Números complexos

Imaginário E números complexos. Abscissa e ordenada

número complexo. Conjugue números complexos.

Operações com números complexos. Geométrico

representação de números complexos. Plano complexo.

Módulo e argumento de um número complexo. Trigonométrico

forma de número complexo. Operações com complexos

números na forma trigonométrica. Fórmula de Moivre.

Informações básicas sobre imaginário E números complexos são apresentados na seção “Números imaginários e complexos”. A necessidade desses números de um novo tipo surgiu ao resolver equações quadráticas para o casoD< 0 (здесь D– discriminante de uma equação quadrática). Por muito tempo, esses números não encontraram aplicação física, por isso foram chamados de números “imaginários”. No entanto, agora eles são amplamente utilizados em vários campos da física.

e tecnologia: engenharia elétrica, hidro e aerodinâmica, teoria da elasticidade, etc.

Números complexos são escritos na forma:a+bi. Aqui a E b – numeros reais , A eu – unidade imaginária, ou seja, e. eu 2 = –1. Número a chamado abscissa, a b – ordenadanúmero complexoa + bi.Dois números complexosa+bi E a-bi são chamados conjugado números complexos.

Principais acordos:

1. Número realAtambém pode ser escrito na formanúmero complexo:um+ 0 eu ou a - 0 eu. Por exemplo, registros 5 + 0eu e 5 – 0 eusignifica o mesmo número 5 .

2. Número complexo 0 + bichamado puramente imaginário número. Registrobisignifica o mesmo que 0 + bi.

3. Dois números complexosa+bi Ec + disão considerados iguais seuma = c E b = d. De outra forma números complexos não são iguais.

Adição. Soma de números complexosa+bi E c + dié chamado de número complexo (a+c ) + (b+d ) eu.Por isso, ao adicionar números complexos, suas abcissas e ordenadas são somadas separadamente.

Esta definição corresponde às regras para operações com polinômios ordinários.

Subtração. A diferença de dois números complexosa+bi(diminuído) e c + di(subtraendo) é chamado de número complexo (a-c ) + (b-d ) eu.

Por isso, Ao subtrair dois números complexos, suas abcissas e ordenadas são subtraídas separadamente.

Multiplicação. Produto de números complexosa+bi E c + di é chamado de número complexo:

(ac–bd ) + (anúncio+bc ) eu.Esta definição decorre de dois requisitos:

1) números a+bi E c + dideve ser multiplicado como algébrico binômios,

2) número eutem a propriedade principal:eu 2 = – 1.

EXEMPLO ( a+bi )(a-bi) =uma 2 +b 2 . Por isso, trabalhar

dois números complexos conjugados é igual ao real

um número positivo.

Divisão. Divida um número complexoa+bi (divisível) por outroc + di(divisor) - significa encontrar o terceiro númeroe + f eu(chat), que quando multiplicado por um divisorc + di, resulta no dividendoa + bi.

Se o divisor não for zero, a divisão é sempre possível.

EXEMPLO Encontre (8 +eu ) : (2 – 3 eu) .

Solução. Vamos reescrever esta proporção como uma fração:

Multiplicando seu numerador e denominador por 2 + 3eu

E Realizadas todas as transformações, obtemos:

Representação geométrica de números complexos. Os números reais são representados por pontos na reta numérica:

Aqui está o ponto Asignifica o número –3, pontoB– número 2, e Ó- zero. Em contraste, os números complexos são representados por pontos no plano coordenado. Para tanto, escolhemos coordenadas retangulares (cartesianas) com as mesmas escalas em ambos os eixos. Então o número complexoa+bi será representado por um ponto P com abscissa a e ordenada b (Ver foto). Este sistema de coordenadas é chamado plano complexo .

Módulo número complexo é o comprimento do vetorOP, representando um número complexo na coordenada ( compreensivo) avião. Módulo de um número complexoa+bi denotado | a+bi| ou carta R

Um número complexo é um número da forma z =x + i * y, onde x e y são reais números, e i = unidade imaginária (ou seja, um número cujo quadrado é -1). Para definir a representação argumento compreensivo números, você precisa observar um número complexo no plano complexo no sistema de coordenadas polares.

Instruções

1. O plano no qual os complexos complexos são representados números, é chamado complexo. Neste plano, o eixo horizontal é ocupado por reais números(x), e o eixo vertical é imaginário números(s). Nesse plano, o número é dado por duas coordenadas z = (x, y). No sistema de coordenadas polares, as coordenadas de um ponto são o módulo e o argumento. O módulo é a distância |z| de um ponto até a origem. Um ângulo é chamado de argumento? entre o vetor que conecta o ponto e o prefácio de coordenadas e o eixo horizontal do sistema de coordenadas (ver figura).

