Pe aceasta pagina veti gasi:

1. De fapt, tabelul de antiderivate - poate fi descărcat în format PDF și tipărit;

2. Video despre cum se utilizează acest tabel;

3. O grămadă de exemple de calculare a antiderivatei din diverse manuale și teste.

În videoclipul în sine, vom analiza multe probleme în care trebuie să calculați antiderivate ale funcțiilor, adesea destul de complexe, dar cel mai important, nu sunt funcții de putere. Toate funcțiile rezumate în tabelul propus mai sus trebuie cunoscute pe de rost, ca și derivatele. Fără ele, studiul suplimentar al integralelor și aplicarea lor pentru a rezolva probleme practice este imposibil.

Astăzi continuăm să studiem primitivele și trecem la un subiect puțin mai complex. Dacă data trecută ne-am uitat doar la antiderivate ale funcțiilor de putere și construcții ceva mai complexe, astăzi ne vom uita la trigonometrie și multe altele.

După cum am spus în ultima lecție, antiderivatele, spre deosebire de derivatele, nu sunt niciodată rezolvate „imediat” folosind reguli standard. Mai mult, vestea proastă este că, spre deosebire de derivat, este posibil ca antiderivatul să nu fie luat în considerare deloc. Dacă scriem o funcție complet aleatorie și încercăm să-i găsim derivata, atunci cu o probabilitate foarte mare vom reuși, dar antiderivata nu va fi aproape niciodată calculată în acest caz. Dar există o veste bună: există o clasă destul de mare de funcții numite funcții elementare, ale căror antiderivate sunt foarte ușor de calculat. Și toate celelalte structuri mai complexe care sunt date la tot felul de teste, teste independente și examene, de fapt, sunt alcătuite din aceste funcții elementare prin adunare, scădere și alte acțiuni simple. Prototipurile unor astfel de funcții au fost mult timp calculate și compilate în tabele speciale. Aceste funcții și tabele sunt cu care vom lucra astăzi.

Dar vom începe, ca întotdeauna, cu o repetare: să ne amintim ce este un antiderivat, de ce există infinit de multe dintre ele și cum să le determinăm aspectul general. Pentru a face acest lucru, am luat în calcul două probleme simple.

Rezolvarea de exemple simple

Exemplul #1

Să observăm imediat că $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ și, în general, prezența lui $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ ne sugerează imediat că antiderivata necesară a funcției este legată de trigonometrie. Și, într-adevăr, dacă ne uităm la tabel, vom descoperi că $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ nu este altceva decât $\text(arctg)x$. Deci hai sa o scriem:

Pentru a găsi, trebuie să scrieți următoarele:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

Exemplul nr. 2

Vorbim aici și despre funcții trigonometrice. Dacă ne uităm la tabel, atunci, într-adevăr, iată ce se întâmplă:

Trebuie să găsim dintre întregul set de antiderivate pe cel care trece prin punctul indicat:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Să o scriem în sfârșit:

Este atat de simplu. Singura problemă este că, pentru a calcula antiderivate ale funcțiilor simple, trebuie să înveți un tabel cu antiderivate. Cu toate acestea, după ce am studiat tabelul de derivate pentru dvs., cred că aceasta nu va fi o problemă.

Rezolvarea problemelor care conțin o funcție exponențială

Pentru început, să scriem următoarele formule:

\[((e)^(x))\la ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\la \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Să vedem cum funcționează toate acestea în practică.

Exemplul #1

Dacă ne uităm la conținutul parantezelor, vom observa că în tabelul cu antiderivate nu există o astfel de expresie pentru ca $((e)^(x))$ să fie într-un pătrat, deci acest pătrat trebuie extins. Pentru a face acest lucru, folosim formulele de înmulțire abreviate:

Să găsim antiderivată pentru fiecare dintre termeni:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\la \frac(((\left(((e))) (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\la \frac(((\left(((e) )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

Acum să colectăm toți termenii într-o singură expresie și să obținem antiderivata generală:

Exemplul nr. 2

De data aceasta gradul este mai mare, așa că formula de înmulțire prescurtată va fi destul de complexă. Deci, să deschidem parantezele:

Acum să încercăm să luăm antiderivatul formulei noastre din această construcție:

După cum puteți vedea, nu există nimic complicat sau supranatural în antiderivatele funcției exponențiale. Toate sunt calculate prin tabele, dar elevii atenți vor observa probabil că antiderivata $((e)^(2x))$ este mult mai aproape de simplu $((e)^(x))$ decât de $((a). )^(x ))$. Deci, poate că există o regulă mai specială care permite, cunoscând antiderivatul $((e)^(x))$, să găsească $((e)^(2x))$? Da, o astfel de regulă există. Și, în plus, este o parte integrantă a lucrului cu tabelul de antiderivate. Îl vom analiza acum folosind aceleași expresii cu care tocmai am lucrat ca exemplu.

