Modelo estocástico em economia. Modelos determinísticos e estocásticos

A modelagem é uma das ferramentas mais importantes na vida moderna quando se quer prever o futuro. E isso não é surpreendente, porque a precisão desse método é muito alta. Vamos dar uma olhada no que é um modelo determinístico neste artigo.

informações gerais

Modelos de sistemas determinísticos têm a característica de que podem ser analisados analiticamente se forem simples o suficiente. Caso contrário, ao utilizar um número significativo de equações e variáveis para este fim, podem ser utilizados computadores eletrônicos. Além disso, a assistência informática, em regra, resume-se apenas a resolvê-los e encontrar respostas. Por isso, é necessário alterar os sistemas de equações e usar uma discretização diferente. E isso acarreta um risco aumentado de erros nos cálculos. Todos os tipos de modelos determinísticos são caracterizados pelo fato de que o conhecimento dos parâmetros em um determinado intervalo em estudo nos permite determinar completamente a dinâmica de desenvolvimento além dos indicadores conhecidos.

Peculiaridades

Modelagem de fatores

Referências a isso podem ser vistas ao longo do artigo, mas ainda não discutimos o que é. A modelagem fatorial implica que as principais disposições sejam destacadas, para as quais é necessária uma comparação quantitativa. Para atingir os objetivos traçados, o estudo produz uma transformação da forma.

Se um modelo rigidamente determinístico tem mais de dois fatores, então é chamado multifatorial. Sua análise pode ser realizada através de vários métodos. Como exemplo, damos Neste caso, considera as tarefas estabelecidas do ponto de vista de modelos pré-estabelecidos e desenvolvidos a priori. A escolha entre eles é realizada de acordo com a representação do conteúdo.

Para a construção qualitativa do modelo, é necessário utilizar estudos teóricos e experimentais da essência do processo tecnológico e suas relações de causa e efeito. Esta é precisamente a principal vantagem dos assuntos que estamos considerando. Modelos determinísticos permitem previsões precisas em muitas áreas de nossas vidas. Devido aos seus parâmetros de qualidade e versatilidade, eles se tornaram tão difundidos.

Modelos determinísticos cibernéticos

Eles são de nosso interesse devido aos processos transitórios baseados em análise que ocorrem com qualquer mudança, mesmo a mais insignificante, nas propriedades agressivas do ambiente externo. Por simplicidade e rapidez de cálculos, o estado atual das coisas é substituído por um modelo simplificado. É importante que ele satisfaça todos os requisitos básicos.

A eficiência do sistema de controle automático e a eficácia de suas decisões dependem da unidade de todos os parâmetros necessários. Ao mesmo tempo, é necessário resolver o seguinte problema: quanto mais informações são coletadas, maior a probabilidade de erro e maior o tempo de processamento. Mas se você limitar a coleta de seus dados, poderá contar com um resultado menos confiável. Portanto, é necessário encontrar um meio termo que permita obter informações com precisão suficiente e, ao mesmo tempo, não seja desnecessariamente complicada por elementos desnecessários.

Modelo determinístico multiplicativo

Ele é construído dividindo os fatores em seu conjunto. Como exemplo, podemos considerar o processo de formação do volume de produtos manufaturados (PP). Então, para isso é necessário ter mão de obra (PC), materiais (M) e energia (E). Neste caso, o fator PP pode ser dividido em um conjunto (RS; M; E). Esta opção reflete a forma multiplicativa do sistema fatorial e a possibilidade de sua separação. Nesse caso, você pode usar os seguintes métodos de transformação: expansão, decomposição formal e alongamento. A primeira opção encontrou ampla aplicação na análise. Ele pode ser usado para calcular o desempenho de um funcionário e assim por diante.

O alongamento substitui um valor por outros fatores. Mas o resultado final deve ser o mesmo número. Um exemplo de extensão foi considerado por nós acima. Apenas a expansão formal permanece. Envolve o uso de alongamento do denominador do modelo fatorial original devido à substituição de um ou mais parâmetros. Considere este exemplo: calculamos a lucratividade da produção. Para fazer isso, o valor do lucro é dividido pelo valor dos custos. Na multiplicação, ao invés de um valor único, dividimos pelo somatório das despesas de material, pessoal, impostos, etc.

