În acest articol vom găsi răspunsuri la întrebări despre cum să creați o proiecție a unui punct pe un plan și cum să determinați coordonatele acestei proiecții. În partea teoretică ne vom baza pe conceptul de proiecție. Vom defini termenii și vom oferi informații cu ilustrații. Să consolidăm cunoștințele dobândite prin rezolvarea de exemple.

Proiecție, tipuri de proiecție

Pentru comoditatea vizualizării figurilor spațiale, se folosesc desene care ilustrează aceste figuri.

Definiția 1

Proiectia unei figuri pe un plan– desenul unei figuri spațiale.

Evident, există o serie de reguli folosite pentru a construi o proiecție.

Definiția 2

Proiecție– procesul de construire a unui desen al unei figuri spațiale pe un plan folosind reguli de construcție.

Planul de proiecție- acesta este planul în care este construită imaginea.

Utilizarea anumitor reguli determină tipul de proiecție: central sau paralel.

Un caz special de proiecție paralelă este proiecția perpendiculară sau ortogonală: în geometrie este utilizat în principal. Din acest motiv, adjectivul „perpendicular” în sine este adesea omis în vorbire: în geometrie se spune pur și simplu „proiectarea unei figuri” și prin aceasta se referă la construirea unei proiecții folosind metoda proiecției perpendiculare. În cazuri speciale, desigur, se poate conveni altceva.

Să remarcăm faptul că proiecția unei figuri pe un plan este în esență o proiecție a tuturor punctelor acestei figuri. Prin urmare, pentru a putea studia o figură spațială într-un desen, este necesar să dobândești abilitățile de bază de a proiecta un punct pe un plan. Despre ce vom vorbi mai jos.

Să reamintim că cel mai adesea în geometrie, când vorbim despre proiecția pe un plan, înseamnă utilizarea unei proiecții perpendiculare.

Să facem construcții care să ne dea posibilitatea de a obține o definiție a proiecției unui punct pe un plan.

Să presupunem că este dat un spațiu tridimensional, iar în el există un plan α și un punct M 1 care nu aparține planului α. Desenați o dreaptă prin punctul dat M A perpendicular pe un plan dat α. Notăm punctul de intersecție al dreptei a și planului α ca H 1; prin construcție, acesta va servi ca bază pentru o perpendiculară coborâtă din punctul M 1 în planul α.

Dacă este dat un punct M2, aparținând unui plan dat α, atunci M2 va servi ca proiecție a lui însuși pe planul α.

Definiția 3

- acesta este fie punctul însuși (dacă aparține unui plan dat), fie baza unei perpendiculare căzute dintr-un punct dat într-un plan dat.

Găsirea coordonatelor proiecției unui punct pe un plan, exemple

Să fie date în spațiul tridimensional următoarele: un sistem de coordonate dreptunghiular O x y z, un plan α, un punct M 1 (x 1, y 1, z 1). Este necesar să se găsească coordonatele proiecției punctului M 1 pe un plan dat.

Soluția rezultă în mod evident din definiția dată mai sus a proiecției unui punct pe un plan.

Să notăm proiecția punctului M 1 pe planul α ca H 1 . Conform definiției, H 1 este punctul de intersecție al unui plan dat α și o dreaptă a trasă prin punctul M 1 (perpendicular pe plan). Acestea. Coordonatele proiecției punctului M1 de care avem nevoie sunt coordonatele punctului de intersecție a dreptei a și planului α.

Astfel, pentru a găsi coordonatele proiecției unui punct pe un plan este necesar:

Se obține ecuația planului α (dacă nu este specificată). Un articol despre tipurile de ecuații plane vă va ajuta aici;

Determinați ecuația unei drepte a care trece prin punctul M 1 și perpendiculară pe planul α (studiați subiectul despre ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat perpendicular pe un plan dat);

Aflați coordonatele punctului de intersecție al dreptei a și ale planului α (articol - aflarea coordonatelor punctului de intersecție al planului și al dreptei). Datele obținute vor fi coordonatele de care avem nevoie pentru proiecția punctului M 1 pe planul α.

Să ne uităm la teorie cu exemple practice.

Exemplul 1

Determinați coordonatele proiecției punctului M 1 (- 2, 4, 4) pe planul 2 x – 3 y + z - 2 = 0.

Soluţie

După cum vedem, ne este dată ecuația planului, i.e. nu este nevoie să-l compilați.

