O vídeo-curso "Get an A" inclui todos os tópicos necessários para a aprovação no exame de matemática por 60-65 pontos. Concluir todas as tarefas 1 a 13 do Exame Estadual Unificado de Perfil em matemática. Também adequado para passar no Exame Estadual Unificado Básico em matemática. Se você quer passar no Exame Estadual Unificado com 90-100 pontos, precisa resolver a parte 1 em 30 minutos e sem erros!

Curso de preparação para o Exame Estadual Unificado do 10º ao 11º ano, bem como para professores. Tudo que você precisa para resolver a Parte 1 do Exame Estadual Unificado em matemática (os primeiros 12 problemas) e o Problema 13 (trigonometria). E isso representa mais de 70 pontos no Exame Estadual Unificado, e nem um aluno com 100 pontos nem um estudante de humanidades podem viver sem eles.

Toda a teoria necessária. Soluções rápidas, armadilhas e segredos do Exame de Estado Unificado. Todas as tarefas atuais da parte 1 do Banco de Tarefas FIPI foram analisadas. O curso atende integralmente aos requisitos do Exame Estadual Unificado 2018.

O curso contém 5 grandes tópicos, 2,5 horas cada. Cada tópico é apresentado do zero, de forma simples e clara.

Centenas de tarefas do Exame de Estado Unificado. Problemas de palavras e teoria das probabilidades. Algoritmos simples e fáceis de lembrar para resolução de problemas. Geometria. Teoria, material de referência, análise de todos os tipos de tarefas do Exame de Estado Unificado. Estereometria. Truques astutos para resolver, folhas de dicas úteis, desenvolvimento da imaginação espacial. Trigonometria do zero ao problema 13. Compreensão em vez de estudar. Explicações claras de conceitos complexos. Álgebra. Raízes, potências e logaritmos, função e derivada. Uma base para resolver problemas complexos da Parte 2 do Exame de Estado Unificado.

Proponho desta vez organizar algo como uma “maratona baseada em evidências” para resolver problemas que são oferecidos aos alunos do nono ano nas variantes do GIA em matemática. Eles estão associados à prova de fatos geométricos simples, mas ao mesmo tempo muito úteis. O artigo deliberadamente não fornece soluções detalhadas para os problemas, apenas alguns esboços e dicas. Tente superar esta distância da maratona sozinho, sem erros e em uma série.

Tarefa 1. Prove que as bissetrizes dos ângulos adjacentes são perpendiculares.

O ângulo α é designado por um arco, β por dois

Prova: pela figura fica claro que α + α + β + β = 2α + 2β = 180 0 (ângulo reto), portanto, α + β = 90 0 . Q.E.D.

Tarefa 2. Dois segmentos AC E BD cruzar em um ponto Ó, que é o meio de cada um deles. Prove a igualdade dos triângulos DAC E TÁXI.

ABCD, é claro, será um paralelogramo, mas isso não é dado na condição

Prova: triângulos laterais são iguais em dois lados e o ângulo entre eles ( B.O. = DO- por condição, A.O. = O.C.- por condição, ∠ DOC = ∠AOB- vertical), isto é ∠ DAC = ∠TÁXI, e uma vez que eles estão transversalmente em linhas retas AB, CD e secante AC, Que AB paralelo CC. Da mesma forma, provamos o paralelismo das linhas a.C. E DE ANÚNCIOS. Então, ABCDé um paralelogramo por definição. a.C. = DE ANÚNCIOS, AB = CD(em um paralelogramo, os lados opostos são iguais), AC- comum para triângulos DAC E TÁXI, então eles são iguais em três lados. Q.E.D.

Tarefa 3. Prove que a mediana traçada até a base de um triângulo isósceles é a bissetriz do ângulo oposto à base e também é perpendicular à base.

Os ângulos formados pela mediana e pela base serão chamados de "inferiores", a mediana e os lados - "superiores"

Prova: os triângulos laterais da figura são iguais em três lados, o que implica igualdade, em primeiro lugar, dos ângulos “superiores” (provou que a bissetriz), e em segundo lugar, dos ângulos “inferiores”, no total como adjacentes dando 180 0 , e portanto iguais em 90 0 cada (perpendicularidade comprovada). Q.E.D.