2. A figura mostra que o módulo complexo números z = x + i * y é encontrado usando o teorema de Pitágoras: |z| = ? (x^2 + y^2). Argumento adicional números z é encontrado como um ângulo agudo de um triângulo - através dos valores das funções trigonométricas sin, cos, tan:sin? =s/? (x^2 + y^2),cos? =x/? (x^2 + y^2),tg ? = y/x.

3. Digamos que o número z = 5 * (1 + ?3 * i) seja dado. Em primeiro lugar, selecione as partes real e imaginária: z = 5 +5 * ?3 * i. Acontece que a parte real é x = 5 e a parte imaginária é y = 5 * ?3. Calcular módulo números: |z| = ?(25 + 75) = ?100 =10. A seguir, encontre o seno do ângulo ?: sin ? = 5/10 = 1/2. A partir daí obtemos o argumento números z é igual a 30°.

4. Exemplo 2. Seja dado o número z = 5 * i. Pela foto você pode ver que ângulo? = 90°. Verifique este valor usando a fórmula fornecida acima. Anote as coordenadas deste números no plano complexo: z = (0, 5). Módulo números|z| = 5. Tangente do ângulo tg? = 5/5 = 1. A partir daí segue o quê? = 90°.

5. Exemplo 3. Digamos que precisamos encontrar o argumento para a soma de 2 números complexos z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i. De acordo com as regras de adição, você adiciona esses dois complexos números: z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * eu = 3 + 9 * eu. Então, de acordo com o diagrama acima, calcule o argumento: tg? = 9/3 = 3.

Observação!
Se o número z = 0, então o valor do argumento para ele não está definido.

Conselho util
O valor do argumento de um número complexo é determinado com uma precisão de 2 * ? * k, onde k é qualquer número inteiro. O significado do argumento? de tal modo que -?

Correspondente a este número: .
O módulo de um número complexo z é geralmente denotado | z| ou R.

Sejam e números reais tais que um número complexo (notação usual). Então

Fundação Wikimedia. 2010.

Veja o que é “Módulo de um número complexo” em outros dicionários:

módulo de um número complexo- kompleksinio skaičiaus modulis statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. módulo do número complexo vok. Betrag der komplexen Zahl, m rus. módulo de um número complexo, m pranc. módulo do nome complexo, m … Fizikos terminų žodynas

- (módulo) A magnitude de um número em termos de sua distância de 0. O módulo, ou valor absoluto de um número real x (denotado por |x|), é a diferença entre x e 0, independentemente do sinal. Portanto, se x0, então |x|=x e se x 0, então |x|=–x... Dicionário econômico

Para um número complexo, consulte Valor absoluto. O módulo de transição de um sistema de logaritmos de base a para um sistema de base b é o número 1/logab... Grande Dicionário Enciclopédico

O valor absoluto ou módulo de um número real ou complexo x é a distância de x à origem. Mais precisamente: O valor absoluto de um número real x é um número não negativo, denotado por |x| e definido da seguinte forma: ... ... Wikipedia

Módulo de matemática, 1) M. (ou valor absoluto) de um número complexo z = x + iy é o número ═ (a raiz é obtida com um sinal de mais). Ao representar um número complexo z na forma trigonométrica z = r(cos j + i sin j), o número real r é igual a... ...

- (em matemática) uma medida para comparar quantidades homogêneas e para expressar uma delas usando outra; m. é expresso como um número. Dicionário de palavras estrangeiras incluídas na língua russa. Pavlenkov F., 1907. MÓDULO (lat.). 1) um número que se multiplica... ... Dicionário de palavras estrangeiras da língua russa

MÓDULO de um número complexo, veja Valor absoluto (veja VALOR ABSOLUTO). O módulo de transição de um sistema de logaritmos de base a para um sistema de base b é o número 1/logab... dicionário enciclopédico

Módulo I (do latim medida de módulo) em arquitetura, unidade convencional adotada para coordenar os tamanhos de partes de um edifício ou complexo. Na arquitetura de diferentes povos, dependendo das características da tecnologia construtiva e da composição dos edifícios por trás de M... ... Grande Enciclopédia Soviética

EU; m. [do lat. medida de módulo] 1. de quê. Especialista. Uma quantidade que caracteriza qual l. propriedade de um sólido. M. compressão. M. elasticidade. 2. Matemática. Número real, o valor absoluto de um número negativo ou positivo. M. número complexo. M... dicionário enciclopédico

Características numéricas de qualquer matemática objeto. Normalmente o valor de M é um número real não negativo, um elemento que possui certas características. propriedades determinadas pelas propriedades do conjunto de objetos em consideração. O conceito de M.... ... Enciclopédia Matemática

Definição 8.3 (1).

Comprimento |z| vetor z = (x,y) é chamado de módulo do número complexo z = x + yi

Como o comprimento de cada lado do triângulo não excede a soma dos comprimentos dos outros dois lados, e o valor absoluto da diferença nos comprimentos dos dois lados do triângulo não é menor que o comprimento do terceiro lado , então para quaisquer dois números complexos z 1 e z 2 as desigualdades são válidas

Definição 8.3 (2).

Argumento de número complexo. Se φ é o ângulo formado por um vetor z diferente de zero com o eixo real, então qualquer ângulo da forma (φ + 2πn, onde n é um número inteiro, e apenas um ângulo deste tipo, também será um ângulo formado por o vetor z com o eixo real.

O conjunto de todos os ângulos formados pelo vetor diferente de zero z = = (x, y) com o eixo real é chamado de argumento do número complexo z = x + yi e é denotado por arg z. Cada elemento deste conjunto é chamado de valor do argumento do número z (Fig. 8.3(1)).

Arroz. 8.3(1).

Como um vetor diferente de zero de um plano é determinado exclusivamente por seu comprimento e pelo ângulo que ele forma com o eixo x, então dois números complexos diferentes de zero são iguais se e somente se seus valores absolutos e argumentos forem iguais.

Se, por exemplo, a condição 0≤φ for imposta aos valores do argumento φ do número z<2π или условие -π<φ≤π, то значение аргумента будет определено однозначно. Такое значение называется главным значением аргумента.

Definição 8.3.(3)

Forma trigonométrica de escrever um número complexo. As partes real e imaginária de um número complexo z = x + уi ≠ 0 são expressas através do seu módulo r= |z| e o argumento φ como segue (da definição de seno e cosseno):

O lado direito desta igualdade é chamado de forma trigonométrica de escrever o número complexo z. Também usaremos isso para z = 0; neste caso, r = 0 e φ pode assumir qualquer valor - o argumento do número 0 é indefinido. Portanto, todo número complexo pode ser escrito na forma trigonométrica.

Também está claro que se o número complexo z for escrito na forma

então o número r é o seu módulo, já que

E φ é um dos valores do seu argumento

A forma trigonométrica de escrever números complexos pode ser conveniente para usar ao multiplicar números complexos; em particular, permite descobrir o significado geométrico do produto de números complexos.

Vamos encontrar fórmulas para multiplicar e dividir números complexos na forma trigonométrica. Se

então de acordo com a regra de multiplicação de números complexos (usando as fórmulas para seno e cosseno da soma)

Assim, ao multiplicar números complexos, seus valores absolutos são multiplicados e os argumentos são somados:

Aplicando esta fórmula sequencialmente a n números complexos, obtemos

Se todos os n números forem iguais, obtemos

Para onde

realizado

Portanto, para um número complexo cujo valor absoluto é 1 (portanto, tem a forma

Essa igualdade é chamada Fórmulas de Moivre

Em outras palavras, ao dividir números complexos, seus módulos são divididos,

e os argumentos são subtraídos.

Exemplos 8.3 (1).

Desenhe no plano complexo C um conjunto de pontos que satisfaçam as seguintes condições:

O que representa um determinado número complexo $z=a+bi$ é chamado de módulo do determinado número complexo.

O módulo de um determinado número complexo é calculado usando a seguinte fórmula:

Exemplo 1

Calcule o módulo dos números complexos dados $z_(1) =13,\, \, z_(2) =4i,\, \, \, z_(3) =4+3i$.

Calculamos o módulo de um número complexo $z=a+bi$ usando a fórmula: $r=\sqrt(a^(2) +b^(2) ) $.

Para o número complexo original $z_(1) =13$ obtemos $r_(1) =|z_(1) |=|13+0i|=\sqrt(13^(2) +0^(2) ) = \sqrt(169)=13$

Para o número complexo original $\, z_(2) =4i$ obtemos $r_(2) =|z_(2) |=|0+4i|=\sqrt(0^(2) +4^(2) ) = \sqrt(16) =4$

Para o número complexo original $\, z_(3) =4+3i$ obtemos $r_(3) =|z_(3) |=|4+3i|=\sqrt(4^(2) +3^( 2) ) =\sqrt(16+9) =\sqrt(25) =5$

Definição 2

O ângulo $\varphi $ formado pela direção positiva do eixo real e o vetor raio $\overrightarrow(OM) $, que corresponde a um determinado número complexo $z=a+bi$, é chamado de argumento deste número e é denotado por $\arg z$.

Nota 1

O módulo e o argumento de um determinado número complexo são usados ​​explicitamente ao representar um número complexo na forma trigonométrica ou exponencial:

• $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi)$ - forma trigonométrica;
• $z=r\cdot e^(i\varphi ) $ - forma exponencial.

Exemplo 2

Escreva um número complexo nas formas trigonométrica e exponencial, dado pelos seguintes dados: 1) $r=3;\varphi =\pi $; 2) $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $.

1) Substitua os dados $r=3;\varphi =\pi $ nas fórmulas correspondentes e obtenha:

$z=3\cdot (\cos \pi +i\sin \pi)$ - forma trigonométrica

$z=3\cdot e^(i\pi ) $ - forma exponencial.

2) Substitua os dados $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $ nas fórmulas correspondentes e obtenha:

$z=13\cdot (\cos \frac(3\pi )(4) +i\sin \frac(3\pi )(4))$ - forma trigonométrica

$z=13\cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ - forma exponencial.

Exemplo 3

Determine o módulo e o argumento dos números complexos fornecidos:

1) $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$; 2) $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$; 3) $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $; 4) $z=13\cdot e^(i\pi ) $.

Encontraremos o módulo e o argumento usando fórmulas para escrever um determinado número complexo nas formas trigonométrica e exponencial, respectivamente

\ \

1) Para o número complexo original $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$ obtemos $r=\sqrt(2) ;\varphi =2\pi $ .

2) Para o número complexo inicial $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$ nós obter $ r=\frac(5)(3) ;\varphi =\frac(2\pi )(3) $.

3) Para o número complexo inicial $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ obtemos $r=\sqrt(13) ;\varphi =\frac( 3\ pi )(4) $.

4) Para o número complexo original $z=13\cdot e^(i\pi ) $ obtemos $r=13;\varphi =\pi $.

O argumento $\varphi $ de um determinado número complexo $z=a+bi$ pode ser calculado usando as seguintes fórmulas:

\[\varphi =tg\frac(b)(a) ;\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ;\sin \varphi =\frac (b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) .\]

Na prática, para calcular o valor do argumento de um determinado número complexo $z=a+bi$, costuma-se usar a fórmula:

$\varphi =\arg z=\left\(\begin(array)(c) (arctg\frac(b)(a) ,a\ge 0) \\ (arctg\frac(b)(a) +\ pi, um

ou resolver um sistema de equações

$\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ) \\ (\sin \varphi = \frac(b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) \end(array)\right. $. (**)

Exemplo 4

Calcule o argumento dos números complexos dados: 1) $z=3$; 2)$z=4i$; 3) $z=1+i$; 4)$z=-5$; 5)$z=-2i$.

Como $z=3$, então $a=3,b=0$. Vamos calcular o argumento do número complexo original usando a fórmula (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(3) =arctg0=0.\]

Como $z=4i$, então $a=0,b=4$. Vamos calcular o argumento do número complexo original usando a fórmula (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(4)(0) =arctg(\infty)=\frac(\pi )(2).\]

Como $z=1+i$, então $a=1,b=1$. Vamos calcular o argumento do número complexo original resolvendo o sistema (**):

\[\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) =\frac(1)(\ sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \\ (\sin \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) = \frac(1)(\sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \end(array)\right. .\]

Do curso de trigonometria sabe-se que $\cos \varphi =\sin \varphi =\frac(\sqrt(2) )(2) $ para o ângulo correspondente ao primeiro quarto de coordenadas e igual a $\varphi =\frac (\pi )( 4) $.

Como $z=-5$, então $a=-5,b=0$. Vamos calcular o argumento do número complexo original usando a fórmula (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(-5) +\pi =arctg0+\pi =0+\pi =\pi .\]

Como $z=-2i$, então $a=0,b=-2$. Vamos calcular o argumento do número complexo original usando a fórmula (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(-2)(0) =arctg(-\infty)=\frac(3\pi )(2) .\]

Nota 2

O número $z_(3)$ é representado pelo ponto $(0;1)$, portanto, o comprimento do vetor raio correspondente é igual a 1, ou seja, $r=1$, e o argumento $\varphi =\frac(\pi )(2) $ conforme Nota 3.

O número $z_(4)$ é representado pelo ponto $(0;-1)$, portanto, o comprimento do vetor de raio correspondente é 1, ou seja, $r=1$, e o argumento $\varphi =\frac(3\pi )(2) $ conforme Nota 3.

O número $z_(5) $ é representado pelo ponto $(2;2)$, portanto, o comprimento do vetor de raio correspondente é igual a $\sqrt(2^(2) +2^(2) ) = \sqrt(4+4) = \sqrt(8) =2\sqrt(2) $, ou seja, $r=2\sqrt(2) $, e o argumento $\varphi =\frac(\pi )(4) $ pela propriedade de um triângulo retângulo.