Reguli de lucru cu tabelul de antiderivate

Să scriem din nou funcția noastră:

În cazul precedent, am folosit următoarea formulă pentru a rezolva:

\[((a)^(x))\la \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]

Dar acum să o facem puțin diferit: să ne amintim pe ce bază $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. După cum am spus deja, deoarece derivata $((e)^(x))$ nu este altceva decât $((e)^(x))$, prin urmare, antiderivata sa va fi egală cu același $((e) ^ (x))$. Dar problema este că avem $((e)^(2x))$ și $((e)^(-2x))$. Acum să încercăm să găsim derivata lui $((e)^(2x))$:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Să rescriem construcția noastră din nou:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]

Aceasta înseamnă că atunci când găsim antiderivată $((e)^(2x))$ obținem următoarele:

\[((e)^(2x))\la \frac(((e)^(2x)))(2)\]

După cum puteți vedea, am obținut același rezultat ca înainte, dar nu am folosit formula pentru a găsi $((a)^(x))$. Acum asta poate părea stupid: de ce să complici calculele când există o formulă standard? Cu toate acestea, în expresii ceva mai complexe veți descoperi că această tehnică este foarte eficientă, adică. folosind derivate pentru a găsi antiderivate.

Ca o încălzire, să găsim antiderivata lui $((e)^(2x))$ într-un mod similar:

\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]

La calcul, construcția noastră va fi scrisă după cum urmează:

\[((e)^(-2x))\la -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\la -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Am obținut exact același rezultat, dar am luat o cale diferită. Această cale, care acum ni se pare puțin mai complicată, este cea care în viitor se va dovedi mai eficientă pentru calcularea unor antiderivate mai complexe și utilizarea tabelelor.

Notă! Acesta este un punct foarte important: antiderivatele, ca și derivatele, pot fi numărate în multe moduri diferite. Cu toate acestea, dacă toate calculele și calculele sunt egale, atunci răspunsul va fi același. Tocmai am văzut acest lucru cu exemplul $((e)^(-2x))$ - pe de o parte, am calculat această antiderivată „direct”, folosind definiția și calculând-o folosind transformări, pe de altă parte, ne-am amintit că $ ((e)^(-2x))$ poate fi reprezentat ca $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ și numai atunci am folosit antiderivată pentru funcția $( (a)^(x))$. Cu toate acestea, după toate transformările, rezultatul a fost același, așa cum era de așteptat.

Și acum că înțelegem toate acestea, este timpul să trecem la ceva mai semnificativ. Acum vom analiza două construcții simple, dar tehnica care va fi folosită atunci când le rezolvăm este un instrument mai puternic și mai util decât simpla „alergare” între antiderivatele vecine din tabel.

Rezolvarea problemelor: găsirea antiderivatei unei funcții

Exemplul #1

Să împărțim suma care se află în numărători în trei fracții separate:

Aceasta este o tranziție destul de naturală și de înțeles - majoritatea studenților nu au probleme cu ea. Să ne rescriem expresia după cum urmează:

Acum să ne amintim această formulă:

În cazul nostru vom obține următoarele:

Pentru a scăpa de toate aceste fracții cu trei etaje, vă sugerez să faceți următoarele:

Exemplul nr. 2

Spre deosebire de fracția anterioară, numitorul nu este un produs, ci o sumă. În acest caz, nu ne mai putem împărți fracția în suma mai multor fracții simple, dar trebuie să încercăm cumva să ne asigurăm că numărătorul conține aproximativ aceeași expresie ca și numitorul. În acest caz, este destul de simplu să o faci:

Această notație, care în limbajul matematic se numește „adăugarea unui zero”, ne va permite să împărțim din nou fracția în două bucăți:

Acum să găsim ceea ce căutăm:

Astea sunt toate calculele. În ciuda complexității aparent mai mari decât în ​​problema anterioară, cantitatea de calcule s-a dovedit a fi și mai mică.

Nuanțe ale soluției

Și aici se află principala dificultate a lucrului cu antiderivate tabulare, acest lucru este vizibil în special în a doua sarcină. Cert este că pentru a selecta unele elemente care sunt ușor de calculat prin tabel, trebuie să știm exact ce căutăm și tocmai în căutarea acestor elemente constă întregul calcul al antiderivatelor.

Cu alte cuvinte, nu este suficient doar să memorezi tabelul de antiderivate - trebuie să poți vedea ceva care nu există încă, ci ce a însemnat autorul și compilatorul acestei probleme. De aceea mulți matematicieni, profesori și profesori susțin constant: „Ce înseamnă luarea de antiderivate sau integrare - este doar un instrument sau este o artă adevărată?” De fapt, după părerea mea personală, integrarea nu este deloc o artă - nu este nimic sublim în ea, este doar practică și mai multă practică. Și ca să exersăm, să rezolvăm trei exemple mai serioase.

Ne antrenăm în integrare în practică

Sarcina nr. 1

Să scriem următoarele formule:

\[((x)^(n))\la \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\la \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\la \text(arctg)x\]

Să scriem următoarele:

Problema nr. 2

Să-l rescriem după cum urmează:

Antiderivatul total va fi egal cu:

Problema nr. 3

Dificultatea acestei sarcini este că, spre deosebire de funcțiile anterioare de mai sus, nu există deloc variabilă $x$, adică. nu ne este clar ce să adunăm sau să scădem pentru a obține măcar ceva asemănător cu ceea ce este mai jos. Cu toate acestea, de fapt, această expresie este considerată chiar mai simplă decât oricare dintre expresiile anterioare, deoarece această funcție poate fi rescrisă după cum urmează:

Vă puteți întreba acum: de ce sunt aceste funcții egale? Sa verificam:

Să-l rescriem din nou:

Să ne transformăm puțin expresia:

Și când le explic toate astea studenților mei, aproape întotdeauna apare aceeași problemă: cu prima funcție totul este mai mult sau mai puțin clar, cu a doua poți să-ți dai seama și cu noroc sau practică, dar ce fel de conștiință alternativă ai trebuie să aveți pentru a rezolva al treilea exemplu? De fapt, nu te speria. Tehnica pe care am folosit-o la calcularea ultimei antiderivate se numește „descompunerea unei funcții în cea mai simplă ei”, iar aceasta este o tehnică foarte serioasă, iar acesteia i se va dedica o lecție video separată.

Între timp, îmi propun să revenim la ceea ce tocmai am studiat, și anume la funcțiile exponențiale și să complicăm oarecum problemele cu conținutul lor.

Probleme mai complexe pentru rezolvarea funcțiilor exponențiale antiderivate

Sarcina nr. 1

Să notăm următoarele:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

Pentru a găsi antiderivata acestei expresii, utilizați pur și simplu formula standard - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

În cazul nostru, antiderivatul va fi astfel:

Desigur, în comparație cu designul pe care tocmai l-am rezolvat, acesta pare mai simplu.

Problema nr. 2

Din nou, este ușor de observat că această funcție poate fi împărțită cu ușurință în doi termeni separați - două fracții separate. Să rescriem:

Rămâne să găsim antiderivatul fiecăruia dintre acești termeni folosind formula descrisă mai sus:

În ciuda complexității aparente mai mari a funcțiilor exponențiale în comparație cu funcțiile de putere, volumul total de calcule și calcule s-a dovedit a fi mult mai simplu.

Desigur, pentru elevii cunoscători, ceea ce tocmai am discutat (mai ales pe fundalul a ceea ce am discutat înainte) poate părea expresii elementare. Cu toate acestea, atunci când am ales aceste două probleme pentru lecția video de astăzi, nu mi-am propus să vă spun o altă tehnică complexă și sofisticată - tot ce am vrut să vă arăt este că nu trebuie să vă fie teamă să folosiți tehnici standard de algebră pentru a transforma funcții originale. .

Folosind o tehnică „secretă”.

În concluzie, aș dori să privesc o altă tehnică interesantă, care, pe de o parte, depășește ceea ce am discutat în principal astăzi, dar, pe de altă parte, este, în primul rând, deloc complicată, adică. Chiar și studenții începători îl pot stăpâni și, în al doilea rând, se găsește destul de des în tot felul de teste și lucrări independente, de exemplu. cunoașterea acestuia va fi foarte utilă pe lângă cunoașterea tabelului de antiderivate.

Sarcina nr. 1

Evident, avem ceva foarte asemănător cu o funcție de putere. Ce ar trebui să facem în acest caz? Să ne gândim: $x-5$ nu este atât de diferit de $x$ - tocmai au adăugat $-5$. Hai sa o scriem asa:

\[((x)^(4))\la \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

Să încercăm să găsim derivata lui $((\left(x-5 \right))^(5))$:

\[((\left(((\left(x-5 \right)))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

Asta implică:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right)))^(5)))(5) \ dreapta))^(\prime ))\]

Nu există o astfel de valoare în tabel, așa că acum am derivat această formulă noi înșine folosind formula antiderivată standard pentru o funcție de putere. Să scriem răspunsul astfel:

Problema nr. 2

Mulți studenți care se uită la prima soluție ar putea crede că totul este foarte simplu: doar înlocuiți $x$ în funcția de putere cu o expresie liniară și totul va cădea la loc. Din păcate, totul nu este atât de simplu, iar acum vom vedea asta.

Prin analogie cu prima expresie, scriem următoarele:

\[((x)^(9))\la \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]

Revenind la derivata noastră, putem scrie:

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right)))^(10)))(-30) \right))^(\prime ))\]

Urmează imediat:

Nuanțe ale soluției

Vă rugăm să rețineți: dacă nimic nu s-a schimbat în mod esențial data trecută, atunci în al doilea caz, în loc de $-10$, a apărut $-30$. Care este diferența dintre $-10$ și $-30$? Evident, cu un factor de -3$. Intrebare: de unde a venit? Dacă te uiți cu atenție, poți vedea că a fost luată ca rezultat al calculului derivatei unei funcții complexe - coeficientul care a fost la $x$ apare în antiderivată de mai jos. Aceasta este o regulă foarte importantă, pe care inițial nu am plănuit să o discut deloc în lecția video de astăzi, dar fără ea prezentarea antiderivatelor tabulare ar fi incompletă.

Deci hai să o facem din nou. Să fie funcția noastră principală de putere:

\[((x)^(n))\la \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Acum, în loc de $x$, să înlocuim expresia $kx+b$. Ce se va întâmpla atunci? Trebuie să găsim următoarele:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\la \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1) \dreapta)\cdot k)\]

Pe ce bază susținem acest lucru? Foarte simplu. Să găsim derivata construcției scrise mai sus:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b\right)))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]

Aceasta este aceeași expresie care a existat inițial. Astfel, această formulă este, de asemenea, corectă și poate fi folosită pentru a suplimenta tabelul de antiderivate sau este mai bine să memorați pur și simplu întregul tabel.

Concluzii din „secretul: tehnica:

• Ambele funcții pe care tocmai le-am analizat pot fi, de fapt, reduse la antiderivatele indicate în tabel prin extinderea gradelor, dar dacă putem face față mai mult sau mai puțin cumva gradului al patrulea, atunci nu aș face gradul al nouălea la toţi au îndrăznit să dezvăluie.
• Dacă ar fi să extindem gradele, am ajunge cu un asemenea volum de calcule, încât o sarcină simplă ne-ar lua un timp nepotrivit de mare.
• De aceea, astfel de probleme, care conțin expresii liniare, nu trebuie rezolvate „în cap”. De îndată ce dați peste un antiderivat care diferă de cel din tabel doar prin prezența expresiei $kx+b$ în interior, amintiți-vă imediat formula scrisă mai sus, înlocuiți-o în antiderivatul dvs. de tabel și totul va ieși mult. mai rapid si mai usor.

Desigur, datorită complexității și seriozității acestei tehnici, vom reveni asupra ei de multe ori în lecțiile video viitoare, dar asta este tot pentru astăzi. Sper că această lecție îi va ajuta cu adevărat pe acei studenți care doresc să înțeleagă antiderivatele și integrarea.

Integrarea este una dintre operațiile principale în analiza matematică. Tabelele cu antiderivate cunoscute pot fi utile, dar acum, după apariția sistemelor de algebră computerizată, își pierd semnificația. Mai jos este o listă cu cele mai comune primitive.

Tabelul integralelor de bază

O altă opțiune, compactă

Tabelul integralelor funcțiilor trigonometrice

Din funcții raționale

Din funcții iraționale

Integrale ale funcțiilor transcendentale

„C” este o constantă de integrare arbitrară, care este determinată dacă valoarea integralei în orice punct este cunoscută. Fiecare funcție are un număr infinit de antiderivate.

Majoritatea elevilor și elevilor au probleme în calcularea integralelor. Aceasta pagina contine tabele integrale din funcții trigonometrice, raționale, iraționale și transcendentale care vor ajuta la rezolvare. Un tabel cu derivate vă va ajuta și el.

Video - cum să găsiți integralele

Dacă nu înțelegi prea bine acest subiect, urmărește videoclipul, care explică totul în detaliu.

Tabel de antiderivate ("integrale"). Tabelul integralelor. Integrale nedefinite tabelare. (Cele mai simple integrale și integrale cu un parametru). Formule de integrare pe părți. formula Newton-Leibniz.

Tabel de antiderivate ("integrale"). Integrale nedefinite tabelare. (Cele mai simple integrale și integrale cu un parametru).
Integrala unei funcții de putere.	Integrala unei funcții de putere.
O integrală care se reduce la integrala unei funcții de putere dacă x este condus sub semnul diferențial.
	Integrală a unei exponențiale, unde a este un număr constant.
Integrală a unei funcții exponențiale complexe.	Integrala unei funcții exponențiale.
O integrală egală cu logaritmul natural.	Integrală: „Logaritm lung”.
	Integrală: „Logaritm lung”.
Integrală: „Logaritm mare”.	O integrală, în care x în numărător este plasat sub semnul diferențial (constanta de sub semn poate fi fie adunată, fie scăzută), este în cele din urmă similară cu o integrală egală cu logaritmul natural.
Integrală: „Logaritm mare”.
Integrală de cosinus.	Sine integrală.
Integrală egală cu tangenta.	Integrală egală cu cotangente.
Integrală egală cu arcsinus și arccosinus
O integrală egală cu arcsinus și arccosinus.	O integrală egală atât cu arctangente cât și cu arctangente.
Integrală egală cu cosecantei.	Integrală egală cu secanta.
Integrală egală cu arcsecanta.	Integrală egală cu arccosecant.
Integrală egală cu arcsecanta.	Integrală egală cu arcsecanta.
Integrală egală cu sinusul hiperbolic.	Integrală egală cu cosinusul hiperbolic.
Integrală egală cu sinusul hiperbolic, unde sinhx este sinusul hiperbolic în versiunea engleză.	Integrală egală cu cosinusul hiperbolic, unde sinhx este sinusul hiperbolic în versiunea engleză.
Integrală egală cu tangentei hiperbolice.	Integrală egală cu cotangentei hiperbolice.
Integrală egală cu secantei hiperbolice.	Integrală egală cu cosecantei hiperbolice.