Tarefa 4. Prove que as medianas traçadas nos lados de um triângulo isósceles são iguais.

Os triângulos formados pelas medianas, base e metades inferiores dos lados laterais do triângulo original são chamados de “inferiores”

Prova: os ângulos na base de um triângulo isósceles são iguais, portanto os triângulos “inferiores” são iguais nos dois lados e no ângulo entre eles, o que implica a igualdade das medianas traçadas. Q.E.D.

Tarefa 5. Prove que as bissetrizes traçadas a partir dos vértices da base de um triângulo isósceles são iguais.

Todos os ângulos marcados na figura são, obviamente, iguais, embora sejam indicados por arcos diferentes

Prova: O triângulo “inferior” é isósceles, o que decorre da igualdade dos ângulos em sua base, os triângulos “laterais” são iguais em lado (iguais às bissetoras provadas acima) e dois ângulos (os primeiros são iguais por condição, o segundo são verticais), portanto, as partes restantes das bissetrizes também são iguais entre si, o que significa que todas as bissetrizes são iguais. Q.E.D.

Tarefa 6. Prove que o comprimento do segmento que liga os pontos médios de dois lados de um triângulo é igual à metade do terceiro lado.

Chamaremos os lados limpos de “bases”, os riscados – “lados”

Prova: os lados laterais do triângulo pequeno e grande da figura estão relacionados como 1: 2, além disso, possuem um ângulo comum, o que significa que são semelhantes no segundo atributo com coeficiente de similaridade de 1: 2, portanto as bases são relacionado como 1: 2. Que é o que precisava ser provado.

Tarefa 7. Prove que a diagonal de um paralelogramo o divide em dois triângulos iguais.

Um paralelogramo com diagonal, provavelmente não há mais nada a acrescentar

Prova: Os lados opostos de um paralelogramo são iguais, a diagonal é o lado comum desses triângulos, portanto eles são iguais em três lados. Q.E.D.

Tarefa 8. Prove que a mediana de um triângulo retângulo desenhado em direção à hipotenusa é igual à metade da hipotenusa.

Em outras palavras, a mediana é traçada a partir do vértice do ângulo reto

Prova: se descrevermos um círculo em torno de um determinado triângulo retângulo, então o ângulo reto do triângulo inscrito neste círculo será descrito por um semicírculo, então a hipotenusa será o diâmetro deste círculo, e as metades da hipotenusa e a mediana serão dadas para nós no problema serão os raios, então eles são todos iguais. Q.E.D.

Tarefa 9. Prove que os segmentos tangentes traçados a um círculo a partir de um ponto são iguais.

Construção adicional: conecte o ponto C ao ponto O (mentalmente)

Prova:ângulos B E A linhas retas (os raios do círculo desenhado até o ponto de oscilação são perpendiculares às tangentes), o que significa triângulos retângulos COA E COB iguais na hipotenusa (o lado que imaginamos é comum a eles O.C.) e perna (raios do círculo O.B. = O.A.), que significa AC = C. B.. Q.E.D.

Problema 10. Prove que o diâmetro que passa pelo ponto médio de uma corda de um círculo é perpendicular a ele.

A linha que conecta dois pontos na figura é a mediana do triângulo que consideraremos

Prova: em um triângulo isósceles formado pelos pontos de intersecção de uma corda com um círculo e o centro deste círculo, a mediana representada será a altura, o que significa que o diâmetro que contém esta altura é perpendicular à corda. Q.E.D.

Problema 11. Prove que se duas circunferências têm uma corda comum, então a reta que passa pelo centro dessas circunferências é perpendicular a essa corda.

Conecte mentalmente todos os pontos marcados na figura, vamos chamar o ponto de intersecção da horizontal e da vertical H

Prova: triângulos Ó 1 A.O. 2 e Ó 1 B.O. 2 são iguais em três lados, portanto, ∠ HO 2 A = ∠HO 2 B, então triângulos HAO 2 e HBO 2 são iguais em ambos os lados e o ângulo entre eles, o que significa ∠ AHO 2 = ∠BHO 2, e no total dois ângulos iguais podem dar 180 0 somente se cada um deles for igual a 90 0. Q.E.D.

