Identidades trigonométricas são igualdades que estabelecem uma relação entre o seno, o cosseno, a tangente e a cotangente de um ângulo, o que permite encontrar qualquer uma dessas funções, desde que qualquer outra seja conhecida.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Essa identidade diz que a soma do quadrado do seno de um ângulo e o quadrado do cosseno de um ângulo é igual a um, o que na prática permite calcular o seno de um ângulo quando seu cosseno é conhecido e vice-versa .

Ao converter expressões trigonométricas, essa identidade é muito usada, o que permite substituir a soma dos quadrados do cosseno e seno de um ângulo por um e também realizar a operação de substituição na ordem inversa.

Encontrando tangente e cotangente através de seno e cosseno

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Essas identidades são formadas a partir das definições de seno, cosseno, tangente e cotangente. Afinal, se você olhar, então, por definição, a ordenada de y é o seno e a abcissa de x é o cosseno. Então a tangente será igual à razão \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), e a razão \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- será uma cotangente.

Acrescentamos que apenas para tais ângulos \alpha para os quais as funções trigonométricas incluídas neles fazem sentido, as identidades ocorrerão, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Por exemplo: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)é válido para ângulos \alpha diferentes de \frac(\pi)(2)+\piz, uma ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- para um ângulo \alpha diferente de \pi z , z é um inteiro.

Relação entre tangente e cotangente

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Esta identidade é válida apenas para ângulos \alpha que são diferentes de \frac(\pi)(2) z. Caso contrário, nem a cotangente nem a tangente serão determinadas.

Com base nos pontos acima, obtemos que tg \alpha = \frac(y)(x), uma ctg\alpha=\frac(x)(y). Daí segue que tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Assim, a tangente e a cotangente de um ângulo em que fazem sentido são números mutuamente recíprocos.

Relações entre tangente e cosseno, cotangente e seno

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- a soma do quadrado da tangente do ângulo \alpha e 1 é igual ao quadrado inverso do cosseno desse ângulo. Esta identidade é válida para todos os \alpha exceto \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- a soma de 1 e o quadrado da cotangente do ângulo \alpha , é igual ao quadrado inverso do seno do ângulo dado. Essa identidade é válida para qualquer \alpha diferente de \pi z .

Exemplos com soluções para problemas usando identidades trigonométricas

Exemplo 1

Encontre \sin \alpha e tg \alpha se \cos \alpha=-\frac12 e \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Mostrar solução

Decisão

As funções \sin \alpha e \cos \alpha estão ligadas pela fórmula \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Substituindo nesta fórmula \cos \alpha = -\frac12, Nós temos:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Esta equação tem 2 soluções:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Por condição \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . No segundo trimestre, o seno é positivo, então \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Para encontrar tg \alpha , usamos a fórmula tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2): \frac12 = \sqrt 3

Exemplo 2

Encontre \cos \alpha e ctg \alpha se e \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Mostrar solução

Decisão

Substituindo na fórmula \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 número condicional \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), Nós temos \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Esta equação tem duas soluções \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Por condição \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . No segundo trimestre, o cosseno é negativo, então \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Para encontrar ctg \alpha , usamos a fórmula ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Conhecemos os valores correspondentes.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

Neste artigo, vamos dar uma olhada abrangente no . As identidades trigonométricas básicas são igualdades que estabelecem uma relação entre o seno, o cosseno, a tangente e a cotangente de um ângulo, e permitem encontrar qualquer uma dessas funções trigonométricas através de uma outra conhecida.

Listamos imediatamente as principais identidades trigonométricas, que analisaremos neste artigo. Nós as escrevemos em uma tabela, e abaixo damos a derivação dessas fórmulas e damos as explicações necessárias.

Navegação da página.

Relação entre seno e cosseno de um ângulo

Às vezes eles não falam sobre as principais identidades trigonométricas listadas na tabela acima, mas sobre uma única identidade trigonométrica básica Gentil . A explicação para este fato é bastante simples: as igualdades são obtidas a partir da identidade trigonométrica básica depois de dividir ambas as suas partes por e respectivamente, e as igualdades e seguem as definições de seno, cosseno, tangente e cotangente. Discutiremos isso com mais detalhes nos próximos parágrafos.

Ou seja, é a igualdade que é de particular interesse, que recebeu o nome de identidade trigonométrica principal.