Formule de integrare pe părți. Reguli de integrare.

Formule de integrare pe părți. Formula Newton-Leibniz.Reguli de integrare.
Integrarea unui produs (funcție) printr-o constantă:
Integrarea sumei funcțiilor:
integrale nedefinite:
Formula de integrare pe părți integrale definite:
formula Newton-Leibniz integrale definite:	Unde F(a),F(b) sunt valorile antiderivatelor la punctele b și, respectiv, a.

Tabelul derivatelor. Derivate tabulare. Derivat al produsului. Derivată a coeficientului. Derivată a unei funcții complexe.

Dacă x este o variabilă independentă, atunci:

Tabelul derivatelor. Derivate tabelare."derivat de tabel" - ​​da, din păcate, exact așa sunt căutate pe Internet
	Derivată a unei funcții de putere
	Derivată a exponentului
Derivată a unei funcții exponențiale complexe	Derivată a funcției exponențiale
Derivată a unei funcții logaritmice	Derivată a logaritmului natural
	Derivată a logaritmului natural al unei funcții
Derivat de sinus	Derivată a cosinusului
Derivată a cosecantei	Derivatul unei secante
Derivată de arcsinus	Derivată a arccosinusului
Derivată de arcsinus	Derivată a arccosinusului
Derivată tangentă	Derivat al cotangentei
Derivată a arctangentei	Derivată a cotangentei arcului
Derivată a arctangentei	Derivată a cotangentei arcului
Derivată a arcsecantei	Derivat de arccosecant
Derivată a arcsecantei	Derivat de arccosecant
Derivată a sinusului hiperbolic Derivatul sinusului hiperbolic în versiunea engleză	Derivatul cosinus hiperbolic Derivatul cosinusului hiperbolic în versiunea engleză
Derivată a tangentei hiperbolice	Derivat al cotangentei hiperbolice
Derivată a secantei hiperbolice	Derivată a cosecantei hiperbolice

Reguli de diferențiere. Derivat al produsului. Derivată a coeficientului. Derivată a unei funcții complexe.
Derivată a unui produs (funcție) printr-o constantă:
Derivată a sumei (funcții):
Derivat de produs (funcții):
Derivată a coeficientului (de funcții):
Derivata unei functii complexe:

Proprietățile logaritmilor. Formule de bază pentru logaritmi. zecimală (lg) și logaritmi naturali (ln).

Identitatea logaritmică de bază
Să arătăm cum orice funcție de forma a b poate fi făcută exponențială. Deoarece o funcție de forma e x se numește exponențială, atunci
Orice funcție de forma a b poate fi reprezentată ca o putere a zece

Logaritmul natural ln (logaritmul la baza e = 2,718281828459045...) ln(e)=1; ln(1)=0

Seria Taylor. Expansiunea în serie Taylor a unei funcții.

Se pare că majoritatea practic întâlnit funcțiile matematice pot fi reprezentate cu orice precizie în vecinătatea unui anumit punct sub formă de serii de puteri care conțin puteri ale unei variabile în ordine crescătoare. De exemplu, în vecinătatea punctului x=1:

Când utilizați seria numită Rândurile lui Taylor funcțiile mixte care conțin, de exemplu, funcții algebrice, trigonometrice și exponențiale pot fi exprimate ca funcții pur algebrice. Folosind seria, de multe ori puteți efectua rapid diferențierea și integrarea.

Seria Taylor în vecinătatea punctului a are forma:

1) , unde f(x) este o funcție care are derivate de toate ordinele la x = a. R n - termenul rămas din seria Taylor este determinat de expresie

2)

Coeficientul k-al (la x k) al seriei este determinat de formula

3) Un caz special al seriei Taylor este seria Maclaurin (=McLaren). (expansiunea are loc în jurul punctului a=0)

la a=0

membrii seriei sunt determinati de formula

Condiții de utilizare a seriei Taylor.

1. Pentru ca funcția f(x) să fie extinsă într-o serie Taylor pe intervalul (-R;R), este necesar și suficient ca termenul rămas din formula Taylor (Maclaurin (=McLaren)) pentru aceasta funcția tinde spre zero ca k →∞ pe intervalul specificat (-R;R).

2. Este necesar să existe derivate pentru o funcție dată în punctul în vecinătatea căruia vom construi seria Taylor.

Proprietățile seriei Taylor.

Dacă f este o funcție analitică, atunci seria sa Taylor în orice punct a din domeniul definiției lui f converge către f într-o vecinătate a lui a.

Există funcții infinit diferențiabile a căror serie Taylor converge, dar în același timp diferă de funcția din orice vecinătate a lui a. De exemplu:

Seriile Taylor sunt folosite în aproximarea (aproximarea este o metodă științifică care constă în înlocuirea unor obiecte cu altele, într-un sens sau altul apropiate de cele originale, dar mai simple) a unei funcții prin polinoame. În special, liniarizarea ((din linearis - liniar), una dintre metodele de reprezentare aproximativă a sistemelor neliniare închise, în care studiul unui sistem neliniar este înlocuit cu analiza unui sistem liniar, într-un fel echivalent cu cel original. .) Ecuațiile apar prin extinderea într-o serie Taylor și tăierea tuturor termenilor de mai sus de ordinul întâi.

