Metoda generală de liniarizare

În cele mai multe cazuri, este posibilă liniarizarea dependențelor neliniare folosind metoda abaterilor sau variațiilor mici. Pentru a lua în considerare ᴇᴦο, să ne întoarcem la o legătură în sistemul de control automat (Fig. 2.2). Mărimile de intrare și de ieșire sunt notate cu X1 și X2, iar perturbația externă este notată cu F(t).

Să presupunem că legătura este descrisă de o ecuație diferențială neliniară de formă

Pentru a compila o astfel de ecuație, trebuie să utilizați ramura adecvată a științelor tehnice (de exemplu, inginerie electrică, mecanică, hidraulică etc.) care studiază acest tip special de dispozitiv.

Baza liniarizării este ipoteza că abaterile tuturor variabilelor incluse în ecuația dinamicii legăturii sunt suficient de mici, deoarece tocmai pe o secțiune suficient de mică caracteristica curbilinie poate fi înlocuită cu un segment de linie dreaptă. Abaterile variabilelor sunt măsurate în acest caz de la valorile lor în procesul constant sau într-o anumită stare de echilibru a sistemului. Să fie, de exemplu, procesul constant este caracterizat de o valoare constantă a variabilei X1, pe care o notăm X10. În procesul de reglare (Fig. 2.3), variabila X1 va avea valorile unde denotă abaterea variabilei X 1 de la valoarea constantă X10.

Relații similare sunt introduse pentru alte variabile. Pentru cazul luat în considerare, avem ˸ și, de asemenea, .

Se presupune că toate abaterile sunt suficient de mici. Această presupunere matematică nu contrazice sensul fizic al problemei, deoarece însăși ideea de control automat necesită ca toate abaterile variabilei controlate în timpul procesului de control să fie suficient de mici.

Starea de echilibru a legăturii este determinată de valorile X10, X20 și F0. Apoi, ecuația (2.1) trebuie scrisă pentru starea staționară în formă

Să extindem partea stângă a ecuației (2.1) în seria Taylor

unde D sunt termeni de ordin superior. Indicele 0 pentru derivatele parțiale înseamnă că după luarea derivatei, valoarea constantă a tuturor variabilelor trebuie înlocuită în expresia acesteia.

Termenii de ordin superior din formula (2.3) includ derivate parțiale superioare înmulțite cu pătrate, cuburi și grade mai mari de abateri, precum și produse ale abaterilor. Ele vor fi mici de ordin superior în comparație cu abaterile în sine, care sunt mici de ordinul întâi.

Ecuația (2.3) este o ecuație de dinamică a legăturii, la fel ca (2.1), dar scrisă într-o formă diferită. Să renunțăm la micile de ordin superior din această ecuație, după care scădem ecuațiile în regim de echilibru (2.2) din ecuația (2.3). Ca rezultat, obținem următoarea ecuație aproximativă a dinamicii legăturii în abateri mici˸

În această ecuație, toate variabilele și derivatele lor intră liniar, adică la gradul I. Toate derivatele parțiale sunt niște coeficienți constanți în cazul în care este investigat un sistem cu parametri constanți. Dacă sistemul are parametri variabili, atunci ecuația (2.4) va avea coeficienți variabili. Să luăm în considerare doar cazul coeficienților constanți.

Metoda generală de liniarizare - concept și tipuri. Clasificarea și caracteristicile categoriei „Metoda generală de liniarizare” 2015, 2017-2018.

Metoda de liniarizare armonică (echilibrul armonic) vă permite să determinați condițiile de existență și parametrii posibilelor auto-oscilații în sistemele de control automat neliniar. Autooscilațiile sunt determinate de cicluri limită în spațiul de fază al sistemelor. Ciclurile limită împart spațiul (în general - multidimensionale) pe domeniile proceselor amortizate și divergente. Ca urmare a calculării parametrilor auto-oscilațiilor, se poate trage o concluzie despre admisibilitatea acestora pentru un sistem dat sau despre necesitatea modificării parametrilor sistemului.

Metoda permite:

Determinați condițiile de stabilitate a unui sistem neliniar;

Aflați frecvența și amplitudinea oscilațiilor libere ale sistemului;

Sintetizați circuite corective pentru a asigura parametrii necesari de autooscilații;

Investigați oscilațiile forțate și evaluați calitatea proceselor tranzitorii în sistemele de control automat neliniar.