Antes de provar a identidade trigonométrica básica, damos sua formulação: a soma dos quadrados do seno e do cosseno de um ângulo é identicamente igual a um. Agora vamos provar.

A identidade trigonométrica básica é muito usada em transformação de expressões trigonométricas. Permite que a soma dos quadrados do seno e cosseno de um ângulo seja substituída por um. Não menos frequentemente, a identidade trigonométrica básica é usada na ordem inversa: a unidade é substituída pela soma dos quadrados do seno e cosseno de qualquer ângulo.

Tangente e cotangente através de seno e cosseno

Identidades conectando a tangente e a cotangente com o seno e o cosseno de um ângulo da forma e seguem imediatamente das definições de seno, cosseno, tangente e cotangente. De fato, por definição, o seno é a ordenada de y, o cosseno é a abcissa de x, a tangente é a razão entre a ordenada e a abcissa, ou seja, , e a cotangente é a razão entre a abcissa e a ordenada, ou seja, .

Devido a essa obviedade das identidades e muitas vezes as definições de tangente e cotangente são dadas não pela razão da abcissa e da ordenada, mas pela razão do seno e cosseno. Assim, a tangente de um ângulo é a razão do seno para o cosseno desse ângulo, e a cotangente é a razão do cosseno para o seno.

Para concluir esta seção, deve-se notar que as identidades e vale para todos os ângulos para os quais as funções trigonométricas contidas neles fazem sentido. Portanto, a fórmula é válida para qualquer outra que não seja (caso contrário, o denominador será zero, e não definimos a divisão por zero), e a fórmula - for all , diferente de , onde z é qualquer .

Relação entre tangente e cotangente

Uma identidade trigonométrica ainda mais óbvia do que as duas anteriores é a identidade que liga a tangente e a cotangente de um ângulo da forma . É claro que ocorre para quaisquer ângulos diferentes de , caso contrário, a tangente ou a cotangente não são definidas.

Prova da fórmula muito simples. Por definição e de onde . A prova poderia ter sido realizada de uma maneira ligeiramente diferente. Desde e , então .

Então, a tangente e a cotangente de um ângulo, no qual elas fazem sentido, é.

Neste artigo, falaremos sobre substituição trigonométrica universal. Envolve a expressão do seno, cosseno, tangente e cotangente de qualquer ângulo através da tangente de um meio ângulo. Além disso, tal substituição é realizada de forma racional, ou seja, sem raízes.

Primeiro, escrevemos fórmulas que expressam o seno, o cosseno, a tangente e a cotangente em termos da tangente de um semi-ângulo. A seguir, mostramos a derivação dessas fórmulas. E para concluir, vejamos vários exemplos de uso da substituição trigonométrica universal.

Navegação da página.

Seno, cosseno, tangente e cotangente pela tangente de um meio ângulo

Primeiro, vamos escrever quatro fórmulas que expressam o seno, o cosseno, a tangente e a cotangente de um ângulo em termos da tangente de um meio ângulo.

Estas fórmulas são válidas para todos os ângulos em que as tangentes e cotangentes incluídas nelas são definidas:

Derivação de fórmulas

Analisemos a derivação de fórmulas que expressam o seno, o cosseno, a tangente e a cotangente de um ângulo pela tangente de um semi-ângulo. Vamos começar com as fórmulas para seno e cosseno.

Representamos o seno e o cosseno usando as fórmulas de ângulo duplo como e respectivamente. Agora expressões e escreva como frações com denominador 1 como e . Além disso, com base na identidade trigonométrica principal, substituímos as unidades no denominador pela soma dos quadrados do seno e do cosseno, após o que obtemos e . Por fim, dividimos o numerador e o denominador das frações resultantes por (seu valor é diferente de zero, desde que ). Como resultado, toda a cadeia de ações fica assim:


e

Isso completa a derivação de fórmulas que expressam o seno e o cosseno pela tangente de um meio ângulo.

Resta derivar as fórmulas para a tangente e a cotangente. Agora, levando em conta as fórmulas obtidas acima, e as fórmulas e , obtemos imediatamente fórmulas que expressam a tangente e a cotangente pela tangente de um meio ângulo:

Então, derivamos todas as fórmulas para a substituição trigonométrica universal.

Exemplos de uso da substituição trigonométrica universal

Primeiro, vamos considerar um exemplo de uso de substituição trigonométrica universal ao converter expressões.

Exemplo.

Dê uma expressão a uma expressão contendo apenas uma função trigonométrica.