Astfel, aproape orice funcție poate fi reprezentată ca un polinom cu o precizie dată.

Exemple de expansiuni comune ale funcțiilor de putere din seria Maclaurin (=McLaren, Taylor în vecinătatea punctului 0) și Taylor în vecinătatea punctului 1. Primii termeni de extindere a funcțiilor principale din seria Taylor și McLaren.

Exemple de expansiuni comune ale funcțiilor de putere din seria Maclaurin (=McLaren, Taylor în vecinătatea punctului 0)

Exemple de expansiuni comune ale seriei Taylor în vecinătatea punctului 1

Să enumerăm integralele funcțiilor elementare, care sunt uneori numite tabulare:

Oricare dintre formulele de mai sus poate fi dovedită luând derivata din partea dreaptă (rezultatul va fi integrandul).

Metode de integrare

Să ne uităm la câteva metode de integrare de bază. Acestea includ:

1. Metoda de descompunere(integrare directă).

Această metodă se bazează pe utilizarea directă a integralelor tabelare, precum și pe utilizarea proprietăților 4 și 5 ale integralei nedefinite (adică, scoaterea factorului constant din paranteze și/sau reprezentarea integrandul ca sumă de funcții - descompunere a integrandului în termeni).

Exemplul 1. De exemplu, pentru a găsi(dx/x 4) puteți utiliza direct integrala tabelului pentrux n dx. De fapt,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

Exemplul 2. Pentru a-l găsi, folosim aceeași integrală:

Exemplul 3. Pentru a-l găsi trebuie să luați

Exemplul 4. Pentru a găsi, reprezentăm funcția integrand sub forma și folosiți integrala tabelului pentru funcția exponențială:

Să considerăm utilizarea bracketing-ului un factor constant.

Exemplul 5.Să găsim, de exemplu . Având în vedere asta, obținem

Exemplul 6. O vom găsi. Deoarece , să folosim integrala tabelului Primim

În următoarele două exemple, puteți utiliza, de asemenea, paranteze și integrale de tabel:

Exemplul 7.

(folosim și );

Exemplul 8.

(folosim Și ).

Să ne uităm la exemple mai complexe care folosesc integrala sumă.

Exemplul 9. De exemplu, să găsim
. Pentru a aplica metoda expansiunii în numărător, folosim formula cubului sumei , iar apoi împărțim polinomul rezultat la numitor, termen cu termen.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

De remarcat că la sfârșitul soluției se scrie o constantă comună C (și nu unele separate la integrarea fiecărui termen). În viitor, se mai propune omiterea constantelor din integrarea termenilor individuali în procesul de rezolvare atâta timp cât expresia conține cel puțin o integrală nedefinită (vom scrie o constantă la sfârșitul soluției).

Exemplul 10. Vom găsi . Pentru a rezolva această problemă, să factorizăm numărătorul (după aceasta putem reduce numitorul).

Exemplul 11. O vom găsi. Identitățile trigonometrice pot fi folosite aici.

Uneori, pentru a descompune o expresie în termeni, trebuie să folosiți tehnici mai complexe.

Exemplul 12. Vom găsi . În integrand selectăm întreaga parte a fracției . Apoi

Exemplul 13. Vom găsi

2. Metoda de înlocuire a variabilei (metoda de înlocuire)

Metoda se bazează pe următoarea formulă: f(x)dx=f((t))`(t)dt, unde x =(t) este o funcție diferențiabilă pe intervalul luat în considerare.

Dovada. Să găsim derivatele în raport cu variabila t din partea stângă și dreaptă a formulei.

Rețineți că în partea stângă există o funcție complexă al cărei argument intermediar este x = (t). Prin urmare, pentru a o diferenția față de t, mai întâi diferențiem integrala față de x și apoi luăm derivata argumentului intermediar față de t.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Derivată din partea dreaptă:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Deoarece aceste derivate sunt egale, prin corolar teoremei lui Lagrange, laturile stângă și dreaptă ale formulei care se dovedește diferă printr-o anumită constantă. Deoarece integralele nedefinite în sine sunt definite până la un termen constant nedefinit, această constantă poate fi omisă din notația finală. Dovedit.

O schimbare cu succes a variabilei vă permite să simplificați integrala originală și, în cele mai simple cazuri, să o reduceți la una tabelară. În aplicarea acestei metode, se face o distincție între metodele de substituție liniară și neliniară.

a) Metoda substituției liniare Să ne uităm la un exemplu.

Exemplul 1.
. Fie t= 1 – 2x, atunci

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

Trebuie remarcat faptul că noua variabilă nu trebuie să fie scrisă în mod explicit. În astfel de cazuri, se vorbește despre transformarea unei funcții sub semn diferențial sau despre introducerea de constante și variabile sub semn diferențial, i.e. O înlocuirea implicită a variabilei.