Să notăm ecuațiile canonice ale unei drepte a care trece prin punctul M 1 și perpendiculară pe planul dat. În aceste scopuri, determinăm coordonatele vectorului de direcție al dreptei a. Deoarece linia a este perpendiculară pe un plan dat, vectorul direcție al dreptei a este vectorul normal al planului 2 x - 3 y + z - 2 = 0. Prin urmare, a → = (2, - 3, 1) – vector de direcție al dreptei a.

Acum să compunem ecuațiile canonice ale unei drepte în spațiu care trece prin punctul M 1 (- 2, 4, 4) și având un vector de direcție a → = (2 , - 3 , 1) :

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1

Pentru a găsi coordonatele necesare, următorul pas este să determinați coordonatele punctului de intersecție al dreptei x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 și ale planului 2 x - 3 y + z - 2 = 0 . În aceste scopuri, trecem de la ecuațiile canonice la ecuațiile a două plane care se intersectează:

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 · (x + 2) = 2 · (y - 4) 1 · (x + 2) = 2 · (z - 4) 1 · ( y - 4) = - 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0

Să creăm un sistem de ecuații:

3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2

Și să o rezolvăm folosind metoda lui Cramer:

∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ = - z 140 - 28 = 5

Astfel, coordonatele cerute ale unui punct dat M 1 pe un plan dat α vor fi: (0, 1, 5).

Răspuns: (0 , 1 , 5) .

Exemplul 2

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular O x y z al spațiului tridimensional, sunt date punctele A (0, 0, 2); B (2, - 1, 0); C (4, 1, 1) şi M1 (-1, -2, 5). Este necesar să se găsească coordonatele proiecției M 1 pe planul A B C

Soluţie

În primul rând, notăm ecuația unui plan care trece prin trei puncte date:

x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6 y + 6 z - 12 = 0 ⇔ x - 2 y + 2 z - 4 = 0

Să notăm ecuațiile parametrice ale dreptei a, care va trece prin punctul M 1 perpendicular pe planul A B C. Planul x – 2 y + 2 z – 4 = 0 are un vector normal cu coordonatele (1, -). 2, 2), adică vector a → = (1, - 2, 2) – vector de direcție al dreptei a.

Acum, având coordonatele punctului dreptei M 1 și coordonatele vectorului de direcție al acestei drepte, scriem ecuațiile parametrice ale dreptei în spațiu:

Apoi determinăm coordonatele punctului de intersecție al planului x – 2 y + 2 z – 4 = 0 și dreapta

x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ

Pentru a face acest lucru, înlocuim în ecuația planului:

x = - 1 + λ, y = - 2 - 2 λ, z = 5 + 2 λ

Acum, folosind ecuațiile parametrice x = - 1 + λ y = - 2 - 2 · λ z = 5 + 2 · λ, găsim valorile variabilelor x, y și z pentru λ = - 1: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 · (- 1) z = 5 + 2 · (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3

Astfel, proiecția punctului M 1 pe planul A B C va avea coordonate (- 2, 0, 3).

Răspuns: (- 2 , 0 , 3) .

Să ne oprim separat asupra problemei găsirii coordonatelor proiecției unui punct pe planuri de coordonate și planuri care sunt paralele cu planurile de coordonate.

Să fie date punctele M 1 (x 1, y 1, z 1) și planele de coordonate O x y, O x z și O y z. Coordonatele proiecției acestui punct pe aceste plane vor fi, respectiv: (x 1, y 1, 0), (x 1, 0, z 1) și (0, y 1, z 1). Să considerăm, de asemenea, planuri paralele cu planurile de coordonate date:

C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B

Și proiecțiile unui punct dat M 1 pe aceste plane vor fi puncte cu coordonatele x 1, y 1, - D C, x 1, - D B, z 1 și - D A, y 1, z 1.

Să demonstrăm cum a fost obținut acest rezultat.

Ca exemplu, să definim proiecția punctului M 1 (x 1, y 1, z 1) pe planul A x + D = 0. Restul cazurilor sunt similare.

Planul dat este paralel cu planul de coordonate O y z și i → = (1, 0, 0) este vectorul său normal. Același vector servește ca vector de direcție al dreptei perpendiculare pe planul O y z. Atunci ecuațiile parametrice ale unei drepte trasate prin punctul M 1 și perpendiculare pe un plan dat vor avea forma:

x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1

Să găsim coordonatele punctului de intersecție al acestei drepte și a planului dat. Să substituim mai întâi egalitățile în ecuația A x + D = 0: x = x 1 + λ , y = y 1 , z = z 1 și obținem: A · (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - D A - x 1

Apoi calculăm coordonatele necesare folosind ecuațiile parametrice ale dreptei cu λ = - D A - x 1:

x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1

Adică, proiecția punctului M 1 (x 1, y 1, z 1) pe plan va fi un punct cu coordonatele - DA, y 1, z 1.

Exemplul 2

Este necesar să se determine coordonatele proiecției punctului M 1 (- 6, 0, 1 2) pe planul de coordonate O x y și pe planul 2 y - 3 = 0.

Soluţie

Planul de coordonate O x y va corespunde ecuației generale incomplete a planului z = 0. Proiecția punctului M 1 pe planul z = 0 va avea coordonate (- 6, 0, 0).

Ecuația plană 2 y - 3 = 0 poate fi scrisă ca y = 3 2 2. Acum doar scrieți coordonatele proiecției punctului M 1 (- 6, 0, 1 2) pe planul y = 3 2 2:

6 , 3 2 2 , 1 2

Răspuns:(- 6 , 0 , 0) și - 6 , 3 2 2 , 1 2

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Aflați unghiul ascuțit dintre diagonalele unui paralelogram construit folosind vectori

5) Să se determine coordonatele vectorului c, îndreptate de-a lungul bisectoarei unghiului dintre vectorii a și b, dacă vectorul c = 3 rădăcini ale lui 42. a=(2;-3;6), b=(-1;2; -2)

Să găsim vectorul unitar e_a codirecțional cu a:

în mod similar e_b = b/|b|,

atunci vectorul dorit va fi direcționat în același mod ca suma vectorială e_a+e_b, deoarece (e_a+e_b) este diagonala unui romb, care este bisectoarea unghiului său.

Să notăm (e_a+e_b)=d,

Să găsim un vector unitar care este direcționat de-a lungul bisectoarei: e_c = d/|d|

Dacă |c| = 3*sqrt(42), apoi c = |c|*e_c. Asta e tot.

Găsiți relația liniară dintre acești patru vectori necoplanari: p=a+b; q=b-c; r=a-b+c; s=b+(1/2)*c

Din primele trei egalități, încercați să exprimați `a,b,c` în termeni de `p,q,r` (începeți prin a adăuga a doua și a treia ecuație). Apoi înlocuiți `b` și `c` în ultima ecuație cu expresiile pe care le-ați găsit în termeni de `p,q,r`.

13) Aflați ecuația planului care trece prin punctele A(2, -1, 4) și B(3, 2, -1) perpendicular pe planul x + y + 2z – 3 = 0. Ecuația necesară a planului are forma: Ax + By + Cz + D = 0, vectorul normal la acest plan (A, B, C). Vectorul (1, 3, -5) aparține planului. Planul dat nouă, perpendicular pe cel dorit, are un vector normal (1, 1, 2). Deoarece punctele A și B aparțin ambelor plane, iar planurile sunt reciproc perpendiculare, atunci vectorul normal este (11, -7, -2). Deoarece punctul A aparține planului dorit, atunci coordonatele acestuia trebuie să satisfacă ecuația acestui plan, adică. 11×2 + 7×1 - 2×4 + D = 0; D = -21. În total, obținem ecuația planului: 11x - 7y – 2z – 21 = 0.

14) Ecuația unui plan care trece printr-o dreaptă paralelă cu un vector.

Lasă planul dorit să treacă prin dreapta (x-x1)/a1 = (y-y1)/b1 = (z-z1)/c1 paralelă cu dreapta (x-x2)/a2 = (y-y2) /b2 = (z -z2)/c2 .

Atunci vectorul normal al planului este produsul vectorial al vectorilor de direcție ai acestor drepte:

Fie coordonatele produsului vectorial (A;B;C). Planul dorit trece prin punctul (x1;y1;z1). Vectorul normal și punctul prin care trece planul determină în mod unic ecuația planului dorit:

A·(x-x1) + B·(y-y1) + C·(z-z1) = 0

17) Aflați ecuația dreptei care trece prin punctul A(5, -1) perpendicular pe dreapta 3x - 7y + 14 = 0.

18) Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece prin punctul M perpendicular pe planul dat M(4,3,1) x+3y+5z-42=0

(x - x0) / n = (y - y0) / m = (z - z0) / p

M(x0,y0,z0) - punctul tău M(4,3,1)

(n, m, p) - vectorul de direcție al dreptei, cunoscut și ca vector normal pentru o suprafață dată (1, 3, 5) (coeficienți pentru variabilele x, y, z din ecuația plană)

Aflați proiecția unui punct pe un plan

Punctul M(1,-3,2), plan 2x+5y-3z-19=0

Studierea proprietăților figurilor în spațiu și pe un plan este imposibilă fără a cunoaște distanțele dintre un punct și obiecte geometrice precum o linie dreaptă și un plan. În acest articol vom arăta cum să găsim aceste distanțe luând în considerare proiecția unui punct pe un plan și pe o dreaptă.

Ecuația unei drepte pentru spații bidimensionale și tridimensionale

Calculul distanțelor dintre un punct și o dreaptă și un plan se realizează folosind proiecția acestuia pe aceste obiecte. Pentru a putea găsi aceste proiecții, ar trebui să știți sub ce formă sunt date ecuațiile pentru drepte și plane. Să începem cu primele.

O linie dreaptă este o colecție de puncte, fiecare dintre acestea putând fi obținută de la precedentul transferându-l la vectori paraleli între ei. De exemplu, există un punct M și N. Vectorul MN¯ care le conectează duce M la N. Există și un al treilea punct P. Dacă vectorul MP¯ sau NP¯ este paralel cu MN¯, atunci toate cele trei puncte se află pe aceeași linie și formați-o.

În funcție de dimensiunea spațiului, ecuația care definește linia își poate schimba forma. Astfel, binecunoscuta dependență liniară a coordonatei y de x în spațiu descrie un plan care este paralel cu a treia axă z. În acest sens, în acest articol vom lua în considerare doar ecuația vectorială pentru linie. Are același aspect pentru un spațiu plan și tridimensional.

În spațiu, o linie dreaptă poate fi definită prin următoarea expresie:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α*(a; b; c)

Aici, valorile coordonatelor cu indici zero corespund unui anumit punct aparținând dreptei, u¯(a; b; c) sunt coordonatele vectorului de direcție care se află pe această dreaptă, α este un număr real arbitrar, prin schimbând care poți obține toate punctele liniei. Această ecuație se numește ecuație vectorială.

Ecuația de mai sus este adesea scrisă în formă extinsă:

Într-un mod similar, puteți scrie ecuația pentru o dreaptă situată într-un plan, adică în spațiu bidimensional:

(x; y) = (x 0 ; y 0) + a*(a; b);

Ecuația plană

Pentru a putea găsi distanța de la un punct la planurile de proiecție, trebuie să știți cum este definit un plan. La fel ca o linie dreaptă, poate fi reprezentată în mai multe moduri. Aici vom lua în considerare doar una: ecuația generală.

Să presupunem că punctul M(x 0 ; y 0 ; z 0) aparține planului, iar vectorul n¯(A; B; C) este perpendicular pe acesta, atunci pentru toate punctele (x; y; z) ale plan egalitatea va fi valabilă:

A*x + B*y + C*z + D = 0, unde D = -1*(A*x 0 + B*y 0 + C*z 0)

Trebuie amintit că în această ecuație plană generală, coeficienții A, B și C sunt coordonatele vectorului normal la plan.

Calculul distanțelor după coordonate

Înainte de a trece la considerarea proiecțiilor pe planul unui punct și pe o linie dreaptă, merită să ne amintim cum se calculează distanța dintre două puncte cunoscute.

Să fie două puncte spațiale:

A 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) și A 2 (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2)

Apoi, distanța dintre ele se calculează cu formula:

A 1 A 2 = √((x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2 +(z 2 -z 1) 2)

Folosind această expresie se determină și lungimea vectorului A 1 A 2 ¯.

Pentru cazul în plan, când două puncte sunt definite doar de o pereche de coordonate, putem scrie o egalitate similară fără prezența unui termen cu z în el:

A 1 A 2 = √((x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2)

Acum să luăm în considerare diferite cazuri de proiecție pe un plan a unui punct pe o dreaptă și pe un plan în spațiu.

Punctul, linia și distanța dintre ele

Să presupunem că există un punct și o dreaptă:

P2 (x1; y1);

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α*(a; b)

Distanța dintre aceste obiecte geometrice va corespunde lungimii vectorului, începutul căruia se află în punctul P 2, iar sfârșitul este într-un punct P pe linia specificată pentru care vectorul P 2 P ¯ este perpendicular pe acesta. linia. Punctul P se numește proiecția punctului P 2 pe dreapta luată în considerare.

Mai jos este o figură care arată punctul P 2, distanța sa d față de linie, precum și vectorul direcție v 1 ¯. De asemenea, un punct arbitrar P 1 este selectat pe linie și un vector este trasat de la acesta la P 2. Punctul P coincide aici cu locul în care perpendiculara intersectează dreapta.

Se poate observa că săgețile portocalii și roșii formează un paralelogram, ale cărui laturi sunt vectorii P 1 P 2 ¯ și v 1 ¯, iar înălțimea este d. Din geometrie se știe că, pentru a găsi înălțimea unui paralelogram, aria acestuia trebuie împărțită la lungimea bazei pe care este coborâtă perpendiculara. Deoarece aria unui paralelogram este calculată ca produs vectorial al laturilor sale, obținem o formulă pentru calcularea d:

d = ||/|v 1 ¯|

Toți vectorii și coordonatele punctelor din această expresie sunt cunoscuți, așa că o puteți utiliza fără a efectua transformări.

Această problemă ar fi putut fi rezolvată altfel. Pentru a face acest lucru, scrieți două ecuații:

• produsul scalar al lui P 2 P ¯ cu v 1 ¯ trebuie să fie egal cu zero, deoarece acești vectori sunt reciproc perpendiculari;
• coordonatele punctului P trebuie să satisfacă ecuația dreptei.

Aceste ecuații sunt suficiente pentru a găsi coordonatele P și apoi lungimea d folosind formula dată în paragraful anterior.

Sarcina de a afla distanța dintre o linie și un punct

Vom arăta cum să folosim aceste informații teoretice pentru a rezolva o problemă specifică. Să presupunem că sunt cunoscute următoarele puncte și drepte:

(x; y) = (3; 1) - α*(0; 2)

Este necesar să găsiți punctele de proiecție pe o linie dreaptă pe plan, precum și distanța de la M la linie dreaptă.

Să notăm proiecția care trebuie găsită prin punctul M 1 (x 1 ; y 1). Să rezolvăm această problemă în două moduri, descrise în paragraful anterior.

Metoda 1. Vectorul direcție v 1 ¯ are coordonatele (0; 2). Pentru a construi un paralelogram, selectăm un punct aparținând dreptei. De exemplu, un punct cu coordonate (3; 1). Atunci vectorul celei de-a doua laturi a paralelogramului va avea coordonatele:

(5; -3) - (3; 1) = (2; -4)

Acum trebuie să calculați produsul vectorilor care definesc laturile paralelogramului:

Inlocuim aceasta valoare in formula si obtinem distanta d de la M la linia dreapta:

Metoda 2. Acum să găsim în alt mod nu numai distanța, ci și coordonatele proiecției M pe linie dreaptă, așa cum este cerut de condiția problemei. După cum am menționat mai sus, pentru a rezolva problema este necesar să se creeze un sistem de ecuații. Va arata ca:

(x1-5)*0+(y1 +3)*2 = 0;

(x 1 ; y 1) = (3; 1)-α*(0; 2)

Să rezolvăm acest sistem:

Proiecția punctului de coordonate original are M 1 (3; -3). Atunci distanța necesară este:

d = |MM 1 ¯| = √(4+0) = 2

După cum puteți vedea, ambele metode de rezolvare au dat același rezultat, ceea ce indică corectitudinea operațiilor matematice efectuate.

Proiectia unui punct pe un plan

Acum să luăm în considerare care este proiecția unui punct dat în spațiu pe un anumit plan. Este ușor de ghicit că această proiecție este și un punct care, împreună cu cel original, formează un vector perpendicular pe plan.

Să presupunem că proiecția pe planul punctului M are următoarele coordonate:

Planul în sine este descris de ecuația:

A*x + B*y + C*z + D = 0

Pe baza acestor date, putem crea o ecuație pentru o dreaptă care intersectează planul în unghi drept și trece prin M și M 1:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α*(A; B; C)

Aici, variabilele cu indici zero sunt coordonatele punctului M. Poziția pe planul punctului M 1 poate fi calculată pe baza faptului că coordonatele acestuia trebuie să satisfacă ambele ecuații scrise. Dacă aceste ecuații nu sunt suficiente pentru a rezolva problema, atunci puteți utiliza condiția paralelismului dintre MM 1 ¯ și vectorul de ghidare pentru un plan dat.

Evident, proiecția unui punct aparținând planului coincide cu ea însăși, iar distanța corespunzătoare este zero.

Problemă cu un punct și un plan

Fie dat un punct M(1; -1; 3) și un plan, care este descris de următoarea ecuație generală:

Este necesar să se calculeze coordonatele proiecției pe planul punctului și să se calculeze distanța dintre aceste obiecte geometrice.

Mai întâi, să construim ecuația unei drepte care trece prin M și perpendiculară pe planul indicat. Arată ca:

(x; y; z) = (1; -1; 3) + α*(-1; 3; -2)

Să notăm punctul în care această dreaptă intersectează planul ca M 1 . Egalitățile pentru plan și linie trebuie să fie satisfăcute dacă coordonatele M 1 sunt substituite în ele. Scriind ecuația dreptei în mod explicit, obținem următoarele patru egalități:

X1 + 3*y1-2*z1 + 4 = 0;

y1 = -1 + 3*a;

Din ultima egalitate obținem parametrul α, apoi îl substituim în penultima și a doua expresie, obținem:

y1 = -1 + 3*(3-z 1)/2 = -3/2*z 1 + 3,5;

x 1 = 1 - (3-z 1)/2 = 1/2*z 1 - 1/2

Inlocuim expresia pentru y 1 si x 1 in ecuatia pentru plan, avem:

1*(1/2*z 1 - 1/2) + 3*(-3/2*z 1 + 3,5) -2*z 1 + 4 = 0

De unde o luăm:

y 1 = -3/2*15/7 + 3,5 = 2/7;

x 1 = 1/2*15/7 - 1/2 = 4/7

Am stabilit că proiecția punctului M pe un plan dat corespunde coordonatelor (4/7; 2/7; 15/7).

Acum să calculăm distanța |MM 1 ¯|. Coordonatele vectorului corespunzător sunt:

MM 1 ¯(-3/7; 9/7; -6/7)

Distanța necesară este:

d = |MM 1 ¯| = √126/7 ≈ 1,6

Proiecție în trei puncte

În timpul producției de desene, este adesea necesar să se obțină proiecții ale secțiunilor pe trei planuri reciproc perpendiculare. Prin urmare, este util să luăm în considerare cu ce vor fi egale proiecțiile unui anumit punct M cu coordonate (x 0 ; y 0 ; z 0) pe trei plane de coordonate.

Nu este greu să arăți că planul xy este descris de ecuația z = 0, planul xz corespunde expresiei y = 0, iar planul yz rămas este notat cu x = 0. Nu este greu de ghicit că proiecțiile unui punct pe 3 planuri vor fi egale:

pentru x = 0: (0; y 0; z 0);

pentru y = 0: (x 0 ; 0 ; z 0);

pentru z = 0: (x 0 ; y 0 ; 0)

Unde este important să cunoaștem proiecția unui punct și distanța acestuia față de avioane?

Determinarea poziției proiecției punctelor pe un plan dat este importantă atunci când se găsesc cantități precum aria suprafeței și volumul pentru prisme și piramide înclinate. De exemplu, distanța de la vârful piramidei până la planul de bază este înălțimea. Acesta din urmă este inclus în formula pentru volumul acestei cifre.

Formulele și metodele luate în considerare pentru determinarea proiecțiilor și distanțelor de la un punct la o linie dreaptă și un plan sunt destul de simple. Este important doar să ne amintim formele corespunzătoare ale ecuațiilor unui plan și a unei linii drepte, precum și să aveți o bună imaginație spațială pentru a le aplica cu succes.

Când se rezolvă probleme geometrice în spațiu, apare adesea problema determinării distanței dintre un plan și un punct. În unele cazuri, acest lucru este necesar pentru o soluție cuprinzătoare. Această valoare poate fi calculată prin găsirea proiecției pe planul punctului. Să ne uităm la această problemă mai detaliat în articol.

Ecuație pentru a descrie un avion

Înainte de a trece la examinarea întrebării cum să găsiți proiecția unui punct pe un plan, ar trebui să vă familiarizați cu tipurile de ecuații care o definesc pe acestea din urmă în spațiul tridimensional. Mai multe detalii mai jos.

O ecuație generală care definește toate punctele care aparțin unui plan dat este următoarea:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Primii trei coeficienți sunt coordonatele vectorului, care se numește ghid pentru plan. Coincide cu normalul pentru el, adică este perpendicular. Acest vector este notat cu n¯(A; B; C). Coeficientul liber D este determinat în mod unic din cunoașterea coordonatelor oricărui punct aparținând planului.

Conceptul de proiecție punctuală și calculul acesteia

Să presupunem că un punct P(x 1 ; y 1 ; z 1) și un plan sunt date. Este definit de ecuație în formă generală. Dacă trasăm o dreaptă perpendiculară de la P la un plan dat, atunci este evident că acesta din urmă îl va intersecta într-un punct specific Q (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2). Q se numește proiecția lui P pe planul luat în considerare. Lungimea segmentului PQ se numește distanța de la punctul P la plan. Astfel, PQ în sine este perpendicular pe plan.

Cum puteți găsi coordonatele proiecției unui punct pe un plan? Nu este greu să faci asta. În primul rând, trebuie să creați o ecuație pentru o linie dreaptă care va fi perpendiculară pe plan. Îi va aparține punctul P. Deoarece vectorul normal n¯(A; B; C) al acestei drepte trebuie să fie paralel, ecuația lui în forma corespunzătoare se va scrie după cum urmează:

(x; y; z) = (x 1; y 1; z 1) + λ*(A; B; C).

Unde λ este un număr real, care este de obicei numit un parametru al ecuației. Schimbându-l, puteți obține orice punct de pe linie.

După ce a fost scrisă ecuația vectorială pentru o dreaptă perpendiculară pe plan, este necesar să se găsească punctul de intersecție comun pentru obiectele geometrice luate în considerare. Coordonatele sale vor fi proiecția P. Deoarece ele trebuie să satisfacă ambele egalități (pentru dreaptă și pentru plan), problema se reduce la rezolvarea sistemului de ecuații liniare corespunzător.

Conceptul de proiecție este adesea folosit în studiul desenelor. Ele descriu proiecțiile laterale și orizontale ale piesei pe planurile zy, zx și xy.

Calcularea distanței de la un plan la un punct

După cum sa menționat mai sus, cunoașterea coordonatelor proiecției pe planul unui punct vă permite să determinați distanța dintre ele. Folosind notația introdusă în paragraful anterior, constatăm că distanța necesară este egală cu lungimea segmentului PQ. Pentru a-l calcula, este suficient să găsiți coordonatele vectorului PQ¯ și apoi să calculați modulul acestuia folosind formula cunoscută. Expresia finală pentru d distanța dintre punctul P și plan ia forma:

d = |PQ¯| = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2).

Valoarea rezultată a lui d este prezentată în unități în care este specificat sistemul de coordonate cartezian xyz curent.

Exemplu de sarcină

Să presupunem că există un punct N(0; -2; 3) și un plan, care este descris de următoarea ecuație:

Trebuie să găsiți punctele de proiecție pe plan și să calculați distanța dintre ele.

Mai întâi de toate, să creăm o ecuație pentru o dreaptă care intersectează planul la un unghi de 90 o. Avem:

(x; y; z) = (0; -2; 3) + X*(2; -1; 1).

Scriind această egalitate în mod explicit, ajungem la următorul sistem de ecuații:

Înlocuind valorile coordonatelor din primele trei egalități în a patra, obținem valoarea λ, care determină coordonatele punctului comun al dreptei și ale planului:

2*(2*λ) - (-2 - λ) + λ + 3 + 4 = 0 =>

6*λ + 9 = 0 =>

λ = 9/6 = 3/2 = 1,5.

Să înlocuim parametrul găsit în și să găsim coordonatele proiecției punctului de plecare pe plan:

(x; y; z) = (0; -2; 3) + 1,5*(2; -1; 1) = (3; -3,5; 4,5).

Pentru a calcula distanța dintre obiectele geometrice specificate în enunțul problemei, aplicăm formula pentru d:

d = √((3 - 0) 2 + (-3,5 + 2) 2 + (4,5 - 3) 2) = 3,674.

În această problemă am arătat cum să găsim proiecția unui punct pe un plan arbitrar și cum să calculăm distanța dintre ele.