Decisão.

Responda:

.

Bibliografia.

• Álgebra: Proc. para 9 células. média escola / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Iluminismo, 1990.- 272 p.: ill.- isbn 5-09-002727-7
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• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matemática (um manual para candidatos a escolas técnicas): Proc. subsídio.- M.; Superior escola, 1984.-351 p., ll.

Instrução

Use seu conhecimento de planimetria para expressar seio através de co seio. Por definição, seio ohm de um ângulo em um triângulo retângulo de comprimento oposto a, e para seio om - a perna adjacente à hipotenusa. Mesmo o conhecimento do teorema de Pitágoras permitirá que você encontre rapidamente a transformação desejada em alguns casos.

expressar seio através de co seio, usando a identidade trigonométrica mais simples, segundo a qual a soma dos quadrados dessas quantidades dá a unidade. Observe que você pode concluir a tarefa corretamente apenas se souber que o ângulo desejado está no quarto, caso contrário, obterá dois resultados possíveis - com um positivo e um sinal.

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)

Existe um triângulo com lados a, b, c iguais a 3, 4, 5 mm, respectivamente.

Encontrar cosseno o ângulo fechado entre os lados grandes.

Vamos denotar o ângulo oposto ao lado a por ?, então, de acordo com a fórmula derivada acima, temos:

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40 =32/40=0,8

Resposta: 0,8.

Se o triângulo é um triângulo retângulo, então para encontrar cosseno e é suficiente conhecer os comprimentos de quaisquer dois lados do ângulo ( cossenoângulo reto é 0).

Seja um triângulo retângulo com lados a, b, c, onde c é a hipotenusa.

Considere todas as opções:

Encontre cos? se os comprimentos dos lados a e b (de um triângulo) são conhecidos

Vamos usar adicionalmente o teorema de Pitágoras:

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(b?+b?+a?-a?)/(2*b*v(b?+a?)) =(2*b?)/(2*b*v(b?+a?))=b/v(b?+a?)

Para a correção da fórmula resultante, substituímos nela do exemplo 1, ou seja,

Feito os cálculos elementares, obtemos:

Da mesma forma, existe cosseno em um retângulo triângulo Em outros casos:

Conhecidos a e c (hipotenusa e perna oposta), encontre cos?

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(c?-a?+c?-a?)/(2*c*v(c?-a?)) =(2*s?-2*a?)/(2*s*v(s?-a?))=v(s?-a?)/s.

Substituindo os valores a=3 e c=5 do exemplo, obtemos:

b e c são conhecidos (a hipotenusa e o cateto adjacente).

Encontre cos?

Tendo realizado transformações semelhantes (mostradas nos exemplos 2 e 3), obtemos que neste caso cosseno dentro triângulo calculado usando uma fórmula muito simples:

A simplicidade da fórmula derivada é explicada de forma elementar: de fato, adjacente ao canto? o cateto é uma projeção da hipotenusa, seu comprimento é igual ao comprimento da hipotenusa multiplicado por cos?.

Substituindo os valores b=4 e c=5 do primeiro exemplo, temos:

Portanto, todas as nossas fórmulas estão corretas.

Para obter uma fórmula relativa seio e companhia seioângulo, é necessário dar ou recordar algumas definições. Então, seioângulo é a razão (quociente de divisão) do cateto oposto de um triângulo retângulo para a hipotenusa. Companhia seioângulo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.

Instrução

Conselho util

O valor do seno e cosseno de qualquer ângulo não pode ser maior que 1.

Seio e cosseno- são funções trigonométricas diretas para as quais existem várias definições - através de um círculo em um sistema de coordenadas cartesianas, através de soluções de uma equação diferencial, através de ângulos agudos em um triângulo retângulo. Cada uma dessas definições permite deduzir a relação entre essas duas funções. O seguinte é talvez a maneira mais simples de expressar cosseno através do seno - através de suas definições para ângulos agudos de um triângulo retângulo.

Instrução

Expresse o seno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo em função dos comprimentos dos lados desta figura. De acordo com a definição, o seno do ângulo (α) deve ser a razão entre o comprimento do lado (a) oposto a ele - a perna - para o comprimento do lado (c) oposto ao ângulo reto - a hipotenusa: sin (α) = a/c.