Exemplul 2. De exemplu, să găsimcos(3x + 2)dx. Prin proprietățile diferențialei dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), atuncicos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

În ambele exemple luate în considerare, substituția liniară t=kx+b(k0) a fost folosită pentru a găsi integralele.

În cazul general, următoarea teoremă este valabilă.

Teorema substituției liniare. Fie F(x) o antiderivată a funcției f(x). Atuncif(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, unde k și b sunt niște constante,k0.

Dovada.

Prin definiția integralei f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Să luăm factorul constant k din semnul integral: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Acum putem împărți părțile stânga și dreaptă ale egalității în două și obținem afirmația de demonstrat până la desemnarea termenului constant.

Această teoremă afirmă că dacă în definiția integralei f(x)dx= F(x) + C în loc de argumentul x înlocuim expresia (kx+b), aceasta va duce la apariția unei factorul 1/k în fața antiderivatei.

Folosind teorema dovedită, rezolvăm următoarele exemple.

Exemplul 3.

Vom găsi . Aici kx+b= 3 –x, adică k= -1,b= 3. Atunci

Exemplul 4.

O vom găsi. Herekx+b= 4x+ 3, adică k= 4,b= 3. Atunci

Exemplul 5.

Vom găsi . Aici kx+b= -2x+ 7, adică k= -2,b= 7. Atunci

.

Exemplul 6. Vom găsi
. Aici kx+b= 2x+ 0, adică k= 2,b= 0.

.

Să comparăm rezultatul obținut cu exemplul 8, care a fost rezolvat prin metoda de descompunere. Rezolvând aceeași problemă folosind o metodă diferită, am primit răspunsul
. Să comparăm rezultatele: Astfel, aceste expresii diferă între ele printr-un termen constant , adică Răspunsurile primite nu se contrazic.

Exemplul 7. Vom găsi
. Să selectăm un pătrat perfect la numitor.

În unele cazuri, schimbarea unei variabile nu reduce integrala direct la una tabelară, dar poate simplifica soluția, făcând posibilă utilizarea metodei de expansiune la un pas ulterior.

Exemplul 8. De exemplu, să găsim . Înlocuiți t=x+ 2, apoi dt=d(x+ 2) =dx. Apoi

,

unde C = C 1 – 6 (la înlocuirea expresiei (x+ 2) în loc de primii doi termeni obținem ½x 2 -2x– 6).

Exemplul 9. Vom găsi
. Fie t= 2x+ 1, apoi dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

Să înlocuim expresia (2x+ 1) cu t, deschidem parantezele și dăm altele similare.

Rețineți că în procesul transformărilor am trecut la un alt termen constant, deoarece grupul de termeni constanți ar putea fi omis în timpul procesului de transformare.

b) Metoda substituției neliniare Să ne uităm la un exemplu.

Exemplul 1.
. Lett= -x 2. Apoi, se poate exprima x în termeni de t, apoi se găsește o expresie pentru dx și se implementează o modificare a variabilei în integrala dorită. Dar în acest caz este mai ușor să faci lucrurile diferit. Să găsim dt=d(-x 2) = -2xdx. Rețineți că expresia xdx este un factor al integrandului integralei dorite. Să o exprimăm din egalitatea rezultatăxdx= - ½dt. Apoi

=  (- ½)e t dt = (- ½) e t dt = (- ½)e t + C = (- ½)
+C

Să ne uităm la câteva exemple suplimentare.

Exemplul 2. Vom găsi . Fie t= 1 -x 2 . Apoi

Exemplul 3. Vom găsi . Lett=. Apoi

;

Exemplul 4.În cazul substituției neliniare, este, de asemenea, convenabil să se utilizeze substituția variabilă implicită.

De exemplu, să găsim
. Să scriem xdx= = (-1/4)d(3 - 2x 2) (înlocuit implicit cu variabila t= 3 - 2x 2). Apoi

Exemplul 5. Vom găsi . Aici introducem și o variabilă sub semnul diferențial: (înlocuire implicită = 3 + 5x 3). Apoi

Exemplul 6. Vom găsi . Deoarece ,

Exemplul 7. O vom găsi. De atunci

Să ne uităm la câteva exemple în care devine necesară combinarea diferitelor substituții.

Exemplul 8. Vom găsi
. Lett= 2x+ 1, atunci x= (t– 1)/2;dx= ½dt.

Exemplul 9. Vom găsi
. Lett=x- 2, atunci x=t+ 2;dx=dt.

Integrare directă folosind tabelul de antiderivate (tabelul de integrale nedefinite)

Tabel cu antiderivate

Putem găsi antiderivată dintr-o diferenţială cunoscută a unei funcţii dacă folosim proprietăţile integralei nedefinite. Din tabelul funcțiilor elementare de bază, folosind egalitățile ∫ d F (x) = ∫ F " (x) d x = ∫ f (x) d x = F (x) + C și ∫ k f (x) d x = k ∫ f (x) d x putem face un tabel de antiderivate.

Să scriem tabelul derivatelor sub formă de diferențiale.

Constanta y = C C" = 0 Funcția de putere y = x p. (x p) " = p x p - 1	Constanta y = C d (C) = 0 d x Funcția de putere y = x p. d (x p) = p x p - 1 d x
(a x) " = a x ln a	Funcția exponențială y = a x. d (a x) = a x ln α d x În special, pentru a = e avem y = e x d (e x) = e x d x
log a x " = 1 x ln a	Funcții logaritmice y = log a x . d (log a x) = d x x ln a În special, pentru a = e avem y = ln x d (ln x) = d x x
Funcții trigonometrice. sin x " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 c o s 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x	Funcții trigonometrice. d sin x = cos x · d x d (cos x) = - sin x · d x d (t g x) = d x c o s 2 x d (c t g x) = - d x sin 2 x
a r c sin x " = 1 1 - x 2 a r c cos x " = - 1 1 - x 2 a r c t g x " = 1 1 + x 2 a r c c t g x " = - 1 1 + x 2	Funcții trigonometrice inverse. d a r c sin x = d x 1 - x 2 d a r c cos x = - d x 1 - x 2 d a r c t g x = d x 1 + x 2 d a r c c t g x = - d x 1 + x 2

Să ilustrăm cele de mai sus cu un exemplu. Să găsim integrala nedefinită a funcției de putere f (x) = x p.

Conform tabelului diferenţialelor d (x p) = p · x p - 1 · d x. După proprietățile integralei nedefinite avem ∫ d (x p) = ∫ p · x p - 1 · d x = p · ∫ x p - 1 · d x = x p + C . Prin urmare, ∫ x p - 1 · d x = x p p + C p , p ≠ 0. A doua versiune a intrării este următoarea: ∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C p + 1 = x p + 1 p + 1 + C 1, p ≠ - 1.

Să o luăm egală cu - 1 și să găsim mulțimea de antiderivate ale funcției de putere f (x) = x p: ∫ x p · d x = ∫ x - 1 · d x = ∫ d x x .

Acum avem nevoie de un tabel de diferențe pentru logaritmul natural d (ln x) = d x x, x > 0, deci ∫ d (ln x) = ∫ d x x = ln x. Prin urmare ∫ d x x = ln x , x > 0 .

Tabel cu antiderivate (integrale nedefinite)

Coloana din stânga a tabelului conține formule care se numesc antiderivate de bază. Formulele din coloana din dreapta nu sunt de bază, dar pot fi folosite pentru a găsi integrale nedefinite. Ele pot fi verificate prin diferențiere.

Integrare directă

Pentru a realiza integrarea directă, vom folosi tabele de antiderivate, reguli de integrare ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C, precum și proprietăți ale integralelor nedefinite ∫ k f (x) d x = k · ∫ f (x) d x ∫ (f (x) ± g (x)) d x = ∫ f (x) d x ± ∫ g (x) d x

Tabelul integralelor de bază și proprietățile integralelor poate fi utilizat numai după o transformare ușoară a integrandului.

Exemplul 1

Să aflăm integrala ∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x

Soluţie

Înlăturăm coeficientul 3 de sub semnul integral:

∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x

Folosind formule de trigonometrie, transformăm funcția integrand:

3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 2 + 2 sin x 2 cos x 2 + cos x 2 2 d x = = 3 ∫ 1 + 2 sin x 2 cos x 2 d x = 3 ∫ 1 + sin x d x

Întrucât integrala sumei este egală cu suma integralelor, atunci
3 ∫ 1 + sin x d x = 3 ∫ 1 d x + ∫ sin x d x

Folosim datele din tabelul de antiderivate: 3 ∫ 1 d x + ∫ sin x d x = 3 (1 x + C 1 - cos x + C 2) = = gol 3 C 1 + C 2 = C = 3 x - 3 cos x + C

Răspuns:∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 x - 3 cos x + C .

Exemplul 2

Este necesar să se găsească mulțimea de antiderivate ale funcției f (x) = 2 3 4 x - 7 .

Soluţie

Folosim tabelul de antiderivate pentru funcția exponențială: ∫ a x · d x = a x ln a + C . Aceasta înseamnă că ∫ 2 x · d x = 2 x ln 2 + C .

Folosim regula de integrare ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C .

Se obține ∫ 2 3 4 x - 7 · d x = 1 3 4 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C = 4 3 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C .

Răspuns: f (x) = 2 3 4 x - 7 = 4 3 2 3 4 x - 7 ln 2 + C

Folosind tabelul de antiderivate, proprietăți și regula de integrare, putem găsi o mulțime de integrale nedefinite. Acest lucru este posibil în cazurile în care este posibilă transformarea integrandului.

Pentru a găsi integrala funcției logaritm, funcțiile tangente și cotangente și o serie de altele, sunt utilizate metode speciale, pe care le vom lua în considerare în secțiunea „Metode de bază de integrare”.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter