Começaremos nossa consideração deste tópico estudando o conceito de fração como um todo, o que nos dará uma compreensão mais completa do significado de uma fração ordinária. Vamos dar os principais termos e sua definição, estudar o tópico em uma interpretação geométrica, ou seja, na linha de coordenadas, e também definir uma lista de ações básicas com frações.

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Ações de todo

Imagine um objeto consistindo de várias partes completamente iguais. Por exemplo, pode ser uma laranja, composta por várias fatias idênticas.

Definição 1

Parte de um todo ou parteé cada uma das partes iguais que compõem o objeto inteiro.

Obviamente, as ações podem ser diferentes. Para explicar claramente essa afirmação, imagine duas maçãs, uma das quais é cortada em duas partes iguais e a segunda em quatro. É claro que o tamanho das ações resultantes para diferentes maçãs irá variar.

As ações têm nomes próprios, que dependem do número de ações que compõem a totalidade do sujeito. Se um item tiver duas partes, cada uma delas será definida como uma segunda parte desse item; quando um objeto consiste em três partes, cada uma delas é um terço, e assim por diante.

Definição 2

Metade- uma segunda parte do assunto.

Terceiro- um terço do assunto.

Trimestre- um quarto do assunto.

Para encurtar o registro, foi introduzida a seguinte notação para ações: metade - 1 2 ou 1/2; terceiro - 1 3 ou 1/3; uma quarta parte 1 4 ou 1/4 e assim por diante. As entradas com uma barra horizontal são usadas com mais frequência.

O conceito de compartilhamento naturalmente se expande de objetos para magnitudes. Assim, você pode usar frações de um metro (um terço ou um centésimo) para medir pequenos objetos, como uma das unidades de comprimento. As cotas de outras quantidades podem ser aplicadas de forma semelhante.

Frações comuns, definição e exemplos

As frações ordinárias são usadas para descrever o número de ações. Considere um exemplo simples que nos aproximará da definição de uma fração ordinária.

Imagine uma laranja, composta por 12 fatias. Cada ação será então - um décimo segundo ou 1/12. Duas ações - 2/12; três ações - 3/12, etc. Todas as 12 partes ou um inteiro ficariam assim: 12 / 12 . Cada uma das entradas usadas no exemplo é um exemplo de uma fração comum.

Definição 3

Fração comumé um registro do formulário m n ou m / n , onde m e n são quaisquer números naturais.

De acordo com esta definição, exemplos de frações ordinárias podem ser entradas: 4/9, 1134, 91754. E essas entradas: 11 5 , 1 , 9 4 , 3 não são frações ordinárias.

Numerador e denominador

Definição 4

numerador fração comum m n ou m / n é um número natural m .

denominador fração comum m n ou m / n é um número natural n .

Aqueles. o numerador é o número acima da barra de uma fração ordinária (ou à esquerda da barra), e o denominador é o número abaixo da barra (à direita da barra).

Qual é o significado do numerador e do denominador? O denominador de uma fração ordinária indica em quantas ações consiste um item, e o numerador nos dá informações sobre quantas dessas ações são consideradas. Por exemplo, a fração comum 7 54 indica-nos que um determinado objeto consiste em 54 ações e, para consideração, levamos 7 dessas ações.

Número natural como uma fração com denominador 1

O denominador de uma fração ordinária pode ser igual a um. Nesse caso, é possível dizer que o objeto (valor) considerado é indivisível, é algo inteiro. O numerador em tal fração indicará quantos desses itens são retirados, ou seja, uma fração ordinária da forma m 1 tem o significado de um número natural m . Esta afirmação serve como justificativa para a igualdade m 1 = m .

Vamos escrever a última igualdade assim: m = m 1 . Isso nos dará a oportunidade de usar qualquer número natural na forma de uma fração ordinária. Por exemplo, o número 74 é uma fração ordinária da forma 74 1 .

Definição 5

Qualquer número natural m pode ser escrito como uma fração ordinária, onde o denominador é um: m 1 .

Por sua vez, qualquer fração ordinária da forma m 1 pode ser representada por um número natural m .

Barra de frações como sinal de divisão

A representação acima de um determinado objeto como n partes nada mais é do que uma divisão em n partes iguais. Quando um objeto é dividido em n partes, temos a oportunidade de dividi-lo igualmente entre n pessoas - cada um recebe sua parte.

No caso em que inicialmente temos m objetos idênticos (cada um dividido em n partes), então esses m objetos podem ser divididos igualmente entre n pessoas, dando a cada uma delas uma parte de cada um dos m objetos. Neste caso, cada pessoa terá m ações 1 n , e m ações 1 n dará uma fração ordinária m n . Portanto, a fração comum m n pode ser usada para representar a divisão de m itens entre n pessoas.

A declaração resultante estabelece uma conexão entre frações ordinárias e divisão. E essa relação pode ser expressa da seguinte forma : é possível significar a linha de uma fração como um sinal de divisão, ou seja, m/n=m:n.

Com a ajuda de uma fração ordinária, podemos escrever o resultado da divisão de dois números naturais. Por exemplo, dividir 7 maçãs por 10 pessoas será escrito como 7 10: cada pessoa receberá sete décimos.

Frações comuns iguais e desiguais

A ação lógica é comparar frações ordinárias, porque é óbvio que, por exemplo, 1 8 de uma maçã é diferente de 7 8 .

O resultado da comparação de frações ordinárias pode ser: igual ou desigual.

Definição 6

Frações comuns iguais são frações ordinárias a b e c d , para as quais a igualdade é verdadeira: a d = b c .