Encontre uma fórmula semelhante para cosseno mas o mesmo ângulo. Por definição, esse valor deve ser expresso como a razão entre o comprimento do lado (b) adjacente a esse canto (a segunda perna) e o comprimento do lado (c) oposto ao ângulo reto: cos (a) \u003d a/c.

Reescreva a equação seguinte do teorema de Pitágoras de tal forma que use as relações entre os catetos e a hipotenusa derivadas nas duas etapas anteriores. Para fazer isso, primeiro divida ambos os originais deste teorema (a² + b² = c²) pelo quadrado da hipotenusa (a² / c² + b² / c² = 1), e então reescreva a igualdade resultante desta forma: (a /c)² + (b/c)² = 1.

Substitua na expressão resultante a razão dos comprimentos dos catetos e da hipotenusa por funções trigonométricas, com base nas fórmulas do primeiro e segundo passos: sen² (a) + cos² (a) \u003d 1. Expresse cosseno da igualdade resultante: cos(a) = √(1 - sin²(a)). Este problema pode ser resolvido de uma forma geral.

Se, além do geral, você precisar obter um resultado numérico, use, por exemplo, a calculadora embutida no sistema operacional Windows. Um link para seu lançamento na subseção "Padrão" da seção "Todos os Programas" do menu do SO. Este link é redigido de forma concisa - "Calculadora". Para poder calcular funções trigonométricas a partir deste programa, ative sua interface de "engenharia" - pressione a combinação de teclas Alt + 2.

Insira o valor do seno do ângulo nas condições e clique no botão da interface com a designação x² - isso elevará o valor original ao quadrado. Em seguida, digite *-1 no teclado, pressione Enter, digite +1 e pressione Enter novamente - desta forma, você subtrairá o quadrado do seno da unidade. Clique na tecla do ícone radical para extrair o quadrado e obter o resultado final.

Um dos fundamentos fundamentais das ciências exatas é o conceito de funções trigonométricas. Eles definem relações simples entre os lados de um triângulo retângulo. O seno pertence à família dessas funções. Descobri-lo, conhecendo o ângulo, pode ser feito de várias maneiras, incluindo métodos experimentais, computacionais, bem como o uso de informações de referência.

Você vai precisar

• - calculadora;
• - um computador;
• - planilhas;
• - tabelas de bradis;
• - papel;
• - lápis.

Instrução

Use com a função seno para obter os valores desejados com base no conhecimento do ângulo. Mesmo os mais simples têm funcionalidade semelhante hoje. Nesse caso, os cálculos são feitos com um grau de precisão muito alto (geralmente até oito ou mais casas decimais).

Aplicar Programas, que é um ambiente de planilha executado em computador pessoal. Exemplos de tais aplicativos são o Microsoft Office Excel e o OpenOffice.org Calc. Digite em qualquer célula uma fórmula que consiste em chamar a função seno com o argumento desejado. Pressione Enter. O valor desejado será exibido na célula. A vantagem das planilhas é a capacidade de calcular rapidamente os valores das funções para um grande conjunto de argumentos.

Descubra o valor aproximado do seno do ângulo nas tabelas de Bradys, se disponíveis. Sua desvantagem é a precisão dos valores, que é limitada a quatro casas decimais.

Encontre o valor aproximado do seno do ângulo fazendo construções geométricas. Desenhe uma linha em um pedaço de papel. Usando um transferidor, separe dele o ângulo cujo seno você deseja encontrar. Desenhe outra linha que cruza a primeira em algum ponto. Perpendicular ao primeiro segmento, desenhe uma linha reta que cruza dois segmentos existentes. Você obtém um triângulo retângulo. Meça o comprimento de sua hipotenusa e o cateto oposto ao ângulo construído com o transferidor. Divida o segundo valor pelo primeiro. Este será o valor desejado.

Calcule o seno de um ângulo usando a expansão em série de Taylor. Se o valor do ângulo estiver em graus, converta-o em radianos. Use uma fórmula como esta: sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + (x^9)/9! - ... Para aumentar a velocidade dos cálculos, anote o valor atual do numerador e denominador do último membro da série, calculando o próximo valor com base no anterior. Aumente o comprimento da linha para obter um valor mais preciso.

Foi assim que os conceitos de seno e cosseno foram introduzidos. O seno de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa, e o cosseno é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.

Teoremas de cossenos e senos

Mas cossenos e senos podem ser usados ​​não apenas em triângulos retângulos. Para encontrar o valor de um ângulo obtuso ou agudo, o lado de qualquer triângulo, basta aplicar o teorema do cosseno e do seno.

O teorema do cosseno é bastante simples: "O quadrado de um lado de um triângulo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados menos duas vezes o produto desses lados pelo cosseno do ângulo entre eles".

Existem duas interpretações do teorema do seno: pequena e estendida. De acordo com o pequeno: "Em um triângulo, os ângulos são proporcionais aos lados opostos." Este teorema é muitas vezes estendido devido à propriedade do círculo circunscrito de um triângulo: "Em um triângulo, os ângulos são proporcionais aos lados opostos e sua razão é igual ao diâmetro do círculo circunscrito".

Derivativos

Uma derivada é uma ferramenta matemática que mostra a rapidez com que uma função muda em relação a uma mudança em seu argumento. As derivadas são usadas em geometria e em várias disciplinas técnicas.

Ao resolver problemas, você precisa conhecer os valores tabulares das derivadas das funções trigonométricas: seno e cosseno. A derivada do seno é o cosseno, e a derivada do cosseno é o seno, mas com sinal negativo.

Aplicação em matemática

Especialmente frequentemente, senos e cossenos são usados ​​para resolver triângulos retângulos e problemas relacionados a eles.

A conveniência de senos e cossenos também se reflete na tecnologia. Ângulos e lados eram fáceis de avaliar usando os teoremas do cosseno e do seno, quebrando formas e objetos complexos em triângulos "simples". Engenheiros e, muitas vezes lidando com cálculos de proporções e medidas de graus, gastaram muito tempo e esforço calculando cossenos e senos de ângulos que não são de mesa.

Então as tabelas Bradis vieram em socorro, contendo milhares de valores​​de senos, cossenos, tangentes e cotangentes de diferentes ângulos. Nos tempos soviéticos, alguns professores forçavam seus alunos a memorizar as páginas das tabelas Bradis.

Radiano - o valor angular do arco, ao longo do comprimento igual ao raio ou 57,295779513 ° graus.

Grau (em geometria) - 1/360 de um círculo ou 1/90 de um ângulo reto.

π = 3,141592653589793238462… (valor aproximado de pi).

Tabela de cossenos para ângulos: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Ângulo x (em graus)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
Ângulo x (em radianos)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3xπ/4	5xπ/6	π	7xπ/6	5xπ/4	4xπ/3	3xπ/2	5xπ/3	7xπ/4	11xπ/6	2xπ
cos x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1

Eu não vou convencê-lo a não escrever cheats. Escrever! Incluindo folhas de dicas sobre trigonometria. Mais tarde, pretendo explicar por que as folhas de dicas são necessárias e como as folhas de dicas são úteis. E aqui - informações sobre como não aprender, mas lembrar de algumas fórmulas trigonométricas. Então - trigonometria sem uma folha de dicas! Usamos associações para memorização.

1. Fórmulas de adição:

cossenos sempre "vão em pares": cosseno-coseno, seno-seno. E mais uma coisa: cossenos são “inadequados”. Eles “está tudo errado”, então eles mudam os sinais: “-” para “+” e vice-versa.

Seios - "misturar": seno-coseno, cosseno-seno.

2. Fórmulas de soma e diferença:

cossenos sempre "vão em pares". Adicionando dois cossenos - "pães", obtemos um par de cossenos - "koloboks". E subtraindo, definitivamente não teremos koloboks. Temos alguns senos. Ainda com menos pela frente.

Seios - "misturar" :

3. Fórmulas para converter um produto em soma e diferença.

Quando obtemos um par de cossenos? Ao adicionar os cossenos. então

Quando obtemos um par de senos? Ao subtrair cossenos. Daqui:

A "mistura" é obtida adicionando e subtraindo senos. O que é mais divertido: somar ou subtrair? Isso mesmo, dobra. E para a fórmula faça a adição:

Na primeira e terceira fórmulas entre parênteses - o valor. A partir do rearranjo dos lugares dos termos, a soma não muda. A ordem é importante apenas para a segunda fórmula. Mas, para não confundir, para facilitar a lembrança, nas três fórmulas dos primeiros parênteses tomamos a diferença

e em segundo lugar, a soma

Folhas de berço no bolso dão tranquilidade: se você esquecer a fórmula, pode descartá-la. E eles dão confiança: se você não usar a folha de dicas, as fórmulas podem ser facilmente lembradas.