Probabilidades

Ah, se tudo saísse exatamente como planejado! Mas isso raramente acontece. Portanto, na prática, são determinísticos e muitas vezes usados juntos.O que se pode dizer sobre este último? Sua peculiaridade é que eles também levam em consideração várias probabilidades. Tomemos, por exemplo, o seguinte. Existem dois estados. As relações entre eles são muito ruins. O terceiro decide se deve investir nas empresas de um dos países. Afinal, se uma guerra estourar, os lucros sofrerão muito. Ou você pode citar o exemplo da construção de uma usina em uma área com alta atividade sísmica. Aqui, afinal, há fatores naturais que não podem ser levados em conta exatamente, só podem ser feitos aproximadamente.

Conclusão

Consideramos o que são modelos de análise determinística. Infelizmente, para entendê-los completamente e poder colocá-los em prática, você deve aprender muito bem. Os fundamentos teóricos já estão estabelecidos. Além disso, no âmbito do artigo, foram apresentados exemplos simples separados. Além disso, é melhor seguir o caminho da complicação gradual do material de trabalho. Você pode simplificar um pouco sua tarefa e começar a aprender sobre o software que pode realizar a simulação apropriada. Mas seja qual for a escolha, entender o básico e ser capaz de responder perguntas sobre o que, como e por que, ainda é necessário. Você deve aprender a começar escolhendo os dados de entrada corretos e escolhendo as ações corretas. Então os programas serão capazes de realizar suas tarefas com sucesso.

Os modelos de sistema dos quais falamos até agora foram determinísticos (definidos), ou seja, a tarefa da ação de entrada determinava a saída do sistema de forma inequívoca. No entanto, isso raramente acontece na prática: a descrição de sistemas reais é geralmente caracterizada pela incerteza. Por exemplo, para um modelo estático, a incerteza pode ser considerada escrevendo a relação de lugar (2.1)

onde é o erro reduzido à saída do sistema.

As razões para a incerteza são variadas:

– erros e interferências nas medições das entradas e saídas do sistema (erros naturais);

– a imprecisão do próprio modelo do sistema, o que torna necessário introduzir artificialmente um erro no modelo;

– informações incompletas sobre os parâmetros do sistema, etc.

Dentre as várias formas de esclarecer e formalizar a incerteza, a mais difundida é a abordagem caótica (probabilística), na qual quantidades incertas são consideradas aleatórias. O aparato conceitual e computacional desenvolvido da teoria das probabilidades e da estatística matemática permite fornecer recomendações específicas para escolher a estrutura de um sistema e estimar seus parâmetros. A classificação dos modelos estocásticos de sistemas e os métodos para seu estudo são apresentados na Tabela. 1.4. As conclusões e recomendações são baseadas no efeito da média: desvios aleatórios dos resultados da medição de uma certa quantidade em relação ao seu valor esperado se cancelam quando somados, e a média aritmética de um grande número de medições acaba se aproximando do valor esperado . As formulações matemáticas deste efeito são dadas pela lei dos grandes números e pelo teorema do limite central. A lei dos grandes números diz que se são variáveis aleatórias com expectativa matemática (média) e variância, então

para grande o suficiente N. Isso indica a possibilidade fundamental de uma estimativa arbitrariamente precisa a partir de medições. O teorema do limite central, que refina (2.32), afirma que

onde é uma variável aleatória padrão normalmente distribuída

Como a distribuição da quantidade é bem conhecida e tabulada (por exemplo, sabe-se que a relação (2.33) nos permite calcular o erro de estimação. Vamos, por exemplo, encontrar em que número de medidas o erro de estimação sua expectativa matemática com uma probabilidade de 0,95 será menor que 0,01 , se a variância de cada medida for igual a 0,25 De (2,33) descobrimos que a desigualdade deve valer de onde N> 10000.

É claro que as formulações (2.32), (2.33) podem receber uma forma mais rigorosa, e isso pode ser feito facilmente usando os conceitos de convergência probabilística. Dificuldades surgem ao tentar verificar as condições dessas afirmações estritas. Por exemplo, na lei dos grandes números e no teorema do limite central, a independência das medidas individuais (realizações) de uma variável aleatória e a finitude de sua variância são exigidas. Se essas condições forem violadas, as conclusões também poderão ser violadas. Por exemplo, se todas as medições forem iguais: então, embora todas as outras condições sejam satisfeitas, a média está fora de questão. Outro exemplo: a lei dos grandes números é injusta se as variáveis aleatórias são distribuídas de acordo com a lei de Cauchy (com uma densidade de distribuição que não tem expectativa matemática finita e variância. Mas tal lei ocorre na vida! no mar (em um navio) e ligado em momentos aleatórios.

Mas ainda mais difícil é a verificação da validade do próprio uso do termo "aleatório". O que é uma variável aleatória, um evento aleatório, etc. Costuma-se dizer que o evento MAS por acaso, se como resultado da experiência pode ocorrer (com uma probabilidade R) ou não ocorrer (com uma probabilidade de 1- R). Tudo, porém, não é tão simples. O próprio conceito de probabilidade pode ser associado aos resultados dos experimentos apenas pela frequência de sua ocorrência em uma determinada linha (série) de experimentos: , onde N / Dé o número de experimentos em que o evento ocorreu, N- número total; experimentos. Se os números forem suficientemente grandes N aproximar algum número constante r A:

aquele evento MAS pode ser chamado de aleatório, e o número R- sua probabilidade. Nesse caso, as frequências observadas em diferentes séries de experimentos devem estar próximas umas das outras (essa propriedade é chamada de estabilidade estatística ou homogeneidade). Isso também se aplica ao conceito de variável aleatória, uma vez que o valor é aleatório se os eventos forem aleatórios (e<£<Ь} для любых чисел uma,b. As frequências de ocorrência de tais eventos em longas séries de experimentos devem se agrupar em torno de alguns valores constantes.

Assim, para a aplicabilidade da abordagem estocástica, os seguintes requisitos devem ser atendidos:

1) a natureza de massa dos experimentos, ou seja, um número suficientemente grande;

2) a repetibilidade das condições dos experimentos, justificando a comparação dos resultados de diferentes experimentos;

3) estabilidade estatística.

A abordagem estocástica obviamente não pode ser aplicada a experimentos únicos: expressões como “probabilidade de chover amanhã”, “Zenith vai ganhar a taça com uma probabilidade de 0,8”, etc. não têm sentido. Mas mesmo que haja caráter de massa e repetibilidade dos experimentos, pode não haver estabilidade estatística, e não é tarefa fácil verificar isso. Estimativas conhecidas do desvio de frequência da probabilidade são baseadas no teorema do limite central ou na desigualdade de Chebyshev e requerem hipóteses adicionais sobre a independência ou dependência fraca das medidas. A verificação experimental da condição de independência é ainda mais difícil, pois requer experimentos adicionais.

A metodologia e as receitas práticas para aplicar a teoria da probabilidade são descritas com mais detalhes no livro instrutivo de V.N. Tutubalina, cuja ideia é dada pelas seguintes citações:

“É extremamente importante erradicar a ilusão, às vezes encontrada entre engenheiros e cientistas naturais que não estão suficientemente familiarizados com a teoria da probabilidade, de que o resultado de qualquer experimento pode ser considerado uma variável aleatória. Em casos especialmente graves, isso é acompanhado pela crença em uma lei de distribuição normal, e se as próprias variáveis aleatórias não são normais, então eles acreditam que seus logaritmos são normais.

“Segundo conceitos modernos, o escopo de aplicação dos métodos probabilísticos está limitado a fenômenos que se caracterizam pela estabilidade estatística. No entanto, o teste de estabilidade estatística é difícil e sempre incompleto, além disso, muitas vezes dá uma conclusão negativa. Como resultado, em áreas inteiras do conhecimento, por exemplo, em geologia, essa abordagem se tornou a norma, na qual a estabilidade estatística não é verificada, o que inevitavelmente leva a erros graves. Além disso, a propaganda da cibernética, realizada por nossos principais cientistas, deu (em alguns casos!) um resultado um tanto inesperado: agora acredita-se que apenas uma máquina (e não uma pessoa) é capaz de obter resultados científicos objetivos.