Frações comuns desiguais- frações ordinárias a b e c d , para as quais a igualdade: a · d = b · c não é verdadeira.

Um exemplo de frações iguais: 1 3 e 4 12 - já que a igualdade 1 12 \u003d 3 4 é verdadeira.

No caso em que as frações não são iguais, geralmente também é necessário descobrir qual das frações dadas é menor e qual é maior. Para responder a essas perguntas, as frações ordinárias são comparadas levando-as a um denominador comum e depois comparando os numeradores.

Números fracionários

Cada fração é um registro de um número fracionário, que na verdade é apenas uma “concha”, uma visualização da carga semântica. Mas ainda assim, por conveniência, combinamos os conceitos de fração e número fracionário, simplesmente falando - uma fração.

Todos os números fracionários, como qualquer outro número, têm sua própria localização exclusiva no raio coordenado: há uma correspondência um-para-um entre frações e pontos no raio coordenado.

Para encontrar um ponto no raio coordenado, denotando a fração m n , é necessário adiar m segmentos na direção positiva da origem das coordenadas, o comprimento de cada um dos quais será 1 n uma fração de um segmento unitário. Segmentos podem ser obtidos dividindo um único segmento em n partes idênticas.

Como exemplo, vamos denotar o ponto M no raio coordenado, que corresponde à fração 14 10 . O comprimento do segmento, cujas extremidades são o ponto O e o ponto mais próximo marcado com um pequeno traço, é igual a 1 10 frações do segmento unitário. O ponto correspondente à fração 14 10 está localizado a uma distância da origem das coordenadas a uma distância de 14 desses segmentos.

Se as frações são iguais, ou seja, eles correspondem ao mesmo número fracionário, então essas frações servem como coordenadas do mesmo ponto no raio coordenado. Por exemplo, as coordenadas na forma de frações iguais 1 3 , 2 6 , 3 9 , 5 15 , 11 33 correspondem ao mesmo ponto no raio coordenado, localizado a uma distância de um terço do segmento unitário, adiado do origem no sentido positivo.

O mesmo princípio funciona aqui com os inteiros: em um raio de coordenadas horizontal direcionado para a direita, o ponto ao qual a fração maior corresponde estará localizado à direita do ponto ao qual a fração menor corresponde. E vice-versa: o ponto, cuja coordenada é a fração menor, estará localizado à esquerda do ponto, que corresponde à coordenada maior.

Frações próprias e impróprias, definições, exemplos

A divisão de frações em próprias e impróprias é baseada na comparação do numerador e denominador dentro da mesma fração.

Definição 7

Fração própriaé uma fração ordinária em que o numerador é menor que o denominador. Isto é, se a desigualdade m< n , то обыкновенная дробь m n является правильной.

Fração imprópriaé uma fração cujo numerador é maior ou igual ao denominador. Ou seja, se a desigualdade undefined for verdadeira, então a fração ordinária m n é imprópria.

Aqui estão alguns exemplos: - frações próprias:

Exemplo 1

5 / 9 , 3 67 , 138 514 ;

Frações impróprias:

Exemplo 2

13 / 13 , 57 3 , 901 112 , 16 7 .

Também é possível dar uma definição de frações próprias e impróprias, com base na comparação de uma fração com uma unidade.

Definição 8

Fração própriaé uma fração comum menor que um.

Fração imprópriaé uma fração comum igual ou maior que um.

Por exemplo, a fração 8 12 está correta, porque 8 12< 1 . Дроби 53 2 и 14 14 являются неправильными, т.к. 53 2 >1 e 14 14 = 1 .

Vamos pensar um pouco mais fundo por que frações em que o numerador é maior ou igual ao denominador são chamadas de "impróprias".

Considere a fração imprópria 8 8: ela nos diz que 8 partes de um objeto que consiste em 8 partes são tomadas. Assim, das oito ações disponíveis, podemos compor um objeto inteiro, ou seja, a fração dada 8 8 representa essencialmente todo o objeto: 8 8 \u003d 1. As frações em que o numerador e o denominador são iguais substituem totalmente o número natural 1.

Considere também frações em que o numerador excede o denominador: 11 5 e 36 3 . É claro que a fração 11 5 indica que podemos fazer dois objetos inteiros com ela e ainda haverá um quinto dela. Aqueles. fração 11 5 são 2 objetos e outros 1 5 dele. Por sua vez, 36 3 é uma fração, o que significa essencialmente 12 objetos inteiros.

Esses exemplos permitem concluir que frações impróprias podem ser substituídas por números naturais (se o numerador for divisível pelo denominador sem resto: 8 8 \u003d 1; 36 3 \u003d 12) ou a soma de um número natural e um fração própria (se o numerador não for divisível pelo denominador sem resto: 11 5 = 2 + 1 5). É provavelmente por isso que essas frações são chamadas de "impróprias".

Aqui também encontramos uma das habilidades numéricas mais importantes.

Definição 9

Extraindo a parte inteira de uma fração imprópriaé uma fração imprópria escrita como a soma de um número natural e uma fração própria.

Observe também que existe uma relação próxima entre frações impróprias e números mistos.

Frações positivas e negativas

Acima dissemos que cada fração ordinária corresponde a um número fracionário positivo. Aqueles. frações ordinárias são frações positivas. Por exemplo, as frações 5 17 , 6 98 , 64 79 são positivas e, quando é necessário enfatizar a “positividade” de uma fração, ela é escrita usando um sinal de mais: + 5 17 , + 6 98 , + 64 79 .

Se atribuirmos um sinal de menos a uma fração ordinária, o registro resultante será um registro de um número fracionário negativo e, nesse caso, estamos falando de frações negativas. Por exemplo, - 8 17 , - 78 14 etc.

As frações positivas e negativas m n e - m n são números opostos, por exemplo, as frações 7 8 e - 7 8 são opostas.

Frações positivas, como qualquer número positivo em geral, significam uma adição, uma mudança para cima. Por sua vez, as frações negativas correspondem ao consumo, uma mudança no sentido de decréscimo.

Se considerarmos a linha de coordenadas, veremos que as frações negativas estão localizadas à esquerda do ponto de referência. Os pontos a que correspondem as frações, que são opostos (m n e - m n), estão localizados à mesma distância da origem das coordenadas O, mas em lados opostos desta.

Aqui também falamos separadamente sobre frações escritas na forma 0 n . Tal fração é igual a zero, ou seja. 0n = 0.

Resumindo todos os itens acima, chegamos ao conceito mais importante de números racionais.

Definição 10

Números racionaisé um conjunto de frações positivas, frações negativas e frações da forma 0 n .

Ações com frações

Vamos listar as operações básicas com frações. Em geral, sua essência é a mesma das operações correspondentes com números naturais

1. Comparação de frações - discutimos essa ação acima.
2. Adição de frações - o resultado da adição de frações ordinárias é uma fração ordinária (em um caso particular, reduzida a um número natural).
3. A subtração de frações é uma ação, o oposto da adição, quando uma fração desconhecida é determinada a partir de uma fração conhecida e uma determinada soma de frações.
4. Multiplicação de frações - esta ação pode ser descrita como encontrar uma fração de uma fração. O resultado da multiplicação de duas frações ordinárias é uma fração ordinária (em um caso particular, igual a um número natural).
5. A divisão de frações é o inverso da multiplicação, quando determinamos a fração pela qual é necessário multiplicar a dada para obter um produto conhecido de duas frações.

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Esse artigo é sobre frações comuns. Aqui vamos nos familiarizar com o conceito de fração de um todo, o que nos levará à definição de uma fração ordinária. Em seguida, vamos nos debruçar sobre a notação aceita para frações ordinárias e dar exemplos de frações, digamos sobre o numerador e o denominador de uma fração. Depois disso, daremos definições de frações corretas e incorretas, positivas e negativas, e também consideraremos a posição dos números fracionários no raio coordenado. Em conclusão, listamos as principais ações com frações.

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Ações de todo

Primeiro apresentamos compartilhar conceito.

Vamos supor que temos algum objeto composto de várias partes absolutamente idênticas (isto é, iguais). Para maior clareza, você pode imaginar, por exemplo, uma maçã cortada em várias partes iguais, ou uma laranja, composta por várias fatias iguais. Cada uma dessas partes iguais que compõem o objeto inteiro é chamada parte do todo ou simplesmente ações.

Observe que os compartilhamentos são diferentes. Vamos explicar isso. Digamos que temos duas maçãs. Vamos cortar a primeira maçã em duas partes iguais e a segunda em 6 partes iguais. É claro que a parte da primeira maçã será diferente da parte da segunda maçã.

Dependendo do número de compartilhamentos que compõem todo o objeto, esses compartilhamentos têm nomes próprios. Vamos analisar compartilhar nomes. Se o objeto consiste em duas partes, qualquer uma delas é chamada de segunda parte do objeto inteiro; se o objeto consiste em três partes, qualquer uma delas é chamada de uma terceira parte e assim por diante.

Uma segunda batida tem um nome especial - metade. Um terço é chamado terceiro, e um quádruplo - trimestre.

Por uma questão de brevidade, o seguinte compartilhar designações. Uma segunda ação é designada como ou 1/2, uma terceira ação - como ou 1/3; um quarto compartilhamento - like ou 1/4, e assim por diante. Observe que a notação com uma barra horizontal é usada com mais frequência. Para consolidar o material, vamos dar mais um exemplo: a entrada denota cento e sexagésimo sétimo do total.

O conceito de compartilhamento naturalmente se estende de objetos a magnitudes. Por exemplo, uma das medidas de comprimento é o metro. Para medir comprimentos inferiores a um metro, podem ser usadas frações de um metro. Então você pode usar, por exemplo, meio metro ou um décimo ou milésimo de metro. As participações de outras quantidades são aplicadas de forma semelhante.

Frações comuns, definição e exemplos de frações

Para descrever o número de ações são usados frações comuns. Vamos dar um exemplo que nos permitirá abordar a definição de frações ordinárias.

Deixe uma laranja consistir em 12 partes. Cada ação neste caso representa um duodécimo de uma laranja inteira, ou seja, . Vamos denotar duas batidas como , três batidas como , e assim por diante, 12 batidas como . Cada uma dessas entradas é chamada de fração ordinária.

Agora vamos dar uma geral definição de frações comuns.

A definição sonora de frações ordinárias nos permite trazer exemplos de frações comuns: 5/10, 21/1, 9/4, . E aqui estão os registros não se enquadram na definição sonora de frações ordinárias, ou seja, não são frações ordinárias.

Numerador e denominador

Por conveniência, em frações ordinárias distinguimos numerador e denominador.

Definição.

Numerador fração ordinária (m / n) é um número natural m.

Definição.

Denominador fração ordinária (m / n) é um número natural n.

Assim, o numerador está localizado acima da barra de fração (à esquerda da barra) e o denominador está abaixo da barra de fração (à direita da barra). Por exemplo, vamos pegar uma fração comum 17/29, o numerador dessa fração é o número 17 e o denominador é o número 29.

Resta discutir o significado contido no numerador e denominador de uma fração ordinária. O denominador da fração mostra em quantas ações um item é composto, o numerador, por sua vez, indica o número de tais ações. Por exemplo, o denominador 5 da fração 12/5 significa que um item consiste em cinco partes, e o numerador 12 significa que 12 dessas partes são tomadas.

Número natural como uma fração com denominador 1

O denominador de uma fração ordinária pode ser igual a um. Nesse caso, podemos supor que o objeto é indivisível, ou seja, é algo inteiro. O numerador de tal fração indica quantos itens inteiros são retirados. Assim, uma fração ordinária da forma m/1 tem o significado de um número natural m. Foi assim que substanciamos a igualdade m/1=m .

Vamos reescrever a última igualdade assim: m=m/1 . Essa igualdade nos permite representar qualquer número natural m como uma fração ordinária. Por exemplo, o número 4 é a fração 4/1 e o número 103498 é a fração 103498/1.

Então, qualquer número natural m pode ser representado como uma fração ordinária com denominador 1 como m/1, e qualquer fração ordinária da forma m/1 pode ser substituída por um número natural m.

Barra de frações como sinal de divisão

A representação do objeto original na forma de n partes nada mais é do que uma divisão em n partes iguais. Depois que o item for dividido em n partes, podemos dividi-lo igualmente entre n pessoas - cada uma receberá uma parte.

Se inicialmente temos m objetos idênticos, cada um dos quais é dividido em n partes, então podemos dividir igualmente esses m objetos entre n pessoas, dando a cada pessoa uma parte de cada um dos m objetos. Neste caso, cada pessoa terá m ações 1/n, e m ações 1/n dá uma fração ordinária m/n. Assim, a fração comum m/n pode ser usada para representar a divisão de m itens entre n pessoas.

Assim, conseguimos uma conexão explícita entre frações ordinárias e divisão (veja a ideia geral da divisão de números naturais). Essa relação é expressa da seguinte forma: A barra de uma fração pode ser entendida como um sinal de divisão, ou seja, m/n=m:n.

Com a ajuda de uma fração comum, você pode escrever o resultado da divisão de dois números naturais para os quais a divisão não é realizada por um inteiro. Por exemplo, o resultado da divisão de 5 maçãs por 8 pessoas pode ser escrito como 5/8, ou seja, cada um receberá cinco oitavos de uma maçã: 5:8=5/8.

Frações ordinárias iguais e desiguais, comparação de frações

Uma ação bastante natural é comparação de frações comuns, porque é claro que 1/12 de uma laranja é diferente de 5/12, e 1/6 de uma maçã é o mesmo que o outro 1/6 desta maçã.

Como resultado da comparação de duas frações ordinárias, um dos resultados é obtido: as frações são iguais ou não iguais. No primeiro caso temos frações comuns iguais, e no segundo frações comuns desiguais. Vamos dar uma definição de frações ordinárias iguais e desiguais.

Definição.

igual, se a igualdade a d=b c for verdadeira.

Definição.

Duas frações comuns a/b e c/d não igual, se a igualdade a d=b c não for satisfeita.

Aqui estão alguns exemplos de frações iguais. Por exemplo, a fração comum 1/2 é igual à fração 2/4, pois 1 4=2 2 (se necessário, veja as regras e exemplos de multiplicação de números naturais). Para maior clareza, você pode imaginar duas maçãs idênticas, a primeira é cortada ao meio e a segunda - em 4 partes. É óbvio que dois quartos de uma maçã são 1/2 por ação. Outros exemplos de frações comuns iguais são as frações 4/7 e 36/63, e o par de frações 81/50 e 1620/1000.

E as frações ordinárias 4/13 e 5/14 não são iguais, pois 4 14=56 e 13 5=65, ou seja, 4 14≠13 5. Outro exemplo de frações comuns desiguais são as frações 17/7 e 6/4.

Se, ao comparar duas frações ordinárias, descobrir que elas não são iguais, talvez você precise descobrir qual dessas frações ordinárias menor outro, e que mais. Para descobrir, é usada a regra para comparar frações ordinárias, cuja essência é trazer as frações comparadas a um denominador comum e depois comparar os numeradores. Informações detalhadas sobre este tópico são coletadas no artigo Comparação de frações: regras, exemplos, soluções.

Números fracionários

Cada fração é um registro número fracionário. Ou seja, uma fração é apenas uma “concha” de um número fracionário, sua aparência, e toda a carga semântica está contida precisamente em um número fracionário. No entanto, por brevidade e conveniência, o conceito de fração e número fracionário são combinados e simplesmente chamados de fração. Aqui é apropriado parafrasear um ditado bem conhecido: dizemos uma fração - queremos dizer um número fracionário, dizemos um número fracionário - queremos dizer uma fração.

Frações no feixe de coordenadas

Todos os números fracionários correspondentes a frações ordinárias têm seu próprio lugar único em , ou seja, há uma correspondência um a um entre frações e pontos do raio coordenado.

Para chegar ao ponto correspondente à fração m / n no raio coordenado, é necessário adiar m segmentos da origem na direção positiva, cujo comprimento é 1 / n do segmento unitário. Tais segmentos podem ser obtidos dividindo-se um único segmento em n partes iguais, o que sempre pode ser feito com compasso e régua.

Por exemplo, vamos mostrar o ponto M no raio coordenado, correspondente à fração 14/10. O comprimento do segmento com extremidades no ponto O e o ponto mais próximo a ele, marcado com um pequeno traço, é 1/10 do segmento unitário. O ponto com coordenada 14/10 é removido da origem por 14 desses segmentos.

Frações iguais correspondem ao mesmo número fracionário, ou seja, frações iguais são as coordenadas do mesmo ponto no raio coordenado. Por exemplo, um ponto corresponde às coordenadas 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 no raio coordenado, pois todas as frações escritas são iguais (está localizada a uma distância de metade do segmento unitário, adiada de a origem no sentido positivo).

Em um raio de coordenadas horizontal e direcionado à direita, o ponto cuja coordenada é uma fração grande está localizado à direita do ponto cuja coordenada é uma fração menor. Da mesma forma, o ponto com a coordenada menor fica à esquerda do ponto com a coordenada maior.

Frações próprias e impróprias, definições, exemplos

Entre as frações ordinárias, há frações próprias e impróprias. Essa divisão basicamente tem uma comparação do numerador e denominador.

Vamos dar uma definição de frações ordinárias próprias e impróprias.

Definição.

Fração própriaé uma fração ordinária, cujo numerador é menor que o denominador, isto é, se m

Definição.

Fração imprópriaé uma fração ordinária em que o numerador é maior ou igual ao denominador, ou seja, se m≥n, então a fração ordinária é imprópria.

Aqui estão alguns exemplos de frações próprias: 1/4 , , 32 765/909 003 . De fato, em cada uma das frações ordinárias escritas, o numerador é menor que o denominador (se necessário, veja o artigo comparação de números naturais), então eles estão corretos por definição.

E aqui estão exemplos de frações impróprias: 9/9, 23/4,. De fato, o numerador da primeira das frações ordinárias escritas é igual ao denominador, e nas frações restantes o numerador é maior que o denominador.

Existem também definições de frações próprias e impróprias baseadas na comparação de frações com uma.

Definição.

correto se for menor que um.

Definição.

A fração comum é chamada errado, se for igual a um ou maior que 1 .

Portanto, a fração ordinária 11/07 está correta, pois 11/07<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 e 27/27=1.

Vamos pensar em como frações ordinárias com um numerador maior ou igual ao denominador merecem tal nome - "errado".

Vamos pegar a fração imprópria 9/9 como exemplo. Essa fração significa que são tomadas nove partes de um objeto, que consiste em nove partes. Ou seja, das nove ações disponíveis, podemos compor um assunto inteiro. Ou seja, a fração imprópria 9/9 essencialmente dá um objeto inteiro, ou seja, 9/9=1. Em geral, frações impróprias com numerador igual ao denominador denotam um objeto inteiro, e tal fração pode ser substituída por um número natural 1.

Agora considere as frações impróprias 7/3 e 12/4. É bastante óbvio que desses sete terços podemos fazer dois objetos inteiros (um objeto inteiro é 3 partes, então para compor dois objetos inteiros precisamos de 3 + 3 = 6 partes) e ainda haverá um terço. Ou seja, a fração imprópria 7/3 significa essencialmente 2 itens e até 1/3 da parcela de tal item. E a partir de doze quartos podemos fazer três objetos inteiros (três objetos com quatro partes cada). Ou seja, a fração 12/4 significa essencialmente 3 objetos inteiros.

Os exemplos considerados nos levam à seguinte conclusão: as frações impróprias podem ser substituídas tanto por números naturais, quando o numerador é dividido inteiramente pelo denominador (por exemplo, 9/9=1 e 12/4=3), quanto pela soma de um número natural e uma fração própria, quando o numerador não é divisível pelo denominador (por exemplo, 7/3=2+1/3). Talvez seja exatamente isso que frações impróprias merecem esse nome - "errado".

De particular interesse é a representação de uma fração imprópria como a soma de um número natural e uma fração própria (7/3=2+1/3). Esse processo é chamado de extração de uma parte inteira de uma fração imprópria e merece uma consideração separada e mais cuidadosa.

Também é importante notar que existe uma relação muito próxima entre frações impróprias e números mistos.

Frações positivas e negativas

Cada fração ordinária corresponde a um número fracionário positivo (veja o artigo números positivos e negativos). Ou seja, as frações ordinárias são frações positivas. Por exemplo, frações ordinárias 1/5, 56/18, 35/144 são frações positivas. Quando é necessário enfatizar a positividade de uma fração, um sinal de mais é colocado na frente dela, por exemplo, +3/4, +72/34.

Se você colocar um sinal de menos na frente de uma fração comum, essa entrada corresponderá a um número fracionário negativo. Neste caso, pode-se falar de frações negativas. Aqui estão alguns exemplos de frações negativas: −6/10 , −65/13 , −1/18 .

As frações positivas e negativas m/n e −m/n são números opostos. Por exemplo, as frações 5/7 e −5/7 são frações opostas.

Frações positivas, como números positivos em geral, denotam um aumento, renda, uma mudança em algum valor para cima, etc. Frações negativas correspondem a despesas, dívidas, uma mudança em qualquer valor na direção da diminuição. Por exemplo, uma fração negativa -3/4 pode ser interpretada como uma dívida, cujo valor é 3/4.

Na horizontal e as frações negativas direcionadas à direita estão localizadas à esquerda do ponto de referência. Os pontos da linha de coordenadas cujas coordenadas são a fração positiva m/n e a fração negativa −m/n estão localizados à mesma distância da origem, mas em lados opostos do ponto O .