Problema 12. Prove que se um círculo pode ser inscrito em um quadrilátero, então as somas dos comprimentos de seus lados opostos são iguais.

Quadrilátero circunscrito. Vamos chamá-lo de ABCD. Sejam M, E, X e L pontos tangentes

Prova: Usamos o teorema dos segmentos tangentes (problema 9). VC = RV, RS = CH, DX = DL E NO = AK. Vamos resumir os lados AB E CD: AB + CD= (SOU.+ MB.) + (DX+ XC) = AL+ SER+ DL+ C.E.= (AL+ LD) + (SER+ E.C.) = DE ANÚNCIOS+ a.C. Q.E.D.

Problema 13. Prove que se um círculo pode ser circunscrito a um quadrilátero, então as somas dos seus ângulos opostos são iguais.

Circuncírculo

Prova: De acordo com o teorema do ângulo inscrito, a soma dos ângulos opostos deste quadrilátero é igual a 180 0, pois juntos eles repousam sobre um círculo completo, cuja medida de grau é 360 0. Q.E.D.

Problema 14. Prove que se um círculo pode ser circunscrito em torno de um trapézio, então o trapézio é isósceles.

Prova: a soma dos ângulos opostos de um quadrilátero inscrito em um círculo é igual a α + β = 180 0 (ver problema 13), a soma dos ângulos na lateral do trapézio também é igual a α + γ = 180 0 (esses ângulos são unilaterais com bases paralelas e um lado secante), comparando essas fórmulas descobrimos que β = γ , isto é, os ângulos na base de tal trapézio são iguais e é verdadeiramente isósceles. Q.E.D.

Problema 15. Quadrado ABCD pontos PARA E E- pontos médios dos lados AB E DE ANÚNCIOS respectivamente. Prove isso KD perpendicular C.E..

Teorema 1 . A magnitude do ângulo inscrito é igual à metade da magnitude do ângulo central subtendido pelo mesmo arco.

Prova . Consideremos primeiro o ângulo inscrito abc, lado a.C. que é o diâmetro do círculo e o ângulo central COA(Fig. 5).

Já que os segmentos A.O. E B.O. são os raios do círculo, então o triângulo AOB– isósceles e o ângulo ABO igual ao ângulo OAB. Porque o ângulo COAé o ângulo externo do triângulo AOB, então as igualdades são verdadeiras

Assim, no caso em que um dos lados do ângulo inscrito passa pelo centro do círculo, o Teorema 1 está provado.

Agora considere o caso em que o centro do círculo está dentro do ângulo inscrito (Fig. 6).

e o Teorema 1 está provado neste caso.

Resta considerar o caso em que o centro do círculo está fora do ângulo inscrito (Fig. 7).

Neste caso as igualdades são verdadeiras

o que completa a prova do Teorema 1.

Teorema 2 . A magnitude do ângulo formado pelas cordas que se cruzam é ​​igual à metade da soma das magnitudes dos arcos encerrados entre seus lados.

Prova . Considere a Figura 8.

Estamos interessados ​​no ângulo DEA E acordes AB E CD. Porque o ângulo DEA– ângulo externo de um triângulo CAMA, e os ângulos CDB E ABD

Q.E.D.

Teorema 3 . O tamanho do ângulo formado pelas secantes que se cruzam fora do círculo é igual à metade da diferença nos tamanhos dos arcos encerrados entre os lados desse ângulo.

Prova . Considere a Figura 9.

Estamos interessados ​​no ângulo CAMA, formado pela interseção em um ponto E secantes AB E CD. Porque o ângulo ADC– ângulo externo de um triângulo ADE, e os ângulos ADC , DCB E DAB são ângulos inscritos, então as igualdades são verdadeiras

Q.E.D.

Teorema 4 . A magnitude do ângulo formado por uma tangente e uma corda que passa pelo ponto de contato é igual à metade da magnitude do arco encerrado entre seus lados.

Prova . Considere a Figura 10.

Estamos interessados ​​no ângulo TAS formado pela tangente AB e acorde AC. Porque o DE ANÚNCIOSé o diâmetro que passa pelo ponto de contato e o ângulo DACé um ângulo inscrito com base no diâmetro, então os ângulos DAB E DCA- direto. Portanto as igualdades são verdadeiras

Q.E.D.

Teorema 5 . O tamanho do ângulo formado por uma tangente e uma secante é igual à metade da diferença nos tamanhos dos arcos encerrados entre os lados desse ângulo.

Prova . Considere a Figura 11.

Estamos interessados ​​no ângulo CAMA formado pela tangente AB e secante CD. Observe que o ângulo CDB– ângulo externo de um triângulo DBE, e os ângulos CDB E BCD são ângulos inscritos. Além disso, os ângulos DBE E DCB, em virtude do Teorema 4, são iguais. Portanto as igualdades são verdadeiras

Instruções

Se os triângulos ABC e DEF têm o lado AB igual ao lado DE, e os ângulos adjacentes ao lado AB são iguais aos ângulos adjacentes ao lado DE, então esses triângulos são considerados congruentes.

Se os triângulos ABC têm lados AB, BC e CD iguais aos lados correspondentes do triângulo DEF, então esses triângulos são congruentes.

observação

Se você precisar provar a igualdade de dois triângulos retângulos, isso pode ser feito usando os seguintes sinais de igualdade de triângulos retângulos:

Uma das pernas e a hipotenusa;
- em dois lados conhecidos;
- ao longo de uma das pernas e do ângulo agudo adjacente a ela;
- ao longo da hipotenusa e de um dos ângulos agudos.

Os triângulos são agudos (se todos os seus ângulos forem inferiores a 90 graus), obtusos (se um dos seus ângulos for superior a 90 graus), equiláteros e isósceles (se dois dos seus lados forem iguais).

Conselho util

Além dos triângulos serem iguais entre si, os mesmos triângulos são semelhantes. Triângulos semelhantes são aqueles cujos ângulos são iguais entre si e os lados de um triângulo são proporcionais aos lados do outro. É importante notar que se dois triângulos são semelhantes entre si, isso não garante a sua igualdade. Ao dividir lados semelhantes de triângulos entre si, calcula-se o chamado coeficiente de similaridade. Este coeficiente também pode ser obtido dividindo as áreas de triângulos semelhantes.

Fontes:

• provar a igualdade de áreas de triângulos

Dois triângulos são iguais se todos os elementos de um forem iguais aos elementos do outro. Mas não é necessário conhecer todos os tamanhos dos triângulos para concluir sobre sua igualdade. É suficiente ter certos conjuntos de parâmetros para determinados valores.

Instruções

Se for conhecido que dois lados de um triângulo são iguais ao outro e os ângulos entre esses lados são iguais, então os triângulos em questão são congruentes. Para provar isso, alinhe os vértices dos ângulos iguais de duas figuras. Continue em camadas. Do ponto resultante comum aos dois triângulos, direcione um lado do canto do triângulo sobreposto ao longo do lado correspondente da figura inferior. Por condição, esses dois lados são iguais. Isso significa que as extremidades dos segmentos coincidirão. Consequentemente, outro par de vértices nos triângulos dados coincidiu. As direções dos segundos lados do ângulo de onde partiu coincidirão devido à igualdade desses ângulos. E como esses lados são iguais, o último vértice se sobreporá. Uma única linha reta pode ser traçada entre dois pontos. Portanto, os terceiros lados dos dois triângulos coincidirão. Você recebeu duas figuras completamente correspondentes e o primeiro sinal comprovado de igualdade de triângulos.

Se um lado e dois ângulos adjacentes em um triângulo são iguais aos ângulos correspondentes em outro triângulo, então esses dois triângulos são congruentes. Para provar a veracidade desta afirmação, sobreponha duas figuras, alinhando os vértices de ângulos iguais com lados iguais. Devido à igualdade dos ângulos, as direções do segundo e terceiro lados coincidirão e o local de sua intersecção será determinado de forma inequívoca, ou seja, o terceiro vértice do primeiro dos triângulos coincidirá necessariamente com um ponto semelhante do segundo. O segundo critério para a igualdade dos triângulos foi comprovado.