Em tais circunstâncias, o dever de todo professor é propagar repetidamente aquela velha verdade que Pedro I tentou (sem sucesso) inspirar os mercadores russos: que é preciso negociar honestamente, sem engano, pois no final é mais lucrativo para eles.

Como construir um modelo de sistema se há incerteza no problema, mas a abordagem estocástica não é aplicável? Uma das abordagens alternativas baseadas na teoria dos conjuntos fuzzy é brevemente descrita abaixo.

Lembramos que uma relação (relação entre e) é um subconjunto de um conjunto. Essa. algum conjunto de pares R=(( x, no)), Onde,. Por exemplo, um relacionamento funcional (dependência) pode ser representado como um relacionamento entre conjuntos, incluindo pares ( X, no) para qual.

No caso mais simples, talvez, um R seja uma relação de identidade se.

Exemplos 12-15 na tabela. 1. 1 inventado em 1988 por um aluno da classe 86 da escola 292 M. Koroteev.

O matemático aqui, é claro, notará que o mínimo em (1.4), estritamente falando, pode não ser alcançado, e na formulação de (1.4) é necessário substituir rnin por inf (“infimum” é o ínfimo do definir). No entanto, a situação não mudará por causa disso: a formalização, neste caso, não reflete a essência do problema; realizado incorretamente. Futuramente, para não "assustar" o engenheiro, usaremos a notação min, max; tendo em conta que, se necessário, devem ser substituídos por mais gerais inf, sup.

Aqui o termo "estrutura" é usado em um sentido um pouco mais restrito; 1.1, e significa a composição de subsistemas no sistema e os tipos de conexões entre eles.

Um gráfico é um par ( G, R), onde G=(g 1 ... gn) é um conjunto finito de vértices, um - relação binária em G. Se, então, e somente se, então o grafo é dito não direcionado; caso contrário, direcionado. Os pares são chamados de arcos (arestas), e os elementos do conjunto G- vértices do gráfico.

Ou seja, algébrica ou transcendental.

A rigor, um conjunto contável é um tipo de idealização que não pode ser implementada na prática devido ao tamanho finito dos sistemas técnicos e aos limites da percepção humana. Tais modelos idealizados (por exemplo, o conjunto dos números naturais N=(1, 2,...)) faz sentido introduzir para conjuntos de finitos, mas com um número de elementos previamente ilimitado (ou desconhecido).

Formalmente, o conceito de operação é um caso especial do conceito de relação entre elementos de conjuntos. Por exemplo, a operação de somar dois números define uma relação de 3 casas (ternária) R: trio de números (x, y, z) z) pertence à relação R(escrevemos (x, y, z)) se z = x+y.

Número complexo, argumento de polinômios MAS(), NO().

Esta suposição é muitas vezes cumprida na prática.

Se o valor for desconhecido, então deve ser substituído em (2.33) pela estimativa onde Neste caso, o valor será distribuído não normalmente, mas de acordo com a lei de Student, que é praticamente indistinguível da normal em.

É fácil ver que (2.34) é um caso especial de (2.32) quando tomado se o evento MAS entrou j- m experimentar, caso contrário. Em que

E hoje você pode adicionar "... e informática" (nota do autor).

1. Modelos matemáticos determinísticos e probabilísticos em economia. Vantagens e desvantagens

Os métodos de estudo dos processos econômicos baseiam-se na utilização de modelos matemáticos - determinísticos e probabilísticos - que representam o processo, sistema ou tipo de atividade em estudo. Tais modelos fornecem uma descrição quantitativa do problema e servem de base para a tomada de decisões gerenciais na busca da melhor opção. Quão razoáveis são essas decisões, são as melhores possíveis, todos os fatores que determinam a solução ótima foram levados em consideração e pesados, qual é o critério que permite determinar que essa solução é realmente a melhor - essas são as faixas de questões que são de grande importância para os gerentes de produção, e cuja resposta pode ser encontrada usando métodos de pesquisa operacional [Chesnokov S. V. Análise determinística de dados socioeconômicos. - M.: Nauka, 1982, página 45].

Um dos princípios de formação do sistema de controle é o método dos modelos cibernéticos (matemáticos). A modelagem matemática ocupa uma posição intermediária entre experimento e teoria: não há necessidade de construir um modelo físico real do sistema, ele será substituído por um modelo matemático. A peculiaridade da formação do sistema de controle está na abordagem probabilística e estatística dos processos de controle. Na cibernética, aceita-se que qualquer processo de controle esteja sujeito a influências aleatórias e perturbadoras. Assim, o processo de produção é influenciado por um grande número de fatores, que não podem ser levados em consideração de forma determinística. Portanto, considera-se que o processo de produção é afetado por sinais aleatórios. Por isso, planejar o trabalho de uma empresa só pode ser probabilístico.

Por essas razões, quando se fala em modelagem matemática de processos econômicos, muitas vezes se trata de modelos probabilísticos.

Vamos descrever cada um dos tipos de modelos matemáticos.

Os modelos matemáticos determinísticos são caracterizados pelo fato de descreverem a relação de determinados fatores com o indicador de desempenho como uma dependência funcional, ou seja, nos modelos determinísticos, o indicador de desempenho do modelo é apresentado como produto, quociente, soma algébrica de fatores ou como qualquer outra função. Este tipo de modelos matemáticos é o mais comum, pois, sendo bastante simples de utilizar (em comparação com os modelos probabilísticos), permite compreender a lógica da ação dos principais fatores no desenvolvimento do processo económico, quantificar a sua influência, entender quais fatores e em que proporção é possível e conveniente mudar para aumentar a eficiência da produção.

Os modelos matemáticos probabilísticos diferem fundamentalmente dos determinísticos, pois nos modelos probabilísticos a relação entre os fatores e a característica resultante é probabilística (estocástica): com uma dependência funcional (modelos determinísticos), o mesmo estado dos fatores corresponde ao único estado do resultado resultante. característica, enquanto em modelos probabilísticos um e o mesmo estado de fatores corresponde a todo um conjunto de estados do atributo resultante [Tolstova Yu. N. Lógica de análise matemática de processos econômicos. - M.: Nauka, 2001, p. 32-33].

A vantagem dos modelos determinísticos é sua facilidade de uso. O principal inconveniente é a baixa adequação à realidade, pois, como observado acima, a maioria dos processos econômicos é de natureza probabilística.

A vantagem dos modelos probabilísticos é que, via de regra, eles são mais consistentes com a realidade (mais adequados) do que os determinísticos. No entanto, a desvantagem dos modelos probabilísticos é a complexidade e a laboriosidade da sua aplicação, pelo que em muitas situações é suficiente limitarmo-nos aos modelos determinísticos.

Pela primeira vez, a formulação de um problema de programação linear na forma de uma proposta para a elaboração de um plano ótimo de transporte; permitindo minimizar a quilometragem total, foi dado no trabalho do economista soviético A. N. Tolstoy em 1930.

Estudos sistemáticos de problemas de programação linear e o desenvolvimento de métodos gerais para resolvê-los foram desenvolvidos nos trabalhos dos matemáticos russos L. V. Kantorovich, V. S. Nemchinov e outros matemáticos e economistas. Além disso, muitos trabalhos de cientistas estrangeiros e, acima de tudo, americanos são dedicados aos métodos de programação linear.

A tarefa da programação linear é maximizar (minimizar) uma função linear.

, Onde

sob restrições

e tudo

Comente. As desigualdades também podem ter o significado oposto. Multiplicando as desigualdades correspondentes por (-1), pode-se sempre obter um sistema da forma (*).

Se o número de variáveis do sistema de restrições e a função objetivo no modelo matemático do problema for 2, então ele pode ser resolvido graficamente.

Então, precisamos maximizar a função

para um sistema de restrições satisfatório.

Passemos a uma das desigualdades do sistema de restrições.

Do ponto de vista geométrico, todos os pontos que satisfazem essa desigualdade devem estar em uma linha

, ou pertencem a um dos semiplanos em que se divide o plano desta linha. Para descobrir, você precisa verificar qual deles contém um ponto ().

Observação 2. Se

, é mais fácil tirar o ponto (0;0).

Condições para não negatividade

também definem semiplanos, respectivamente, com linhas de fronteira

. Assumimos que o sistema de desigualdades é compatível, então os semiplanos, que se cruzam, formam uma parte comum, que é um conjunto convexo e é um conjunto de pontos cujas coordenadas são a solução desse sistema - este é o conjunto de soluções viáveis . O conjunto desses pontos (soluções) é chamado de polígono da solução. Pode ser um ponto, um raio, um polígono, uma área poligonal ilimitada. Assim, a tarefa da programação linear é encontrar tal ponto do polígono de solução no qual a função objetivo assuma o valor máximo (mínimo). Este ponto existe quando o polígono da solução não está vazio e a função objetivo nele é limitada por cima (por baixo). Nessas condições, em um dos vértices do polígono de decisão, a função objetivo assume o valor máximo. Para determinar este vértice, construímos uma linha reta

(onde h é alguma constante). Na maioria das vezes tomado em linha reta

. Resta descobrir a direção do movimento dessa linha reta. Essa direção é determinada pelo gradiente (anti-gradiente) da função objetivo.

perpendicular a uma linha em cada ponto

, então o valor de f aumentará quando a linha reta se mover na direção do gradiente (diminui na direção do anti-gradiente). Para fazer isso, paralelamente à linha

desenhe linhas retas, movendo-se na direção do gradiente (anti-gradiente).

Continuaremos essas construções até que a reta passe pelo último vértice do polígono da solução. Este ponto determina o valor ideal.

Assim, encontrar uma solução para um problema de programação linear por um método geométrico inclui os seguintes passos:

As linhas são construídas, cujas equações são obtidas como resultado da substituição dos sinais de desigualdades nas restrições por sinais de igualdades exatas.

Encontre os semiplanos definidos por cada uma das restrições do problema.

Encontre um polígono de solução.

Construir vetor

Construir uma linha reta

Construir linhas paralelas

na direção do gradiente ou anti-gradiente, como resultado do qual se encontra o ponto em que a função assume o valor máximo ou mínimo, ou se estabelece a desvinculação de cima (de baixo) da função no conjunto admissível.

As coordenadas do ponto máximo (mínimo) da função são determinadas e o valor da função objetivo neste ponto é calculado.

O problema da nutrição racional (o problema da dieta)

Formulação do problema

A fazenda produz gado de engorda para fins comerciais. Para simplificar, vamos supor que existam apenas quatro tipos de produtos: P1, P2, P3, P4; o custo unitário de cada produto é C1, C2, C3, C4, respectivamente. Destes produtos é necessário fazer uma dieta, que deve conter: proteínas - pelo menos unidades b1; carboidratos - não menos que unidades b2; gordura - pelo menos unidades b3. Para os produtos P1, P2, P3, P4, o teor de proteínas, carboidratos e gorduras (em unidades por unidade de produto) é conhecido e dado na tabela, onde aij (i=1,2,3,4; j=1 ,2,3) - alguns números específicos o primeiro índice indica o número do produto, o segundo - o número do elemento (proteínas, carboidratos, gorduras).

Modelos matemáticos em economia e programação

1. Modelos matemáticos determinísticos e probabilísticos em economia. Vantagens e desvantagens

Por essas razões, quando se fala em modelagem matemática de processos econômicos, muitas vezes se trata de modelos probabilísticos.

Vamos descrever cada um dos tipos de modelos matemáticos.

2. Declaração do problema de programação linear no exemplo do problema da ração alimentar

A tarefa da programação linear é maximizar (minimizar) uma função linear.

sob restrições

e tudo

Comente. As desigualdades também podem ter o significado oposto. Multiplicando as desigualdades correspondentes por (-1), pode-se sempre obter um sistema da forma (*).

Se o número de variáveis do sistema de restrições e a função objetivo no modelo matemático do problema for 2, então ele pode ser resolvido graficamente.

Portanto, é necessário maximizar a função para um sistema de restrições satisfatório.

Passemos a uma das desigualdades do sistema de restrições.

Do ponto de vista geométrico, todos os pontos que satisfaçam essa desigualdade devem estar na linha ou pertencer a um dos semiplanos em que o plano dessa linha é dividido. Para descobrir, você precisa verificar qual deles contém um ponto ().

Observação 2. Se , então é mais fácil pegar o ponto (0;0).

As condições de não negatividade também definem semiplanos, respectivamente, com linhas de fronteira. Assumimos que o sistema de desigualdades é compatível, então os semiplanos, que se cruzam, formam uma parte comum, que é um conjunto convexo e é um conjunto de pontos cujas coordenadas são a solução desse sistema - este é o conjunto de soluções viáveis . O conjunto desses pontos (soluções) é chamado de polígono da solução. Pode ser um ponto, um raio, um polígono, uma área poligonal ilimitada. Assim, a tarefa da programação linear é encontrar tal ponto do polígono de solução no qual a função objetivo assuma o valor máximo (mínimo). Este ponto existe quando o polígono da solução não está vazio e a função objetivo nele é limitada por cima (por baixo). Nessas condições, em um dos vértices do polígono de decisão, a função objetivo assume o valor máximo. Para determinar esse vértice, construímos uma linha reta (onde h é alguma constante). Na maioria das vezes, uma linha reta é tomada. Resta descobrir a direção do movimento dessa linha reta. Essa direção é determinada pelo gradiente (anti-gradiente) da função objetivo.

O vetor em cada ponto é perpendicular à linha, então o valor de f aumentará à medida que a linha se move na direção do gradiente (diminuição na direção do anti-gradiente). Para fazer isso, desenhamos linhas retas paralelas à linha reta, movendo-se na direção do gradiente (anti-gradiente).

Continuaremos essas construções até que a reta passe pelo último vértice do polígono da solução. Este ponto determina o valor ideal.

Assim, encontrar uma solução para um problema de programação linear por um método geométrico inclui os seguintes passos:

As linhas são construídas, cujas equações são obtidas como resultado da substituição dos sinais de desigualdades nas restrições por sinais de igualdades exatas.

Encontre os semiplanos definidos por cada uma das restrições do problema.

Encontre um polígono de solução.

Construa um vetor.

Construa uma linha reta.

As linhas paralelas são construídas na direção do gradiente ou anti-gradiente, como resultado, encontram o ponto em que a função assume o valor máximo ou mínimo, ou definem a função como ilimitada de cima (de baixo) na conjunto admissível.

As coordenadas do ponto máximo (mínimo) da função são determinadas e o valor da função objetivo neste ponto é calculado.

O problema da nutrição racional (o problema da dieta)

Formulação do problema

23 de janeiro de 2017

O modelo estocástico descreve a situação quando há incerteza. Em outras palavras, o processo é caracterizado por algum grau de aleatoriedade. O próprio adjetivo "estocástico" vem da palavra grega "adivinha". Como a incerteza é uma característica fundamental da vida cotidiana, esse modelo pode descrever qualquer coisa.

No entanto, cada vez que o aplicarmos, o resultado será diferente. Portanto, modelos determinísticos são mais usados. Embora não sejam o mais próximo possível do estado real das coisas, dão sempre o mesmo resultado e facilitam a compreensão da situação, simplificando-a introduzindo um conjunto de equações matemáticas.

Principais características

Um modelo estocástico sempre inclui uma ou mais variáveis aleatórias. Ela procura refletir a vida real em todas as suas manifestações. Ao contrário do modelo determinístico, o estocástico não visa simplificar tudo e reduzi-lo a valores conhecidos. Portanto, a incerteza é sua principal característica. Os modelos estocásticos são adequados para descrever qualquer coisa, mas todos eles têm as seguintes características comuns:

Qualquer modelo estocástico reflete todos os aspectos do problema para o qual foi criado.
O resultado de cada um dos fenômenos é incerto. Portanto, o modelo inclui probabilidades. A exatidão dos resultados globais depende da precisão de seu cálculo.
Essas probabilidades podem ser usadas para prever ou descrever os próprios processos.

Modelos determinísticos e estocásticos

Para alguns, a vida aparece como uma série de eventos aleatórios, para outros - processos em que a causa determina o efeito. Na verdade, é caracterizada pela incerteza, mas nem sempre e nem em tudo. Portanto, às vezes é difícil encontrar diferenças claras entre modelos estocásticos e determinísticos. As probabilidades são bastante subjetivas.

Por exemplo, considere uma situação de lançamento de moeda. À primeira vista, parece que há 50% de chance de obter coroa. Portanto, um modelo determinístico deve ser usado. No entanto, na realidade, verifica-se que muito depende da destreza das mãos dos jogadores e da perfeição do equilíbrio da moeda. Isso significa que um modelo estocástico deve ser usado. Há sempre parâmetros que não conhecemos. Na vida real, a causa sempre determina o efeito, mas também há um certo grau de incerteza. A escolha entre usar modelos determinísticos e estocásticos depende do que estamos dispostos a abrir mão - simplicidade de análise ou realismo.

Vídeos relacionados

Na teoria do caos

Recentemente, o conceito de qual modelo é chamado de estocástico tornou-se ainda mais confuso. Isso se deve ao desenvolvimento da chamada teoria do caos. Ele descreve modelos determinísticos que podem dar resultados diferentes com uma pequena mudança nos parâmetros iniciais. Isto é como uma introdução ao cálculo da incerteza. Muitos cientistas até admitiram que este já é um modelo estocástico.

Lothar Breuer explicou tudo com elegância com a ajuda de imagens poéticas. Ele escreveu: “Um riacho de montanha, um coração batendo, uma epidemia de varíola, uma coluna de fumaça subindo - tudo isso é um exemplo de um fenômeno dinâmico, que, ao que parece, às vezes é caracterizado pelo acaso. Na realidade, tais processos estão sempre sujeitos a uma certa ordem, que cientistas e engenheiros estão apenas começando a entender. Este é o chamado caos determinista.” A nova teoria parece muito plausível, e é por isso que muitos cientistas modernos são seus defensores. No entanto, ainda permanece pouco desenvolvido, sendo bastante difícil aplicá-lo em cálculos estatísticos. Portanto, modelos estocásticos ou determinísticos são frequentemente usados.

Prédio

O modelo matemático estocástico começa com a escolha do espaço de resultados elementares. Assim, em estatística, eles chamam a lista de possíveis resultados do processo ou evento que está sendo estudado. O pesquisador então determina a probabilidade de cada um dos resultados elementares. Geralmente isso é feito com base em uma determinada técnica.

No entanto, as probabilidades ainda são um parâmetro bastante subjetivo. O pesquisador então determina quais eventos são mais interessantes para resolver o problema. Depois disso, ele simplesmente determina sua probabilidade.

Exemplo

Considere o processo de construção do modelo estocástico mais simples. Suponha que joguemos um dado. Se "seis" ou "um" cair, nossos ganhos serão de dez dólares. O processo de construção de um modelo estocástico neste caso será assim:

Vamos definir o espaço de resultados elementares. O dado tem seis lados, então um, dois, três, quatro, cinco e seis podem sair.
A probabilidade de cada um dos resultados será igual a 1/6, não importa o quanto joguemos o dado.
Agora precisamos determinar os resultados de nosso interesse. Esta é a perda de um rosto com o número "seis" ou "um".
Finalmente, podemos determinar a probabilidade do evento de interesse para nós. É 1/3. Somamos as probabilidades de ambos os eventos elementares de nosso interesse: 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.

Conceito e resultado

A simulação estocástica é frequentemente usada em jogos de azar. Mas também é indispensável na previsão econômica, pois permite entender a situação mais profundamente do que as determinísticas. Modelos estocásticos em economia são frequentemente usados na tomada de decisões de investimento. Eles permitem que você faça suposições sobre a rentabilidade dos investimentos em determinados ativos ou seus grupos.

A modelagem torna o planejamento financeiro mais eficiente. Com sua ajuda, investidores e traders otimizam a distribuição de seus ativos. Usar modelagem estocástica sempre tem vantagens a longo prazo. Em algumas indústrias, a recusa ou incapacidade de aplicá-la pode até levar à falência da empresa. Isso se deve ao fato de que na vida real novos parâmetros importantes aparecem diariamente e, se não forem levados em consideração, isso pode ter consequências desastrosas.

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