Aqui vale a pena mencionar frações da forma 0/n. Essas frações são iguais ao número zero, ou seja, 0/n=0 .

Frações positivas, frações negativas e frações 0/n se combinam para formar números racionais.

Ações com frações

Uma ação com frações ordinárias - comparando frações - já consideramos acima. Mais quatro aritméticas são definidas operações com frações- adição, subtração, multiplicação e divisão de frações. Vamos nos debruçar sobre cada um deles.

A essência geral das ações com frações é semelhante à essência das ações correspondentes com números naturais. Vamos fazer uma analogia.

Multiplicação de frações pode ser considerado como uma ação em que uma fração é encontrada a partir de uma fração. Para esclarecer, vamos dar um exemplo. Suponha que temos 1/6 de uma maçã e precisamos pegar 2/3 dela. A parte que precisamos é o resultado da multiplicação das frações 1/6 e 2/3. O resultado da multiplicação de duas frações ordinárias é uma fração ordinária (que em um caso particular é igual a um número natural). Além disso, recomendamos estudar a informação do artigo multiplicação de frações - regras, exemplos e soluções.

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Estudando a rainha de todas as ciências - a matemática, em algum momento todos se deparam com frações. Embora este conceito (assim como os próprios tipos de frações ou operações matemáticas com elas) seja bastante simples, deve ser tratado com cuidado, pois na vida real fora da escola será muito útil. Então, vamos atualizar nosso conhecimento sobre frações: o que são, para que servem, que tipos são e como realizar várias operações aritméticas com elas.

Sua Majestade a fração: o que é

Frações em matemática são números, cada um dos quais consiste em uma ou mais partes da unidade. Essas frações também são chamadas de ordinárias ou simples. Como regra, eles são escritos como dois números, separados por uma barra horizontal ou barra, é chamado de "fracionário". Por exemplo: ½, ¾.

A parte superior, ou primeiro desses números é o numerador (mostra quantas frações do número são tomadas), e a parte inferior, ou segundo, é o denominador (demonstra em quantas partes a unidade é dividida).

A barra fracionária realmente funciona como um sinal de divisão. Por exemplo, 7:9=7/9

Tradicionalmente, as frações comuns são menores que um. Enquanto os decimais podem ser maiores do que isso.

Para que servem as frações? Sim, para tudo, porque no mundo real nem todos os números são inteiros. Por exemplo, duas alunas do refeitório compraram juntas uma deliciosa barra de chocolate. Quando estavam prestes a compartilhar a sobremesa, encontraram uma amiga e decidiram tratá-la também. No entanto, agora é necessário dividir corretamente a barra de chocolate, pois consiste em 12 quadrados.

No início, as meninas queriam dividir tudo igualmente, e depois cada uma receberia quatro peças. Mas, depois de pensar sobre isso, eles decidiram tratar sua namorada, não 1/3, mas 1/4 de chocolates. E como as alunas não estudavam bem as frações, elas não levavam em conta que em tal cenário, como resultado, elas teriam 9 peças muito mal divididas em duas. Este exemplo bastante simples mostra como é importante ser capaz de encontrar corretamente a parte de um número. Mas na vida há muitos outros casos assim.

Tipos de frações: ordinárias e decimais

Todas as frações matemáticas são divididas em dois dígitos grandes: ordinário e decimal. As características do primeiro deles foram descritas no parágrafo anterior, então agora vale a pena prestar atenção ao segundo.

Um decimal é uma notação posicional de uma fração de um número, que é fixada em uma letra separada por uma vírgula, sem traço ou barra. Por exemplo: 0,75, 0,5.

De fato, uma fração decimal é idêntica a uma ordinária, porém, seu denominador é sempre um seguido de zeros - daí seu nome.

O número que precede a vírgula é a parte inteira, e tudo depois da vírgula é a parte fracionária. Qualquer fração simples pode ser convertida em decimal. Assim, as frações decimais indicadas no exemplo anterior podem ser escritas como ordinárias: ¾ e ½.

Vale a pena notar que as frações decimais e ordinárias podem ser positivas e negativas. Se eles forem precedidos por um sinal "-", essa fração é negativa, se "+" - então positiva.

Subtipos de frações ordinárias

Existem esses tipos de frações simples.

Subespécies da fração decimal

Ao contrário de uma fração decimal simples, é dividida em apenas 2 tipos.

• Final - recebeu esse nome devido ao fato de que após a vírgula tem um número limitado (final) de dígitos: 19,25.
• Uma fração infinita é um número com um número infinito de dígitos após o ponto decimal. Por exemplo, ao dividir 10 por 3, o resultado será uma fração infinita 3,333...

Adição de frações

Realizar várias manipulações aritméticas com frações é um pouco mais difícil do que com números comuns. No entanto, se você aprender as regras básicas, resolver qualquer exemplo com elas não será difícil.

Por exemplo: 2/3+3/4. O mínimo múltiplo comum para eles será 12, portanto, é necessário que esse número esteja em cada denominador. Para fazer isso, multiplicamos o numerador e o denominador da primeira fração por 4, resulta 8/12, fazemos o mesmo com o segundo termo, mas apenas multiplicamos por 3 - 9/12. Agora você pode resolver facilmente o exemplo: 8/12+9/12= 17/12. A fração resultante é um valor incorreto porque o numerador é maior que o denominador. Ela pode e deve ser convertida na mistura correta dividindo 17:12 = 1 e 5/12.

Se forem adicionadas frações mistas, primeiro as ações são executadas com inteiros e depois com fracionárias.

Se o exemplo contém uma fração decimal e uma ordinária, é necessário que ambas se tornem simples, então traga-as para o mesmo denominador e some-as. Por exemplo 3,1+1/2. O número 3.1 pode ser escrito como uma fração mista de 3 e 1/10, ou como imprópria - 31/10. O denominador comum para os termos será 10, então você precisa multiplicar o numerador e o denominador 1/2 por 5, por sua vez, resulta em 5/10. Então você pode calcular tudo facilmente: 31/10+5/10=35/10. O resultado obtido é uma fração contrátil imprópria, nós a trazemos para a forma normal, reduzindo-a por 5: 7/2=3 e 1/2, ou decimal - 3,5.

Ao adicionar 2 casas decimais, é importante que haja o mesmo número de dígitos após a vírgula. Se este não for o caso, você só precisa adicionar o número necessário de zeros, porque em uma fração decimal isso pode ser feito sem problemas. Por exemplo, 3,5+3,005. Para resolver esta tarefa, você precisa adicionar 2 zeros ao primeiro número e depois adicionar por sua vez: 3,500 + 3,005 = 3,505.

Subtração de frações

Ao subtrair frações, vale a pena fazer o mesmo que ao somar: reduzir a um denominador comum, subtrair um numerador de outro, se necessário, converter o resultado em uma fração mista.

Por exemplo: 16/20-5/10. O denominador comum será 20. Você precisa trazer a segunda fração para este denominador, multiplicando ambas as partes por 2, você obtém 10/20. Agora você pode resolver o exemplo: 16/20-10/20= 6/20. No entanto, esse resultado se aplica a frações redutíveis, então vale a pena dividir as duas partes por 2 e o resultado é 3/10.

Multiplicação de frações

A divisão e a multiplicação de frações são operações muito mais simples do que a adição e a subtração. O fato é que ao realizar essas tarefas, não há necessidade de buscar um denominador comum.

Para multiplicar frações, você só precisa multiplicar alternadamente os dois numeradores e depois os dois denominadores. Reduza o resultado resultante se a fração for um valor reduzido.

Por exemplo: 4/9x5/8. Após a multiplicação alternada, o resultado é 4x5/9x8=20/72. Essa fração pode ser reduzida em 4, então a resposta final no exemplo é 5/18.

Como dividir frações

Dividir frações também é uma ação simples, na verdade ainda se resume a multiplicá-las. Para dividir uma fração por outra, você precisa virar a segunda e multiplicar pela primeira.

Por exemplo, divisão de frações 5/19 e 5/7. Para resolver o exemplo, você precisa trocar o denominador e numerador da segunda fração e multiplicar: 5/19x7/5=35/95. O resultado pode ser reduzido em 5 - acontece 19/07.

Se você precisar dividir uma fração por um número primo, a técnica é um pouco diferente. Inicialmente, vale a pena escrever esse número como uma fração imprópria e depois dividir de acordo com o mesmo esquema. Por exemplo, 2/13:5 deve ser escrito como 2/13:5/1. Agora você precisa virar 5/1 e multiplicar as frações resultantes: 2/13x1/5= 2/65.

Às vezes você tem que dividir frações mistas. Você precisa lidar com eles, como com números inteiros: transformá-los em frações impróprias, virar o divisor e multiplicar tudo. Por exemplo, 8 ½: 3. Transformando tudo em frações impróprias: 17/2: 3/1. Isto é seguido por um flip de 3/1 e multiplicação: 17/2x1/3= 17/6. Agora você deve traduzir a fração errada para a certa - 2 inteiros e 5/6.

Então, tendo descoberto o que são frações e como você pode realizar várias operações aritméticas com elas, você precisa tentar não esquecê-las. Afinal, as pessoas estão sempre mais inclinadas a dividir algo em partes do que a somar, então você precisa ser capaz de fazer direito.

Fração- uma forma de representação de um número em matemática. A barra indica a operação de divisão. numerador frações é chamado de dividendo, e denominador- divisor. Por exemplo, em uma fração, o numerador é 5 e o denominador é 7.

Correto Uma fração é chamada se o módulo do numerador for maior que o módulo do denominador. Se a fração estiver correta, então o módulo de seu valor é sempre menor que 1. Todas as outras frações são errado.

A fração é chamada misturado, se for escrito como um inteiro e uma fração. Este é o mesmo que a soma deste número e uma fração:

Propriedade básica de uma fração

Se o numerador e o denominador de uma fração forem multiplicados pelo mesmo número, o valor da fração não mudará, ou seja, por exemplo,

Trazendo frações para um denominador comum

Para trazer duas frações para um denominador comum, você precisa:

1. Multiplique o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda
2. Multiplique o numerador da segunda fração pelo denominador da primeira
3. Substitua os denominadores de ambas as frações pelo seu produto

Ações com frações

Adição. Para somar duas frações, você precisa

1. Adicione novos numeradores de ambas as frações e deixe o denominador inalterado

Exemplo:

Subtração. Para subtrair uma fração de outra,

1. Traga frações para um denominador comum
2. Subtraia o numerador da segunda fração do numerador da primeira fração e deixe o denominador inalterado

Exemplo:

Multiplicação. Para multiplicar uma fração por outra, multiplique seus numeradores e denominadores:

Divisão. Para dividir uma fração por outra, multiplique o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda e multiplique o denominador da primeira fração pelo numerador da segunda:

