Forma integrală (finală).. Teorema privind modificarea energiei cinetice a unui punct material: modificarea energiei cinetice a unui punct material la o parte din deplasarea sa este egală cu suma algebrică a muncii tuturor forțelor care acționează asupra acestui punct la aceeași deplasare.

Teorema privind modificarea energiei cinetice a unui sistem mecanic este formulată: modificarea energiei cinetice a unui sistem mecanic atunci când acesta se deplasează dintr-o poziție în alta este egală cu suma muncii tuturor forțelor externe și interne aplicate sistemului în timpul acestei mișcări:

În cazul unui sistem neschimbabil, suma muncii efectuate de forțele interne asupra oricărei deplasări este egală cu zero (), atunci

Legea conservării energiei mecanice. Când un sistem mecanic se mișcă sub influența forțelor care au potențial, modificările energiei cinetice a sistemului sunt determinate de dependențe:

Unde ,

Se numește suma energiilor cinetice și potențiale ale unui sistem energie mecanică totală sisteme.

Prin urmare, Când un sistem mecanic se mișcă într-un câmp potențial staționar, energia mecanică totală a sistemului în timpul mișcării rămâne neschimbată.

Sarcină. Un sistem mecanic, sub influența gravitației, intră în mișcare dintr-o stare de repaus. Ținând cont de frecarea de alunecare a corpului 3, neglijând alte forțe de rezistență și masele firelor presupuse a fi inextensibile, se determină viteza și accelerația corpului 1 în momentul în care traiectoria parcursă de acesta devine egală. s(Fig. 3.70).

În sarcină, acceptați:

Soluţie. Sistemul mecanic este acţionat de forţe active , , . Aplicând principiul eliberării sistemului de constrângeri, vom prezenta reacțiile suportului articulat-fix 2 și suprafața înclinată brută. Vom descrie direcțiile de viteză ale corpurilor sistemului ținând cont de faptul că corpul 1 este descendent.

Să rezolvăm problema aplicând teorema privind modificarea energiei cinetice a unui sistem mecanic:

Unde Tși este energia cinetică a sistemului în pozițiile inițiale și finale; - suma algebrică a muncii efectuate de forțele externe aplicate sistemului pentru a muta sistemul din poziția inițială în poziția finală; - suma muncii efectuate de forțele interne ale sistemului la aceeași deplasare.

Pentru sistemul luat în considerare, format din corpuri absolut rigide legate prin filete inextensibile:

Deoarece sistemul era în repaus în poziția inițială, atunci . Prin urmare:

Energia cinetică a sistemului este suma energiilor cinetice ale corpurilor 1, 2, 3:

Energia cinetică a sarcinii 1 care se deplasează înainte este egală cu:

Energia cinetică a blocului 2 care se rotește în jurul unei axe Oz, perpendicular pe planul de desen:

Energia cinetică a corpului 3 în mișcarea sa înainte:

Prin urmare,

Expresia pentru energia cinetică conține vitezele necunoscute ale tuturor corpurilor din sistem. Definiția trebuie să înceapă cu . Să scăpăm de necunoscutele inutile creând ecuații de conexiuni.

Ecuațiile de constrângere nu sunt altceva decât relații cinematice între vitezele și mișcările punctelor din sistem. Când compunem ecuațiile constrângerii, vom exprima toate vitezele și mișcările necunoscute ale corpurilor sistemului prin viteza și mișcarea sarcinii 1.

Viteza oricărui punct de pe marginea cu rază mică este egală cu viteza corpului 1, precum și produsul dintre viteza unghiulară a corpului 2 și raza de rotație r:

De aici exprimăm viteza unghiulară a corpului 2:

Viteza de rotație a oricărui punct de pe marginea unui bloc cu rază mare, pe de o parte, este egală cu produsul dintre viteza unghiulară a blocului și raza de rotație și, pe de altă parte, viteza corpului 3. :

Înlocuind valoarea vitezei unghiulare, obținem:

Având expresiile integrate (a) și (b) în condițiile inițiale, scriem raportul deplasărilor punctelor sistemului:

Cunoscând dependențele de bază ale vitezelor punctelor sistemului, revenim la expresia energiei cinetice și înlocuim ecuațiile (a) și (b) în ea:

Momentul de inerție al corpului 2 este egal cu:

Înlocuind valorile maselor corporale și ale momentului de inerție al corpului 2, scriem:

Determinarea sumei muncii tuturor forțelor externe ale sistemului la o deplasare dată.

Acum, conform teoremei privind modificarea energiei cinetice a unui sistem mecanic, echivalăm valorile TȘi

Viteza corpului 1 se obține din expresia (g)

Accelerația corpului 1 poate fi determinată prin diferențierea egalității (g) în raport cu timpul.

Să introducem conceptul unei alte caracteristici dinamice de bază a mișcării - energia cinetică. Energia cinetică a unui punct material este o mărime scalară egală cu jumătate din produsul dintre masa punctului și pătratul vitezei acestuia.

Unitatea de măsură pentru energia cinetică este aceeași cu munca (în SI - 1 J). Să găsim relația care leagă aceste două mărimi.

Să considerăm un punct material cu masă care se deplasează dintr-o poziție în care are viteză într-o poziție în care viteza sa

Pentru a obține dependența dorită, să trecem la ecuația care exprimă legea de bază a dinamicii Proiectând ambele părți ale sale pe tangenta la traiectoria punctului M, îndreptată în direcția mișcării, obținem

Să reprezentăm accelerația tangențială a punctului inclus aici în formular

Ca urmare, constatăm că

Să înmulțim ambele părți ale acestei egalități cu și să o introducem sub semnul diferențial. Apoi, observând că unde este munca elementară a forței, obținem expresia teoremei privind modificarea energiei cinetice a unui punct în formă diferențială:

După ce am integrat acum ambele părți ale acestei egalități în limitele corespunzătoare valorilor variabilelor la puncte, vom găsi în sfârșit

Ecuația (52) exprimă teorema despre modificarea energiei cinetice a unui punct în formă finală: modificarea energiei cinetice a unui punct în timpul unei deplasări este egală cu suma algebrică a muncii tuturor forțelor care acționează asupra punctului în aceeasi deplasare.

Cazul neliberei circulații. Când punctul se mișcă într-o manieră neliberă, partea dreaptă a egalității (52) va include munca forțelor date (active) și munca reacției de cuplare. Să ne limităm la a lua în considerare mișcarea unui punct de-a lungul unei suprafețe sau curbe netede (fără frecare) staționare. În acest caz, reacția N (vezi Fig. 233) va fi direcționată normal pe traiectoria punctului și. Apoi, conform formulei (44), lucrul de reacție al unei suprafețe netede (sau curbe) staționare pentru orice mișcare a punctului va fi egal cu zero și din ecuația (52) obținem

În consecință, atunci când se deplasează de-a lungul unei suprafețe (sau curbe) netede staționare, modificarea energiei cinetice a unui punct este egală cu suma muncii efectuate asupra acestei mișcări a forțelor active aplicate punctului.

Dacă suprafața (curba) nu este netedă, atunci munca forței de frecare se va adăuga la munca forțelor active (vezi § 88). Dacă suprafața (curba) se mișcă, atunci deplasarea absolută a punctului M poate să nu fie perpendiculară pe N și atunci lucrul de reacție N nu va fi egal cu zero (de exemplu, lucrul de reacție al platformei ascensorului).

Rezolvarea problemelor. Teorema privind modificarea energiei cinetice [formula (52)] permite, știind cum se modifică viteza unui punct atunci când un punct se mișcă, să se determine lucrul forțelor care acționează (prima problemă a dinamicii) sau, cunoscând munca de forțele care acționează, pentru a determina modul în care viteza unui punct se modifică la mișcare (a doua problemă a dinamicii). La rezolvarea celei de-a doua probleme, atunci când forțele sunt date, este necesar să se calculeze munca lor. După cum se poate observa din formulele (44), (44), acest lucru se poate face numai atunci când forțele sunt constante sau depind numai de poziția (coordonatele) punctului în mișcare, cum ar fi forța elasticității sau a gravitației (vezi § 88). ).

Astfel, formula (52) poate fi utilizată direct pentru a rezolva cea de-a doua problemă de dinamică, atunci când datele și mărimile cerute în problemă includ: forțele care acționează, deplasarea unui punct și vitezele sale inițiale și finale (adică mărimile ) și fortele sa fie constante sau sa depinda doar de pozitia (coordonatele) punctului.

Teorema sub formă diferențială [formula (51)] poate fi, desigur, aplicată pentru orice forță care acționează.

Problema 98. O sarcină cântărind kg, aruncată cu viteză din punctul A, situat la înălțime (Fig. 235), are o viteză în punctul de cădere C. Determinați care este munca efectuată de forța de rezistență a aerului care acționează asupra sarcinii. în timpul mișcării sale

Soluţie. Pe măsură ce sarcina se mișcă, asupra sarcinii acționează forța gravitației P și forța rezistenței aerului R. Conform teoremei privind modificarea energiei cinetice, considerând sarcina un punct material, avem

Din această egalitate, întrucât conform formulei găsim

Problema 99. În condițiile problemei 96 (vezi [§ 84), determinați pe ce cale va parcurge sarcina înainte de a se opri (vezi Fig. 223, unde este poziția inițială a sarcinii și este poziția finală).

Soluţie. Sarcina, la fel ca în problema 96, este acționată de forțele P, N, F. Pentru a determina distanța de frânare, ținând cont de faptul că condițiile acestei probleme includ și o forță constantă F, vom folosi teorema privind modificarea în energie kinetică

În cazul în cauză - viteza sarcinii în momentul opririi). În plus, deoarece forțele P și N sunt perpendiculare pe deplasare, ca urmare, obținem de unde găsim

Conform rezultatelor problemei 96, timpul de frânare crește proporțional cu viteza inițială, iar distanța de frânare, după cum am constatat, este proporțională cu pătratul vitezei inițiale. Când este aplicat transportului la sol, acest lucru arată cum pericolul crește odată cu creșterea vitezei.

Problema 100. O sarcină cu greutatea P este suspendată pe un fir de lungime l Firul împreună cu sarcina este deviat de verticală sub un unghi (Fig. 236, a) și eliberat fără o viteză inițială. La deplasare, asupra sarcinii actioneaza o forta de rezistenta R pe care o inlocuim aproximativ cu valoarea medie a acesteia.Aflati viteza sarcinii in momentul in care firul face unghi cu verticala.

Soluţie. Ținând cont de condițiile problemei, folosim din nou Teorema (52):

Sarcina este acționată de forța gravitațională P, reacția firului de rezistență, reprezentată de valoarea sa medie R. Pentru forța P, conform formulei (47) pentru forța N, deoarece în final obținem, pentru forța întrucât, conform formulei (45) va fi (lungimea s a arcului este egală cu raza produsului l pe unghi central). În plus, conform condițiilor problemei. Ca urmare, egalitatea (a) dă:

În absența rezistenței, obținem de aici binecunoscuta formulă Galileo, care este, evident, valabilă și pentru viteza unei sarcini în cădere liberă (Fig. 236, b).

În problema luată în considerare Apoi, introducând o altă notație - forța medie de rezistență pe unitatea de greutate a sarcinii), obținem în sfârșit

Problema 101. În stare nedeformată, arcul supapei are o lungime de cm. Când supapa este complet deschisă, lungimea sa este de cm, iar înălțimea ridicării supapei este de cm (Fig. 237). Greutatea supapei de rigiditate arc kg. Neglijând efectele forțelor gravitaționale și de rezistență, determinați viteza supapei în momentul în care este închisă.

Soluție, să folosim ecuația

În funcție de condițiile problemei, munca este efectuată numai de forța elastică a arcului. Apoi, conform formulei (48) va fi

În acest caz

În plus, înlocuind toate aceste valori în ecuația (a), obținem în cele din urmă

Problema 102. O sarcină situată în mijlocul unei grinzi elastice (Fig. 238) o deviere cu o cantitate (deformarea statistică a grinzii) Neglijând greutatea grinzii, determinați cu ce va fi deformarea maximă a acesteia dacă sarcina cade pe grinda de la o inaltime H.

Soluţie. Ca și în problema anterioară, vom folosi ecuația (52) pentru a rezolva. În acest caz, viteza inițială a sarcinii și viteza sa finală (În momentul deflexiunii maxime a fasciculului) sunt egale cu zero și ecuația (52) ia forma

Lucrul aici este realizat de forța gravitațională P asupra deplasării și forța elastică a fasciculului F asupra deplasării.Mai mult, deoarece pentru fascicul Înlocuind aceste mărimi în egalitate (a), obținem

Dar când sarcina este în echilibru pe fascicul, forța gravitației este echilibrată de forța elasticității, prin urmare, egalitatea anterioară poate fi reprezentată sub forma

Rezolvând această ecuație pătratică și ținând cont că în funcție de condițiile problemei ar trebui să găsim

Este interesant de remarcat că atunci când se dovedește Prin urmare, dacă o sarcină este plasată în mijlocul unei grinzi orizontale, atunci deformarea sa maximă la coborârea sarcinii va fi egală cu dublul celei statice. Ulterior, sarcina va începe să oscileze împreună cu fasciculul în jurul poziției de echilibru. Sub influența rezistenței, aceste oscilații se vor atenua și sistemul va fi echilibrat într-o poziție în care deviația fasciculului este egală cu

Problema 103. Determinați viteza inițială minimă direcționată vertical care trebuie să fie transmisă corpului astfel încât acesta să se ridice de la suprafața Pământului la o înălțime dată H (Fig. 239).Forța de atracție se consideră că variază invers cu pătratul lui. distanta fata de centrul Pamantului. Neglijați rezistența aerului.

Soluţie. Considerând corpul ca punct material cu masă, folosim ecuația

Lucrul aici este realizat de forța gravitațională F. Apoi, folosind formula (50), ținând cont că în acest caz în care R este raza Pământului, obținem

Deoarece în punctul cel mai înalt, cu valoarea găsită a muncii, ecuația (a) dă

Să luăm în considerare cazurile speciale:

a) fie H foarte mic în comparație cu R. Atunci - o valoare apropiată de zero. Împărțind numărătorul și numitorul obținem

Astfel, pentru H mic ajungem la formula lui Galileo;

b) să aflăm cu ce viteză inițială va merge corpul aruncat la infinit Împărțind numărătorul și numitorul la A, obținem

Vedere: acest articol a fost citit de 49915 ori

Pdf Selectează limba... Rusă Ucraineană Engleză

Scurtă recenzie

Întregul material este descărcat mai sus, după selectarea limbii

Două cazuri de transformare a mișcării mecanice a unui punct material sau a unui sistem de puncte:

1. mișcarea mecanică este transferată de la un sistem mecanic la altul ca mișcare mecanică;
2. mișcarea mecanică se transformă într-o altă formă de mișcare a materiei (sub formă de energie potențială, căldură, electricitate etc.).

Când se ia în considerare transformarea mișcării mecanice fără trecerea acesteia la o altă formă de mișcare, măsura mișcării mecanice este vectorul impulsului unui punct material sau al unui sistem mecanic. Măsura forței în acest caz este vectorul impulsului forței.

Când mișcarea mecanică se transformă într-o altă formă de mișcare a materiei, energia cinetică a unui punct material sau a unui sistem mecanic acționează ca o măsură a mișcării mecanice. Măsura acțiunii forței la transformarea mișcării mecanice într-o altă formă de mișcare este munca forței

Energie kinetică

Energia cinetică este capacitatea corpului de a depăși un obstacol în timpul mișcării.

Energia cinetică a unui punct material

Energia cinetică a unui punct material este o mărime scalară care este egală cu jumătate din produsul dintre masa punctului și pătratul vitezei sale.

Energie kinetică:

• caracterizează atât mișcările de translație, cât și mișcările de rotație;
• nu depinde de direcția de mișcare a punctelor sistemului și nu caracterizează modificări în aceste direcții;
• caracterizează acţiunea atât a forţelor interne cât şi a celor externe.

Energia cinetică a unui sistem mecanic

Energia cinetică a sistemului este egală cu suma energiilor cinetice ale corpurilor sistemului. Energia cinetică depinde de tipul de mișcare a corpurilor sistemului.

Determinarea energiei cinetice a unui corp solid pentru diferite tipuri de mișcare.

Energia cinetică a mișcării de translație
În timpul mișcării de translație, energia cinetică a corpului este egală cu T=m V 2 /2.

Măsura inerției unui corp în timpul mișcării de translație este masa.

Energia cinetică a mișcării de rotație a unui corp

În timpul mișcării de rotație a unui corp, energia cinetică este egală cu jumătate din produsul momentului de inerție al corpului față de axa de rotație și pătratul vitezei sale unghiulare.

O măsură a inerției unui corp în timpul mișcării de rotație este momentul de inerție.

Energia cinetică a unui corp nu depinde de direcția de rotație a corpului.

Energia cinetică a mișcării plan-paralele a unui corp

Cu mișcarea plan-paralelă a unui corp, energia cinetică este egală cu

Munca de forta

Munca forței caracterizează acțiunea unei forțe asupra unui corp în timpul unei mișcări și determină modificarea modulului de viteză al punctului în mișcare.

Munca elementară de forță

Munca elementară a unei forțe este definită ca o mărime scalară egală cu produsul proiecției forței pe tangenta la traiectorie, îndreptată în direcția de mișcare a punctului, și deplasarea infinitezimală a punctului, îndreptată de-a lungul acestui tangentă.

Lucrări efectuate cu forța la deplasarea finală

Munca efectuată de o forță asupra unei deplasări finale este egală cu suma muncii acesteia pe secțiuni elementare.

Lucrul unei forțe asupra unei deplasări finale M 1 M 0 este egal cu integrala muncii elementare de-a lungul acestei deplasări.

Lucrarea unei forțe asupra deplasării M 1 M 2 este reprezentată de aria figurii, limitată de axa absciselor, curba și ordonatele corespunzătoare punctelor M 1 și M 0.

Unitatea de măsură a muncii forței și energiei cinetice în sistemul SI este 1 (J).

Teoreme despre munca forței

Teorema 1. Munca efectuată de forța rezultantă asupra unei anumite deplasări este egală cu suma algebrică a muncii efectuate de forțele componente asupra aceleiași deplasări.

Teorema 2. Munca efectuată de o forță constantă asupra deplasării rezultate este egală cu suma algebrică a muncii efectuate de această forță asupra deplasărilor componente.

Putere

Puterea este o mărime care determină munca efectuată de o forță pe unitatea de timp.

Unitatea de măsură a puterii este 1W = 1 J/s.

Cazuri de determinare a muncii forţelor

Munca forțelor interne

Suma muncii efectuate de forțele interne ale unui corp rigid în timpul oricărei mișcări este zero.

Munca gravitatiei

Lucru de forță elastică

Munca forței de frecare

Lucrul forțelor aplicate unui corp în rotație

Lucrul elementar al forțelor aplicate unui corp rigid care se rotește în jurul unei axe fixe este egal cu produsul dintre momentul principal al forțelor externe față de axa de rotație și creșterea unghiului de rotație.

Rezistență la rostogolire

În zona de contact a cilindrului staționar și planul are loc deformarea locală a compresiei de contact, solicitarea este distribuită conform unei legi eliptice, iar linia de acțiune a rezultatului N dintre aceste tensiuni coincide cu linia de acțiune a sarcinii. forță asupra cilindrului Q. Când cilindrul se rostogolește, distribuția sarcinii devine asimetrică cu un maxim deplasat spre mișcare. Rezultatul N este deplasat cu cantitatea k - brațul forței de frecare de rulare, care se mai numește și coeficient de frecare de rulare și are dimensiunea lungimii (cm)

Teorema privind modificarea energiei cinetice a unui punct material

Modificarea energiei cinetice a unui punct material la o anumită deplasare este egală cu suma algebrică a tuturor forțelor care acționează asupra punctului la aceeași deplasare.

Teorema privind modificarea energiei cinetice a unui sistem mecanic

Modificarea energiei cinetice a unui sistem mecanic la o anumită deplasare este egală cu suma algebrică a forțelor interne și externe care acționează asupra punctelor materiale ale sistemului la aceeași deplasare.

Teorema privind modificarea energiei cinetice a unui corp solid

Modificarea energiei cinetice a unui corp rigid (sistem neschimbat) la o anumită deplasare este egală cu suma forțelor externe care acționează asupra punctelor sistemului la aceeași deplasare.

Eficienţă

Forțe care acționează în mecanisme

Forțele și perechile de forțe (momente) care sunt aplicate unui mecanism sau mașină pot fi împărțite în grupuri:

1. Forțe motrice și momente care efectuează un lucru pozitiv (aplicate la legăturile de antrenare, de exemplu, presiunea gazului pe piston într-un motor cu ardere internă).

2. Forțe și momente de rezistență care efectuează muncă negativă:

• rezistență utilă (realizează lucrările necesare de la mașină și sunt aplicate pe legăturile antrenate, de exemplu, rezistența sarcinii ridicate de mașină),
• forțe de rezistență (de exemplu, forțe de frecare, rezistență a aerului etc.).

3. Forțele gravitaționale și forțele elastice ale arcurilor (atât lucru pozitiv, cât și negativ, în timp ce munca pentru un ciclu complet este zero).

4. Forțe și momente aplicate corpului sau suportului din exterior (reacția fundației etc.), care nu lucrează.

5. Forțele de interacțiune între legăturile care acționează în perechi cinematice.

6. Forțele inerțiale ale legăturilor, cauzate de masa și mișcarea legăturilor cu accelerație, pot efectua muncă pozitivă, negativă și nu execută muncă.

Munca forțelor în mecanisme

Când mașina funcționează în regim de echilibru, energia sa cinetică nu se modifică, iar suma muncii forțelor motrice și a forțelor de rezistență aplicate acesteia este zero.

Munca depusă la punerea în mișcare a mașinii este cheltuită în depășirea rezistențelor utile și dăunătoare.

Eficiența mecanismului

Eficiența mecanică în timpul mișcării constante este egală cu raportul dintre munca utilă a mașinii și munca cheltuită la punerea în mișcare a mașinii:

Elementele mașinii pot fi conectate în serie, paralel și mixte.

Eficiență în conexiune în serie

Când mecanismele sunt conectate în serie, eficiența globală este mai mică decât cea mai scăzută eficiență a unui mecanism individual.

Eficiență în conexiune în paralel

Când mecanismele sunt conectate în paralel, eficiența globală este mai mare decât cea mai mică și mai mică decât cea mai mare eficiență a unui mecanism individual.

Format: pdf

Limba: rusă, ucraineană

Exemplu de calcul al unui angrenaj drept
Un exemplu de calcul al unui angrenaj drept. Au fost efectuate alegerea materialului, calculul tensiunilor admisibile, calculul rezistenței la contact și la încovoiere.

Un exemplu de rezolvare a unei probleme de îndoire a fasciculului
În exemplu, au fost construite diagrame ale forțelor transversale și ale momentelor încovoietoare, a fost găsită o secțiune periculoasă și a fost selectată o grindă în I. Problema a analizat construcția diagramelor folosind dependențe diferențiale și a efectuat o analiză comparativă a diferitelor secțiuni transversale ale grinzii.

Un exemplu de rezolvare a unei probleme de torsiune a arborelui
Sarcina este de a testa rezistența unui arbore din oțel la un diametru dat, material și efort admisibil. În timpul soluției, sunt construite diagrame ale cuplurilor, tensiunilor tăietoare și unghiurilor de răsucire. Greutatea proprie a arborelui nu este luată în considerare

Un exemplu de rezolvare a unei probleme de tensiune-comprimare a unei tije
Sarcina este de a testa rezistența unei bare de oțel la solicitările admisibile specificate. În timpul rezolvării se construiesc diagrame ale forțelor longitudinale, tensiunilor normale și deplasărilor. Greutatea proprie a lansetei nu este luată în considerare

Aplicarea teoremei privind conservarea energiei cinetice
Un exemplu de rezolvare a unei probleme folosind teorema privind conservarea energiei cinetice a unui sistem mecanic

Un exemplu de rezolvare a unei probleme folosind teorema privind modificarea energiei cinetice a unui sistem cu corpuri rigide, blocuri, scripete și un arc.

Conţinut

Sarcina

Sistemul mecanic este format din greutăți 1 și 2, un scripete treptat 3 cu raze de pas R 3 = 0,3 m, r3 = 0,1 mși raza de rotație față de axa de rotație ρ 3 = 0,2 m, bloc 4 raza R 4 = 0,2 mși blocul mobil 5. Blocul 5 este considerat un cilindru solid omogen. Coeficientul de frecare al sarcinii 2 pe planul f = 0,1 . Corpurile sistemului sunt legate între ele prin fire aruncate peste blocuri și înfășurate pe scripetele 3. Secțiunile firelor sunt paralele cu planurile corespunzătoare. La blocul mobil 5 este atașat un arc cu coeficientul de rigiditate c = 280 N/m.

Sub influența forței F = f (s) = 80(6 + 7 s) N, în funcție de deplasarea s a punctului de aplicare a acestuia, sistemul începe să se deplaseze dintr-o stare de repaus. Deformarea arcului în momentul începerii mișcării este nulă. La mișcare, scripetele 3 este acționat de un moment constant M = 1,6 Nm forțe de rezistență (de la frecare în rulmenți). Mase corporale: m 1 = 0 , m 2 = 5 kg, m 3 = 6 kg, m 4 = 0 , m 5 = 4 kg.

Determinați valoarea centrului de masă al corpului 5 V C 5 în momentul în care deplasarea s a sarcinii 1 devine egală cu s 1 = 0,2 m.

Notă. Când rezolvați o problemă, utilizați teorema schimbării energiei cinetice.

Rezolvarea problemei

Dat: R 3 = 0,3 m, r3 = 0,1 m, ρ 3 = 0,2 m, R 4 = 0,2 m, f = 0,1 , s = 280 N/m, m 1 = 0 , m 2 = 5 kg, m 3 = 6 kg, m 4 = 0 , m 5 = 4 kg, F = f (s) = 80(6 + 7 s) N, s 1 = 0,2 m.

Găsi: V C 5 .

Denumiri variabile

R 3, r 3- razele treptei scripetelui 3;
ρ 3 - raza de inerție a scripetei 3 față de axa de rotație;
R 5 - bloc raza 5;
V 1 , V 2 - vitezele corpurilor 1 și 2;
ω 3 - viteza unghiulara de rotatie a scripetelui 3;
V C 5 - viteza centrului de masă C 5 blocul 5;
ω 5 - viteza unghiulara de rotatie a blocului 5;
s 1 , s 2 - miscarea corpurilor 1 si 2;
φ 3 - unghiul de rotatie al scripetelui 3;
s C 5 - mișcarea centrului de masă C 5 blocul 5;
s A, s B - punctele în mișcare A și B.

Stabilirea relatiilor cinematice

Să stabilim relații cinematice. Deoarece sarcinile 1 și 2 sunt conectate printr-un fir, vitezele lor sunt egale:
V 2 = V 1.
Deoarece firul care leagă sarcinile 1 și 2 este înfășurat pe treapta exterioară a scripetei 3, punctele treptei exterioare a scripetei 3 se mișcă cu viteza V. 2 = V 1. Atunci viteza unghiulară de rotație a scripetelui este:
.
Viteza centrului de masă V C 5 blocul 5 este egal cu viteza punctelor treptei interne a scripetelui 3:
.
Viteza punctului K este zero. Prin urmare, este centrul vitezei instantanee al blocului 5. Viteza unghiulară de rotație a blocului 5:
.
Viteza punctului B - capătul liber al arcului - este egală cu viteza punctului A:
.

Să exprimăm vitezele în termeni de V C 5 .
;
;
.

Acum hai să instalăm legăturile dintre mișcările corpului și unghiurile de rotație scripete și bloc. Deoarece vitezele și vitezele unghiulare sunt derivate în timp ale deplasărilor și unghiurilor de rotație
,
atunci aceleași conexiuni vor fi între deplasări și unghiuri de rotație:
s 2 = s 1;
;
;
.

Determinarea energiei cinetice a sistemului

Să găsim energia cinetică a sistemului. Sarcina 2 face mișcare de translație cu viteza V 2 . Scrietul 3 efectuează mișcare de rotație cu viteza de rotație unghiulară ω 3 . Blocul 5 realizează mișcare plan-paralelă. Se rotește cu viteza unghiulară ω 5 iar centrul său de masă se mișcă cu viteza V C 5 . Energia cinetică a sistemului:
.

Deoarece este dată raza de inerție a scripetelui în raport cu axa de rotație, momentul de inerție al scripetelui în raport cu axa de rotație este determinat de formula:
J 3 = m 3 ρ 2 3.
Deoarece blocul 5 este un cilindru solid omogen, momentul său de inerție față de centrul de masă este egal cu
.

Folosind relațiile cinematice, exprimăm toate vitezele prin V C 5 și înlocuiți expresii pentru momentele de inerție în formula pentru energia cinetică.
,
unde am intrat în constantă
kg.

Deci, am găsit dependența energiei cinetice a sistemului de viteza centrului de masă V C 5 bloc în mișcare:
, unde m = 75 kg.

Determinarea cantității de lucru a forțelor externe

Luați în considerare forțele externe, acționând asupra sistemului.
În același timp, nu luăm în considerare forțele de tensiune ale firelor, deoarece firele sunt inextensibile și, prin urmare, nu produc lucru. Din acest motiv, nu luăm în considerare tensiunile interne care acționează în corpuri, deoarece acestea sunt absolut solide.
Corpul 1 (cu masă zero) este acționat de o forță dată F.
Sarcina 2 este acționată de gravitația P 2 = m 2 g 2 și forța de frecare F T .
Scrietele 3 este acționat de gravitația P 3 = m 3 g, Forța de presiune pe axa N 3 și momentul forțelor de frecare M.
Scrietul 4 (cu masă zero) este afectat de forța de presiune a axei N 4 .
Blocul mobil 5 este acţionat asupra gravitaţiei P 5 = m 5 g, forța elastică F y a arcului și forța de întindere a firului T K în punctul K.

Lucrul pe care îl face o forță atunci când se mișcă punctul de aplicare cu o mică deplasare este egal cu produsul scalar al vectorilor, adică produsul valorilor absolute ale vectorilor F și ds cu cosinusul unghiului dintre lor. O forță dată aplicată corpului 1 este paralelă cu mișcarea corpului 1. Prin urmare, munca efectuată de forță atunci când corpul 1 se deplasează pe o distanță s 1 este egal cu:


J.

Luați în considerare sarcina 2. Ea este acționată de forța gravitațională P 2 , forța de presiune a suprafeței N 2 , forța de tensionare a firului T 23 , T 24 și forța de frecare F T . Deoarece sarcina nu se mișcă în direcția verticală, proiecția accelerației sale pe axa verticală este zero. Prin urmare, suma proiecțiilor forțelor pe axa verticală este egală cu zero:
N 2 - P 2 = 0;
N 2 = P 2 = m 2 g.
Forța de frecare:
F T = f N 2 = f m 2 g.
Forțele P 2 si n 2 perpendicular pe deplasarea s 2 , deci nu produc lucru.
Lucrul forței de frecare:
J.

Dacă luăm în considerare sarcina 2 ca un sistem izolat, atunci trebuie să luăm în considerare munca produsă de forțele de întindere ale firelor T 23 Si t 24 . Totuși, ne interesează întregul sistem, format din corpurile 1, 2, 3, 4 și 5. Pentru un astfel de sistem, forțele de întindere ale filetelor sunt forțe interne. Și deoarece firele sunt inextensibile, suma muncii lor este zero. În cazul sarcinii 2, trebuie să țineți cont și de forțele de întindere ale filetelor care acționează asupra scripetelui 3 și blocului 4. Acestea sunt egale ca mărime și opuse ca direcție forțelor T. 23 Si t 24 . Prin urmare, munca efectuată de forțele de întindere ale firelor 23 și 24 asupra sarcinii 2 este egală ca mărime și semn opus muncii efectuate de forțele de întindere ale acestor fire peste scripetele 3 și blocul 4. Ca urmare, cantitatea de munca produsă de forțele de întindere ale firelor este nulă.

Luați în considerare scripetele 3. Deoarece centrul său de masă nu se mișcă, munca gravitațională P 3 egal cu zero.
Deoarece axa C 3 este nemișcat, atunci forța de presiune a axei N 3 nu produce muncă.
Munca efectuată de cuplu se calculează în mod similar cu munca efectuată de forță:
.
În cazul nostru, vectorii momentului forțelor de frecare și unghiul de rotație al scripetelui sunt direcționați de-a lungul axei de rotație a scripetelui, dar opus în direcție. Prin urmare, munca momentului forțelor de frecare:
J.

Să ne uităm la blocul 5.
Deoarece viteza punctului K este zero, forța T K nu produce muncă.
Centrul de masă al blocului C 5 deplasat pe o distanță s C 5 sus. Prin urmare, munca efectuată de gravitația blocului este:
J.
Munca efectuată de forța elastică a arcului este egală cu modificarea energiei potențiale a arcului cu semnul minus. Deoarece arcul nu este deformat la început, atunci
J.

Suma muncii tuturor forțelor:

J.

Aplicarea teoremei asupra modificării energiei cinetice a unui sistem

Să aplicăm teorema privind modificarea energiei cinetice a sistemului în formă integrală.
.
Deoarece sistemul era în repaus la început, energia sa cinetică la începutul mișcării este
T 0 = 0 .
Apoi
.
De aici
Domnișoară.

Energia cinetică a unui sistem mecanic constă din energiile cinetice ale tuturor punctelor sale:

Diferențiând fiecare parte a acestei egalități în funcție de timp, obținem

Folosind legea de bază a dinamicii pentru La al-lea punct al sistemului m k 2i k= Fj., ajungem la egalitate

Produsul scalar al forței F și al vitezei v în punctul de aplicare a acesteia se numește puterea de forta si denota R:

Folosind această nouă notație, reprezentăm (11.6) sub următoarea formă:

Egalitatea rezultată exprimă forma diferențială a teoremei privind modificarea energiei cinetice: rata de modificare a energiei cinetice a unui sistem mecanic este egală cu suma jputerilor tuturor cm care acționează asupra sistemului.

Prezentarea derivatului fîn (8.5) sub formă de fracție -- și performanță

apoi separând variabilele, obținem:

Unde dT- diferenţială de energie cinetică, adică schimbarea sa într-o perioadă infinitezimală de timp dr, dr k = k dt - mișcare elementară La- punctele ale sistemului, adică mișcare în timp dt.

Produsul scalar al forței F și deplasarea elementară dr punctele sale de aplicare sunt numite munca de baza forţe şi denotă dA:

Folosind proprietățile produsului scalar, putem reprezenta munca elementară a forței și sub formă

Aici ds = dr - lungimea arcului a traiectoriei punctului de aplicare a forței, corespunzătoare deplasării sale elementare s/g; A - unghiul dintre direcțiile vectorului forță F și vectorului elementar de deplasare c/r; F„ F y , F,- proiecţii ale vectorului forţă F pe axele carteziene; dx, dy, dz - proiecții pe axele carteziene ale vectorului deplasării elementare s/g.

Ținând cont de notația (11.9), egalitatea (11.8) poate fi reprezentată în următoarea formă:

acestea. diferența energiei cinetice a sistemului este egală cu suma lucrărilor elementare ale tuturor forțelor care acționează asupra sistemului. Această egalitate, ca și (11.7), exprimă forma diferențială a teoremei privind modificarea energiei cinetice, dar diferă de (11.7) prin aceea că folosește nu derivate, ci incremente infinitezimale - diferențiale.

Efectuând integrarea termen cu termen a egalității (11.12), obținem

unde se folosesc ca limite de integrare următoarele: 7 0 - energia cinetică a sistemului la un moment dat? 0; 7) - energia cinetică a sistemului în momentul de timp tx.

Integrale definite în timp sau A(F):

Nota 1. Pentru a calcula munca, uneori este mai convenabil să utilizați o parametrizare fără arc a traiectoriei Domnișoară), si coordoneaza M(x(t), y(/), z(f)). În acest caz, pentru lucrul elementar este firesc să se ia reprezentarea (11.11) și să se reprezinte integrala curbilinie sub forma:

Ținând cont de notația (11.14) de lucru pe o deplasare finită, egalitatea (11.13) ia forma

și reprezintă forma finală a teoremei privind modificarea energiei cinetice a unui sistem mecanic.

Teorema 3. Modificarea energiei cinetice a unui sistem mecanic atunci când acesta se deplasează din poziția inițială în poziția finală este egală cu suma muncii tuturor forțelor care acționează asupra punctelor sistemului în timpul acestei mișcări.

cometariu 2. Partea dreaptă a egalității (11.16) ia în considerare munca cu toată puterea noastră, acționând asupra sistemului, atât extern cât și intern. Cu toate acestea, există sisteme mecanice pentru care munca totală efectuată de toate forțele interne este zero. Ego-urile așa numite sisteme imuabile, în care distanțele dintre punctele materiale care interacționează nu se modifică. De exemplu, un sistem de corpuri solide conectate prin balamale fără frecare sau fire flexibile inextensibile. Pentru astfel de sisteme, în egalitate (11.16) este suficient să se ia în considerare doar munca forțelor externe, adică. teorema (11.16) ia forma: