituindo $y=\psi(x)$ em $z=f(x,y)$, obtemos uma função de uma variável $ z=f\esquerda (x,\psi(x)\direita)$. No caso geral, no entanto, este método é de pouca utilidade, portanto, um novo algoritmo é necessário.
Método dos multiplicadores de Lagrange para funções de duas variáveis.
O método dos multiplicadores de Lagrange é que para encontrar o extremo condicional, a função de Lagrange é composta: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (o parâmetro $\lambda $ é chamado de multiplicador de Lagrange). As condições extremas necessárias são dadas por um sistema de equações a partir do qual os pontos estacionários são determinados:
$$ \left \( \begin(alinhado) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\end(alinhado)\right.$$
O sinal $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$. Se em um ponto estacionário $d^2F > 0$, então a função $z=f(x,y)$ tem um mínimo condicional neste ponto, mas se $d^2F< 0$, то условный максимум.
Existe outra maneira de determinar a natureza do extremo. Da equação de restrição temos: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^()"))( \varphi_ (y)^("))dx$, então em qualquer ponto estacionário temos:
$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "") dx^2+2F_(xy)^("") dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^()))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^())^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^())^2 F_(yy)^ ("")\direito)$$
O segundo fator (localizado entre colchetes) pode ser representado desta forma:
Elementos do $\left| \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (array) \right|$ que é o Hessiano da função de Lagrange. Se $H > 0$ então $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >$ 0, ou seja, temos um mínimo condicional da função $z=f(x,y)$.
Observe a forma do determinante $H$. aparecer esconder
$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^() & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end(array) \right| $$
Nesta situação, a regra formulada acima muda da seguinte forma: se $H > 0$, então a função tem um mínimo condicional, e para $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.
Algoritmo para estudar uma função de duas variáveis para um extremo condicional
- Componha a função Lagrange $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
- Resolva o sistema $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi(x,y)=0.\end(alinhado)\right.$
- Determine a natureza do extremo em cada um dos pontos estacionários encontrados no parágrafo anterior. Para fazer isso, use qualquer um dos seguintes métodos:
- Componha o determinante $H$ e descubra seu sinal
- Levando em conta a equação de restrição, calcule o sinal de $d^2F$
Método multiplicador de Lagrange para funções de n variáveis
Suponha que tenhamos uma função de $n$ variáveis $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ e $m$ equações de restrição ($n > m$):
$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$
Denotando os multiplicadores de Lagrange como $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, compomos a função Lagrange:
$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$
As condições necessárias para a presença de um extremo condicional são dadas por um sistema de equações a partir do qual são encontradas as coordenadas dos pontos estacionários e os valores dos multiplicadores de Lagrange:
$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$
É possível descobrir se uma função tem um mínimo condicional ou um máximo condicional no ponto encontrado, como antes, usando o sinal $d^2F$. Se no ponto encontrado $d^2F > 0$, então a função tem um mínimo condicional, mas se $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:
Determinante da matriz $\left| \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F) )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$ destacado em vermelho na matriz $L$ é o Hessiano da função Lagrange. Usamos a seguinte regra:
- Se os sinais dos cantos menores forem $H_(2m+1),\; As matrizes H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ $L$ coincidem com o sinal de $(-1)^m$, então o ponto estacionário em estudo é o ponto mínimo condicional da função $ z=f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
- Se os sinais dos cantos menores forem $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ alternam, e o sinal do menor $H_(2m+1)$ coincide com o sinal do número $(-1)^(m+1 )$, então o ponto estacionário estudado é o ponto máximo condicional da função $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.
Exemplo 1
Encontre o extremo condicional da função $z(x,y)=x+3y$ sob a condição $x^2+y^2=10$.
A interpretação geométrica deste problema é a seguinte: é necessário encontrar o maior e o menor valor da aplicação do plano $z=x+3y$ para os pontos de sua interseção com o cilindro $x^2+y^2 =10$.
É um pouco difícil expressar uma variável em termos de outra a partir da equação de restrição e substituí-la na função $z(x,y)=x+3y$, então usaremos o método de Lagrange.
Denotando $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, compomos a função Lagrange:
$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\partial x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$
Vamos escrever o sistema de equações para determinar os pontos estacionários da função de Lagrange:
$$ \left \( \begin(aligned) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (alinhado)\direita.$$
Se assumirmos $\lambda=0$, então a primeira equação se torna: $1=0$. A contradição resultante diz que $\lambda\neq 0$. Sob a condição $\lambda\neq 0$, da primeira e segunda equações temos: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Substituindo os valores obtidos na terceira equação, obtemos:
$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(alinhado) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(alinhado) \right.\\ \begin(alinhado) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(alinhado) $$
Assim, o sistema tem duas soluções: $x_1=1;\; s_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ e $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Vamos descobrir a natureza do extremo em cada ponto estacionário: $M_1(1;3)$ e $M_2(-1;-3)$. Para fazer isso, calculamos o determinante $H$ em cada um dos pontos.
$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(aa)^("")=2\lambda.\\ H=\esquerda| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^() & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \esquerda| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$
No ponto $M_1(1;3)$ temos: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, então no ponto $M_1(1;3)$ a função $z(x,y)=x+3y$ tem um máximo condicional, $z_(\max)=z(1;3)=10$.
Da mesma forma, no ponto $M_2(-1;-3)$ encontramos: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. Desde $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.
Observo que em vez de calcular o valor do determinante $H$ em cada ponto, é muito mais conveniente abri-lo de maneira geral. Para não sobrecarregar o texto com detalhes, ocultarei esse método em uma nota.
Notação determinante $H$ na forma geral. aparecer esconder
$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$
Em princípio, já é óbvio qual sinal $H$ possui. Como nenhum dos pontos $M_1$ ou $M_2$ coincide com a origem, então $y^2+x^2>0$. Portanto, o sinal de $H$ é oposto ao sinal de $\lambda$. Você também pode fazer os cálculos:
$$ \begin(alinhado) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(alinhado) $$
A questão sobre a natureza do extremo nos pontos estacionários $M_1(1;3)$ e $M_2(-1;-3)$ pode ser resolvida sem usar o determinante $H$. Encontre o sinal de $d^2F$ em cada ponto estacionário:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\right) $$
Observo que a notação $dx^2$ significa exatamente $dx$ elevado à segunda potência, ou seja $\esquerda(dx\direita)^2$. Portanto, temos: $dx^2+dy^2>0$, então para $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ temos $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.
Responda: no ponto $(-1;-3)$ a função tem um mínimo condicional, $z_(\min)=-10$. No ponto $(1;3)$ a função tem um máximo condicional, $z_(\max)=10$
Exemplo #2
Encontre o extremo condicional da função $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ sob a condição $x+y=0$.
A primeira maneira (o método dos multiplicadores de Lagrange)
Denotando $\varphi(x,y)=x+y$ compomos a função Lagrange: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x ^2 -xy+\lambda(x+y)$.
$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0;\\&x+y=0.\end(alinhado)\right.$$
Resolvendo o sistema, obtemos: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ e $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9 )$ , $\lambda_2=-10$. Temos dois pontos estacionários: $M_1(0;0)$ e $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Vamos descobrir a natureza do extremo em cada ponto estacionário usando o determinante $H$.
$$ H=\esquerda| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^() & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \esquerda| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$
No ponto $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, então neste ponto a função tem um máximo condicional, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.
Investigamos a natureza do extremo em cada um dos pontos por um método diferente, baseado no sinal de $d^2F$:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$
Da equação de restrição $x+y=0$ temos: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.
$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$
Como $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, então $M_1(0;0)$ é o ponto mínimo condicional da função $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. Da mesma forma, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.
Segunda via
Da equação de restrição $x+y=0$ obtemos: $y=-x$. Substituindo $y=-x$ na função $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, obtemos alguma função da variável $x$. Vamos denotar esta função como $u(x)$:
$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$
Assim, reduzimos o problema de encontrar o extremo condicional de uma função de duas variáveis ao problema de determinar o extremo de uma função de uma variável.
$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9).$$
Obteve pontos $M_1(0;0)$ e $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Outras pesquisas são conhecidas a partir do curso do cálculo diferencial de funções de uma variável. Investigando o sinal de $u_(xx)^("")$ em cada ponto estacionário ou verificando a mudança de sinal de $u_(x)^(")$ nos pontos encontrados, obtemos as mesmas conclusões de quando resolvemos o primeiro Por exemplo, verifique o sinal $u_(xx)^("")$:
$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$
Como $u_(xx)^("")(M_1)>0$, então $M_1$ é o ponto mínimo da função $u(x)$, enquanto $u_(\min)=u(0)=0 $ . Desde $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.
Os valores da função $u(x)$ sob a condição de conexão dada coincidem com os valores da função $z(x,y)$, ou seja. os extremos encontrados da função $u(x)$ são os extremos condicionais desejados da função $z(x,y)$.
Responda: no ponto $(0;0)$ a função tem um mínimo condicional, $z_(\min)=0$. No ponto $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ a função tem um máximo condicional, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.
Vamos considerar mais um exemplo, no qual descobrimos a natureza do extremo determinando o sinal de $d^2F$.
Exemplo #3
Encontre os valores máximo e mínimo da função $z=5xy-4$ se as variáveis $x$ e $y$ são positivas e satisfazem a equação de restrição $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.
Componha a função Lagrange: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Encontre os pontos estacionários da função de Lagrange:
$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(aligned) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \; y > 0. \end(alinhado) \right.$$
Todas as transformações posteriores são realizadas levando em consideração $x > 0; \; y > 0$ (isto é estipulado na condição do problema). A partir da segunda equação, expressamos $\lambda=-\frac(5x)(y)$ e substituímos o valor encontrado na primeira equação: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)( 4)=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Substituindo $x=2y$ na terceira equação, obtemos: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y = 1$.
Como $y=1$, então $x=2$, $\lambda=-10$. A natureza do extremo no ponto $(2;1)$ é determinada a partir do sinal de $d^2F$.
$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(aa)^("")=\lambda. $$
Como $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, então:
$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$
Em princípio, aqui você pode substituir imediatamente as coordenadas do ponto estacionário $x=2$, $y=1$ e o parâmetro $\lambda=-10$, obtendo assim:
$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("") dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$
No entanto, em outros problemas para um extremo condicional, pode haver vários pontos estacionários. Nesses casos, é melhor representar $d^2F$ de uma forma geral e, em seguida, substituir as coordenadas de cada um dos pontos estacionários encontrados na expressão resultante:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$
Substituindo $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, temos:
$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$
Como $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.
Responda: no ponto $(2;1)$ a função tem um máximo condicional, $z_(\max)=6$.
Na próxima parte, consideraremos a aplicação do método de Lagrange para funções de um número maior de variáveis.
O método para determinar o extremo condicional começa com a construção de uma função de Lagrange auxiliar, que, na região de soluções viáveis, atinge um máximo para os mesmos valores das variáveis x 1 , x 2 , ..., x n , que é a função objetivo z . Deixe o problema de determinar o extremo condicional da função z=f(X) sob restrições φ eu ( x 1 , x 2 , ..., x n ) = 0, eu = 1, 2, ..., m , m < n
Compor uma função
que é chamado Função Lagrange. X , - fatores constantes ( Multiplicadores de Lagrange). Observe que os multiplicadores de Lagrange podem receber um significado econômico. Se um f(x 1 , x 2 , ..., x n ) - renda de acordo com o plano X = (x 1 , x 2 , ..., x n ) , e a função φ eu (x 1 , x 2 , ..., x n ) são os custos do i-ésimo recurso correspondente a este plano, então X , - preço (estimativa) do i-ésimo recurso, que caracteriza a variação do valor extremo da função objetivo em função da variação do tamanho do i-ésimo recurso (estimativa marginal). L(X) - função n+m variáveis (x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) . Determinar os pontos estacionários desta função leva à solução do sistema de equações
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É fácil ver que
. Assim, o problema de encontrar o extremo condicional da função z=f(X)
se reduz a encontrar o extremo local da função L(X)
. Se o ponto estacionário for encontrado, a questão da existência de um extremo nos casos mais simples é resolvida com base em condições suficientes para o extremo - o estudo do sinal do segundo diferencial d
2
L(X)
em um ponto estacionário, desde que a variável seja incrementada Δx
eu
- relacionados por relacionamentos
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obtido pela diferenciação das equações de restrição.
Resolvendo um sistema de equações não lineares com duas incógnitas usando a ferramenta Solver
Contexto Encontrando uma solução permite que você encontre uma solução para um sistema de equações não lineares com duas incógnitas:
Onde 
- função não linear de variáveis x
e
y
,
é uma constante arbitrária.
Sabe-se que o par x , y ) é uma solução para o sistema de equações (10) se e somente se é uma solução para a seguinte equação em duas incógnitas:
Com por outro lado, a solução do sistema (10) são os pontos de interseção de duas curvas: f ] (x, y) = C e f 2 (x, y) = C 2 na superfície XOS.
A partir disso, segue um método para encontrar as raízes do sistema. equações não lineares:
Determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo de existência de uma solução para o sistema de equações (10) ou equação (11). Aqui é necessário levar em consideração o tipo de equações incluídas no sistema, o domínio de definição de cada uma de suas equações, etc. Às vezes, é utilizada a seleção da aproximação inicial da solução;
Tabule a solução da equação (11) para as variáveis x e y no intervalo selecionado ou construa gráficos de funções f 1 (x, y) = C, e f 2 (x, y) = C 2 (sistema(10)).
Localize as raízes estimadas do sistema de equações - encontre vários valores mínimos na tabela de tabulação das raízes da equação (11), ou determine os pontos de interseção das curvas incluídas no sistema (10).
4. Encontre as raízes para o sistema de equações (10) usando o complemento Procure uma solução.
| Nome do parâmetro | Significado |
| Assunto do artigo: | Método de Lagrange. |
| Rubrica (categoria temática) | Matemática |
Encontrar um polinômio significa determinar os valores de seu coeficiente 
. Para fazer isso, usando a condição de interpolação, você pode formar um sistema de equações algébricas lineares (SLAE).
O determinante deste SLAE é geralmente chamado de determinante de Vandermonde. O determinante de Vandermonde não é igual a zero quando para , ou seja, no caso em que não há nós correspondentes na tabela de consulta. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, pode-se argumentar que o SLAE tem uma solução e esta solução é única. Resolvendo o SLAE e determinando os coeficientes desconhecidos pode-se construir um polinômio de interpolação.
Um polinômio que satisfaça as condições de interpolação, quando interpolado pelo método de Lagrange, é construído como uma combinação linear de polinômios de enésimo grau:
Os polinômios são chamados básico polinômios. Em ordem de Polinômio de Lagrange satisfaz as condições de interpolação, é extremamente importante que as seguintes condições sejam satisfeitas para seus polinômios básicos:
por 
.
Se essas condições forem atendidas, então para qualquer temos:
Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, o cumprimento das condições dadas para os polinômios básicos significa que as condições de interpolação também são satisfeitas.
Vamos determinar a forma de polinômios básicos com base nas restrições impostas a eles.
1ª condição: no .
2ª condição: .
Finalmente, para o polinômio básico, podemos escrever:
Então, substituindo a expressão resultante para os polinômios básicos no polinômio original, obtemos a forma final do polinômio de Lagrange:
Uma forma particular do polinômio de Lagrange em é geralmente chamada de fórmula de interpolação linear:
.
O polinômio de Lagrange tomado em é geralmente chamado de fórmula de interpolação quadrática:
Método de Lagrange. - conceito e tipos. Classificação e características da categoria "Método de Lagrange". 2017, 2018.
Controles remotos lineares. Definição. controle de tipo, ou seja, linear em relação à função desconhecida e sua derivada é chamada de linear. Para uma solução deste tipo, ur-th considere dois métodos: o método de Lagrange e o método de Bernoulli.Vamos considerar um DE homogêneo.
Definição. DU é chamado de homogêneo se f-i pode ser representado como f-i em relação aos seus argumentos Exemplo. F-th é chamada de medição f-th homogênea se Exemplos: 1) - 1ª ordem de homogeneidade. 2) - 2ª ordem de homogeneidade. 3) - ordem zero de homogeneidade (apenas homogênea... .
Tarefas extremas são de grande importância nos cálculos econômicos. Este é o cálculo, por exemplo, da receita máxima, lucro, custos mínimos, dependendo de várias variáveis: recursos, ativos de produção, etc. A teoria de encontrar extremos de funções... .
3. 2. 1. DE com variáveis separáveis S.R. 3. Em ciência natural, tecnologia e economia, muitas vezes temos que lidar com fórmulas empíricas, ou seja, fórmulas compiladas com base no processamento de dados estatísticos ou ...
Método dos multiplicadores de Lagrange.
O método do multiplicador de Lagrange é um dos métodos que permite resolver problemas de programação não linear.
A programação não linear é um ramo da programação matemática que estuda métodos para resolver problemas extremos com uma função objetivo não linear e um domínio de soluções viáveis definidas por restrições não lineares. Em economia, isso corresponde ao fato de os resultados (eficiência) aumentarem ou diminuirem desproporcionalmente às mudanças na escala de uso dos recursos (ou, equivalentemente, na escala de produção): por exemplo, devido à divisão dos custos de produção das empresas em variáveis e condicionalmente constantes; devido à saturação da demanda por bens, quando cada unidade subsequente é mais difícil de vender do que a anterior, etc.
O problema da programação não linear é colocado como o problema de encontrar o ótimo de uma determinada função objetivo
F(x1,…xn), F (x) → máx.
sob condições
g j (x 1 ,…x n)≥0, g (x) ≤ b , x ≥ 0
Onde x-vetor de variáveis requeridas;
F (x) -função objetiva;
g (x) é a função de restrição (continuamente diferenciável);
b - vetor de constantes de restrição.
A solução de um problema de programação não linear (máximo ou mínimo global) pode pertencer tanto à fronteira quanto ao interior do conjunto admissível.
Em contraste com um problema de programação linear, em um problema de programação não linear o ótimo não está necessariamente na fronteira da região definida pelas restrições. Em outras palavras, o problema é escolher tais valores não negativos de variáveis, sujeitos a um sistema de restrições na forma de desigualdades, sob as quais o máximo (ou mínimo) da função dada é alcançado. Nesse caso, não são estipuladas as formas da função objetivo nem das desigualdades. Pode haver diferentes casos: a função objetivo é não linear e as restrições são lineares; a função objetivo é linear e as restrições (pelo menos uma delas) são não lineares; tanto a função objetivo quanto as restrições são não lineares.
O problema da programação não linear ocorre nas ciências naturais, engenharia, economia, matemática, relações comerciais e ciências governamentais.
A programação não linear, por exemplo, está associada a um problema econômico básico. Assim, no problema da alocação de recursos limitados, ou a eficiência é maximizada, ou, se for estudado o consumidor, o consumo na presença de restrições que expressam condições de escassez de recursos. Em tal formulação geral, a formulação matemática do problema pode se tornar impossível, mas em aplicações específicas, a forma quantitativa de todas as funções pode ser determinada diretamente. Por exemplo, uma empresa industrial produz produtos de plástico. A eficiência da produção aqui é medida pelo lucro, e as restrições são interpretadas como mão de obra disponível, espaço de produção, produtividade do equipamento, etc.
O método de "custo-benefício" também se encaixa no esquema de programação não linear. Este método foi desenvolvido para uso na tomada de decisões no governo. A função de eficiência global é o bem-estar. Dois problemas de programação não linear surgem aqui: o primeiro é a maximização do efeito com custos limitados, o segundo é a minimização dos custos, desde que o efeito esteja acima de um determinado nível mínimo. Esse problema geralmente é bem modelado usando programação não linear.
Os resultados da solução do problema da programação não linear são úteis na tomada de decisões governamentais. A solução resultante é, obviamente, recomendada, por isso é necessário investigar as suposições e a precisão da formulação do problema de programação não linear antes de tomar uma decisão final.
Problemas não lineares são complexos, muitas vezes são simplificados levando a problemas lineares. Para isso, assume-se condicionalmente que em uma determinada área a função objetivo aumenta ou diminui proporcionalmente à mudança nas variáveis independentes. Essa abordagem é chamada de método de aproximações lineares por partes; no entanto, é aplicável apenas a certos tipos de problemas não lineares.
Problemas não lineares sob certas condições são resolvidos usando a função de Lagrange: tendo encontrado seu ponto de sela, eles também encontram a solução para o problema. Os métodos de gradiente ocupam um lugar importante entre os algoritmos computacionais para N.P. Não existe um método universal para problemas não lineares e, aparentemente, pode não existir, pois são extremamente diversos. Problemas multi-extremo são especialmente difíceis de resolver.
Um dos métodos que permitem reduzir o problema de programação não linear à resolução de um sistema de equações é o método de Lagrange de multiplicadores indefinidos.
Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange, em essência, são estabelecidas as condições necessárias que permitem identificar pontos ótimos em problemas de otimização com restrições na forma de igualdades. Neste caso, o problema com restrições é transformado em um problema equivalente de otimização irrestrita, no qual aparecem alguns parâmetros desconhecidos, denominados multiplicadores de Lagrange.
O método do multiplicador de Lagrange consiste em reduzir problemas para um extremo condicional a problemas para um extremo incondicional de uma função auxiliar - o chamado. Funções de Lagrange.
Para o problema do extremo da função f(x1, x2,..., xn) sob condições (equações de acoplamento) φ eu(x 1 , x 2 , ..., x n) = 0, eu= 1, 2,..., m, a função de Lagrange tem a forma
L(x 1, x 2… x n ,λ 1, λ 2 ,…λm)=f(x 1, x 2… x n)+∑ i -1 m λ i φ i (x 1, x 2… x n)
Multiplicadores λ 1 , λ 2 , ..., λm chamado Multiplicadores de Lagrange.
Se as quantidades x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λm são as soluções das equações que determinam os pontos estacionários da função de Lagrange, ou seja, para funções diferenciáveis, são soluções do sistema de equações
então sob suposições suficientemente gerais x 1 , x 2 , ..., x n entregam um extremo da função f.
Considere o problema de minimizar uma função de n variáveis, levando em conta uma restrição na forma de uma igualdade:
Minimizar f(x 1, x 2… x n) (1)
com restrições h 1 (x 1, x 2… x n)=0 (2)
De acordo com o método do multiplicador de Lagrange, este problema é transformado no seguinte problema de otimização irrestrita:
minimizar L(x,λ)=f(x)-λ*h(x) (3)
onde A função L(х;λ) é chamada de função de Lagrange,
λ é uma constante desconhecida, que é chamada de multiplicador de Lagrange. Nenhum requisito é imposto ao sinal de λ.
Seja, para um dado valor λ=λ 0, o mínimo incondicional da função L(x,λ) em relação a x é alcançado no ponto x=x 0 e x 0 satisfaz a equação h 1 (x 0)=0 . Então, como é fácil ver, x 0 minimiza (1) levando em conta (2), pois para todos os valores de x satisfazendo (2), h 1 (x)=0 e L(x,λ)= min f(x).
Naturalmente, é necessário escolher o valor λ=λ 0 de tal forma que a coordenada do ponto mínimo incondicional x 0 satisfaça a igualdade (2). Isso pode ser feito se, considerando λ como variável, encontrarmos o mínimo incondicional da função (3) na forma de uma função λ, e então escolhermos o valor de λ no qual a igualdade (2) é satisfeita. Vamos ilustrar isso com um exemplo específico.
Minimizar f(x)=x 1 2 +x 2 2 =0
com a restrição h 1 (x)=2x 1 +x 2 -2=0=0
O problema de otimização irrestrita correspondente é escrito da seguinte forma:
minimizar L(x,λ)=x 1 2 +x 2 2 -λ(2x 1 +x 2 -2)
Decisão. Igualando as duas componentes do gradiente L a zero, obtemos
→ x 1 0 =λ
→ x 2 0 =λ/2
Para verificar se o ponto estacionário x° corresponde ao mínimo, calculamos os elementos da matriz hessiana da função L(x; u), considerada em função de x,
que resulta ser definida positiva.
Isso significa que L(x, u) é uma função convexa de x. Portanto, as coordenadas x 1 0 =λ, x 2 0 =λ/2 determinam o ponto de mínimo global. O valor ótimo de λ é encontrado substituindo os valores x 1 0 e x 2 0 na equação 2x 1 +x 2 =2, de onde 2λ+λ/2=2 ou λ 0 =4/5. Assim, o mínimo condicional é alcançado em x 1 0 =4/5 e x 2 0 =2/5 e é igual a min f(x)=4/5.
Ao resolver o problema do exemplo, consideramos L(x; λ) como uma função de duas variáveis x 1 e x 2 e, além disso, assumimos que o valor do parâmetro λ foi escolhido para que a restrição fosse satisfeita. Se a solução do sistema
J=1,2,3,…,n
não pode ser obtido na forma de funções explícitas de λ, então os valores de x e λ são encontrados resolvendo o seguinte sistema, consistindo em n + 1 equações com n + 1 incógnitas:
J=1,2,3,…,n., h1(x)=0
Os métodos numéricos de busca (por exemplo, o método de Newton) podem ser usados para encontrar todas as soluções possíveis de um determinado sistema. Para cada uma das soluções (), deve-se calcular os elementos da matriz hessiana da função L, considerada em função de x, e descobrir se essa matriz é definida positiva (mínimo local) ou definida negativa (máximo local ).
O método dos multiplicadores de Lagrange pode ser estendido para o caso em que o problema possui várias restrições na forma de igualdades. Considere um problema geral que requer
Minimizar f(x)
sob restrições h k =0, k=1, 2, ..., K.
A função Lagrange tem a seguinte forma:
Aqui λ 1 , λ 2 , ..., λk- Multiplicadores de Lagrange, ou seja, parâmetros desconhecidos cujos valores precisam ser determinados. Igualando as derivadas parciais de L em relação a x a zero, obtemos o seguinte sistema de n equações com n incógnitas:
Se for difícil encontrar uma solução para o sistema acima na forma de funções do vetor λ, é possível estender o sistema incluindo restrições na forma de igualdades
A solução do sistema estendido, consistindo em n + K equações com n + K incógnitas, determina o ponto estacionário da função L. Em seguida, é implementado o procedimento para verificar um mínimo ou máximo, que é realizado com base no cálculo os elementos da matriz hessiana da função L, considerada como função de x, semelhante à que foi feita no caso de um problema com uma restrição. Para alguns problemas, um sistema estendido de n+K equações com n+K incógnitas pode não ter soluções, e o método do multiplicador de Lagrange acaba sendo inaplicável. No entanto, deve-se notar que tais tarefas são bastante raras na prática.
Consideremos um caso particular do problema geral de programação não linear, assumindo que o sistema de restrições contém apenas equações, não há condições para a não negatividade das variáveis e são funções contínuas juntamente com suas derivadas parciais. Portanto, tendo resolvido o sistema de equações (7), são obtidos todos os pontos em que a função (6) pode ter valores extremos.
Algoritmo do método dos multiplicadores de Lagrange
1. Compomos a função de Lagrange.
2. Encontramos as derivadas parciais da função de Lagrange em relação às variáveis x J ,λ i e as igualamos a zero.
3. Resolvemos o sistema de equações (7), encontramos os pontos em que a função objetivo do problema pode ter um extremo.
4. Entre os pontos suspeitos de um extremo, encontramos aqueles em que o extremo é atingido e calculamos os valores da função (6) nesses pontos.
Exemplo.
Dados iniciais: De acordo com o plano de produção, a empresa precisa produzir 180 produtos. Esses produtos podem ser fabricados de duas formas tecnológicas. Na produção de x 1 produtos no método 1, os custos são 4x 1 + x 1 2 rublos, e na fabricação de x 2 produtos no método 2, são 8x 2 + x 2 2 rublos. Determine quantos produtos cada um dos métodos deve ser feito para que o custo de produção seja mínimo.
A função objetivo do problema tem a forma
® min nas condições x 1 +x 2 =180, x 2 ≥0.
1. Componha a função Lagrange
.
2.
Calculamos as derivadas parciais em relação a x 1, x 2, λ e as igualamos a zero: 
3.
Resolvendo o sistema de equações resultante, encontramos x 1 \u003d 91, x 2 \u003d 89
4. Tendo feito uma substituição na função objetivo x 2 \u003d 180-x 1, obtemos uma função de uma variável, ou seja, f 1 \u003d 4x 1 +x 1 2 +8 (180-x 1) + (180- x 1) 2
Calcular ou 4x 1 -364=0 ,
de onde temos x 1 * =91, x 2 * =89.
Resposta: O número de produtos fabricados pelo primeiro método é x 1 \u003d 91, pelo segundo método x 2 \u003d 89, enquanto o valor da função objetivo é 17278 rublos.
Com A essência do método de Lagrange é reduzir o problema do extremo condicional à solução do problema do extremo incondicional. Considere um modelo de programação não linear:
(5.2)
Onde 
são funções conhecidas,
uma 
são dados coeficientes.
Observe que nesta formulação do problema, as restrições são dadas por igualdades, e não há condição para que as variáveis sejam não negativas. Além disso, assumimos que as funções 
são contínuas com suas primeiras derivadas parciais.
Transformemos as condições (5.2) de tal forma que as partes esquerda ou direita das igualdades contenham zero:
(5.3)
Vamos compor a função Lagrange. Inclui a função objetivo (5.1) e os lados direitos das restrições (5.3), tomadas respectivamente com os coeficientes 
. Haverá tantos coeficientes de Lagrange quanto restrições no problema.
Os pontos extremos da função (5.4) são os pontos extremos do problema original e vice-versa: o plano ótimo do problema (5.1)-(5.2) é o ponto extremo global da função de Lagrange.
De fato, que a solução seja encontrada 
problema (5.1)-(5.2), então as condições (5.3) são satisfeitas. Vamos substituir o plano 
na função (5.4) e verificar a validade da igualdade (5.5).
Assim, para encontrar o plano ótimo do problema original, é necessário investigar a função de Lagrange para um extremo. A função tem valores extremos nos pontos onde suas derivadas parciais são iguais zero. Tais pontos são chamados estacionário.
Definimos as derivadas parciais da função (5.4)
,
.
Após equalização zero derivadas obtemos o sistema m+n equações com m+n desconhecido
,
(5.6)
No caso geral, o sistema (5.6)-(5.7) terá várias soluções, que incluem todos os máximos e mínimos da função de Lagrange. Para destacar o máximo ou mínimo global, os valores da função objetivo são calculados em todos os pontos encontrados. O maior desses valores será o máximo global e o menor será o mínimo global. Em alguns casos é possível usar condições suficientes para um extremo estrito funções contínuas (veja o Problema 5.2 abaixo):
deixe a função 
é contínua e duas vezes diferenciável em alguma vizinhança de seu ponto estacionário 
(Essa. 
)). Então:
uma
) E se 
,
(5.8)
então 
é o ponto de máximo estrito da função 
;
b)
E se 
,
(5.9)
então 
é o ponto de mínimo estrito da função 
;
G
) E se 
,
então a questão da presença de um extremo permanece em aberto.
Além disso, algumas soluções do sistema (5.6)-(5.7) podem ser negativas. O que não condiz com o significado econômico das variáveis. Nesse caso, deve ser analisada a possibilidade de substituir valores negativos por zero.
Significado econômico dos multiplicadores de Lagrange. Valor multiplicador ideal 
mostra o quanto o valor do critério vai mudar Z
ao aumentar ou diminuir o recurso j por unidade, porque
O método de Lagrange também pode ser aplicado quando as restrições são desigualdades. Então, encontrando o extremo da função 
sob condições
,
realizado em várias etapas:
1. Determine os pontos estacionários da função objetivo, para os quais eles resolvem o sistema de equações
.
2. Dos pontos estacionários, são selecionados aqueles cujas coordenadas satisfazem as condições
3. O método de Lagrange é usado para resolver o problema com restrições de igualdade (5.1)-(5.2).
4. Os pontos encontrados no segundo e terceiro estágios são examinados para um máximo global: os valores da função objetivo nesses pontos são comparados - o maior valor corresponde ao plano ideal.
Tarefa 5.1 Vamos resolver o Problema 1.3, considerado na primeira seção, pelo método de Lagrange. A distribuição ótima dos recursos hídricos é descrita por um modelo matemático
.
Componha a função Lagrange
Encontre o máximo incondicional desta função. Para fazer isso, calculamos as derivadas parciais e as igualamos a zero
,
Assim, obtemos um sistema de equações lineares da forma
A solução do sistema de equações é o plano ótimo para a distribuição dos recursos hídricos nas áreas irrigadas
,
.
Quantidades 
medido em centenas de milhares de metros cúbicos. 
- o valor da receita líquida por cem mil metros cúbicos de água de irrigação. Portanto, o preço marginal de 1 m 3 de água de irrigação é 
antro unidades
A receita líquida adicional máxima da irrigação será
160 12,26 2 +7600 12,26-130 8,55 2 +5900 8,55-10 16,19 2 +4000 16,19=
172391.02 (unidades den.)
Tarefa 5.2 Resolver um problema de programação não linear
Representamos a restrição como:
.
Componha a função de Lagrange e determine suas derivadas parciais
.
Para determinar os pontos estacionários da função de Lagrange, deve-se igualar suas derivadas parciais a zero. Como resultado, obtemos um sistema de equações
.
Da primeira equação segue
. (5.10)
Expressão 
substitui na segunda equação
,
a partir do qual existem duas soluções para 
:
e 
. (5.11)
Substituindo essas soluções na terceira equação, obtemos
, 
.
Os valores do multiplicador de Lagrange e o desconhecido 
calcular por expressões (5.10)-(5.11):
, 
,
,
.
Assim, temos dois pontos extremos:
; 
.
Para descobrir se esses pontos são pontos máximos ou mínimos, usamos as condições suficientes para um extremo estrito (5.8)-(5.9). Pré expressão para 
, obtido a partir da restrição do modelo matemático, substituímos na função objetivo 
,
. (5.12)
Para verificar as condições para um extremo estrito, devemos determinar o sinal da segunda derivada da função (5.11) nos pontos extremos que encontramos 
e 
.
, 
;
.
Por isso, (·) 
é o ponto mínimo do problema original ( 
), uma (·) 
- ponto máximo.
Plano ideal:
, 
,
,
.