Numerador

quartos

1. Ordem. uma e b existe uma regra que permite identificar exclusivamente entre eles uma e apenas uma das três relações: “< », « >' ou ' = '. Essa regra é chamada regra de ordenação e é formulado da seguinte forma: dois números não negativos e estão relacionados pela mesma relação que dois inteiros e ; dois números não positivos uma e b estão relacionados pela mesma relação que dois números não negativos e ; se de repente uma não negativo e b- negativo, então uma > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   soma de frações

2. operação de adição. Para quaisquer números racionais uma e b existe um chamado regra de somatória c. No entanto, o próprio número c chamado soma números uma e b e é denotado , e o processo de encontrar tal número é chamado soma. A regra de soma tem a seguinte forma: .
3. operação de multiplicação. Para quaisquer números racionais uma e b existe um chamado regra de multiplicação, o que os coloca em correspondência com algum número racional c. No entanto, o próprio número c chamado trabalhar números uma e b e é denotado , e o processo de encontrar tal número também é chamado multiplicação. A regra de multiplicação é a seguinte: .
4. Transitividade da relação de ordem. Para qualquer triplo de números racionais uma , b e c E se uma menor b e b menor c, então uma menor c, e se umaé igual a b e bé igual a c, então umaé igual a c. 6435">Comutatividade da adição. A soma não muda ao mudar os lugares dos termos racionais.
5. Associatividade de adição. A ordem em que três números racionais são adicionados não afeta o resultado.
6. A presença de zero. Existe um número racional 0 que preserva todos os outros números racionais quando somados.
7. A presença de números opostos. Qualquer número racional tem um número racional oposto, que, quando somado, dá 0.
8. Comutatividade da multiplicação. Ao mudar os lugares dos fatores racionais, o produto não muda.
9. Associatividade da multiplicação. A ordem em que três números racionais são multiplicados não afeta o resultado.
10. A presença de uma unidade. Existe um número racional 1 que preserva todos os outros números racionais quando multiplicado.
11. A presença de recíprocos. Qualquer número racional tem um número racional inverso, que, quando multiplicado, dá 1.
12. Distributividade da multiplicação em relação à adição. A operação de multiplicação é consistente com a operação de adição através da lei de distribuição:
13. Ligação da relação de ordem com a operação de adição. O mesmo número racional pode ser adicionado aos lados esquerdo e direito de uma desigualdade racional. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Axioma de Arquimedes. Qualquer que seja o número racional uma, você pode pegar tantas unidades que a soma delas excederá uma. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Propriedades adicionais

Todas as outras propriedades inerentes aos números racionais não são destacadas como básicas, porque, em geral, elas não são mais baseadas diretamente nas propriedades dos números inteiros, mas podem ser provadas com base nas propriedades básicas dadas ou diretamente pela definição de algum objeto matemático. Existem muitas dessas propriedades adicionais. Faz sentido aqui citar apenas alguns deles.

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Definir contagem

Numeração de números racionais

Para estimar o número de números racionais, você precisa encontrar a cardinalidade de seu conjunto. É fácil provar que o conjunto dos números racionais é contável. Para isso, basta fornecer um algoritmo que enumere os números racionais, ou seja, estabeleça uma bijeção entre os conjuntos dos números racionais e naturais.

O mais simples desses algoritmos é o seguinte. Uma tabela infinita de frações ordinárias é compilada, em cada eu-ésima linha em cada jª coluna da qual é uma fração. Por definição, assume-se que as linhas e colunas desta tabela são numeradas a partir de um. As células da tabela são indicadas , onde eu- o número da linha da tabela em que a célula está localizada e j- número da coluna.

A tabela resultante é gerenciada por uma "cobra" de acordo com o seguinte algoritmo formal.

Essas regras são pesquisadas de cima para baixo e a próxima posição é selecionada pela primeira correspondência.

No processo de tal desvio, cada novo número racional é atribuído ao próximo número natural. Ou seja, as frações 1 / 1 recebem o número 1, as frações 2 / 1 - o número 2, etc. Deve-se notar que apenas as frações irredutíveis são numeradas. O sinal formal de irredutibilidade é a igualdade à unidade do máximo divisor comum do numerador e denominador da fração.

Seguindo este algoritmo, pode-se enumerar todos os números racionais positivos. Isso significa que o conjunto dos números racionais positivos é contável. É fácil estabelecer uma bijeção entre os conjuntos dos números racionais positivos e negativos, simplesmente atribuindo a cada número racional seu oposto. Que. o conjunto dos números racionais negativos também é contável. Sua união também é contável pela propriedade de conjuntos contáveis. O conjunto dos números racionais também é contável como a união de um conjunto contável com um finito.

A afirmação sobre a enumerabilidade do conjunto dos números racionais pode causar alguma perplexidade, pois à primeira vista tem-se a impressão de que é muito maior que o conjunto dos números naturais. Na verdade, este não é o caso, e há números naturais suficientes para enumerar todos os racionais.

Insuficiência de números racionais

A hipotenusa de tal triângulo não é expressa por nenhum número racional

Números racionais da forma 1 / n em geral n quantidades arbitrariamente pequenas podem ser medidas. Este fato cria uma impressão enganosa de que os números racionais podem medir qualquer distância geométrica em geral. É fácil mostrar que isso não é verdade.

Sabe-se do teorema de Pitágoras que a hipotenusa de um triângulo retângulo é expressa como a raiz quadrada da soma dos quadrados de seus catetos. Que. o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles com um cateto unitário é igual a, ou seja, um número cujo quadrado é 2.

Se assumirmos que o número é representado por algum número racional, então existe tal inteiro m e um número tão natural n, que, além disso, a fração é irredutível, ou seja, os números m e n são coprime.