Condiții de aplicabilitate a metodei de linearizare armonică.

1) Când se utilizează metoda, se presupune că liniar o parte a sistemului este stabilă sau neutră.

2) Semnalul de la intrarea legăturii neliniare are o formă apropiată de semnalul armonic. Această prevedere necesită unele explicații.

Figura 1 prezintă diagramele bloc ale ACS neliniar. Circuitul este format din legături conectate în serie: o legătură neliniară y=F(x) și o legătură liniară

th, care este descris de ecuația diferențială

Pentru y = F(g - x) = g - x obținem ecuația de mișcare a unui sistem liniar.

Luați în considerare libera circulație, de ex. pentru g(t) º 0. Apoi,

În cazul în care există auto-oscilații în sistem, mișcarea liberă a sistemului este periodică. Mișcarea neperiodică în timp se termină cu oprirea sistemului într-o poziție finală (de obicei, pe un limitator special prevăzut).

Cu orice formă de semnal periodic la intrarea unui element neliniar, semnalul de la ieșire va conține, pe lângă frecvența fundamentală, armonici superioare. Presupunerea că semnalul de la intrarea părții neliniare a sistemului poate fi considerat armonic, adică

x(t)@a×sin(greutate),

unde w=1/T, T este perioada de oscilații libere a sistemului, este echivalentă cu ipoteza că partea liniară a sistemului efectiv filtre armonici superioare ale semnalului y(t) = F(x (t)).

În cazul general, când un element neliniar al unui semnal armonic x(t) acţionează la intrare, semnalul de ieşire poate fi transformat Fourier:

Coeficienții seriei Fourier

Pentru a simplifica calculele, se stabilește C 0 =0, adică funcția F(x) este simetrică față de origine. O astfel de limitare nu este necesară și se face prin analiză. Apariția coeficienților C k ¹ 0 înseamnă că, în cazul general, transformarea neliniară a semnalului este însoțită de defazări ale semnalului convertit. În special, aceasta are loc în neliniarități cu caracteristici ambigue (cu diferite tipuri de bucle de histerezis), atât întârziere, cât și, în unele cazuri, avans de fază.

Ipoteza de filtrare eficientă înseamnă că amplitudinile armonicilor superioare la ieșirea părții liniare a sistemului sunt mici, adică

Îndeplinirea acestei condiții este facilitată de faptul că în multe cazuri amplitudinile armonicilor deja direct la ieșirea neliniarității se dovedesc a fi semnificativ mai mici decât amplitudinea primei armonici. De exemplu, la ieșirea unui releu ideal cu un semnal armonic la intrare

y(t)=F(с×sin(greutate))=a×semn(sin(greutate))

nu există armonice pare, iar amplitudinea celei de-a treia armonice în de trei ori mai mică decât amplitudinea primei armonice

Hai sa facem evaluarea gradului de suprimare armonici superioare ale semnalului în partea liniară a ACS. Pentru a face acest lucru, facem o serie de ipoteze.

1) Frecvența oscilațiilor libere ale ACS aproximativ egală cu frecvența de tăiere partea sa liniară. Rețineți că frecvența oscilațiilor libere a unui sistem de control automat neliniar poate diferi semnificativ de frecvența oscilațiilor libere a unui sistem liniar, astfel încât această ipoteză nu este întotdeauna corectă.

2) Luăm indicele de oscilație ACS egal cu M=1,1.

3) LAH în vecinătatea frecvenței de tăiere (w s) are o pantă de -20 dB/dec. Limitele acestei secțiuni a LAH sunt legate de indicele de oscilație prin relații

4) Frecvența w max se conjugă cu secțiunea LPH, astfel încât atunci când w > w max panta LAH este de cel puțin minus 40 dB/dec.

5) Neliniaritate - un releu ideal cu caracteristica y = sgn(x), astfel încât numai armonicile impare vor fi prezente la ieșirea sa de neliniaritate.

Frecvențele celei de-a treia armonice w 3 \u003d 3w c, a cincea w 5 \u003d 5w c,

lgw 3 = 0,48+lgw c ,

lgw 5 = 0,7+lgw c .

Frecvența w max = 1,91 w s, lgw max = 0,28+lgw s. Frecvența colțului este la 0,28 decenii distanță de frecvența de tăiere.

Scăderea amplitudinilor armonicilor superioare ale semnalului pe măsură ce acestea trec prin partea liniară a sistemului va fi pentru a treia armonică.

L 3 \u003d -0,28 × 20-(0,48-0,28) × 40 \u003d -13,6 dB, adică de 4,8 ori,

pentru al cincilea - L 5 \u003d -0,28 × 20-(0,7-0,28) × 40 \u003d -22,4 dB, adică de 13 ori.

În consecință, semnalul la ieșirea părții liniare va fi aproape de armonic

Acest lucru este echivalent cu presupunerea că sistemul este un filtru trece jos.

În ceea ce privește funcția Z \u003d cp (X, X 2, ..., XJ, neliniar în raport cu sistemul argumentelor sale, rezolvarea problemei în formularea formulată mai sus poate fi obținută, de regulă, doar aproximativ pe baza metodei liniarizării. Esența metodei de liniarizare este că o funcție neliniară este înlocuită cu una liniară și apoi, conform regulilor deja cunoscute, se găsesc caracteristicile numerice ale acestei funcții liniare, considerându-le aproximativ egale cu caracteristicile numerice ale neliniarului. funcție liniară.

Să luăm în considerare esența acestei metode folosind exemplul unei funcții a unui argument aleatoriu.

Dacă variabila aleatoare Z este o funcție dată

argumentul aleator X, apoi valorile sale posibile z asociate cu posibilele valori ale argumentului X o funcție de același fel, adică

(de exemplu, dacă Z = sin X, atunci z= sinX).

Extindem funcția (3.20) într-o serie Taylor într-o vecinătate a punctului X= m , limitându-ne doar la primii doi termeni ai expansiunii și vom presupune că

Valoarea derivatei funcției (3.20) față de argument X la X = t x.

Această ipoteză este echivalentă cu înlocuirea funcției date (3.19) cu funcția liniară

Pe baza teoremelor privind așteptările și variațiile matematice, obținem formule de calcul pentru determinarea caracteristicilor numerice mz eu in forma

Rețineți că, în cazul în cauză, abaterea standard a r trebuie calculată prin formula

(Modulul derivatei este luat aici pentru că

poate fi negativ.)

Aplicarea metodei liniarizării pentru găsirea caracteristicilor numerice ale unei funcții neliniare

un număr arbitrar de argumente aleatoare conduce la formule de calcul pentru determinarea așteptării sale matematice, care au forma

x 2, ..., x n) prin argumente X.și X. respectiv, calculate ținând cont de semnele din punct SH x, m^, t Xp, adică prin înlocuirea tuturor argumentelor lor x v x 2, ..., x n așteptările lor matematice.

Alături de formula (3.26) pentru determinarea dispersiei D? puteți folosi formula de calcul a formularului

Unde g x x - coeficientul de corelare a argumentelor aleatorii X.

După cum se aplică unei funcții neliniare de argumente aleatoare independente (sau cel puțin necorelate), formulele (3.26) și (3.27) au forma

Formulele bazate pe liniarizarea funcțiilor neliniare ale argumentelor aleatoare fac posibilă determinarea caracteristicilor lor numerice doar aproximativ. Precizia calculului este mai mică, cu cât funcțiile date diferă de cele liniare și cu atât dispersia argumentelor este mai mare. Nu este întotdeauna posibil să se estimeze eroarea posibilă în fiecare caz specific.

Pentru a perfecționa rezultatele obținute prin această metodă, se poate folosi o tehnică bazată pe păstrarea în expansiune a unei funcții neliniare nu numai liniare, ci și a unor termeni ulteriori ai expansiunii (de obicei pătratice).

În plus, caracteristicile numerice ale unei funcții neliniare de argumente aleatoare pot fi determinate pe baza unei căutări preliminare a legii distribuției sale pentru o distribuție dată a sistemului de argumente. Cu toate acestea, trebuie avut în vedere că soluția analitică a unei astfel de probleme este adesea prea complicată. Prin urmare, pentru a găsi caracteristicile numerice ale funcțiilor neliniare ale argumentelor aleatoare, metoda modelării statistice este utilizată pe scară largă.

Baza metodei este simularea unei serii de teste, în fiecare dintre ele un anumit set de x i, x 2i , ..., xni valori ale argumentelor aleatorii x v x 2 ,..., x n din multimea corespunzatoare repartitiei lor comune. Valorile obținute cu ajutorul relației date (3.24) sunt transformate în valorile corespunzătoare z. a funcţiei investigate Z. Conform rezultatelor z v z 2 , ..., z., ..., zk toate la astfel de teste, caracteristicile numerice dorite sunt calculate prin metode de statistică matematică.

Exemplul 3.2. Pe baza metodei de liniarizare, determinați așteptarea matematică și abaterea standard a unei variabile aleatoare

1. Prin formula (3.20) obținem

2. Folosind tabelul derivatelor funcțiilor elementare, găsim

și calculați valoarea acestei derivate la punctul :

3. Prin formula (3.23) obţinem

Exemplul 3.3. Pe baza metodei de liniarizare, determinați așteptarea matematică și abaterea standard a unei variabile aleatoare

1. Prin formula (3.25) obținem

2. Să scriem formula (3.27) pentru funcția a două argumente aleatoare

3. Aflați derivatele parțiale ale funcției Z în raport cu argumentele X 1 și X 2:

și calculați valorile lor în punctul (m Xi ,t x2):

4. Înlocuind datele obținute în formula de calcul a varianței Z, obținem Dz= 1. Prin urmare, u r = 1.

Ecuațiile diferențiale pot fi liniarizate prin următoarele metode:

1. Funcția neliniară a zonei de lucru este extinsă într-o serie Taylor.

2. Funcţiile neliniare date sub formă de grafice sunt liniarizate în planul de lucru prin drepte.

3. În loc să se determine direct derivate parțiale, variabilele sunt introduse în ecuațiile neliniare originale.

,

. (33)

4. Această metodă se bazează pe determinarea coeficienților prin metoda celor mai mici pătrate.

, (34)

Unde - constanta de timp a actuatorului pneumatic;

- raportul de transmisie al actuatorului pneumatic;

- coeficientul de amortizare al actuatorului pneumatic.

Structura internă a elementelor ACS este determinată cel mai simplu folosind diagramele bloc ale graficelor. Spre deosebire de diagramele bloc binecunoscute din grafice, variabilele sunt indicate sub formă de timp, iar arcele denotă fie parametrii, fie funcțiile de transfer ale legăturilor tipice. Există o relație uniformă între ei.

mm elemente neliniare

Metodele de liniarizare considerate în primul capitol sunt aplicabile atunci când neliniaritatea inclusă în obiectul LSA este cel puțin o dată diferențiabilă sau aproximată printr-o tangentă cu o mică eroare a unei vecinătăți apropiate de punctul de operare. Există o întreagă clasă de neliniarități pentru care ambele condiții nu sunt îndeplinite. De obicei, acestea sunt neliniarități semnificative. Acestea includ: funcții pas, liniare pe bucăți și multi-valorice cu puncte de discontinuitate de primul fel, precum și funcții de putere și transtendentale. Utilizarea CCM-urilor care asigură executarea operațiilor logico-algebrice în sisteme a condus la noi tipuri de liniarități, care sunt reprezentate prin variabile continue folosind o logică specială.

Pentru descrierea matematică a unor astfel de neliniarități se folosesc funcții de transfer echivalente, în funcție de coeficienții de liniarizare, care se obțin prin minimizarea pătratului mediu al erorii de reproducere a unui semnal de intrare dat. Forma semnalelor de intrare care vin la intrarea neliniarităților poate fi arbitrară. În practică, tipurile armonice și aleatorii de semnale de intrare și combinațiile lor temporale sunt cele mai utilizate pe scară largă. În consecință, metodele de liniarizare sunt numite armonice și statice.

Metodă generală de descriere a funcțiilor de transfer echivalente ne

Întreaga clasă de neliniarități esențiale este împărțită în două grupuri. Primul grup include neliniarități cu o singură valoare, în care conexiunea dintre intrare si weekenduri semnalele vectoriale depinde numai de forma caracteristicii statice a neliniarității
.

.

În acest caz, cu o anumită formă de semnale de intrare:

.

Folosind matricea de liniarizare
puteți găsi valoarea aproximativă a semnalelor de ieșire:

.

Din (42) rezultă că matricea coeficienților de liniarizare a neliniarităților cu o singură valoare sunt mărimi reale și funcțiile lor de transfer echivalente:

.

Al doilea grup include neliniarități cu două valori (multivalori), în care relația dintre semnalele de intrare și de ieșire depinde nu numai de forma caracteristicii statice, ci este determinată și de istoricul semnalului de intrare. În acest caz, expresia (42) se va scrie astfel:

.

Pentru a ține cont de influența preistoriei semnalului periodic de intrare, vom lua în considerare nu numai semnalul în sine , dar și rata de modificare a acestuia, diferența .

Pentru semnalele de intrare:

valoarea aproximativă a semnalului de intrare va fi:

Unde
și
- coeficienţii de liniarizare armonică a neliniarităţilor cu două valori;

- perioada de oscilatie pe armonica dreapta;

- functie armonica.

Funcție de transfer echivalentă:

Există neliniarități de o formă mai generală:

,

,

Unde
și
- coeficienţii de liniarizare armonică;

este numărul armonic.

Matrici periodice de coeficienți de liniarizare . Având în vedere acest lucru, funcția de transfer a două neliniarități cu două valori poate fi reprezentată prin analogie cu funcția de transfer

Utilizând, definim o formulă generalizată pentru calcularea funcției de transfer a neliniarităților cu o singură valoare și cu două valori.

În cazul neliniarității cu o singură valoare, matricea coeficienților de liniarizare , în funcție de parametrii vectorului
, alegem astfel încât să liniarizăm valoarea medie a diferenței pătrate dintre exact și aproximativă
semnale de intrare:

După transformări, simplificări, trucuri și vigilență sporită, obținem funcția de transfer echivalentă sub forma unui sistem de matrice:
,
.

,

la
,
.

.

Determinați coeficientul de liniarizare pentru neliniaritatea cu o singură valoare. Când prima armonică a unui semnal sinusoidal ajunge la intrarea sa:

Unde
.

.

Ecuația (56) este primul factor de liniarizare armonică pentru neliniaritatea cu o singură valoare, definește funcția de transfer echivalentă
.

În viitor, o comparație a formulei de determinare a coeficienților de liniarizare a celor mai simple neliniarități atunci când la intrarea lor se aplică semnale periodice: sinusoidal, triunghiular, vom arăta oportunitatea utilizării funcțiilor de transfer echivalente rezultate.

Se determină coeficientul de liniarizare
,
.

,

.

Exemplu. Determinați coeficientul de liniarizare al unei neliniarități cu două valori atunci când prima armonică a unui semnal sinusoidal intră în intrare și are o intrare. Din sistemul de matrice (60) se obține:

,

.

În acest exemplu, scriem semnalul de intrare ca:

,

.

Când pentru o neliniaritate cu două valori, funcția generală echivalentă este:

. .

LA

Orez. 2.2. Legătura ATS

În cele mai multe cazuri, este posibilă liniarizarea dependențelor neliniare folosind metoda abaterilor sau variațiilor mici. Pentru a o lua în considerare, să ne întoarcem la o anumită legătură în sistemul de control automat (Fig. 2.2). Mărimile de intrare și de ieșire sunt notate cu X1 și X2, iar perturbația externă este notată cu F(t).

Să presupunem că legătura este descrisă de o ecuație diferențială neliniară de formă

Pentru a compila o astfel de ecuație, trebuie să utilizați ramura adecvată a științelor tehnice (de exemplu, inginerie electrică, mecanică, hidraulică etc.) care studiază acest tip special de dispozitiv.

Baza liniarizării este ipoteza că abaterile tuturor variabilelor incluse în ecuația dinamicii legăturii sunt suficient de mici, deoarece tocmai pe o secțiune suficient de mică caracteristica curbilinie poate fi înlocuită cu un segment de linie dreaptă. Abaterile variabilelor sunt măsurate în acest caz de la valorile lor în procesul constant sau într-o anumită stare de echilibru a sistemului. Să fie, de exemplu, un proces constant este caracterizat de o valoare constantă a variabilei X 1 , pe care o notăm X 10 . În procesul de reglare (Fig. 2.3), variabila X 1 va avea valorile unde
denotă abaterea variabilei X 1 de la valoarea constantă a lui X 10 .

DAR

Orez. 2.3. Procesul de reglementare a legăturii

pentru alte variabile se introduc cote de impozitare. Pentru cazul în cauză avem: și
.

În continuare, puteți scrie:
;
și
, deoarece
și

Se presupune că toate abaterile sunt suficient de mici. Această presupunere matematică nu contrazice sensul fizic al problemei, deoarece însăși ideea de control automat necesită ca toate abaterile variabilei controlate în timpul procesului de control să fie suficient de mici.

Starea staționară a legăturii este determinată de valorile X 10 , X 20 și F 0 . Atunci ecuația (2.1) poate fi scrisă pentru starea staționară sub forma

Să extindem partea stângă a ecuației (2.1) în seria Taylor

unde  sunt termeni de ordin superior. Indicele 0 pentru derivatele parțiale înseamnă că după luarea derivatei, valoarea constantă a tuturor variabilelor trebuie înlocuită în expresia acesteia
.

Termenii de ordin superior din formula (2.3) includ derivate parțiale superioare înmulțite cu pătrate, cuburi și grade mai mari de abateri, precum și produse ale abaterilor. Ele vor fi mici de ordin superior în comparație cu abaterile în sine, care sunt mici de ordinul întâi.

Ecuația (2.3) este o ecuație de dinamică a legăturii, la fel ca (2.1), dar scrisă într-o formă diferită. Să renunțăm la valorile mici de ordin superior din această ecuație, după care scădem ecuațiile de echilibru (2.2) din ecuația (2.3). Ca rezultat, obținem următoarea ecuație aproximativă a dinamicii legăturilor cu abateri mici:

În această ecuație, toate variabilele și derivatele lor intră liniar, adică la gradul I. Toate derivatele parțiale sunt niște coeficienți constanți în cazul în care este investigat un sistem cu parametri constanți. Dacă sistemul are parametri variabili, atunci ecuația (2.4) va avea coeficienți variabili. Să luăm în considerare doar cazul coeficienților constanți.

Obținerea ecuației (2.4) este scopul liniarizării efectuate. În teoria controlului automat, este obișnuit să scrieți ecuațiile tuturor legăturilor astfel încât valoarea de ieșire să fie în partea stângă a ecuației, iar toți ceilalți termeni să fie transferați în partea dreaptă. În acest caz, toți termenii ecuației sunt împărțiți la coeficientul la valoarea de ieșire. Ca rezultat, ecuația (2.4) ia forma

unde se introduce urmatoarea notatie

. (2.6)

În plus, pentru comoditate, se obișnuiește să scrieți toate ecuațiile diferențiale sub formă de operator cu notația

Atunci ecuația diferențială (2.5) poate fi scrisă sub forma

Această înregistrare va fi numită forma standard a ecuației dinamicii legăturii.

Coeficienții T 1 și T 2 au dimensiunea timpului - secunde. Aceasta rezultă din faptul că toți termenii din ecuația (2.8) trebuie să aibă aceeași dimensiune și, de exemplu, dimensiunea (sau px 2) diferă de la dimensiunea de x 2 pe secundă la prima putere minus (
). Prin urmare, se numesc coeficienții T 1 și T 2 constante de timp .

Coeficientul k 1 are dimensiunea valorii de ieșire împărțită la dimensiunea intrării. Se numeste raportul de transmisie legătură. Pentru legăturile ale căror valori de ieșire și de intrare au aceeași dimensiune, se folosesc și următorii termeni: câștig - pentru o legătură care este un amplificator sau are un amplificator în compoziția sa; raport de transmisie - pentru cutii de viteze, divizoare de tensiune, dispozitive de scalare etc.

Coeficientul de transfer caracterizează proprietățile statice ale legăturii, deoarece în starea staționară
. Prin urmare, determină abruptul caracteristicii statice la abateri mici. Dacă înfățișăm întreaga caracteristică statică reală a legăturii
, atunci liniarizarea dă
sau
. Coeficientul de transmisie k 1 va fi tangenta pantei tangentă în acel punct C (vezi Fig. 2.3), de la care se măsoară mici abateri x 1 și x 2.

Din figură se poate observa că liniarizarea de mai sus a ecuației este valabilă pentru procesele de control care surprind o astfel de secțiune a caracteristicii AB, la care tangenta diferă puțin de curba în sine.

În plus, de aici rezultă o altă metodă grafică de liniarizare. Dacă se cunosc caracteristica statică și punctul C, care determină starea staționară în jurul căreia are loc procesul de reglare, atunci coeficientul de transfer în ecuația de legătură se determină grafic din desen în funcție de dependența k 1 = tg luând în considerare scara desenului și dimensiunile x 2. În multe cazuri metoda liniarizării grafice se dovedește a fi mai convenabil și duce la obiectiv mai repede.

Dimensiunea coeficientului k 2 este egală cu dimensiunea câștigului k 1 ori timpul. Prin urmare, ecuația (2.8) este adesea scrisă sub forma

Unde
este constanta de timp.

P

Orez. 2.4. Motor de excitație independent

constantele de timp T 1 , T 2 şi T 3 determină proprietăţile dinamice ale legăturii. Această problemă va fi analizată în detaliu mai jos.

Factorul k 3 este câștigul pentru perturbația externă.

Ca exemplu de liniarizare, luați în considerare un motor electric controlat din partea circuitului de excitație (Fig. 2.4).

Pentru a găsi o ecuație diferențială care să relaționeze creșterea vitezei cu creșterea tensiunii pe înfășurarea de excitație, notăm legea echilibrului forțelor electromotoare (emf) în circuitul de excitație, legea echilibrului emf în circuitul armăturii și legea de echilibru al momentelor pe arborele motorului:

;

.

În cea de-a doua ecuație, pentru simplitate, se omite termenul corespunzător FEM de autoinducție în circuitul armăturii.

În aceste formule, R B și R I sunt rezistențele circuitului de excitație și ale circuitului de armătură; І В și І Я - curenți în aceste circuite; U V și U I sunt tensiunile aplicate acestor circuite; V este numărul de spire ale înfășurării de excitație; Ф – flux magnetic; Ω este viteza unghiulară de rotație a arborelui motorului; M este momentul de rezistență din partea forțelor externe, J este momentul redus de inerție al motorului; C E și C M - coeficienți de proporționalitate.

Să presupunem că înainte de apariția unei creșteri a tensiunii aplicate înfășurării de excitație, a existat o stare staționară, pentru care ecuațiile (2.10) se vor scrie după cum urmează:

(2.11)

Dacă acum tensiunea de excitație va primi o creștere U B = U B0 + ΔU B, atunci toate variabilele care determină starea sistemului vor primi, de asemenea, creșteri. Ca rezultat, vom avea: І В = І В0 + ΔІ В; Ф = Ф 0 + ΔФ; I I \u003d I I0 + ΔІ I; Ω = Ω0 + ΔΩ.

Înlocuim aceste valori în (2.10), le aruncăm pe cele mici de ordin superior și obținem:

(2.12)

Scăzând ecuațiile (2.11) din ecuațiile (2.12), obținem un sistem de ecuații pentru abateri:

(2.13)

LA

Orez. 2.5. Curba de magnetizare

aceste ecuații au introdus coeficientul de proporționalitate între creșterea fluxului și creșterea curentului de excitație
determinată din curba de magnetizare a motorului electric (Fig. 2.5).

Soluția comună a sistemului (2.13) dă

unde este coeficientul de transfer, ,

; (2.15)

constanta de timp electromagnetică a circuitului de excitație, s,

(2.16)

unde L B = a B este coeficientul dinamic de autoinducție al circuitului de excitație; constanta de timp electromagnetică a motorului, s,

. (2.17)

Din expresiile (2.15) - (2.17) se poate observa că sistemul luat în considerare este în esență neliniar, întrucât coeficientul de transfer și „constanta” de timp nu sunt, de fapt, constante. Ele pot fi considerate constante doar aproximativ pentru un anumit mod, cu condiția ca abaterile tuturor variabilelor de la valorile la starea de echilibru să fie mici.

Un interesant este cazul special când în regim de echilibru U B0 = 0; I B0 = 0; Ф 0 = 0 și Ω 0 = 0. Atunci formula (2.14) ia forma

. (2.18)

În acest caz, caracteristica statică va raporta creșterea accelerației motorului
și creșterea tensiunii în circuitul de excitație.